导数练习题及答案
章末检测
一、选择题
1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( ) A．(－1,3) B．(－1，－3)
C．(－2，－3) D．(－2,3)
答案 B
解析∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.
f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.∴M(－1，－3)．
2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( )
A．(－∞，－1)及(0,1)
B．(－1,0)及(1，＋∞)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)及(1，＋∞)
答案 A
解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A. 3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，
即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.
4．函数y＝ln
1
|x＋1|的大致图象为( )
答案 D
解析函数的图象关于x＝－1对称，排除A、C，当x＞－1时，y＝－ln(x＋1)为减函数，故选D.
5．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点所在象限是( )
A．第一B．第二
C．第三D．第四
答案 C
解析∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．
6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值围是( ) A．(－∞，－3) B．[－3，3]
C．(3，＋∞) D．(－3，3)
答案 B
解析f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0?－3≤a≤ 3. 7．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2B．ln 2
C.ln 2
2D．e
答案 D
解析f′(x)＝x·(ln x)′＋(x)′·ln x＝1＋ln x. ∴f′(x0)＝1＋ln x0＝2，
∴ln x0＝1，
∴x0＝e.
8．设函数f(x)＝1
3
x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)( )
A．在区间(1
e，1)(1，e)均有零点
B．在区间(1
e，1)，(1，e)均无零点
C．在区间(1
e，1)无零点，在区间(1，e)有零点
D．在区间(1
e，1)有零点，在区间(1，e)无零点
答案 C
解析由题意得f′(x)＝x－3
3x，令f′(x)＞0得x＞3；令f′(x)＜0得0＜x＜3；f′(x)＝0得x
＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x＝3处有极小值
1－ln 3＜0；又f(1)＝1
3＞0，
f(e)＝
e
3－1＜0，
f(
1
e)＝
1
3e＋1＞0.
9．设函数f(x)＝sin θ
3
x3＋
3cos θ
2
x2＋tan θ，其中θ∈[0，
5π
12]，则导数
f′(1)的取值围是( )
A．[－2,2] B．[2，3] C．[3，2] D．[2，2]
答案 D
解析∵f′(x)＝x2sin θ＋x·3cos θ，
∴f′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2(1
2sin
θ＋
3
2cos
θ)
＝2sin(θ＋π3)．
∵0≤θ≤5π
12，∴
π
3≤
θ＋
π
3≤
3π
4，
∴
2
2≤sin(
θ＋
π
3)≤1.∴2≤2sin(
θ＋
π
3)≤2.
10．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)根的个数有( ) A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析令f(x)＝2x3－6x2＋7，
∴f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，
由f ′(x )＞0得x ＞2或x ＜0；由f ′(x )＜0得0＜x ＜2；又f (0)＝7＞0，
f (2)＝－1＜0，∴方程在(0,2)只有一实根．
二、填空题
11．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝______. 答案 －1
解析 求导得y ′＝k ＋1
x
，依题意k ＋1＝0，
所以k ＝－1.
12．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值围是________． 答案 a ≥3
解析 由题意应有f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2，x ∈(－1,1)恒成立，故a ≥3.
13．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限，已知曲线
C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．
答案 (2,15)
解析 y ′＝3x 2－10＝2?x ＝±2，又点P 在第二象限，∴x ＝－2，得点P 的坐标为(－2,15) 14．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，那么a ，b 的值分别为________． 答案 4，－11
解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，
f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，
????? 2a ＋b ＝－3a 2＋a ＋b ＝9，????? a ＝－3b ＝3，或?
????
