安徽省蚌埠市2020届高三下学期第三次教学质量检查考试数学(理)试卷
腰三角形，且 Ａ１Ａ２＝Ａ２Ａ３＝… ＝ＡｎＡｎ＋１ ＝１，则 ＯＡ２ ＝槡２，ＯＡ３ ＝槡３，…
ＯＡｎ＝槡ｎ，现将△ＯＡ１Ａ２沿 ＯＡ２翻折成△ＯＰＡ２，则当四面体 ＯＰＡ２Ａ３体
积最大时，它的侧面有
个直角三角形；当 ＰＡ３ ＝１时，四
面体 ＯＰＡ２Ａ３外接球的体积为
．
三、解答题：共 ７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 １７～２１题为必考题，每个试题
２０（１２分） 已知抛物线 Ｃ：ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）的焦点为 Ｆ，直线 ｙ＝ｋｘ＋２与抛物线 Ｃ交于 Ａ，Ｂ两点，若 ｋ
＝１，则 ｜｜ＢＦ｜－｜ＡＦ｜｜＝４槡３． （１）求抛物线 Ｃ的方程； （２）分别过点 Ａ，Ｂ作抛物线 Ｃ的切线 ｌ１，ｌ２，若 ｌ１，ｌ２分别交 ｘ轴于点 Ｍ，Ｎ，求四边形 ＡＢＮＭ
验课”的不同上课顺序有
Ａ６００种
Ｂ３６００种
Ｃ１２００种
Ｄ１８００种
８函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ的图象是由函数 ｇ（ｘ）＝ｃｏｓ（２ｘ－φ）（０≤φ≤π）的图象向右平移 π６个单
位长度后得到，则下列是函数 ｙ＝ｇ（ｘ）的图象的对称轴方程的为
Ａｘ＝１π２
Ｂｘ＝π６
Ｃｘ＝π３
Ｄｘ＝０
９已知椭圆
ｘ２ ａ２
验，让学生在劳动课程中掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动
服务他人、服务社会的情怀。学校计划下周在高一年级开设“缝纫体验课”，聘请“织补匠
人”李阿姨给同学们传授织补技艺。高一年级有 ６个班，李阿姨每周一到周五只有下午第 ２
节课的时间可以给同学们上课，所以必须安排有两个班合班上课，高一年级 ６个班“缝纫体
面积的最小值．
２１（１２分）
已知函数 ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１ｘ＋ｘ）．
（１）分析函数 ｆ（ｘ）的单调性；
( ) ( ) （２）证明：１＋１ ２＋…
＋ｎ１－１ ｌｎ３≤ｌｎ
ｎ２ ＋ｎ ２
，ｎ≥２．
（二）选考题：共 １０分。请考生在第 ２２、２３题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 ２２［选修 ４—４：坐标系与参数方程］（１０分）
一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
１已知集合 Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－５ｘ＜－４｝，集合 Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≤０｝，则 Ａ∩（瓓ＲＢ）＝
Ａ（－１，０）
Ｂ（－１，４）
Ｃ（１，４）
Ｄ（０，４）
２已知 ｉ为虚数单位，则复数（２－ｉ）２的共轭复数为
( ) ∴３ｂｃ＝（ｂ＋ｃ）２－４≤３ ｂ２＋ｃ２ ∴（ｂ＋ｃ）２≤１６， ……………………………… １０分
∴ｂ＋ｃ≤４，等号成立当且仅当 ｂ＝ｃ＝２．
∴（ａ＋ｂ＋ｃ）ｍａｘ＝６ 即△ＡＢＣ周长的最大值为 ６．……………………………… １２分 １８（１２分）
（１）由题意，—ｘ＝２２＋３３１＋４０＝３１，—ｙ＝０５＋０３３＋００８＝７２５２， ………………………… ２分
Ａｙ＝±槡２２ｘ
Ｂｙ＝±槡２ｘ
Ｃｙ＝±２槡２ｘ
Ｄｙ＝±槡４２ｘ
蚌埠市高三年级数学试卷第１页（共４页）
６已知向量ａ，ｂ的夹角为２３π，ａ＝（１，２），ａ·（ａ＋２ｂ）＝０，则 ｜ｂ｜等于
Ａ槡５
Ｂ２槡５
Ｃ槡３１５
Ｄ２槡３１５
７劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某高中计划组织学生参与各项职业体
（１）由大数据可知，在 １８到 ４４岁之间各年龄段使用花呗“赊购”的人数百分比 ｙ与年龄 ｘ 成线性相关关系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年 龄，求所调查群体各年龄段“赊购”人数百分比 ｙ与年龄 ｘ的线性回归方程（回归直线 方程的斜率和截距保留两位有效数字）；
蚌埠市高三年级数学试卷第３页（共４页）
（１）由条件和正弦定理得，ｃ＝４３槡３ｓｉｎＣ，ａ＝４３槡３ｓｉｎＡ．
代入 ｃｓｉｎＡ＝４ｓｉｎＢ－槡３ａｃｏｓＣ，化简得：
ｓｉｎＣｓｉｎＡ＝槡３（ｓｉｎＢ－ｓｉｎＡｃｏｓＣ）， …………………………………………………… ２分
∴ｓｉｎＣｓｉｎＡ＝槡３ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）－槡３ｓｉｎＡｃｏｓＣ
∴ｓｉｎＣｓｉｎＡ＝槡３ｓｉｎＡｃｏｓＣ＋槡３ｃｏｓＡｓｉｎＣ－槡３ｓｉｎＡｃｏｓＣ
参考公式：∧ｂ＝ｉ∑＝ｎ１ｉ∑ｘ＝ｎｉ１ｙｘｉ２ｉ－－ｎｎ—ｘ—ｘ·２ —ｙ，∧ａ＝—ｙ－∧ｂ—ｘ．
１９（１２分） 如图四棱柱 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ＝ＡＢ ＝２ＢＣ，Ｍ为 Ａ１Ｄ的中点． （１）证明：ＣＭ∥平面 ＡＡ１Ｂ１Ｂ； （２）若四边形 Ａ１ＡＢＢ１是菱形，且面 Ａ１ＡＢＢ１⊥面 ＡＢＣＤ， ∠Ｂ１ＢＡ＝π３，求二面角 Ａ１－ＣＭ－Ａ的余弦值．
１９（１２分）
（１）取 ＡＡ１的中点 Ｎ，连接 ＭＮ，ＢＮ， ∵Ｍ为 Ａ１Ｄ的中点，∴ＭＮ∥ＡＤ且 ＭＮ＝１ ２ＡＤ
பைடு நூலகம்
蚌埠市高三年级数学参考答案第１页（共４页）
又 ＢＣ∥ＡＤ，ＢＣ＝１２ＡＤ，所以 ＭＮ∥ＢＣ且 ＭＮ＝ＢＣ，
考生都必须作答。第 ２２、２３题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 ６０分。
１７（１２分）
在△ＡＢＣ中，角 Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边长分别为 ａ，ｂ，ｃ，它的外接圆半径为２槡３３，
且 ｃｓｉｎＡ＝４ｓｉｎＢ－槡３ａｃｏｓＣ． （１）求角 Ａ的大小；
（２）求△ＡＢＣ周长的最大值．
１８（１２分） 随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移动 支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为“新四大发明”之一 随着人们消费观念的进 步，许多人喜欢用信用卡购物，考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世———蚂蚁花呗 这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时也满足了部分网上消费 群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求 为了调查使用蚂蚁花呗“赊购”消费与消费者 年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注册用户中各随机抽取 １００人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如下图所示．
{ 在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，直线 ｌ的参数方程为 ｙｘ＝＝１ｔｃｏ＋ｓｔαｓ，ｉｎα，（其中 ｔ为参数，３４π≤α＜
π）．在以原点 Ｏ为极点，ｘ轴的非负半轴为极轴所建立的极坐标系中，曲线 Ｃ的极坐标方 程为 ρｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓθ－２ρｓｉｎ２θ．设直线 ｌ与曲线 Ｃ相交于 Ａ，Ｂ两点． （１）求曲线 Ｃ和直线 ｌ的直角坐标方程； （２）已知点 Ｐ（０，１），求 ｜Ｐ１Ａ｜＋｜Ｐ１Ｂ｜的最大值．
数 学 （理工类）
本试卷满分 １５０分，考试时间 １２０分钟
注意事项： １答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 ２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。。
第二天会有 ８０％的可能性换另一种类型的套餐，假如第 １天小明选择了米饭套餐，第 ｎ天
选择米饭套餐的概率 ｐｎ，给出以下论述：
① 小明同学第二天一定选择面食套餐；② ｐ３＝０６８；
③ ｐｎ＝０２ｐｎ－１＋０８（１－ｐｎ－１）（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ）；
( ) ④
前
ｎ天小明同学午餐花费的总费用数学期望为２２５ｎ＋１２６５－２１５６
２３［选修 ４－５：不等式选讲］（１０分） 已知函数 ｆ（ｘ）＝｜ｘ－ｍ｜＋｜ｘ｜，ｘ∈Ｒ． （１）若不等式 ｆ（ｘ）≥ｍ２对ｘ∈Ｒ恒成立，求实数 ｍ的取值范围； （２）若（１）中实数 ｍ的最大值为 ｔ，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝ｔ，（ａ，ｂ，ｃ均为正实数）． 证明：１ａ＋１ｂ＋１ｃ≥９．
蚌埠市高三年级数学试卷第４页（共４页）
Ｃｙ＝４ｘｓｉｎ（πｘ）
Ｄｙ＝｜ｘ｜（１－ｘ）（ｘ＋１）
１１开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐
两种，已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套
餐的价格是每份 １５元，面食套餐的价格是每份 １０元，如果小明当天选择了某种套餐，她
＋ｂｙ２２
＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率为
３５，左、右焦点分别为
Ｆ１，Ｆ２，过左焦点
Ｆ１ 作直
线与椭圆在第一象限交点为 Ｐ，若△ＰＦ１Ｆ２为等腰三角形，则直线 ＰＦ１的斜率为
Ａ４７槡２
Ｂ７８槡２
Ｃ４槡５
Ｄ８７槡２
１０已知函数 ｆ（ｘ）的图象如图所示，则函数 ｆ（ｘ）的解析式可能是
Ａｙ＝ｘ（１－｜ｘ｜）
( ) Ｂｙ＝４ｘｃｏｓ π２ｘ
数学（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题：
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答 案 Ｃ Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｄ Ａ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ
二、填空题：
[ ) １３ ９ ４，＋∞ １４７２ １５４０ １６４，４３π（第一空 ２分，第二空 ３分）
三、解答题： １７（１２分）
２２×０５＋３１×０３＋４０×００８－３×３１×２２
所以 ∧ｂ＝
２２２ ＋３１２ ＋４０２ －３×３１２
７５＝－１３６２７８≈ －００２３，
∧ａ＝２ ７２ ５＋３１６７２８×３１≈１０，所求线性回归方程为 ｙ＝－００２３ｘ＋１０．……………… ５分
（２）由（１）知，该网站 ２０岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数百分比为
统计公报图表，根据 ２０１９年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是
Ａ２０１９年我国居民每月消费价格与 ２０１８年同期相比有涨有跌 Ｂ２０１９年我国居民每月消费价格中 ２月消费价格最高 Ｃ２０１９年我国居民每月消费价格逐月递增 Ｄ２０１９年我国居民每月消费价格 ３月份较 ２月份有所下降 ５已知双曲线 Ｃ：ａｘ２２ －ｙｂ２２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）离心率为 ３，则双曲线 Ｃ的渐近线方程为
