固体物理基础-能带理论

NZ
e j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2
NZ ve ri i 1
1 ve ri 2
e2 j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2）单电子近似
• 电子体系的哈密顿量变为：
ˆ T Rm Rn r Rm Rn r 又 ˆ T ˆ r r T R Rm Rn m Rn Rm Rn Rm Rn 将Rn =e Rn 带入得 Rm Rn = Rn + Rm , 仅当 是Rn的线性函数 时满足，因此取 Rn =k Rn , 则
Bloch定理说明
ik Rn r Rn e r
i k r k r e uk r , uk r Rn uk r
用Bloch波函数描述的电子，或遵从周期势单电子薛 定谔方程的电子，称为Bloch电子； 布洛赫波的特征：周期性条幅的平面波；当平移晶 ik R 格矢量 ������ ������ 时，波函数只变化一个相位因子 e n • 表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相 位因子，波函数的大小相同，所以电子出现在不同 原胞的对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的 反映。
将使矢量 ������ 平移 ������ ������ ，即
ˆ f r f r R T n Rn
各平移算符之间互相对易
ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T m n m Rn Rn Rm ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T n m n R R Rm m n ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ T ˆ T ˆ T Rm Rn Rn Rm Rm Rn Rn Rm ˆ ,T ˆ 0 T Rn Rm
• 周期场近似：不管单电子势具体形式如何，假设它具有与 晶格相同的平移对称性；
V ri Rn V ri
Bloch定理

Bloch定理：单电子势V(r)取周期性势场，即 V(r+Rn)=V(r)时， 对应单电子薛定谔方程 2 2 V r r r 2m 的本征函数，是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即
• 将平移算符作用在其上可得 ˆ u (r ) T ˆ e ik r ( r ) T Rn Rn k
固体物理基础
能带理论1
固体系统的哈密顿量
考虑有N个带正电荷Ze的原子核（离子实），相应有NZ个电 子（价电子）的体系； 原子核和电子的位置矢量分别用Rn和ri表示； 整个体系的哈密顿量：
ˆ T ˆ V R , R T ˆ V (r , r ) V ( R , r ) H n nm n m e ee i j ne n i
NZ N NZ
2
2
2
1）波恩-奥本海默(Born-Oppenheimer)近似

Born-Oppenheimer近似：考虑到原子核（离子实）和电子 在质量上的巨大差别（数千倍），电子的速度比原子核要 快很多；因而可以认为在原子核运动的每一个瞬间，电子 的运动快到足以实时调整其状态；当只关注电子体系的状 态时，可以认为原子核是固定在其给定瞬时位置上（因认 为原子核的运动并不会造成电子态之间的跃迁，只会引起 各电子态连续的、绝热的变化，所以也称绝热近似）。
Bloch定理的证明
由于势场的周期性，以及微分算符与坐标原点的平移无关， 因此单电子哈密顿量具有平移对称性，即
2 2 ˆ 2 2 ˆ H r Rn r Rn V r Rn r V r H r 2m 2m
2
dr r Rn dr =1 Rn 1
2 2
−������������������
������
的形式，即������ ������ + ������ ������ 与������ ������ 只差一个
Bloch定理的证明
• 另外平移符的特性：连续两次平移 ������ ������ 和 ������ ������ ，相当于一 ˆ T ˆ r T ˆ 次平移 ������ ������ + ������ ������ ，即 T r ； Rm Rn Rm Rn
ˆ T ˆ V (r , r ) V ( R , r ) H e e ee i j ne n i
2
1
• 在单电子近似下，整个电子体系的哈密顿量是各个分立单 电子哈密顿量之和；多体问题简化成了单体问题。
ˆ ii i H
Hatree－Fock 平均场近似
3）周期场近似
• 单电子哈密顿量
或表述为：对上述单电子薛定谔方程的每一个本征解， 对属于布拉维
格子的所有格矢 ������ ������ 成立。
• Bloch定理
Bloch定理 ik R r Rn e r
n
• Bloch波函数可以写成如下形式
i k r R i k R i k r n n • 证明 r Rn e uk r Rn e e uk r Rn k ik Rn ik r ik Rn e e uk r e k r
i k r k r e uk r , uk r Rn uk r
• Bloch波函数是按Bravais格子周期性调制的平面波； ‘When I started to think about it, I felt that the main problem was to explain how the electrons could sneak by all the ions in a metal….By straight Fourier analysis I found to my delight that the wave differed from the plane wave of free electrons only by a periodic modulation’ F. BLOCH
2 Ze i2 ve ri i 1 2m i 1 i 1 n 1 4 0 ri Rn 2 2 NZ N NZ 1 Ze ˆ i2 ve ri H i i 1 2m n 1 4 0 ri Rn i 1 NZ NZ NZ N
1 1 Ze 2 n 2 n ,m 4 0 Rn Rm n 1 2 M
N 2 2
1 1 e 1 Ze 2 i 2 i , j 4 0 ri rj n 1 i 1 4 0 Rn ri i 1 2m
r e uk r
ik r
且������������ ������ + ������ ������ = ������������ ������ 对 ������ ������ 取布拉维格子的所有格矢成
立。

ik Rn 存在波矢������，使得 r Rn e r
Bloch定理的证明


势场的周期性是晶格的平移对称性的结果，即平移任意晶格 矢量 ������ ������ = ������1 ������ 1 + ������2 ������ 2 + ������3 ������ 3 时，晶格保持不变；
引入平移算符������������������ ，其定义为������������������ 作用在任意函数������ ������ 上，
电子体系的哈密顿量

ˆ T ˆ V (r , r ) V ( R , r ) H e e ee i j ne n i
NZ
NZ N 2 2 1 1 e2 1 Ze2 i 2 i , j 4 0 ri rj i 1 n 1 4 0 ri Rn i 1 2m
Bloch定理的证明
ˆ r r T Rn Rn 由 r Rn Rn r ˆ r r R T n Rn 由波函数的归一性
r
������ ������ ������ 可写成������ ������ ������ =������ 相位因子。
哈密顿量与平移算符对易，证明如下：
2 2 ˆ ˆ TRn Hf r r Rn V r Rn f r Rn 2m 2 2 ˆ r R HT ˆ ˆ f r r V r f r Rn Hf n Rn 2 m ˆ H ˆ HT ˆ ˆ H ˆ ,T ˆ 0 T Rn Rn
2 e 2 ˆ （令Z=1） H i i ve ri 2m n 1 4 0 ri Rn 2 2 2 1 e i2 ve ri i2 V ri 2m 2m Rn 4 0 ri Rn N 2
1
2 1 e • 单电子势 V r v r i e i Rn 4 0 ri Rn
i
R =eik R
n
n
ˆ r r R r eik Rn r ，也即H ˆ 的本证 即：T n Rn Rn ik Rn 函数满足 r Rn e r 。
• 如果定义一函数
uk ( r ) e ik r ( r ) 也即 ( r )=eik r u k ( r )