求复合函数定义域值域解析式(集锦)
复合函数的常见题型及解法
４],
此时有 y＝t２ －２
at－３,
① 当 a≤２ 时,当t＝２ 时,
ymin ＝１－４a;当t＝４ 时,
ymax
.
＝１３－８
a
２
② 当 ２＜a ≤３ 时,当t＝a 时,
ymin ＝ －a －３;当 t＝４
.
时,
ymax ＝１３－８a
２
③ 当 ３＜a ＜４ 时,当t＝a 时,
ymin ＝ －a －３;当 t＝２
【题型三】判断复合函数的单调性
【例 ３】(
２０１４ 年 天 津 卷)函 数 f(
x)＝l
og１ (
x２ －４)的 单
调递增区间为( )
(
(－∞ ,
A．
０,＋∞ ) B．
０)
２
(
(－∞ ,－２)
C．
２,＋∞ )
D．
２
【解析】由 x －４＞０ 得 f(
x)的 定 义 域 为 (－ ∞ ,－２)∪
求函数 y＝l
og０．
－x２ ＋２x＋３)的值域.
５(
当l
og２x＝
３ ２ １
)＜x＜３.
２
令 u＝－x２ ＋２x＋３＝－ (
x－１)
＋４ 则 ０＜u≤４.
∵y＝l
og０．
０,
４]上单调递减,∴y≥－２.
５u 在(
故所求函数的值域为[－２,＋∞ ).
式组.
【变 式 １】已 知 函 数 f (
x ))的 定 义 域 → 求 函 数
g(
(
(
)
)
的定义域
x
fφ
已知函数 f(
２x )的定义 域 为 [－１,
复合函数定义域(专题训练)
复合函数定义域(专题训练)为了加深对复合函数定义域的理解，我们进行了一系列专题训练。
以下是训练内容和解答。
1. 函数f(x)的定义域为[-2, 5]，函数g(x)的定义域为[-3, 4]，求复合函数g(f(x))的定义域。
解答：复合函数g(f(x))表示先对x应用函数f，再对结果应用函数g。
要确定定义域，需要满足两个条件：首先，x在f(x)的定义域内；其次，f(x)在g(x)的定义域内。
因为f(x)的定义域为[-2, 5]，所以g(f(x))的定义域中x的取值范围是[-2, 5]，而g(x)的定义域为[-3, 4]，所以g(f(x))的定义域的取值范围是[-3, 4]。
2. 函数h(x)的定义域为[-4, 3]，函数k(x)的定义域为[0, 6]，求复合函数k(h(x))的定义域。
解答：同样，为了确定复合函数的定义域，需要满足两个条件：x在h(x)的定义域内，且h(x)在k(x)的定义域内。
因为h(x)的定义域为[-4, 3]，所以k(h(x))的定义域中x的取值范围是[-4, 3]，而k(x)的定义域为[0, 6]，所以k(h(x))的定义域的取值范围是[0, 6]。
3. 函数m(x)的定义域为[1, 9]，函数n(x)的定义域为[7, 10]，求复合函数n(m(x))的定义域。
解答：根据定义域的条件，x在m(x)的定义域内，且m(x)在n(x)的定义域内。
因此，复合函数n(m(x))的定义域中x的取值范围是[1, 9]，n(x)的定义域为[7, 10]，所以n(m(x))的定义域的取值范围是[7, 10]。
通过这些专题训练，我们加深了对复合函数定义域的理解。
复合函数的定义域由前一个函数的定义域和后一个函数的定义域共同决定，只有在两个条件都满足的情况下，复合函数才有定义。
复合函数定义域的常见求法
复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。
例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
高中数学：求解复合函数定义域
高中数学：求解复合函数定义域
函数的定义域是函数的灵魂，是研究函数及应用函数解决问题的基础，处理函数问题必须树立“定义域优先”的数学意识，因此求函数的定义域是最关键的问题。
但对于求复合函数的定义域，大部分同学感到很棘手，下面着重谈谈复合函数定义域的求法。
一、已知的定义域，求的定义域
例1、已知函数的定义域为，求函数的定义域。
分析：函数的定义域是式子当中x的取值范围，确保两个函数中整体x，的取值范围相同。
解析：依题意有，
∴。
∴的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则函数的定义域是使函数的的取值范围。
二、已知的定义域，求的定义域
例2、已知函数的定义域为，求的定义域。
解析：∵的定义域为，
∴，。
∴的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则函数的定义域是函数的值域。
三、已知的定义域，求的定义域
例3、已知函数的定义域为，求的定义域。
分析：应由确定的范围，求出函数的定义域，进而再求的定义域，它是例1和例2的综合应用。
解析：因为的定义域是（，0），即其中的x 应满足，所以，的定义域为（1，2），所以函数应满足，于是有或，所以或，故原函数的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则可得的值域为B，那么函数的定义域是使的的取值范围。
求复合函数的定义域
求复合函数的定义域一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、例题剖析：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11() 即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
几种复合函数定义域的求法
配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。
f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。
f(x ＋1)＝x 2＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f复合函数的定义域求法.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
函数第3课时-《解析式-值域-复合函数定义域-平移-伸缩-对称专题》
第二单元 函数 补充内容一、求函数的解析式1、换元法例：已知2()sin(),(,0)x f x x e x =+∈-∞，求()f x 的解析式。
2、拼凑法例：已知23f x =-+()f x 的解析式。
3、待定系数法当已知函数的类型时，可以假设函数的解析式，再带入适当点的坐标，解出系数即可。
例如：一次函数可以设为y kx b =+，二次函数可以设为2y ax bx c =++等。
4、解不等式组 例：已知213()()26f x f x x x+=+-，求()f x 的解析式。
5、（x ，y ）代入法例：已知函数()f x 与()g x 关于直线1y x =-对称，且2()23g x x x =++，求()f x 的解析式。
