函数的定义域值域,解析式具体解法
求解函数定义域、值域、解析式讲义(精华版)
3. 已知函数 f（ x 1） x 2 x ，求函数 f (x) 的解析式。
4. 方程组法
当关系式中同时含有 f ( x) 与 f ( x) 或 f ( x) 与 f ( 1) 时，常将原式中的 x 用 x （或 1 ）代替，
x
x
从而得到另一个同时含 f ( x) 与 f ( x) 或 f ( x) 与 f ( 1 ) 的关系式， 将这两个关系式联立， 解方程组解出 f ( x) 。 x
出参数的范围。
【例 1】 （ 1）若函数 f ( x)
(a 2 1) x2 ( a 1) x 2 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围。 a1
（2）判断 k 为何值时，函数 y
2kx 8 kx2 2kx
关于 x 的定义域为 1
R。
2. 函数值域的逆向应用
【例 2】 求使函数 y
x2 x2
ax x
2 的值域为 ( 1
【例 1】 求下列函数的定义域
（ 1） y x 1
（ 2） y
1
2x
（ 3） y
1
( x 1)0
2x
【例 2】 求下列函数的定义域
（1） y
1； 11
1x
（ 2） y
4 x2 ； x1
））））））
））））））））
（ 3） y
1
3 x2 5
7 - x2 ；
（4） y
x2 3x 10 x11
【当堂检测】
（ 3）若函数 f ( x) 是整式型函数，则定义域为全体实数。
（ 4）若函数 f ( x) 是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。
（ 5）若函数 f (x ) 是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 （ 6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。 （ 7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有
常见函数解析式定义域值域的求法总结
常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。
定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。
在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。
下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。
一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。
2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。
3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。
4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。
5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。
6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。
7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。
二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。
2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。
例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。
3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。
4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。
5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。
函数解析式、定义域、值域
的充要条件是
m 0
(6m)2
4m(m
8)
0
0
m
1
综上可知0≤m≤1。 注:不少同学容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问
题。
例4 已知函数 f (x) kx 7 kx 2 4kx 3
三：换元法
• 通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无 理函数化为代数函数来求函数值域的方法 (关注新元的取值范围).
• 例3 求函数 y=x- x-1 的值域:
注：换元法是一种非常重工的数学解题方法， 它可以使复杂问题简单化，但是在解题的 过程中一定要注意换元后新元的取值范围。
3、求下列函数的值：
是：由a≤x≤b，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例2 已知f(2x+1)的定义域为［1,2］,求f(x)的定义域。
解：因为1≤x≤2, 2≤2x≤4,
3≤2x+1≤5. 即函数f(x)的定义域是{x|3≤x≤5}。
(3)已知f(2x-1)的定义域是[0,1],求f(3x)的定义域。 解:因为0≤x≤1,0≤2x≤2,-1≤2x-1≤1.