安徽省蚌埠市2023届高三下学期第三次教学质量检查考试数学试题
蚌埠市２０２３届高三年级第三次教学质量检查考试数 学本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟注意事项：１ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
２ 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．１ 设集合Ａ＝－１，０，２，３，{}５，Ｂ＝ｘｙ＝（３－ｘ）（ｘ＋１槡{}），则Ａ∩Ｂ＝Ａ ｛０，２｝Ｂ ｛－１，０，２，３｝Ｃ ｛５｝Ｄ ｛－１，３，５｝２ 已知ｉ为虚数单位，复数ｚ满足ｚ（１－ｉ）２＝２，则ｚ２０２３＝Ａ －１Ｂ １Ｃ －ｉＤ ｉ３ 已知ｔａｎα＋π()４＝３，则ｔａｎα＝Ａ －２Ｂ －１２Ｃ１２Ｄ ２４ 直线ｌ：ｘ＋ｍｙ＋１－ｍ＝０与圆Ｃ：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝９的位置关系是Ａ 相交Ｂ 相切Ｃ 相离Ｄ 无法确定５ 已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了１０％的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为Ａ ５０％Ｂ ３２％Ｃ ３０％Ｄ ２７％６ 若椭圆Ｃ：ｘ２ｍ＋ｙ２２＝１的离心率为槡６３，则椭圆Ｃ的长轴长为Ａ ６Ｂ 槡２６３或槡槡槡２６Ｃ ２６Ｄ ２２或槡２６７ 函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１ｅｘ＋１·ｃｏｓｘ的图象大致为８ 在△ＡＢＣ中，Ｄ为ＢＣ上一点，且ＢＤ→＝３ＤＣ→，∠ＡＢＣ＝∠ＣＡＤ，∠ＢＡＤ＝２π３，则ｔａｎ∠ＡＢＣ＝Ａ 槡３９１３Ｂ 槡１３３Ｃ 槡３３Ｄ 槡３５二、选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得５分，有选错的得０分，部分选对的得２分．９．已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，等比数列｛ｂｎ｝的前ｎ项积为Ｔｎ，则下列结论正确的是Ａ 数列Ｓｎ{}ｎ是等差数列Ｂ 数列｛Ｓ２ｎ＋２－Ｓ２ｎ｝是等差数列Ｃ 数列Ｔ２ｎ＋２Ｔ２{}ｎ是等比数列Ｄ 数列｛１ｇＴｎ｝是等差数列１０．已知Ｆ是抛物线ｙ２＝４ｘ的焦点，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是Ａ 若ｘ１＋ｘ２＝６，那么｜ＡＢ｜＝８Ｂ 若｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝３，则线段ＡＢ的中点到ｙ轴的距离为１２Ｃ 若△ＦＡＢ是以Ｆ为直角顶点的等腰三角形，则｜ＡＢ槡｜＝４２±４Ｄ 若ＡＦ→＝２ＦＢ→，则直线ＡＢ的斜率为槡±２２１１．已知ＡＢ为圆锥ＳＯ底面圆Ｏ的直径，点Ｃ是圆Ｏ上异于Ａ，Ｂ的一点，Ｅ为ＳＡ的中点，ＳＡ＝５，圆锥ＳＯ的侧面积为１５π，则下列说法正确的是Ａ 圆Ｏ上存在点Ｆ使ＥＦ∥平面ＳＢＣＢ 圆Ｏ上存在点Ｆ使ＡＦ⊥平面ＳＢＣＣ 圆锥ＳＯ的外接球表面积为６２５π３２Ｄ 棱长为槡６的正四面体在圆锥ＳＯ内可以任意转动１２．已知ａ＞ｂ＞１，则下列结论正确的是Ａ ｅａ－ｂ＞ａｂＢ ｌｎａａ＞ｌｎ（ｂ＋１）ｂ＋１Ｃ ｌｏｇａ（ａ＋１）＞ｌｏｇｂ（ｂ＋１） Ｄ ａｂ＞ａｂｂａ三、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．已知ａ＝（１，２），ｂ＝（２，ｍ），ａ⊥（ａ－３ｂ），则ｍ＝．１４．已知（２ｘ－１）３－（ｘ＋２）４＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋ａ４ｘ４，则ａ０＋ａ２＋ａ４＝．１５．已知实数ａ＞０＞ｂ，且ａ－ｂ＝５，则１ａ＋１＋１２－ｂ的最小值为．１６．已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋２）＝－ｆ（ｘ），且当－１≤ｘ≤０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１－ｍ，则当０＜ｘ≤１时，ｆ（ｘ）＝；若对 ｘ∈［０，１］都有ｆ－ｘ２＋２ｔｘ＋()１４≥槡２－２，则实数ｔ的取值范围为．四、解答题：本题共６小题，共７０分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．１７．（本小题满分１０分）某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各１００名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生４０女生３０合计（１）根据所给数据完成上表，依据α＝０．００１的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？（２）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了２名男生和１名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为２３，这名女生进球的概率为１２，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求３人进球总次数Ｘ的分布列和数学期望．附：χ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）α０．１０．０５０．０１０．００５０．００１ｘα２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）槡＝３ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ＋ｃｏｓ２ωｘ－１２（ω＞０）．（１）若ω＝１，求函数ｆ（ｘ）的最小正周期；（２）若ｙ＝ｆ（ｘ）图象在０，π()４内有且仅有一条对称轴，求ｆπ()８的取值范围．１９．（本小题满分１２分）已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａ２ｎ＋１＝ａ２ｎ＋１，ａ２ｎ＝２ａ２ｎ－１．（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；（２）设Ｔｎ＝１ａ１＋１ａ２＋…＋１ａｎ，求证：Ｔ２ｎ＜３．２０．（本小题满分１２分）第２０题图如图，在四面体ＡＢＣＤ中，Ｇ为△ＡＢＣ的重心，Ｅ，Ｆ分别在棱ＢＣ，ＣＤ上，平面ＡＢＤ∥平面ＥＦＧ （１）求ＤＦＣＦ的值；（２）若ＡＢ⊥平面ＢＣＤ，ＤＣ⊥ＣＢ，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝３，求平面ＥＦＧ与平面ＡＣＤ的夹角的大小 ２１．（本小题满分１２分）已知Ａ，Ｂ是双曲线Ｅ：ｘ２４－ｙ２＝１的左、右顶点，Ｍ为双曲线上与Ａ，Ｂ不重合的点．（１）设直线ＭＡ，ＭＢ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，求证：ｋ１·ｋ２是定值；（２）设直线ｌ：ｘ＝１与直线ＭＡ交于点Ｐ，ｌ与ｘ轴交于点Ｓ，点Ｑ满足ＱＳ→＝２ＳＰ→，直线ＢＱ与双曲线Ｅ交于点Ｎ（与Ａ，Ｂ，Ｍ不重合）．判断直线ＭＮ是否过定点，若直线ＭＮ过定点，求出该定点坐标；若直线ＭＮ不过定点，请说明理由．２２．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１，ｇ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋ａ），ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝１，求证：ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）；（２）若函数ｆ（ｘ）与函数ｇ（ｘ）存在两条公切线，求实数ａ的取值范围．蚌埠市２０２３届高三年级第三次教学质量检查考试数学参考答案及评分标准一、二、选择题：题 号１２３４５６７８９１０１１１２答 案ＢＣＣＡＤＤＡＤＡＢＣＢＣＤＡＤＡＤ三、填空题１３ －１６ １４ －５４ １５ １２ １６ －２１－ｘ＋２（２分）；［１８，１３８］（３分）四、解答题１７ （１）２×２列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生６０４０１００女生３０７０１００合计９０１１０２００（２分）………………………………………………………………………………………零假设为Ｈ０：该校学生喜欢足球与性别无关联．根据列联表中的数据，经计算得到χ２＝２００×（６０×７０－４０×３０）２１００×１００×９０×１１０≈１８．１８２＞１０．８２８＝ｘ０．００１根据小概率值α＝０．００１的独立性检验，推断Ｈ０不成立，即认为该校学生喜欢足球与性别有关．（５分）…………………………………………………………………………（２）依题意Ｘ的所有可能取值为０，１，２，３，Ｐ（Ｘ＝０）＝()１３２×１２＝１１８，Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１２×２３×１３×１２＋１２×()１３２＝５１８，Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ１２×２３×１３×１２＋()２３２×１２＝４９，Ｐ（Ｘ＝３）＝()２３２×１２＝２９．∴Ｘ的分布列如下：Ｘ０１２３Ｐ１１８５１８４９２９（８分）………………………………………………………………………………………∴Ｘ的数学期望Ｅ（Ｘ）＝０×１１８＋１×５１８＋２×４９＋３×２９＝１１６ （１０分）………………１８ （１）因为ｆ（ｘ）槡＝３ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ＋ｃｏｓ２ωｘ－１２＝槡３２ｓｉｎ２ωｘ＋１２ｃｏｓ２ωｘ＝ｓｉｎ２ωｘ＋π()６，（３分）………………………………………………………………………………………所以函数ｆ（ｘ）的最小正周期Ｔ＝２π２ω＝π．（５分）………………………………………（２）由２ωｘ＋π６∈π６，π２ω＋π()６，因为函数ｆ（ｘ）图象在０，π()４内有且仅有一条对称轴，所以π２＜π２ω＋π６≤３π２，即２３＜ω≤８３，（９分）…………………………………………所以π３＜π４ω＋π６≤５π６，所以ｆπ()８＝ｓｉｎπ４ω＋π()６∈１２，[]１．１２分……………………………………………１９ （１）由题意ａ２ｎ＋１＝ａ２ｎ＋１＝２ａ２ｎ－１＋１，所以ａ２ｎ＋１＋１＝２（ａ２ｎ－１＋１），因为ａ１＋１＝２≠０，所以数列｛ａ２ｎ－１＋１｝是首项为２，公比为２的等比数列，（２分）…所以ａ２ｎ－１＋１＝２ｎ，即ａ２ｎ－１＝２ｎ－１，而ａ２ｎ＝２ａ２ｎ－１＝２ｎ＋１－２，（４分）…………………………………………………………所以ａｎ＝２ｎ＋１２－１，ｎ为奇数，２ｎ２＋１－２，ｎ为偶数{．（６分）……………………………………………………（２）方法一：由（１）Ｔ２ｎ＝∑ｎｉ＝１１ａ２ｉ－１＋１ａ２()ｉ＝３２∑ｎｉ＝１１２ｉ－１＝３２∑ｎｉ＝１２ｉ＋１－１（２ｉ－１）（２ｉ＋１－１）（８分）………………＜３２∑ｎｉ＝１２ｉ＋１（２ｉ－１）（２ｉ＋１－１）＝３∑ｎｉ＝１２ｉ（２ｉ－１）（２ｉ＋１－１）（１０分）…………………＝３∑ｎｉ＝１１２ｉ－１－１２ｉ＋１()－１＝３１－１２ｎ＋１()－１＜３．