6、其他方法例：已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x 的解析式是？【随堂练习】1、已知2211()11x x f x x--=++，则()f x 的解析式为（ ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21xx +-2、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，并且满足2()()34f x g x x +=+，试求出函数()f x 和()g x 的解析式。
5、已知函数)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，有,1)(xx f =则当)2,(--∞∈x 时，)(x f 的解析式为（ ） A ．x 1- B ．21--x C ．21+x D ．21+-x6、已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则求b a -5的值。
复合函数的定义域和解析式
复合函数的定义域和解析式一、复习引入： ⑴已知20()2000x x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪<⎩，，，，则(4)___[(3)]___f f f =-=，．⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出，那么((1))___((2))___,((3))___,((4))___f f f g g f g g ====，． ⑶已知函数2()1f x x=+，①求()(1)(1)f a f a f x ++，，； ②若函数()1g x x =+，求(())f g x ． 变题：已知函数xx f =)(，1)(2-=x x g ，求：①)(a f ；②(())f g x ；③(())f g x 的定义域；④))((x f g ．⑷已知函数()21[12]f x x x =-∈-，，，2()32[25]g x x x x =+∈，，，求[()]f g x .点评：2[25]32[12]x x x ∈⎧⎨+∈-⎩，，二、新授知识： 1、复合函数的定义设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数。
此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ． ⑷若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(．注意：)(x g 的值域'M M ⊆．例2．（课时练 2 例1）⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的． 解答：⑴ 函数)21(x f -是由A 到B 上的函数x u 21-=与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数． 函数)(x f 的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数x u 21-=的值域为[0，1]． ∴1210≤-≤x ， ∴021≤-≤-x ，即210≤≤x ，∴函数)21(x f -的定义域[0，21]．⑵ 函数)12(-x f 是由A 到B 上的函数12-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数． )12(-x f 的定义域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-11≤≤x ，∴1123≤-≤-x ,即12-=x u 的值域是[-3，1]， ∴)(x f y =的定义域是[-3，1]．点评：若已知)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的x 的集合；若已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g )(A x ∈的值域。
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求复合的定义域、值域、解析式（集锦）一、 基本类型：1、 求下列函数的定义域。
（1）12)(-+=x x x f （2）xx x x f -+=0)1()(（3） 111--=x y （4）()28xf x =- 二、复合函数的定义域1、 若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2)()1f xg x x =-的定义域2、 函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域3、 函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法（1）求二次函数232y x x =-+的值域 （2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法：（1） 求函数y x =+分分式法 求21+-=x x y 的值域。
解：（反解x 法） 四、判别式法（1）求函数22221x x y x x -+=++；的值域2）已知函数21ax by x +=+的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。
五：有界性法：（1）求函数1e 1e y xx +-=的值域六、数形结合法---扩展到n 个相加（1）|1||4|y x x =-++（中间为减号的情况？） 求解析式 换元法已知23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式.一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y+=+++求()f x 。
令x=0，y=2x 待定系数法设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ).课堂练习：1．函数1211)(22+-+++=x x x x x f 的定义域为2．函数()f x =的定义域为3．已知)2(xf 的定义域为[0,8]，则(3)f x 的定义域为4．求函数542+-=x x y ，]4,1(∈x 的值域 5．求函数)(x f ＝xx213+-（x ≥0）的值域 6.求函数322322-++-=x x x x y 的值域7已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式. 8已知 2f (x )+f (-x )=10x , 求 f (x ).9已知 f {f [f (x )]}=27x +13, 且 f (x ) 是一次式, 求 f (x ). 三、课后训练：1．求函数y ＝()022x x -+的定义域。
