三角函数的定义域、值域
三角函数定义域和值域
三角函数定义域和值域sinx,cosx的定义域为R,值域为〔-1,1〕；tanx的定义域为x不等于π/2+kπ，值域为R；cotx的定义域为x不等于kπ,值域为R；y=a·sinx+b·cosx+c的值域为[c-√a²+b²,c+√a²+b²）]。
三角函数（也叫做“圆函数”）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。
三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。
更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。
sinx,cosx的定义域为R,值域为〔-1,1〕tanx的定义域为x不等于π/2+kπ，值域为Rcotx的定义域为x不等于kπ,值域为Ry=a·sinx+b·cosx+c的值域为[c-√a²+b²,c+√a²+b²）]三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图像单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字一，连结顶点三角形。
向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。
诱导公式就是好，负化正后大化小，变成锐角好查表，化简证明少不了。
二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。
两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。
和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。
条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。
公式顺用和逆用，变形运用加巧用；一加余弦想余弦，一减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。
三角函数值域的求法及例题
标题：三角函数值域的求法及其应用
一、基本概念：
三角函数是描述周期性现象的关键工具，特别是一元函数微积分中的基本函数。
它们的值域，即能够表示的函数的取值范围，对于理解函数的性质和图形至关重要。
二、求值域的方法：
1. 观察法：根据三角函数的定义，我们知道正弦、余弦和正切函数的值域分别是-1 到1（包括-1，但不包括0），0 到正无穷（包括0），以及-π/2 到π/2（包括0，但不包括π/2 和-π/2）。
当已知函数的表达式时，可以通过观察函数的定义域和函数自身的性质来求值域。
2. 三角函数不等式法：可以利用三角函数的不等式来求值域，例如：对于正弦函数，有0 <= sin(x) <= 1。
3. 反函数法：对于反三角函数，如arcsin(x) 和arctan(x)，可以通过求其反函数的定义域来得到值域。
4. 换元法：对于某些复杂的三角函数，可以通过换元法将问题简化。
5. 判别式法：对于二次或高次方程的解，可以通过判别式小于或等于零来求出函数的值域。
三、例题解析：
【例题】求函数f(x) = 3sin(2x + π/6) 的值域。
解：首先，我们可以看出函数的定义域为R（即所有实数），且函数的周期性表现为sin(x) 的形式。
由于正弦函数的值域为-1 到1（包括-1，但不包括0），因此我们可以得出f(x) 的值域为[-3, 3]。
四、总结：
求三角函数值域的方法多种多样，观察法、三角函数不等式法、反函数法、换元法以及判别式法都是常见的方法。
理解这些方法并灵活运用，可以帮助我们更好地解决实际问题。
以上就是关于三角函数值域求法的介绍以及例题解析，希望对你有所帮助。
三角函数定义域值域的求法(共10张PPT)
反表示法
两边平方
四）二合一
五） 其他形式：
y
1
2
0
2x
六：应用题求最值
D
C
A
B
值域
最值 周期
[1,1]
T2
一. 求三角函定义域:
例1.求下列函数的定义域;
点拨:1.列出三角不等式 2.根据图象写出不等式的解集
二.求 三角函值域的几种典型形式
一）一次型
直接代入法
练习：口答下列函数的值域
(1)y=-2sinx+1
[－1，3]
(2) y=3cosx+2
[－1，5]
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
最小值是
二)二次型
二次函数法
点拨:1.换元(注明新元取值)
2.运用二次函数图象性质(一看对称轴,二看区间端点)
2.
y
写出y=sinx和y=cosx的定义域,值域,最值,周期
y= sinx和 y= cosx， x [0, 2 ]的简图：
最小值是
2.
