高中数学选择性必修三精讲精炼本册综合测试(基础)(含答案)

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高中数学选择性必修三 6 3 二项式定理(精讲)(含答案)

6.3 二项式定理（精讲）考法一二项式定理展开式【例1】(1)求4的展开式为．（2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=，则n的值为【答案】（1）1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2【解析】（1）方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.（2）由012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=得()()()()()0120312312301414141414729nn n n n n nn n n n C C C C C ---⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅-⋅-+++=⋅则()12479n-=，即()()672933n =-=-，解得6n =.【一隅三反】1．（2021·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( ) A ．(2x+2)5 B ．2x 5 C ．(2x-1)5 D ．32x 5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作()()55211rrrC x -+-，故为()5211x ⎡⎤+-⎣⎦的展开式，化简()()555211232x x x ⎡⎤+-==⎣⎦.故选D. 2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：2012222412333...3n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=_________.【答案】101n -【解析】()()()()112021211212(31)3131 (3)131n n n n n n n n nnnC C CC ----+=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯则2012222412233331(31)10n n n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅+=+=所以2012222412333...3101nn n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=-故答案为：101n -.考法二二项式指定项的系数与二项式系数【例2】（1）（2020·全国高二单元测试）在(x 10的展开式中，x 6的系数是（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是______（用数字作答）（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考）30的有理项共有项【答案】（1）9410C （2）70（3）6【解析】（1）由T k +1=10kC x 10-k (k ，令10-k =6，解得k =4，∴系数为(4410C =9410C（2）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式8821881r r r rr r T C x C x x --+==，令820r -=，得4r =,则常数项为4588765==704321T C ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，故答案为：70（3）30的通项公式为：53010613030rrrrr r T C C x --+==，061051730300,,6,r T x r T x C C ====， 12180513********,,18,r T x r T x C C -====，243010152531303024,,30,r T x r T x C C --====，所以有理项共有6项，故选：C 【一隅三反】1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T Cx C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.2.（2021·上海青浦区）在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中，常数项是_______. 【答案】60【解析】展开式的通项公式是()626123166122rrrr rr r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，当1230r -=时，4r = 24416260T C +=⋅=.故答案为603.．（2020·青海西宁市）若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______. 【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式可得：4888331888=rr r r r r r r r r r T C x C a x C a x ----+==，令4843r -=，可得3r =，3388==7r r C a C a ，解得：12a =，故答案为：124．（2020·梁河县）已知31(2)n x x+的展开式的常数项是第7项，则n =________.【答案】8【解析】根据题意，可知第7项为()666366324122n n n n n C xC x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，而常数项是第7项，则 3240n -=，故8n =.故答案为：8.考法三多项式系数或二项式系数【例3】（1）（2020·福建三明市·高二期末）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（） A ．-252B ．-220C ．220D ．252（2）．（2021·四川成都市）若5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为80-，则a =（）A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】（1）A （2）C 【解析】(1）由2510211(2)()x x x x+-=-，可得二项式101()x x-的展开式通项为10102110101()(1)rrr r r r r T C xC x x--+=-=-，令1020r -=，解得=5r ，所以展开式的常数项为5510(1)252C -=-.故选：A.（2）5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为：55251(1)r r r r r T C a x--+=⋅⋅⋅-，显然，25r -为奇数，若求5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项，251r ∴-=-，解得2r故5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项等于：23580C a ⋅=-2a ∴=-故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【解析】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421()(1)r r rr T C x x-+=+- 421()r x x-+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x -----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r = 系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-= 当1m =时，1r = 系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=- 故答案选B2．（2020·全国高三专题练习）52431x xx ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为( )A ．30-B ．30C ．25-D ．25【答案】C【解析】51⎛- ⎝ 的通项为15(1)r r r r T C +=-， 55224311x x x x ⎛⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎝ 554311xx ⎛⎛--+ ⎝⎝，根据式子可知当4r = 或2r时有常数项，令4r =41455(1)T C ⇒=- ; 令232352(1)r T C =⇒=-;故所求常数项为13553C C -⨯53025=-=- ，故选C.3．（2020·河南商丘市）()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为（）A ．6B ．10C ．15D ．16【答案】D【解析】由题意得611x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()160,1,2,,6r r r T C x r -+=⋅=⋅⋅⋅，令4r =，则4615C =，所以()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为11516+=.故选：D. 4．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在1020201(1)x x++的展开式中，x 2项的系数为（） A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】B【解析】在1020201(1)x x ++的展开式中，通项公式为T r +110rC =•20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.对于20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，通项公式为T k +1kr C =•x r ﹣2021k ，k ≤r ，r 、k ∈N ，r ≤10.令r ﹣2021k ＝2，可得r ＝2+2021k ，故k ＝0，r ＝2，故x 2项的系数为210C •02C =45，故选：B .5．（2020·全国高二专题练习）若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则a 等于（） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为()10101022111x a x x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据二项式定理展开式通项为1C rn rrr nT a b -+=,101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为10102110101rr r r r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭令1024r-= 解得3r =所以6x 的项为234610120x C xx ⋅=令1026r -=解得2r所以6x 的项为2661045a C x ax -⋅=-综上可知, 6x 的系数为1204530a -= 解得2a = 故选:D考法四二项式定理的性质【例2】（1）（多选）（2020·全国高二单元测试）111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是（）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项（2）（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为（）.A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项（3）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】（1）BC （2）BC （3）D【解析】(1）因为n ＝11为奇数，所以展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC（2）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC（3）∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =. 121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ．【一隅三反】1．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）在()()1nx n N +-∈的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n⎛⎝的二项展开式中的常数项为（）A ．960B ．1120C ．-560D ．-960【答案】B【解析】在（x ﹣1）n （n ∈N +）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则n=8⎛ ⎝的二项展开式的通项公式为T r+1=8r C •28﹣r•（﹣1）r •x 4﹣r ，令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为48C •24•（﹣1）4=1120，故选B ．2．（2021·湖南常德市）(ax +1x )(2x −1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）A ．B ．C ．10D ．20【答案】C【解析】由已知，当x =1时，(a +11)(2−1)5=2,即a =1，所以(x +1x )(2x −1)5展开式中常数项为1x ×C 542x ×(−1)4=10，故选C . 3．（多选）（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】ABC【解析】∵已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数4n C 最大,则7n =或n ＝8或n ＝9故选：ABC .4．（2020·全国高二课时练习）已知6(31)x +展开式中各项系数的和为m ，且2log n m =，求2nx ⎫⎪⎭展开式中二项式系数最大的项的系数 . 【答案】59136【解析】设6260126(31)x a a x a x a x +=++++，令1x =，得6612(31)42m =+==，所以2log 12n m ==，则122x ⎫⎪⎭展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为6666633712122(2)59136T C C x x x --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故所求的系数为59136.5．（2020·重庆市第七中学校高二月考）二项式()*122nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________．【答案】-20【解析】由题意知，展开式中有7项，6n =．因为()661122rrrTr C x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()6262612r r r rC x --=- 令620r -=，得3r =，所以常数项为()336120C -=-．考法五二项式系数或系数和【例5】（2020·安徽省泗县）若2701277()(12)f x x a a x a x a x =+=++++.求：（1）017a a a ++⋯+；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++.【答案】（1）27；（2）14；（3）27.【解析】（1）令1x =，可得301235674()3271f a a a a a a a a ==+++++++=，∴4012356727a a a a a a a a ++++++=+．①（2）令1x =-可得301235674(1)(1)f a a a a a a a a -=-=-+-+-+-，∴401235671a a a a a a a a +-+-+-=--．② 由①-②得13572()28a a a a +++=， ∴135714a a a a +++=．（3）由题意得二项式7(12)x +展开式的通项为177(2)2r r r r r r T C x C x +==，∴每项的系数0(0,1,2,,7)i a i >=，∴01235017647227a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=+．【一隅三反】1．（2020·北京朝阳区·高二期末）在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______. 【答案】32 243【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为52232n ==，令1x =可得所有项的系数之和为55(211)3243==⨯+，故答案为：32，2432．（2020·全国高二单元测试）若－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝【答案】1【解析】令1x =，得)1001101a a a +++=，令1x =-，得)100123101a a a a a -+-++=，()()220210139a a a a a a +++-+++()()0110012310a a a a a a a a =+++-+-++))1010111==.故选：A.3．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中）已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.【答案】22【解析】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导，得101222(12)2x a a x+=+91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.4．（2020·宁县第二中学高二期中）设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求012n a a a a ++++; （3）求.312232222n na a a a ++++. 【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1.【解析】（1）由二项式系数的对称性，1101020182n n +=∴= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++= （3）令0x = ，得20180(10)1a =-=，令12x =，得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=，故3201812023201812222a a a a a +++=-=-.考法六二项式定理运用【例6】（1）（2020·上海市七宝中学高二期中）7271除以100的余数是________（2）（2020·全国高二单元测试）6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________【答案】（1）41（2）1.34【解析】（1）()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈2105041m =+ 即7271除以100的余数为41．故答案为：41．（2）()()66122661.0510.051+0.05+0.05+1+0.3+0.0375=1.3375 1.34C C =+=⋅⋅≈≈故答案为：1.34【一隅三反】1．（2020·四川棠湖中学高二月考）已知202074a +能够被15整除，则a =________.【答案】14【解析】由题可知，()0202020275714=-()()()()0120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+- 0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++，而75能被15整除，要使202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可，所以115a +=，解得：14a =.故答案为：14.2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中）83被5除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求80885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数，因为2565151=⨯+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：13．（2021·河北保定市）60.99的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】()()()()6620126666330.9910.0110.010.010.01...C C C C =-=⨯-⨯+⨯-⨯ 10.060.00150.00002...=-+- 0.941≈故选B。

高中数学选修三综合测试题题型总结及解题方法(带答案)

