函数的定义域、值域及解析式

函数的定义域、值域及解析式【教学目标】1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。

3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。

【教学内容】1.定义高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域常见函数的定义域与值域函数解析式定义域值域一次函数y=ax+b(a≠0)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)反比例函数(k为常数，k≠0）1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f ( x ) = (x-1) 0；g ( x ) = 1（2）f ( x ) = x； g ( x ) = （√x）2（3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2（4）f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+23．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。

（3）区间的表示：注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． 练习、请用区间表示（1）{|12}x x <<=____________， {|01}x x ≤≤=____________，{|10}x x -≤<=____________， {|23}x x <≤=____________， （2）{|}x x a ≥=____________， {|}x x a >=____________，{|}x x b ≤=____________， {|}x x b <=____________.定义域能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(4)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 含分式的函数：在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

题型一：常规函数型例：求函数 的定义域．x x x f -++=211)(例：求函数y ＝23-x ＋3323-+x x ）（的定义域．练习求下列函数的定义域。

⑴y=x x -||1（2）2143)(2-+--=x x x x f题型二：抽象函数型（一）、已知的定义域，求的定义域， 其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。

例. 设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为________。

（2）函数的定义域为__________。

练习1已知f(x)的定义域为[1,3],求f(x-1)的定义域.2已知函数)x (f 的定义域为（0，1），则函数)1x 21(f -的定义域是________。

（二）、已知的定义域，求的定义域。

其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

例. 已知函数的定义域为，则的定义域________。

练习、已知函数)42(f 的定义域为（0，1），求函数)x(f的定义域。

x（三）、已知的定义域，求的定义域。

其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。

例. 函数定义域是，则的定义域是（）A. B. C. D.练习1.函数f(2x-1)的定义域为[1,3]，求函数f(x2+1)的定义域.运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例. 已知函数的定义域是，求的定义域。

练习若函数)(x f y =的定义域为[1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域。

逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例 已知函数的定义域为R 求实数m 的取值范围。

练习. 已知函数的定义域是R ，求实数k 的取值范围。

求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． 例题 求函数值域1）观察法 2）图象法 3）分式分离常数法 4）换元法 5）判别式法 6）配方法 7）函数单调性法 8）反函数法 （1）335-+=x x y （2） 22++-=x x y（3）132222++++=x x x x y （4）x x y 314--=（6）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． 例题 求函数解析式（1）配凑法； （2）换元法； （3）待定系数法； （4）方程组法．（1）已知3311()f x x x x+=+，求()f x ；（2）已知f (x －1)=3x －1，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．【课后作业】 1、设x 取实数，则f(x)与g(x)表示同一个函数的是 （ ）A 、x )x (f =，2x )x (g = B 、x )x ()x (f 2=，2)x (x )x (g = C 、1)x (f =，0)1x ()x (g -= D 、3x 9x )x (f 2+-=，3x )x (g -=2、函数6542-+--=x x x y 的定义域是（ ）（A ）{x|x>4} (B)}32|{<<x x(C){x | x<2 或 x>3} (D) }32|{≠≠∈x x R x 且 3、集合{|25}x x <≤可以写成 （ ）A ．[]2,5 B ．(]2,5 C ．()2,5 D ．[)2,54、求下列函数的定义域：（1）1()43f x x =+ （2）11()2f x x x=+-5、求下列函数的值域（用区间表示）：（1）322--=x x y ；①R x ∈，②]4,1(-∈x ，③]4,1(∈x（2）22++-=x x y ； （3）2845xy x x =-+．6、设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f7、已知221)1(xx x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式8、已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f9、设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f。