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2020-2021学年北京大学附中九年级(上)开学数学试卷 (解析版)

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2022-23学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题08 二次函数的实际应用—销售问题(含详解)

2022-23学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题08 二次函数的实际应用—销售问题(含详解)

2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题08 二次函数的实际应用—销售问题考试时间：120分钟 试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一 二 三 总分得分评卷人得 分 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022九下·嘉祥开学考）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（ ）A ．55B ．56C ．57D ．582．（2分）（2021九上·北京月考）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x 元（x 正整数），每星期销售的利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．y ＝10（200﹣10x ）B ．y ＝200（10+x ）C ．y ＝10（200﹣10x ）2D ．y ＝（10+x ）（200﹣10x ）3．（2分）（2021九上·淮北月考）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间满足函数关系式 5550y x =-+ ，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ）A ．90元，4500元B ．80元，4500元C ．90元，4000元D ．80元，4000元4．（2分）（2021九上·江干月考）某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（ ）元。

北京市清华大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中试题(Word解析版)

北京市清华大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中试题(Word解析版)

2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．已知命题P：∀x∈N，x3≥1，则命题P的否定为（）A．∀x∈N，x3＜1B．∃x∈N，x3＜1C．∀x∉N，x3＜1D．∃x∉N，x3＜1 3．若函数为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（0）+f（﹣1）＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．函数f（x）＝的定义域为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[﹣2，0）∪（0，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，+∞）5．已知a，b∈R，则“ab＝0”是“a2+b2＝0”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要6．已知a＜b＜c，则下列不等式一定成立的是（）A．ac2＜bc2B．a2＜b2＜c2C．ab＜ac D．＞7．下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A．y＝﹣B．y＝C．y＝|x|D．y＝x+（x＞0）8．已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）9．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件10．已知f（x）＝，则下列关于y＝f[f（x）]+1的零点的判断正确的是（）A．当a＞0时，有4个零点，当a＜0时，有1个零点B．当a＞0时，有3个零点，当a＜0时，有2个零点C．无论a为何值，均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点二、填空题（共5小题）11．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x＜2}，则集合A∩B＝．12．函数f（x）＝的值域为．13．已知函数f（x）的定义域为{1，2，3，4}，且自变量x与函数值的关系对应如表：（1）f[f（1）]＝；（2）不等式f（x）≥2的解集为．14．函数f（x）＝x2+ax﹣1在[2，3]上不单调，则实数a的取值范围为．15．已知p，q∈R，p＜q，不等式x2﹣px﹣qx+pq﹣2≤0的解集为[m，n]，有下列四个命题：①p+q∈[m，n]；②（m+1）（n+1）＜（p+1）（q+1）；③n﹣m＝q﹣p+2；④m3+n3＞p3+q3．其中，全部正确命题的序号为．三、解答题（共6小题，第16-20题每小题14分，第21题15分，共85分）16．解下列关于x的不等式：（1）x2﹣x﹣6≤0；（2）x2﹣3x+4＞0；（3）x2≥ax．17．已知集合A＝{x|x2﹣ax+1＞0}．（1）若1∈A，2∉A，求实数a的取值范围；（2）若集合A＝R，求实数a的取值范围；（3）已知a≠0，判断a+能否属于集合A，并说明你的理由．18．已知函数f（x）满足：∀a，b∈R，均有f（a+b）＝f（a）+f（b），且f（2）＝4．（1）求f（0），f（4）的值；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）求f（﹣1）的值．19．已知函数f（x）＝x2+bx+c的图象经过坐标原点，且y＝f（x+1）为偶函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求证：对于任意的x∈[0，4]，总有2x﹣4≤f（x）≤2x；（Ⅲ）记函数y＝|f（x）﹣2x﹣m|在区间[0，4]的最大值为G（m），求G（m）的最小值．20．已知函数f（x）＝，其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（1）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（2）若P＝（﹣∞，a），M＝[a，+∞），且f（P）∪f（M）＝R，求实数a的取值范围．21．已知集合A为数集，定义f A（x）＝，若A，B⊆{x|x≤8，x∈N*}，定义：d（A，B）＝|f A （1）﹣f B（1）|+|f A（2）﹣f B（2）|+……+|f A（8）﹣f B（8）|．（1）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝∅，求d（A，B），d（A，C）的值；（2）若A，B，C⊆{x|x≤8，x∈N*}．①求证：d（A，B）+d（A，C）≥d（B，C）；②求d（A，B）+d（A，C）+d（B，C）的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，四个选项中，只有0∈A，故选：C．2．已知命题P：∀x∈N，x3≥1，则命题P的否定为（）A．∀x∈N，x3＜1B．∃x∈N，x3＜1C．∀x∉N，x3＜1D．∃x∉N，x3＜1解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈N，x3＜1，故选：B．3．若函数为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（0）+f（﹣1）＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（1）＝2﹣1＝1，函数为R上的奇函数，则f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，故f（0）+f（﹣1）＝0+（﹣1）＝﹣1，故选：D．4．函数f（x）＝的定义域为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[﹣2，0）∪（0，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，+∞）解：要使f（x）有意义，则，解得x≥2，∴f（x）的定义域为：[2，+∞）．故选：A．5．已知a，b∈R，则“ab＝0”是“a2+b2＝0”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要解：p：ab＝0即为a＝0或b＝0；q：a2+b2＝0即为a＝b＝0；所以p成立q不一定成立，反之q成立p一定成立，所以p是q的必要不充分条件，故选：B．6．已知a＜b＜c，则下列不等式一定成立的是（）A．ac2＜bc2B．a2＜b2＜c2C．ab＜ac D．＞解：根据a＜b＜c，取c＝0，则A不成立；取a＝﹣1，b＝0，c＝1，则BC不成立；由a＜b＜c，可知a﹣c＜b﹣c＜0，∴，故D一定成立．故选：D．7．下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A．y＝﹣B．y＝C．y＝|x|D．y＝x+（x＞0）解：对于A：函数在定义域不单调，不合题意，对于B：函数在[0，+∞）递增，符合题意，对于C：函数在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，不合题意，对于D：函数在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，不合题意，故选：B．8．已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）解：∵f（x）＝x2﹣4x的开口向上，对称轴x＝2，且f（0）＝f（4）＝0，f（2）＝﹣4，∵函数f（x）在[0，m]内的值域为[﹣4，0]，则实数2≤m≤4故选：B．9．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是＝这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）由基本不等式，得当且仅当时，f（x）取得最小值、可得x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B．10．已知f（x）＝，则下列关于y＝f[f（x）]+1的零点的判断正确的是（）A．当a＞0时，有4个零点，当a＜0时，有1个零点B．当a＞0时，有3个零点，当a＜0时，有2个零点C．无论a为何值，均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点解：当a＞0时，①当x≤0时，f（x）∈（﹣∞，1]，则当f（x）≤0时，函数f（f（x））≤1，此时函数有1个零点，当f（x）∈（0，1]时，f（f（x））∈（﹣∞，0]，此时函数有1个零点；②当x＞0时，f（x）∈R，当f（x）≤0时，f（f（x））∈（﹣∞，1]，函数有1个零点，当f（x）＞0时，f（f（x））∈R，函数有1个零点，所以当a＞0时，函数有4个零点；当a＜0时，①当x≤0时，f（x）≥1，f（f（x））≥0，函数无零点；②当x＞0时，f（x）∈R，当f（x）≤0时，f（f（x））≥0，函数无零点，当f（x）＜0时，f（f（x））∈R，函数有1个零点，所以当a＜0时，函数有1个零点，故A正确，故选：A．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x＜2}，则集合A∩B＝{0，1}．解：集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x＜2}，则集合A∩B＝{0，1}，故答案为：{0，1}．12．函数f（x）＝的值域为（0，2]．．解：因为x2+2≥2，所以f（x）＝∈（0，2]，故f（x）＝的值域（0，2]．故答案为：（0，2]．13．已知函数f（x）的定义域为{1，2，3，4}，且自变量x与函数值的关系对应如表：（1）f[f（1）]＝1；（2）不等式f（x）≥2的解集为{1，2，4}．解：（1）x＝1时，f（1）＝3，故f[f（1）]＝f（3）＝1，（2）若f（x）≥2，则x＝1，2，4，故不等式的解集是{1，2，4}，故答案为：1，{1，2，4}．14．函数f（x）＝x2+ax﹣1在[2，3]上不单调，则实数a的取值范围为（﹣6，﹣4）．解：因为f（x）＝x2+ax﹣1在[2，3]上不单调，所以2，解可得，﹣6＜a＜﹣4．故答案为：（﹣6，﹣4）15．已知p，q∈R，p＜q，不等式x2﹣px﹣qx+pq﹣2≤0的解集为[m，n]，有下列四个命题：①p+q∈[m，n]；②（m+1）（n+1）＜（p+1）（q+1）；③n﹣m＝q﹣p+2；④m3+n3＞p3+q3．其中，全部正确命题的序号为①②．解：不等式x2﹣px﹣qx+pq﹣2≤0的解集为[m，n]，∴（x﹣p）（x﹣q）≤2，（*）①代入x＝p+q，可得（q﹣p）（p﹣q）＝﹣（p﹣q）2＜0≤2，不等式成立，即p+q∈[m，n]，故正确；②∵m，n为方程x2﹣px﹣qx+pq﹣2＝0的两个根，∴m+n＝p+q，mn＝pq﹣2，∴（m+1）（n+1）＝mn+（m+n）+1＝pq﹣2+p+q+1＝pq+p+q﹣1＜（p+1）（q+1），故正确；③（n﹣m）2＝（m+n）2﹣4mn＝（p+q）2﹣4pq+8＝（q﹣p）2+8，∴n﹣m＝≠q﹣p+2，故错误；④m3+n3＝（m+n）（m2+n2﹣mn）＝（m+n）[（m+n）2﹣3mn]，＝（p+q）3﹣3（p+q）（pq﹣2）＝p3+q3+3p2q+3pq2﹣3（p2q﹣2p+pq2﹣2q）＝p3+q3+6（p+q），由于p+q与0的关系不确定，故无法比较m3+n3与p3+q3，故错误；故答案为：①②．三、解答题（本题共6小题，第16-20题每小题14分，第21题15分，共85分）16．解下列关于x的不等式：（1）x2﹣x﹣6≤0；（2）x2﹣3x+4＞0；（3）x2≥ax．解：（1）不等式x2﹣x﹣6≤0可化为（x+2）（x﹣3）≤0，解得﹣2≤x≤3，所以不等式的解集为[﹣2，3]；（2）不等式x2﹣3x+4＞0中，△＝（﹣3）2﹣4×4＝﹣7＜0，所以不等式的解集为R；（3）不等式x2≥ax化为x（x﹣a）≥0，当a＝0时，解不等式得x∈R；当a＞0时，解不等式得x≤0或x≥a；当a＜0时，解不等式得x≤a或x≥0；综上知，a＝0时，不等式的解集为R；a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，a]∪[0，+∞）．17．已知集合A＝{x|x2﹣ax+1＞0}．（1）若1∈A，2∉A，求实数a的取值范围；（2）若集合A＝R，求实数a的取值范围；（3）已知a≠0，判断a+能否属于集合A，并说明你的理由．解：（1）∵1∈A，2∉A，∴，解得，故a的取值范围是∅；（2）∵A＝R，∴x2﹣ax+1＞0恒成立，即解集是R，∴△＝a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2；（3）假设a+属于集合A，∴，整理得恒成立，a+可以属于集合A．18．已知函数f（x）满足：∀a，b∈R，均有f（a+b）＝f（a）+f（b），且f（2）＝4．（1）求f（0），f（4）的值；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）求f（﹣1）的值．解：（1）令a＝b＝0，则f（0）＝2f（0），则f（0）＝0，令a＝b＝2，则f（4）＝2f（2），则f（4）＝8，（2）令a＝x，b＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x），即f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，（3）令a＝b＝1，则f（2）＝2f（1），则f（1）＝2，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2．19．已知函数f（x）＝x2+bx+c的图象经过坐标原点，且y＝f（x+1）为偶函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求证：对于任意的x∈[0，4]，总有2x﹣4≤f（x）≤2x；（Ⅲ）记函数y＝|f（x）﹣2x﹣m|在区间[0，4]的最大值为G（m），求G（m）的最小值．解：（Ⅰ）由题意，得f（0）＝0，即c＝0，∴f（x）＝x2+bx，f（x+1）＝x2+（2+b）x+b+1，∵f（x+1）是偶函数，∴﹣＝0 解得b＝﹣2∴f（x）＝x2﹣2x；（Ⅱ）对于任意的x∈[0，4]，总有2x﹣4≤f（x）≤2x等价于对于任意的x∈[0，4]，总有﹣4≤f（x）﹣2x≤0；令g（x）＝x2﹣2x﹣2x＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，则当x∈[0，4]，g（x）∈[﹣4，0]即对于任意的x∈[0，4]，总有﹣4≤f（x）﹣2x≤0，得证；（Ⅲ）y＝|f（x）﹣2x﹣m|＝|（x﹣2）2﹣4﹣m|当m≤﹣4时，结合（Ⅱ），因为对于任意的x∈[0，4]，总有﹣4≤f（x）﹣2x≤0，则此时（x﹣2）2﹣4﹣m≥0，即有y＝（x﹣2）2﹣4﹣m，故当x＝0或4时，y取最大值，即G（m）＝﹣m；当﹣4＜m＜﹣2时，如图，由图，可得此时在x＝0或4时，y取最大值，即G（m）＝﹣m；当m≥﹣2时，如图，或，由图，可得此时当x＝2时y取最大值，即G（m）＝|﹣4﹣m|，综上G（m）＝，当m＜﹣2时，G（m）＞2，当m≥﹣2时，G（m）≥2，故G（m）的最小值为2．20．已知函数f（x）＝，其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（1）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（2）若P＝（﹣∞，a），M＝[a，+∞），且f（P）∪f（M）＝R，求实数a的取值范围．解：（1）∵P＝（﹣∞，0），∴f（P）＝{y|y＝|x|，x∈（﹣∞，0）}＝（0，+∞），∵M＝[0，4]，∴f（M）＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈[0，4]}＝[﹣8，1]，∴f（P）∪f（M）＝[﹣8，+∞）；（2）∵P＝（﹣∞，a），M＝[a，+∞），∴f（x）的定义域为R，∵f（P）∪f（M）＝R，∴f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}＝{y|y＝|x|，x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈M，分别画出y＝|x|与y＝﹣x2+2x的图象，从图象，可知：0≤a≤1，可使得f（P）∪f（M）＝R，故得实数a的取值范围是[0，1]．21．已知集合A为数集，定义f A（x）＝，若A，B⊆{x|x≤8，x∈N*}，定义：d（A，B）＝|f A （1）﹣f B（1）|+|f A（2）﹣f B（2）|+……+|f A（8）﹣f B（8）|．（1）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝∅，求d（A，B），d（A，C）的值；（2）若A，B，C⊆{x|x≤8，x∈N*}．①求证：d（A，B）+d（A，C）≥d（B，C）；②求d（A，B）+d（A，C）+d（B，C）的最大值．解：（1）d（A，B）＝|f A（1）﹣f B（1）|+|f A（2）+f B（2）|+|f A（3）+f B（3）|+…+|f A（8）+f B（8）|＝|1﹣0|+|1﹣1|+|1﹣1|+|0﹣1|+|0﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|＝2，d（A，C）＝|f A（1）+f B（1）|+|f A（2）+f B（2）|+|f A（3）+f B（3）|+…+|f A（8）+f B（8）|＝|1﹣0|+|1﹣0|+|1﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|+0﹣0|＝3．（2）①由题d（A，B）＝cardA+cardB﹣card（A∩B），∴d（A，B）+d（A，C）＝cardA+cardB﹣card（A∩B）+cardA+cardC﹣card（A∩C），d（B，C）＝cardB+cardC﹣card（B∩C），欲证d（A，B）+d（A，C）≥d（B，C），即证2cardA+cardB+cardC﹣card（A∩B）﹣card（A∩C）≥cardB+cardC﹣card（B∩C），即证2cardA+card（B∩C）≥card（A∩B）+card（A∩C），∵cardA≥card（A∩B），cardA≥card（A∩C），∴得证，原不等式成立．②d（A，B）+d（A，C）+d（B，C）＝cardA+cardB﹣card（A∩B）+cardA+cardC﹣card （A∩C）+cardB+cardC﹣card（B∩C）＝2（cardA+cardB+cardC）﹣[card（A∩B）+card（A∩C）+card（B∩C）]≤2（cardA+cardB+cardC），当且仅当card（A∩B）＝card（A∩C）＝card（B∩C）＝0时，等号成立，∴当A∪B∪C＝{x|x≤8，x∈N*}且A∩B＝A∩C＝B∩C＝∅时，有d（A，B）+d（A，C）+d（B，C）最大值16．。