（１２分）………………………方法二：∵２ｎ－１≥２ｎ－１（ｎ∈Ｎ ），８分……………………………………………………………∴Ｔ２ｎ＝∑ｎｉ＝１１ａ２ｉ－１＋１ａ２()ｉ＝３２∑ｎｉ＝１１２ｉ－１≤３２∑ｎｉ＝１１２ｉ－１＝３１－１２()ｎ＜３．（１２分）………………２０ （１）解：延长ＣＧ交ＡＢ于点Ｈ，连接ＣＨ，ＤＨ，因为Ｇ为△ＡＢＣ的重心，所以Ｈ为ＡＢ的中点，且ＣＧＣＨ＝２３，（２分）……………………因为平面ＡＢＤ∥平面ＥＦＧ，平面ＡＢＤ∩平面ＤＣＨ＝ＤＨ，平面ＥＦＧ∩平面ＤＣＨ＝ＦＧ，所以ＦＧ∥ＤＨ，（４分）……………………………………………………………………所以ＣＦＣＤ＝ＣＧＣＨ＝２３，所以ＤＦＣＦ＝１２．（５分）…………………………………………………（２）解：因为ＡＢ⊥平面ＢＣＤ，ＢＣ，ＣＤ 平面ＢＣＤ，所以ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ⊥ＣＤ，因为ＣＤ⊥ＣＢ，ＣＤ⊥ＡＢ，ＢＣ∩ＡＢ＝Ｂ，ＢＣ，ＡＢ 平面ＡＢＣ，所以ＣＤ⊥平面ＡＢＣ，（７分）………………………………………………………………………………………第２０题答案图如图，以ＢＡ为ｘ轴，ＢＣ为ｙ轴，过Ｂ与ＣＤ平行的直线为ｚ轴，建立空间直角坐标系，方法一：由（１）同理可得ＥＦ∥ＢＤ，则ＣＦＣＤ＝ＣＥＣＢ＝２３，所以Ａ（３，０，０），Ｆ（０，３，２），Ｅ（０，１，０），Ｇ（１，１，０），Ｃ（０，３，０），Ｄ（０，３，３），所以ＧＦ→＝（－１，２，２），ＧＥ→＝（－１，０，０），ＣＤ→＝（０，０，３），ＣＡ→＝（３，－３，０）．（８分）……设平面ＥＦＧ的法向量为ｍ＝（ａ，ｂ，ｃ），则ｍ·ＧＦ→＝－ａ＋２ｂ＋２ｃ＝０，ｍ·ＧＥ→＝－ａ＝０{，令ｂ＝１，则ａ＝０，ｃ＝－１，则ｍ＝（０，１，－１），设平面ＡＣＤ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则ｎ·ＣＤ→＝３ｚ＝０，ｎ·ＣＡ→＝３ｘ－３ｙ＝０{，令ｘ＝１，则ｙ＝１，ｚ＝０，则ｎ＝（１，１，０），（１０分）…………………………………………设平面ＥＦＧ与平面ＡＣＤ的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝｜ｎ·ｍ｜｜ｎ｜·｜ｍ｜＝１槡槡２×２＝１２，所以平面ＥＦＧ与平面ＡＣＤ的夹角的大小为π３．（１２分）………………………………方法二：易知Ａ（３，０，０），Ｃ（０，３，０），Ｄ（０，３，３），所以ＣＤ→＝（０，０，３），ＣＡ→＝（３，－３，０），ＢＤ→＝（０，３，３），ＢＡ→＝（３，０，０）．（８分）…………设平面ＡＢＤ的法向量为ｍ＝（ａ，ｂ，ｃ），则ｍ·ＢＤ→＝３ｂ＋３ｃ＝０，ｍ·ＢＡ→＝３ａ＝０{，令ｂ＝１，则ａ＝０，ｃ＝－１，则ｍ＝（０，１，－１），因为平面ＡＢＤ∥平面ＥＦＧ．所以平面ＥＦＧ的法向量即ｍ＝（０，１，－１），（下同方法一）２１ （１）设Ｍ（ｘＭ，ｙＭ），由题意Ａ（－２，０），Ｂ（２，０），且ｘＭ２４－ｙＭ２＝１，所以ｋ１·ｋ２＝ｙＭｘＭ＋２·ｙＭｘＭ－２＝ｙＭ２ｘＭ２－４＝ｘＭ２４－１ｘＭ２－４＝１４．（４分）…………………………（２）设Ｍ（ｘＭ，ｙＭ），Ｎ（ｘＮ，ｙＮ），Ｐ（１，ｔ），ＢＮ的斜率为ｋ３，由ＱＳ→＝２ＳＰ→知：Ｑ（１，－２ｔ），所以ｋ１ｋ３＝ｋＡＰｋＢＱ＝ｔ１－（－２）－２ｔ１－２＝１６．由（１）知：ｋ１·ｋ２＝１４，所以ｋ２·ｋ３＝３２．（６分）…………………………………………设ＭＮ：ｘ＝ｍｙ＋ｎ（ｍ≠０，ｍ≠±２，ｎ≠２）……①双曲线Ｅ：ｘ２４－ｙ２＝１……②联立①②得：（ｍ２－４）ｙ２＋２ｍｎｙ＋ｎ２－４＝０，所以ｙＭ＋ｙＮ＝－２ｍｎｍ２－４，ｙＭｙＮ＝ｎ２－４ｍ２－４，（９分）…………………………………………所以ｋ２·ｋ３＝ｙＭｘＭ－２·ｙＮｘＮ－２＝ｙＭｙＮ（ｍｙＭ＋ｎ－２）（ｍｙＮ＋ｎ－２）＝３２，即（３ｍ２－２）ｙＭｙＮ＋３ｍ（ｎ－２）（ｙＭ＋ｙＮ）＋３（ｎ－２）２＝０，整理得ｎ＝１０７，故直线ＭＮ过定点１０７，()０．（１２分）………………………………………………………２２ （１）令Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ，则Ｆ′（ｘ）＝ｅｘ－１＞０ ｘ＞０，所以Ｆ（ｘ）在（－∞，０）上单调递减，在（０，＋∞）上单调递增，所以Ｆ（ｘ）≥Ｆ（０）＝０，所以ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１≥ｘ，当且仅当ｘ＝０时，等号成立，（２分）……………………………所以ｆ（ｌｎ（ｘ＋１））＝ｘ≥ｌｎ（ｘ＋１），当且仅当ｘ＝０时，等号成立，即ｆ（ｘ）≥ｘ≥ｇ（ｘ），当且仅当ｘ＝０时，等号成立 （４分）……………………………（２）设ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的公切线为ｌ，直线ｌ与ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）分别切于点Ａ（ｘ１，ｅｘ１－１）和点Ｂ（ｘ２，ｌｎ（ｘ２＋ａ））易知ｆ′（ｘ）＝ｅｘ，ｇ′（ｘ）＝１ｘ＋ａ，方法一：由题意知，公切线ｌ：ｙ＝ｅｘ１（ｘ－ｘ１）＋ｅｘ１－１，ｙ＝１ｘ２＋ａ（ｘ－ｘ２）＋ｌｎ（ｘ２＋ａ），所以ｅｘ１＝１ｘ２＋ａ，（１－ｘ１）ｅｘ１－１＝ｌｎ（ｘ２＋ａ）－ｘ２ｘ２＋ａ{．即ｘ１＝－ｌｎ（ｘ２＋ａ），（１－ｘ１）ｅｘ１＝ｌｎ（ｘ２＋ａ）＋ａｘ２＋ａ{．所以１＋ｌｎ（ｘ２＋ａ）ｘ２＋ａ＝ｌｎ（ｘ２＋ａ）＋ａｘ２＋ａ，即（ｘ２＋ａ－１）ｌｎ（ｘ２＋ａ）＋ａ－１＝０．（６分）………………………………………………………………………………………令Ｇ（ｕ）＝（ｕ－１）ｌｎｕ＋ａ－１，则Ｇ（ｕ）在（０，＋∞）上存在两个零点 因为Ｇ′（ｕ）＝ｌｎｕ＋ｕ－１ｕ，Ｇ″（ｕ）＝１ｕ＋１ｕ２＞０，所以Ｇ′（ｕ）在（０，＋∞）上单调递增，又因为Ｇ′（１）＝０，所以Ｇ（ｕ）在（０，１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增．１°若ａ＞１，则Ｇ（ｕ）≥Ｇ（１）＝ａ－１＞０，所以Ｇ（ｕ）在（０，＋∞）上没有零点．（７分）……………………………………………２°若ａ＝１，则Ｇ（ｕ）≥Ｇ（１）＝０，当且仅当ｕ＝１时，等号成立，所以Ｇ（ｕ）在（０，＋∞）上有且只有一个零点 （８分）…………………………………３°若ａ＜１，令ｕ０＝ｅ２ａ－３，则０＜ｕ０＜１ｅ＜１２，且ｌｎｕ０＜０，所以Ｇ（ｕ０）＝（ｕ０－１）ｌｎｕ０＋ａ－１＞－１２ｌｎｕ０＋ａ－１＝－（２ａ－３）２＋ａ－１＝１２＞０，（１０分）……………………………………………………………………………………Ｇ（１）＝ａ－１＜０，Ｇ（ｅ１－ａ＋１）＝ｅ１－ａｌｎ（ｅ１－ａ＋１）＋ａ－１＞ｌｎ（ｅ１－ａ＋１）＋ａ－１＞ｌｎｅ１－ａ＋ａ－１＝０，所以Ｇ（ｕ）在（０，＋∞）上存在两个零点，综上所述，ａ＜１．（１２分）…………………………………………………………………方法二：由题意知ｋＡＢ＝ｆ′（ｘ１）＝ｇ′（ｘ２），即ｅｘ１－１－ｌｎ（ｘ２＋ａ）ｘ１－ｘ２＝ｅｘ１＝１ｘ２＋ａ，整理得：１－ｘ１＋ｘ１ｅｘ１－ａ＝０，６分…………………………………………………………令Ｈ（ｘ）＝１－ｘ＋ｘｅｘ－ａ，ｘ∈Ｒ，依题意Ｈ（ｘ）在Ｒ上存在两个零点．易知Ｈ′（ｘ）＝－１＋１－ｘｅｘ＝１－ｘ－ｅｘｅｘ，令ｕ（ｘ）＝１－ｘ－ｅｘ，则ｕ′（ｘ）＝－１－ｅｘ＜０，可知ｕ（ｘ）是减函数，且ｕ（０）＝０，所以当ｘ＜０，ｕ（ｘ）＞０，Ｈ′（ｘ）＞０，Ｈ（ｘ）在区间（－∞，０）单调递增；当ｘ＞０，ｕ（ｘ）＜０，Ｈ′（ｘ）＜０，Ｈ（ｘ）在区间（０，＋∞）单调递减．由题意知，Ｈ（０）＝１－ａ＞０，解得ａ＜１，８分……………………………………………令ｘ０＝１＋１ｅ－ａ＞０，又易证ｅｘ≥ｅｘ，当且仅当ｘ＝１时，等号成立．则Ｈ（ｘ０）＝１－ｘ０＋ｘ０ｅｘ０－ａ≤１－ｘ０＋ｘ０ｅｘ０－ａ＝１－ｘ０＋１ｅ－ａ＝１－１＋１ｅ－()ａ＋１ｅ－ａ＝０，因为Ｈ（０）Ｈ（ｘ０）≤０，Ｈ（ｘ）在区间（０，＋∞）单调递减，所以Ｈ（ｘ）在区间（０，＋∞）上存在唯一零点，令ｘ′＝ａ－２＜－１，所以１ｅｘ′＞２，则Ｈ（ｘ′）＝１－ｘ′＋ｘ′ｅｘ′－ａ＜１－ｘ′＋２ｘ′－ａ＝１＋ｘ′－ａ＝－１＜０，因为Ｈ（０）Ｈ（ｘ′）＜０，Ｈ（ｘ）在区间（－∞，０）单调递增，所以Ｈ（ｘ）在区间（－∞，０）上存在唯一零点，综上所述，ａ＜１．（１２分）…………………………………………………………………（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）。
安徽省蚌埠市2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析
安徽省蚌埠市2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ）A ．1 5B ．415C ．1 3D ．25 【答案】B【解析】【分析】先列举出不超过15的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，满足3a b -<”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】不超过15的素数有：2、3、5、7、11、13，在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数，所有的基本事件有：()2,3、()2,5、()2,7、12()()f x f x -、()2,13、()3,5、()3,7、()3,11、()3,13、()5,7、()5,11、()5,13、()7,11、()7,13、()11,13，共15种情况，其中，事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，且3a b -<”包含的基本事件有：()2,3、()3,5、()5,7、()11,13，共4种情况， 因此，所求事件的概率为415P =. 故选：B.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线m平行于平面α与平面β的交线时也有//m α，//m β，故②错误；若m α⊥，则m 垂直平面α内以及与平面α平行的所有直线，故③正确；若//m α，则存在直线l α⊂且//m l ，因为m β⊥，所以l β⊥，从而αβ⊥，故④正确.故选：C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.3．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）A ．2y x =+B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =【答案】C【解析】【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除；故选：C .【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.4．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：(0,0,0),(0,0,2),,O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）【答案】C【解析】【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '．易求得30OAB O AC '∠=∠=︒，由2AO =，233OB =433AB = 433AC =，22263BC OB OC =+=222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-== 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠=∴2521,521OO OO ''=⇒=+故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 5．