高中数学选修三综合测试题题型总结及解题方法单选题1、有甲､乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票3张有奖票，乙箱中有4张无奖票2张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，则最后抽到有奖票的概率是（） A ．27B ．514C ．730D ．57 答案：B分析：先分为在甲箱中抽出一张有奖票放入乙箱和在甲箱中抽出一张无奖票放入乙箱，进而结合条件概率求概率的方法求得答案.记B 1表示在甲箱中抽出一张有奖票放进乙箱，B 2表示在甲箱中抽出一张无奖票放进乙箱，A 表示最后抽到有奖票.所以P (B 1)=36=12,P (A|B 1)=37，P (B 2)=36=12,P (A|B 2)=27，于是P (A )=37×12+27×12=514. 故选：B.2、某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（） A ．0.2B ．0.25 C ．0.4D ．0.8 答案：B分析：根据正态分布的对称性得到对称轴为ξ=4，得到摄像头在4年内能正常工作的概率为12，再计算概率得到答案.P (ξ≥2)=0.8，P (ξ≥6)=0.2，所以P (ξ<2)=P (ξ>6)=0.2. 所以正态分布曲线的对称轴为ξ=4，即P (ξ≤4)=12，即一个摄像头在4年内能正常工作的概率为12.所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为12×12=14.故选：B.3、某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X∼N(μ1,σ12)，Y∼N(μ2,σ22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（）A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值答案：A分析：根据正态分布密度曲线的对称轴为x=μ，图像越瘦高数据越稳定可得.由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.故选：A4、在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（）A．11位B．12位C．13位D．14位答案：B，由每场得分为2，即总得分只能为偶数，结合题设列方程求n 分析：设参赛选手共有n位，则总场次为n(n−1)2值，并判断n值的合理性即可.设参赛选手共有n位，则总比赛场次为C n2，即n(n−1)场，且n∈N+，n≥2，2由题意知：任意一场比赛结束，选手的总得分为2分，故所有选手总得分为n(n−1)分且为偶数，∴当n(n−1)=132，得n=12；当n(n−1)=134，n无整数解；∴n=12(位).故选：B.小提示：关键点点睛：根据每场得分为2易知总得分为偶数，设参赛人数为n，利用组合数求比赛总场次，列方程求参赛人数.5、(1+x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为（）A．5B．10C．15D．20答案：C分析：先求出项式(1+x)5的展开式的通项为C5r x r，进而可以求出(1+x2)(1+x)5的展开式中含x4的项，由此即可求出结果.因为二项式(1+x)5的展开式的通项为C5r x r，所以(1+x2)(1+x)5的展开式中含x4的项为1×C54x4+x2×C52x2=15x4，所以x4的系数为15.故选：C．6、第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）A．0.75B．0.7C．0.56D．0.38答案：A分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.设A1=“第1天去A餐厅用餐”，B1=“第1天去B餐厅用餐”，A2=“第2天去A餐厅用餐”，则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得：P(A1)=P(B1)=0.5，P(A2|A1)=0.7，P(A2|B1)=0.8，则P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.7+0.5×0.8=0.75.故选：A.7、某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图．下面关于相关系数的比较，正确的是（）A ．r 4<r 2<r 1<r 3B ．r 2<r 4<r 1<r 3C ．r 2<r 4<r 3<r 1D ．r 4<r 2<r 3<r 1 答案：C分析：根据散点图的分布可得相关性的强弱，即可比较大小.由图可知：r 3，r 1所对应的图中的散点呈现正相关，而且r 1对应的相关性比r 3对应的相关性要强，故0<r 3<r 1，r 2，r 4所对应的图中的散点呈现负相关，且根据散点的分布情况可知r 2<r 4<0,因此r 2<r 4<r 3<r 1，故选：C8、在(x2−y)(x +y )6的展开式中，x 3y 4的系数是（） A ．20B ．152C ．−5D ．−252 答案：D解析：根据(x2−y)(x +y )6=x2(x +y )6−y (x +y )6，转化为求(x +y )6的展开式x 2y 4和x 3y 3的系数，求出通项即可得到答案.(x2−y)(x +y )6=x2(x +y )6−y (x +y )6，(x +y )6的展开式的通项是T r+1=C 6r x 6−r y r ，令6−r =2，则r =4，则(x +y )6的展开式中x 2y 4的系数为C 64=15，令6−r =3，则r =3，则(x +y )6的展开式中x 3y 3的系数为C 63=20，故(x 2−y)(x +y )6展开式中x 3y 4的系数是12×15−20=−252. 故选：D.小提示：本题考查二项展开式中指定项系数的求解，属于基础题. 多选题9、对于m,n ∈N ∗关于下列排列组合数，结论正确的是（）A ．C n m =C n n−mB ．C n+1m =C n m−1+C n m C ．A n m =C n m A m m D ．A n+1m+1=(m +1)A n m答案：ABC分析：利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答.对于A ，由组合数的性质知，C n m =C nn−m 成立，A 正确；对于B ，C n m−1+C n m =n!(m−1)!(n−m+1)!+n!m!(n−m)!=m⋅n!m!(n−m+1)!+(n−m+1)⋅n!m!(n−m+1)! =(n+1)!m!(n−m+1)!=C n+1m ，B 正确；对于C ，因C n m =A n m A mm ，因此A n m =C n m A m m成立，C 正确；对于D ，因A n+1m+1A nm =(n+1)!(n−m)!⋅(n−m)!n!=n +1≠(m +1)，即A n+1m+1=(m +1)A n m不成立，D 不正确.故选：ABC10、“杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献．某水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：cm ）服从正态分布，其密度函数为φ(x)=10√2π−(x−100)2200,x ∈(−∞,+∞)，则下列说法正确的是（）A ．该地水稻的平均株高为100cmB ．该地水稻株高的方差为10C ．该地水稻株高在120cm 以上的数量和株高在80cm 以下的数量一样多D ．随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)（单位：cm ）的概率一样大答案：AC解析：根据密度函数为φ(x)=10√2π⋅e−(x−100)230，易知μ=100,σ=10可判断AB ，根据正态曲线的对称性可判断CD.因为密度函数为φ(x)=10√2πe−(x−100)230，所以μ=100,σ=10，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知C正确，D错误．故选：AC．11、为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有（）A．被调查的学生中喜欢登山的男生人数比不喜欢登山的女生人数多B．被调查的男生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多C．是否有99%的把握认为喜欢登山和性别有关不会受到被调查的男女生人数影响D．是否有99%的把握认为喜欢登山和性别有关会受到被调查的男女生人数影响答案：BD分析：根据统计图，结合图中所提供的数据逐一判断即可.因为不知道被调查的学生中，男生与女生的人数，所以不能确定喜欢登山的男生人数比不喜欢登山的女生人数多，因此选项A不正确；由统计图中可以确定被调查的男生中喜欢登山的人数的百分比为80%，所以被调查的男生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多，因此选项B正确；因为不知道被调查的学生中，男生与女生的人数，所以不能由卡方公式进行计算判断，所以选项C不正确，选项D正确，故选：BD 填空题12、若二项式(1+2x )n (n ∈N*)的展开式中所有项的系数和为243，则该二项式展开式中含有x 3项的系数为__________．答案：80解析：令x =1，可得3n =243解得n =5，再写出二项式展开式的通项，令x 的指数位置等于3即可求解. 令x =1，可得3n =243，解得：n =5，所以(1+2x )5的展开式通项为：T k+1=C 5k 2k x k，令k =3可得T 4=C 5323x 3=80x 3，所以该二项式展开式中含有x 3项的系数为80. 所以答案是：80.13、某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等9名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天．现要求甲、乙、丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为__________．（请算出实际数值）答案：37200分析：根据给定条件分两类，再用分步乘法计数原理，排列，组合分类计算作答. 计算不同的安排数有两类办法：(1)甲、乙、丙中只选两人，有C 32种选法，再从余下6人中任选4人有C 64选法，将选取的6人安排到周一到周六有A 66种，因此，共有不同安排种数为:C 32C 64A 66，(2)当甲、乙、丙三人都参加时，从余下6人中任选3人有C 63选法，周一到周六中取3天安排甲、乙、丙且丙在甲乙之间有C 63A 22种，另3天安排所选3人有A 33种，共有不同安排数为：C 63(C 63A 22)A 33，由分类加法计数原理得：共有不同的安排数为C 32C 64A 66+C 63(C 63A 22)A 33=3×15×720+20×20×2×6=37200．故答案为:37200.14、随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为_________．答案：572分析：根据题意求出5家快递公司进行排名与测试之前的排名，比较出现2家公司排名不变的概率，根据题意可知满足二项分布，根据二项分布概率公式计算即可.首先，在一轮测试中5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率为C 52×2A 55=20120=16，其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为P =16，故3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为C 32×(16)2×56=572.所以答案是：572．解答题15、某药厂主要从事治疗某种呼吸道慢性疾病B 的药物的研发和生产.在研发过程中，为了考察药物A 对治疗慢性呼吸道疾病B 的效果，对200个志愿者进行了药物试验，根据统计结果，得到如下2×2列联表.(2)该药厂研制了一种新药，宣称对治疗疾病B 的有效率为90%，随机选择了5个病人，经过该药治疗后，治愈的人数不超过3人，你是否怀疑该药厂的宣传？并说明理由. 附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，n =a +b +c +d .答案：(1)列联表答案见解析，没有90%的把握，理由见解析；(2)可以不怀疑，理由见解析.分析：（1）完善2×2列联表，计算K2的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）根据随机事件的定义可得出结论.(1)解：2×2列联表如下：K2=≈2.667<2.706，50×150×100×100所有没有90%的把握认为药物A对治疗慢性呼吸道疾病B有效.(2)解：因为治愈人数不超过3人为一个随机事件，在某一次试验中可能发生.所以，可以不怀疑.。

高中数学选择性必修三 7 1 条件概率及全概率(精讲)(含答案)

7.1 条件概率及全概率（精讲）考法一条件概率【例1】（1）（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期末）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M 为“两次所得点数均为奇数”，N 为“至少有一次点数是5”，则()P N M 等于（） A ．23B ．59C ．12D ．13（2）（2020·全国高三专题练习）袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（） A ．3/5B ．3/4C ．1/2D ．3/10【答案】（1）B （2）C【解析】（1）事件M 为“两次所得点数均为奇数”，则事件为()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，故()9n M =；N 为“至少有一次点数是5”，则事件MN 为()1,5，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，()5n MN =，所以()59P N M =.故选：B . （2）记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”，则事件AB 为“两次都取到白球”，依题意知3()5P A =，3263()542010P AB =⨯==，所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是3110()325P B A ==．故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S .在已知S 为偶数的情况下，S 能被3整除的概率为（） A ．14B ．13C ．512D ．23【答案】B【解析】记“S 能被3整除”为事件A ，“S 为偶数”为事件B ，事件B 包括的基本事件有{1}3，，{1}5，，{3}5，，{24}，，{26}，，{46}，共6个. 事件AB 包括的基本事件有{1}5，、{24}，共2个. 则()21(|)()63n AB P A B n B ===，故选:B .2．（2020·河北沧州市·高二期中）盒中有10个零件，其中8个是合格品，2个是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1个．已知第一次抽出的是合格品，则第二次抽出的是合格品的概率是（） A ．15B ．29C ．79D ．710【答案】C【解析】设第一次抽到的是合格品，设为事件A ，第二次抽到的是合格品，设为事件B ，则()()()()()877899P AB n AB P B A P A n A ⨯====⨯.故选：C3．（2020·全国高三专题练习）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“恰有2名同学所报项目相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()|P B A =（）A ．16B ．13C ．23D ．56【答案】A【解析】事件AB 为“4名同学所报项目恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”.()2143421439C C P A ⨯⨯== , ()21324112327C C P AB ⨯⨯== 所以()()()2127|469P AB P B A P A === 故选：A4．（2020·北海市教育教学研究室高二期末（理））根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在下雨条件下吹东风的概率为（） A ．25B ．89C ．811D ．911【答案】C【解析】在下雨条件下吹东风的概率为8830=111130，选C考法二全概率公式【例2】．（2020·全国高二课时练习）设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民患肺结核的概率为0.1%.若从该城市居民中随机地选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率. 【答案】4751474【解析】设A 表示“被诊断为肺结核”，C 表示“患有肺结核”. 由题意得，()0.001,()0.999P C P C ==，()0.95,()0.002P A C P A C ==∣∣. 由贝叶斯公式知，()()475()()()()()1474P C P A C P CA P C P A C P C P A C ==+∣∣∣∣.【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有()|P A C 0.95=，()|0.95P A C =.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即()0.005P C =，试求()|P C A . 【答案】19218【解析】因为()|0.95P A C =，所以()|1P A C =-()|0.05P A C =，因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，所以由全概率公式可得()()()()()||P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅，因为()P AC =()|P C A ()P A ()()|P A C P C = 所以()|P C A ()()()|()0.950.005190.950.0050.050.995218|()|()P A C P C P A C P C P A C P C ⨯===⨯+⨯+.。