2021-2022学年北京市人大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2021-2022学年北京市人大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2021-2022学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{2，4，5}，B ＝{3，5}，则A ∪（∁U B ）＝（ ） A ．{3} B ．{2，4}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，4，5}2．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0”的否定为（ ）A ．不存在x 0∈R ，x 02+x 0+1≥0B ．∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≥0C ．∀x ∈R ，x 2+x +1＜0D ．∀x ∈R ，x 2+x +1≥04．设x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 2x 1+x 1x 2的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．1D ．﹣15．不等式2−3x x−1＞0的解集为（ ）A ．(−∞，34)B ．(−∞，23) C ．(−∞，23)∪(1，+∞) D ．(23，1)6．设函数D （x ）={1，x ∈Q 2，x ∉Q，则下列结论正确的是（ ）A ．D （x ）的值域为[0，1]B ．D （π）＞D （3.14）C ．D （x ）是偶函数 D ．D （x ）是单调函数7．在下列各组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝x ，g （x ）＝（√x ）2B ．f （x ）＝|x |，g （x ）={x ，x ≥0−x ，x ＜0C ．f （x ）＝1，g （x ）=xxD ．f （x ）＝x 2，g （x ）＝（x +1）28．“a ＞1”是“1a ＜1”成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件9．在用“二分法”求函数f （x ）零点近似值时，第一次所取的区间是[﹣3，5]，则第三次所取的区间可能是（ ） A ．[1，5] B ．[﹣2，1]C ．[1，3]D ．[2，5]10．张老师国庆期间驾驶电动车错峰出行，并记录了两次“行车数据”，如表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：kW •h /公里）剩余续航里程（单位：公里）2021年10月2日 2000 0.125 380 2021年10月3日22000.124166（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电数指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量）下面对该车在两次记录时间段内行驶1公里的耗电量估计正确的是（ ） A ．0.104 B ．0.114 C ．0.118 D ．0.124二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11．函数f （x ）=√2−x +1x+1的定义域为 ．12．满足{1}⊆A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数为 ．13．设p：x2﹣2x≤0，q：（x﹣m）（x﹣m﹣3）≤0，若p是￢q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是；若￢p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．14．已知函数f(x)={(a−3)x−1，x≤1在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为．15．已知定义在非零实数上的奇函数f（x），满足f（x）+2f（−1x）＝3x，则f（1）等于．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案'写在答题纸上的相应位置.）16．（15分）已知全集U＝R，非空集合A，B满足A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|a﹣1≤x≤3a+1}．（1）当a＝1，求∁U（A∩B）；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．17．（10分）已知函数f(x)=x2+ax，且f(1)=2．（1）判断并证明函数f（x）在其定义域上的奇偶性；（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．18．（10分）已知函数f （x ）={−x 2+tx ，x ≥0x 2−tx ，x ＜0（其中t ≥0）．（1）当t ＝2时，画出函数f （x ）的图象，并写出函数f （x ）的单调递减区间； （2）若f （x ）在区间[﹣2，4]上的最大值为h （t ），求h （t ）的表达式．一、选择题（共3小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置.19．已知实数a 、b 、c 满足b +c ＝6﹣4a +3a 2，c ﹣b ＝4﹣4a +a 2，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b20．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交圆周于D ，连接OD ．作CE ⊥OD 交OD 于E ．由CD ≥DE 可以证明的不等式为（ ）A ．√ab ≥2aba+b （a ＞0，b ＞0）B ．a+b 2≥√ab （a ＞0，b ＞0）C ．√a 2+b 22≥a+b 2（a ＞0，b ＞0）D ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0）21．已知函数f （x ）是定义在[1﹣2m ，m ]上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，m ]，当x 1≠x 2时，[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＜0，则不等式f （x ﹣1）≤f （2x ）的解集是（ ） A ．[﹣1，13]B ．[−12，13]C ．[0，13]D ．[0，12]二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 22．已知函数f （x ）=x 21+x 2，则f （1）+f （2）+…+f （2021）+f （12）+f （13）+…+f （12021）＝ ．23．函数f（x）＝ax2﹣2020x+2021（a＞0），在区间[t﹣1，t+1]（t∈R）上函数f（x）的最大值为M，最小值为N．当t取任意实数时，M﹣N的最小值为2，则a＝．24．若不等式x2﹣2mx+3m﹣6＞0对一切m∈[﹣2，1]恒成立，则实数x的取值范围是．三、解答题（本小题14分．解答应写出文字说明过方或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）25．（23分）已知集合A＝{1，2，3，…，2n}（n∈N*）．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P．（Ⅰ）当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x＞9}和C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由．（Ⅱ）若n＝1000时．①若集合S具有性质P，那么集合T＝{2001﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．2021-2022学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{2，4，5}，B ＝{3，5}，则A ∪（∁U B ）＝（ ） A ．{3}B ．{2，4}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，4，5}解：∵全集U ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{3，5}， ∴∁U B ＝{1，2，4}， ∵A ＝{2，4，5}，∴A ∪（∁U B ）＝{1，2，4，5}， 故选：D ．2．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A 选项，函数定义域为M ，但值域不是N ； B 选项，函数定义域不是M ，值域为N ；D 选项，集合M 中存在x 与集合N 中的两个y 对应，不构成映射关系，故也不构成函数关系． 故选：C ．3．命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0”的否定为（ ）A ．不存在x 0∈R ，x 02+x 0+1≥0B ．∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≥0C ．∀x ∈R ，x 2+x +1＜0D ．∀x ∈R ，x 2+x +1≥0解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题p ：∃x 0∈R ，使x 02+x 0+1＜0的否定是：∀x ∈R ，x 2+x +1≥0． 故选：D ．4．设x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 2x 1+x 1x 2的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．1D ．﹣1∴x 2x 1+x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2x 1⋅x 2=9+6−3=−5，故选：B ． 5．不等式2−3x x−1＞0的解集为（ ）A ．(−∞，34)B ．(−∞，23) C ．(−∞，23)∪(1，+∞) D ．(23，1)解：不等式2−3x x−1＞0的解集就是（x ﹣1）（3x ﹣2）＜0，解得23＜x ＜1． 故选：D ． 6．设函数D （x ）={1，x ∈Q 2，x ∉Q，则下列结论正确的是（ ）A ．D （x ）的值域为[0，1]B ．D （π）＞D （3.14）C ．D （x ）是偶函数D ．D （x ）是单调函数解：值域为{1，2}，故A 错误； D （π）＝2＞D （3.14）＝1，故B 正确；显然当x ∉Q 时，x 可以取无理数、虚数，不满足偶函数的定义域中的数须为实数的条件，故C 错误； D （0）＝D （1）＝1，故不满足是单调函数，故D 错误． 故选：B ．7．在下列各组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝x ，g （x ）＝（√x ）2 B ．f （x ）＝|x |，g （x ）={x ，x ≥0−x ，x ＜0C ．f （x ）＝1，g （x ）=xxD ．f （x ）＝x 2，g （x ）＝（x +1）2解：选项A ：f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为[0，+∞），故A 不正确， 选项B ：f （x ）、g （x ）的定义域都为R ，f （x ）＝g （x ）＝|x |，故B 正确， 选项C ：f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为{x |x ≠0}，故C 不正确， 选项D ：f （x ），g （x ）的定义域都为R ，但它们的对应法则不一样，故D 不正确． 故选：B ．8．“a ＞1”是“1a＜1”成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件解：∵1a ＜1等价于a ＞1或a ＜0若“a ＞1“成立，推出”a ＞1或a ＜0”反之，当“a ＞1或a ＜0”成立，不能推出“a ＞1” 故“a ＞1”是“1a ＜1”成立的充分不必要条件故选：B ．9．在用“二分法”求函数f （x ）零点近似值时，第一次所取的区间是[﹣3，5]，则第三次所取的区间可能是（ ） A ．[1，5]B ．[﹣2，1]C ．[1，3]D ．[2，5]解：∵第一次所取的区间是[﹣3，5]， ∴第二次所取的区间可能为[﹣3，1]，[1，5]；第三次所取的区间可能为[﹣3，﹣1]，[﹣1，1]，[1，3]，[3，5]， 故选：C ．10．张老师国庆期间驾驶电动车错峰出行，并记录了两次“行车数据”，如表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：kW •h /公里）剩余续航里程（单位：公里）2021年10月2日 2000 0.125 380 2021年10月3日22000.124166（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电数指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量）下面对该车在两次记录时间段内行驶1公里的耗电量估计正确的是（ ） A ．0.104B ．0.114C ．0.118D ．0.124解：由题意可得，累计200公里内的平均耗电量为2200×0.124−2000×0.125200=0.114，故对该车在两次记录时间段内行驶1公里的耗电量为0.114． 故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11．函数f （x ）=√2−x +1x+1的定义域为 {x |x ≤2且x ≠﹣1} ． 解：要使f （x ）有意义，则{2−x ≥0x +1≠0，∴x ≤2且x ≠﹣1，∴f （x ）的定义域为{x |x ≤2且x ≠﹣1}． 故答案为：{x |x ≤2且x ≠﹣1}．12．满足{1}⊆A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数为 4 ． 解：∵集合A 满足{1}⊆A ⊆{1，2，3}， ∴A ＝{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}． 因此满足条件的集合A 的个数是4． 故答案为4．13．设p ：x 2﹣2x ≤0，q ：（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣3）≤0，若p 是￢q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 （﹣∞，﹣3）∪（2，+∞） ；若￢p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是 （﹣∞，﹣3）∪（2，+∞） ．解：由x 2﹣2x ≤0，解得0≤x ≤2，即p ：0≤x ≤2，由（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣3）≤0，得m ≤x ≤m +3，即q ：m ≤x ≤m +3，∴￢q ：x ＜m 或x ＞m +3， 若p 是￢q 的充分不必要条件，则m ＞2或m +3＜0，即m ＞2或m ＜﹣3． ￢p ：x ＞2或x ＜0，若￢p 是q 的必要不充分条件， 则m ＞2或m +3＜0， 即m ＞2或m ＜﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．14．已知函数f(x)={(a −3)x −1，x ≤1在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为 （3，5] ．解：∵函数f(x)={(a −3)x −1，x ≤1={(a −3)x −1，x ≤11−a 2x+a+a ，x ＞1，在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴{a −3＞01−a 2＜0a −4≤1，求得3＜a ≤5， 故答案为：（3，5]．15．已知定义在非零实数上的奇函数f（x），满足f（x）+2f（−1x）＝3x，则f（1）等于﹣3．解：定义在非零实数上的奇函数f（x），满足f（x）+2f（−1x）＝3x，可得f（1）+2f（﹣1）＝3，即为f（1）﹣2f（1）＝﹣f（1）＝3，解得f（1）＝﹣3．故答案为：﹣3．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案'写在答题纸上的相应位置.）16．（15分）已知全集U＝R，非空集合A，B满足A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|a﹣1≤x≤3a+1}．（1）当a＝1，求∁U（A∩B）；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1时，B＝{x|a﹣1≤x≤3a+1}＝{x|0≤x≤4}，∵A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|0≤x≤3}，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜0或x＞3}．（2）∵A∩B＝B，∴B⊆A，∵B≠∅，则{a−1≤3a+1a−1≥−13a+1≤3，∴0≤a≤23，∴实数a的取值范围为[0，23 ]．17．（10分）已知函数f(x)=x2+ax，且f(1)=2．（1）判断并证明函数f（x）在其定义域上的奇偶性；（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．解：（1）∵函数f(x)=x2+ax，且f(1)=2．∴a+1＝2，∴a＝1，∴f(x)=x2+1x=x+1x，∴f（x）的定义域{x|x≠0}关于原点对称，∴f(−x)=−x−1x=−f(x)，∴f（x）是定义域上的奇函数．（2）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1−x 2+(1x 1−1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1)x 1⋅x 2， ∵x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0， 又x 1，x 2∈（1，+∞）， ∴x 1•x 2＞1⇒x 1•x 2﹣1＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，∴函数f （x ）在（1，+∞）上是增函数．18．（10分）已知函数f （x ）={−x 2+tx ，x ≥0x 2−tx ，x ＜0（其中t ≥0）．（1）当t ＝2时，画出函数f （x ）的图象，并写出函数f （x ）的单调递减区间； （2）若f （x ）在区间[﹣2，4]上的最大值为h （t ），求h （t ）的表达式． 解：（1）当t ＝2时，f （x ）={−x 2+2x ，x ≥0x 2−2x ，x ＜0，作出f （x ）的图象，如图，由图象可得f （x ）的单调递减区间为：（﹣∞，0），（1，+∞）； （2）先考虑t ＞0的情况，当t2≥4，即t ≥8时，f （x ）在[﹣2，0]上单调递减，在（0，4]上单调递增，所以h （t ）＝max {f （﹣2），f （4）}＝max {4+2t ，﹣16+4t }={4+2t ，8≤t ≤10−16+4t ，t ＞10，当t2＜4，即0＜t ＜8时，f （x ）在[﹣2，0]上单调递减，在（0，t2]上单调递增，在（t2，4]上单调递减，所以h （t ）＝max {f （﹣2），f （t2）}＝max {4+2t ，t 24}＝4+2t ，再考虑t ＝0时，f （x ）={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0， 此时f （x ）在R 上为单调减函数，所以当x ∈[﹣2，4]时，f （x ）的最大值为f （﹣2）＝4， 满足h （t ）＝4+2t ，综上所述，h （t ）的表达式为：h （t ）={4+2t ，0≤t ≤10−16+4t ，t ＞10．一、选择题（共3小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置.19．已知实数a 、b 、c 满足b +c ＝6﹣4a +3a 2，c ﹣b ＝4﹣4a +a 2，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解：由c ﹣b ＝4﹣4a +a 2＝（2﹣a ）2≥0，∴c ≥b ． 再由b +c ＝6﹣4a +3a 2① c ﹣b ＝4﹣4a +a 2②①﹣②得：2b ＝2+2a 2，即b ＝1+a 2．∵1+a 2−a =(a −12)2+34＞0，∴b ＝1+a 2＞a ． ∴c ≥b ＞a ． 故选：A ．20．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交圆周于D ，连接OD ．作CE ⊥OD 交OD 于E ．由CD ≥DE 可以证明的不等式为（ ）A ．√ab ≥2aba+b （a ＞0，b ＞0） B ．a+b 2≥√ab （a ＞0，b ＞0）C ．√a 2+b 22≥a+b2（a ＞0，b ＞0）D ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0）解：由射影定理可知CD 2＝DE •OD ，即DE =DC 2OD =ab a+b 2=2aba+b ，由DC ≥DE 得√ab ≥2aba+b ， 故选：A ．21．已知函数f （x ）是定义在[1﹣2m ，m ]上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，m ]，当x 1≠x 2时，[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＜0，则不等式f （x ﹣1）≤f （2x ）的解集是（ ） A ．[﹣1，13]B ．[−12，13]C ．[0，13]D ．[0，12]解：根据题意，f （x ）为定义在[1﹣2m ，m ]上的偶函数，则（1﹣2m ）+m ＝0，解可得m ＝1，即函数的定义域为[﹣1，1]；又由f （x ）满足∀x 1，x 2∈[0，m ]，当x 1≠x 2时，[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＜0， 则f （x ）在[0，1]上为减函数，则f （x ﹣1）≤f （2x ）⇒f （|x ﹣1|）≤f （|2x |）⇒{−1≤x −1≤1−1≤2x ≤1|x −1|≥|2x|，解可得：0≤x ≤13； 故选：C ．二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）22．已知函数f （x ）=x 21+x 2，则f （1）+f （2）+…+f （2021）+f （12）+f （13）+…+f （12021）＝ 40432．解：根据题意，函数f （x ）=x 21+x 2，则f （1x）=1x 21+1x 2=11+x 2， 则f （x ）+f （1x）=x 21+x 2+11+x 2=1， f （1）=12，f （1）+f （2）+…+f （2021）+f （12）+f （13）+…+f （12021）＝f （1）+[f （2）+f （12）]+[f （3）+f （13）]+……+[f （2021）+f （12021）]=12+2021=40432； 故答案为：40432．23．函数f （x ）＝ax 2﹣2020x +2021（a ＞0），在区间[t ﹣1，t +1]（t ∈R ）上函数f （x ）的最大值为M ，最小值为N ．当t 取任意实数时，M ﹣N 的最小值为2，则a ＝ 2 ． 解：由题知二次函数f （x ）＝ax 2﹣2020x +2021（a ＞0）的对称轴为x =1010a， 要使M ﹣N 最小，t ﹣1与t +1必关于对称轴对称， 所以t =1010a，①． ∵最大值M 在端点处取到，最小值N 在对称轴处取到， ∴f （t +1）﹣f （t ）＝2，得a （t +1）2﹣2020（t +1）+2021﹣at 2+2020t ﹣2021＝2at +a ﹣2020＝2，②．联立①②得2×1010+a﹣2020＝2∴a＝2故答案为：2．24．若不等式x2﹣2mx+3m﹣6＞0对一切m∈[﹣2，1]恒成立，则实数x的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（3，+∞）．解：x2﹣2mx+3m﹣6＞0⇔（3﹣2x）m+x2﹣6＞0，令g（m）＝（3﹣2x）m+x2﹣6，由题意可得{g(−2)＞0g(1)＞0，即{x2+4x−12＞0x2−2x−3＞0，解得x＞3或x＜﹣6，即实数x的取值范围为（﹣∞，﹣6）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣6）∪（3，+∞）．三、解答题（本小题14分．解答应写出文字说明过方或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）25．（23分）已知集合A＝{1，2，3，…，2n}（n∈N*）．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P．（Ⅰ）当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x＞9}和C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由．（Ⅱ）若n＝1000时．①若集合S具有性质P，那么集合T＝{2001﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．解：（Ⅰ）当n＝10时，集合A＝{1，2，3，…，19，20}，B＝{x∈A|x＞9}＝{10，11，12，…，19，20}不具有性质P．（1分）因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1＝10与b2＝10+m，使得|b1﹣b2|＝m成立．（2分）集合C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}具有性质P．因为可取m＝1＜10，对于该集合中任意一对元素c1＝3k1﹣1，c2＝3k2﹣1，k1，k2∈N*都有|c1﹣c2|＝3|k1﹣k2|≠1．（Ⅱ）当n＝1000时，则A＝{1，2，3，…，1999，2000}①若集合S具有性质P，那么集合T＝{2001﹣x|x∈S}一定具有性质P．首先因为T＝{2001﹣x|x∈S}，任取t＝2001﹣x0∈T，其中x0∈S，因为S⊆A，所以x0∈{1，2，3，…，2000}，从而1≤2001﹣x0≤2000，即t∈A，所以T⊆A．由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m．对于上述正整数m，从集合T＝{2001﹣x|x∈S}中任取一对元素t1＝2001﹣x1，t2＝2001﹣x2，其中x1，x2∈S，则有|t1﹣t2|＝|x1﹣x2|≠m，所以集合T＝{2001﹣x|x∈S}具有性质P．（8分）②设集合S有k个元素．由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T＝{2001﹣x|x∈S}一定具有性质P．任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001﹣x中必有一个不超过1000，所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S中有t(t≥k2)个元素b1，b2，…，b t不超过1000．由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，使得对S中任意两个元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，所以一定有b1+m，b2+m，…，b t+m∉S．又b i+m≤1000+1000＝2000，故b1+m，b2+m，…，b t+m∈A，即集合A中至少有t个元素不在子集S中，因此k+k2≤k+t≤2000，所以k+k2≤2000，得k≤1333，当S＝{1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}时，取m＝667，则易知对集合S中任意两个元素y1，y2，都有|y1﹣y2|≠667，即集合S具有性质P，而此时集合S中有1333个元素．因此集合S元素个数的最大值是1333．（14分）。

