函数的定义域值域和解析式

函数的定义域、值域和解析式1．函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． 2.求函数定义域的主要依据： ①分式函数:分母不为0; ②偶次方根:被开方数为非负数;③对数函数:真数大于0,底数大于0且不为1; ④零次幂的底数不等于0注意：①当通过解不等式或不等式组求定义域时，常常借助数轴求交集，同时考虑端点是否可取；②在解决函数问题时首先考虑定义域，“定义域优先原则”；③定义域的最终结果一定要写成集合或者区间的形式；④实际问题的自变量范围应根据实际情况确定。

指数函数x a y =(a >0且a ≠1)R(0,+∞)对数函数x y a log =(a >0且a ≠1)(0,+∞) R正、余弦函数 y =sin x ,y =cos x R [-1,1]正切函数 y =tan x{x |x ≠k π+2π,k ∈Z}R解析式定义域 值域 一次函数y =kx +b (k ≠0)RR二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)R当a >0时,),44(2+∞-ab ac 当a <0时,)44,(2ab ac --∞ 反比例函数xky =(k ≠0) {x |x ≠0}{y |y ≠0}均值函数xbax y +=(a >0,b >0) {x |x ≠0}(-∞,-2ab ]∪[2ab ,+∞)常见函数的定义域与值域,0||01⎩⎨⎧>-≠+x x x ,||1⎩⎨⎧>-≠x x x例1求下列函数的定义域（1）1log 1)(2-=x x f （2）)1(log 1|2|)(2---=x x x f （3）y=x x x -+||)1(0;解：（1）由题意可得⎩⎨⎧>->01log 02x x 解得x ＞2．∴所求定义域为（2，+∞）⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥--110101|2|x x x 解得x ≥3 （2）由题意得∴所求定义域为（3，+∞）（3）由题意 化简故函数的定义域为{x|x ＜0且x ≠-1}. 练习：求函数的定义域 （1） y=232531x x -+-; （2）)34lg(13)(22-+-+-=x x x x x f3.抽象函数的定义域求复合函数y ＝f(t)，t ＝q(x)的定义域的方法：①若y ＝f(t)的定义域为(a ，b)，则解不等式得a ＜q(x)＜b 即可求出y ＝f(q(x))的定义域； ②若y ＝f(g(x))的定义域为(a ，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域． 例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域.（1）y=f(3x); (2)y=f(x1);(3)y=f()31()31-++x f x ; 解：（1）0≤3x ≤1,故0≤x ≤31,y=f(3x)的定义域为［0, 31］.（2）仿（1）解得定义域为［1，+∞).（3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)31(-x 定义域的交集.列出不等式组,32313431323113101310≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤x x x x x 练习：(1)已知函数f(x)的定义域为[1,5]，求函数y ＝f(2x)＋f(5－x)的定义域； (2)已知函数f(x ＋5)的定义域为[0,4]，求函数y ＝f(x)的定义域．4.函数的值域与自变量相对应的值叫函数值,函数值的集合叫做函数的值域. 5.求函数值域的常用方法(无论用那种方法，一定先确定定义域)（1）配方法：若函数类型为一元二次函数，则采用此法求其值域。

（在应用配方法求函数值域时，关键在于判断完全平方式能否取到零）（2）换元法：常用代数或三角代换法把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。

形如y ax b cx d =+±-（a ，b ，c ，d 均为常数且0ac ≠）的函数常用此解。

（用换元法求值域时，需认真分析换元后变量的范围变化）（3）判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知数2x ，则常用此法。

通常去掉分母转化为一元二次方程，要注意讨论2x 项的系数是否为零，再由判别式0∆≥，确定y 的范围，即原函数的值域。

（一定要注意自变量x 是否属于R ）（4）不等式法：借助于重要不等式2(,)a b ab a b R ++≥∈求函数值域。

用不等式法求值域时，要注意重要不等式的使用条件“一正二定三相等”。

（需认真分析等号能否成立） （5）单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调性求函数的值域，常用到函数(0)py x p x =+>的单调性：增区间为(,p ⎤-∞-⎦和),p ⎡+∞⎣，减区间为(),0p -和()0,p 。