2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第三册) 7

7.3 离散型随机变量的数字特征(精练)【题组一均值方差的性质(小题】1．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量ξ的分布列为则()54E ξ+等于( ) A ．2.2 B ．2.3C ．11D ．132．(2021·安徽·定远县育才学校高二期末(理))已知随机变量X 的分布列如下：若随机变量31X η=-，则()E η为( ) A ．42． B ．189． C ．53．D ．随m 变化而变化3．(2021·全国·高二课时练习)将3个球(形状相同，编号不同)随机地投入编号为1、2、3、4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码(3ξ=表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球)，则()E ξ、(21)E ξ+分别等于( ) A ．2516、258B ．2516、338 C ．32、3D ．32、44(2021·全国·高二单元测试)随机变量X 的概率分布为()()()1,2,31aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则()E aX =( )A ．3881B ．139C ．152243D ．52275．(2021·全国·高二课时练习)若p 为非负实数，随机变量ξ的分布列为则()E ξ的最大值为( ) A ．1 B ．32C ．23D ．26．(2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二月考)已知一组数据123456,,,,,x x x x x x 的方差是1，那么另一组数据121x -，221x -，321x -，421x -，521x -，621x -的方差是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．(2021·全国·高二课时练习)设随机变量X 的方差()1D X =，则()21D X +的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．(2021·全国·高二课时练习)已知A 1，A 2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过考试的高校个数为随机变量X ，则D (X )＝( ) A ．316B ．54C ．2564D ．19649(2021·全国·高二课时练习)若随机变量X 的分布列为P (X ＝m )＝13，P (X ＝n )＝a ，若E (X )＝2，则D (X )的最小值等于( ) A ．0 B ．1 C ．4 D ．210．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( )A ．6B ．8C ．18D ．2011．(2021·全国·高二课时练习)(多选)下列说法正确的有( ) A ．离散型随机变量X 的期望()E X 反映了X 取值的平均水平 B ．离散型随机变量X 的期望()E X 反映了X 取值的波动水平 C ．离散型随机变量X 的方差()D X 反映了X 取值的平均水平 D ．离散型随机变量X 的方差()D X 反映了X 取值的波动水平12．(2021·全国·高二学业考试)(多选)已知随机变量ξ满足()103P ξ==，()1P x ξ==，()223P x ξ==-，若203x <<，则( ) A ．()E ξ有最大值 B ．()E ξ无最小值 C ．()D ξ有最大值 D ．()D ξ无最小值13．(2021·全国·高二课时练习)(多选)若随机变量X 服从两点分布，且()104P X ==，则( ) A ．()()1P X E X == B ．()413E X += C ．()316D X = D ．()414D X +=14．(2021·江苏江都·高二月考)(多选)设随机变量X 的分布列为，其中0ab ≠，则下列说法正确的是( )A ．1a b +=B ．()E X b =C ．()D X 随b 的增大先增大后减小 D ．()D X 有最小值15．(2021·福建·浦城县第三中学高二期中)(多选)已知随机变量X 满足(23)7E X +=，(23)16D X +=，则下列选项错误的是( ) A ．()72E X =，()132D X = B ．()2E X =，()4D X = C ．()2E X =，()8D X = D ．7()4E X =，()8D X =【题组二均值方差的应用(解答题】1(2021·全国·高二课时练习)如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列、数学期望与方差．2．(2021·全国·高二课时练习)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是国家重要的空间信息基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.如图是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值(单位：万元)的频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；(2)在上述40个城市中任选2个，设Y 为产值小于500万元的城市个数，求Y 的分布列､期望和方差.3．(2021·全国·高二课时练习)袋中有20个除标号不同外其他完全相同的球，其中标号为0的有10个，标号为n 的有()1,2,3,4n n =个.现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.求ξ的分布列､数学期望､方差和标准差.4．(2021·全国·高二课时练习)某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同). (1)求m ，n 的值；(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、均值及方差.5．(2021·全国·高二课时练习)某市教育局为了了解高三学生的体育达标情况，随机抽取了100名高三学生的体育成绩进行调研，按成绩(单位：分)分组：第1组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[]95,100，得到的频率分布直方图如图所示.现要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行复查.(1)已知学生甲和学生乙的成绩均在第4组，求学生甲和学生乙至少有1人进行复查的概率；(2)从抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第3组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求ξ的分布列、数学期望和方差..6．(2021·全国·高二课时练习)已知在某公司年会上，甲、乙等6人分别要进行节目表演，若采用抽签的方式确定每个人的演出顺序(序号：为1，2，，6)，求：(1)甲、乙两人的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两人之间的演出节目的个数ξ的分布列、数学期望与方差．【题组三均值方差做决策】1．(2021·江苏·南京市人民中学高二月考)某地已知6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血液检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染，拟采用两种方案检测：方案甲；将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.(1)求甲方案所通检测次数X和乙方案所需检测次数Y的概率分布；(2)如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由.2．(2021·全国·高二课时练习)某商店欲购进某种食品(保质期为两天)，且该商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品是刚生产的).根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响.为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量，如下表：(1)根据该食品在本地区100天的销售量统计表，记两天一共销售该食品的份数为ξ，求ξ的分布列与数学期望；(视样本频率为概率)(2)以两天内该食品所获得的利润的数学期望为决策依据，若该商店计划一次性购进32份或33份该食品，试判断哪一种获得的利润更高.3．(2021·全国·高二课时练习)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，…，8，其中5X ≥为标准A ，35X ≤<为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的售价为4元/件.假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数1X 的分布列如下表所示，且1X 的数学期望()16E X =，求a ，b 的值.(2)为分析乙厂产品的等级系数2X，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 7 53 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X的数学期望.(3)在(1)(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？并说明理由.注：①产品的“性价比” 产品的等级系数的数学期望产品的售价；②“性价比”大的产品更具可购买性.4．(2021·全国·高二课时练习)1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府将8月1日作为中国工农红军成立纪念日．中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节．为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班班委设计了一个测试方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答，根据答题情况确定参赛学生．已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为23，A，B两名学生对每个问题回答的正确与否都是相互独立的．设学生A答对题数为X，学生B答对题数为Y，若让你投票选择参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．5．(2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二月考)在某单位的职工食堂中，食堂每天以2元/个的价格从面包店购进面包，然后以4元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90个面包，以x (单位：个，60110x ≤≤)表示面包的需求量，T (单位：元)表示利润．(1)求T 关于x 的函数解析式；(2)根据直方图估计利润T 不少于120元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率(例如：若需求量[60,70)x ∈，则取65x =，且65x =的概率等于需求量落入[60,70)的频率)，求T 的分布列和数学期望．6．(2021·全国·高二课时练习)某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理．(1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：盒，n *∈N )的函数解析式；(2)牛奶店老板记录了某100天鲜牛奶的日需求量(单位：盒)，整理得下表：以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及均值；②若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．7．(2021·全国·高二课时练习)根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．如果你是工地的负责人，你会采用哪种方案？说明理由．8．(2021·全国·高二课时练习)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物．下面是两种化验方案：方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止．方案乙：先取3只动物的血液进行混合，然后检查，若呈阳性，对这3只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则检查剩下的2只动物中1只动物的血液．分析哪种化验方案更好．。