2020-2021学年重庆一中九年级(上)开学数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年重庆一中九年级(上)开学数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年重庆一中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.函数y=x中自变量x的取值范围是()x−2A. x≠2B. x≠0C. x≠0且x≠2D. x>22.如图所示的几何体，它的左视图是()A.B.C.D.3.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD=3：4，S△ABC=9，则△DEF的面积为()A. 12B. 16C. 21D. 494.已知C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则AC：AB=()A. (√5−1)：2B. (√5+1)：2C. (3−√5)：2D. (3+√5)：25.下列说法正确的是()A. 矩形对角线相互垂直平分B. 对角线相等的菱形是正方形C. 两邻边相等的四边形是菱形D. 对角线分别平分对角的四边形是平行四边形6.估计(√24−√12)⋅√1的运算结果在哪两个整数之间()3A. 0和1B. 1和2C. 2和3D. 3和47. 若点(−3,y 1)，(−1,y 2)，(2,y 3)在双曲线y =kx (k <0)上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 2<y 1<y 3B. y 3<y 2<y 1C. y 3<y 1<y 2D. y 1<y 2<y 38. 如图，在离某围墙AB 的6米处有一棵树CD ，在某时刻2米长的竹竿垂直地面，太阳光下的影长为3米，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在墙上AE 处，墙上的影高为4米，那么这棵树高约为( )米．A. 6B. 8C. 9D. 109. 如图，在△ABC 中，BE ⊥AC 于点E ，D 、F 分别是边BC 、EC 的中点，连接AD 、DF ，若AD =BE ，∠C =55°，则∠ADB =( )A. 80°B. 84°C. 85°D. 90°10. 如图，将平行四边形ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH ，点A 、B 落在点M 处，点C 、D 落在点N 处，若EH =7，EF =24.则边AD 的长为( )A. 20B. 22C. 24D. 2511. 若关于x 的一元一次不等式组{5x+32≥2x +1x ≤a有解且最多有7个整数解；且关于y的分式方程2y+3y−1+a+11−y =a 有非负数解，则所有满足条件的整数a 有( )个．A. 1B. 2C. 3D. 412.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB的中点与坐标原点重合，点D是x轴上一点，连接CD、AD.若CB平分∠OCD，反比例函数y=kx(k<0,x<0)的图象经过CD上的两点C、E，且CE=DE，△ACD的面积为12，则k的值为()A. −4B. −8C. −12D. −16二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）13.已知ab =37，则b+ab−a=______．14.√2cos45°−2sin60°=______．15.一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是______边形．16.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连结DE交对角线AC于点F.若AB=8，AD=6，则CF的长为______．17.若关于x的方程(k−2)x2−4x+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在AC边上且2∠CBE=∠ABE，过点A作AD//BC，AD与BE的延长线交于点D，DE=√13，则AB=______．19.现有5张正面分别标有数字−3，−1，1，2，4的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n.则一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限的概率是______．20.如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上一点，且AE=ED，连接BE交对角线AC于点F，点G是对角线AC上一点且2CG=AG，过点G作GH⊥BE于点H，连接DG，将△DGC沿CD翻折，得到△DG′C，连接HG′交CD于点M，若FH=√10，则CM的长度为______．三、解答题（本大题共9小题，共78.0分）21.计算：(1)1x−2=x−1x−2−3；(2)(x−3)2+4x(x−3)=0．22.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=14，AD=12，sinB=45．(1)求线段CD的长度；(2)求cos∠C的值．23. 化简求值：(a +1−3a−1)⋅2a−2a+2，其中a 是方程x 2−3x +2=0的一个解．24. 重庆一中非常重视学生的体质健康，现随机抽取部分初中学生进行体育考核，综合评定成绩为x 分，满分为100分，规定：85≤x ≤100为A 级；75≤x <85为B 级；60≤x <75为C 级；x <60为D 级．并将成绩整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：(1)补全条形统计图：A 级人数占本次抽取人数的百分比为______%.(2)D 级的四名同学有两人来自同一班级，现准备从D 级的四名同学中任选两人了解体育锻炼的情况，请通过列表或画树状图求所选的两人中来自同一班级的概率．25.如图，一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A、B，点A在第一象限，过点A作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，点B的纵坐标为−2，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点E、F，连接DB、DE，已知S△ADF=4，AC=3OF．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求△DBE的面积；(3)直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．26.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点．连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是我们研究函数y=1√x+4−1性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各题．(1)请把表格补充完整(因变量的值保留1位小数)，并在图中补全该函数图象．x−4−154−72−134−2−1015…y______ ______ −3.4−7.5 2.4 1.4 1.00.8______ …(2)函数y=1√x+4−1自变量的取值范围______．(3)结合图象，直接写出不等式1√x+4−1≥12x+1的解集为______．27.又到了西瓜成熟的季节，重庆某水果超市7月初购进黑美人西瓜和无籽西瓜共3000千克，其中黑美人西瓜进价为每千克3元，以每千克8元的价格出售；无籽西瓜进价为每千克3元，以每千克5元的价格出售．(1)若该超市7月底售完全部的两种西瓜，总利润不低于9600元，则黑美人西瓜至少购进多少千克？(2)8月初，由于受到其他水果的冲击，该水果超市决定结合实际情况调整进货计划和销售方案．在进价均不发生变化的情况下，黑美人西瓜售价每千克降低110a元(售价不低于进价)，无籽西瓜售价保持不变；同时，黑美人西瓜以(1)中利润最低时销售量的基础上减少a%购进；无籽西瓜以(1)中利润最低时销售量的基础上增加2a%购进，但无籽西瓜在运输、卸货等过程中损坏购进量的5%.超市决定将损坏的无籽西瓜不出售．如果该月两种西瓜全部出售完毕，所获总利润比7月底的最低总利润少1500元，求a的值．28.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC交BC于点E.过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G．(1)如图1，若BC=5，OE=3，求平行四边形ABCD的面积；(2)如图2，若∠ACB=45°，求证：AF+FO=√2EG．29.如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，点G是BC中点，直线AG交BD于F．(1)点F的坐标为______；DH的最小值及相应的点(2)如图1，在x轴上有一动点H，连接FH，请求出FH+12H的坐标；(3)如图2，若点N是直线AC上的一点，那么在直线AG上是否存在一点M，使得以B、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由题意得x−2≠0，解得x≠2．故选：A．让分母不为0列式求值即可．考查函数自变量的取值；用到的知识点为：函数为分式，分式的分母不为0．2.【答案】C【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：C．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3.【答案】D【解析】【试题解析】【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出三角形面积比是解题关键．直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出面积比，即可得出答案．【解答】解：∵ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD=3：4，∴OA：OD=3：7，∴S△ABC：S△DEF=9：49，∵S△ABC=9，∴△DEF的面积为：49．故选D．4.【答案】A【解析】解：根据黄金分割的定义，知AC：AB=(√5−1)：2．故选A．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线)叫做黄金比．段分割叫做黄金分割，他们的比值(√5−12此题主要考查了黄金分割比的概念．5.【答案】B【解析】解：A.矩形的对角线相等，故A说法错误；B.对角线相等的菱形是正方形，正确；C.两组邻边分别相等的四边形是菱形，故C说法错误；D.每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形，也是平行四边形，故D说法错误；故选：B．根据矩形的性质可得A错误；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形可得B 正确；此题主要考查了平行四边形，以及特殊的平行四边形的判定，关键是熟练掌握各种四边形的判定方法．6.【答案】A=√8−2，【解析】解：∵(√24−√12)⋅√13又∵2<√8<3，∴0<√8−2<1，∴(√24−√12)⋅√1的运算结果在0和1之间；3故选：A．先利用夹逼法求得√8的范围，然后可求得√8−2的大致范围．本题主要考查的是估算无理数的大小，利用夹逼法求得√8的范围是解题的关键．7.【答案】C(k<0)上，【解析】解：∵点(−3,y1)，(−1,y2)，(2,y3)在双曲线y=kx∴(−3,y1)，(−1,y2)分布在第二象限，(2,y3)在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，∴y3<y1<y2．故选：C．利用反比例函数的增减性解决问题．此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．8.【答案】B【解析】解：过点A作AF//DE交CD于点F，则DF=AE=4m，△CAF∽△C′CD′．∴D′C′：C′C=CF：CA，即2：3=CF：6．∴CF=4．∴DC=4+4=8(m)．即：这棵树高8m．故选：B．因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的CF.CA是CF的影子，然后加上AE加上树高即可．此题主要是要知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论，然后根据题目条件就可以求出树高．9.【答案】C【解析】解：∵D、F分别是边BC、EC的中点，∴DF是△CBE是中位线，∴DF=1BE，DF//BE，2∵AD=BE，BE⊥AC，∴DF=1AD，DF⊥AC，2∴∠DAC=30°，∵∠C=55°，∴∠ADB=∠DAC+∠C=85°，故选：C．根据三角形中位线定理得到DF=12BE，DF//BE，根据直角三角形的性质得到∠DAC= 30°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．本题考查的是三角形中位线的定理、直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：由折叠的性质可得：∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，∠DHG=∠GHN，∠BFE=∠EFM，DH=HN，BF=FM，∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=12×180°=90°，同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴四边形EFGH为矩形，∴GH//EF，GH=EF，∴∠GHN=∠EFM=∠BFE=∠DHG，在△DHG和△BFE中，{∠B=∠D∠BFE=∠DHG EF=HG，∴△DHG≌△BFE(AAS)，∴BF=HD，∴HD=MF，∴AD=AH+HD=HM+MF=HF，∵HF=√EH2+EF2=√49+576=25，∴AD=25，故选：D．利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边AD的长．本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形EFGH为矩形是解题关键．11.【答案】B【解析】解：解不等式组{5x+32≥2x +1x ≤a，得{x ≥−1x ≤a ， ∵不等式组有且最多有7个整数解，∴−1≤a <6，解分式方程2y+3y−1+a+11−y =a ，可得y =2a−2，又∵分式方程有非负数解，∴y ≥0，且y ≠1，即2a−2≥0，2a−2≠1，解得a >2且a ≠4，∴满足条件的整数a 的值为3，5，故选：B ．先解不等式组，根据不等式组有且最多有7个整数解；，得出−1≤a <6，再解分式方程2y+3y−1+a+11−y =a ，根据分式方程有非负数解，得到a >2且a ≠4，进而得到满足条件的整数a 的值．此题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，解题的关键是根据不等式组以及分式方程求出a 的范围．12.【答案】B【解析】连接OE，过点E作EF⊥OD于点F，过点C作CG⊥OD于点G，证明CD//AB，推出S△ACD= S△OCD=12，求得△ODE的面积，再证明DF=FG=OG，得S△OEF=23S△ODE．本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD//AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．【解答】解：连接OE，过点E作EF⊥OD于点F，过点C作CG⊥OD于点G，则EF//CG，∵CE=DE，∴DF=FG，EF=12CG，∵反比例函数y=kx(k<0,x<0)的图象经过CD上的两点C、E，∴S△OCG=S△OEF=12|k|，∴12OG⋅CG=12OF⋅EF，∴OF=2OG，∴DF=FG=OG，∴S△OEF=23S△ODE，∵Rt△ABC的斜边AB的中点与坐标原点重合，∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵CB平分∠OCD，∴∠OCB=∠DCB，∴∠OBC=∠DCB，∴CD//OB，∴S△OCD=S△ACD=12，∵CE=DE，∴S△ODE=12S△OCD=6，∴S△OEF=23S△ODE=23×6=4，∴12|k|=4，∵k<0，故选：B．13.【答案】52【解析】解：∵ab =37，∴a=37b，∴b+ab−a =b+37bb−37b=52；故答案为：52．根据比例的性质得出a=37b，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．14.【答案】1−√3【解析】解：原式=√2×√22−2×√32=1−√3．故答案为：1−√3．直接利用特殊角的三角函数值化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．