a ＝4
b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11. 三、解答题
15．设23 2 ，求常数a ， b . 解 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0， 得x 1＝0，x 2＝a . f (0)＝b ，f (a )＝－a 3 2 ＋b ，f (－1)＝－1－3 2 a ＋ b ， f (1)＝1－32 a ＋b 因为2 3< a<1，所以1－ 3 2 a<0， 故最大值为f(0)＝b＝1， 所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－3 2 a＋b＝－ 3 2 a， 所以－3 2 a＝－ 6 2，所以 a＝ 6 3. 故a＝ 6 3， b＝1. 16．若函数f(x)＝4x3－ax＋3在[－1 2， 1 2]上是单调函数，则实数 a的取值围为多少？ 解f′(x)＝12x2－a，若f(x)在[－1 2， 1 2]上为单调增函数，则 f′(x)≥0在[－ 1 2， 1 2]上恒成立， 即12x2－a≥0在[－1 2， 1 2]上恒成立， ∴a≤12x2在[－1 2， 1 2]上恒成立，∴ a≤(12x2)min＝0. 当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0)．∴a＝0符合题意． 若f(x)在[－1 2， 1 2]上为单调减函数， 则f′(x)≤0，在[－1 2， 1 2]上恒成立， 即12x2－a≤0在[－1 2， 1 2]上恒成立， ∴a≥12x2在[－1 2， 1 2]上恒成立， ∴a≥(12x2)max＝3. 当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝±1 2时 f′(x)＝0)． 因此，a的取值围为a≤0或a≥3. 17．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元， 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝1 5r(300－4r2)， 从而V(r)＝πr2h＝π 5(300 r－4r3)． 因为r>0，又由h>0可得r<53，故函数V(r)的定义域为(0,53)． (2)因为V(r)＝π 5(300 r－4r3)， 故V′(r)＝π 5(300－12 r2)． 令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域，舍去)． 当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数； 当r∈(5,53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,53)上为减函数． 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8. 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大． 17．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的 函数解析式可以表示为：y＝ 1 128 000 x3－ 3 80 x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米． (1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了100 40＝2.5小时， 要耗油( 1 128 000×403－ 3 80×40＋8)×2.5＝17.5(升)． (2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x小时，设耗油量为h(x)升， 依题意得h(x)＝( 1 128 000 x3－ 3 80 x＋8). 100 x＝ 1 1280 x2＋ 800 x－ 15 4(0＜ x≤120)， h′(x)＝ x 640－ 800 x2＝ x3－803 640x2(0＜x≤120)． 令h′(x)＝0，得x＝80. 当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25. 因为h (x )在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值． 答 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 18．已知函数f (x )＝13x 3－a ln x －1 3(a ∈R ，a ≠0)． (1)当a ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间； (3)若对任意的x ∈[1，＋∞)，都有f (x )≥0成立，求a 的取值围． 解 (1)当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3ln x －1 3，f (1)＝0， ∴f ′(x )＝x 2－3 x ，∴f ′(1)＝－2， ∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程2x ＋y －2＝0. (2)f ′(x )＝x 2 －a x ＝x 3－a x (x ＞0)． ①当a ＜0时，f ′(x )＝x 3－a x ＞0恒成立，函数f (x )的递增区间为(0，＋∞)． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ 3 a 或x ＝－3 a (舍). ∴函数f (x )的递增区间为( 3 a ，＋∞)，递减区间为(0，3 a ) (3)对任意的x ∈[1，＋∞)，使f (x )≥0成立，只需对任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )min ≥0. ①当a ＜0时，f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴只需f (1)≥0，而f (1)＝13－a ln 1－1 3＝0， ∴a ＜0满足题意， ②当0＜a ≤1时，0＜3 a ≤1，f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴只需f (1)≥0而f (1)＝13 －a ln 1 －1 3 ＝0， ∴0＜a ≤1满足题意； ③当a ＞1时， 3 a ＞1，f (x )在[1， 3 a ]上是减函数，[ 3 a ，＋∞)上是增函数，∴只需f (3 a ) ≥0即可，而f(3 a)＜f(1)＝0，∴a＞1不满足题意； 综上，a∈(－∞，0)∪(0,1]． 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( ) 导数在研究函数中的应用 知识点一、导数的几何意义 函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的 ，即_______________;相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是 例1.(1)曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程为（ ） A.033=+-y x B.022=+-y x C.012=+-y x D.013=+-y x （2）若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行于直线012=+-y x ，则点P 的坐标是（ ） A.),(e e B.)2ln 2,2( C.)0,1( D.),0(e 【变式】 （1）曲线21x y xe x =++在点)1,0(处的切线方程为（ ） A.13+=x y B.12+=x y C.13-=x y D.12-=x y （2）若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.21 D.2 1- 知识点二、导数与函数的单调性 （1）如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内为 且该区间为函数)(x f 的单调_______区间； (2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内为 ，且该区间为函数)(x f 的单调_______区间. 例1.（1）函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为（ ） A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)1,3(- D.),1()3,(+∞--∞和 （2）函数x x y ln 2 12-=的单调递减区间为（ ） A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞ 例2.求下列函数的单调区间，并画出函数)(x f y =的大致图像. （1）3)(x x f = （2）x x x f 3)(3+= (3)1331)(23+--=x x x x f （4）x x x x f 33 1)(23++-= 知识点三、导数与函数的极值 函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 （熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点） 例1.（1）求函数133 1)(23+--=x x x x f 的极值 （2）求函数x x x f ln 2)(2-=的极值导数练习题 含答案
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