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8.1 成对数据的统计相关性(精练)【题组一相关关系的辨析】1．(2021·全国·高二课时练习)下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )A．瑞雪兆丰年B．读书破万卷，下笔如有神C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧【答案】D【解析】“瑞雪兆丰年”和“读书破万卷，下笔如有神”是根据多年经验总结归纳出来的，吸烟有害健康具有科学根据，所以它们都是相关关系，所以A、B、C三项具有相关关系；结合生活经验知喜鹊和乌鸦发出叫声是它们自身的生理反应，与人无任何关系，故D项不具有相关关系故选：D.2．(2021·全国·高二课时练习)有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积.其中两个变量成正相关的是( )A．①③B．②③C．②D．③【答案】C【解析】①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关关系；②平均日学习时间和平均学习成绩是正相关关系；③立方体的棱长和体积是函数关系，不是相关关系.故选:C3．(2021·全国·高二课时练习)下面的变量之间可用直线拟合的是( )A．出租车费与行驶的里程B．房屋面积与房屋价格C．身高与体重D．实心铁块的大小与质量【答案】C【解析】出租车费与行驶的里程是确定的函数关系，故A错误；房屋面积与房屋价格是确定的函数关系，故B错误；人的身高会影响体重，但不是唯一因素，可用直线拟合，故C正确；实心铁块的大小与质量是确定的函数关系，故D错误.故选：C．4．(2021·全国·高二单元测试)下面的变量之间具有相关关系的是( ) A ．出租车费与行驶的里程 B ．房屋面积与房屋价格 C ．身高与体重 D ．实心铁块的大小与质量【答案】C【解析】：出租车费与行驶的里程是确定的函数关系，故A 错误；房屋面积与房屋价格是确定的函数关系，故B 错误；人的身高会影响体重，但不是唯一因素，故C 正确；实心铁块的大小与质量是确定的函数关系，故D 错误．故选：C ．5．(2021·江西·崇仁县第二中学 )下列变量之间的关系不是相关关系的是( ) A ．光照时间与大棚内蔬菜的产量 B ．某正方形的边长与此正方形的面积 C ．举重运动员所能举起的最大重量与他的体重 D ．人的身高与体重【答案】B【解析】B 中的两个变量之间是确定的函数关系，A ，C ，D 中的两个变量之间的关系都是相关关系.故选：B.6．(2021·全国·高二课时练习)(多选)下列变量之间的关系是相关关系的是( ) A ．光照时间与大棚内蔬菜的产量 B ．某正方形的边长与此正方形的面积 C ．举重运动员所能举起的最大重量与他的体重 D ．人的身高与体重【答案】ACD【解析】B 中的两个变量之间是确定的函数关系，ACD 中的两个变量之间的关系都是相关关系.故选：ACD. 7．(2021·全国·高二课时练习)[多选题]下列说法正确的是( ) A ．两个变量的相关系数0r >，则两个变量正相关 B ．两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强 C ．若两个变量负相关，则其回归直线的斜率为负 D ．相关系数r 的取值范围是()1,1- 【答案】AC【解析】由相关系数的定义与性质易知A ，C 正确，两个变量的相关系数的绝对值越大，它们的相关程度越强，故B 错误；相关系数r 的取值范围是[]1,1-，故D 错误. 故选：AC.8．(2021·全国·高二课时练习)(多选)在下列各图中，两个变量具有相关关系的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BC【解析】图A 中，所有的点都在曲线上，所以图A 中的两个变量具有函数关系；图B 中，所有的点都分布在一条直线的附近，所以图B 中的两个变量具有相关关系；图C 中，所有的点都分布在一条曲线的附近，所以图C 中的两个变量具有相关关系；图D 中，所有的点杂乱无章，没有分布在一条曲线的附近，所以图D 中的两个变量没有相关关系．故选：BC ．9．(2021·陕西省黄陵县中学高一期中(理))有下列关系： (1)名师出高徒；(2)球的体积与该球的半径之间的关系； (3)苹果的产量与气候之间的关系； (4)乌鸦叫，没好兆；(5)森林中的同一种树，其断面直径与高度之间的关系； (6)学生与他(她)的学号之间的关系．其中具有相关关系的是________．【答案】(1)(3)(5)【解析】(1)徒弟的水平在一定程度上与老师的水平有一定的关系，是相关关系； (2)球的体积与该球的半径之间是函数关系，不是相关关系； (3)苹果的产量受到气候的影响，是相关关系；(4)乌鸦叫与有没有好兆，没有必然的联系，不是相关关系；(5)森林中的同一种树，其断面直径与高度之间存在一定的关系，是相关关系； (6)学生与他(她)的学号之间是确定的，可以看做是映射，不是相关关系．故答案为：(1)(3)(5). 【题组二相关系数的理解】1．(2021·江西·横峰中学)已知1r 表示变量X 与Y 之间的线性相关系数，2r 表示变量U 与V 之间的线性相关系数，且10.837r =，20.957r =-，则( )A ．变量X 与Y 之间呈正相关关系，且X 与Y 之间的相关性强于U 与V 之间的相关性B ．变量X 与Y 之间呈负相关关系，且X 与Y 之间的相关性强于U 与V 之间的相关性C ．变量U 与V 之间呈负相关关系，且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性D ．变量U 与V 之间呈正相关关系，且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性【答案】C【解析】因为10.837r =，20.957r =-，所以变量X 与Y 之间呈正相关关系，变量U 与V 之间呈负相关关系，且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性. 故选：C ．2．(2021·陕西·咸阳百灵学校)相关系数r 的取值范围是( ) A ．[]1,1- B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．()1,1-【答案】A【解析】相关系数的范围是：||1r ，即1,1r故选：A3．(2021·江苏沭阳·高二期末)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．14320r r r r <<<<B ．41320r r r r <<<<C ．42310r r r r <<<<D ．24130r r r r <<<<【答案】A【解析】由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以1r 接近于1-，2r 接近1，所以14320r r r r <<<<，故选：A4．(2021·北京丰台·高二期末)在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最大的是( )A ．1rB ．2rC ．3rD ．4r【答案】A【解析】由散点图变化趋势可知，10r >，30r >，20r <，40r <，又图1中的散点更为集中，更接近于一条直线，所以13r r >，故样本相关系数最大的是1r ．故选：A ．5．(2021·安徽黄山·高二期末(文))对两个变量y 与x 进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r 如下，其中拟合效果最好的模型是( )①模型Ⅰ的相关系数r 为0.90-； ②模型Ⅱ的相关系数r 为0.80； ③模型Ⅲ的相关系数r 为0.50-； ④模型Ⅳ的相关系数r 为0.25． A ．Ⅰ B ．ⅡC ．ⅢD ．Ⅳ【答案】A【解析】因为r 越趋近于1，相关性越强，模型拟合效果越好，所以拟合效果最好的模型是Ⅰ．故选：A ．6．(2021·江西赣州 )变量x ，y 的线性相关系数为1r ，变量m ，n 的线性相关系数为2r ，下列说法错误的是( )A ．若10.96r =，则说明变量x ，y 之间线性相关性强B ．若12r r >，则说明变量x ，y 之间的线性相关性比变量m ，n 之间的线性相关性强C ．若101r <<，则说明变量x ，y 之间的相关性为正相关D ．若10r =，则说明变量x ，y 之间线性不相关【答案】B【解析】A ：因为10.96r =接近于1，所以说明变量x ，y 之间线性相关性强，故A 正确； B ：若120.99,0.99r r ==-，满足12r r >，但是不能说明变量x ，y 之间的线性相关性比变量m ，n 之间的线性相关性强，故B 错误； C ：若101r <<，则说明变量x ，y 之间的相关性为正相关，故C 正确； D ：10r =，则说明变量x ，y 之间线性不相关，故D 正确. 故选：B .7．(2021·全国·高二单元测试)变量U 与V 相对应的一组样本数据为()1,1.4、()2,2.2、()3,3、()4,3.8，由上述样本数据得到U 与V 的线性回归分析，2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则2R =( )附：决定系数公式()()221211niii niii y y R y y ==-=--∑∑.A ．35B ．45C ．1D ．3【答案】C 【【解析】易知，点()1,1.4、()2,2.2、()3,3、()4,3.8都在直线0.80.6y x =+上，所以，()1,2,3,4i i y y i ==，所以，()()2212111niii niii y y R y y ==-=-=-∑∑.故选：C.8．(2021·全国·高二专题练习)(多选题)对相关系数r 来说，下列说法错误的有( )A ．|r |≤1，|r |越接近0，相关程度越大；|r |越接近1，相关程度越小B ．|r |≥1，|r |越接近1，相关程度越大；|r |越大，相关程度越小C ．|r |≤1，|r |越接近1，相关程度越大；|r |越接近0，相关程度越小D ．|r |≥1，|r |越接近1，相关程度越小；|r |越大，相关程度越大【答案】ABD【解析】相关系数r 的取值范围是[1,1]-，即选项B ，D 都是错误的；相关系数r 衡量两个变量之间的相关关系的强弱时，r 的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值接近于0时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系，所以“对于相关系数r 来说，|r |≤1，|r |越接近1，相关程度越大；|r |越接近0，相关程度越小”，选项A 是错误的，选项C 正确. 故选：ABD【题组三相关系数的应用】1．(2021·全国·高二专题练习)下图是我国2014年至2021年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2014～2021.由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请求出相关系数r ，并用相关系数的大小说明y 与t 相关性的强弱．参考数据：71i y =∑i =10.97，71i i i t y =∑=47.360.664=≈2.646.参考公式：相关系数r()()nii tty y--∑nni iit y t y-∑∑.【答案】y 与t 的相关系数近似为0.99， y 与t 的线性相关性较强．【解析】由折线图中数据和参考数据得4t =，721()28i i t t =-=∑ ，0.664，711747.36410.97 3.48i i i i i t y t y ==-=-⨯=∑∑，则773.480.992 2.6460.664i iit y t yr -==≈⨯⨯∑∑，y 与t 的相关系数近似为0.99，接近于1，所以y 与t 的线性相性较强.2．(2021·宁夏石嘴山 )商务部会同海关总署､国家药监局于3月31日发布关于有序开展医疗物资出口的公告.如医疗物资出口中出现质量问题，将认真调查，发现一起，查处一起，切实维护“中国制造”的形象，更好地发挥医疗物资对支持全球疫情防控的重要作用.为了监控某种医疗物资的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个医疗物资，并测量其尺寸(单位：cm ).下面是检验员在一天内依次抽取的16个医疗物资的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s =≈18.439，16211591.134i ix=≈∑，()161(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个医疗物资的尺寸，1,2,3,,16.i =(1)求()(),1,2,,16i x i i =的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若||0.25r <，则可以认为医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小). (2)一天内抽检医疗物资中，如果出现了尺寸在()3,3x s x s -+之外的医疗物资，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？附：样本()(),1,2,,i i x y i n =的相关系数()()16iiy x x y r --=∑【答案】(1)0.18r ≈-，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；(2)需对当天的生产过程进行检查.【解析】(1)由样本数据得(),x i (1,2,,16i =)的相关系数为()()168.50.18ix x i r --==≈-∑由于||0.25r <，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小. (2)由于9.97x =，0.212s ≈，故()3,3x s x s -+的区间范围为()9.334,10.606，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在()9.334,10.606以外，因此需对当天的生产过程进行检查.3．(2021·辽宁抚顺 )为了解篮球爱好者小张每天打篮球的时长与投篮的命中率之间的关系，将小张某月1日到10日每天打篮球的时长x (单位：h)与当天投篮的命中率y 的数据记录如表：(1)当x 不取整数时，从中任取两个时长，求小张的命中率之和为1的概率；(2)从小张的命中率为0.4和0.6的几天中选出3天，用X 表示所选3天中命中率为0.6的天数，求X 的数学期望E (X )；(3)当x 取整数时，设r 表示变量x 与y 之间样本相关系数，求r (精确到0.01)，并说明此时去求回归直线方程是否有意义？相关性检验的临界值表注：表中的n 为数据的对数.3.16；r ＝12211()()()()niii n niii i x x y y x x y y ===----∑∑∑.【答案】(1)310；(2)97；(3)0.16，是毫无意义的. 【解析】(1)由题意可知，小张的命中率之和为1的概率为253310P C ==； (2)由题意可得，X 的可能取值是0，1，2，3，又33437()k k C C C P X k -==(k ＝0，1，2，3)，所以X 的分布列为：所以数学期望E (X )＝418121012335353535⨯+⨯+⨯+⨯＝97； (3)由题意可知，3,0.5x y ==，所以51()()0.1i i i x x y y =--=∑，521()10i i x x =-=∑，521()0.04i i y y =-=∑，所以0.16r =≈，由相关性检验的临界值表可得，r 0.05＝0.878，因此|r |＜r 0.05，所以此时去求回归直线方程是毫无意义的.4．(2021·浙江丽水·高二课时练习)某机构为了解某大学中男生的体重单位：kg )与身高x (单位：cm )是否存在较好的线性关系，该机构搜集了7位该校男生的数据，得到如下表格：根据表中数据计算得到y 关于x 的线性同归方程为ˆˆ1.15yx a =+ (1)求ˆa(2)已知()()22121ˆ1n i i i n ii y y R y y ==-=--∑∑且当20.9R 时，回归方程的拟合效果非常好；当20.80.9R <<时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由.参考数据：()621ˆ49.12i ii y y =-=∑【答案】(1)ˆ135.8a=-；(2)该线性回归方程的拟合效果是良好，理由见解析. 【解析】(1)∵161175169178173168180172,7x ++++++==5262547066577362,7y ++++++== 将(172,62)代入回归方程得：∴ˆ 1.1562 1.15172135.8ay x =-=-⨯=- (2)()721100064641625121390i i y y =-=++++++=∑y 关于x 的线性同归方程为ˆ 1.15135.8,yx =- ∴()7722ˆ(73 1.15180135.8) 3.24y y-=-⨯+= ()()622117ˆˆ 3.2452.36,i i i ii i y y y y ==-=-+=∑∑∴()()22121ˆ52.36110.87(0.8,0.9),390n i i i n i i y y R y y ==-=-=-≈∈-∑∑ 故该线性回归方程的拟合效果是良好.。