15.【答案】十【解析】解：设这个多边形有n条边．由题意得：(n−2)×180°=360°×4，解得n=10．则这个多边形是十边形．故答案为：十．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是4×360°.n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．本题考查了多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．16.【答案】203 【解析】解：在Rt △ABC 中，AB =8，BC =AD =6，∠B =90°，∴AC =√AB 2+BC 2=10．∵AB//CD ，∴∠DCF =∠EAF ，∠CDF =∠AEF ，∴△AEF∽△CDF ，∴CFAF =CDAE ．又∵E 是边AB 的中点，∴CD =AB =2AE ，∴CFAF =2，∴CF =2AF ．∵AC =AF +CD =10，∴CF =23AC =203． 故答案为：203．在Rt △ABC 中，利用勾股定理可求出AC 的长，由AB//CD 可得出∠DCF =∠EAF ，∠CDF =∠AEF ，进而可得出△AEF∽△CDF ，利用相似三角形的性质结合CD =AB =2AE ，即可得出CF =2AF ，再结合AC =AF +CF =10，即可得出CF =23AC =203，此题得解．本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及矩形的性质，利用相似三角形的性质结合AC =AF +CF ，找出CF =23AC 是解题的关键．17.【答案】k <103且k ≠2【解析】解：∵关于x 的方程(k −2)x 2−6x +9=0有两个不相等的实数根， ∴{k −2≠0△=(−4)2−4×3(k −2)>0， 解得：k <103且k ≠2．故答案为：k<10且k≠2．3先根据关于x的方程(k−2)x2−6x+9=0有两个不相等的实数根得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac的关系是解答此题的关键．18.【答案】√132【解析】解：如图，取DE的中点F，连接AF，∵AD//BC，∠C=90°．∴∠D=∠CBE，∠EAD=90°，∵2∠CBE=∠ABE∴∠ABE=2∠D，∵F为DE的中点，∴AF=DF=EF，∴∠D=∠FAD，∵∠AFB=∠D+∠FAD，∴∠AFB=∠ABF，DE，∴AB=AF=12∵DE=√13，∴AB=√13．2故答案为：√13．2取DE的中点F，连接AF，由平行线的性质及直角三角形的性质得出∠AFB=∠ABF，可得AB=AF，则可得出答案．本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．19.【答案】625【解析】解：根据题意画图如下：共有25种等可能的情况数，其中一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限的有6种，；则一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限的概率是625故答案为：6．25画树状图展示所有25种等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20.【答案】95√216【解析】解：连接G′G，与CM交于点N，延长G′G与BE交于点K，过点H作HL⊥G′K于点L，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD=CD，AD//BC，∵AE=DE，AD，∴AE=12BC，∴AE=12∵AD//BC，∴△AEF∽△CBF，∴AFCF =EFBF=AECB=12，∴AF=13AC，∵2CG=AG，∴AG=13AC，∴AF=CG=13AC，∴AF=FG=CG=13AC，∵将△DGC沿CD翻折，得到△DG′C，∴GG′⊥CD，∵∠BCD=90°，∴GG′//BC，即KG//BC，∴KGBC =FKFB=FGFC=12，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=a，∴AC=√2AB=2√2a，BE=√AB2+AE2=√5a，∵EFBF =12，∴BF=23BE=2√53a，∴BK=FK=12BF=√53a，∵HF=√10，∴HK=√53a−√10，∵KG//BC//AD，∴∠GKH=∠BEA，∵GH⊥BE，∴∠GHK=∠BAE=90°，∴△GHK∽△BAE，∴HKAE =GKEB，即√53a−√10a=√5a，∴a=15√22，∴HK=√53a−√10=3√102，KG=a=15√22，CD=2a=15√2，∵GN//AD，∴GNAD =CNCD=CGCA=13，∴GN=13AD=5√2，CN=13CD=5√2，∴G′N=GN=5√2，∴G′K=KG+2GN=35√22，∵∠HKL=∠AEB，∠KLH=∠EAB=90°，∴△KHL∽△EBA∴KHEB =HLBA=KLEA，∵BE=√5a=15√102，KH=KF−HF=13BE−√10=32√10，AB=2a=15√2，AE=a=15√22，∴HL=3√2，KL=32√2，∴G′L=G′K−KL=16√2，∵MN//HL，∴MNHL =G′NG′L，即3√2=√216√2，∴MN=15√216，∴CM=CN+MN=5√2+15√216=95√216．连接G′G，与CM交于点N，延长G′G与BE交于点K，过点H作HL⊥G′K于点L，设正方形的边长为2a，得AE=a，再证明△AEF∽△CBF，用a表示KG，HK，再证明△GHK∽△BAE，求得a的值，再由△KHL∽△EBA求得HL，KL，由平行线分线段成比例的推论求得MN，便可求得CM．本题主要考查了正方形的性质，平行线分线段成比例的推论，相似三角形的性质与判定，折叠性质，关键是构造相似三角形，运用相似三角形解决问题．21.【答案】解：(1)方程两边乘(x−2)，得1=x−1−3x+6解得x=2，检验：当x=2时，x−2=0，所以原分式方程无解；(2)(x−3)2+4x(x−3)=0，(x−3)(x−3+4x)=0，∴x−3=0或5x−3=0，∴x1=3，x2=35．【解析】(1)找出各分母的最简公分母，去分母后，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出x的值，将x的值代入最简公分母中检验，即可得到原分式方程的解；(2)利用因式分解法求解即可．本题考查了解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．22.【答案】解：(1)∵AD是BC上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵sinB=45，AD=12，∴AB=15，∴BD=√AB2−AD2=√152−122=9，∵BC=14，∴DC=BC−BD=14−9=5；(2)由(1)知，CD=5，AD=12，∴AC=√AD2+CD2=√122+52=13，cosC=CDAC =513．【解析】根据sinB=45，求得AB=15，由勾股定理得BD=9，从而计算出CD，再利用三角函数，求出cos∠C的值即可．本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握好三角形边角之间的关系是解题的关键．23.【答案】解：原式=(a+1)(a−1)−3a−1⋅2(a−1)a+2=(a+2)(a−2)a−1⋅2(a−1)a+2=2(a−2)=2a−4，把x=a代入方程得：a2−3a+2=0，即a=1或a=2，当a=1时，原式没有意义；当a=2时，原式=0．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，求出方程的解得到a的值，代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24.【答案】(1)24(2)将同一班级的记为A、B，另外两学生记为C、D，列树形图得：∵共有12种等可能的情况，所选的两人中来自同一班级的情况有2种，∴所选的两人中来自同一班级的概率为212=16．【解析】解：(1)在这次调查中，一共抽取的学生数是：24÷48%=50(人)，等级为C的人数是：50−12−24−4=10(人)，补图如下：A级人数占本次抽取人数的百分比为1250×100%=24%；故答案为：24；(2)见答案【分析】(1)根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，从而补全统计图，用A级的人数除以总数即可求出其百分比；(2)画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中这两人的概率．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25.【答案】解：(1)对于y=kx+1，令x=0，则y=1，故点F(0,1)，则OF=1，而AC=3OF=3，故点D(0,3)，∵A的纵坐标为3，点A在反比例函数上，故点A(m3,3)，S△ADF=12×AD×DF=12×m3×(3−1)=4，解得m=12，故点A(4,3)，反比例函数表达式为y=12x，将点B的纵坐标代入上式得，−2=12x，解得x=−6，故B(−6,−2)，将点B的坐标代入y=kx+1得，−2=−6k+1，解得k=12，故一次函数表达式为y=12x+1；(2)对于y=12x+1，令y=0，则12x+1=0，解得x=−2，故点E(−2,0)，△DBE的面积=S△DFB−S△DFE=12×DF×(x E−x B)=12×2×(−2+6)=4；(3)由(1)知，点A、B的坐标分别为(4,3)、(−6,−2)，观察函数图象知，反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围为：x<−6或0< x<4．【解析】(1)利用S△ADF=4，求出点A的坐标，再用待定系数法求出两个函数表达式即可；(2)△DBE 的面积=S △DFB −S △DFE ，即可求解；(3)观察函数图象即可求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．26.【答案】−1 −2 0.5 x ≥−4且x ≠−3 x ≤−4或−3<x ≤0【解析】解：(1)当x =−4时，y =1√x+4−1=1√0−1=−1，同理可得：当x =−154时，y =−2，x =5时，y =0.5故答案为−1，−2，0.5；运用描点法画图象如下：(2)由题意得：{x +4≥0√x +4−1≠0，解得x ≥−4且x ≠−3， 故答案为x ≥−4且x ≠−3；(3)如图，由两函数图象可知，令√x+4−1=12x+1，得x=0或x=−4，∴不等式√x+4−1≥12x+1的解集为：x≤−4或−3<x≤0，故答案为：x≤−4或−3<x≤0．(1)分别把x值代入解析式求出相应的y的值，再用描点法画出函数的图象即可；(2)根据函数自变量求法求解即可；(3)根据函数图象求解即可．本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．27.【答案】解：(1)设购进x千克黑美人西瓜，则购进(3000−x)千克无籽西瓜，依题意，得：(8−3)x+(5−3)(3000−x)≥9600，解得：x≥1200．答：黑美人西瓜至少购进1200千克．(2)依题意，得：(8−110a−3)×1200(1−a%)+5×(3000−1200)×(1+2a%)×(1−5%)−3×(3000−1200)×(1+2a%)=9600−1500，整理，得：2a2−195a+1750=0，解得：a1=10，a2=1752．当a=10时，8−110a=7>3，符合题意；当a=1752时，8−110a=−34<3，不合题意，舍去．答：a的值为10．【解析】(1)设购进x千克黑美人西瓜，则购进(3000−x)千克无籽西瓜，根据总利润=每千克利润×销售数量结合总利润不低于9600元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；(2)根据总利润=销售总价−进货总价结合8月所获总利润比7月底的最低总利润少1500元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．28.【答案】解：(1)连接BD，∵平行四边形ABCD，∴BD过点O，∴S△OBC=12BC⋅OE=12×5×3=152∴平行四边形ABCD的面积=4S△OBC=30；(2)过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，如图2，∵OE⊥BC，∴∠OEG+∠OEC=∠GEC+∠CEH=90°，∴∠OEG=∠CEH，∵∠ACB=45°，∴∠COE=45°，∴OE=CE，∵平行四边形ABCD中，AB//CD，又FG⊥AB，∴FG⊥CD，∴∠EOG+∠ECG=360°−90°−90°=180°，∵∠ECH+∠ECG=180°，∴∠EOG=∠ECH，∴△OEG≌△CEH(ASA)，∴OG=CH，EG=EH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB//CD，∴∠OAF=∠OCG，∵∠AOF=∠COG，∴△OAF≌△OCG(ASA)，∴AF=CG，OF=OG，∵CG+CH=GH，∴AF+OF=GH，∵∠GEH=90°，EG=EH，∴GH=√2EG，∴AF+OF=√2EG．【解析】(1)连接BD，求出S△OBC，再根据平行四边形的性质得出平行四边形的面积与S△OBC的关系求得结果；(2)过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，证明△OEG≌△CEH得OG=CH，EG= EH，再证明△OAF≌△OCG，得AF=CG，OF=OG，进而根据等腰直角三角形的性质得结论．本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的面积公式，关键是证明全等三角形．29.【答案】(−1,4√33)【解析】解：(1)如图1中，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴AB =BC =CD =AD =4，∠ABC =∠ADC =60°，CA ⊥BD ，∴∠EDC =∠EDA =30°，∠CED =90°，∴EC =12CD =2，∠ECD =60°， ∵∠EOC =90°，∴∠CEO =30°， ∴OC =12EC =1，OE =√3OC =√3， ∴C(−1,0)，E(0,√3)，D(3,0)，∵AE =EC ，BE =DE ，∴A(1,2√3)，B(−3,2√3)，∴直线BC 的解析式为y =−√3x −√3，直线BD 的解析式为y =−√33x +√3， ∵AG ⊥BC ， ∴直线AG 的解析式为y =√33x +5√33， 由{y =√33x +5√33y =−√33x +√3，解得{x =−1y =4√33， ∴F(−1,4√33). 故答案为(−1,4√33).(2)如图1−1中，过点D 作射线DM ，使得∠ODM =30°，点点H 作HK ⊥OM 于K ，过点F 作FJ ⊥DM 于J ．∵D(3,0)，∠ODK =30°，F(−1,4√33)， ∴直线DM 的解析式为y =√33x −√3， ∵FJ ⊥DM ，∴直线FJ 的解析式为y =−√3x +√33， 由{y =−√3x +√33y =√33x −√3，解得{x =12y =−√36， ∴J(12,−√36)， ∴FJ =(12(4√33√36)=3，在Rt △DHK 中，∵∠KDH =30°，∴KH =12DH ， ∴FH +12DH =FH +HK ≥FJ ， ∴FH +12DH ≥3，∴FH +12DH 的最小值为3，此时点H 的坐标为(13,0)．(3)如图2中，过点C 作CM//BF 交AG 于M ，连接BM ，CF ．∵△ABC 是等边三角形，AG ⊥BC ，∴BG =CG ，∵∠BFG =∠CMG ，∠BGF =∠CGM ，∴△BGF≌△CGM(AAS)，∴BF =CM ，∵BF//CM ，∴四边形BFCN =M 是平行四边形，∴当点N 与C 重合时，四边形BFNM 是平行四边形，此时N(−1,0)，M(−3,2√33) 根据对称性可知，当点N 与N′关于点A 对称时，四边形BFM′N′是平行四边形，此时N′(3,4√3)，M′(5,10√33)， 如图3中，当BF 是平行四边形的对角线时，BM″//AC ，∵直线BM″的解析式为y =√3x +5√3，直线AG 的解析式为y =√33x +5√33， 由{y =√3x +5√3y =√33x +35√3，解得{x =−5y =0，∴M″(−5,0)，综上所述，满足条件的点M 的坐标为(−3,2√33)或(5,10√33)或(−5,0)． (1)想办法求出直线BD ，直线AG 的解析式，构建方程组确定交点坐标．(2)如图1−1中，过点D 作射线DM ，使得∠ODM =30°，点点H 作HK ⊥OM 于K ，过点F 作FJ ⊥DM 于J.求出FJ 即可解决问题．(3)如图2中，过点C 作CM//BF 交AG 于N ，连接BM ，CF.利用全等三角形的性质证明BF =CM ，可得点N 与C 重合时满足条件，再根据对称性可得结论．如图3中，当BF 是平行四边形的对角线时，BM″//AC ，求出直线BM″的解析式，构建方程组确定交点坐标即可．本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．。