根据图象写出不等式的解集
y=cosx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ]
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
求 三角函值域的几种典型形式
在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 三角函数定义域值域的求法
-1
0
1 2
1
t
练习：口答下列函数的值域
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
求 三角函值域的几种典型形式
点拨:统一函数名
三） 分式型 点拨: 1.反表示
三角函数定义域值域的求法
高中数学函数的定义域及值域
高中数学函数的定义域及值域1500字函数是数学中常用的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
函数的定义域是指输入的值的集合，而值域是函数输出的值的集合。
在高中数学中，我们经常需要确定函数的定义域和值域，以便了解函数的性质和行为。
为了确定一个函数的定义域，我们需要考虑两个因素：函数的解析式和函数的定义限制。
函数的解析式告诉我们函数如何计算输出值，而定义限制告诉我们输入值可以是哪些数。
首先，让我们考虑一些常见的函数类型及其定义域和值域。
1. 线性函数：线性函数的解析式可以写为y = mx + c，其中m是斜率，c是截距。
线性函数的定义域是所有实数集合，值域也是所有实数集合。
2. 幂函数：幂函数的解析式可以写为y = x^n，其中n是一个实数。
幂函数的定义域是所有实数集合，但值域取决于指数n的值。
例如，如果n是正偶数，那么幂函数的值域是非负实数集合；如果n是负偶数，那么幂函数的值域是正实数集合；如果n是奇数，那么幂函数的值域是所有实数集合。
3. 指数函数：指数函数的解析式可以写为y = a^x，其中a是一个正实数且不等于1。
指数函数的定义域是所有实数集合，值域是正实数集合。
4. 对数函数：对数函数的解析式可以写为y = log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1。
对数函数的定义域是正实数集合，值域是所有实数集合。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三角函数的定义域是所有实数集合，值域取决于具体的函数类型。
例如，正弦函数的值域是[-1, 1]；余弦函数的值域也是[-1, 1]；正切函数的值域是所有实数集合。
除了上述函数类型外，还有其他函数类型的定义域和值域也需要特别注意。
例如，有理函数的定义域由分母的零点确定，值域取决于分子的次数和分母的次数；反比例函数的定义域是除了零的所有实数，值域也是除了零的所有实数。
在确定函数的定义域和值域时，我们还需要注意一些常见的限制，如根式的奇次指数、分母不能为零、对数的底不能为1等。
三角函数定义域
三角函数定义域反三角函数是数学学科中的一个重要知识点，反三角函数的定义域是经常考的。
以下是相关内容，请大家过来复习！三角函数定义域 11、反正弦函数y=arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] 。
2、反余弦函数y=arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1] 。
3、反正切函数y=arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。
定义域R。
4、反余切函数y=arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。
定义域R。
5、反正割函数y=arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。
定义域（-∞,-1]U[1,+∞)。
6、反余割函数y=arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。
定义域（-∞,-1]U[1,+∞)。
三角函数定义域 2反三角函数是一种基本初等函数。
它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。
为了使单值的反三角函数所确定区间具有代表性，常遵循如下条件：1、为了保证函数与自变量之间的单值对应，确定的区间必须具有单调性；2、函数在这个区间最好是连续的（这里之所以说最好，是因为反正割和反余割函数是尖端的）；3、为了使研究方便，常要求所选择的区间包含0到π/2的角；4、所确定的区间上的函数值域应与整函数的定义域相同。
这样确定的反三角函数就是单值的，为了与上面多值的反三角函数相区别，在记法上常将Arc中的A改记为a，例如单值的反正弦函数记为arcsin x。
三角函数的图象与性质(自制)
x
R 最大值与最小值点恰好都在x 2 y 2 R 2上, 则f ( x ) 的最小正周期为 A.1 B.2 C .3 D.4
的图象上, 相邻的一个
析 : 本题主要考查三角函数的图象的性质 : 对称 中心与对称轴及最大值与最小值之间的关系.
依题意知 : 函数f ( x )的周期T f ( x )的最大值为 3.
f ( x )max 0
当x 0时分子为 1, 分母为1, 最小值为 1.
析 : f ( x) =-
sin x 1 3 2cos x 2sin x 1 1( 1 cos x 2 ) 1 sin x .
sin x 1 (1 sin x )2 (1 cos x )2
1 cos x 2 ) 表示点(1, 1)与单位圆上的点连线的斜率 1 sin x 的平方,为(0, ) (
故f ( x ) [1,0]
例4 : 对于函数f ( x ) a sin x bx c(其中a , b R, c z ), 选取a , b, c的一组值计算f (1)与f ( 1), 所得出的正确 结果一定不正确的是( 2011福建) A.4, 6 B.3,1 C .2, 4 D.1, 2
| t | 2
必须的哟!
故f ( t )在[ 2, 2]上为减函数, f ( x )min
9 9 2 2; f ( x )max 2 2. 2 2
练1.(2011上海理8)函数y sin(
2
2
x )cos(
6
x )的最大值为
.
析 : y sin(
x )cos(
1 积化和差 : sin sin [sin( ) sin( )] 2
三角函数知识点归纳
单调减区间可由2k ＋ ≤x＋≤2k ＋ ，k∈z解得。
在求 的单调区间时，要特别注意A和 的符号，通过诱导公式先将 化正。
如函数 的递减区间是______
（答：
解析：y= ，所以求y的递减区间即是求 的递增区间，由 得
，所以y的递减区间是
四、函数 的图像和三角函数模型的简单应用
终边在 轴上的角的集合为
终边在 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角 相同的角的集合为
(3)弧度制
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
③半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是
公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.