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，A ．6i >，7S S =B ．6i …7S S =C ．6i >，7S S =D ．6i …，7S S = 【答案】A【解析】【分析】 依题意问题是()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，然后按直到型验证即可. 【详解】 根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦， 观察程序框图可知，应填入6i >，7S S =， 故选：A.【点睛】 本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.6．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．4【答案】B【解析】【分析】【详解】奇函数()f x 是R 上的减函数，则()00f =，且2100m n m n m ≤-⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，画出可行域和目标函数，2z m n =-，即2n m z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移得到：当直线过点()0,2，即0.2m n ==时，2z m n =-有最小值为2-.故选：B.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.7．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( ) A ．65 B ．5C ．55 D ．6【答案】C【解析】【分析】利用导数法和两直线平行性质，将线段||PQ 的最小值转化成切点到直线距离.【详解】已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，可知抛物线21y x =+存在某条切线与直线260x y --=平行，则2k =，设抛物线21y x =+的切点为()200,1x x +，则由2y x '=可得022x =， 1x ∴=，所以切点为(1,2)，则切点(1,2)到直线260x y --=的距离为线段||PQ 的最小值，则min ||5PQ ==. 故选：C.【点睛】 本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力. 8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227 B ．15750C ．289D ．337115 【答案】C【解析】【分析】 将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=， 故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.9．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ） A ．20B ．30C ．50D ．60【答案】D【解析】【分析】先设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，在表示出1F AB ∆面积，由图象遏制，当点A 在椭圆的顶点时，此时1F AB ∆面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.由题意，设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，则1F AB ∆的面积为122S OF y c y =⨯⨯=， 当y 最大时，1F AB ∆的面积最大，由图象可知，当点A 在椭圆的上下顶点时，此时1F AB ∆的面积最大，又由22116925x y +=，可得椭圆的上下顶点坐标为(0,5),(0,5)-， 所以1F AB ∆的面积的最大值为16925560S cb ==-⨯=.故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.10．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】【分析】先判断命题,p q 的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.【详解】 1log log b a a b =，1log log c a a c =，因为1a >，1b c >>，所以0log log a a c b <<，所以11log log a a c b>，即命题p 为真命题；画出函数2x y =和3log y x =图象，知命题q 为假命题,所以()p q ∧⌝为真.【点睛】本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题,p q 的真假,难度较易. 11．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<【答案】A【解析】【分析】 根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项.【详解】如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴4m =，∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4n =，∴结合四个选项可知，只有m n =正确.故选：A.【点睛】12．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ）A ．5B ．53C ．25D ．35【答案】A【解析】【分析】设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，可证1//AB BD ，得到1C BD ∠（或补角）为所求的角，分别求出111,,BC AB C D ，解1C BD V 即可.【详解】设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111//,AB A B AB A B =，11//,AB B D AB B D ∴=，四边形1ABDB 为平行四边形，1//AB BD ∴，1C BD ∴∠（或补角）为直线1BC 与1AB 所成的角，在1Rt BCC △中，22115BC CC BC =+=，在111Rt A B C △中，221111111115,cos 5A B AC B C B AC =+=∠=， 在11AC D V 中， 22211111111112cos 420168C D A C A D A C A D B A C =+-⋅∠=+-=，在11Rt AA B △中，22111113,3AB AA A B BD AB =+=∴==，在1BC D V 中，22211115cos 2565BC BD C D C BD BC BD +-∠===⋅. 故选：A.本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届安徽省蚌埠市高三下学期第三次质量检查数学试题及答案
蚌埠市２０２４届高三年级第三次教学质量检查考试数 学本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟注意事项：１ 答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
２ 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
１ 已知集合Ａ＝｛１，３，５，７，９｝，Ｂ＝｛３，６，９，１２｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ ｛３，９｝Ｂ ｛１，３，５，６，７，９，１２｝Ｃ ｛１，５，７｝Ｄ ｛６，１２｝２ 已知平面向量ａ＝（１，ｍ），ｂ＝（－２，４），且ａ∥ｂ，则ｍ＝Ａ ２Ｂ１２Ｃ －１２Ｄ －２３ 已知曲线Ｃ∶ｘ２４＋ｙ２ｍ＝１（ｍ≠０），则“ｍ∈（０，４）”是“曲线Ｃ的焦点在ｘ轴上”的Ａ 充分不必要条件Ｂ 必要不充分条件Ｃ 充要条件Ｄ 既不充分也不必要条件４ 在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知ａ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝１，ｓｉｎＣ＝槡２２，则Ａ ｂ＝１Ｂ ｂ槡＝２Ｃ ｃ槡＝２Ｄ ｃ槡＝３５ 记数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若Ｓｎ{}ｎ是等差数列，Ｓ２＝－８，Ｓ６＝０，则ａ３＋ａ４＝Ａ －８Ｂ －４Ｃ ０Ｄ ４６ （１－ｘ＋ｘ２）２·（１＋ｘ）３的展开式中，ｘ４的系数为Ａ １Ｂ ２Ｃ ４Ｄ ５７ 在一组样本数据中，１，２，３，４出现的频率分别为ｐ１，ｐ２，ｐ３，ｐ４，且∑４ｉ＝１ｐｉ＝１，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是Ａ ｐ１＝０ １，ｐ２＝０ ２，ｐ３＝０ ３，ｐ４＝０ ４Ｂ ｐ１＝０ ４，ｐ２＝０ ３，ｐ３＝０ ２，ｐ４＝０ １Ｃ ｐ１＝ｐ４＝０ １，ｐ２＝ｐ３＝０ ４Ｄ ｐ１＝ｐ４＝０ ４，ｐ２＝ｐ３＝０ １８ 已知抛物线Ｃ∶ｙ２＝４ｘ，过其焦点Ｆ的直线交Ｃ于Ａ，Ｂ两点，Ｍ为ＡＢ中点，过Ｍ作准线的垂线，垂足为Ｎ，若｜ＡＦ｜＝４，则｜ＮＦ｜＝Ａ４３Ｂ 槡４３３Ｃ８３Ｄ 槡８３３二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分。
【附3套模似卷】安徽省蚌埠市2019-2020学年高考数学第三次调研试卷含解析
安徽省蚌埠市2019-2020学年高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】【分析】【详解】 初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环； 第二次循环：844128 2.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ．2．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．54B 5C ．102D ．105【答案】D【解析】【分析】先化简得31i,55z =+再求||z 得解.【详解】 2i 2i(13i)31i,13i 1055z -===++ 所以10||5z =. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．4383π+B ．2383π+C ．4343π+D ．8343π+ 【答案】A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为234的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为21311434234238323V ππ=⨯⨯⨯⨯=+ 故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.4．单位正方体ABCD-1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）A．1 B．2C．3D．0【答案】B【解析】【分析】根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．