2020-2021学年北师大版九年级上册数学期末复习试卷(有答案)

2020-2021学年北师大版九年级上册数学期末复习试卷(有答案)

2020-2021学年北师大新版九年级上册数学期末复习试卷一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．方程x2﹣6x+5＝0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1＝0较大的根为q，则p+q等于（）A．3B．2C．1D．22．如图所示几何体的左视图正确的是（）A．B．C．D．3．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数C．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃4．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2 6．若，则的值为（）A．1B．C．D．7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB ＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）A．4B．5C．6D．88．如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，下列说法：①BD ＝2GE；②AF＝2FD；③△AGE与△BDF面积相等；④△ABF与四边形DCEF面积相等，结论正确的是（）A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝ADC．a＝﹣D．OC•OD＝1610．正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，旗杆AB的高度为米．12．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O．若点A的坐标是（1，2），则点A'的坐标是．13．在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，则两次摸出的球都是红球的概率是．14．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm，则可列方程为．15．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，过点B、C分别作AB、BC的垂线相交于点D，延长AC、BD相交于点E，若tan∠BDC＝2，则DE＝．三．解答题（共3小题，满分22分）17．计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．18．如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上分别标上，1，﹣1三个数字．小明转动转盘，小亮猜结果，如果转盘停止后指针指向的结果与小亮所猜的结果相同，则小亮获胜，否则小明获胜．（1）如果小明转动转盘一次，小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是．（2）如果小明连续转动转盘两次，小亮猜两次的结果都是“正数”，请用画树状图或列表法求出小亮获胜的概率．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE ∥BD，BE与CE交于点E．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）当∠ABD＝60°，AD＝2时，求BE的长．四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）20．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）五．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价x（元）121416每周的销售量y（本）500400300（1）求y与x之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？六．解答题（共3小题，满分34分）22．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）若点P为x轴上一点，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标．23．【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．【问题情境】如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．小明在分析解题思路时想到了两种平移法：方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；【尝试应用】（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC 的值；（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF，连结DE分别交线段BC，PC于点M，N．①求∠DMC的度数；②连结AC交DE于点H，求的值．24．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．解：方程x2﹣6x+5＝0较小的根为p＝1，方程5x2﹣4x﹣1＝0较大的根为q＝1，则p+q＝2，故选：B．2．解：从几何体的左面看所得到的图形是：故选：A．3．解：A、在“石关、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”为，不符合这一结果，故此选项错误；B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是＝＝0.5，符合这一结果，故此选项正确；C、从一个装有1个红球2个黄球的袋子中任取一球，取到的是黄球的概率为：，不符合这一结果，故此选项错误；D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合这一结果，故此选项错误；故选：B．4．解：由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，故选：B．5．解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；故选：C．6．解：∵，∴＝2＝2﹣＝；故选：B．7．解：作CE⊥x轴于E，∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，∴OA＝CE＝2，∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠BEC，∴△AOB∽△BEC，∴＝，即＝，∴BE＝4，∴OE＝5，∵点D是AB的中点，∴D（，2）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，∴k＝×2＝5．故选：B．8．解：∵中线AD，BE相交于点F，∴BD＝CD，AE＝CE，BF＝2EF，AF＝2FD，②正确；∵EG∥BC，∴△BDF∽△EGF，∴＝＝2，∴BD＝2GE，①正确；∵AF＝2FD，∴△ABF的面积＝2△BDF的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，△BDF的面积＝△ABC的面积，∵EG∥BC，AE＝CE，∴△AGE∽△ADC，＝，∴＝（）2＝，∴△AGE的面积＝△ADC的面积△ABC的面积，∴△AGE与△BDF面积不相等，③不正确；∵BD＝CD，AE＝CE，∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝△ABC的面积＝△ABE的面积＝△BCE的面积，∴△ABD的面积＝△BCE的面积，∴△ABD的面积﹣△BDF的面积＝△BCE的面积﹣△BDF的面积，即△ABF与四边形DCEF面积相等，④正确；故选：D．9．解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，∴A（0，4），∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，∴B（5，4）．故A无误；如图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5，∵AB∥x轴，∴∠BAC＝∠ACO，∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，∴∠ACO＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝5，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，∴C（8，0），∵对称轴为直线x＝，∴D（﹣3，0）∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，∴AD＝5，∴AB＝AD，故B无误；设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），∴a＝﹣，故C无误；∵OC＝8，OD＝3，∴OC•OD＝24，故D错误．综上，错误的只有D．故选：D．10．解：∵BF∥AD∴△BNF∽△DNA∴，而BF＝BC＝1，AF＝，∴AN＝，又∵AE＝BF，∠EAD＝∠FBA，AD＝AB，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠AED＝∠BFA∴△AME∽△ABF∴，即：，∴AM＝，∴MN＝AN﹣AM＝．故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝1.2m，∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，∴＝，即＝，解得：AE＝3m，∴AB＝AE+BE＝3+1.2＝4.2（m）．故答案为：4.2．12．解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以﹣2，故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（﹣2，﹣4），故答案为：（﹣2，﹣4）．13．解：根据图表可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种，则两次摸出的球都是红球的概率为；故答案为：．14．解：设人行通道的宽度为xm，则两块矩形绿地可合成长为（30﹣3x）m、宽为（24﹣2x）m的大矩形，根据题意得：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．故答案为：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．15．解：∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF＝BD，∵EF＝5，∴BD＝10，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40，故答案为：40．16．解：作CF⊥BD于F，作AG⊥BC于G，如图所示：∵AB＝AC＝9，AG⊥BC，∴BG＝CG，∵BE⊥AB，CD⊥BC，∴∠ABG+∠CBD＝90°，∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠ABG＝∠BDC，∴tan∠ABG＝＝tan∠BDC＝＝2，∴AG＝2BG，BC＝2CD，设BG＝x，则AG＝2x，在Rt△ABG中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝92，解得：x＝，∴BC＝2BG＝，CD＝BC＝，∴BD＝＝＝9，∵CF⊥BD，∴△BCD的面积＝BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，∴DF＝＝＝，∵AB⊥BD，CF⊥BD，∴CF∥AB，∴△CFE∽△ABE，∴＝，即＝，解得：DE＝3；故答案为：3．三．解答题（共3小题，满分22分）17．解：原式＝2×﹣××+（）2＝﹣+＝．18．解：（1）∵每个扇形上分别标上，1，﹣1三个数字，其中是“正数”的有2个数，∴小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中两次的结果都是“正数”的有4种，∴小亮获胜的概率是．19．（1）证明：∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC是矩形；（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB，OB＝OD，OA＝OC，∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AD＝AB＝2，∴OD＝OB＝，在Rt△AOD中，AO＝＝＝3∴OC＝OA＝3，∵四边形OBEC是矩形，∴BE＝OC＝3．四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）20．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝37°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan37°＝≈0.75．∴AE＝40，∵AB＝57，∴BE＝17∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝17．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝17，∴BC＝EF＝30﹣17＝13．答：教学楼BC高约13米．五．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），，得，即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；（2）由题意可得，w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，∵a＝﹣50＜0∴w有最大值∴当x＜16时，w随x的增大而增大，∵12≤x≤15，x为整数，∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．六．解答题（共3小题，满分34分）22．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2）把A（1，2）代入反比例函数y＝，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y＝，解得，，，∴B（2，1）；（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），∵A（1，2），∴AC＝＝2，过A作AD⊥x轴于D，∴OD＝1，CD＝AD＝2，当AP＝AC时，PD＝CD＝2，∴P（﹣1，0），当AC＝CP＝2时，△ACP是等腰三角形，∴OP＝3﹣2或OP＝3+2∴P（3﹣2，0）或（3+2，0），当AP＝CP时，△ACP是等腰三角形，此时点P与D重合，∴P（1，0），综上所述，所有点P的坐标为（﹣1，0）或（3﹣2，0）或（3+2，0）或（1，0）．23．解：（1）①平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：由平移的性质得：FG∥BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，∴四边形BFGH是平行四边形，∴BH＝FG，∵FG⊥AE，∴BH⊥AE，∴∠BKE＝90°，∴∠KBE+∠BEK＝90°，∵∠BEK+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBH，在△ABE和△CBH中，，∴△ABE≌△CBH（ASA），∴AE＝BH，∴AE＝FG；②平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，∴FH＝BC，∠FHG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝90°，∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，∵FG⊥AE，∴∠HFG+∠AKF＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠HFG，在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG（ASA），∴AE＝FG；（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：∴∠AOC＝∠FDC，设正方形网格的边长为单位1，则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，根据勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，∵（）2+（2）2＝52，∴CF2+CD2＝DF2，∴∠FCD＝90°，∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，∴DC＝GB，∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°∴DC＝AD＝AP＝GB，∴AG＝BP＝BE，在△AGD和△BEG中，，∴△AGD≌△BEG（SAS），∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠EGD＝90°，∴∠GDE＝∠GED＝45°，∴∠DMC＝∠GDE＝45°；②如图3﹣2所示：∵AC为正方形ADCP的对角线，∴∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，∴AC＝AD，∵∠HCM＝∠BCA，∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，∴△ADH∽△ACB，∴＝＝＝．24．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，四边形AEBD∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．。

北京市第四中学2020-2021学年九年级(上)期中数学试卷(含解析)

北京市第四中学2020-2021学年九年级(上)期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年北京四中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°3．若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝5（x﹣2）2+1B．y＝5（x+2）2+1C．y＝5（x﹣2）2﹣1D．y＝5（x+2）2﹣14．如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（）A．4B．5C．6D．75．已知A（，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y16．如图，⊙O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．37．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…﹣40220﹣4…下列结论：①抛物线开口向下；②当﹣1＜x＜2时，y＞0；③抛物线的对称轴是直线；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2．其中所有正确的结论为（）A．①②③B．①③C．①③④D．①②③④8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以（3，0）为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，2），Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为．10．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为．11．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）上的两个点，则b＝．12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为m．13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是．14．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx＝0的根为．15．元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙A经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C 两点，点B的坐标为（2，0），点D在⊙A上，且∠ODB＝30°，求⊙A的半径．元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程．解：如图2，连接BC．∵∠BOC＝90°，∴BC是⊙A的直径（依据是）．∵∠ODB＝30°，∴∠OCB＝∠ODB＝30°（依据是）．∴．∵OB＝2，∴BC＝4．即⊙A的半径为2．16．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17题每小题10分共10分，第18、19、21、22、24题每题6分，第20、23、25、26题每题7分）17．解关于x的方程．（1）x2+3x+2＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．18．已知抛物线的顶点为（﹣2，2），且过坐标原点，求抛物线的解析式．19．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD ＝1，求⊙O半径的长．20．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，回答下列问题：（1）画出该函数图象（要求列表、2B铅笔画图）；x……y……（2）当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是．21．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．证明：（1）BD＝DC；（2）DE是⊙O切线．22．某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？23．在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数y＝x2﹣2|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是．（2）化简：当x＞0时函数y＝，当x＜0时函数y＝．（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：．（4）若直线y＝k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．（1）求抛物线的对称轴；（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．25．（1）已知等边三角形ABC，请作出△ABC的外接圆⊙O．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连结P A、PB、PC．①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；②请判断P A、PB、PC的关系，并给出证明．（2）已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连结P A、PB、PC．①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；②请判断P A、PB、PC的关系，并给出证明．26．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P （0，4），Q（a，0）．（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（，）、D（5，5）中，△POQ关于边PQ的“Math点”为．（2）如图2，，①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．2020-2021学年北京四中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值．【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．故选：D．2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】根据圆周角定理即可求出答案【解答】解：∵OB＝OC∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°故选：B．3．若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝5（x﹣2）2+1B．y＝5（x+2）2+1C．y＝5（x﹣2）2﹣1D．y＝5（x+2）2﹣1【分析】根据平移规律，可得答案．【解答】解：y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为y＝5（x﹣2）2+1，故选：A．4．如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（）A．4B．5C．6D．7【分析】已知AB和OC的长，根据垂径定理可得，AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可以求出OA．【解答】解：∵OC⊥AB于C，∴AC＝CB，∵AB＝8，∴AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，OC＝3，根据勾股定理，OA＝＝5．故选：B．5．已知A（，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1【分析】根据抛物线的对称性，增减性，即可得出y1、y2、y3的大小关系．【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象开口向下，对称轴为x＝2，∴C（4，y3）关于对称轴的对称点为（0，y3），∵﹣＜0＜1＜2，∴y1＜y3＜y2，故选：B．6．如图，⊙O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据圆周角定理对①②进行判断；根据垂径定理，由AB⊥DG得到＝，而＝，所以＝，根据圆周角定理得到∠DBE＝∠BDG，从而可对③进行判断．【解答】解：∵∠A与∠E都对，∴∠A＝∠E，所以①正确；∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，所以②正确；∵AB⊥DG，∴＝，∵点D是弧EB的中点，即＝，∴＝，∴∠DBE＝∠BDG，∴FB＝FD，所以③正确．故选：D．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…﹣40220﹣4…下列结论：①抛物线开口向下；②当﹣1＜x＜2时，y＞0；③抛物线的对称轴是直线；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2．其中所有正确的结论为（）A．①②③B．①③C．①③④D．①②③④【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝，故③正确，由抛物线的对称轴可知，当x＞时，y随x的增大而减小，当x＜时，y随x的增大而增大，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，故①正确，由表格数据可知，当﹣1＜x＜2时，y＞0，故②正确；根据表格数据可知当x＝时，y＞2，故抛物线的最大值大于2，故④错误，故选：A．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以（3，0）为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，2），Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（）A．B．C．D．【分析】连接PC．根据勾股定理求得PC2＝13，即圆的半径的平方＝13；根据三个角是直角的四边形是矩形，得矩形PEQF，则PE＝QF，根据垂径定理，得QF＝BF，则PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝y，从而判断函数的图象．【解答】解：连接PC．∵P（3，0），C（0，2），∴PC2＝13．∵AC是直径，∴∠Q＝90°．又PE⊥QA于E，PF⊥QB于F，∴四边形PEQF是矩形．∴PE＝QF．∵PF⊥QB于F，∴QF＝BF．∴PE＝BF．∴y＝PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝13．故选：A．二．填空题（共8小题）9．抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为9．【分析】利用△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△＝62﹣4m＝0，然后解关于m的一次方程即可．【解答】解：根据题意得△＝62﹣4m＝0，解得m＝9．故答案为9．10．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为110°．【分析】在优弧AB上取点D，连接AD、BD，根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠ACB的度数即可．【解答】解：如图，在优弧AB上取点D，连接AD、BD，由圆周角定理得：∠ADB＝∠AOB＝70°，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝110°，故答案为：110°．11．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）上的两个点，则b＝﹣6．【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴，根据对称轴方程即可求得b的值．【解答】解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，它们的纵坐标相等．∴抛物线对称轴是直线x＝＝3，∴﹣＝3，∴b＝﹣6，故答案为：﹣6．12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是（2，1）．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．14．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx＝0的根为0或﹣3．【分析】由图可知y＝ax2+bx可以看作是函数y＝ax2+bx+4的图象向下平移4个单位而得到，再根据函数图象与x轴的交点个数进行解答【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（1，0），∴关于x的方程ax2+bx+4＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1，对称轴是直线x＝﹣又∵将抛物线y＝ax2+bx+4的图象向下平移4个单位而得到抛物线y＝ax2+bx，∴抛物线y＝ax2+bx与x轴的交点坐标是（0，0）、（﹣3，0）．∴关于x的方程ax2+bx＝0的根为0或﹣3．故答案是：0或﹣3．15．元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙A经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C 两点，点B的坐标为（2，0），点D在⊙A上，且∠ODB＝30°，求⊙A的半径．元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程．解：如图2，连接BC．∵∠BOC＝90°，∴BC是⊙A的直径（依据是90°的圆周角所对的弦是直径）．∵∠ODB＝30°，∴∠OCB＝∠ODB＝30°（依据是同弧所对的圆周角相等）．∴．∵OB＝2，∴BC＝4．即⊙A的半径为2．【分析】先利用圆周角定理判断BC是⊙A的直径，∠OCB＝∠ODB＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出BC即可．【解答】解：如图2，连接BC，∵∠BOC＝90°，∴BC是⊙A的直径．（90°的圆周角所对的弦是直径），∵∠ODB＝30°，∴∠OCB＝∠ODB＝30°（同弧或等弧所对的圆周角相等），∴OB＝BC．∵OB＝2，∴BC＝4．即⊙A的半径为2．故答案为90°的圆周角所对的弦是直径；同弧或等弧所对的圆周角相等．16．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中正确结论的序号是③④．【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断；④根据m＞n＞0，得出m﹣1和n﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即可判断．【解答】解：①观察图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，所以①错误；②∵对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0，所以②错误；③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），∴当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，所以③正确；∵m＞n＞0，∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，故④正确；故答案为③④．三．解答题17．解关于x的方程．（1）x2+3x+2＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解可得答案；（2）利用公式法求解即可．【解答】解：（1）∵x2+3x+2＝0，∴（x+1）（x+2）＝0，则x+1＝0或x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣2；（2）∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∴△＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，则x＝＝＝，即．18．已知抛物线的顶点为（﹣2，2），且过坐标原点，求抛物线的解析式．【分析】设顶点式y＝a（x+2）2+2，然后把（0，0）代入求出a即可．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+2，把（0，0）代入得a（0+2）2+2＝0，解得a＝﹣，所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）2+2．19．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD ＝1，求⊙O半径的长．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1，∵OD⊥AB，AB＝4，∴AC＝AB＝2，在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2，∴r2＝22+（r﹣1）2，r＝，答：⊙O半径的长为．20．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，回答下列问题：（1）画出该函数图象（要求列表、2B铅笔画图）；x…﹣10123…y…03430…（2）当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是﹣12＜y≤4．【分析】（1）采用列表、描点法画出图象即可；（2）求得x＝﹣3时所对应的函数值，根据图象即可求得．【解答】（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4列表：x…﹣10123…y…03430…描点、连线作图如下：（2）把x＝﹣3代入y＝﹣x2+2x+3得y＝﹣12，由图象可知当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是﹣12＜y≤4，故答案为﹣12＜y≤4．21．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．证明：（1）BD＝DC；（2）DE是⊙O切线．【分析】（1）连接AD，由于AB是直径，那么∠ADB＝90°，而AB＝AC，根据等腰三角形三线合一定理可知BD＝CD；（2）连接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB＝90°，从而可证DE是⊙O切线．【解答】证明：如右图所示，（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD；（2）连接OD，∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODB＝∠AED＝90°，∴DE是⊙O的切线．22．某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行6场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？【分析】（1）根据参加比赛球队的数量及赛制，即可求出结论；（2）设有x支球队参加比赛，根据全校一共进行36场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）×4×3＝6（场）．故答案为：6．（2）设有x支球队参加比赛，依题意，得：x（x﹣1）＝36，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．23．在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数y＝x2﹣2|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是全体实数．（2）化简：当x＞0时函数y＝y＝x2﹣2x，当x＜0时函数y＝y＝x2+2x．（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：函数的最小值为﹣1．（4）若直线y＝k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为k＝﹣1或k＞0．【分析】（1）根据函数解析式可知自变量x的取值范围是全体实数；（2）根据绝对值的意义化简即可；（3）列表，描点即可画出函数图象；任意指出函数的一条性质即可，如函数的最小值为﹣1；x＞1时，y随x的增大而增大，答案不唯一；（4）根据图象即可求解．【解答】解：（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是全体实数，故答案为全体实数；（2）当x＞0时函数y＝x2﹣2x，当x＜0时函数y＝x2+2x，故答案为y＝x2﹣2x，y＝x2+2x；（3）列表：x…﹣3﹣2.5﹣2﹣1012 2.53…y…3 1.250﹣10﹣10 1.253…描点画出如下函数图象：由图象可知：函数的最小值为﹣1，故答案为函数的最小值为﹣1；（4）直线y＝k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为k＝﹣1或k＞0．故答案为：k＝﹣1或k＞0．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．（1）求抛物线的对称轴；（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．【分析】（1）利用对称轴方程求得即可；（2）①根据题意M、N的纵坐标相同都是2，把y＝2代入解析式，解方程即可求得；②分两种情况讨论，把临界得代入解析式求得m的值，从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1；（2）①把y＝2代入y＝mx2+2mx﹣3m+2得mx2+2mx﹣3m+2＝2，解得x＝1或﹣3，∴M（﹣3，2）；N（1，2）；②当抛物线开口向上时，如图1，抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，1），（﹣1，1），（0，1），将（﹣2，1）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝，将（﹣1，0）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝，结合图象可得＜m≤．当抛物线开口向下时，如图2，则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，3），（﹣1，3），（0，3），将（0，3）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝﹣，将（﹣1，4）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝﹣，结合图象可得﹣≤m＜﹣．综上，m的取值范围为．25．（1）已知等边三角形ABC，请作出△ABC的外接圆⊙O．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连结P A、PB、PC．①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；②请判断P A、PB、PC的关系，并给出证明．（2）已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连结P A、PB、PC．①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；②请判断P A、PB、PC的关系，并给出证明．【分析】（1）①根据题意可得点P分别在优弧和劣弧上时的图形；②在PB上截取PE＝P A，由∠APB＝∠ACB＝60°，可得等边三角形△APE，可证明△APC≌△AEB，则BE＝PC，从而得出PB＝P A+PC或AP＝BP+PC；（2）①根据题意可得点P分别在优弧和劣弧上时的图形；②在P A上截取AK＝PB，由∠APC＝∠ABC＝45°，可证明△AKC≌△BPC，则CK＝CP，可得等腰直角三角形△CPK，从而得出AP﹣BP＝PC．由图4，同理可得AP+BP ＝PC．【解答】解：（1）①如下图1、图2．②如图1，在PB上截取PE＝P A，∵∠APB＝∠ACB＝60°，∴△APE是等边三角形，∵∠BAE＝∠CAP，AB＝AC，∴△APC≌△AEB（SAS），∴BE＝PC，∴BP＝AP+PC．由图2，同理可得AP＝BP+PC．（2）①如下图3、图4；②如图3，在P A上截取AK＝PB，∵∠CAP＝∠CBP，AB＝AC，∴△CAK≌△CBP（SAS），∴CK＝CP，∵∠APC＝∠ABC＝45°，∴△CPK是等腰直角三角形，∴PK＝PC，∴PK＝AP﹣AK＝AP﹣BP＝PC．由图4，同理可得AP+BP＝PC．26．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P （0，4），Q（a，0）．（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（，）、D（5，5）中，△POQ关于边PQ的“Math点”为B，C．（2）如图2，，①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．【分析】（1）根据“Math点”的定义，结合图象判断即可．（2）①首先证明∠PQO＝30°，当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2，2），当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4，8），推出DE′＝4，观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ 的“Math点”，求出点D到直线E′K的最小值，即可解决问题．②如图3中，分别以O为圆心，2和4为半径画圆，当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求出直线MN与大圆或小圆相切时b 的值，即可判断．【解答】解：（1）根据“Math点”的定义，观察图象可知，△POQ关于边PQ的“Math 点”为B、C．故答案为：B，C．（2）如图2中，∵P（0，4），Q（4，0），∴OP＝4，OQ＝4，∴tan∠PQO＝，∴∠PQO＝30°，①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2，2），∵D（0，8），∴DE＝＝4，当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4，8），∴DE′＝4，观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，∵E′Q⊥OQ，∴∠E′QO＝90°，∴∠E′QK＝60°，∴∠E′KQ＝90°，∴∠EE′Q＝30°，∵DE′∥OQ，∴∠DE′K＝60°，∵DE′＝DK，∴△DE′K是等边三角形，∵点D到E′K的距离的最小值为4•sin60°＝6，∴．②如图3中，分别以O为圆心，2和4为半径画圆，当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，当直线MN与小圆相切时，b＝±4，当直线MN与大圆相切时，b＝±8，观察图象可知，满足条件的b的值为：或．。

