2019人教版数学八年级下册第十九章 一次函数数学活动
第十九章 一次函数 数学活动
R·八年级数学下册
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新课导入 世本界节人活口动每课年我都们在就增来加探，讨 滴 在这漏水两水的个.水问题龙.头每时每刻都
同如样果如我果们我能们写能出写世出界水人龙口头y关漏于水年量份y x 关的于函漏数水关时系间式t，的那函我数们解可析以式近，似那求我出 们未可来以某估年算的水世龙界头人一口天总的数漏吗水？量吗？
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综合应用
4.在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛 燃 烧 时 剩 余 部 分 的 高 度 y(cm) 与 燃 烧 时 间 x(h) 之 间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解 答下列问题：
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(1) 甲 、 乙 两 根 蜡 烛 燃 烧 前的高度分别是 30 cm、 __2_5__cm，从点燃到燃尽所用 的时间分别是 2 h、 2.5 h；
时间t/min 水量ｗ／ｍL
0 5 10 15 20 25 30
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时间t/min 0
水量ｗ／ｍＬ
5 10 15 20 25 30
(2)建立直角坐标系，以横轴表示时间t， 纵轴表示水量w，描出以上述试验所得数据 为坐标的各点，并观察他们的分布规律.
(3)试写出w关于t的函数解析式，并由 它估算这种漏水状态下一天的漏水量.
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(2)分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间 的函数关系式；
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解：设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系
式为y=kx+b(k≠0).
∵图象过点(0,30)和点(2,0)，
∴ b=30 解得： k=-15
2k+b=0
b=30
∴y与x之间的函数关系式为y=-15x+30(0≤x≤2).Fra bibliotek状元成才路
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课堂小结
进行数学活动的一般步骤
收集数据 画出图象
确定主题
实际应用
建立一次 函数模型
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拓展延伸 小华受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量 筒和体积相同的小球进行了如图所示的操作， 请根据图中给的信息，解答下列问题：
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(1)放入一个小球后，量筒中水面升高 2 cm； (2)求放入小球后，量筒中水面的高度y(cm)与小 球个数x(个)之间的一次函数关系式； 解：y与x之间的一次函数关系式为y=2x+30.
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基础巩固
随堂演练
1.在一次函数y=kx+b中，k、b满足的条件为( B ) A.k为正实数，b≠0 B.k≠0，b为任意实数 C.k，b为任意实数 D.k为任意实数，b≠0
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2.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李 的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函 数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最
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新课推进
活动 1 世界人口与年份的变化情况
(1)根据下表的数据，在直角坐标系中画 出世界人口增长的曲线图.
年份x 你我还们19记6是0 得否我也19们能74怎用么相198同7 的1999 2010 人口数y/亿 画方函法3数0画的这图个4象曲0 吗线的？50图象？60 69
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进行数学活动的一般步骤
确定主题
收你集能数归据纳出进画行出数图学象活
动的一般步骤么？
实际应用
建立一次 函数模型
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活动 2 水龙头漏水量与漏水时间的关系
水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量和 漏水时间的关系，可进行以下的试验和研究：
(1)在滴水的水龙头下放置一个能显示 水量的容器，每5min记录一次容器中 的 水量，并填写下表：
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年份x 人口数y/亿
1960 30
1974 1987 1999 2010 40 50 60 69
1.列表； y 2.描点； 60 3.连线. 30
O
1960
1974 1987 1999 2010 x
状元成才路
状元成才路 S
60 30
回想一下一次函数解析 O
1960
1974 1987 1999 2010 x
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活动目标
(1)能根据两个变量的部分对应值建立一次函数 模型——建模的思想方法.
(2)会用一次函数模型描述和研究时间问题的 运动规律，对未来的情况作出估计.
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活动目标
(3)经历根据两个变量的部分对应数据 建立函数模型的过程，体会建立函数模型过 程中的归纳思想，数形结合思想，逐步培养 理论联系实际，学以致用的能力.
100
大质量为 3 kg.
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3. 为了鼓励市民节约用水，自来水公司特 制定了新的用水收费标准，水费y(元)与月用水 量x(吨)的函数关系如图.
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(1) 求 当 月 用 水 量 不 超 过 5 吨 时 ， y 与 x 之 间 的函数关系式；
解：当月用水量不超过5吨时，由图象可设，y 与x之间的函数关系式为y=kx(k≠0).
∵函数图象过点(5,7.5), ∴5k=7.5,解得k=1.5. ∴y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为
y=1.5x(0≤x≤5)；
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(2)某居民某月用水量为18吨，求应付水费 是多少？
由图象可得，当x＞5时，y与x之 间的关系式为y=2x-2.5，
∴当x=18时，y=2×18-2.5=33.5. ∴ 当 月 用 水 量 为 18 吨 时 ， 应 付 水费33.5元.
如果把式人的口求增法长以曲及线求看解做步一骤个？一次函数，
你能写出它的解析式吗？
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年份x 人口数y/亿
1960 30
1974 1987 1999 2010 40 50 60 69
1.设函数的解析式：设年份为x，人口数为y，则有
2.选择两个合适的点；
y=kx+b
3.列出方程组并解答： 1960k+b=30 解得： k=0.78
同理：乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式为
y=-10x+25(0≤x≤2.5).
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(3) 当 x 为 何 值 时 ， 甲 、 乙 两根蜡烛在燃烧过程中的高度 相等？
当两根蜡烛在燃烧过程中高 度相等时，即求方程组的解，
y=-15x+30 解得： x=1
y=-10x+25
y=15
∴当x=1时，甲、乙两根蜡烛的高度相等.
2010k+b=69
b=-1498.8
4.将k和b带入解析式： y=0.78x-1498.8 (答案不唯一)
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y=0.78x-1498.8 你能根据求出来的解析式估计2020年的
世界人口数吗？ 解：将x=2020带入到解析式中的
y=0.78×2020-1498.8 =76.8(亿人) 答：估计2020年的世界人口数将达到76.8亿.
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(3)量筒中至少放入几个小球才有水溢出？ 求有水溢出即求y＞49时x的值， 即y=2x+30＞49，∴x＞9.5.又∵x为正整数， ∴xmin=10.∴量筒中至少放10个小球才有水溢出.