【详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过1段后又回到起点，可以看作以1为周期，÷=L，由202063364白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点，2.故选B.【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.5．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】5,1,5,3,5,1,3,5共4个，选D.X可以是{}{}{}{}6．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE=50cm ．EF=40cm ．FC=30cm ，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（ ）A ．502cmB ．402cmC ．50cmD ．206cm【答案】D【解析】【分析】 过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，利用直线三角形中的边角关系，将,AB BC 用α表示出来，根据AB BC =，列方程求出α，进而可得正方形的边长.【详解】过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，则CFQ α∠=，60MEF QFE α∠=∠=-o，则()sin sin 60sin AB AM MN NB AE EF FC ααα=++=+-+o ()3350sin 40sin 6030sin 40sin 22ααααα⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭o ， ()cos cos cos 60CB BP PC AE FC EF ααα=+=+--o()3350cos 30cos 40cos 6040cos sin 22ααααα⎛⎫=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭o 因为AB CB =，则333340sin 40cos 22αααα⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理化简得sin23cosαα=-，又22sin cos1αα+=，得31sin22α-=，31cos22α+=33331331 40sin cos40206 22222222ABαα⎛⎫⎛⎫-+∴=+=⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即该正方形的边长为206cm.故选：D.【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.7．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A．240，18 B．200，20C．240，20 D．200，18【答案】A【解析】【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A．【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．8．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．9．若函数12log ,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩…函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．(1,0)-B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞UD ．(0,1)【答案】C【解析】【分析】转化()()g x f x kx =+有1个零点为()y f x =与y kx =-的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解.【详解】 ()()g x f x kx =+有1个零点等价于()y f x =与y kx =-的图象有1个交点．记()(1)(3)(1)h x x x x x =--->，则过原点作()h x 的切线，设切点为00(,)x y ，则切线方程为000()()()y h x h x x x '-=-，又切线过原点，即000()()h x h x x '=，将0000()13,()()h x x x x =---，02003()38x h x x '-+=-代入解得02x =．所以切线斜率为2(2)328231h '=-⨯+⨯-=，所以1k <-或0k >．故选：C【点睛】本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.10．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【答案】D【解析】【分析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④. 故选：D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．11．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =U ，则实数a 的值可以为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．2- 【答案】D【解析】【分析】由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =U ，即可得出1a ≤-，从而求出结果．【详解】 {|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥Q ，且A B R =U ，1a ∴≤-，∴a 的值可以为2-．故选：D ．【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．12．已知非零向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r ，||3a =r ，且a r 与a b +r r 的夹角为4π，则||b =r （ ）A ．6B ．C ．D ．3【答案】D【解析】【分析】 利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可．【详解】解：非零向量a r ，b r 满足0a b =r r g ，可知两个向量垂直，||3a =r ，且a r 与a b +r r 的夹角为4π， 说明以向量a r ，b r 为邻边，a b +r r 为对角线的平行四边形是正方形，所以则||3b =r ．故选：D ．【点睛】本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省蚌埠市高考数学三模试卷(理科)
高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i是虚数单位，复数=（）A. 1B. iC. -1D. -i2.已知集合A={x|≤3}，集合B={x|x2≤9}，则A∩B=（）A. [-3，3]B. [-3，9]C. [0，3]D. [0，9]3.函数f（x）=e的图象是（）A. B.C. D.4.我市高三年级第二次质量检测的数学成绩X近似服从正态分布N（82，σ2），且P（74＜X＜82）=0.42．已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（）A. 64B. 81C. 100D. 1215.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点坐标为（2，1），则双曲线C的方程为（）A. =1B. =1C. x2=1D. x2=16.执行如图程序框图所示的程序，若输出的x的值为9，则输入的x为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.8.若二项式（x6）n的展开式中含有常数项，则n的值可以是（）A. 8B. 9C. 10D. 119.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象．若函数g（x）为偶函数，则函数f（x）在区间[-]上的值域是（）A. [-1，]B. （-2，1）C. （-1，）D. [-2，1]10.如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AD=2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设PF=λFC，则λ=（）A. 4B. 3C. 2D. 111.设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|=2．若以MF为直径的圆过点（0，1），则抛物线C的焦点到准线距离为（）A. 2B. 2或4C. 8D. 8或1612.已知函数f（x）=x+，过点（1，0）作曲线f（x）的两条切线，切点为A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），其中0＜x1＜x2．若在区间（x1，x2）中存在唯一整数，则a的取值范围是（）A. （-∞，-2）B. [-1，-2）C. [-）D. （-）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（x，2），=（-1，1），若||=||，则x的值为______．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin2A+c（sin C-sin A）=2sin2B，且△ABC的面积S=abc．则角B=______．15.回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸，可能节约用水约100吨，节约用煤约1.2吨，回收1吨废铅蓄电池可再生铅约0.6吨，可节约用煤约0.8吨，节约用水约120吨，回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元，回收1吨废纸的费用约为0.2万元．现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元，在保证节约用煤不少于12吨的前提下，最多可节约用水约______吨．16.已知球D的半径为3，圆A与圆C为该球的两个小圆，MN为圆A与圆C的公共弦，MN=2，若点B是弦MN的中点，则四边形ABCD的面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}中，a1=3，且n（n+1）（a n-a n+1）=2，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18.如图，在以P为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆O的直径AB长为2，C是圆O所在平面内一点，且AC是圆O的切线，连接BC交圆O于点D，连接PD，PC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若E是PC的中点，连接OE，ED，当二面角B-PO-D的大小为120°时，求平面PAC与平面DOE所成锐二面角的余弦值．19.