2022-2023学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题05 二次函数的图像和性质(含详解)

2022-2023学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题05 二次函数的图像和性质(含详解)

2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题05 二次函数的图像和性质考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•长沙期末）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y22．（2分）（2022春•长沙期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+1，则关于该函数的下列说法正确的是（）A．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，1）B．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小C．当x取0和2时，所得到的y的值相同D．当x＝1时，y有最大值是13．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+4）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4 C．y＝（x+4）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣24．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝35．（2分）（2021秋•雨花区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．6．（2分）（2022•长沙模拟）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④7．（2分）（2021秋•长沙月考）我们定义一种新函数：形如y＝|ax²+bx+c|（a≠0，b²﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x²﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4；⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．38．（2分）（2020秋•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤39．（2分）（2016•长沙校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0 10．（2分）（2021春•天心区期中）如图，抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2019春•雨花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y＝﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是．12．（2分）（2021•岳麓区开学）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③3a+c＞0；④当x ＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）13．（2分）（2020•天心区开学）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）14．（2分）（2019秋•浏阳市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x＝﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0；⑤3a+c＞0．其中正确结论的序号是．15．（2分）（2019•雨花区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为．16．（2分）（2021春•雨花区期末）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．17．（2分）（2019秋•天心区校级月考）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝．18．（2分）（2019秋•浏阳市期中）已知抛物线y＝ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是．19．（2分）（2017秋•开福区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是．20．（2分）（2015春•长沙校级期中）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；其中正确的个数有个．评卷人得分三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．22．（8分）（2021春•天心区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）求出直线l的解析式；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．23．（8分）（2020秋•长沙月考）已知抛物线y＝（2m﹣1）x2+（m+1）x+3（m为常数）．（1）若该抛物线经过点（1，m+7），求m的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m；（3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，当﹣5≤x≤3时，点P是该部分函数图象的最低点，求m的取值范围．24．（8分）（2020•雨花区二模）已知抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，设AE＝x，BF＝y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）问的条件下，△DEF能否为等腰三角形？若能，求出DF的长；若不能，请说明理由．25．（8分）（2021秋•雨花区期末）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y轴交于点C．（1）求线段BD的长；（2）求△ABC的面积；（3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值．26．（10分）（2021•岳麓区开学）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的定顶抛物线．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的定顶抛物线，求p的值；（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（1，3）一次函数y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的定顶抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．27．（12分）（2021春•长沙期末）如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B，与y轴交于点C，若OA＝OC＝2OB＝2．（1）求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式；（2）若P为线段AC上方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值；（3）如图②过点A作AD⊥BC于点D，过D作DH⊥x轴于H，若G为直线DH上的动点，N为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点M，使得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题05 二次函数的图像和性质考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•长沙期末）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【思路引导】利用配方法将已知抛物线方程转化为顶点式，根据抛物线的对称性质和增减性比较大小．【完整解答】解：∵y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2．∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．∴当x＜1时，y随x的增大而减小，∵抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），﹣4＜﹣2＜＜1，∴y1＞y2＞y3，故选：B．2．（2分）（2022春•长沙期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+1，则关于该函数的下列说法正确的是（）A．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，1）B．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小C．当x取0和2时，所得到的y的值相同D．当x＝1时，y有最大值是1【思路引导】在y＝（x﹣1）2+1中，令x＝0得y＝2，可判定A不符合题意；由1＞0，对称轴直线x＝1可判断B不符合题意；根据当x＝0时，y＝2；当x＝2时，y＝2，可判定C符合题意；由y＝（x﹣1）2+1，根据函数性质可判定D不符合题意．【完整解答】解：令x＝0，则y＝（0﹣1）2+1＝2，∴二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象与y轴的交点坐标为（0，2），故A不符合题意；∵二次函数y＝（x﹣1）2+1的对称轴为x＝1，开口向上，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故B不符合题意；当x＝0时，y＝2，当x＝2时y＝（2﹣1）2+1＝2，故C符合题意；∵二次函数y＝（x﹣1）2+1的对称轴为x＝1，开口向上，∴当x＝1时，y有最小值，故D不符合题意．故选：C．3．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+4）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4 C．y＝（x+4）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2【思路引导】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．【完整解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线的表达式是y＝（x+4）2+1﹣3，即y＝（x+4）2﹣2．故选：C．4．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3【思路引导】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．【完整解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2﹣3，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，故选：A．5．（2分）（2021秋•雨花区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．【思路引导】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．【完整解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．故选：B．6．（2分）（2018秋•天心区校级期末）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【思路引导】当y＞0时，，所以可判断a＜0，可知﹣＝﹣+＝﹣，＝﹣×＝﹣，所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1进而得出解析式，找出符合要求的答案．【完整解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，所以可判断a＜0，可知﹣＝﹣+＝﹣，＝﹣×＝﹣所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1则函数y＝cx2﹣bx+a为函数y＝x2+x﹣6即y＝（x﹣2）（x+3）则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），故选：A．7．（2分）（2021秋•长沙月考）我们定义一种新函数：形如y＝|ax²+bx+c|（a≠0，b²﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x²﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4；⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【思路引导】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；⑥根据图形判断即可；逐个判断之后，可得出答案．【完整解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；⑥从图象上看，若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P，因此⑥也是正确的．故答案为：①②③④⑥．故选：B．8．（2分）（2020秋•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3【思路引导】根据题意，x＝﹣≤2，≥﹣3【完整解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，，解得≤m＜3，当对称轴是y轴时，m＝3，符合题意，当对称轴在y轴的左侧时，2m﹣6＞0，解得m＞3，综上所述，满足条件的m的值为m≥．故选：A．9．（2分）（2016•长沙校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0【思路引导】根据二次函数的图象求出a＜0，c＞0，根据抛物线的对称轴求出b＝﹣2a＞0，即可得出abc＜0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2﹣4ac＞0；对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数得出y＝9a+3b+c＝0；把x＝4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根据图象得出8a+c＜0．【完整解答】解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B．∵图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；D．∵当x＝3时，y＝0，∵b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，故选：D．10．（2分）（2021春•天心区期中）如图，抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【思路引导】①由非负数的性质，即可证得y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，即可得无论x取何值，y2总是负数；②由抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③由y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，可得随着x的增大，y1﹣y2的值减小；④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF＝CF＝DF＝EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形．【完整解答】解：①∵（x﹣2）2≥0，∴﹣（x﹣2）2≤0，∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，∴无论x取何值，y2总是负数；故①正确；②∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），∴当x＝1时，y＝﹣2，即﹣2＝a（1+1）2+2，解得：a＝﹣1；∴y1＝﹣（x+1）2+2，∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故②正确；③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小；故③错误；④设AC与DE交于点F，∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，解得：x＝﹣3或x＝1，∴点A（﹣3，﹣2），当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，解得：x＝3或x＝1，∴点C（3，﹣2），∴AF＝CF＝3，AC＝6，当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5，∴DE＝6，DF＝EF＝3，∴四边形AECD为平行四边形，∴AC＝DE，∴四边形AECD为矩形，∵AC⊥DE，∴四边形AECD为正方形．故④正确．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2019春•雨花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y＝﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15 ．【思路引导】根据坐标先求AB的长，所以△PAB的面积S的大小取决于P的纵坐标的大小，因此只要讨论当0≤m≤3时，P的纵坐标的最大值和最小值即可，根据顶点坐标D（1，4），由对称性可知：x＝1时，P的纵坐标最大，此时△PAB的面积S最大；当x＝3时，P的纵坐标最小，此时△PAB的面积S最小．【完整解答】解：∵点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0），∴AB＝3，y＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，∴顶点D（1，10），由图象得：当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，∴当x＝3时，即m＝3，P的纵坐标最小，y＝﹣2（3﹣1）2+10＝2，此时S△PAB＝×2AB＝×2×3＝3，当x＝1时，即m＝1，P的纵坐标最大是10，此时S△PAB＝×10AB＝×10×3＝15，∴当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15；故答案为：3≤S≤15．12．（2分）（2021•岳麓区开学）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有①③⑤．（填序号）【思路引导】由抛物线的对称轴为直线x＝2可得a与b的关系，从而判断①，由x＝﹣3时y＞0可判断②，由抛物线经过（﹣1，0）及a与b的关系可判断③，由抛物线对称轴及开口方向可判断④，由x＝2时y取最大值可判断⑤．【完整解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，①正确．由图象可得x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，②错误．∵抛物线经过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝a+4a+c＝5a+c＝0，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴3a+c＝5a+c﹣2a＞0，③正确．由图象可得x＜2时，y随x增大而增大，∴④错误．∵x＝2时，函数取最大值，∴4a+2b+c≥am2﹣bm+c，即4a+2b≥am2﹣bm，⑤正确．故答案为：①③⑤．13．（2分）（2020•天心区开学）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论为②⑤．（注：只填写正确结论的序号）【思路引导】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【完整解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；②将点（﹣，0）代入函数表达式得：a﹣2b+4c＝0，故②正确，符合题意；③函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；④由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，则c＝﹣，故2c﹣3b＝＞0，故④错误，不符合题意；⑤当x＝1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意；故答案为②⑤．14．（2分）（2019秋•浏阳市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x＝﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0；⑤3a+c＞0．其中正确结论的序号是①④⑤．【思路引导】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝﹣1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．【完整解答】解：∵图象和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，∴①正确；∵从图象可知：a＞0，c＜0，﹣＝﹣1，b＝2a＞0，∴abc＜0，∴②错误；∵b＝2a＞0∴2a+b＝4a＞0，∴③错误；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴④正确；∵x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，把b＝2a代入得：3a+c＞0，选项⑤正确；故答案为①④⑤．15．（2分）（2019•雨花区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为 2 ．【思路引导】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP 的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值．【完整解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）∵点M为线段AB的中点，∴点B坐标为（4，）设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）将点P（1，）代入得＝k∴y＝（）x将点B（4，）代入得＝（）×4解得a＝2故答案为：2．16．（2分）（2021春•雨花区期末）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．【思路引导】设P（x，x2﹣2x﹣3）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣）2+．根据二次函数的性质来求最值即可．【完整解答】解：设P（x，x2﹣2x﹣3），∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，∴四边形OAPB为矩形，∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x＝﹣2x2+6x+6＝﹣2（x2﹣3x）+6，＝﹣2+．∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为．17．（2分）（2019秋•天心区校级月考）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝．【思路引导】根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解决．【完整解答】解：，解得，或，∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），∴AB＝＝3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，即点P的坐标为（0，），将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，∴△PAB的面积是：＝，故答案为：．18．（2分）（2019秋•浏阳市期中）已知抛物线y＝ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是y2＜y3＜y1．【思路引导】把三点的坐标分别代入可求得y1、y2、y3，再比例其大小即可．【完整解答】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），∴y1＝16a﹣8a+m＝8a+m，y2＝4a﹣4a+m＝m，y3＝a+2a+m＝3a+m，∵a＞0，∴m＜3a+m＜8a+m，即y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1．19．（2分）（2017秋•开福区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是①②③⑤．【思路引导】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【完整解答】解：①由图象可知：x＝1时，y＜0，∴y＝a+b+c＜0，故①正确；②由图象可知：Δ＞0，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；③由图象可知：＜0，∴ab＞0，又∵c＝1，∴abc＞0，故③正确；④由图象可知：（0，0）关于x＝﹣1对称点为（﹣2，0）∴令x＝﹣2，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故④错误；⑤由图象可知：a＜0，c＝1，∴c﹣a＝1﹣a＞1，故⑤正确；故答案为：①②③⑤20．（2分）（2015春•长沙校级期中）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；其中正确的个数有 2 个．【思路引导】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【完整解答】解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；由图象知，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的交点坐标为（1，1）和（3，3），当x＝1时，y＝1+b+c＝1，故②错误；∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，∴3b+c+6＝0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故答案是：2．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．【思路引导】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式．【完整解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∴顶点坐标M（2，﹣1），（2）设直线CM的解析式为y＝kx+b，将C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：，∴．∴y＝﹣2x+3．22．（8分）（2021春•天心区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）求出直线l的解析式；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．【思路引导】（1）利用待定系数法即可求出直线的解析式；（2）分x在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可；（3）分a＜0、a＞0两种情况，分别求解即可．【完整解答】解：（1）把点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b中，得，解得，∴直线l的解析式为y＝x﹣；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3））①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a+1≤﹣1，∴a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即9a﹣7≥﹣3，∴a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣；抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2．23．（8分）（2020秋•长沙月考）已知抛物线y＝（2m﹣1）x2+（m+1）x+3（m为常数）．（1）若该抛物线经过点（1，m+7），求m的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m；（3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，当﹣5≤x≤3时，点P是该部分函数图象的最低点，求m的取值范围．【思路引导】（1）将点（1，m+7）代入函数解析式即可；（2）设符合题意的两点分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式，两式相加即可得到2（2m﹣1）x02+6＝0，根据二次函数的性质即可求得；（3）当﹣5≤x≤3时，点P是该图象的最低点，①当2m﹣1＞0时，﹣≤﹣5②当2m﹣1＜0时，﹣＞1．【完整解答】解：（1）抛物线经过点（1，m+7），∴m+7＝2m﹣1+m+1+3，∴m＝2；（2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式可得：，∴两式相加可得：2（2m﹣1）x02+6＝0，化简得：x02＝﹣，又∵x0≠0，∴﹣＞0，∴2m﹣1＜0，∴m＜，故满足条件的最大整数m＝0；（3）∵新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，∵当﹣5≤x≤3时，点P是该图象的最低点，①当2m﹣1＞0时，﹣≤﹣5，∴＜m≤，②当2m﹣1＜0时，﹣＞1，∴＜m＜；综上所述：＜m≤且m≠；24．（8分）（2017春•雨花区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【思路引导】（1）直接把A点和C点坐标代入y＝﹣x2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣，则D（，0），则利用勾股定理计算出CD＝，然后分类讨论：如图1，当CP＝CD时，利用等腰三角形的性质易得P1（，4）；当DP ＝DC时，易得P2（，），P3（，﹣）；（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），则FE＝﹣x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S△BCF ＝S△BEF+S△CEF＝×4×EF＝﹣x2+4x，加上S△BCD＝，所以S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+（0≤x≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标．【完整解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+mx+n得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）存在．抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，则D（，0），∴CD＝＝＝，如图1，当CP＝CD时，则P1（，4）；当DP＝DC时，则P2（，），P3（，﹣），综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）；（3）当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），∴FE＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，∵S△BCF＝S△BEF+S△CEF＝×4×EF＝2（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x，而S△BCD＝×2×（4﹣）＝，∴S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+（0≤x≤4），＝﹣（x﹣2）2+当x＝2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）．25．（8分）（2021秋•雨花区期末）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y轴交于点C．（1）求线段BD的长；（2）求△ABC的面积；（3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值．【思路引导】（1）分别求出D（﹣1，0），B（3，0），则可求BD；（2）连接AO，求出顶点坐标为（1，﹣4），C（0，﹣3），再由S△CAB＝S△OAB+S△OCA﹣S△OCB即可求解；（3）连接BC交对称轴与点P，由题意可知B点与D点关于对称轴x＝1对称，则当P、B、C三点共线时，PC+PD的值最小，求出BC＝3即为所求．【完整解答】解：（1）当y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，则（x﹣3）（x+1）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴D（﹣1，0），B（3，0），∴BD＝4；故答案为：4．（2）连接AO，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴S△CAB＝S△OAB+S△OCA﹣S△OCB＝×3×4+×3×1﹣×3×3＝3；故答案为：3．（3）连接BC交对称轴与点P，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴为直线x＝1，∵B点与D点关于对称轴x＝1对称，∴DP＝PB，∴PC+PD＝PC+BP≥BC，∴当P、B、C三点共线时，PC+PD的值最小，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC＝3，∴PC+PD的最小值即BC＝．26．（10分）（2021•岳麓区开学）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的定顶抛物线．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的定顶抛物线，求p的值；（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（1，3）一次函数y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的定顶抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．【思路引导】（1）由抛物线解析式可得顶点坐标，将顶点坐标代入直线解析式求解．（2）由抛物线解析式可得顶点坐标，由抛物线顶点坐标及（1，3）可得直线解析式，进而求解．（3）由线y＝x2+2x+n可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，由抛物线与x轴两个交点间的距离为4可得抛物线与x轴交点坐标，进而可得n的值，将抛物线顶点坐标代入直线解析式可得m的值．【完整解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），∴（0，﹣4）在直线y＝﹣x+p上，∴p＝﹣4．（2）∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，∴抛物线顶点坐标为（2，11），将（2，11），（1，3）代入y＝kx+t得，解得，∴一次函数解析式为y＝8x﹣5．将x＝0代入y＝8x﹣5得y＝﹣5，将y＝0代入y＝8x﹣5得0＝8x﹣5，解得x＝，∴一次函数与坐标轴交点坐标为（0，﹣5），（，0），∴直线y＝8x﹣5与坐标轴围成的三角形面积为×＝．（3）∵y＝x2+2x+n，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∵抛物线与x轴的两个交点之间距离为4，﹣1+2＝1，﹣1﹣2＝﹣3，∴抛物线经过（1，0），（﹣5，0），将（1，0）代入y＝x2+2x+n得0＝1+2+n，解得n＝﹣3．∴y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），将（﹣1，﹣4）代入y＝mx﹣3得﹣4＝﹣m﹣3，解得m＝1．27．（12分）（2021春•长沙期末）如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B，与y轴交于点C，若OA＝OC＝2OB＝2．（1）求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式；。

