求三角函数定义域和值域题型

解（1）作出正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象： 作出正弦函数y=sinx， y=sinx [0， ]的图象： y 1
1/2
o π/2 π 3π/2 2π
x
-1 由图形可以得到，满足条件的x的集合为： 由图形可以得到，满足条件的x的集合为：
[π/6+2k π,5 π/6+2k π] k ∈Z
解：原式= 1 + （ 3） sin( x +
2
π
3
）
练习：y = 2sin x − cos x的值域.
2 ∴ 原式的值域为[ −2，]
值域为 − 5, 5
例5. y = cos 2 x + sin x cos x的值域. 2.二合一 1.降次 二 降 1 1 + cos2x sin 2 x = 1 − cos 2 x 2 sin xcos x = sin 2 x cos x = 2 2 2 π 2 例5. y = 2cos x sin( x + ) − 3 sin x + sin x cos x的值域. 3 1.统一角 2.降次 统 3.二合一 降 二
解 :令 t = sin x ∈ [ − 1,1]
y
1 3 ∴当t = 时，y min = 2 4
2
1 2 3 ∴ y = (t − ) + 2 4
=-1时 当t=-1时，ymax =3
-1 0
1 2
1
练习： y = − cos x − sin x + 2 的值域。
点拨:统一函数名 点拨 统一函数名
1.在同一坐标系内， 1.在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 在同一坐标系内 y= sinx和 y= cosx， x∈[0, 2π]的简图： sinx和 cosx， 2π 的简图：
y 1
π
2
-1
一.复习(3分钟完成) 复习(3分钟完成) (3分钟完成
−
o
π
2
y=cosx，x∈[0, 2π] 2π y=cosx，
2
2.根据图象写出不等式的解集 根据图象写出不等式的解集
由图知不等式组的解集为 3π π π 3π [－6，－ )∪(－ ， )∪( ，6]． 2 2 2 2 故原函数的定义域为 3π π π 3π [－6，－ )∪(－ ， )∪( ，6]． 2 2 2 2
1 (2)要使函数有意义，必须使sin x＞0sin x≠1cos x＞－ . 2 π 2π 2π 得2kπ＜x＜2kπ＋π，x≠2kπ＋ ，2kπ－ ＜x＜2kπ＋ ， (k∈Z)． 2 3 3 ∴原函数的定义域为 π π 2π (2kπ，2kπ＋ )∪(2kπ＋ ，2kπ＋ )(k∈Z)． 2 2 3
cos x − 2 练习： y = cos x − 1
2y | |≤ 1 1− y
四）二合一
y = a sin x + b cos x
π
3
利 用 a sin x + b cos x =
2
a 2 + b 2 sin( x + ϕ )
) = 2 sin ( x +
例4. y = sin x + 3 cos x的值域.
y
t2 −1 ∴ 原式化为： y=t+ 2
1 1 2 1 = （t + 1 2 − 1 ） = t +t − 2 2 2
Q t ∈ 2, − 2
−1
− 2
0
2
x
∴
1 ymin =-1 , ymax= + 2 2
sin x cos x 练习：y = 1 + sin x + cos x
例2：求 y = sin x − sin x + 1的值域。 二次函数法
2
二)二次型 y = a sin x + b sin x + c
2
点拨:1.换元 注明新元取值 点拨 换元(注明新元取值 换元 注明新元取值) 2.运用二次函数图象性质 一看对称轴 二看区间端点 运用二次函数图象性质(一看对称轴,二看区间端点) 运用二次函数图象性质 一看对称轴 二看区间端点
π
3π 2
2π
y=sinx， 2π y=sinx，x∈[0, 2π]
x
三、解三角不等式（数形结合） 三角不等式（数形结合） 不等式
1 1.sin x ≥ − 2
-
π
6 − 1 2
7π 6
π 3 3.cos(2 x + ) ≤ 3 2
3 2
将2 x +
π
3
π
看作一个整体
6
11π 6
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题型一：利用正弦函数和余弦函数的图象， 题型一：利用正弦函数和余弦函数的图象，解三角不等式 (1)sinx≥1/2 (2)cosx ≤1/2
∴ 3 函数y = 2sin x + 1的值域为[ −1，]
cos 分析：利用 sinx ≤ 1 x ≤ 1有界性
练习： 练习：口答下列函数的值域 [－1，3] (1)y=(1)y=-2sinx+1 [－1，5] (2) y=3cosx+2 y=asinx+b的函数的最大值是 总结：形如y=asinx+b 总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是 a + b 最小值是 − a + b
(2)cosx ≤1/2
解：作出余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象： 作出余弦函数y=cosx， y=cosx [0， ]的图象： y
1
1/2
o -1
π/2
π
3π/2
2π
x
由图形可以得到，满足条件的x的集合为： 由图形可以得到，满足条件的x/3+2kπ] k ∈Z
t
三） 分式型 y = a sin x + b c sin x + d
点拨: 点拨 1.反表示 反表示 2y 解: sin x = 1− y
sin x 例3： 求y = 的值域。 sin x + 2
反表示法
2.利用 sinx ≤ 1, cos x ≤ 1有界性 2.利 Q sinx ≤ 1
1 两边平方 ∴ 值 域 为 − 1, 3
函数的定义域主要考虑以下几点：偶次根号下不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1；分母不能为 0 等．一般我们解满足这些条件的不等式求出 x 的 取值范围，再取交集即可．
三角函值域 值域的几种典型形式 二.求 三角函值域的几种典型形式 一）一次型 y=asinx+b 直接代入法
例1：求y = 2sin x + 1 值域。
题型二. 求三角函定义域 定义域: 题型二. 求三角函定义域:
【例 2】 求下列函数的定义域： (1)y＝ 36－x2＋lg cos x； 1 (2)y＝logsin x(cos x＋ )． 2
解：(1)要使函数有意义，必须使{36－x ≥0. cos x＞0 ， 点拨 点拨:1.列出三角不等式 列出三角不等式 π π 得－6≤x≤62kπ－ ＜x＜2kπ＋ ，k∈Z. 2 2
其他形式： 五） 其他形式：
一般一个式子中同时出现了sin x + cos x和sin x cos x. 想到了
例5：y = sin x cos x + sin x + cos x
解： 设t=sinx+cosx,则t∈ 2, − 2
t 2 −1 令t = sin x + cos x(t ∈ − 2, 2 ) 则sin x cos x = 2