所以函数f(3x)的定义域是-1≤3x≤1即 {x|-1/3≤x≤1/3}。
例3 已知函数 y mx 2 6mx m 8
的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明mx2-6mx+8+m≥0，使一切x∈R 都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m≠0进行讨论。
不小于零。 4.零的零次幂没有意义,即f(x)=x0，x≠0。
2.1函数的解析式及定义域与值域
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 2.1函数的解析式及定义域与值域考纲定位 理解函数的概念；掌握简单函数的定义域的求法；掌握求解析式的常用方法.疑难提示 1、要注意区间的正确表示，特别是分清开区间与闭区间的区别；2、简单函数的定义域和值域的求法；3、对符号()y f x =的理解及解析式的求法.【考点整合】1、函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，其中x 的取值范围A 叫函数的 ， 叫函数的值域，值域是 的子集.2、函数的三要素： 为函数的三要素.两函数相同，当且仅当3、函数的表示法有 ， 和 .4、映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的元素y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.5、函数定义域的求法：6、基本初等函数的值域：(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)【真题演练】1、(2011 浙江)设函数20()0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =（ ）A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或22、(2012 江西)下列函数中，与函数31y x=定义域相同的函数是（ ） A.1sin y x = B.ln x y x = C.x y xe = D.sin x y x= 3、(2012 江西)设函数211()lg 1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩若((10))f f =（ ） A.lg101 B.2 C.1 D.04、(2012 安徽)下列函数中，不满足(2)2()f x f x =的是（ ）A.()||f x x =B.()||f x x x =-C.()1f x x =+D.()f x x =-5、(2012 江苏)函数6()12log f x x =-的定义域为6、(2010 江苏)已知函数210()10x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是【经典例题】一、函数的定义域：例1、(1)函数(1)y x x x =-+的定义域为 ； (2)函数02lg(2)(1)12x y x x x -=+-+-的定义域为 ；(3)已知函数()y f x =的定义域是[0，4]，则2(1)(3)y f x f x x =++-的定义域是变式训练：1、若函数(1)y f x =+的定义域是[-2，3），则(21)y f x =-的定义域是2、若函数1()x f x e x m=-+的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 二、函数的值域例2、分别求下列函数的值域(1)1y x =+ (2)22y x x =-+ (3)22([0,3])y x x x =-+∈ (4)213x y x +=- (5) (6)21y x x =+-变式训练：求下列函数的值域(1)246([1,5))y x x x =-+∈ (2)(0)cx d y a ax b+=≠+其中 (3)21y x x =-- (4)22225(12)1x x y x x x ++=≤≤++三、函数的解析式例3、(1)已知二次函数()f x 的最小值为4，且(2)(0)6f f ==，求()f x 的解析式(2)已知2(1)f x x x +=+,求()f x 的解析式；(3)已知2()()32f x f x x +-=+，求()f x 的解析式(4)已知函数2y x x =+与函数()y g x =的图象关于点(-2,3)对称，求()g x 的解析式(5)设()f x 是R 上的函数,且满足(0)1f =,并且对任意实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式变式训练：(1)已知2211()f x x x x +=+，求()f x ；(2)已知12()()3f x f x x+=，求()f x ；【作业】《胜券在握》P4页第1、2题；【上本作业】《胜券在握》P4页第3、4、5题.。
高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法
例12. 求函数y＝2x2＋4x的值域。
解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。
说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。
解：Y=20-2X
Y>0，即20-2X>0，X<10，
两边之和大于第三边，
2X>Y，
即2X>20-2X
4X>20
X>5。
本题定义域较难，很容易忽略X>5。
∴5
4、二次函数y＝x2－4x＋4的定义域为［a，b］（a<b），值域也是［a，b］，则区间［a，b］是（ ）
A.［0，4］B. ［1，4］C. ［1，3］D. ［3，4］
当x>2时,2/(2-x) 6≥2-x => x≥-4
∴定义域：[-4,2)
三. 解答题
10、求函数 的定义域。
11、已知 ，若f（a）＝3，求a的值。
12、已知函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝－x2＋4x，试求f（x）的表达式。
解：2f(-x)-f(x)=-x2-4x 4f(x)-2f(-x)=-2x2+8x 相加得 f(x)=-x2+4x/3
2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
例2. （1）已知 ，试求 ；
（2）已知 ，试求 ；
解：（1）由条件式，以 代x，则得 ，与条件式联立，消去 ，则得： 。
（2）由条件式，以－x代x则得： ，与条件式联立，消去 ，则得： 。
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版函数是一个数学概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
函数解析式则用代数表达式的形式表示函数的输入和输出之间的关系。
定义域是函数中所有可能的输入值的集合，而值域是函数中所有可能的输出值的集合。
常见的函数解析式包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面将逐个介绍这些函数解析式的定义域和值域的求法。
1. 线性函数：线性函数的一般形式是y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数的定义域是实数集，即(-∞, +∞)，而值域也是实数集。