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课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
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2019版八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.1 变量与函数 19.1.1 变量与函数教案 (新版)新人教版
第十九章一次函数19.1函数19.1.1变量与函数【教学目标】知识与技能:1.掌握常量和变量、自变量和函数的基本概念.2.了解函数值的概念,能用解析式表示函数关系.会确定函数自变量的取值范围.过程与方法:结合实例,了解常量、变量的意义,体会“变化与对应”的思想.通过动手实践与探索,让学生参与变量发现的过程,以提高分析问题和解决问题的能力.情感态度与价值观:引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.【重点难点】重点:了解常量与变量的含义.理解函数的有关概念,能用解析式表示函数关系.确定自变量的取值范围.难点:理解函数的有关概念,能用解析式表示函数关系.会确定自变量的取值范围.【教学过程】一、创设情境,导入新课:1.在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题.如图是某地一天内的气温变化图.看图回答:(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少?任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温.(2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少?(3)这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?从图中我们可以看到,随着时间t(时)的变化,相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢?2.五一假期,李想和朋友从学校门口出发,骑自行车去沙河游玩,假设他们匀速行驶,每分钟骑200米,骑车的总路程为s米,骑车的时间为t分钟.填一填:问题:(1)在这个行程问题中,我们所研究的对象有几个量?(2)几个所研究的对象中,哪些是变化的量,哪些是固定不变的量?它们之间存在什么样的关系?这一节我们就来探究这一问题.二、探究归纳活动1:变量与常量1.出示问题,师生探究有如下几个变化过程,请找出各变化过程中的量,并填表:(教材P71四个问题)(师生活动:教师引导学生填表,并分析问题中出现的量,发现其中有些量的数值是变化的,分析问题中的量并分类,领会“变量”、“常量”的含义.发现在同一个变化过程中,始终保持不变的量为常量,而数值发生变化的量为变量.并根据发现自己试着下定义.)2.形成概念(1)(2)定义:在一个变化过程中,数值发生变化的量,称为变量,数值始终不变的量称为常量.活动2:函数的概念1.问题:在前面的每个问题和实验中,是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?师生分析得出:上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系.当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有唯一确定的值.2.思考:分组讨论教科书“思考”中的两个问题.注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象.3.归纳:一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么,我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么,b叫做当自变量的值为a时的函数值.例如在问题1中,时间t是自变量,里程s是t的函数.t=1时,其函数值s为60,t=2时,其函数值s为120.同样,在心电图中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数;在人口数统计表中,年份x是自变量,人口数y 是x的函数.当x=1999时,函数值y=12.52.活动3:例题讲解【例1】读下面这段有关“龟兔赛跑”的寓言故事,并指出所涉及的量中,哪些是常量,哪些是变量.一次乌龟与兔子举行500 m赛跑,比赛开始不久,兔子就遥遥领先.当兔子以20 m/min的速度跑了10 min时,往回一看,乌龟远远地落在后面呢!兔子心想:“我就是睡一觉,你乌龟也追不上我,我为何不在此美美地睡上一觉呢?”可是,当骄傲的兔子正做着胜利者的美梦时,勤勉的乌龟却从它身边悄悄爬过,并以10 m/min的速度匀速爬向终点.40 min后,兔子梦醒了,而此时乌龟刚好到达终点.兔子悔之晚矣,等它再以30 m/min的速度跑向终点时,它比乌龟足足晚了10 min.分析:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量.解:500 m、乌龟的速度10 m/min等在整个变化过程中是常量,兔子的速度是变量.总结:“常量”与“变量”:“常量”是数值始终不变的量,一般是用具体数表示的量;“变量”是数值发生变化的量,变量是可以变化的:(1)可以取不同的数值,(2)一般用字母表示.【例2】我们知道,海拔高度每上升1 km,温度下降6 ℃.某时刻,益阳地面温度为20 ℃,设高出地面x km 处的温度为y℃.(1)写出y与x之间的函数解析式.(2)已知益阳碧云峰高出地面约500 m,求这时山顶的温度大约是多少℃?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34 ℃,求飞机离地面的高度为多少千米?分析:(1)根据题意,按照等量关系:高出地面x km处的温度=地面温度-6 ℃×高出地面的距离;列出函数解析式.(2)把给出的自变量高出地面的距离0.5 km代入函数解析式求得.(3)把给出的函数值高出地面x km处的温度-34 ℃代入函数解析式求得x.解:(1)由题意得,y与x之间的函数解析式y=20-6x(x≥0).(2)由题意得x=0.5 km, y=20-6×0.5=17(℃)答:这时山顶的温度大约是17 ℃.(3)由题意得y=-34 ℃时,-34=20-6x,解得x=9 km.答:飞机离地面的高度为9 km.总结:求函数值的方法:就是将自变量x的值代入解析式,求代数式的值.【例3】函数y=自变量x的取值范围是()A.x≥1且x≠3B.x≥1C.x≠3D.x>1且x≠3分析:求自变量取值范围时,要考虑两个方面:一是被开方数非负;二是分式的分母不为零,通过建立不等式组解决问题.解:选A.根据题意可知:x-1≥0且x-3≠0,解得x≥1且x≠3.总结:确定自变量取值范围的方法(1)整式:其自变量的取值范围是全体实数.(2)分式:其自变量的取值范围是使得分母不为0的实数.(3)二次根式:其自变量的取值范围是使得被开方数为非负的实数.(4)实际问题:其自变量的取值必须使实际问题有意义.三、交流反思这节课我们学习了变量与常量、函数的概念,函数自变量的取值范围的确定方法.四、检测反馈1.在三角形面积公式S=ah,a=2 cm中,下列说法正确的是()A.S,a是变量,h是常量B.S,h是变量,是常量C.S,h是变量,a是常量D.S,h,a是变量,是常量2.函数y=+3中自变量x的取值范围是()A.x>1B.x≥1C.x≤1D.x≠13.下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y,其中y不是x的函数的选项是()A.y:正方形的面积,x:这个正方形的周长B.y:某班学生的身高,x:这个班学生的学号C.y:圆的面积,x:这个圆的直径D.y:一个正数的平方根,x:这个正数4.