已知点E（-2，0），F（2，0），P（x，y），是平面内一动点，P可以与点E，F重合．当P不与E，F重合时，直线PE与PF的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹方程；（2）一个矩形的四条边与动点P的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围．20.某地种植常规稻α和杂交稻β，常规稻α的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.90元/公斤的可能性为70%，变为4.00元/公斤的可能性为20%．统计杂交稻β的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①．统计近10年杂交稻β的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为（x i，y i）（i=1，2，..10），并得到散点图如图②．（1）根据以上数据估计明年常规稻α的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻β的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻β的亩产超过795公斤的概率；（3）①判断杂交稻β的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；②调查得知明年此地杂交稻β的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻α和杂交稻β中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：，，，，附：线性回归方程，．21.已知函数f（x）=-x，其中a≥1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）讨论函数f（x）的零点个数．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤β＜π），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知直线l与曲线C相交于A，B两点，且|OA|-|OB|=2，求β．23.已知：a2+b2=1，其中a，b∈R．（1）求证：≤1；（2）若ab＞0，求（a+b）（a3+b3）的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：===i，故选：B．根据复数运算的除法运算法则，分子分母同乘以1+3i，进行运算．本题考查了复数的除法运算，掌握运算法则是关键．本题属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为集合A={x|≤3}={x|0≤x≤9}，B={x|x2≤9}={x|-3≤x≤3}，所以A∩B={x|0≤x≤3}，故选：C．通过解不等式，把集合A，B化简，然后求出A∩B．本题考查了不等式的解法，交集的基本运算，正确求解不等式是本题的关键，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：f（0）=1，排除选项C，D；由指数函数图象的性质可得函数f（x）＞0恒成立，排除选项B，故选：A．先根据函数值f（0）=1排除选项C，D；再根据指数函数图象的性质可得f（x）＞0恒成立，即可得到答案．本题主要考查函数图象的判断，结合函数的性质是解决本题的关键．，图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．4.【答案】A【解析】解：因为数学成绩X近似服从正态分布N（82，σ2），所以数学成绩X关于X=82对称，∵P（74＜X＜82）=0.42．∴P（82＜X＜90）=0.42．P（X≥90）=P（X≤74）==0.08，所以我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为0.08×800=64，故选：A．通过数学成绩X近似服从正态分布N（82，σ2），所以数学成绩X关于X=82对称，通过P（74＜X＜82）=0.42．可以计算出P（82＜X＜90）=0.42．利用对称性即可得出P （X≥90）=P（X≤74），这样就可以估计出我市某校有800人参加此次考试，该校数学成绩不低于90分的人数．本题考查了正态分布的对称性及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：设P（2，1），F1（-c，0），F2（c，0），由题意可知：点P在y=x上，所以a=2b，又P在以F1F2为直径的圆上，所以OF2=OP=（O为坐标原点），即c=，又a2+b2=c2=5，a=2b，解得a=2，b=1，所以双曲线方程为-y2=1，故选：B．设P（2，1），由题意可知：点P在y=上，再由OP=OF2列方程组，结合c2=a2+b2即可求出a，b的值．本题考查了求双曲线标准方程，解题的关键是应用向量构造等式．6.【答案】B【解析】解：执行程序框图，输入x，当i=1时，得到2x-1；当i=2时，得到2（2x-1）-1=4x-3，当i=3时，得到4（2x-1）-3=8x-7，当i=4时，退出循环，输出8x-7=9，解得x=2，故选：B．直接利用程序框图的循环结构的应用求出结果．本题考查循环结构的程序框图的输出结果的计算问题，着重考查推理与运算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：通过三视图可知，该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，因此：=．故选：A．通过三视图可知，该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，分别求出它们的体积相加即可．本题考查了通过三视图求几何体的体积问题，关键是识别出几何体的形状．主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：二项式（x6）n的第r+1项为：T r+1=•（-1）r•，由题意可知含有常数项，所以只需4n-5r=0，对照选项当n=10时，r=8，故选：C．写出二项式展开式的通项，化简，令x的指数为零，对照选项，求出答案．本题考查了二项式定理的应用，解题的关键是应用二项式的展开式的通项公式，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：因为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以T=π，而ω＞0，解得：ω=2，又因为函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，所以g（x）=2sin[ω（x+）+φ]，由函数g（x）为偶函数，可得（k∈Z），而|φ|＜，所以：φ=-，因此：，由于：，所以：，所以：．所以函数f（x）在区间上的值域是[-2，1]．故选：D．通过函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可以求出周期，进而可以求出ω的值，函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，因此g（x）=2sin[ω（x+）+φ]，函数g（x）为偶函数，有，结合已知|φ|＜，求出φ，再利用正弦函数的性质，求出函数f（x）在区间[]上的值域．本题综合考查了正弦型函数的图象和单调性．解决本题的关键是对函数g（x）为偶函数的理解，写出等式．主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10.【答案】C【解析】解：延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，平面ABE即为平面AEG，连接PG，因为AD=2BC，且AD∥BC，可得点C，B分别是DG和AG的中点，又点E是PD的中点，即GE和PC分别为△PDG的中线，从而可得点F为△PDG的重心，即PF=2FC，可得λ=2，故选：C．延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，由已知可确定点F为三角形的重心，从而可得答案．本题考查平面的确定和三角形的重心的性质，考查分析和推理能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：设点M的坐标为（，y0），A（0，1），抛物线的焦点F（，0），抛物线的准线为x=-，由抛物线的定义可知：|MF|=+=2，①，因为以MF为直径的圆过点A（0，1），∴=-1，解得y0=2，代入①中得p=2，∴抛物线C的焦点到准线距离为2，故选：A．设出M的坐标为（，y0），A（0，1），根据MF=2可得到|=+=2，①，再由直线垂直，进而可以求出y0的值，代入①，求出p即可．本题考查了抛物线的定义以及p的几何意义．重点是由以MF为直径的圆过点（0，1），想到直线垂直．12.【答案】C【解析】解：由f（x）=x+，得f′（x）=1-，切点为A（x1，f（x1））的切线的斜率为f′（x1）=1-，∴切点为A（x1，f（x1））的切线方程为：，同理可求得切点为B（x2，f（x2））的切线方程为：，两条切线过点（1，0），把（1，0）代入两条切线方程得：①，②，∴可以把x1，x2看成2x2+2ax-a=0的两个根，∵0＜x1＜x2，∴③，即-a＞2，∵0＜x1＜x2，∴，＞＞1，在区间（x1，x2）中存在唯一整数必须满足：，得-2＜a≤，结合③，可得a的取值范围是[-）．故选：C．对函数求导，然后求出过点（1，0）作曲线f（x）的两条切线，把（1，0）代入两条切线方程，得到，，可以把x1，x2看成2x2+2ax-a=0的两个根，由0＜x1＜x2，得，解出a的取值范围，可以证明出x2＞1，在区间（x1，x2）中存在唯一整数，必须要满足，解出a的取值范围．本题考查了导数的几何意义、求曲线方程的切线．本题重点考查了在区间上方程有唯一整数解问题，考查了转化思想、方程思想，是中档题．13.【答案】2【解析】解：根据题意，若||=||，则||2=||2，变形可得：•=0，又由向量=（x，2），=（-1，1），则•=-x+2=0，解可得：x=2；故答案为：2根据题意，由||=||，结合向量数量积的计算公式可得•=0，进而由数量积的坐标计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是分析向量、的关系，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由于S=abc，可得：abc=ab sin C，解得：c=2sin C，代入2sin2A+c（sin C-sin A）=2sin2B中，得sin2A+sin2C-sin A sin C=sin2B，由正弦定理，可将上式化简为，a2+c2-ac=b2，由余弦定理可知：b2=a2+c2-2ac cos B，所以：cos B=，又因为B∈（0，π），所以角B=．故答案为：．△ABC的面积S=abc，结合面积公式，可得c=2sin C，代入已知等式中，得到sin2A+sin2C-sin A sin C=sin2B，先用正弦定理，后用余弦定理，最后求出角B的值．本题考查了面积公式、正弦定理、余弦定理．解题的关键在于对公式的模型特征十分熟悉，属于基础题．15.【答案】9000【解析】解：设回收废纸x吨，回收废铅蓄电池y吨，可节约用水z吨，由已知条件可得，z=100x+120y，作出不等式组表示的可行域，如图所示，z=，平移直线可得当直线过点A时，在y轴的截距最大，即z最大，由图可得点A（90，0），此时z取得最大值为9000．故答案为：9000．