2. 二次函数：二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。
对于一般的二次函数，定义域是实数集，即(-∞, +∞)。
值域则取决于二次函数的开口方向和开口点的位置。
-当a>0时，二次函数的开口向上，值域为[y0,+∞)，其中y0是二次函数的最小值。
-当a<0时，二次函数的开口向下，值域为(-∞,y0]，其中y0是二次函数的最大值。
3.指数函数：指数函数的一般形式是y=a^x，其中a是大于0且不等于1的常数。
指数函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a>1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a=1时，指数函数的值域为{1}。
4. 对数函数：对数函数的一般形式是y=log_a(x)，其中a是大于0且不等于1的常数。
对数函数的定义域是正实数集，即(0, +∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
-当a>1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
5.三角函数：常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于具体的三角函数类型。
-正弦函数的值域为[-1,1]。
-余弦函数的值域为[-1,1]。
3.1 函数定义域、值域和解析式求法小总结
函数定义域、值域和解析式求法小专题考点一：函数定义域的求法复合函数求定义域的题型：注意1：不管括号中的形式多复杂，定义域只是自变量x 的取值集合。
注意2：在同一函数f 作用下，括号内整体的取值范围相同。
题型1：已知)(x f 的定义域，求)]([x g f 的定义域；例1：已知)(x f 的定义域是]2,0[，求)12(-x f 的定义域。
1.解： )12(-x f 是由)(u f y =，12-=x u 复合而成，∴20≤≤u ，即2120≤-≤x ，∴2321≤≤x题型2：已知)]([x g f 的定义域，求)(x f 的定义域；例2：已知)12(-x f 的定义域是）（3,1-，求)(x f 的定义域。
2.解： )12(-x f 是由)(u f y =，12-=x u 复合而成，31<<-x ，∴5123<-<-x ，即53<<-u 。
题型3：已知)]([x g f 的定义域，求)]([x h f 的定义域；例3：已知)32(-x f 的定义域是]5,1[-，求)1(+x f 的定义域。
3.解： )32(-x f 是由)(u f y =，32-=x u 复合而成，51≤≤-x ，即7325≤-≤-x ，即75≤≤-u ，)1(+x f 是由)(v f y =，1+=x v 复合而成，∴75≤≤-v ，即715≤+≤-x ，即66≤≤-x 。
巩固练习：1.（1）已知函数f(x)的定义域为[1，4]，则f (x ＋2)的定义域为______________。
（2）已知函数f(2x ＋1)的定义域为(－1，0)，则f(x)的定义域为____________。
1：【解析】（1）∵1≤x ＋2≤4，∵－1≤x≤2 （2）∵－1＜x ＜0，∵－2＜2x ＜0，∵－1＜2x ＋1＜12.（1）已知函数f(x)的定义域为[－5，5]，则f (3－2x)的定义域为_______。
高一数学函数的定义域与值域的常用方法
高一数学求函数的定义域与值域的常用法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。
例1. 已知2211()x x x f x x +++=，试求()f x 。
解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2()1f t t t =-+，t ≠1。
故得：2()1,1f x x x x =-+≠。
说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。
2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。
例2. （1）已知21()2()345f x f x x x +=++，试求()f x ；（2）已知2()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得：()222845333x f x x x x =+--+。
（2）由条件式，以－x 代x 则得：2()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去()f x -，则得：()2543f x x x =-+。
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4. 求下列函数的解析式：（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ；（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f ；（3）已知x xx x x f 11)1(22++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。
【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。
函数定义域值域求法全十一种
高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式或组即得原函数的定义域;例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域; 解：要使函数有意义,则必须满足由①解得 3x -≤或5x ≥; ③由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5;故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且;例2 求函数2x 161x sin y -+=的定义域;解：要使函数有意义,则必须满足由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<- ④由③和④求公共部分,得故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，评注：③和④怎样求公共部分你会吗二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况;（1）已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域;（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是a,b 求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域;例3 已知)x (f 的定义域为－2,2,求)1x (f 2-的定义域;解：令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-;2已知)]x (g [f 的定义域,求fx 的定义域;其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是a,b,求fx 定义域的方法是：由b x a ≤≤,求gx 的值域,即所求fx 的定义域;例4 已知)1x 2(f +的定义域为1,2,求fx 的定义域;解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，;即函数fx 的定义域是}5x 3|x {≤≤;三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围;特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决;例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围; 分析：函数的定义域为R,表明0m 8mx 6mx 2≥++-,使一切x ∈R 都成立,由2x 项的系数是m,所以应分m=0或0m ≠进行讨论;解：当m=0时,函数的定义域为R ；当0m ≠时,08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式,其对一切实数x 都成立的充要条件是综上可知1m 0≤≤;评注：不少学生容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题;例6 已知函数3kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的定义域是R,求实数k 的取值范围; 解：要使函数有意义,则必须3kx 4kx 2++≠0恒成立,因为)x (f 的定义域为R,即03kx 4kx 2=++无实数①当k ≠0时,0k 34k 162<⨯-=∆恒成立,解得43k 0<<；②当k=0时,方程左边=3≠0恒成立;综上k 的取值范围是43k 0<≤;四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,并形成意识;例7 将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式,并求函数的定义域;解：设矩形一边为x,则另一边长为)x 2a (21-于是可得矩形面积;ax 21x 2+-=; 由问题的实际意义,知函数的定义域应满足2a x 0<<⇒; 故所求函数的解析式为ax 21x y 2+-=,定义域为0,2a ;例8 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式,并求定义域;解：由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图;因为CD=AB=2x,所以x CD π=⋂,所以2x x 2L 2CD AB L AD π--=--=⋂, 故2x 2x x 2L x 2y 2π+π--⋅= 根据实际问题的意义知 故函数的解析式为Lx x )22(y 2+π+-=,定义域0,2L +π; 五、参数型对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论;例9 已知)x (f 的定义域为0,1,求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域;解：因为)x (f 的定义域为0,1,即1x 0≤≤;故函数)x (F 的定义域为下列不等式组的解集：⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0,即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a 1x a a 1x a 即两个区间－a,1－a 与a,1+a 的交集,比较两个区间左、右端点,知1当0a 21≤≤-时,Fx 的定义域为}a 1x a |x {+≤≤-；2当21a 0≤≤时,Fx 的定义域为}a 1x a |x {-≤≤；3当21a >或21a -<时,上述两区间的交集为空集,此时Fx 不能构成函数; 六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集;因此,求函数的单调区间,必须先求定义域;例10 求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间;解：由03x 2x 2>++-,即03x 2x 2<--,解得3x 1<<-;即函数y 的定义域为－1,3;函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 22++-==，复合而成的; 4)1x (3x 2x t 22+--=++-=,对称轴x=1,由二次函数的单调性,可知t 在区间]1(，-∞上是增函数；在区间)1[∞+，上是减函数,而t log y 2=在其定义域上单调增； 3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，=∞+--=-∞- ,所以函数)3x 2x (log y 22++-=在区间]11(，-上是增函数,在区间)31[，上是减函数;函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;例1. 求函数x 1y =的值域;解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域;解：∵0x ≥故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一;例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域; 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时,4y min =,当1x -=时,8y max =故函数的值域是：4,83. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域;解：原函数化为关于x 的一元二次方程1当1y ≠时,R x ∈解得：23y 21≤≤ 2当y=1时,0x =,而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域;解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-1∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-,得2x 0≤≤由0≥∆,仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程1有实根,由 0≥∆求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21;可以采取如下方法进一步确定原函数的值域;∵2x 0≤≤21y ,0y min +==∴代入方程1解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时,原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除;4. 反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域;例6. 求函数6x 54x 3++值域;解：由原函数式可得：3y 5y 64x --= 则其反函数为：3x 5y 64y --=,其定义域为：53x ≠故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53,5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域;例7. 