对于圆的面积公式S=πR2,下列说法中,正确的为()A.π是自变量B.R2是自变量C.R是自变量D.πR2是自变量5.函数y=中的自变量x的取值范围是()A.x≥0B.x≠-1C.x>0D.x≥0且x≠-16.根据如图所示程序计算函数值,若输入的x的值为,则输出的函数值为()A.B.C.D.7.一支演唱队第一排有20人,后面每排比前排多1人,则第n排的人数s与n的函数解析式为________.8.一个小球从静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到了小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表:(1)这一变化过程中的自变量是________.(2)写出用t表示s的关系是________.(3)求第6秒时,小球滚动的距离为________m.(4)小球滚动200 m用的时间为________.五、布置作业教科书第81页习题19.1第1,2,3,4,5题六、板书设计七、教学反思本节课学习了常量与变量,函数的概念及函数自变量的取值范围的确定,关于变量与常量概念:要通过实例引导学生分析运动变化过程中出现的数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量,值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量,有些是数值始终不变的量,总结得出并通过实例练习巩固.关于函数概念的教学,通过实例引导学生分析总结得出,并明确表示函数关系的方法通常有三种:①解析法.②列表法.③图象法.关于函数自变量的取值范围的教学,通过实例引导学生分析得出:求函数自变量取值范围的两个依据:(1)要使函数的解析式有意义.①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;②函数的解析式分母中含有字母时,自变量的取值应使分母≠0;③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数≥0.(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义.。
人教版数学八年级下册第十九章《数学活动 一次函数的应用问题》教学设计
人教版数学八年级下册第十九章《数学活动一次函数的应用问题》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册第十九章《数学活动一次函数的应用问题》主要介绍了如何运用一次函数解决实际问题。
本章内容紧密联系生活，旨在让学生通过探究、实践，掌握一次函数的基本性质和应用，培养学生的数学应用能力。
本章内容包括一次函数的定义、图象与系数的关系、一次函数在实际问题中的应用等。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了函数的基本概念，对一次函数有一定的了解。
但在实际应用中，如何将生活中的问题转化为一次函数问题，以及如何运用一次函数解决实际问题，仍然是学生理解的难点。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题抽象为一次函数，并通过实例让学生感受一次函数在生活中的应用。
三. 教学目标1.理解一次函数的定义及其图象与系数的关系。
2.学会将实际问题转化为一次函数问题，掌握一次函数在实际问题中的应用。
3.培养学生的数学应用能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.一次函数的定义及其图象与系数的关系。
2.如何将实际问题转化为一次函数问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生感受一次函数在实际问题中的应用。
2.小组讨论法：鼓励学生分组讨论，培养团队协作能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现问题、解决问题，提高学生的自主学习能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作一次函数的图象、实际问题示例等课件。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于课堂练习和拓展。
3.教学设备：投影仪、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如购物优惠活动，引导学生思考如何用数学模型来描述这个问题。
通过分析，得出这个问题可以转化为一次函数问题。
2.呈现（10分钟）介绍一次函数的定义及其图象与系数的关系。
通过示例，让学生直观地感受一次函数的图象，并理解图象与系数之间的联系。
3.操练（15分钟）分组讨论，让学生尝试解决一些实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
新人教版八年级数学下册《十九章 一次函数 数学活动》教案_1
3．二元一次方程X+y=2的解有多少个？请写出其中的几个。
4．在(1)中的直角坐标系中描出这些以方程X+y=2的解为坐标的点，你有什么发现？其他的解呢？为什么？二元一次方程一次函数 X+y=2y =-x+2有无数组解 直线上无数个点x=0 x=1 x=2 y=2, y=1 y=0 … （0,2）（1,1）(2,0)……归纳：一般地，以二元一次方程 的解为坐标的点都在一次函数的图像上，一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解；活动二：温故而知新1．解方程组 2.在同一平面直角坐标系中，画出 y ＝2x +1和y ＝2x －3的图像。
的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（也是一条直线）。
针对练习一：1、已知二元一次方程x-y=1有一组解 （任意写出一组） ，则一次函数 ，图象上有一点坐标为 。
2、 已知一次函数y=2x+1经过一点 （任意写出一点） ，则二元一次方程 ，有一组解为 。
函是的生长点，始动一。
一元关系时，仅上的转化，通设置，直程图标系，现数的相互转化，突合的思想。
⎩⎨⎧=--=-62412y x y x归纳：一般地，如果两个一函数的图像没有交点，那么相应的二元一次方程组无解。
3．二元一次方程组 的解与一次函数y ＝-x +2和y ＝x 的图像有怎样的关系？方程组的解为 ，图象的交点坐标为（1,1）4.二元一次方程组⎩⎨⎧ 2x －y －3＝0，x －2y －3＝0的解与一次函数y ＝2x －3和y ＝12 x －32 的图像有怎样的关系？归纳：一般地，如果两个一函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应 的二元一次方程组的解。
解二元一次方程组的方法：、 1、消元法 2、图象法活动二： 学生通过用画函数图像的方法得出二元一次方程组的解，进一步体会数形结合的数学思想．学生独立完成活动二，然后师生共同归纳得到，从数的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值。
2019年(春)八年级数学下册 第十九章 一次函数教案 (新版)新人教版.doc