高中数学选择性必修三精讲精炼第六章计原理章末测试(提升)(含答案)

第六章计数原理章末测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·全国·高二课时练习)某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有( ) A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．144种【答案】C【解析】根据题意，从4个视频中选2个有24C 种方法， 2篇文章全选有22C 种方法，2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列有33A 种方法，最后需要对捆绑元素进行松绑全排列有22A 种方法，故满足题意的学法有22324232C C A A 72=(种)．故选：C2．(2021·全国·高二课时练习)一个66⨯的表格内，放有3辆完全相同的红车和3辆完全相同的黑车，每辆车占1格，每行每列只有1辆车，放法种数为( ) A ．720 B ．20 C ．518400 D ．14400【答案】D【解析】先假设3辆红车不同，3辆黑车也不相同，第一辆车显然可占36个方格中任意一个，有36种放法，第二辆车由于不能与第一辆车同行，也不能与第一辆车同列，有25种放法，同理，第三、四、五、六辆车分别有16，9，4，1种放法．再注意到3辆红车相同，3辆黑车也相同，故不同的放法共有()22654321362516941720144003!3!6636⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯(种)．故选：D3．(2022·全国·高三专题练习)在关于[]()sin 0,x x π∈的二项式()1sin nx +的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最大的项的值为52，则x =( )A ．3π B ．3π或23πC ．6πD ．6π或56π 【答案】D【解析】由题意知：117n nn n C C n -+=+=，解得：6n =，∴展开式的第4项的二项式系数最大，3365sin 2C x ∴=，即3520sin 2x =，1sin 2x ∴=，又[]0,x π∈，6x π∴=或56π.故选：D ．4．(2022·全国· 专题练习)已知()63212x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为( ) A ．80 B ．160 C ．240 D ．320【答案】D【解析】令1x =得6(1)(21)3a +-=，解得2a =，则6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为666316621C (2)(1)2C rr r r r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()632122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为26223633662(1)2C (1)2C 320--⨯-+-=．故选：D5．(2021·全国·高二课时练习)已知2×1010＋a (0≤a <11)能被11整除，则实数a 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】C【解析】()10102102111a a ⨯+=⨯-+10921111111a ⎡⎤=-+-++⎣⎦()()()10921111112a ⎡⎤=-+-+⋯+-++⎣⎦， ∵()()()1092111111⎡⎤-+-+⋯+-⎣⎦能被11整除， ∴要使()10210011a a ⨯+≤<能被11整除，则2a +能被11整除，∵011a ≤<，∴2213a ≤+<，则211a +=，解得9a =，故选：C.6．(2021·重庆市实验中学 )若()28210012101(41)(21)(21)(21)x x a a x a x a x ++=+++++++，则1210a a a +++等于( )A ．2B ．1C ．54D ．14-【答案】D【解析】令0x =，则 801210(01)(0+1)1a a a a =+⨯++++=，令12x =-，则8015(1)(2+1)44a =+⨯-=，121051144a a a ∴+=-+=-+故选：D7．(2021·全国·高二单元测试)如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上､中､下三档的数字和分别为a ，b ，c .例如，图中上档的数字和a =9.若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有( )种.A ．12B ．24C ．16D ．32【答案】D【解析】根据题意，a ，b ，c 的取值范围都是从7~14共8个数字，故公差d 范围是3-到3，①当公差0d =时，有188C =种，②当公差1d =±时，b 不取7和14，有16212C ⨯=种， ③当公差2d =±时，b 不取7，8，13，14，有1428C ⨯=种， ④当公差3d =±时，b 只能取10或11，有1224C ⨯=种，综上共有8128432+++=种，故选：D ．8．(2021·全国·高二单元测试)设a >0，b >0，且52b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中各项的系数和为32，则14a b +的最小值为( )A ．4BC ．D ．92【答案】D【解析】设0a >，0b >，且52()b ax x+展开式中各项的系数和为5()32a b +=， 2a b ∴+=，则141412529()22222222a b b a b a aba b a b a b ++=+=++++=，当且仅当24,33a b ==时，等号成立．则14a b +的最小值为92，故选：D ．二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·山东无棣·高二期中)已知102(0)ax a⎛> ⎝，展开式的各项系数和为1024，下列说法正确的是( )A ．展开式中偶数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含10x 项的系数为45 【答案】BC【解析】解：∵展开式的各项系数之和为1024， ∴10(1)1024a +=， ∵a ＞0，∴a ＝1．原二项式为102x⎛ ⎝，其展开式的通项公式为：()520102211010rr r r r r T C x C x--+=⋅⋅= 展开式中偶数项的二项式系数和为12×1024＝512，故A 错；因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B 对；令520082r r -=⇒=，即展开式中存在常数项，C 对；令410520104,2102r r C -=⇒==，D 错．故选：BC ．10．(2021·山东·高二期中)为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，则下列选项正确的是( ) A ．共有625种分配方法 B ．共有1024种分配方法C ．每个小区至少分配一名志愿者，则有240种分配方法D ．每个小区至少分配一名志愿者，则有480种分配方法【答案】BC【解析】对于选项AB:若需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，则每个志愿者都有4种可能，根据计数原理之乘法原理，则有45=1024种不同的方法，故A 错误，B 正确，对于选项CD ：若每个小区至少分配一名志愿者，则有一个小区有两名志愿者，其余小区均有1名志愿者，由部分均匀分组消序和全排列可知，把5名志愿者分成4组，有211145321433240C C C C A A =种不同的分配方法，故C 正确，D 错误. 故选：BC.11．(2021·山东·高二期中)已知5()(1a x ++展开式的所有项系数之和为96，则下列说法正确的是( ) A ．1a = B ．2a =C ．5()(1a x ++展开式中2x 项的系数为10D ．5()(1a x ++展开式中2x 项的系数为20 【答案】BD【解析】由已知，令1x =可得，()51296a +⨯=，解得2a =，故A 错误，B 正确，因为二项式5(1+的展开式的通项公式为2155rr r r r T C C x +==，所以5(2)(1x +的展开式中含2x 的项为4222255220C x C x x +=，所以含2x 项的系数为20，故C 错误，D 正确，故选：BD.12．(2021·福建·福清龙西中学高二期中)关于32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式，下列结论正确的是( )A ．所有项的二项式系数和为32B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20-D ．二项式系数最大的项为第3项【答案】BC【解析】因为3223261112x x x x x x ⎡⎤=-=-⎢⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎝⎝⎣⎦⎭⎥⎥，A.二项式系数和为6264=，错误；B.令1x =可得600=，所有项的系数为0，正确；C.展开式的通项为()66216611rr rrrr r T C xC x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令3r =，可得常数项为3620C -=-，正确； D.展开式中一共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，错误；故选：BC.三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2022·浙江· )将2个2021，3个2019，4个2020填入如图的九宫格中，使得每行数字之和、每列数字之和都为奇数，不同的填法有___________种.(用数字回答)【答案】90【解析】某行(列)的数字和为奇数，则该行(列)的奇数个数为1个或3个，题中有5个奇数，4个偶数，则分布到3行，必有一行有3个奇数，另两行只有1个奇数，列同理，则奇数的位置分布有339⨯=种，对于每种位置，从5个位置中选择2个位置放2021，有2510C =种，由分步乘法计数原理可知，不同的填法种数为91090⨯=种. 故答案为：90.14．(2021·山东· )已知()()()()72801282111x x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则56a a +=________．【答案】0【解析】由题知，7280128(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-+⋯⋯+-，且()()77(2)1111x x x x -=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()23545771114a C C =⋅-+⋅-=-， ()()12656771114a C C =⋅-+⋅-=，所以5614140a a +=-+=. 故答案为：015．(2021·广东珠海 )4(12)(12)x x -+的展开式中含3x 的项的系数为________．【答案】-16【解析】因为4(12)(12)x x -+44(12)2(12)x x x =+-+,所以4(12)(12)x x -+的展开式中3x 的系数为332244222324816C C -=-=-.故答案为：16-16．(2022·全国· 专题练习)设复数1i 1iz +=-，则0122334455668888888C C C C C C C z z z z z z +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 778C z +⋅=______. 【答案】15【解析】()()()21i 1i 2i ==i 1i 1i 1i 2z ++==--+，所以0122334455667788888888C C C C C C C C z z z z z z z +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=884(1i)i (2i)115+-=-=.故答案为：15.四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·全国·高二课时练习)若251098109810(321)()x x a x a x a x a x a x C -+=+++++∈，求：(1)22024*********()()a a a a a a a a a a a +++++-++++；(2)246810a a a a a -+-+-. 【答案】(1)512；(2)127.【解析】(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 10＝25；令x ＝－1，得(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＝65.两式相乘，得(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2＝25×65＝125.(2)令x ＝i ，得－a 10＋a 9·i ＋a 8－a 7·i －a 6＋a 5·i ＋a 4－a 3·i －a 2＋a 1·i ＋a 0＝(－2－2i)5＝－25(1＋i)5＝－25[(1＋i)2]2(1＋i)＝128＋128i.整理得，(－a 10＋a 8－a 6＋a 4－a 2＋a 0)＋(a 9－a 7＋a 5－a 3＋a 1)·i ＝128＋128i ，故－a 10＋a 8－a 6＋a 4－a 2＋a 0＝128. 因为a 0＝1，所以－a 10＋a 8－a 6＋a 4－a 2＝127.18．(2021·全国·高二课时练习)在①第5项的系数与第3项的系数之比是14:3，②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，③221C C 10n n n-+-=这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答．问题：已知在n的展开式中，______．(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中含5x 的项．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【解析】方案一：选条件①．(1)n展开式的通项为()3561C 1C kn kn kk kk k nn T x--+⎛==- ⎝，0k =，1，2，…，n ．因为()()44221C 1431C nn-=-，即423C 14C n n =，所以()()!!3144!4!2!2!n n n n ⨯=⨯--，整理得1050n n ，解得10n =或5n =-(舍去)，所以10的展开式共有11项，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，为()302555566651101C 252T T xx -+==-=-．(2)令30556k-=，得0k =，所以展开式中含5x 的项为展开式的第1项，即5x ．方案二：选条件②．(1)n展开式的通项为()3561C 1C kn kn kk kk k nn T x--+⎛==- ⎝，0k =，1，2，…，n ．因为12C C 55n n n -+=，所以2C 55n n +=，即()1552n n n -+=，即21100n n +-=，解得10n =或11n =-(舍去)，所以10的展开式共有11项，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，为()302555566651101C 252T T xx -+==-=-．(2)令30556k-=，得0k =，所以展开式中含5x 的项为展开式的第1项，即5x ．方案三：选条件③．(1)n展开式的通项为()3561C 1C kn kn kk kk k nn T x--+⎛==- ⎝，0k =，1，2，…，n ．因为221C C 10n n n -+-=，所以221C C 10n n +-=，所以()()111022n n n n +--=，解得10n =，所以10的展开式共有11项，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，为()302555566651101C 252T T x x -+==-=-．(2)令30556k-=，得0k =，所以展开式中含5x 的项为展开式的第1项，即5x ．19．(2021·广东·深圳实验学校高中部高二月考)现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学(要求用数字作答).(1)若5本书完全相同，共有多少种分法；(2)若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法；(3)若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本分配，共有多少种分法. 【答案】(1)21；(2)150；(3)39.【解析】(1)先借三本相同的书一人给一本，保证每人至少分得一本，再将这5本书和2个挡板排成一排，利用挡板将5本书分为3组，对应3位同学即可，有2721C =种情况，即有21种不同的分法； (2)分2步进行： ①将5本书分成3组，若分成1、1、3的三组，有31522210C CA =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法，从而分组方法有101525+=种；②将分好的三组全排列，对应3名学生，有336A =种情况，根据分步计数原理，故共有256150⨯=种分法；(3)记这5本书分别为A 、A 、B 、C 、D ， 5本书取其三本分配时， ①不含A 时仅有一种分组，再分配给3人，有3种方法，②仅含一个A 时，分组的方法有23C 种，再分配给3人，共有233318C A ⨯=种方法，③含两个A 时，分组的方法有13C 种，再分配给3人，共有133318C A ⨯=种方法，从而共有18+18+3=39种分法.20．(2021·江苏江都·高二期中)生命在于运动。

高中数学选择性必修三 7 1 条件概率及全概率(精练)(含答案)

7.1 条件概率及全概率（精练）【题组一条件概率】1．（2020·天津高二期末）一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是______ 【答案】15【解析】若A 为一位医生是男医生，B 为另一位医生也是男医生，∴23271()7C P A B C ⋅==，而211334275()7C C C P A C +==， ∴()1(|)()5P A B P B A P A ⋅==，故答案为：152．（2020·吕叔湘中学高二期末）已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为_____. 【答案】0.75【解析】记使用寿命超过1年为事件B ，超过2年为事件A ，()()0.6,0.8P AB P B ==，()()()0.60.750.8P AB P A B P B === 故答案为：0.75.3．（2020·全国高三专题练习（理））小赵､小钱､小孙､小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则()P A B =________. 【答案】29【解析】小赵独自去一个景点共有4333108⨯⨯⨯=种情况，即()108n B =，4个人去的景点不同的情况有4424A =种，即()24n AB =，所以()()242()1089n AB P A B n B ===. 故答案为：29. 4．（2020·全国高二课时练习）有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________. 【答案】67【解析】设事件A 为“一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D B C =⋃，且B 与C 互斥，又()11223225710C C C P A C +==，()122515C P AB C ==，()11222525C C P AC C ==，故()()()()()()()()()67P AB P AC P D A P B C A P B A P C A P A P A =⋃=+=+=. 故答案为：67. 5．（2020·全国高三其他模拟）伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A 表示事件“抽到的2名队长性别相同”，B 表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则()|P B A =______.【答案】1543【解析】由已知得()22682144391C C P A C +==，()262141591C P AB C ==，则()()()151591|434391P AB P B A P A ===. 故答案为：15436（2020·全国高三专题练习（理））夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为_________. 【答案】13【解析】解析设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知()0.15P A =，()0.05P AB =，()0.051(|)()0.153P AB P B A P A ===. 故答案为：13. 7（2020·江西高二期末（文））口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为______. 【答案】15【解析】口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，()2163P A ==，()2116515P AB =⨯=， ()()()1115153P AB P B A P A ===.故答案为：15.8．（2020·陕西西安市·交大附中高二期末（文））从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为________；【答案】34【解析】由题意，从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，第一次抽到偶数所包含的基本事件有()2,1，()2,3，()2,4，()2,5，()4,1，()4,2，()4,3，()4,5；共8个基本事件；第一次抽到偶数，第二次抽到奇数，所包含的基本事件有()2,1，()2,3，()2,5，()4,1，()4,3，()4,5；共6个基本事件，因此在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为6384P ==. 故答案为：34. 9．（2020·全国高三专题练习）某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；（2）设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求()P A 和(|)P B A ．【答案】（1）45；（2）1()2P A =，2(|)5P B A =．【解析】（1）某班从6名班干部(男生4人、女生2人)中任选3人参加学校的义务劳动，总的选法有3620C =种，男生甲或女生乙都没有被选中的选法：344C =则男生甲或女生乙被选中的选法有20416-=种， ∴男生甲或女生乙被选中的概率为164205P ==；（2）总的选法有3620C =种，男生甲被选中的选法有121510C C ⋅=种，∴1()2P A =，男生甲被选中、女生乙也被选中选法有1111144C C C ⋅⋅=种，∴1()5P AB =， ∴在男生甲被选中的前提下，女生乙也被选中的概率为()2(|)()5P AB P B A P A ==．10．（2020·全国高三专题练习）某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，记为12345,,,,a a a a a ，女青年志愿者3人，记为123,,b b b .现从这8人中选4人参加某项公益活动. （1）求男青年志愿者1a 或女青年志愿者1b 被选中的概率；（2）在男青年志愿者1a 被选中的情况下，求女青年志愿者1b 也被选中的概率. 【答案】（1）1114；（2）37. 【解析】（1）设“男青年志愿者1a 和女青年志愿者1b 都不被选中”为事件C ，则46483()14C P C C ==，所以所求概率为311()1()11414P C P C =-=-=.（2）记“男青年志愿者1a 被选中”为事件A ，“女青年志愿者1b 被选中”为事件B ，则3276448813(),()214C C P A P AB C C ====，所以()3()()7P AB P BA P A ==∣.所以在男青年志愿者1a 被选中的情况下，女青年志愿者1b 也被选中的概率为37. 11．（2020·河北高三月考）田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序. （1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；（3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）. 【答案】（1）13；（2）12；（3）16.【解析】将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为1T 、2T 、3T ，齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为1W 、2W 、3W ，并且用马的记号表示该马上场比赛.（1）设事件Ω=“第一局双方参赛的马匹”，事件A =“在第一局比赛中田忌胜利”，由题意得()()()()()()()(){()}111213212223313233,,,,,,,,TW TW TW T W T W T W T W T W T W Ω=，()()(){}121323,,A TW TW T W =，则在第一局比赛中田忌胜利的概率是()3193P A ==. （2）设事件B =“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，事件C =“田忌获得本场比赛胜利”，由题意得()()()(){}311223311322312213312312,,,,,,,,,,,B TW TW T W TW TW T W TW T W TW TW T W TW =，()(){}311223312312,,,,,BC TW TW T W TW T W TW =，则本场比赛田忌胜利的概率是()21|42P C B ==. （3）16. 12．（2020·公主岭市第一中学校高二期末（理））已知一个不透明的口袋中有4个白球和8个红球，球除颜色外完全相同.（1）若一个人从口袋中随机抽取一个球，求其抽取到白球的概率；（2）若一个人从口袋中随机不放回连续抽取球两次，每次抽取一个球，求在第一次抽取出白球的条件下第二次抽取出的也是白球的概率. 【答案】（1）13；（2）311. 【解析】（1）从口袋中随机抽取一个球，抽取到白球的概率41483p ==+. （2）记“第一次抽取出球是白球”为事件A ，“第二次抽取出球是白球”为事件B ，则第一次抽取出白球和第二次抽取出球也是白球的概率431()()()121111P AB P A P B ==⨯=，4()12P A =, 所以在第一次取出白球的条件下第二次取出的也是白球的概率1()311()4()1112P AB P B|A P A ===. 【题组二全概率公式】1．（2021·北京高二期末）将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以n P 表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：①378P =； ②41516P =；③当2n ≥时，1n n P P +<； ④123111(4)248n n n n P P P P n ---=++≥. 其中，所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④【解析】当3n =时，33171()28P =-=，①正确；当4n =时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，所以4311313()216P =-⨯=，②错误；要求n P ，即抛掷n 次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论，若第n 次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；若第n 次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：所以123111(4)248n n n n P P P P n ---=++≥，④正确；由上式可得112111248n n n n P P P P +--=++ 1121233111111111(2481)()22482216n n n n n n n n n n P P P P P P P P P P +------=+++-=+--，所以130,(114)6n n n P P P n +-<=--≥，又13241,713,816P P P P ====，满足当2n ≥时，1n n P P +<，③正确. 故答案为：①③④.2．（2021·北京房山区·高二期末）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；（Ⅲ）第二次摸到红球的概率. 【答案】（Ⅰ）310；（Ⅱ）29；（Ⅲ）310.【解析】设事件A ：第一次摸到红球；事件B ：第二次摸到红球，则事件A ：第一次摸到白球.（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，所以 3()10P A =. （Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.所以2 (|)9P B A=.（Ⅲ）32733 ()()(|)()(|)10910910 P B P A P B A P A P B A=+=⨯+⨯=.所以第二次摸到红球的概率3 ()10 P B=.。