2021-2022学年北京师大二附中高一(上)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年北京师大二附中高一(上)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年北京师大二附中高一（上）期中数学试卷一.选择题（共10个小题，共40分）1．若集合A＝{x|﹣1≤x≤2|，B＝{x|x＞1}，则A∩B等于（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|x＞1}C．{x|x≥﹣1}D．{x|﹣1≤x≤2} 2．若a＞b，c＞d，则下列不等式中必然成立的一个是（）A．a+d＞b+c B．ac＞bd C．d﹣a＜c﹣b D．3．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．设集合A＝{x|x＝k+，k∈Z}，B＝{y|y＝﹣，k∈Z}，则它们之间最准确的关系是（）A．A＝B B．A⊄B C．A⫋B D．A⊆B5．若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知函数g（x）＝f（x）+2，若f（x）是奇函数，且g（1）＝3，则g（﹣1）＝（）A．﹣1B．﹣3C．1D．37．已知函数f（x）＝x2+bx+c，则“c＜0”是“∃x0∈R，使f（x0）＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．若关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]9．已知函数f（x）＝x|x|，若对任意的x≤1有f（x+m）+f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣2] 10．定义全集U的子集A的特征函数f A（x）＝对于任意的集合A、B⊂U，下列说法错误的是（）A．若A⊆B，则f A（x）≤f B（x），对于任意的x∈U成立B．f A∪B（x）＝f A（x）+f B（x），对于任意的x∈U成立C．f A∩B（x）＝f A（x）f B（x），对于任意的x∈U成立D．若A＝∁U B，则f A（x）+f B（x）＝1，对于任意的x∈U成立二、填空题（共5小题，共25分）11．已知集合A＝{x，x2}（x∈R），若1∈A，则x＝．12．若实数x，y满足xy＝1，则x2+2y2的最小值为．13．若0＜x＜y＜1，则x﹣y的取值范围是．14．设U＝R，集合A＝{x|x2+3x+2＝0}，B＝{x|x2+（m+1）x+m＝0}；若（∁U A）∩B＝∅，m ＝．15．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如表：房间A房间B房间C35m220m228m2涂料1涂料2涂料316元/m218元/m220元/m2那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是元．三、解答题16．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|m﹣2＜x＜m}．（Ⅰ）若m＝0，全集U＝A∪B，求∁U B；（Ⅱ）从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数m的取值范围．条件①：若A∪B＝A；条件②：若A∩B＝∅．17．已知函数f（x）＝2x++c（b，c为常数），f（1）＝4，f（2）＝5．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用定义证明：函数f（x）在区间（0，1）上是减函数．18．设函数f（x）＝（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3（a∈R）．（1）求对于一切实数x，f（x）＞0恒成立的充要条件；（2）求对于一切实数x，f（x）＞0恒成立的一个充分非必要条件．19．已知函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝a|x﹣1|．（1）若关于x的方程|f（x）|＝g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．20．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）若x＜0时，方程f（x）＝x2+tx+2t仅有一实根或有两个相等的实根，求实数t的取值范围．21．对于正整数集合A{a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素a i（i ＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．（1）判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”；（3）当n＝5时，集合A{a1，a2，a3，a4，a5}，求证：集合A不是“和谐集”．参考答案一.选择题（共10个小题，共40分）1．若集合A＝{x|﹣1≤x≤2|，B＝{x|x＞1}，则A∩B等于（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|x＞1}C．{x|x≥﹣1}D．{x|﹣1≤x≤2}【分析】进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣1≤x≤2|，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：A．2．若a＞b，c＞d，则下列不等式中必然成立的一个是（）A．a+d＞b+c B．ac＞bd C．d﹣a＜c﹣b D．【分析】根据题意取特殊值即可判断ABD，利用不等式的基本性质即可判断C．解：根据题意，依次分析选项：对于A，若a＝4，b＝﹣2，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d，但不满足a+d＞b+c，A错误，对于B，若a＝4，b＝﹣2，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b，c＞d，但不满足ac＞bd，B错误，对于C，若a＞b，则﹣a＜﹣b，又由c＞d，则d﹣a＜c﹣b，C正确，对于D，若a＝4，b＝﹣2，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b，c＞d，但不满足，D错误，故选：C．3．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】由不等式的性质结合充分必要条件的判定得答案．解：由（a﹣b）a2＜0，得a﹣b＜0，即a＜b，由a＜b，得a﹣b＜0，则（a﹣b）a2≤0，∴“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，故选：A．4．设集合A＝{x|x＝k+，k∈Z}，B＝{y|y＝﹣，k∈Z}，则它们之间最准确的关系是（）A．A＝B B．A⊄B C．A⫋B D．A⊆B【分析】由集合A与B的元素即可判断两集合的包含关系．解：由集合A得x＝，k∈Z，则A＝{•••﹣，﹣，，，，•••}，由集合B得y＝，k∈Z，则B＝{•••﹣，﹣，，，•••}，则A⫋B，故选：C．5．若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果解：∵a＞0，b＞0，∴4≥a+b≥2，∴2≥，∴ab≤4，即a+b≤4⇒ab≤4，若a＝4，b＝，则ab＝1≤4，但a+b＝4+＞4，即ab≤4推不出a+b≤4，∴a+b≤4是ab≤4的充分不必要条件故选：A．6．已知函数g（x）＝f（x）+2，若f（x）是奇函数，且g（1）＝3，则g（﹣1）＝（）A．﹣1B．﹣3C．1D．3【分析】先根据g（1）＝3可求出f（1）＝1，再根据f（x）是奇函数，即可得出g（﹣1）＝﹣f（1）+2＝1．解：g（1）＝f（1）+2＝3；∴f（1）＝1；∵f（x）是奇函数；∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2＝﹣f（1）+2＝﹣1+2＝1．故选：C．7．已知函数f（x）＝x2+bx+c，则“c＜0”是“∃x0∈R，使f（x0）＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】通过c＜0，判断函数对应的不等式有解，说明充分性；不等式有解，说明c的值不一定小于0，判断必要性即可．解：函数f（x）＝x2+bx+c，则“c＜0”时，函数与x有两个交点，所以“∃x0∈R，使f （x0）＜0成立．而“∃x0∈R，使f（x0）＜0”即x2+bx+c＜0，△＝b2﹣4c＞0，即b2＞4c，c不一定有c＜0，综上函数f（x）＝x2+bx+c，则“c＜0”是“∃x0∈R，使f（x0）＜0”的充分不必要条件；故选：A．8．若关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]【分析】把不等式化为a＜﹣x，求出f（x）＝﹣x在区间[1，5]上的最大值，即可得出实数a的取值范围．解：由x∈[1，5]，不等式x2+ax﹣2＜0可化为ax＜2﹣x2，即a＜﹣x；设f（x）＝﹣x，其中f（x）在区间[1，5]上单调递减，所以f（x）有最大值为f（1）＝2﹣1＝1；所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：C．9．已知函数f（x）＝x|x|，若对任意的x≤1有f（x+m）+f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣2]【分析】根据函数f（x）的解析式判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分离法转化为求函数的最值即可．解：f（x）＝x|x|＝，则函数f（x）在定义域为增函数，且f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，则若对任意的x≤1有f（x+m）+f（x）＜0恒成立，等价为若对任意的x≤1有f（x+m）＜﹣f（x）＝f（﹣x），即x+m＜﹣x恒成立，即m＜﹣2x恒成立，∵x≤1，∴﹣2x≥﹣2，则m＜﹣2，故选：C．10．定义全集U的子集A的特征函数f A（x）＝对于任意的集合A、B⊂U，下列说法错误的是（）A．若A⊆B，则f A（x）≤f B（x），对于任意的x∈U成立B．f A∪B（x）＝f A（x）+f B（x），对于任意的x∈U成立C．f A∩B（x）＝f A（x）f B（x），对于任意的x∈U成立D．若A＝∁U B，则f A（x）+f B（x）＝1，对于任意的x∈U成立【分析】根据题中特征函数的定义，利用集合交集、并集和补集的运算法则，对四个选项中的运算加以验证，即可得到答案．解：对于A，因为A⊆B，若x∈A，则x∈B，因为f A（x）＝＝，f B（x）＝，而∁U A中可能有B中的元素，但∁U B中不可能有A中的元素，所以f A（x）≤f B（x），即对于任意的x∈U，都有f A（x）≤f B（x）成立，故选项A正确；对于B，因为，当某个元素x在A中且在B中，由于它在A∪B中，故f A∪B（x）＝1，而f A（x）＝1且f B（x）＝1，可得f A∪B（x）≠f A（x）+f B（x），故选项B错误；对于C，＝，＝，故选项C正确；对于D，因为，结合f A（x）＝＝，所以f B（x）＝1﹣f A（x），即f A（x）+f B（x）＝1，故选项D正确．故选：B．二、填空题（共5小题，共25分）11．已知集合A＝{x，x2}（x∈R），若1∈A，则x＝﹣1．【分析】根据元素与集合的关系进行计算即可．解：集合A＝{x，x2}（x∈R），∵1∈A，即x＝1或x2＝1，可得x＝1或x＝﹣1当x＝1时，违背集合的互异性，故答案为：x＝﹣1．12．若实数x，y满足xy＝1，则x2+2y2的最小值为2．【分析】由已知可得y＝，代入要求的式子，由基本不等式可得．解：∵xy＝1，∴x2+2y2≥2xy＝2，当且仅当x2＝2y2，即x＝±时取等号，故答案为：2．13．若0＜x＜y＜1，则x﹣y的取值范围是（﹣1，0）．【分析】由不等式的基本性质求解即可．解：因为0＜x＜y＜1，所以0＜x＜1，﹣1＜﹣y＜0，所以﹣1＜x﹣y＜1，又因为x﹣y＜0，所以x﹣y的取值范围是（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．14．设U＝R，集合A＝{x|x2+3x+2＝0}，B＝{x|x2+（m+1）x+m＝0}；若（∁U A）∩B＝∅，m ＝1或2．【分析】先化简集合A，B，再结合题中条件：“（∁U A）∩B＝∅”推知集合B中元素的特点即可解决．解：∵A＝{x|x2+3x+2＝0}＝{﹣1，﹣2}，x2+（m+1）x+m＝0得：x＝﹣1或x＝﹣m．∵（∁U A）∩B＝∅，∴集合B中只能有元素﹣1或﹣2，∴m＝1或2故答案为1或2．15．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如表：房间A房间B房间C35m220m228m2涂料1涂料2涂料316元/m218元/m220元/m2那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是1464元．【分析】若涂料总费用最少，只需大面积粉刷便宜的即可．解：由题意得：35×16+28×18+20×20＝1464，故答案为：1464．三、解答题16．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|m﹣2＜x＜m}．（Ⅰ）若m＝0，全集U＝A∪B，求∁U B；（Ⅱ）从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数m的取值范围．条件①：若A∪B＝A；条件②：若A∩B＝∅．【分析】（Ⅰ）先求出集合A，B，然后由并集的定义求出U，再利用补集的定义求解即可；（Ⅱ）若选条件①：利用A∪B＝A，可得B⊆A，然后由集合子集的定义求解即可；若选条件②：A∩B＝∅，由集合交集以及空集的定义列式求解即可．解：（Ⅰ）当m＝0时，B＝{x|m﹣2＜x＜m}＝{﹣2＜x＜0}，又A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，所以U＝A∪B＝{x|﹣2＜x＜6}，故∁U B＝{x|0≤x＜6}；（Ⅱ）若选条件①：由A∪B＝A，可得B⊆A，则，解得1≤m≤6，故m的取值范围为[1，6]．若选条件②：由A∩B＝∅，则m≤﹣1或m﹣2≥6，解得m≤﹣1或m≥8，故m的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）．17．已知函数f（x）＝2x++c（b，c为常数），f（1）＝4，f（2）＝5．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用定义证明：函数f（x）在区间（0，1）上是减函数．【分析】（1）利用f（1）＝4，f（2）＝5，列出关于b，c的方程组，求出b，c的值，即可得到答案；（2）直接利用函数单调性的定义证明即可．【解答】（1）解：函数f（x）＝2x++c（b，c为常数），f（1）＝4，f（2）＝5，则，解得b＝2，c＝0，所以；（2）证明：令0＜x1＜x2＜1，则＝，因为0＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＜0，x1x2＞0，故f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在区间（0，1）上是减函数．18．设函数f（x）＝（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3（a∈R）．（1）求对于一切实数x，f（x）＞0恒成立的充要条件；（2）求对于一切实数x，f（x）＞0恒成立的一个充分非必要条件．【分析】（1）通过对二次项系数是否为0讨论a的范围，当a2﹣1≠0时结合二次函数的性质求出a的取值范围，再取并可得其充要条件；（2）取a＝1，利用充分不必要条件的定义，检验即可．解：（1）f（x）＝（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3＞0恒成立，①由a2﹣1＝0，得a＝﹣1或1；当a＝1时，f（x）＝3＞0恒成立，适合题意；当a＝﹣1时，f（x）＝﹣2x+3＞0不恒成立，a＝﹣1不适合题意；②a2﹣1≠0时，f（x）＞0恒成立，须满足，解得a＞1或a＜﹣，综上，f（x）＞0的充要条件是：a≥1或a＜﹣；（2）由（1）知，a＝1时，f（x）＝3＞0恒成立，而f（x）＞0时，a不一定是1，故a＝1是f（x）＞0的充分不必要条件．19．已知函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝a|x﹣1|．（1）若关于x的方程|f（x）|＝g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）将方程变形，利用x＝1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|＝a有且仅有一个等于1的解或无解，从而可求实数a的取值范围；（2）将不等式分离参数，确定函数的值域，即可求得实数a的取值范围．解：（1）方程|f（x）|＝g（x），即|x2﹣1|＝a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）＝0，显然，x＝1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|＝a有且仅有一个等于1的解或无解，∴a＜0．…（2）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x＝1时，（*）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）＝＝因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a ≤﹣2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…20．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）若x＜0时，方程f（x）＝x2+tx+2t仅有一实根或有两个相等的实根，求实数t的取值范围．【分析】（1）根据奇函数的性质，当x＝0时，f（x）＝0，结合当x＞0时，f（x）＝2x+1，可得出x＜0时的解析式，进而得到答案；（2）问题即为方程x2+（t﹣2）x+2t+1＝0仅有一个负实数或有两个相等的负实数根，然后分类讨论即可得出结论．解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，当x＜0时，﹣x＞0，又当x＞0时，f（x）＝2x+1，∴f（﹣x）＝﹣2x+1，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝2x﹣1，综上，；（2）当x＜0时，f（x）＝2x﹣1，则方程f（x）＝x2+tx+2t即为x2+（t﹣2）x+2t+1＝0，则该方程仅有一个负实数或有两个相等的负实数根，当2t+1＜0，即时，此时方程x2+（t﹣2）x+2t+1＝0有一正根，一负根，符合题意；当2t+1＝0，即时，此时方程即为，其解为0或，不合题意；当2t+1＞0，即，此时方程两根同号，需满足，解得t＝12；综上，实数t的取值范围为．21．对于正整数集合A{a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素a i（i ＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．（1）判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”；（3）当n＝5时，集合A{a1，a2，a3，a4，a5}，求证：集合A不是“和谐集”．【分析】（1）根据定义，判断集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”；（2）写出集合{1，3，5，7，9，11，13}，利用定义证明即可；（3）假设集合A是“和谐集”，结合定义推出矛盾，即可得证．解：（1）对于集合{1，2，3，4，5}，当去掉元素2时，剩余的所有元素之和为13，不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，所以集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”．（2）集合{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”，证明如下：当去掉元素1时，有3+5+7+9＝11+13；当去掉元素3时，有1+9+13＝5+7+11；当去掉元素5时，有9+13＝1+3+7+11；当去掉元素7时，有1+9+11＝3+5+13；当去掉元素9时，有1+3+5+11＝7+13；当去掉元素11时，有3+7+9＝1+5+13；当去掉元素13时，有1+3+5+9＝7+11．所以集合{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”．（3）证明：假设集合A是“和谐集”，不妨设0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，必能将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4①，或a5＝a1+a3+a4②，也必能将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4③，或a5＝a2+a3+a4④，由①③，得a1＝a2，矛盾，由①④，得a1＝﹣a2，矛盾，由②③，得a1＝﹣a2，矛盾，由②④，得a1＝a2，矛盾，所以假设不成立，故当n＝5时，集合A一定不是“和谐集”．。