2019年(春)八年级数学下册第十九章一次函数教案（新版）新人教版理解变量、常量的概念．重点变量与常量的概念，变量之间的关系．难点理解并掌握变量以及变量之间的关系．一、创设情境，引入新课情境问题：一辆汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时．请t/时 1 2 3 4 5s/千米生：变化的量是时间和路程，不变的量是速度．师：1小时路程为60千米，2小时路程为2×60千米，…，所以t小时路程为60t千米，即s＝60t.这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程随时间变化的过程，在现实生活中，有许多类似的问题，在这些问题中都有变化着的量和始终不变的量．二、讲授新课1．每张电影票零售价为10元，如果早场售出150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出x张票，如何用含x的式子表示票房收入y元？生：早场收入为150×10＝1500(元)，午场收入为205×10＝2050(元)，晚场收入为310×10＝3100(元)，当售出的票数为x张时，收入y＝10x.师：在这个过程中有没有变化着的量与始终不变的量？生：有，售出的张数与票房收入是变化着的量，每张电影票的售价是始终不变的量．2．活动一：请大家动手画出一个面积为10 cm2，20 cm2的圆各一个．生：必须先根据圆的面积公式算出半径，再画圆．师：那么它们的半径各是多少呢？生：第一个圆的半径为103.14≈1.8 (cm)；第二个圆的半径为203.14≈2.5(cm)．师：如果圆的面积为S，怎样表示出半径r?生：r＝Sπ.师：在这个过程中，变量与常量各是什么？生：这里变量是S和r，常量是π.3．活动二：用10 m长的绳子围成长方形，改变长方形的长度，观察长方形面积的变化，并记录不同长方形的长度值，计算相应的面积．生1：当长为4 m时，宽为1 m，面积为4×1＝4(m2)．生2：当长为3 m时，宽为2 m，面积为3×2＝6(m2)．师：设长方形的长度为x m，如何求出它的面积S?生：当长为x m时，它的宽是(5－x) m，因此它的面积是S＝x(5－x)m2.师：长方形的长与宽以及面积是变量，绳子的总长是常量．这些问题反映了不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化的，像这种数值发生变化的量称为变量，有些量的数值始终不变，像这种数值始终不变的量称为常量．三、巩固练习1．购买一些练习本，单价0.5元/本，总价y(元)随练习本本数x的变化而变化，指出其中的常量与变量，并写出关系式．【答案】y ＝0.5x ，其中x ，y 是变量，0.5是常量．2．一个三角形的底边长10 cm ，高h 可以任意伸缩，写出面积S 随h 变化的关系式，并指出其中的常量与变量．【答案】S ＝12×10h＝5h ，其中，S ，h 是变量，5是常量． 四、课堂小结变量：在一个变化过程中数值发生变化的量．常量：在一个变化过程中数值始终保持不变的量．本节课从学生熟知的生活出发，抽象出函数中基本的两个概念：常量与变量，然后通过练习进一步掌握．像这样取材于学生生活，结合学生已有的经验进行教学，正是新课标所要求的． 第2课时 函 数理解函数的概念，准确写出函数的关系式．重点函数的概念，函数解析式的求法．难点函数概念的理解．一、创设情境，引入新课师：上一节课中的每个问题都涉及两个变量，这两个变量之间有什么联系呢？当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否也随之确定呢？这将是我们这节课要研究的内容．二、讲授新课师：观察问题(1)中的表格，时间t 和路程s 是两个变量，但当t 取定一个值时，s 也随之确定一个值. t/时 1 2 3 4 5s/千米 60 120 180 240 300生：是的，当t 时，s ＝300.师：问题(2)也是一样的，当早场x ＝150时，收入y ＝1500；当午场x ＝205时，y ＝2050；当晚场x ＝310时，y ＝3100.也就是说售票张数x 与票房收入y 是两个变量，但当x 取定一个值时，票房收入y 也就确定一个值．师：问题(3)中，当圆的半径r ＝10 cm 时，S ＝100π cm 2，当r ＝20 cm 时，S ＝400π cm 2等，也就是说…生：也就是说当圆的半径r 取定一个值时，面积S 也随之确定，并且S ＝πr 2.师：问题(4)中，当长为4 m 时，面积为4 m 2；当长为3 m 时，面积S 为6 m 2；当长x为2.5 m 时，面积S 为6.25 m 2，也就是说…生：也就是说当长x 取定一个值时，面积S 也就随之确定一个值．师：当长取定为x m 时，面积S 等于多少呢？生：S ＝x·(5－x)＝5x －x 2.师：像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．前面的几个问题中，哪个是自变量，哪个是函数呢？它们之间的关系如何用式子表示？生1：问题(1)中，时间t 是自变量，路程s 是t 的函数，s ＝60t.生2：问题(2)中，售票数量x 是自变量，收入y 是x 的函数，y ＝10x.生3：问题(3)中，圆的半径r 是自变量，面积S 是r 的函数，S ＝πr 2.生4：问题(4)中，长方形的长x 是自变量，面积S 是x 的函数，S ＝x(5－x)．师：其实，现实生活中某些函数关系是用图表的形式给出的，比如说：心脏部位的生物电流，y 是x 的函数吗？生：y 是x 的函数，因为在心电图里，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值和它对应．师：很好！再比如说下面是我国的人口统计表，人口数量y 是年份x 的函数吗？中国人口数统计表年份 人口数/亿1984 10.341989 11.061994 11.761999 12.522010 13.71教师总结：(再一次叙述函数的定义)像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．如果当x ＝a 时，y ＝b ，那么b 叫做当自变量x ＝a 时的函数值，例如在问题(1)中当t ＝1时的函数值s ＝60，当t ＝2时的函数值s ＝120.在人口统计表中当x ＝1999时，函数值y ＝12.52亿．【例】教材第73页例1师：关于自变量的取值范围我们再来看两个题目．求下列函数中自变量x 的取值范围：y ＝2x 2－5；y ＝1x ＋4； y ＝x ＋3.生1：对于y ＝2x 2－5，x 没有任何限制，x 可取任意实数．生2：对于y ＝1x ＋4，(x ＋4)必须不等于0式子才有意义，因此x≠－4. 生3：对于y ＝x ＋3，由于二次根式的被开方数大于等于0，因此x≥－3.三、巩固练习下列问题中，哪些是自变量？哪些是自变量的函数？写出用自变量表示函数的式子．1．改变正方形的边长x ，正方形的面积S 随之改变．【答案】S ＝x 2，x 是自变量，S 是因变量．2．秀水村的耕地面积为106 m 2，这个村人均占有耕地面积y 随这个村人数n 的变化而变化．【答案】y ＝106n，n 是自变量，y 是因变量．四、课堂小结本节课我们通过对问题的思考、讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动，加深了对函数意义的理解，学会了确定函数关系式以及求自变量取值范围的方法，从而提高了运用函数知识解决实际问题的能力．本节课引入新课所设计的一些问题都来自于学生生活，函数的概念也是在教师引导下学生自主发现的，这样做能充分调动学生学习的积极性，同时能让学生更加热爱生活，增强学生利用所学知识解决实际问题的意识．19.1.2函数的图象第1课时函数的图象(1)准确地运用列表、描点、连线等步骤画出函数的图象．重点函数图象的画法，观察分析图象的信息．难点函数图象的理解，概括图象中的信息．一、创设情境，引入新课下面是一张心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，变量y随x的变化而变化．师：这个问题中的函数关系很难用式子表示，但是可以用图象直观地反映出来．事实上即使对能用函数关系式表示的函数，如果用图形表示，则会使函数关系更清晰．这就是我们这节课所要学习的内容——函数的图象．二、讲授新课师：如何表示出正方形的面积S与边长x的函数关系呢？自变量x的取值范围又如何？生：正方形的面积S与边长x的函数关系式为S＝x2，其中自变量的取值范围是x＞0.师：我们如何用画图的方法来表示S与x的关系呢？既然对于自变量x的每一个确定的值，Sx 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16系中对应9个点，请大家画出这样的9个点．