电磁场与电磁波思考题

思考与练习一

1．证明矢量3ˆ2ˆˆz y x e e e

−+=A 和z y x e e e ˆˆˆ++=B 相互垂直。 2. 已知矢量 1.55.8z y e ˆe ˆ+=A 和4936z y e ˆ.e ˆ+−=B ，求两矢量的夹角。

3. 如果0=++z z y y x x B A B A B A ，证明矢量A 和B 处处垂直。

4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。

5．根据算符∇的与矢量性，推导下列公式：

()()()()B A B A A B A B B A ∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇)(

()()A A A A A 2∇⋅−∇=×∇×2

1 []H E E H H E ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇

6．设u 是空间坐标z ,y ,x 的函数，证明：

u du df u f ∇=∇)(， ()du d u u A A ⋅∇=⋅∇， ()du d u u A A ×∇=×∇，()[]

0=×∇⋅∇z ,y ,x A 。 7．设222)()()(z z y y x x R ′−+′−+′−=′−=r r 为源点x ′到场点x 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点。证明下列结果，

R R R R =∇′−=∇， 311R R R R

−=∇′−=∇，03=×∇R R ，033=⋅∇′−=⋅∇R

R R R )0(≠R （最后一式在0=R 点不成立）

。 8. 求[])sin(0r k E ⋅⋅∇及[])sin(0r k E ⋅×∇，其中0E a ,为常矢量。

9. 应用高斯定理证明 ∫∫×=×∇v s

d dV f s f ，应用斯克斯（Stokes ）定理证明∫∫=∇×s L

dl dS ϕϕ。 10.证明Gauss 积分公式[]∫∫∫∫∫∇+∇⋅∇=⋅∇s V

dv d ψφψφψφ2s 。

11.导出在任意正交曲线坐标系中()321q ,q ,q F ⋅∇、()[]321q ,q ,q F ⋅∇∇、()3212q ,q ,q f ∇的表达式。

12. 从梯度、散度和旋度的定义出发，简述它们的意义，比较它们的差别，导出它们在正交曲线坐标系中的表达式。

1. 证明均匀线电荷密度圆环在圆环平面内任意点的电场强度为零。求圆环平面外任意点的电场的表达式。

2. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介电常数为ε，使介质内均匀带静止自由电荷密度为f ρ，求空间电场及极化体电荷和极化面电荷分布。

3. 已知一个电荷系统偶极矩定义为∫′′′=V

V d )t ,t r r P ()(ρ，利用电荷守恒定律证明P 的变化率为∫′′=V V d t ,dt d )(r J P 。

4. 内外半径分别为1r 和2r 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流f J ，导体的磁导率为µ，求磁感应强度和磁化电流。

5. 证明均匀介质内极化电荷密度p ρ等于自由电荷密度f ρ的⎟⎠

⎞⎜⎝⎛εε01－－倍。

6. 简述Maxwell 方程组各式所对应的实验定律，式中各项的物理意义。为什么说Maxwell 方程组预言了电磁场具有波动的运动形式。

7. 利用Maxwell 方程组，导出电荷守恒定律的表达式。

8. 何谓位移电流，说明位移电流的物理实质及意义，比较传导电流和位移电流之间的异同点。

9. 证明Maxwell 方程组的四个方程中只有两个是独立的，利用两个独立方程组导出电磁场的波动方程。

10. 利用电磁场与介质相互作用的机理，分析介质在电磁场中的性质，并根据介所表现出的质宏观特性进行分类。

11. 证明当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场力线的曲折满足1

212tan tan εεθθ=，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电场线与法线的夹角。

12. 假设自然界存在磁荷，磁荷的运动形成磁流。又假设磁荷产生磁场同电荷产生电场满足同样的实验定律；磁流产生电场同电流产生磁场满足同样的实验定律。请导出在这一假设前提下的Maxwell 方程组表达式。

1. 利用电场Gauss 定律分别求电荷面密度为s ρ的无穷大导体板和半无穷大导体在上半空间导体平面附近产生的电场，比较所得到结果的差别。你能从这一差别中得到什么结论。

（a） 无穷大导体薄板 （b）半无穷大导体

2. 求如图所示的一同轴线如图所示，内外导体的半径分别为a 和b ，将其与电压为V 电源相连接，内导体上的电流强度为I 。求同轴线内电场和磁场的分布，计算穿过两导体间常数=φ平面单位长度上的磁通量。

3. 证明在无电荷分布的区域，电位既不能达到极大值，也不能达到极小值。

4. 平行板电容器内有两层介质，厚度分别为l 1和l 2，介电常数为1ε和2ε，今在两板极接入电动势ε为的电池，求

（1）电容器两板上的自由电荷面密度f ω；

（2）介质分界面上的自由电荷面密度f ω。

若介质是漏电的，电导率分别为1σ和2σ，当电流达到恒定时，上述两个结果如何？

5. 电位函数在理想导体边界上有两种表述形式：（1）（常数）0

φφ=；（2）

s n

ρφε=∂∂−。指出这两个边界条件所对应的物理模型和导体所处的状态。 6. 一长为l 的圆筒形电容器，内外半径分别为a 和b ，两导体之间充满了介电常数为ε的介质。

（1）当电容器带电荷量Q 时，忽略边缘效应，求电容器内电场的分布；

（2）求电容器的电容；

（3）假设将电容器接到电压为V 电源上，并且电容器内介质被部分的拉出电容器，忽略边缘效应，求介质受到的作用力的大小和方向。

7. 比较恒定电流的电场与静电场的异同点，证明当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场力线的曲折满足

1

212tan tan σσθθ=，其中1σ和2σ分别为两种介质的电导率。

8. 面偶极层为带等量正负面电荷密度σ±而靠得很近的两个面所形成面偶极层，定义为：l P σσ0lim →∞→=l 。证明下述结果：（1）在面电荷两侧，电位法向微商有跃变，而电位是连续的。（2）在面偶极层两侧，电位有跃变P ⋅=

−n

ˆ0121εφφ。而电位法向微商是连续的。 9. 证明在试用A 表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场B 0，写出A 的两种不同表示式，证明二者之差为无旋矢量场。

10. 证明两载有恒定电流的闭合线圈之间的相互作用力的大小相等，方向相反（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）。

11. 已知某个磁场的磁矢势2

0B e ˆρφ＝A ，其中B 0是常数。证明该磁场是均匀的。

12. 在什么样的情况下，可以用磁标位描述磁场，磁标位满足什么样的方程和边界条件。

13. 电阻、电容和电感是电路理论中基本元件，它们反应的是什么特性参数，表达了导电介质和导体系统的什么性质。

14. 总结静电场、恒定电流电场和恒定电流磁场的基本性质，分析它们性质的异同点。思考为什么静态电磁场（包括静电场、恒定电流电场和恒定电流磁场）满足同样类型的数学物理方程。