求函数1e 1e y x x +-=的值域;解：由原函数式可得：1y 1y e x -+=∵0e x > ∴01y 1y >-+ 解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-例8. 求函数3x sin xcos y -=的值域;解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-,可化为： 即1y y3)x (x sin 2+=β+ ∵R x ∈∴]1,1[)x (x sin -∈β+ 即11y y312≤+≤- 解得：42y 42≤≤- 故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,42 6. 函数单调性法例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域; 解：令1x log y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在2,10上都是增函数所以21y y y +=在2,10上是增函数当x=2时,8112log 2y 33min =-+=- 当x=10时,339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数1x 1x y --+=的值域;解：原函数可化为：1x 1x 2y -++= 令1x y ,1x y 21-=+=,显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =,2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数 所以当x=1时,21y y y +=有最小值2,原函数有最大值222=显然0y >,故原函数的值域为]2,0(7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用;例11. 求函数1x x y -+=的值域;解：令t 1x =-,)0t (≥则1t x 2+= ∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥,由二次函数的性质可知当0t =时,1y min =当0t →时,+∞→y故函数的值域为),1[+∞例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域;解：因0)1x (12≥+-即1)1x (2≤+ 故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+ ∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β= ∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0故所求函数的值域为]21,0[+例13. 求函数1x 2x x x y 243++-=的值域;解：原函数可变形为：222x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯=可令β=tg x ,则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2 当82k π-π=β时,41y max = 当82k π+π=β时,41y min -=而此时βtan 有意义; 故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域;解：)1x )(cos 1x (sin y ++=令t x cos x sin =+,则)1t (21x cos x sin 2-= 由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+= 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 可得：2t 22≤≤ ∴当2t =时,223y max +=,当22t =时,2243y +=故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++223,2243; 例15. 求函数2x 54x y -++=的值域; 解：由0x 52≥-,可得5|x |≤故可令],0[,cos 5x π∈ββ=∵π≤β≤0当4/π=β时,104y max +=当π=β时,54y min -=故所求函数的值域为：]104,54[+-8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目; 例16. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域;解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点Px 到定点A2,)8(B -间的距离之和;由上图可知,当点P 在线段AB 上时,10|AB ||8x ||2x |y ==++-=当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时,10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域;解：原函数可变形为：上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和,由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,43)12()23(|AB |y 22min =+++==, 故所求函数的值域为],43[+∞例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域; 解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=上式可看成定点A3,2到点Px,0的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差; 即：|BP ||AP |y -=由图可知：1当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点'P ,则构成'ABP ∆,根据三角形两边之差小于第三边,有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<- 即：26y 26<<-2当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有26|AB |||BP ||AP ||==-综上所述,可知函数的值域为：]26,26(-注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A 、B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B 两点在x 轴的同侧;如：例17的A,B 两点坐标分别为：3,2,)1,2(--,在x 轴的同侧；例18的A,B 两点坐标分别为3,2,)1,2(-,在x 轴的同侧;9. 不等式法利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧;例19. 