学生画出平面直角坐标系并描出这样的9个点．师：这个图形上只有这9个点吗？生：不是的，因为x的取值不止这9个，点也就不止9个．师：那么其他的点我们还可以像这样一一地描出来吗？生：不能，因为有无数个点．师：其他的点我们怎样画出来呢？生：…师：其他的点我们不是一一描出的，而是根据这9个特殊点的位置来确定的，也就是用平滑的曲线把这9个点按从左到右的顺序连接起来．教师一边讲一边用平滑的曲线连接这些点，并要求学生跟着连线．师：这个图形我们就称作是函数S ＝x 2的图象．由于x≠0，所以原点不在图象上，应用空心圆圈表示．教师总结：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内的这些点组成的图形就是这个函数的图象．师：函数图象为我们利用数形结合的思想研究函数提供了便利，另外，函数图象也给我们带来许多信息，大家从下面的图象中可以得到哪些信息？生1：我知道这天的最高气温是8℃，是中午14点时产生的；最低气温是－3℃，是凌晨4点产生的．师：请大家仔细观察，看还能得到哪些信息？如果学生不能回答，提醒学生从气温的变化趋势上考虑．生2：我知道从0时至4时，气温呈下降状态；从4时至14时，气温呈上升状态；从14时至24时，气温又呈下降状态．师：我们还可以从图象中看出这一天任一时刻的气温大约是多少，另外长期观察这样的气温图象，我们还能掌握气温的变化规律．三、例题讲解【例1】教材第76页例2【例2】教材第77页例3四、巩固练习用描点法画出函数y ＝3x(x≠0)的图象． 【答案】略五、课堂小结用描点法画函数图象的步骤：第一步：列表，在自变量取值范围内选定一些值，求出对应的函数值；第二步：描点，在平面直角坐标系中，以自变量的值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，描出对应各点；第三步：连线，按照自变量从小到大的顺序把所描各点用平滑曲线连接起来．本节课让学生自己动手一步一步地按照列表、描点、连线的步骤画出函数的图象，并且在老师的详细讲解下理解了图象的概念．这种通过学生自己动手来接受新知识的方法以后还要加强．第2课时 函数的图象(2)进一步理解并掌握函数的不同表示方法，会发现函数图象所提供的信息．重点从图象中提取信息，利用图象解决问题．难点利用函数的图象解决问题．一、创设情境，引入新课师：我们在前面几节课已经看到或亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一些函数，这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析法和图象法．大家思考一下，从前面的例子看，这三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到实际问题时又该如何选择这些方法？这就是我们这节课要研究的问题．二、讲授新课师：从以前的活动可以看出，函数的表示方法有三种：列表法、解析法和图象法，下面我们通过一个活动来探究这三种方法的优缺点．.t/时0 1 2 3 4 5 …y/米 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 …生：列表法．师：它比较直观，如果我们要更准确地了解这5个小时中水位高度y(米)随时间t(时)的关系，我们可以用什么方法？生：解析法．师：下面我们就来求y与t的函数关系式．由于开始时水位高度为3米，以后每隔1小时水位升高0.3米，于是我们有y＝0.3t＋3，由于这段时间是指5小时内，因此0≤t≤5.如果我们要想更形象、更直观地了解这两个变量间的关系，进而预测水位，哪种方法比较好呢？生：图象法．师：好，下面我们就来看这个函数的图象，如下图所示．师：如果估计这种上涨规律还会持续2小时，那么利用哪种方法还可以预测出再过2小时以后的高度呢？生1：利用函数解析式可以得到，当t＝7小时时，y＝0.3×7＋3＝5.1(米)．生2：利用图象也可以预测出当t＝7小时时水位的高度．师：两个同学讲得都很好！利用解析式求2小时后的水位比较准确，通过图象估算比较直接、方便．刚才这个活动，我们主要了解的是函数的三种表示方法的优缺点以及相互转化．具体说，列表法比较直观地反映出函数中两个变量的关系，但它不够全面，也不如图象法形象；解析法能比较全面、准确地表示出两个变量的关系，但它不够直观形象；图象法能形象、直观地反映出两个变量的关系，但它不够准确．也就是说这三种方法各有优缺点，在实际问题中我们要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要同时使用几种方法．三、巩固练习1．用列表法、解析法表示n边形的内角和m是边数n的函数．2．用解析法与图象法表示等边三角形的周长l是边长a的函数．四、课堂小结通过本节课的学习，我们认识了函数的三种不同表示方法，学会根据具体情况选择适当的方法来解决问题，另外我们进一步根据图象发现其中所蕴含的信息．本节课中函数的三种表示方法的优缺点是学生在比较中自己发现的，爬山问题中图象的信息也是学生通过交流、讨论以及老师的适当提醒发现的，像这样让学生在交流、探究中学习知识的方法是值得提倡的．19.2一次函数19．2.1正比例函数第1课时正比例函数(1)理解并掌握正比例函数的概念及图象．重点正比例函数的概念、图象及性质．难点正比例函数的图象及性质．一、创设情境，引入新课问题：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318 km.设列车的平均速度为300 km/h.考虑以下问题：(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时？(结果保留小数点后一位)(2)京沪高铁列车的行程y(单位：km)与运行时间t(单位：h)之间有何数量关系？(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1100 km的南京南站？分析：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4(h)．(2)京沪高铁列车的行程y是运行时间t的函数，函数解析式为y＝300t(0≤t≤4.4)．(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h的行程，是当t＝2.5时函数y＝300t的值，即y＝300×2.5＝750(km)．这时列车尚未到达距始发站1100 km的南京南站．师：这个函数中，t是自变量，y是t的倍数(300倍)．尽管实际情况可能会与此有一些小的不同，但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间的对应规律．像这样的函数就是我们今天所要讲的函数——正比例函数．二、讲授新课思考：下列问题中的两个变量可用怎样的函数表示？师：圆的周长l随半径r的大小变化而变化，l是r的函数吗？生：l＝2πr，l是r的函数．师：铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的变化而变化，铁块的质量m是体积V的函数吗？生：m＝7.8V师：每本练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本的总厚度h(cm)随本数n的变化而变化的函数关系是怎样的？生：h＝0.5n.师：冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T(℃)随冷冻时间t(分)的变化而变化，那么它的函数关系式是怎样的呢？生：T＝－2t.师：这些函数有什么共同特点呢？学生思考并回答，教师予以总结．师：上面这些函数与y ＝300x 一样，函数都是自变量的倍数，或者说都是常数与自变量的乘积，像这种函数就是正比例函数．一般地，形如y ＝kx(k 是常数，k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 师：y ＝kx(k 是常数，k ≠0)是正比例函数的一般形式，注意k≠0的条件．