（应用单调性求值域时关键在于准确找出其单调区间）（6）三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；（应用三角有界法需注意三角函数θ的取值范围）（7）数型结合法：分析函数解析式表示的几何意义，根据其图像特点确定函数的值域例1 求函数x x y 422+--=的值域．解析：本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设 )0)((4)(2≥+-=x f x x x f ，配方得][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f ． 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ， 从而得出所求函数的值域为 ]0,2y ⎡∈⎣．技巧提示：配方法能解决与二次函数有关的函数的值域问题．本题可以直接配方，得x x y 422+--=＝2)2(42---x ，然后经分析得所求函数的值域为]0,2y ⎡∈⎣，因此，有时直接分析也能得到函数的值域．例2 求函数122+--=x x x x y 的值域．解析：观察分子、分母中均含有x x -2项，可先变形后再采取分析法．43)21(11111122222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y ．由2)21(-x ≥0，有43)21(2+-x ≥43， 0＜43)21(12+-x ≤34，－34≤－43)21(12+-x ＜0，－31≤1－43)21(12+-x ＜1，∴ 所求函数的值域为 )1,31⎢⎣⎡-∈y ．技巧提示：配方法、分析法、配方分析法都是解决含2x 项的函数值域问题的重要方法． 本题亦可采用判别式法:将122+--=x x x x y 重新整理为关于x 的二次方程，得0)1()1(2=+---y x y x y ，这个关于x 的二次方程有解，∴1≠y 且判别式△≥０， 由△≥０，得y y y )1(4)1(2---≥0， ∴131≤≤-y ．⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1,11,)(2x xx x x f ∴ 所求函数的值域为 )1,31⎢⎣⎡-∈y ． 例3 求函数x x y 41332-+-=的值域．解析：由于题中含有x 413-不便于计算，但如果令：x t 413-=注意0≥t从而得：)0(321341322≥+--=∴-=t t t y t x变形得)0(8)1(22≥+--=t t y ，即：]4,(-∞∈y ． 例4 求下列函数的值域(1)y=x-x 21-; (2)y=1e 1e +-x x .解：（1）方法一定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21|x x ，函数y=x,y=-x 21-均在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,上递增， 故y ≤.21212121=⨯--∴函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,.方法二令x 21-=t,则t ≥0，且x=.212t -y=-21（t+1）2+1≤21（t ≥0）, ∴y ∈（-∞，21］.（2）由y=1e 1e +-x x 得,e x=.11y y -+e x＞0,即yy-+11＞0,解得-1＜y ＜ 1.∴函数的值域为{y|-1＜y ＜1}.例5求函数的值域解：∵函数2x y =，x ≤1的值域B=[0，+∞）函数xy 1=，x ＞1的值域C=（0，1） 故函数的值域是B ∪C=[0，+∞）例6已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|，用分段函数表示该函数并求其值域。