高中数学必修三综合测试题(全册含答案)

高中数学必修三综合测试题(第一章至第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且2b=a+c，则二车间生产的产品数为( )A.800B.1000C.1200D.15002.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.不是互斥事件3.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A.1B.3C.7D.15【补偿训练】如图所示程序运行的结果为.t=1i=2WHILE i<=5t=t﹡ii=i+1WENDPRINT tEND4.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为( )A.10B.20C.8D.165.在3张奖券中有一、二等奖各1张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是( )A. B. C. D.6.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( )分数 5 4 3 2 1人数20 10 30 30 10A. B.3 C. D.7.某校为了了解学生的身体素质情况，对初三(2)班的50名学生进行了立定跳远、铅球、100米三个项目的测试，每个项目满分为10分.如图是将该班学生所得的三项成绩(成绩均为整数)之和进行整理后，分成5组画出的条形图，已知从左至右前4个小组的频率分别为0.02，0.1，0.12，0.46.下列说法中：①学生的成绩≥27分的共有15人；②学生成绩的众数在第四小组(22.5～26.5)内；③学生成绩的中位数在第四小组(22.5～26.5)范围内.其中正确的说法有( )A.0个B.1个C.2个D.3个8.扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C，D，E将弧AB等分成四份.连接OC，OD，OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是( )A. B. C. D.x在(0，+∞)内为增函数且g(x)=在(0，+∞) 9.设a∈[0，10)且a≠1，则函数f(x)=loga内也为增函数的概率为( )A. B. C. D.10.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x/cm 160 165 170 175 180体重y/kg 63 66 70 72 74根据上表可得回归方程ˆy=0.56x+ˆa，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为( )A.70.09B.70.12C.70.55D.71.05【补偿训练】已知x与y之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得回归方程为ˆy=ˆb x+ˆa，若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是( )A.ˆb>b′，ˆa>a′B.ˆb>b′，ˆa<a′C.ˆb<b′，ˆa>a′D.ˆb<b′，ˆa<a′11.如图所示，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，则该点落在正方形内的概率是( )A. B. C. D.12.如图所示是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A.P=B.P=C.P=D.P=二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为.14.有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于米的概率为.【举一反三】题目中把“使两截的长度都大于米”改为“使两截之差的绝对值大于米”，那么概率应为多少?15.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示).16.甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图①，“C为弧AB的中点”)，任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC时甲胜，指向圆弧BC时乙胜.后来转盘损坏如图②，甲提议连接AD，取AD中点E，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE时甲胜，指向线段ED时乙胜.然后继续游戏，你觉得此时游戏还公平吗?答案：，因为P甲P乙(填<，>或=).三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑.希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑，有关报价信息如图.(1)写出所有选购方案.(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少?(直接写出结果即可)18.(12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1)计算甲班的样本方差.(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率.19.(12分)(2014·山东高考)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区样品的数量.(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.20.(12分)(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表满意度[50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 评分分组频数 2 8 14 10 6(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值，给出结论即可)(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大，说明理由.21.(12分)(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi 和年销售量yi(i=1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.(xi- )2(wi-)2(xi-)(yi-)(wi-)(yi-)46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8表中wi =，=wi.(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程.(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少?②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大?附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=-.22.(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.高中数学必修三综合测试参考答案(第一至第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且2b=a+c，则二车间生产的产品数为( )A.800B.1000C.1200D.1500【解析】选C.因为2b=a+c，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3600×=1200.2.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.不是互斥事件【解析】选C.甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件.3.(2014·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A.1B.3C.7D.15【解析】选C.k=0，S=0；S=0+20=1，k=1；S=1+21=3，k=2；S=3+22=7，k=3.退出循环，输出的S值为7.【补偿训练】如图所示程序运行的结果为.t=1i=2WHILE i<=5t=t﹡ii=i+1WENDPRINT tEND【解析】本程序计算的是t=1×2×3×4×5=120.答案：1204.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为( ) A.10 B.20 C.8 D.16【解析】选B.视力在0.9以上的频率为(1+0.75+0.25)×0.2=0.4，故能报A专业的人数为0.4×50=20.5.(2014·浙江高考)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.设三张券分别用A，B，C代替，A一等奖；B二等奖；C无奖，甲、乙各抽一张共包括(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，C)，(C，A)，(C，B)6种基本事件，其中甲、乙都中奖包括两种，P==，故选B.6.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( )分数 5 4 3 2 1人数20 10 30 30 10A. B.3 C. D.【解析】选C.这组数据的平均数是：=3，方差=[20×(5-3)2+10×(4-3)2+30×(2-3)2+10×(1-3)2]=，则这100人成绩的标准差为=.7.某校为了了解学生的身体素质情况，对初三(2)班的50名学生进行了立定跳远、铅球、100米三个项目的测试，每个项目满分为10分.如图是将该班学生所得的三项成绩(成绩均为整数)之和进行整理后，分成5组画出的条形图，已知从左至右前4个小组的频率分别为0.02，0.1，0.12，0.46.下列说法中：①学生的成绩≥27分的共有15人；②学生成绩的众数在第四小组(22.5～26.5)内；③学生成绩的中位数在第四小组(22.5～26.5)范围内.其中正确的说法有( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.5个小组的频率之和为1，且前四个分别为0.02，0.1，0.12，0.46，故第五组的频率是1-(0.02+0.1+0.12+0.46)=0.3，学生的成绩≥27分的在第五组，总共有50名学生，故第五组共有50×0.3=15(人)，故①正确；观察直方图：第四组人数最多，但学生成绩的众数不一定在第四小组(22.5～26.5)内，故②不正确；学生成绩的中位数是第25个数和第26个数的平均数，应该落在第四组，故③正确.8.扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C，D，E将弧AB等分成四份.连接OC，OD，OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是( )A. B. C. D.【解题指南】本题考查扇形面积公式及古典概型概率.解题关键是求出面积为的扇形所对圆心角的度数.【解析】选A.据题意若扇形面积为，据扇形面积公式=×α×1⇒α=，即只需扇形圆心角为即可，列举可得这种情况共有3种，而整个基本事件个数共有10种，故其概率为.9.设a∈[0，10)且a≠1，则函数f(x)=logx在(0，+∞)内为增函数且g(x)=在(0，+∞)a内也为增函数的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由条件知，a的所有可能取值为a∈[0，10)且a≠1，使函数f(x)，g(x)在(0，+∞)内都为增函数的a的取值为所以1<a<2.由几何概型的概率公式知，P==.10.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x/cm 160 165 170 175 180体重y/kg 63 66 70 72 74根据上表可得回归方程ˆy=0.56x+ˆa，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为( )A.70.09B.70.12C.70.55D.71.05【解析】选B.由表中数据得==170，==69.将(，)代入ˆy=0.56x+ˆa，所以69=0.56×170+ˆa，所以ˆa=-26.2，所以ˆy=0.56x-26.2.所以当x=172时，y=70.12.【补偿训练】已知x与y之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得回归方程为ˆy=ˆb x+ˆa，若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是( )A.ˆb>b′，ˆa>a′B.ˆb>b′，ˆa<a′C.ˆb<b′，ˆa>a′D.ˆb<b′，ˆa<a′【解析】选C.画出散点图如图所示，根据散点图大致画出回归直线，再画出过(1，0)和(2，2)的直线，比较可知选C.11.如图所示，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，则该点落在正方形内的概率是( )A. B. C. D.【解析】选D.由题设可知，该事件符合几何概型.正方形的面积为()2=，半圆的面积为×π=，故点落在正方形内的概率是=.12.如图所示是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A.P=B.P=C.P=D.P=【解题指南】首先读懂程序框图的意义，其中读懂+≤1是关键，然后转化为几何概型确定圆周率π的表达式，最后得出P的表达式.【解析】选D.采用几何概型法.因为x i，y i为0～1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，当+≤1时，点(x i，y i)均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的圆内，当+>1时对应点落在阴影部分中(如图所示).所以有=，Nπ=4M-Mπ，π(M+N)=4M，π=.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为.【解题指南】本题考查系统抽样方法的应用.根据系统抽样方法的定义求解【解析】根据系统抽样方法的定义，得第40个号码对应15+39×20=795，即得第40个号码为0795.答案：079514.有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于米的概率为.【解析】如图，将细绳八等分，C，D分别是第一个和最后一个等分点，则在线段CD的任意位置剪断此绳得到的两截细绳长度都大于米.由几何概型的概率计算公式可得，两截的长度都大于米的概率为P==.答案：【举一反三】题目中把“使两截的长度都大于米”改为“使两截之差的绝对值大于米”，那么概率应为多少?【解析】设其中一截为x米，则另一截为(1-x)米，则|x-(1-x)|=|2x-1|>，解得x>或x<，把1米的绳子四等分，则在AB或DE的任意位置剪断，都会使两截之差的绝对值大于米，故所求概率为=.15.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示).【解析】从中任意取出两个的所有基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(2，3)，(2，4)，…，(6，7)共21个.而这两个球编号之积为偶数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(3，4)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(6，7)共15个.故所求的概率P==.答案：【一题多解】在21个基本事件中，两个球的编号之积为奇数的有(1，3)，(1，5)，(1，7)，(3，5)，(3，7)，(5，7)共6个.所以P(编号之积为奇数)==，根据对立事件的概率可求得编号之积为偶数的概率为1-=. 答案：16.甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图①，“C为弧AB的中点”)，任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC时甲胜，指向圆弧BC时乙胜.后来转盘损坏如图②，甲提议连接AD，取AD中点E，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE时甲胜，指向线段ED时乙胜.然后继续游戏，你觉得此时游戏还公平吗?答案：，因为P甲P乙(填<，>或=).【解析】连接OE，在直角三角形AOD中，∠AOE=，∠DOE=，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE的概率是：÷=，指针指向线段ED的概率是：÷=，所以乙胜的概率大，即这个游戏不公平.答案：不公平<三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑.希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑，有关报价信息如图.(1)写出所有选购方案.(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少?(直接写出结果即可)【解题指南】利用树状图确定所有选购方案，然后利用古典概型的概率公式进行求解.【解析】(1)画出树状图如图：则选购方案为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E).(2)A型号电脑被选中的情形为(A，D)，(A，E)，即基本事件为2种，所以A型号电脑被选中的概率为P==.18.(12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1)计算甲班的样本方差.(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率.【解题指南】(1)先求出平均数，再代入方差公式即可；(2)写出所有基本事件，再统计基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，利用古典概型计算概率.【解析】(1)甲班的平均身高为=(158+162+163+168+168+170+171+179+179+182)=170，甲班的样本方差为s2=[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(171-170)2+ (179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2.(2)设“身高为176cm的同学被抽中”的事件为A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学的身高，则所有的基本事件有(181，173)，(181，176)，(181，178)，(181，179)，(179，173)，(179，176)，(179，178)，(178，173)，(178，176)，(176，173)，共10个基本事件，而事件A含有(181，176)，(179，176)，(178，176)，(176，173)，共4个基本事件，故P(A)==.19.(12分)(2014·山东高考)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区 A B C数量50 150 100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区样品的数量.(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.【解题指南】(1)本题考查了分层抽样，利用比例求出这6件样品中来自A，B，C各地区样品的数量.(2)本题考查了古典概型，先将基本事件全部列出，再求这2件商品来自相同地区的概率. 【解析】(1)因为工作人员是按分层抽样抽取样品，所以各地区抽取样品比例为：A∶B∶C=50∶150∶100=1∶3∶2，所以各地区抽取样品数为：A：6×=1，B：6×=3，C：6×=2.(2)设各地区样品分别为：A，B1，B2，B3，C1，C2，设M=“这2件商品来自相同的地区”，基本事件空间Ω为：(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共15个.样本事件空间为：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)所以这两件样品来自同一地区的概率为：P(M)=.20.(12分)(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表满意度[50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]评分分组频数 2 8 14 10 6(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值，给出结论即可)(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大，说明理由.【解析】(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P(C A)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6，P(C B)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.21.(12分)(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi 和年销售量yi(i=1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.(xi- )2(wi-)2(xi-)(yi-)(wi-)(yi-)46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8表中wi =，=wi.(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程.(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少?②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大?附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=-.【解析】(1)由散点图的变化趋势可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w=，先建立y关于w的线性回归方程.由于===68，ˆc=-=563-68×6.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程为ˆy=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为ˆy=100.6+68.(3)①由(2)知，当x=49时，年销售量y的预报值ˆy=100.6+68=576.6，年利润z的预报值ˆz=576.6×0.2-49=66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值ˆz=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.所以当==6.8，即x=46.24时，ˆz取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.22.(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 A B C D E人数50 100 150 150 50(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.组别 A B C D E人数50 100 150 150 50抽取人数 6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.【解析】(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如表：组别 A B C D E人数50 100 150 150 50抽取人数 3 6 9 9 3(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手.从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P==.。