下列函数是正比例函数吗？①y＝x 3，②y ＝3x ，③y ＝kx ，④y ＝kx 2，⑤y ＝k 2x (k≠0)． 生：①⑤是的，其他的都不是．三、例题讲解(1)若y ＝5x 3m －2是正比例函数，则m ＝________；(2)若y ＝(m －1)xm 2是正比例函数，则m ＝________.解：(1)3m －2＝1，即m ＝1时，它为正比例函数；(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝1，m －1≠0，解得m ＝－1.四、课堂小结1．正比例函数的定义2．正比例函数的应用本节课从实际问题中提出了正比例函数，让学生自主的分析发现函数的定义和规律，激发了学生的学习兴趣，提高了学生的归纳能力．第2课时 正比例函数(2)会画正比例函数的图象．重点一次函数图象的画法．难点根据一次函数的图象特征理解一次函数的性质．一、复习引入师：什么样的函数是正比例函数？生：形如y ＝kx(k 是常数，k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 师：前面我们讲函数图象的画法时，是通过把解析式中的x ，y 的值分别取出来，作为横、纵坐标在直角坐标系中描点、连线来得到函数图象，那么对于正比例函数我们同样可以用列表、描点、连线的方法来画出它的图象．二、讲授新课操作：画出正比例函数y ＝2x ，y ＝－2x 的图象．师：由于k≠0，所以k ＞0或k ＜0，这两个函数刚好一个k ＞0，一个k ＜0.显然这里的图象和前面一样是通过列表、描点、连线完成的．第一个图象老师带学生画，第二个图象由学生独立完成，教师巡视指导．1．函数y ＝2xx －3 －2 －1 0 1 2 3y －6 －4 －2 0 2 4 6画出图象如图2．y ＝－2x 的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：x －3 －2 －1 0 1 2 3y 6 4 2 0 －2 －4 －6画出图象如图(2)．师：比较这两个图象的相同点与不同点．学生讨论以后教师再进行总结．师生共同总结：两图象都是经过原点的一条直线；函数y ＝2x 的图象从左到右上升，经过第一、第三象限；函数y ＝－2x 的图象从左到右下降，经过第二、第四象限．为了更好地发现并总结规律，师生一起在同一坐标系中画出函数y ＝12x 和y ＝－12x 的图象．列表如下：x －6 －4 －2 0 2 4 6y ＝12x －3 －2 －1 0 1 2 3 y ＝－12x 3 2 1 0 －1 －2 －3 图象如图所示：【例】请同学们在同一直角坐标系中画出函数y ＝－1.5x 和y ＝－4x 的图象．函数y ＝－1.5x x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …y … 4.5 3 1.5 0 －1.5 －3 －4.5 …原点和第二、第四象限的直线，它就是函数y ＝－1.5x 的图象．用同样的方法，可以得到函数y ＝－4x 的图象．它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线．分析后得出结论．师：一般地，正比例函数y ＝kx(k 为常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y ＝kx.当k ＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即y 随x 的增大反而减小．既然我们已经知道正比例函数的图象是一条直线，那么我们以后画正比例函数的图象时，只需要描出两点，然后过这两点作一条直线即可．比如说，画直线y ＝3x 只需先指出两点(0，0)、(1，3)，然后过这两点作出直线即可．三、巩固练习用简单的方法画出下列函数的图象，并对照两图象说出图象与函数的性质．1．y ＝32x. 2．y ＝－3x.四、课堂小结本节课通过具体的正比例函数的图象探索出正比例函数的图象及其性质，这符合解决问题的一般途径．本节课教师带领学生画正比例函数的图象，又通过对函数图象的观察、总结，得到比例系数与函数图象间的关系． 19.2.2 一次函数第1课时 一次函数(1)了解一次函数的一般形式．重点一次函数的一般形式．难点探索实际问题中的一次函数关系．一、创设情境，引入新课问题：某登山队大本营所在地的气温是5℃，海拔每升高1 km 气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高x km 时，他们所在位置的气温是y ℃，试用解析式表示y 与x 的关系．师：每升高1 km 气温下降6℃，那么升高x km ，气温下降6x ℃，因此所在位置的气温为5－6x ，即y ＝－6x ＋5.自变量是x ，右边是自变量的一次式，像这样的函数就是我们今天所要学的一次函数．二、讲授新课思考：下列问题中变量间的关系可用怎样的函数表示？这些函数有哪些共同点？师：在20℃～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫的次数C 与t(℃)有关，即C 的值约是t 的7倍与35的差．这个函数的关系式怎么写？生：C ＝ 7t －35.师：一种计算成年人标准体重G(kg )的方法是：以厘米为单位量出身高h ，再减去常数105，所得差是G 的值，即：G ＝h －105.某市的市内电话的月收费额y(元)包括月租费22元和拨打电话按0.1元/分收取，写出y 与每月电话x(分钟)的函数关系式．生：y ＝0.1x ＋22.师：把一个长10 cm 、宽5 cm 的长方形的长减少x cm ，宽不变，长方形的面积y(cm 2)随x 的变化的关系式是什么？生：y ＝ 5(10－x)＝－5x ＋50.师：上述这些函数有什么共同特点？比如说右边．生：右边都是自变量的倍数与一个常数的和．师：对，上述这些函数的右边都是关于自变量的一次式，像这样的函数是一次函数． 一般地，形如y ＝kx ＋b(k ，b 是常数，k ≠0)的函数叫做一次函数，当b ＝0时，y ＝kx＋b 即y ＝kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．师：下面的函数是一次函数吗？如果是一次函数，说说其中k 和b 的值分别是多少．①y ＝x －6；②y＝2x ；③y＝x 8；④y＝7－x. 生1：y ＝x －6是一次函数，其中k ＝1，b ＝－6.生2：y ＝2x不是一次函数． 生3：y ＝x 8是一次函数，其中k ＝18，b ＝0. 生4：y ＝7－x 是一次函数，其中k ＝－1，b ＝7.师：值得注意的是y ＝x 8也是一次函数，它是当b ＝0时的特殊情况． 例题：(1)已知函数y ＝(k －2)x ＋2k ＋1，当k 为何值时它是正比例函数？当k 为何值时它是一次函数？解决：当2k ＋1＝0，即k ＝－12时，它为正比例函数． 当k －2≠0，即k≠2时，它为一次函数．(2)已知y 与x －3成正比例，当x ＝4时，y ＝3，写出y 与x 的函数关系式并指出是什么函数．解：因为y 与x －3成正比例，所以设y ＝k(x －3)．由题意知当x ＝4时，y ＝3，代入得k ＝3.所以y ＝3(x －3)，即y ＝3x －9，y 是x 的一次函数．三、巩固练习写出下列函数关系式，并指出哪些是一次函数，其中哪些又属于正比例函数．1．面积为10 cm 2的三角形的底a(cm )与这边上的高h(cm )．【答案】h ＝20a，不是一次函数． 2．一边长为8 cm 的平行四边形的周长L(cm )与另一边长b(cm )．【答案】L ＝16＋2b ，是一次函数．3．食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x 天后还剩下煤y 吨．【答案】y ＝120－5x ，是一次函数．4．汽车每小时行40千米，行驶的路程s(千米)和时间t(小时)．【答案】s ＝40t ，是一次函数，且是正比例函数．5．圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系．