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域;解：原函数变形为：当且仅当x cot x tan =即当4k x π±π=时)z k (∈,等号成立 故原函数的值域为：),5[+∞ 例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域;解：x cos x sin x sin 4y =当且仅当x sin 22x sin 22-=,即当32x sin 2=时,等号成立; 由2764y 2≤可得：938y 938≤≤-故原函数的值域为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-938,938 10. 一一映射法原理：因为)0c (d cx b ax y ≠++=在定义域上x与y 是一一对应的;故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围;例21. 求函数1x 2x31y +-=的值域; 解：∵定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<21x 21x |x 或 由1x 2x 31y +-=得3y 2y 1x +-= 故213y 2y 1x ->+-=或213y 2y 1x -<+-=解得23y 23y ->-<或 故函数的值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, 11. 多种方法综合运用例22. 求函数3x 2x y ++=的值域;解：令)0t (2x t ≥+=,则1t 3x 2+=+1当0t >时,21t 1t 11t t y 2≤+=+=,当且仅当t=1,即1x -=时取等号,所以21y 0≤< 2当t=0时,y=0; 综上所述,函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0注：先换元,后用不等式法例23. 求函数42432x x 21x x x 2x 1y ++++-+=的值域; 解：4234242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-= 令2tan x β=,则β=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2222cos x 1x 1 ∴当41sin =β时,1617y max = 当1sin -=β时,2y min -=此时2tan β都存在,故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1617,2 注：此题先用换元法,后用配方法,然后再运用βsin 的有界性;总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法;。
函数的概念、定义域、解析式
函数的概念、定义域、函数相等、解析式求法一、函数概念1.设A 、B 是非空集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(。
其中x 叫作自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫作定义域。
与x 对应的y 叫作因变量，}|)({A x x f y ∈=叫作函数的值域。
2.一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域。
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等。
3.函数三种表示方法：解析法、图像法、列表法。
具体函数定义域的求法：（1）分母不能为零。
（2）偶次方根的被开方数不小于零。
（3）零次方时底数不能为零。
（4）对数函数真数大于零。
4.抽象函数定义域的求法：（1）定义域指的是x 的取值范围。
（2）括号内的范围相同。
①已知)(x f 的定义域，求复合函数)]([x g f 的定义域。
若)(x f 的定义域为),(b a x ∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
②已知复合函数)]([x g f 的定义域，求)(x f 的定义域。
若)]([x g f 的定义域为),(b a x ∈，则由b x a <<确定)(x g 的值域，即为)(x f 的定义域。
③已知复合函数)]([x g f 的定义域，求)]([x h f 的定义域。
可由)]([x g f 的定义域（x 所对应的范围）求得)(x g 的值域，再由)(x g 的值域就是)(x h 的值域，从而求得)(x h 中x 所对应的范围，即为)]([x h f 的定义域。
5.函数解析式的求法（1）直接代入法 （2）换元法（配凑法）（3）待定系数法 （4）方程组法题型一 求具体函数的定义域例题1 求下列函数的定义域，并用区间表示。
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函数定义域，值域，解析式
教学目标：掌握不同函数定义域和值域的求解方法，并且能够熟练使用。
重点、难点：不同类型函数定义域，值域的求解方法。
考点及考试要求：函数的考纲要求
教学内容：常见函数的定义域，值域，解析式的求解方法：
记作D x x f y ∈=),(，x 叫做自变量，y 叫做因变量，x 的取值范围D 叫做定义域，和x 值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
定义域的解法：
1.求函数的定义域时，一般要转化为解不等式或不等式组的问题，但应注意逻辑连结词的运用；
2．求定义域时最常见的有：分母不为零，偶次根号下的被开方数大于等于零，零次幂底数不为零等。
3．定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示
值域的解法：
1． 分析法，即由定义域和对应法则直接分析出值域
2． 配方法，对于二次三项式函数
3． 判别式法，分式的分子与分母中有一个一元二次式，可采用判别式法，但因考虑二次项
系数是否为零只有二次项系数不为零时，才能运用判别式
4． 换元法，适合形如y ax b =+此外还可以用反函数法等求函数的值域，数形结合法，有界性法等求函数的值域 函数解析式的求法：
1． 换元法
2． 解方程组法
3． 待定系数法
4．特殊值法
求函数的定义域
一、 基本类型：
1、 求下列函数的定义域。
（1）12)(-+=x x x f （2）x
x x x f -+=0)1()(
（3） 111--=
x y （4）()f x =
二、复合函数的定义域
1、 若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域
2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2)()1
f x
g x x =
-的定义域
2、 函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域
3、 函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是
求函数的值域
一、二次函数法
（1）求二次函数2
32y x x =-+的值域
（2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域.