公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α， ．
公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α， .
公式五：sin ＝cos_α，cos ＝sinα.
公式六：sin ＝cos_α，cos ＝－sin_α.
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：
① 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍；
② ；问： ； ；
③ ；④ ；⑤ ；等等.
如[1] . （答案： ）
④若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ， ， ．
三角函数的定义域和值域
三角函数的定义域和值域三角函数是数学中的一类重要函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在进行三角函数的研究和应用时，了解其定义域和值域是非常重要的。
一、正弦函数的定义域和值域正弦函数是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的正弦值。
其定义域是实数集。
根据正弦函数的特点，我们知道正弦值的范围在-1到1之间，即其值域为[-1, 1]。
二、余弦函数的定义域和值域余弦函数也是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的余弦值。
与正弦函数类似，余弦函数的定义域也是实数集，而其值域同样为[-1, 1]。
三、正切函数的定义域和值域正切函数是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的正切值。
正切函数的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，即R - {(2n + 1)π/2 |n∈Z}。
值域为全体实数，即整个实数集R。
四、其它三角函数的定义域和值域除了正弦函数、余弦函数、正切函数之外，还有诸如余切函数、正割函数、余割函数等三角函数。
这些函数的定义域和值域如下：1. 余切函数（cotx）的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，即R - {nπ | n∈Z}。
值域也为全体实数。
2. 正割函数（secx）的定义域为除去π/2 + nπ的实数集，即R - {(2n + 1)π/2 | n∈Z}。
值域为正数和负数的并集，即R - {0}。
3. 余割函数（cscx）的定义域为除去nπ的实数集，即R - {nπ |n∈Z}。
值域同样为正数和负数的并集，即R - {0}。
五、总结三角函数的定义域和值域是根据函数的特点和性质决定的。
正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，值域都是[-1, 1]；正切函数的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，值域为全体实数；余切函数、正割函数、余割函数的定义域分别为R - {nπ | n∈Z}，值域为正数和负数的并集。
在实际应用中，对三角函数的定义域和值域的了解有助于我们分析和计算相关问题，并且在解决实际问题时能够更加准确地进行数值的转换和计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
1. 定义域 2.
1. 2. 值域 3. 4.
备选题1
备选题2.
备选题3
备选题 4
函数 y＝sin x＋23π ，x∈ 0，π2 的值域是
()
－ 3，1 A. 2 2
－1， 3 B. 2 2
C. 23，1
D. 12，1
解：
∵0≤x≤π， 2
∴23π≤x＋23π≤76π.
∴sin
7π≤sin
x＋2π 3
≤sin
2π，
6
3
∴－12≤y≤ 23.故选 B.
总结：
y sinx 的值域求法如下：
练习
求使函数 y 3cos(2x ) 取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
1
3 5
2
2 3
2
O
2
2
1
3 2
2
5 3
2
x
分析：令 z 2x
2 则 y 3sin z
化未知为已知
练习
求函数
y
3 2
sin
1 2
x
6
的最大值
因为有负号，
y 3 sin z 最大
三角函数的定义域、值域
回忆一下
1.正、余弦函数的定义域y和值域
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数 y sin x 定义域：R 值域：[-1，1]
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数 y cos x 定义域：R 值域：[-1，1]
| sin x |≤1 | cos x |≤1
2.正切函数 y tan x 的性质：
定义域： {x | x k , k Z}
2
值域： R
y
y tan x
值得注意
2
2
o 2
x 2
例
y sin x
y sinx 角
练习
1.已知函数y tan(2x ）
4
则定义域：
x
x
8
k
2
,
kzຫໍສະໝຸດ 例(sin x 1 )
练习 函数 y log2 2 的定义域为：
当 t＝12，即 sin x＝12时，ymin＝f(t)min＝34. ∴函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域为34，3.
小结 形如 f(x)＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的函数值域问题，可
以通过换元转化为二次函数 g(t)＝at2＋bt＋c 在闭区间[－1,1]上 的最值问题．要注意，正、余弦函数值域的有界性，即当 x∈R 时，－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1 对值域的影响．
y sin x
1
O
x
2
2
1
(2k ,2k 5 )k Z
6
6
关于三角函数的定义域：
1.正切函数的定义域 ； 2.与常见函数相结合，要解三角函数不等式
例
练习
例 求函数的最大值
使原函数取得最大值的集合是
和最小值
x
|
x
3
4k
,k
Z
y
1 2
sin
1 2
x
3
解：令z 1 x