【答案】y ＝πx 2，不是一次函数．6．一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x 个月后这棵树的高度为y(厘米)．【答案】y ＝50＋2x ，是一次函数．四、课堂小结本节课从实际出发得出一次函数的概念，并在实际问题中根据简单信息写出一次函数的表达式，进而解决问题．本节课主要学习了一次函数的概念和一次函数的一般形式．教学过程中充分调动了学生的学习积极性，让学生参与到学习活动中，在活动的过程中，理解并掌握知识，同时也培养了学生的学习能力及参与意识，取得了良好的教学效果．第2课时 一次函数(2)会画一次函数的图象．重点一次函数图象的画法．难点根据一次函数的图象特征理解一次函数的性质．一、创设情境，引入新课师：正比例函数的一般形式是y＝kx(k≠0)，它的图象是经过原点的一条直线．一次函数的一般形式是y＝kx＋b(k≠0)，那么它的图象是什么呢？这就是我们这节课所要学的内容．二、讲授新课活动一活动内容设计：画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象，比较两个函数的图象，探究它们的联系并解释原因．教师活动：引导学生从图象的形状、倾斜程度以及与y轴的交点在坐标轴上的位置比较两个图象，从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中的k，b在图象中的意义，体会数形结合在实际中的应用．学生活动：在教师的引导下利用列表、描点、连线作出两函数的图象，然后根据教师的引导从多方面比较两个函数的图象的相同点与不同点．生：函数y＝－6x与y＝－6x＋5中，自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值，如下表所示：x －2 －1 0 1 2y＝－6x 12 6 0 －6 －12y＝－6x＋5 17 1 5 －1 －7画出函数y结果：这两个函数的图象形状都是________，并且倾斜程度________．函数y＝－6x 的图象经过原点，函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点________，即它可以看作由直线y ＝－6x向________平移________个单位长度而得到．结论：一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b，它可以看作是由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到的(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．既然一次函数的图象是一条直线，所以今后画一次函数的图象时，只要取两点，再过这两点画直线即可．活动二活动内容设计：画出函数y＝x＋1，y＝－x＋1，y＝2x＋1，y＝－2x＋1的图象．由它们联想：一次函数解析式y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影。
人教版八年级数学下册 第19章 一次函数 全章优秀教案
第19章一次函数19.1.1变量与函数(1)教学目标①运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义。
能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义。
②通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力。
③引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心。
教学重点与难点重点：函数概念的形成过程。
难点：正确理解函数的概念。
教学准备每个小组一副弹簧秤和挂件,一根绳子。
教学设计提出问题:1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶。
行驶里程为s千米,行驶时间为t小时。
先填写下面的表,再试着用含t的式子表示s：2.已知每张电影票的售价为10元。
如果早场售出150张,日场售出205张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用含x的式子表示y?3.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评。
(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验。
动手实验1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,填入下表：如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)?2.用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示) 。
设矩形的长为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S?注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报。
通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深刻体会了变量间的关系,学会了运用表格形式来表示实验信息。
人教版八年级数学册下第十九章;一次函数单元教学设计
（一）教学重难点
1.重点：一次函数的定义、图像与性质，以及一次函数在实际问题中的应用。
2.难点：
-斜率k和截距b对一次函数图像的影响，特别是如何通过斜率判断图像的走势。
-将实际问题抽象为一次函数模型，建立数学模型解决实际问题。
-理解一次函数与线性方程、不等式之间的关系，并能灵活运用。
9.教学反思：在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法和手段，根据学生的实际情况调整教学策略，以提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：教师以生活中的一次函数实例作为导入，例如“同学们，你们坐出租车的时候，有没有注意过计费方式？其实，出租车计费就涉及到了我们今天要学习的一次函数。”通过这个实例，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
7.评价与反馈：在教学过程中，教师应及时关注学生的学习情况，通过提问、练习、讨论等方式，了解学生的掌握程度，给予针对性的指导和鼓励。
8.课后作业设计：课后作业应注重巩固基础知识，同时兼顾拓展提高。布置一定数量的基础题，确保学生掌握一次函数的基本概念和性质；适当布置一些综合题，培养学生的解题能力和创新意识。
2.提出问题：请同学们思考，一次函数在我们的生活中还有哪些应用？这个问题旨在引导学生关注一次函数在现实生活中的作用，激发学生学习兴趣。
3.过渡语：接下来，我们就一起走进一次函数的世界，探索它的奥秘。
（二）讲授新知
1.讲解一次函数的定义：教师以简洁明了的语言，向学生讲解一次函数的定义，即y=kx+b（k≠0），并解释其中k和b的含义。
1.学生对函数的概念理解尚不深入，需要通过具体的一次函数实例，帮助他们巩固和拓展对函数的认识。
2.学生在图像识别和性质分析方面存在一定难度，特别是斜率k和截距b对图像影响的理解，需要教师耐心引导和实例演示。
新人教版八年级数学下册《十九章 一次函数 数学活动》教案_3
19.3课题学习选择方案（1）教学设计【教学内容及内容解析】本节内容选择了贴近生活实际的一个方案（怎样解决上网收费方式）。
在此之前学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的解法和应用，一次函数的图像和性质，一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式之间的关系等相关知识。