设回收废纸x吨，回收废铅蓄电池y吨，由题意列出不等式组及目标函数，转化成求目标函数的最值问题．本题考查简单线性规划的应用，属于基础题解决线性规划的应用题时，其一般步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件；②由约束条件画出可行域；③分析目标函数z与直线截距之间的关系；④使用平移直线法求出最优解；⑤还原到现实问题中．16.【答案】2【解析】解：如下图所示：点B是弦MN的中点，由DB⊥MN，得DB=，又∵DA⊥AB，∴DA2+AB2=4，∴DA2+AB2=4≥2DA•AB，得，当且仅当DA=AB=时，等号成立，同理S△CAB≤1，当且仅当DC=CB=时，等号成立，因此四边形ABCD的面积的最大值为2．故答案为：2．利用球的性质可以推出DA⊥AB，得到DA2+AB2=4，这样可以得到S△DAB≤1，同理S△DAB≤1，这样求出四边形ABCD的面积的最大值．本题考查了球的性质．重点考查了重要不等式，关键是构造直角三角形，得到两线段长度的平方和是定值，是中档题．17.【答案】解：由题意知，n（n+1）（a n-a n+1）=2，a n-a n+1==2（-），即有a n+1-=a n-，进而a n-=a n-1-=…=a1-=1，即a n=1+；（2）a n=1+=，a1a2…a n=•…•=，于是b n===-，前n项和S n=-+-+…+-=2-．【解析】（1）由n（n+1）（a n-a n+1）=2，可以变形为a n+1-=a n-，根据等差数列的定义可以求出数列{a n}的通项公式；（2）根据（1）可以求出b n===-，应用裂相消法求出{b n}的前n项和S n．本题考查数列递推公式求出等差数列的通项公式．重点考查了裂相相消法求数列的前n 项和，属于中档题．18.【答案】证明：（1）AB是圆O的直径，AC与圆O切于点A，AC⊥AB，PO⊥底面圆O，∴PO⊥AC，PO∩AB=O，AC⊥平面PAB，∴AC⊥PB．又∵在△PAB中，PA=PB=AB，∴PA⊥PB，∵PA∩AC=A，∴PB⊥平面PAC，从而平面PAC⊥平面PBC．解：（2）∵OB⊥PO，OD⊥PO，∴∠BOD为二面角B-PO-D的平面角，∴∠BOD=120°，如图建立空间直角坐标系，由题意得OB=1，则A（0，-1，0），B（0，1，0），D（，-，0），C（，-1，0），P（0，0，1），E（，-），由（1）知==（0，-1，1）为平面PAC的一个法向量，设平面ODE的法向量为=（x，y，z），=（，-），=（，-），∵，∴，取z=1，得=（），∴cos＜＞==-．∴平面PAC与平面DOE所成锐二面角的余弦值为．【解析】（1）由AB是圆O的直径，AC与圆O切于点A，可得AC⊥AB，由PO⊥底面圆O，可得PO⊥AC，利用线面垂直的判定定理可知，AC⊥平面PAB，即可推出AC⊥PB．又在△PAB中，PA=PB=AB，可推出PA⊥PB，利用线面垂直的判定定理可证PB⊥平面PAC，从而利用面面垂直的判定定理可证出平面PAC⊥平面PBC．（2）由OB⊥PO，可知∠BOD为二面角B-PO-D的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAC与平面DOE所成锐二面角的余弦值．本题考查了通过线面垂直证明面面垂直．重点考查了利用空间向量法求二面角的问题，是中档题．19.【答案】解：（1）当P与点E，F不重合时，设P（x，y），得，即，当P与点E，F重合时，适合上式，综上，动点P的轨迹方程为；（2）记矩形面积为S，当矩形一边与坐标轴平行时，易知S=8．当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y=kx+m，则对边方程为y=kx-m另一边所在的直线为y=-x+n，则对边方程为y=-x-n，∴矩形的邻边长为，b=，由得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，则△=0，得4k2+1=m2，同理：，∴S=ab=×==4=4=4∈（8，10]综上：S∈（8，10]．【解析】（1）当P与点E，F不重合时，根据斜率之积可直接求出动点P的轨迹方程；考虑到P与点E，F重合的情况，最后写出动点P的轨迹方程；（2）记矩形面积为S，当矩形一边与坐标轴平行时，易知S=8；当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一组对边所在直线方程为y=kx±m，另一组对边所在的直线为，则由平行线间距离得矩形长宽a，b，联立直线与椭圆方程，由判别式为0可得k与m，n的关系式，代入面积算式结合不等式可得最值．本题考查了直译法求曲线的轨迹方程．重点考查了求椭圆外切矩形的面积的取值问题，考查了基本不等式的应用．（），估计明年常规稻α的单价平均值为3.9（元/公斤）；（2）杂交稻β的亩产平均值为：[（750+810+820）×0.005+（760+800）×0.01+（770+790）×0.02+780×0.025]×10=782．依题意知杂交稻β的亩产超过795公斤的概率P=0.1+0.05×2=0.2，则将来三年中至少二年，杂交稻β的亩产超过795公斤的概率为：；（3）①∵散点图中各点大致分布在一条直线附近，∴可以判断杂交稻β的单价y与种植亩数x线性相关，由题中提供的数据得：，，∴线性回归方程为；②估计明年杂交稻β的单价元/公斤；估计明年杂交稻β的每亩平均收入为782×2.50=1955元/亩，估计明年常规稻α的每亩平均收入为485×E（ξ）=485×3.9=1891.5元/亩，∵1955＞1891.5，∴明年选择种杂交稻β收入更高．【解析】（1）设明年常规稻α的单价为ξ，列出ξ的分布列，计算E（ξ）；（2）根据频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，所以可以求出杂交稻β的亩产平均值；根据以频率作为概率，可以预计出将来三年中至少有二年，杂交稻β的亩产超过795公斤的概率；（3）①根据题中给的数据和分式，可以求出线性回归方程；②估计明年杂交稻β的单价，进而可以估计明年杂交稻β的每亩平均收入，估计明年常规稻α的每亩平均收入，两者进行比较，可以得出明年选择种杂交稻β收入更高．本题考查了求离散型随机变量的分布列及均值、求线性回归方程并依据线性回归方程做出预测，是中档题．21.【答案】解：（1），x∈R令f'（x）=0得x1=1，x2=ln a，①当ln a=1，即a=e时，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在（-∞，+∞）上增；②当ln a＜1，即1≤a＜e时，令f'（x）＞0，得x＞1或x＜ln a，令f'（x）＜0，得ln a＜x＜1，∴f（x）在（-∞，ln a）上增，在（ln a，1）上减，在（1，+∞）上增；③当ln a＞1即a＞e时，令f'（x）＞0，得x＞ln a或x＜1，令f'（x）＜0，得1＜x＜ln a，∴f（x）在（-∞，1）上增，在（1，ln a）上减，在（ln a，+∞）上增；综上，当a≤0时，函数f（x）的减区间为（-∞，1），增区间为（1，+∞）；当a=e时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；当0＜a＜e时，f（x）的单调增区间为（-∞，ln a），（1，+∞），单调减区间为（ln a，1）；当a＞e时，f（x）的单调增区间为（-∞，1），（ln a，+∞），单调减区间为（1，ln a）．（2）（i）由（1）知，当a=e时，f（x）单调递增，又f（0）=0，故1个零点；（ii）当a＞e或1≤a＜e时，，①当a=1时，f（x）在（-∞，0）上增，在（0，1）上减，在（1，+∞）上增，∵f（0）=0，，，此时2个零点；②当a＞e时，f（x）在（-∞，1）上增，在（1，ln a）上减，在（ln a，+∞）上增；，又f（0）=0，此时1个零点；③当1＜a＜e时，f（x）在（-∞，ln a）上增，在（ln a，1）上减，在（1，+∞）上增；，，，f（0）=0，∵，∴当时，，有1个零点；当时，，有2个零点；当时，，有3个零点；综上所述：当时，有1个零点；当a=1或时，有2个零点；当时，有3个零点．【解析】（1）求导，令导函数为零，解出方程，根据根之间的大小关系，进行分类讨论，求出函数f（x）的单调区间；（2）（i）由（1）知，当a=e时，f（x）单调递增，可以判断有一个零点；（ii）当a＞e或时，f（ln a）=，结合（1）中的结论，对a分类讨论，利用单调性，判断零点的个数．本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点问题，解题的关键是根据单调性，求出极值点，而后分类讨论，求出函数零点的个数，属难题．22.【答案】解：（1）由曲线C的参数方程（α为参数），可得普通方程为（x-4）2+y2=9，即x2+y2-8x+7=0，∴曲线C的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ+7=0；（2）由直线l的参数方程（t为参数，0≤β＜π），可得直线的极坐标方程为θ=β（ρ∈R），∵直线l与曲线C相交于A，B两点，∴设A（ρ1，β），B（ρ2，β），联立，可得ρ2-8ρcosβ+7=0，∵△=64cos2β-28＞0，即，ρ1+ρ2=8cosβ，ρ1ρ2=7．∴|OA|-|OB|=|ρ1-ρ2|==，解得cos，∴或．【解析】（1）利用平方和为1消去参数α得普通方程，利用x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，将直角坐标方程转为极坐标方程．（2）将直线l和曲线C的极坐标方程联立，根据极径的几何意义可得|OA|-|OB|=|ρ1-ρ2|，即可得结果．本题考查极坐标方程，直角坐标方程以及参数方程之间的转化，考查极径几何意义的应用，属于中档题．23.【答案】解：（1）证明：根据题意，≤1⇒|a-b|≤|1-ab|⇒（a-b）2≤（1-ab）2，变形可得：（a2-1）（1-b2）≤0，又由a2+b2=1，则a2≤1，b2≤1，则有（a2-1）（1-b2）≤0，故原不等式成立．（2）根据题意，（a+b）（a3+b3）=a4+ab3+a3b+b4≥a4+2+b4=（a2+b2）2=1，当且仅当a=b=或-时，等号成立，则（a+b）（a3+b3）的最小值为1．【解析】（1）根据题意，分析可得所证不等式等价于|a-b|≤|1-ab|，进而变形可得（a-b）2≤（1-ab）2，进而可得可得：（a2-1）（1-b2）≤0，结合a、b的范围分析可得证明；（2）根据题意，分析可得（a+b）（a3+b3）=a4+ab3+a3b+b4≥a4+2+b4，进而利用基本不等式分析从而可求得最值．本题考查不等式的证明方法，涉及利用基本不等式求最值问题，属于中档题．。
安徽省蚌埠市2020届高三下学期第三次教学质量检查数学(理)试题 Word版含解析