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2020-2021学年北京大学附中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（4分）实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≤12．（4分）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．厨余垃圾FoodWasteB．可回收物RecyclableC．其他垃圾ResidualWasteD．有害垃圾HazardousWaste3．（4分）下列各式中，从左向右变形正确的是（）A．＝±2B．＝3C．＝D．4．（4分）已知P1（﹣2，m），P2（1，n）是函数y＝﹣2x+1图象上的两个点，则m与n 的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定5．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2，则PB+PE的最小值是（）A．1B．C．2D．6．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（）A．1B．C．2D．47．（4分）已知△ABC（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形8．（4分）如图，动点P在边长为2的等边△ABC的边上．它从点A出发，沿A→C→B →A的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C 之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．二、填空趣（本趣共24分，每小题4分）9．（4分）写出一个比大且比小的整数是．10．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为．11．（4分）一次函数图象经过第一、二、三象限，且过点（0，2），写出一个满足条件的一次函数表达式．12．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为．13．（4分）如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列三个结论中正确的是（填写序号）．①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；②k+b＞0；③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＜2．三、解答题（本题共44分，第15、16题每題5分，第17、18题每题7分，第19、20题每题6分，第21题8分）15．（5分）解方程：x2+3x﹣1＝0（公式法）16．（5分）已知x＝+1，求代数式x2﹣2x的值．17．（7分）关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的解．18．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G 在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．20．（6分）2017年国务院印发《新一代入工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发展契机．根据相关信息，回答问题：（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况．2017年，中国人工智能专利授权量为件；（2）图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图．数据被分成5组，其中在100≤x＜200之间的数据分是129，154，155，165，170，170，186，190．则20个专利授权量的中位数是；（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支位于前20的统计折线图如图3．依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是．21．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明．四、附加题（本题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，把图形G上的点到直线l距离的最大值d定义为图形G到直线l的最大距离．如图1，直线l经过（0，3）点且垂直于y轴，A（﹣2，2），B（2，2），C（0，﹣2），则△ABC到直线l的最大距离为5．（1）如图2，正方形ABCD的中心在原点，顶点都在坐标轴上，A（0，2）．①求正方形ABCD到直线y＝x+4的最大距离．②当正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离小于时，直接写出b的取值范围．（2）若正方形边长为2，中心P在x轴上，且有一条边垂直于x轴，该正方形到直线y ＝x的最大距离大于，求P点横坐标的取值范围．参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的选项中，只有一个是符合题意的．1．（4分）实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≤1【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解：∵实数范围内有意义，∴1﹣x≥0，解得x≤1．故选：D．2．（4分）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．厨余垃圾FoodWasteB．可回收物RecyclableC．其他垃圾ResidualWasteD．有害垃圾HazardousWaste【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．3．（4分）下列各式中，从左向右变形正确的是（）A．＝±2B．＝3C．＝D．【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得．解：A．＝2，此选项错误；B．＝|﹣3|＝3，此选项计算正确；C．＝×，此选项错误；D．+＝2+＝3，此选项错误；故选：B．4．（4分）已知P1（﹣2，m），P2（1，n）是函数y＝﹣2x+1图象上的两个点，则m与n 的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据﹣2＜1即可得出结论．解：∵一次函数y＝﹣2x+1中，k＝﹣2＜0，∴y随着x的增大而减小．∵P1（﹣2，m），P2（1，n）是函数y＝﹣2x+1图象上的两个点，﹣2＜1，∴m＞n．故选：A．5．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2，则PB+PE的最小值是（）A．1B．C．2D．【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．解：连接DE交AC于P，连接DE，DB，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∵AE＝BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．在Rt△ADE中，DE＝＝．即PB+PE的最小值为，故选：B．6．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（）A．1B．C．2D．4【分析】证得△ABO为等边三角形，得出∠BAO＝60°，由三角形内角和求出∠AEO＝90°，得出四边形ABFE为矩形，则可得出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠ABC＝∠BAD＝90°，又∵∠ABO＝60°，∴△ABO为等边三角形，∴∠BAO＝60°，∴∠OAE＝30°，∵线段EF绕点O转动，∠AOE＝60°，∴∠AEO＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴四边形ABFE为矩形，∴AB＝EF＝2．故选：C．7．（4分）已知△ABC（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【分析】根据平行四边形的判定和作图依据进行判断即可．解：由图可知先作AC的垂直平分线，再连接AC的中点O与B点，并延长使BO＝OD，可得：AO＝OC，BO＝OD，进而得出四边形ABCD是平行四边形，故选：B．8．（4分）如图，动点P在边长为2的等边△ABC的边上．它从点A出发，沿A→C→B →A的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C 之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．【分析】分段求出函数表达式即可求解．解：（1）当点P在AC上运动时，y＝2﹣t，（2）当点P在BC上运动时，y＝t﹣2，（3）当点P在AB上运动时，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝AC sin A＝2×＝，AH＝1；当点P在点H右侧时，y＝PC＝＝＝；该函数为一条曲线，当点P在CH左侧时，同理函数为一条曲线；故选：D．二、填空趣（本趣共24分，每小题4分）9．（4分）写出一个比大且比小的整数是2，3．【分析】首先估算与的取值范围，再确定有哪些整数．解：∵，3＜4，∴比大且比小的整数是：2，3．故答案为：2，3．10．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为﹣2．【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．解：把0代入方程有：a2﹣4＝0，a2＝4，∴a＝±2；∵a﹣2≠0，∴a＝﹣2，故答案为：﹣2．11．（4分）一次函数图象经过第一、二、三象限，且过点（0，2），写出一个满足条件的一次函数表达式y＝x+2．【分析】由一次函数的图象经过的象限判断出k，b的取值范围，然后根据其经过的点即可确定最后的答案．解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，∴k＞0，b＞0，∵经过（0，2），∴一次函数可以是y＝x+2故答案是：y＝x+2．12．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为+1或﹣1．【分析】分两种情况：（1）点Q在线段BC的延长线上；（2）点Q在线段CB的延长线上，分别用勾股定理求得QC的长，情况（1）中BQ＝QC+BC，情况（2）中BQ＝QC﹣BC．解：分两种情况：（1）点Q在线段BC的延长线上，如图：∵∠ACB＝90°，∴∠ACQ＝180°﹣90°＝90°，∵AC＝1，AQ＝2，∴QC＝＝，∵BC＝1，∴BQ＝QC+BC＝+1；（2）点Q在线段CB的延长线上，如图：∵∠ACB＝90°，AC＝1，AQ＝2，∴QC＝＝，∵BC＝1，∴BQ＝QC﹣BC＝﹣1．综上，线段BQ的长为+1或﹣1．故答案为：+1或﹣1．13．（4分）如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为 2.5．【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，在△BNA和△BNE中，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BA＝BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝17﹣BC＝17﹣6＝11，∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，∴MN＝DE＝2.5．故答案为：2.5．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列三个结论中正确的是①②（填写序号）．①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；②k+b＞0；③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＜2．【分析】结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论．解：由y2＝x+m知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°，故①的结论正确；由图知：当x＝1时，函数y1图象对应的点在x轴的上方，因此k+b＞0故②的结论正确；由图知：当x＞2时，函数y1图象对应的点都在y2的图象下方，因此关于x的不等式kx+b ＜x+m的解集是x＞2，故③的结论不正确；故答案为：①②．三、解答题（本题共44分，第15、16题每題5分，第17、18题每题7分，第19、20题每题6分，第21题8分）15．（5分）解方程：x2+3x﹣1＝0（公式法）【分析】根据公式法，可得方程的解．解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1△＝b2﹣4ac＝13＞0∴x＝＝x1＝，x2＝﹣．16．（5分）已知x＝+1，求代数式x2﹣2x的值．【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．解：x2﹣2x＝x（x﹣2），当x＝+1时，原式＝（+1）（﹣1）＝2．17．（7分）关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝1﹣4m≥0，然后解不等式即可得到m的范围；（2）在（1）中m的取值范围内确定满足条件的m的值，再解方程即可得到结论．解：（1）根据题意得△＝1﹣4m＞0，解得m＜；（2）∵m≤，∴m的最大整数为0，此时方程变形为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．18．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G 在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．【分析】（1）根据菱形的性质得出OB＝OD，再由点E是AD的中点，所以，AE＝DE，进而判断出OE是三角形ABD的中位线，得到AE＝OE＝AD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF＝＝3，于是得到结论．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，OB＝OD∵E是AD的中点，∴AE＝OE＝DE＝AD，∴∠EAO＝∠AOE，∵AE＝DE∴OE是三角形ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A（1，2）代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）根据点（1，2）结合图象即可求得．解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，∴k＝1，将点（1，2）代入y＝x+b，得1+b＝2，解得b＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）把点（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，∴m≥2．20．（6分）2017年国务院印发《新一代入工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发展契机．根据相关信息，回答问题：（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况．2017年，中国人工智能专利授权量为17477件；（2）图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图．数据被分成5组，其中在100≤x＜200之间的数据分是129，154，155，165，170，170，186，190．则20个专利授权量的中位数是141.5；（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支位于前20的统计折线图如图3．依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是基础硬件．【分析】（1）根据图1中的数据，可以写出2017年，中国人工智能专利授权量；（2）根据题意和题目中的数据，可以得到20个专利授权量的中位数；（3）根据图3中的数据和波动越小，方差越小，可以解答本题．解：（1）由图1可知，2017年，中国人工智能专利授权量为17477件，故答案为：17477；（2）由题意可得，20个专利授权量的中位数是（129+154）÷2＝141.5，故答案为：141.5；（3）由图3可知，基础硬件波动最小，故三个分支的专利授权量的方差最小的是基础硬件，故答案为：基础硬件．21．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE∥BC，DE＝，进而证明四边形CEDF 是矩形得DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM 得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF＝BC，∴CF＝BF＝b，∵CE＝AE＝a，∴EF＝；（2）AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．四、附加题（本题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，把图形G上的点到直线l距离的最大值d定义为图形G到直线l的最大距离．如图1，直线l经过（0，3）点且垂直于y轴，A（﹣2，2），B（2，2），C（0，﹣2），则△ABC到直线l的最大距离为5．（1）如图2，正方形ABCD的中心在原点，顶点都在坐标轴上，A（0，2）．①求正方形ABCD到直线y＝x+4的最大距离．②当正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离小于时，直接写出b的取值范围．（2）若正方形边长为2，中心P在x轴上，且有一条边垂直于x轴，该正方形到直线y ＝x的最大距离大于，求P点横坐标的取值范围．【分析】（1）①延长CB交直线y＝x+4于点E，根据正方形的性质和勾股定理求出CE 的长度便是正方形ABCD到直线y＝x+4的最大距离；②由①可知，当b＝4时，正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离为3，不难知道当b＝﹣4时，正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离也应该为3，由此便可得出正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离小于3时的b的取值范围；（2）根据最大距离的定义，确定最大距离为2时P点的位置，便可求得P点的横坐标的取值范围．解：（1）①如图2，延长CB交直线y＝x+4于点E，记直线y＝x+4与y轴交于点F，与x轴交于点G，令x＝0，得y＝x+4＝4，∴F（0，4），∴OF＝4，令y＝0，得y＝x+4＝0，解得，x＝﹣4，∴G（﹣4，0），∴OG＝4，∴OF＝OG，∴∠OGF＝∠OFG＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∴EF＝EC，∠CEF＝90°，∵A（0，2），∴OA＝2，∴OA＝OC＝2，∴CF＝OC+OF＝6，∵CE2+EF2＝CF2，∴CE＝EF＝3，即正方形ABCD到直线y＝x+4的最大距离为3；②由①可知，当b＝4时，正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离为3，若要使正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离小于3，则b的取值范围为：﹣4＜b＜4；（2）当正方形ABCD在如图3所示位置时，该正方形到直线y＝x的距离为2，此时点P的横坐标为﹣2或2，若要该正方形到直线y＝x的最大距离大于2，则点P横坐标的取值范围为x＜﹣2或x＞2．。

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