要求：选择题要在旁边写出具体过程。
2．下列函数中，与函数y x =相同的函数是 （ C ）()A 2x y x= ()B 2y = ()C lg10x y =()D 2log 2x y =3．若函数)23(x f -的定义域为[－1，2]，则函数)(x f 的定义域是（ C ）A ．]1,25[--B ．[－1，2]C ．[－1，5]D ．]2,21[4，设函数⎩⎨⎧<≥-=)1(1)1(1)(x x x x f ，则)))2(((f f f =（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．25．下面各组函数中为相同函数的是（ D ） A ．1)(,)1()(2-=-=x x g x x f B ．11)(,1)(2-+=-=x x x g x x f C ．22)1()(,)1()(-=-=x x g x x f D ．21)(,21)(22+-=+-=x x x g x x x f 6.若函数)(},4|{}0|{113)(x f y y y y x x x f 则的值域是≥⋃≤--=的定义域是( B )A ．]3,31[ B ．]3,1()1,31[⋃ C ．),3[]31,(+∞-∞或 D ．[3,+∞)7．若函数3412++-=mx mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ C ）A ．]43,0(B ．)43,0(]43,0[ D ．)43,0[8、已知函数322+-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( D )A 、[ 1，+∞）B 、[0，2]C 、（-∞，2]D 、[1，2]9．已知函数的值域1279,4322+--=-+=x x x y x x y 分别是集合P 、Q ，则（ C ）A ．p ⊂QB ．P=QC ．P ⊃QD ．以上答案都不对10．求下列函数的值域： ①)1(3553>-+=x x x y ②y=|x+5|+|x-6| ③242++--=x x y④x x y 21-+= ⑤422+-=x x xy11、已知函数)0(12)(22<+++=b x cbx x x f 的值域为]3,1[，求实数c b ,的值。
12.已知f （x x 1+）= xx x 1122++，求f （x ）的解析式.13.若 3f (x -1)+2f (1-x )=2x , 求 f (x ).14.设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ，有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.课后训练答案： 1．4(,)(0,2)(2,)3-∞-+∞ 2.—9:C,C,B,D,B,D,C10. 3{|}5y y ≠,[11,)+∞,5[,4]2,[1,)+∞,11[,]62- 11.c=2,b=-1 12. 2()1f x x x =-+ 13. 17()55f x x =+14. 2()1f x x x =++【练习】1 2已知函数f）的定义域为[ 0，3 ]，求f （x ）的定义域3已知函数f （x ）定义域为[ 0 , 4], 求f ()2x 的定义域4求函数的值域（注意先求函数的定义域）① 31y x =+ ， x ∈{1，2 ,3，4，5 } ( 观察法 ) ②246y x x =-+ ，x ∈[)1,5( 配方法 ：形如2y ax bx c =++ ) ③2y x =换元法：形如y ax b =+) ④1xy x =+ ( 分离常数法：形如cx dy ax b+=+ )5求下列函数的解析式①已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式 ②已知f （x+1）= 223x x ++，求f （x ）的解析式③已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ） ④已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-+-2、_ _ _；________；3、若函数(1)f x +的定义域为则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
4、 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域 5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥⑸ y =⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-⑼ y = ⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间：⑴ 223y x x =++ ⑵y = ⑶261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236xy x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是（ ）A 、(－∞,+∞)B 、(0,43]C 、(43,+∞) D 、[0, 43)11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）(A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D)04m <≤12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ）(A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D)11x -<<13、函数()f x =的定义域是（ ）A 、[2,2]-B 、(2,2)-C 、(,2)(2,)-∞-+∞D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x=+≠是（ ）A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数15、函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =16、已知函数的定义域是，则的定义域为 。