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全册综合检测一、单项选择题 1．A 26＝( )A ．30B ．24C ．20D ．15解析：选A 因为A 26＝6×5＝30，故选A.2．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4解析：选A 由题意可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4. 3．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( ) A ．{4} B ．{14} C ．{4,6}D ．{14,2}解析：选C 由C x14＝C 2x －414得x ＝2x －4或x ＋2x －4＝14，解得x ＝4或x ＝6.经检验知x ＝4或x ＝6符合题意．4．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为( )A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.292解析：选C 因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6，所以P ＝0.4×0.6×0.4＋0.4×0.4×0.6＋0.6×0.4×0.4＝0.288，故选C. 5．已知随机变量X ～N (2,1)，则P (0<X <1)＝( )(参考数据：若X ～N (μ，σ)，P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997)A ．0.014 8B ．0.135 5C ．0.157 0D ．0.314 0解析：选B 因为X ～N ()2，1，即μ＝2，σ＝1，所以P (μ－σ<X <μ＋σ)＝P ()1<X <3＝0.683，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝P ()0<X <4＝0.954，所以P (0<X <1)＝12[P (0<X <4)－P (1<X <3)]＝0.135 5，故选B.6．根据下表样本数据用最小二乘法求得经验回归方程为y ＝b x ＋10.3则当x ＝4时，y 的估计值为( ) A ．6.5 B ．7 C ．7.5D ．8解析：选C 因为x －＝6＋8＋9＋10＋125＝9，y －＝6＋5＋4＋3＋25＝4，所以4＝9b ^＋10.3，即b ^＝－0.7，所以回归直线方程为y ^＝－0.7x ＋10.3，代入x ＝4，得y ＝7.5，故选C.7．掷一枚硬币，记事件A ＝“出现正面”，B ＝“出现反面”，则有( ) A ．A 与B 相互独立 B ．P (AB )＝P (A )P (B ) C ．A 与B 不相互独立D ．P (AB )＝14解析：选C 由于事件A 和事件B 是同一个试验的两个结果，且不可能同时发生，故A 与B 为互斥事件．∵P (AB )＝0≠P (A )·P (B )＝14，∴A 与B 不相互独立．8．用1,2,3,4,5,6这六个数字组成无重复数字的六位数，则5和6在两端，1和2相邻的六位数的个数是( )A ．24B ．32C ．36D ．48解析：选A 先排5,6，方法有A 22＝2种；将1,2捆绑在一起，方法有A 22＝2种；将1,2这个整体和3以及4全排列，方法有A 33＝6种，所以六位数的个数为A 22A 22A 33＝24，故选A. 二、多项选择题9．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，下列说法正确的是( )A ．甲、乙、丙三人必须参加，有36种选法B ．甲、乙、丙三人不能参加，有126种选法C ．甲、乙、丙三人只能有一人参加，有630种选法D ．甲、乙、丙三人至少有一人参加，有666种选法解析：选ABD A 中，甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法．B 中，甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．C 中，甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C 49种选法，共有C 13C 49＝378种不同的选法．D 中，法一：(直接法)可分为三类：第一类，甲、乙、丙中有1人参加，共有C 13C 49种不同的选法；第二类，甲、乙、丙中有2人参加，共有C 23C 39种不同的选法；第三类，甲、乙、丙3人均参加，共有C 33C 29种不同的选法．共有C 13C 49＋C 23C 39＋C 33C 29＝666种不同的选法．法二：(间接法)12人中任意选5人共有C 512种，甲、乙、丙三人不能参加的有C 59种，所以共有C 512－C 59＝666种不同的选法．10．下列说法中，正确的是( ) A ．回归直线y ^＝b ^x ＋a ^至少过一个样本点B ．根据列联表中的数据计算得出χ2≥6.635，而P (χ2≥6.635)≈0.01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系C ．χ2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当χ2的值很小时可以推断两个变量不相关D ．某项测量结果ξ服从正态分布N (1，a 2)，则P (ξ≤5)＝0.81，则P (ξ≤－3)＝0.19. 解析：选BD 回归直线y ^＝b ^x ＋a ^恒过点(x －，y －)，但不一定要过样本点，故A 错误；由χ2≥6.635，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故B 正确；χ2的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故C 错误；∵P (ξ≤5)＝0.81，∴P (ξ>5)＝P (ξ<－3)＝1－0.81＝0.19，故D 正确．11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数的35，若根据小概率值α＝0.05，推断是否喜欢抖音和性别有关，则被调查的男生人数可能为( )附：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.P (χ2≥x α)0.050 0.010 x α3.8416.635A ．25B ．45C ．60D ．35解析：选BC 设男生的人数为5n (n ∈N *)，根据题意列出2×2列联表如下表所示：是否喜欢抖音性别合计男生女生喜欢抖音 4n3n 7n 不喜欢抖音 n2n 3n 合计5n5n10n则χ2＝10n ×4n ×2n －3n ×n25n ×5n ×7n ×3n＝10n 21. 由于根据小概率值α＝0.05，推断是否喜欢抖音和性别有关，则3.841≤χ2<6.635，即3.841≤10n21<6.635，得8.066 1≤n <13.933 5，∵n ∈N *，∴n 的可能取值为9,10,11,12,13. 因此男生人数可能为45或60.12．某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是( )A ．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为518B ．四人去了同一餐厅就餐的概率为11 296C ．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为25216D ．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为23解析：选ACD 四人去餐厅的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A 46种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为A 4664＝518，故A 正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为664＝1216，故B 错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为C 24×5264＝25216，故C 正确；设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3,4.则P (ξ＝0)＝5464，P (ξ＝1)＝C 145364，P (ξ＝2)＝C 245264， P (ξ＝3)＝C 34×564，P (ξ＝4)＝164，则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为E (ξ)＝0×5464＋1×C 145364＋2×C 245264＋3×C 34×564＋4×164＝23，故D 正确．三、填空题13．任意选择四个日期，设X 表示取到的四个日期中星期天的个数，则E (X )＝________，D (X )＝________.解析：由题意得，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，17，所以E (X )＝47，D (X )＝2449.答案：47 244914．端午节这一天，馨馨的妈妈煮了9个粽子，其中4个白味、3个腊肉、2个豆沙，馨馨随机选取两个粽子，事件A ＝“取到的两个馅不同”，事件B ＝“取到的两个馅分别是白味和豆沙”，则P (B |A )＝________.解析：根据题意，事件A 的所有可能有： C 14·C 13＋C 14·C 12＋C 13·C 12＝26种；事件B 的所有可能有：C 14·C 12＝8种．故P (B |A )＝826＝413.答案：41315．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．解析：∵甲队以4∶1获胜，即甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输．若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.072；若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.108. ∴甲队以4∶1获胜的概率P ＝0.072＋0.108＝0.18. 答案：0.1816．某地区恩格尔系数Y (%)与年份x 的统计数据如下表：由表可以看出Y 与x 线性相关，且可得经验回归方程为y ＝b x ＋4 055.25，据此模型可预测2020年该地区的恩格尔系数Y (%)为________．解析：由表可知x －＝2 007.5，y －＝44.25.因为y －＝b ^x －＋4 055.25，即44.25＝2 007.5b ^＋4 055.25，所以b ^≈－1.998，所以回归方程为y ^＝－1.998x ＋4 055.25，令x ＝2 020，得y ^＝19.29. 答案：19.29 四、解答题17．(10分)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x n展开式中的第7项是常数项．(1)求n ；(2)求展开式中有理项的个数．解：(1)二项式展开式通项为T r ＋1＝C r n(3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－1)r ·2r ·C rn x 2n －5r6，∵第7项为常数项，∴2n －5×6＝0，∴n ＝15. (2)由(1)知T r ＋1＝(－1)r·2r·C r15·x30－5r 6，若T r ＋1为有理项，则30－5r 6＝5－56r 为整数，∴r 为6的倍数，∵0≤r ≤15，∴r ＝0,6,12，共三个数， ∴展开式中有理项共有3项．18．(12分)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率有帮助”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀． (1)试分别估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面列联表，并试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率是否有帮助.解：(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30，优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班优秀率分别为60%和50%. (2)列联表补充如下：零假设为H 0：加强‘语言阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率没有帮助．因为χ2＝100×30×25－25×20255×45×50×50≈1.010<3.841＝x 0.05，所以根据小概率α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断出H 0不成立，因此认为H 0成立，即加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率没有帮助．19．(12分)随着智能手机的普及，网络搜题软件走进了生活，有教育工作者认为，网搜答案可以起到帮助人们学习的作用，但对多数学生来讲，过度网搜答案容易养成依赖心理，对学习能力造成损害．为了了解学生网搜答案的情况，某学校对学生一月内进行网搜答案的次数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女生各100人进行抽样分析，制成如下频率分布直方图：记事件“男生1月内网搜答案次数不高于30次”为A ，根据频率分布直方图得到P (A )的估计值为0.65.(1)求a ，b 的值；(2)若一学生在1月内网搜答案次数超过50次，则称该学生为“依赖型”，现从样本内的“依赖型”学生中，抽取3人谈话，求抽取的女生人数X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知得P (A )＝(0.015＋0.020＋b )×10＝0.65，所以b ＝0.03，又因为(0.015＋0.020＋0.03＋0.020＋0.010＋a )×10＝1，所以a ＝0.005.(2)样本中男生“依赖型”人数为0.005×10×100＝5，女生“依赖型”人数为0.010×10×100＝10，X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 010C 35C 315＝10455＝291，P (X ＝1)＝C 110C 25C 315＝100455＝2091，P (X ＝2)＝C 210C 15C 315＝45×5455＝4591，P (X ＝3)＝C 310C 315＝120455＝2491，∴X 的分布列为E (X )＝3×1015＝2.20．(12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：抽奖方案有以下两种：方案a ：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b ：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a 抽奖一次；满150元，可根据方案b 抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a 抽奖两次或方案b 抽奖一次或方案a ，b 各抽奖一次)．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A 只选择方案a 进行抽奖，求其所得奖金的期望； (2)要使所得奖金的期望值最大，顾客A 应如何抽奖？解：(1)按方案a 抽奖一次，获得奖金的概率P ＝C 22C 25＝110.顾客A 只选择方案a 进行抽奖，则其可以按方案a 抽奖三次．此时中奖次数服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，110. 设所得奖金为w 1元，则Ew 1＝3×110×30＝9.即顾客A 所得奖金的期望为9元．(2)按方案b 抽奖一次，获得奖金的概率P 1＝C 23C 25＝310.若顾客A 按方案a 抽奖两次，按方案b 抽奖一次，则方案a 中奖的次数服从二项分布B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，110，方案b 中奖的次数服从二项分布B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1，310，设所得奖金为w 2元，则Ew 2＝2×110×30＋1×310×15＝10.5.若顾客A 按方案b 抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2，310.设所得奖金为w 3元，则Ew 3＝2×310×15＝9.结合(1)可知，Ew 1＝Ew 3<Ew 2.所以顾客A 应该按方案a 抽奖两次，按方案b 抽奖一次．。