由于本节内容具有较强的实际背景，分析实际背景中所包含的变量及其对应关系较复杂，且方法多，即可用学过的方程不等式又可用刚学过的函数知识，又要选择最优化的方案，因此是对以前知识的综合应用和升华。
目的是提高综合应用所学知识分析和解决实际问题的能力，从而体会一次函数在分析和解决实际问题中的重要作用，进一步感受建立数学模型重要性。
在授课过程中，采用了师生共同发现问题，提出问题，利用函数、数形结合以及分类讨论的思想方法解决问题，并用发现的方法解决问题的教学主线，解决了选择方案中的一次函数问题和简单分段函数的问题。
【教学目标】1、进一步巩固一次函数的相关知识，初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展数学应用意识。
2、能根据一次函数的性质，用代数法和图像法解决选择方案的问题，培养学生分析问题解决问题的能力与优化方案的意识，渗透数学建模、分类讨论、数形结合的思想方法。
3、通过解决实际问题体会数学与生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。
在数学学习中学会独立思考及与他人合作学习共同获得经验。
4、将所学的知识应用到解决实际问题中去选择合适的方案，体会数学的实用价值，帮助学生获得生活经验，并树立正确的人生观和价值观。
【教学重点】建立数学模型，利用代数法和图像法解决选择方案的实际问题【教学难点】从实际问题中抽象出分段函数模型，借助函数图像的性质进行综合分析问题，从而解决实际生活中方案选择问题。
【教学过程设计】一、课前寄语人生选择选择自信，收获勇气；选择磨砺，收获坚强；选择分享，收获快乐；选择方法，收获成功。
人教版八年级数学下册第十九章一次函数(图象信息)教学设计
4.课后反思：请学生撰写一篇关于本节课学习的反思，内容包括：
-一次函数图象的绘制方法和注意事项；
-一次函数图象在实际问题中的应用；
-本节课的收获和仍存在的疑问。
通过课后反思，帮助学生巩固所学知识，发现自身不足，为后续学习奠定基础。
5.家长参与：鼓励家长参与孩子的学习过程，共同完成以下任务：
（四）课堂练习
1.教学活动：设计具有梯度性的课堂练习，让学生在练习中巩固所学知识。
（1）基础题：绘制给定的一次函数图象，分析斜率和截距。
（2）提高题：根据实际问题，确定一次函数的解析式，并利用图象解决问题。
2.学生练习：学生在规定时间内完成练习，教师进行个别辅导。
3.答疑解惑：针对学生存在的问题，教师进行集中讲解，帮助学生突破学习难点。
（五）总结归纳
1.教学活动：对本节课的内容进行总结，梳理一次函数图象的知识点。
（1）回顾一次函数图象的绘制方法及其性质。
（2）强调一次函数图象在解决实际问题中的应用。
2.学生总结：让学生谈谈对本节课知识的理解和感悟，提高学生的归纳总结能力。
3.教师寄语：鼓励学生在课后继续探索一次函数图象的奥秘，培养学生的学习兴趣和自主学习能力。
二、学情分析
八年级学生在学习了一次函数的基本概念和性质后，对本章节的图象信息有了初步的认识。在此基础上，学生对一次函数的图象信息进行深入学习，有利于巩固已学知识，提高学生的数学思维能力。然而，学生在图象信息处理方面仍存在一定的困难，如对图象的直观认识不足，对图象平移、斜率等概念的理解不够深入。因此，在教学过程中，应关注以下几点：
-通过实际问题的解决，使学生认识到数学在生活中的价值，提高学生的数学素养。
人教版数学八年级下册第十九章《数学活动 一次函数的应用问题》教案
人教版数学八年级下册第十九章《数学活动一次函数的应用问题》教案一. 教材分析人教版数学八年级下册第十九章《数学活动一次函数的应用问题》主要让学生通过解决实际问题，进一步理解一次函数的性质和应用。
本章内容主要包括一次函数的图像与实际问题相结合，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了了一次函数的基本性质和图像，能够理解一次函数的斜率和截距。
但部分学生对于如何将一次函数与实际问题相结合，解决实际问题还有一定的困难。
三. 教学目标1.理解一次函数在实际问题中的应用。
2.能够运用一次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。
四. 教学重难点1.一次函数在实际问题中的应用。
2.如何引导学生将实际问题转化为一次函数问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过实际问题引导学生思考，运用一次函数的知识解决问题。
同时，采用案例分析法，分析一次函数在不同实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备一些实际问题，如购物问题、行程问题等。
2.准备一次函数的图像资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个购物问题，引导学生思考如何用数学知识解决实际问题。
2.呈现（10分钟）呈现一次函数的图像，让学生观察一次函数的特点。
同时，引导学生思考一次函数与实际问题之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际问题，尝试用一次函数的知识解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）选取几个小组的解题过程和答案，进行讲解和分析，巩固学生对一次函数应用的理解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数在实际问题中的应用范围，讨论一次函数在其他领域的应用。
6.小结（5分钟）总结本节课的主要内容和解决实际问题的方法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关一次函数应用的实际问题，让学生课后思考和练习。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和解决问题的方法。
教学过程每个环节所用的时间仅供参考，具体时间根据实际教学情况调整。
人教版八年级数学下册第十九章《一次函数》同步教学设计
二、学情分析
八年级学生在学习了线性方程的基础上，已经具备了一定的逻辑推理和解决问题的能力。在此基础上，本章的一次函数学习将有助于学生进一步理解数学与现实生活的联系。学生在此阶段，对图像的观察和几何直观能力逐渐增强，但对函数概念的理解尚处于初级阶段，需要通过具体实例和实践活动来逐步引导。此外，学生在小组合作学习中，能够发挥团队协作精神，但在独立思考和问题解决方面仍有待提高。因此，在本章节的教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，引导他们通过自主探究和合作交流，逐步掌握一次函数的知识，提高数学素养。
（2）已知一次函数的解析式，分析其图像的性质，如斜率、截距等。
（3）运用一次函数解决实际问题，如计算物品价格、预测趋势等。
2.提高拓展题：
（1）在一次函数图像上，平移、伸缩等变换会对图像产生怎样的影响？请举例说明。
（2）已知两个一次函数的解析式，求它们的交点坐标。
（3）设计一个实际问题，运用一次函数建立数学模型并求解。
在教学过程中，教师应及时给予学生反馈，指导他们调整学习策略，提高学习效率。
6.结合课后作业，布置具有挑战性的实际问题，让学生在解决问题的过程中，进一步巩固所学知识，提高应用能力。
例如：让学生调查身边的物价变化情况，运用一次函数建立数学模型，预测未来的价格走势。
7.开展数学实践活动，让学生在实际操作中感受数学的魅力，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
人教版八年级数学下册第十九章《一次函数》同步教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一次函数的定义，掌握一次函数的表示形式，并能够准确地识别一次函数的图像。