5.定义域、值域的综合应用 例1:已知函数1)(2++=mx mx x f 的定义域是全体实数，则m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ≤4B ．0≤m ≤1C ．m ≥4D ．0≤m ≤4 错解分析：由12++mx mx ≥０对全体实数都成立，得⎩⎨⎧≤∆>00m ，即⎩⎨⎧≤->0402m m m ． ∴m 的取值范围是0＜m ≤4．故选A ．解析：由12++mx mx ≥0对全体实数都成立，得当m ＝0时，1≥0，对全体实数都成立； 当m ≠0时，⎩⎨⎧≤∆>00m ，即 ⎩⎨⎧≤->0402m m m ．∴m 的取值范围是0≤m ≤4．故选B ．技巧提示：这是求函数的定义域的逆问题，即给定函数的定义域，求参数的取值范围．此问题转化为不等式恒成立问题，但要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论．例2：已知函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围． 解析：由题意知R x ∈时，012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立． （1）当012=-a 且01≠+a 时，有a ＝1，此时)(x f ＝1，显然对R x ∈时，012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立． （2）当012≠-a 时，有⎪⎩⎪⎨⎧≤+⋅---=∆>-012)1(4)1(01222a a a a ， 解不等式组得91≤<a ．综上知，当R x ∈时，使得)(x f 有意义的a 的取值范围是[1，9]．例3 已知函数1222+++=x bax x y 的值域为[1，3]，求a 、b 的值．解析：由题意知R x ∈，把原函数变形为0)2(2=-+--b y ax x y当02=-y 时，满足题意；当02≠-y 时，因R x ∈，所以0))(2(42≥---=∆b y y a ， 即08)2(4422≤-++-a b y b y ．∵31≤≤y ，∴1和3是方程08)2(4422=-++-a b y b y 的两个实根， 由韦达定理解得22=±=b a ，．技巧提示：这是求函数的值域的逆问题，即在给定函数值域的条件下求参数的值．解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出参数的值．例4 已知)(x f ＝[)+∞∈++,1,22x xax x ． （1）当a ＝21时，求函数)(x f 的最小值； （2）若对任意x [)+∞∈,1，)(x f ＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．解析：（1）当a ＝21时，)(x f ＝x a x x ++22＝221++x x ＝22)21(2++-xx ，∵函数xx 21-在[)+∞∈,1x 上是增函数，∴xx 21-≥211-＞０，∴2)21(xx -在[)+∞∈,1x 上是增函数，于是2)21(xx -≥2)211(-≥223- ∴)(x f ＝22)21(2++-xx ≥22223++-＝27， 所以)(x f 的最小值为27. （2）)(x f ＞0即为2++xax ＞0，又[)+∞∈,1x ，∴ a ＞x x 22--恒成立． 而当[)+∞∈,1x 时，22)1(12+-=--x x x ≤－3，∴a ＞－3．7.求函数的解析式或函数值 函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)方程思想：已知关于f (x )与)1(xf 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f (x )．例1如果45)1(2+-=+x x x f ，那么)(x f ＝ .解析：方法一（配凑法）∵45)1(2+-=+x x x f ＝4)11(5)11(2+-+--+x x ， ∴)(x f ＝4)1(5)1(2+---x x ＝1072+-x x ．方法二（换元法） 设t x =+1，则1-=t x ，于是4)1(5)1()(2+---=t t t f ＝1072+-t t ，即)(x f ＝1072+-x x ．技巧提示：（1）凑配法：若已知))((x g f 的表达式，需求)(x f 的表达式，可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再将)(x g 统一换为x ，求出)(x f 的表达式．（2）换元法：已知))((x g f 的表达式，需求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式． 例2 已知14)12(+=-x x f ，31≤<x ，求函数)(x f .解析：∵14)12(+=-x x f ＝3)12(2+-x ，又∵31≤<x ，有5121≤-<x ，∴)(x f ＝32+x ，51≤<x . 例3 已知)(x f 满足对任意R x ∈，0≠x ，有x xf x f 2)1()(2=+．求)(x f ．解析：∵x xf x f 2)1()(2=+ ……①将x 用x1代之，得x x f x f 2)()1(2=+……②由①，②得xx x x x f 3234324)(-=-=． 技巧提示：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法． 例4 已知x x f 26log )(=，则=)8(f （ ） A ．34 B ． 8 C ．18 D ．21解析：由x x f 26log )(=，知0>x ，令86=x ，得212=x ，∴=)8(f 21log 2=x ，故选D ．例5 已知函数)(n f ＝⎩⎨⎧<+≥-),10)](5([),10(3n n f f n n 其中n ∈N ，则)8(f 等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．7解析：)8(f ＝))13((f f ＝)10(f ＝7，故选D ． 高考衔接1.【2012年高考（江西理）】下列函数中,与函数y=31x定义域相同的函数为 （ ） A ．y=1sin xB ．y=1nxxC ．y=xe xD ．sin xx2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】函数1()123xf x x =-++的定义域为（ ）A.(30]-，B.(31]-，C.(,3)(3,0]-∞--D. (,3)(3,1]-∞--3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】 函数21ln(1)1y xx=++-的定义域为_____________.4.【2012年高考（广东文）】(函数)函数1x y x+=的定义域为__________. 5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时.()(1)f x x x =-， 则当10x -≤≤时，()f x =______.6.【2012年高考（江西理）】若函数21(1)()lg (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((10))f f =（ ）A.lg101B.2C.1D.0 7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】已知函数()32,0,4tan ,0,2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩则________ .8.【云南玉溪一中高2013届高三上学期第三次月考】已知函数⎩⎨⎧≥<+=0,0,1)(x e x x x f x ，则=-)3)0((f f ,9.【东北三校2013届高三4月第二次联考】已知函数12log ,1()12,1xx x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪-<⎩，则((2))f f = .。