二、换元法：
（1） 求函数y x =+
三．
部分分式法 求2
1+-=x x y 的值域。
解：（反解x 法）
四、判别式法
（1）求函数22221
x x y x x -+=++；的值域
2）已知函数21
ax b y x +=
+的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。
五：有界性法： （1）求函数
1e 1e y x x +-=的值域
六、数形结合法---扩展到n 个相加
（1）|1||4|y x x =-++（中间为减号的情况？）
求解析式
换元法
已知23,f x =-求 f (x ).
解方程组法
设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （
x
1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式.
一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y
+=+++求()f x 。
令x=0，y=2x
待定系数法
设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ).
课堂练习：
1．函数1211)(22+-+++=
x x x x x f 的定义域为
2．函数()f x =
的定义域为
3．已知)2(x f 的定义域为[0,8]，则(3)f x 的定义域为
4．求函数542+-=x x y ，]4,1(∈x 的值域
5．求函数)(x f ＝x x
213+-（x ≥0）的值域
6.求函数322
322-++-=x x x x y 的值域
7已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.
8已知 2f (x )+f (-x )=10x , 求 f (x ).
9已知f {f [f (x )]}=27x +13, 且f (x )是一次式, 求f (x ).
三、回家作业：
1．求函数y ＝()022x x -+
要求：选择题要在旁边写出具体过程。
2．下列函数中，与函数y x =相同的函数是
（ C ）
()A 2
x y x =()B 2y =()C lg10x y =()D 2log 2x
y =
3．若函数)23(x f -的定义域为[－1，2]，则函数)(x f 的定义域是（ C ）
A ．]1,25[--
B ．[－1，2]
C ．[－1，5]
D ．]2,2
1
[ 4，设函数⎩⎨⎧<≥-=)1(1
)1(1)(x x x x f ，则)))2(((f f f =（ B ） A ．0 B ．1 C ．2
D ．2 5．下面各组函数中为相同函数的是（ D ）
A ．1)(,)1()(2-=-=x x g x x f
B ．11)(,1)(2-+=-=x x x g x x f
C ．22)1()(,)1()(-=-=x x g x x f
D ．2
1)(,21)(22+-=+-=x x x g x x x f 6.若函数)(},4|{}0|{1
13)(x f y y y y x x x f 则的值域是≥⋃≤--=
的定义域是(B) A ．]3,31[ B ．]3,1()1,31[⋃ C ．),3[]3
1,(+∞-∞或 D ．[3,+∞) 7．若函数3
412++-=
mx mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ C ） A ．]43,0( B ．)43,0( C ．]43,0[ D ．)43,0[ 8、已知函数322
+-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( D )
A 、[ 1，+∞）
B 、[0，2]
C 、（-∞，2]
D 、[1，2]
9．已知函数的值域12
79,4322+--=-+=x x x y x x y 分别是集合P 、Q ，则（ C ） A ．p ⊂Q B ．P=Q
C ．P ⊃Q
D ．以上答案都不对 10．求下列函数的值域： ①)1(3553>-+=
x x x y ②y=|x+5|+|x-6| ③242++--=x x y
④x x y 21-+=⑤422+-=x x x y 3{|}5
[11,)
5[,4]2
[1,)
11[,]62
y y ≠+∞+∞- 11、已知函数)0(1
2)(22<+++=b x c bx x x f 的值域为]3,1[，求实数c b ,的值。
12.已知f （x
x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式.
13.若 3f (x -1)+2f (1-x )=2x , 求 f (x ).
14.设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ， 有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.
家庭作业答案：
1．4
(,)(0,2)(2,)3-∞-+∞
2.—9:C,C,B,D,B,D,C 10.3{|}5y y ≠,[11,)+∞,5
[,4]2,[1,)+∞,11[,]62-
11.c=2,b=-1
12.2()1f x x x =-+ 13.17()55f x x =+
14.2()1f x x x =++。