蚌埠市2020届高三年级第三次教学质量检查考试数学（理工类）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}254A x x x =-<-，集合{}0B x x =≤，则()A B =R( )A. ()1,0-B. ()1,4-C. ()1,4D. ()0,4【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合A ，求出B R，再根据交集运算可得结果.【详解】2{|540}{|14}A x x x x x =-+<=<<，{|0}B x =≤，B R{|0}x x =>，()AB =R{|14}{|0}x x x x <<⋂>(1,4)=.故选：C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了补集和交集运算，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，则复数()22i -的共轭复数为( ) A. 54i - B. 54i + C. 34i - D. 34i +【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式化简复数后，再根据共轭复数的概念可得结果. 【详解】()22i -24434i i i =-+=-, 所以复数()22i -的共轭复数为34i +， 故选：D【点睛】本题考查了复数的代数运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题. 3.已知等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足10342S S -=，则7a 的值是( ) A. 3B. 6C. 7D. 9【答案】B 【解析】 【分析】根据前n 项和的定义可得4567891042a a a a a a a ++++++=，再根据等差数列的性质可得结果.【详解】因为10342S S -=，所以4567891042a a a a a a a ++++++=， 又{}n a 为等差数列，根据等差数列的性质可得7742a =， 所以76a =; 故选：B【点睛】本题考查了数列的前n 项和的概念，考查了等差数列的性质，属于基础题. 4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C. 2019年我国居民每月消费价格逐月递增D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计折线图以及同比和环比的概念，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】根据统计折线图以及同比增长率的概念可知2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比都是上涨的，故A 不正确；2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格涨幅最高，不是消费价格最高，故B 不正确； 2019年我国居民每月消费价格有涨有跌，故C.不正确；2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降，下降了0.4个百分点，故D 正确. 故选：D【点睛】本题考查了对统计折线图的分析和理解能力，考查了同比和环比的概念，属于基础题.5.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>离心率为3，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y x =B. y =C. y =±D.4y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据3c e a ===可得b a =.【详解】因为3c e a ===，所以b a =由双曲线的几何性质可得渐近线方程为：y =±， 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了双曲线的渐近线，属于基础题. 6.已知向量a ，b 的夹角为23π，()1,2a =，()20a a b ⋅+=，则b 等于( )B. 【答案】A【解析】 【分析】将()20a a b ⋅+=化为220a a b +⋅=，根据模长公式和平面向量的数量积的定义可得结果.【详解】因为()1,2a =，所以||14a =+=因为()20a a b ⋅+=，所以220a a b +⋅=，所以25||cos 03b π+=，解得||b = 故选：A【点睛】本题考查了平面向量的模长公式，考查了平面向量的数量积的定义，属于基础题. 7.劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某高中计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.学校计划下周在高一年级开设“缝纫体验课”，聘请“织补匠人”李阿姨给同学们传授织补技艺。
2020届安徽省蚌埠市高三下学期第三次教学质量检查数学(理)试题(解析版)
)
A. 5
B. 2 5
C. 15 3
D. 2 15 3
【答案】A
【解析】
【分析】
将a
a 2b
0
化为
a
2
2a
b
0
，根据模长公式和平面向量的数量积的定义可得结果.
【详解】因为
r a
1,
2
，所以
|
a
|
1 4
5，
因为 a
a 2b
0
，所以
a
2
2a
b
0
，
所以 5 2
5|ຫໍສະໝຸດ b|cos2
【详解】因为 e c a
a2 b2 a2
b 3 ，所以 a
2
2，
由双曲线的几何性质可得渐近线方程为： y 2 2x ，
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了双曲线的渐近线，属于基础题.
6.已知向量 a ， b
的夹角为
2 3
r ，a
1, 2 ， a
a 2b
0 ，则 b 等于(
A. 2019 年我国居民每月消费价格与 2018 年同期相比有涨有跌 B. 2019 年我国居民每月消费价格中 2 月消费价格最高 C. 2019 年我国居民每月消费价格逐月递增 D. 2019 年我国居民每月消费价格 3 月份较 2 月份有所下降 【答案】D 【解析】 【分析】 根据统计折线图以及同比和环比的概念，对四个选项逐个分析可得答案. 【详解】根据统计折线图以及同比增长率的概念可知 2019 年我国居民每月消费价格与 2018 年同期相比都 是上涨的，故 A 不正确；
B. 1, 4
C. 1, 4
D. 0, 4
2020届安徽省蚌埠市高三下学期第三次教学质量检查数学(理)试题
（2）已知点 P 0,1 ，求
1 PA
1 PB
的最大值.
选修 4-5：不等式选讲
23.已知函数 f x x – m x ， x R .
（1）若不等式 f x m2 对 x R 恒成立，求实数 m 的取值范围；
（2）若（1）中实数 m 的最大值为 t，且 a b c t （a，b，c 均为正实数）.证明： 1 1 1 9 . abc
最小值.
21.已知函数 f x ln 1 x .
x
（1）分析函数 f x 的单调性；
（2）证明：
1
1 2
n
1 1
ln
3
ln
n2
2
n
，
n
2
.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x y
t cos 1 t sin
3
（其中 t 为参数，
4
）.在以
原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴所建立的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为
cos 2 2 cos 2 sin 2 .设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点.
（1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；
14.已知函数
f
x
2x log2
1, 2
x
x 1
1 2
,
x
，若
1
f
a
2 ，则
a
________.
15.已知
x
1 x
蚌埠市2020届高三年级第三次教学质量检查考试数学(理)
Ａ５－４ｉ
Ｂ５＋４ｉ
Ｃ３－４ｉ
Ｄ３＋４ｉ
３已知等差数列｛ａｎ｝中，前 ｎ项和 Ｓｎ满足 Ｓ１０－Ｓ３＝４２，则 ａ７的值是
Ａ３
Ｂ６
Ｃ７
Ｄ９
４在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前
一时期相比较的增长率 ２０２０年 ２月 ２９日人民网发布了我国 ２０１９年国民经济和社会发展
验，让学生在劳动课程中掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动
服务他人、服务社会的情怀。学校计划下周在高一年级开设“缝纫体验课”，聘请“织补匠
人”李阿姨给同学们传授织补技艺。高一年级有 ６个班，李阿姨每周一到周五只有下午第 ２
节课的时间可以给同学们上课，所以必须安排有两个班合班上课，高一年级 ６个班“缝纫体
三、解答题： １７（１２分）
（１）由条件和正弦定理得，ｃ＝４３槡３ｓｉｎＣ，ａ＝４３槡３ｓｉｎＡ．
代入 ｃｓｉｎＡ＝４ｓｉｎＢ－槡３ａｃｏｓＣ，化简得：
ｓｉｎＣｓｉｎＡ＝槡３（ｓｉｎＢ－ｓｉｎＡｃｏｓＣ）， …………………………………………………… ２分
∴ｓｉｎＣｓｉｎＡ＝槡３ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）－槡３ｓｉｎＡｃｏｓＣ
蚌埠市 ２０２０届高三年级第三次教学质量检查考试
数学（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题：
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答 案 Ｃ Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｄ Ａ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ
二、填空题：
[ ) １３ ９４，＋∞ １４７ ２ １５４０ １６４，４ ３π（第一空 ２分，第二空 ３分）
第二天会有 ８０％的可能性换另一种类型的套餐，假如第 １天小明选择了米饭套餐，第 ｎ天
安徽省蚌埠市2024届高三第三次教学质量检查数学试题(原卷版)
蚌埠市2024届高三年级第三次教学质量检查考试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1,3,5,7,9},{3,6,9,12}A B ==，则A B =（ ）A ．{3,9}B ．{1,3,5,6,7,9,12}C ．{1,5,7}D ．{6,12}2．己知平面向量(1,),(2,4)a m a ==-，且a b ∥，则m =（ ）A ．2B ．12C ．12- D ．2- 3．已知曲线22:1(0)4x y C m m+=≠，则“(0,4)m ∈”是“曲线C 的焦点在x 轴上”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知2cos cos 1,sin a a B b A C =+==，则（ ） A ．1b = B ．2b = C ．2c = D ．3c =5．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，268,0S S =-=，则34a a +=（ ） A ．8- B ．4- C ．0 D ．46．()2231(1)x x x -+⋅+的展开式中，4x 的系数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．57．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）A ．12340.1,0.2,0.3,0.4p p p p ====B ．12340.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====C ．14230.1,0.4p p p p ====D ．14230.4,0.1p p p p ====8．已知抛物线2:4C y x =，过其焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，M 为AB 中点，过M 作准线的垂线，垂足为N ，若||4AF =，则||NF =（ ）A ．43B ．433C ．83D ．833 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。