2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第三册) 6

6.3 二项式定理(精讲)考点一二项式展开式【例1】(2021·全国·高二)1－212348n n n C C C +-＋…＋(－2)n nn C 等于( )A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n【一隅三反】1．(2021·全国·高二课时练习)011222n n k n k nn n n n C C C C --⋅+⋅++⋅++等于( )A ．2nB ．2n－1 C ．3nD ．12．(2021·全国·高二课时练习)写出6x ⎛⎝的展开式．3．(2021·全国·)求4⎛⎝的展开式.考点二二项式特定项(二项)系数【例2】(1)(2021·北京市第十三中学)在52)x的展开式中，x 的系数为( )A ．10-B ．10C ．5-D ．5(2)(2021·云南大理)二项式82a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数是16-，则=a ( )A ．12B ．1C ．12-D ．1-(3)(2021·福建宁德)对任意实数x ，有423401234(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x =+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-，则3a =( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．10(4)(2021·辽宁丹东·高三期中)若()()()()()()523450123452111111x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则3a =( )A ．80-B ．40-C ．40D ．80【一隅三反】1．(2021·广东龙岗)262()x x-的展开式中，3x 的系数为( )A ．160B ．160-C ．20-D ．202．(2021·全国·高二单元测试)91x ⎛- ⎝的展开式中的第7项为( )A ．3546B ．5437C ．4532D ．53763．(2021·上海·模拟预测)二项式30的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项4．(2021·全国·高二单元测试)()8x 的展开式中，62x y 项的系数是( )A ．56B ．－56C ．28D ．－28考点三系数最值【例3】(2021·全国·高二专题练习)(多选)8的展开式中系数最大的项是( )A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项【一隅三反】1．(2021·上海市建平中学)在71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，系数最大的是第( )项A ．3B ．4C ．5D ．62(2021·江苏淮安·高二期中)(多选)二项式1321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为( ).A ．第六项B ．第七项C ．第八项D ．第九项3．(2021·全国·高二课时练习)在822x ⎫⎪⎭的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项； (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项．考点四三项式特定项系数【例4】(2021·全国·高二课时练习)设()522100121032x x a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+，则1a 等于( )A ．80B ．80-C ．160-D ．240-【一隅三反】1．(2021·江西·景德镇一中高三月考(理))521x ⎫+⎪⎭的展开式中，x 的系数为( )A ．8B ．9C ．10D ．202．(2022·全国·)()52x y z +-的展开式中，22xy z 的系数是( ) A ．120 B ．－120 C ．60 D ．303．(2021·江苏金湖·)在()522x x --的展开式中x 的系数为( )A ．80B ．240C ．-80D ．160考点五多个二项式的系数【例5】(2021·安徽省怀宁中学)27(35)(1)x x --的展开式中6x 项的系数为( ) A ．140 B ．1120- C ．140- D ．1120【一隅三反】1．(2021·全国·高二课时练习)()6111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．352．(2021·山东任城·高二期中)在()()5212x x +-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．80- B ．80 C ．160 D ．2403．(2021·全国·高二课时练习)设()42801832x x a a x a x -+=++⋅⋅⋅+，则7a =______.考点六 (二项)系数和【例6-1】(2021·辽宁·凤城市第一中学高三月考)在()1nx -的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则n =( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【例6-2】(2021·全国·高二课时练习)在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和.【一隅三反】1．(2021·江西·横峰中学高二期中)已知()1nax +的展开式中，二项式系数的和为32，则n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．82．(2021·全国·高二课时练习)若()()2019201901201912x a a x a x x R -=++⋅⋅⋅+∈，则20191222019222a a a ++⋅⋅⋅+的值为( ) A ．2B ．0C ．-2D ．-13．(2021·全国·高二课时练习)已知()5250125a x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，若280a =，则0125a a a a +++⋅⋅⋅+=___________.4．(2021·广东·广州市协和中学高二期中)已知5250125(12)x a a x a x a x -=++++，则0125a a a a ++++=________________.5．(2021·全国·高二课时练习)已知(x 2－2x －3)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 20(x －1)20. (1)求a 2的值；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19的值； (3)求a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 20的值．考点七整除及余数【例7-1】(2021·全国·高二课时练习)已知2×1010＋a (0≤a <11)能被11整除，则实数a 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【例7-2】(2021·全国·高二课时练习)利用二项式定理计算()61.05，则其结果精确到0.01的近似值是( ) A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34【一隅三反】1(2021·全国·高二课时练习)()1223310101010101010190C 90C 90C 190C 90C kk k -+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+除以88的余数是( )A ．-1B ．1C ．-87D ．82．(2021·江苏常熟·高二期中)设a Z ∈，且013a ≤≤，若202151a +能被13整除，则a =( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．123．(2021·安徽·高二期末(理))估算12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++的结果，精确到0.01的近似值为( ) A ．30.84 B ．31.84 C ．30.40 D ．32.164．(2021·全国·高二课时练习)已知N n *∈，求证：2511222n -++++能被31整除．考点八杨辉三角的应用【例8-1】(2021·全国·高二课时练习)已知当1,2,3,4,5,6n =时，()()*ka b n N +∈展开式的二项式系数表示形式如下图，判断图中λ与μ的值分别是( ) A ．5，9 B ．5，10C ．6，10D ．6，9【例8-2】(2021·全国·高二课时练习)如图所示的三角形数阵中，从第3行开始，每一行除1以外，其他每一个数字是它上一行相邻的左右两个数字之和.已知这个三角形数阵开头几行如图所示，若在此数阵中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4:5:6，则这一行是( )A ．第96行B ．第97行C ．第98行D ．第99行【一隅三反】1．(2021·全国·高二课时练习)在杨辉三角中，除每行的两端数字外，每个数字都等于它左上角和右上角两个数字之和，杨辉三角开头几行如图所示. (1)利用杨辉三角展开()61x -(2)在杨辉三角中，哪一行会出现相邻的三个数字的比是3:4:5？2．(2021·全国·高二课时练习)在杨辉三角中，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，这个三角形数阵开头几行如图所示.已知n ，r 为正整数，且3n r ≥+.求证：任何四个相邻的组合数C r n ，1C r n +，2C r n +，3C r n +不存在122C C C r r r n n n ++=+，2132C C C r rr n n n +++=+.3．(2021·全国·高二课时练习)如图所示的数阵叫“莱布尼茨三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (2n ≥)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第n (3n ≥)行第3个数字是______.。

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本册综合测试(基础) 人教A版2019选择性必修第三册一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分) 1．(2021·河南·高二期末)某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/)存在线性相关关系，根据一组样本数据ii,xyi1,2,,n，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ10200yx，则下列结论中正确的是( ) ①y与x具有线性正相关关系； ②回归直线过样本点的中心,xy； ③若销售价格每件增加1元，则销售量约增加10件； ④当销售价格为10元时，销售量在100件左右. A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【解析】y与x具有线性负相关关系，故①错误；回归直线必过样本点的中心,xy，故②正确；销售价格每件增加1元，则销售量约减少10件，故③错误；当销售价格为10元时，销售量在100件左右，故④正确. 故选：B. 2．(2021·吉林·延边二中高二期末 )某射手射击所得环数的分布列下表：已知的数学期望8.9E，则y的值为( )  7 8 9 10

P x 0.1 0.3 y

A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】C 【解析】的数学期望8.9E，

由射手射击所得环数的分布列，得0.10.3170.82.7108.9xyxy，

解得0.2x，0.4y．故选：C． 3．(2021·山东莱西·高二期末)设随机变量X，Y满足：31YX，2,XBp，若519PX，则DY

( ) A．3 B．13 C．4 D．43 【答案】C 【解析】由于随机变量X满足： ~(2,)XBp，5(1)9PX， 022(0)1(1)C(1)94PxPXp，

解得：13p，即1~(2,)3XB 124()(1)2339DXnpp，

又随机变量X，Y满足：31YX， 2(4)=3)(DXDY，

故选：C. 4．(2021·西藏·林芝市第二高级中学 )调查男女学生在购买食品时是否看出厂日期，与性别有关系时用( )最有说服力 A．独立性检验 B．方差 C．正态分布 D．期望【答案】A 【解析】在确定两个问题是否相关时，需要进行独立性检验，故利用独立性检验的方法最有说服力. 故选：A. 5．(2021·新疆·新源县第二中学 )6道题目中有5道理科题目和1道文科题目，如果不放回地依次抽取2道题目，则在第1次抽到理科题目的条件下，第2次抽到理科题目的概率为( ) A．35 B． 45 C．25 D．23 【答案】B 【解析】由题意，6道题目中有5道理科题目和1道文科题目，不放回地抽取两次，设第一次抽到理科题目为事件A，第二次抽到理科题目为事件B，

则1155265()6AAPAA，25262()3APABA，所以()4(|)()5PABPBAPA. 故选：B 6．(2021·河南 )5212xxx展开式中5x项的系数是( ) A．120 B．80 C．40 D．20 【答案】C 【解析】∵522x的展开式的通项是5210215522rrrrrrrTCxCx，由1xx中的x项与522x中的4x项，1x项与6x项相乘均可得5x项，

∴所求系数为3322552240CC. 故选：C. 7．(2021·宁夏·石嘴山市第三中学 )已知x、y满足组合数方程21717xyCC，则xy的最大值是( ) A．64 B．128 C．256 D．2898 【答案】B 【解析】x，y满足组合数方程21717xyCC， 2xy，08x或217xy，

22[0xyx，128]，

或222892()24xyxy，即2891288xy．综上，当216xy时，xy取最大值128．故选：B 8．(2021·北京·首都师范大学附属中学高二期末)袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为( ) A．23 B．14 C．521 D．523 【答案】C

【解析】记:iA骰子掷出的点数为i，1,2,3i，事件B: 取出的球全是白球，则16iPA,37|iiiCPBAC，

所以123333312317771111311111|666676763510iiiCCCPBPAPBACCC 所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：2211567|12110PABPABPB. 故选：C. 二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分) 9．(2021·山东莱西·高二期末)设随机变量的分布列如下表所示，则下列选项中正确的为( )  0 1 2 3

P 827 49 m 127

A．2E B．23D C．190127P D．229P 【答案】BD 【解析】根据概率和为1，可得841127927m，解得29m. 对于A：842101231279927E，故A错误；对于B：222284212(01)(11)(21)(31)2799273D，故B正确；对于C：84200127927P，故C错误；对于D：229Pm，故D正确. 故选：BD 10．(2021·河北·石家庄市第一中学东校区高二期末)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有3个红球，4个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A，2A，3A表示由甲罐取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( ) A．310PB B．1411PBA C．事件B与事件1A相互独立 D．1A，2A，3A是两两互斥的事件【答案】BD 【解析】由题意1A，2A，3A是两两互斥的事件， 151102PA，221105PA，3

10PA； 111

144211

(|)1112PBAPBAPA，由此知，故B正确；

23(|)11PBA，33(|)11PBA；

而123112233(|)(|)(|)PBPABPABPABPAPBAPAPBAPAPBA

1413337211511101122．

由此知A，C不正确；从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A，2A，3A表示由甲罐取出的球是红球，显然1A，2A，3A是两两互斥的事件，由此知D正确；故选：BD 11．(2021·辽宁·东北育才学校高二期末)在一个袋中装有大小相同的4黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是( ) A．随机变量X服从超几何分布 B．随机变量X服从二项分布 C．122PX D．95EX 【答案】ACD 【解析】由题设描述知：随机变量X服从(3,10,6)H超几何分布，故A正确，B错误，

1246310

122CCCPX，故C正确，

693105NEXnM，故D正确.

故选：ACD．

12．(2021·福建省宁德市教师进修学院高二期末)在61xx的展开式中，下列说法正确的有( ) A．第3项为215x B．常数项为20 C．系数最大的项为第4项 D．二项式系数最大的项为第4项【答案】AD 【解析】在61xx的展开式的通项公式为66216611rrrrrrrTxxxCC， A.令 2r，得222236115TxxC，故正确； B.令 620r，得3r，所以常数项为3346120TC，故错误； C.因为 33461200TC，故错误； D.因为二项式的次数6n，所以展开式共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，故正确，故选：AD 三、填空题(每题5分，4题共20分) 13．(2021·西藏·日喀则市南木林高级中学 )已知随机变量X服从正态分布21,N，若(2)0.15PX，则(01)PX________．【答案】0.35720 【解析】因为随机变量X服从正态分布2(1)N，，所以(1)0.5PX，所以(12)(1)(2)0.50.150.35PXPXPX，又(01)(12)PXPX，所以(01)0.35PX. 故答案为：0.35 14．(2021·西藏·日喀则市南木林高级中学)7(12)x的展开式的第4项为________．【答案】3280x 【解析】7(12)x的展开式的第4项为3337331712802TxxC 故答案为：3280x 15．(2021·河北·石家庄市第一中学东校区高二期末)已知离散型随机变量X的分布列为

X 0 1 2