2020-2021学年上海市金山中学高一下学期期末考试数学试卷 答案和解析
【最新】上海市金山中学高一下学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题 1．计算：_______．2．已知数列{}n a 为等差数列，，则．3．在等比数列中，，则的值为 ．4．已知是等差数列，n S 是其前项和，，则= ．5．函数在的值域是 ．6．数列中，，，，则的前2015项和= ．7．在数列{}n a 中，已知15,432==a a ，且数列}{n a n +是等比数列，则=n a ． 8．执行右边的程序框图，若，则输出的．9．函数2cos 2sinxx y +=在)2,2(ππ-内的单调递增区间为 ． 10．在ABC ∆中，已知，，则的取值范围是 ．11．在等腰直角ABC ∆中，90A ∠=，，ABC ∆中排列着内接正方形，如图所示，若正方形的面积依次为12,,,,n S S S （从大到小），其中n N *∈，则()12lim n n S S S →∞+++=_______．12．已知数列{}n a 满足，若数列单调递减，数列单调递增，则数列的通项公式为．二、单选题 13．在ABC ∆中，若，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定14．利用数学归纳法证明“22111(1)1n n a a a aa n N a++*-++++=≠∈-，”，在验证1n =成立时，等号左边是 （ ）A ．B ．C ．D ．15．在等差数列{}n a 中，若11101a a <-，且{}n a 的前n 项和n S 有最小值，则使得0n S >的最小值n 为 （ ） A ．B ．C ．D ．16．有穷数列，，，…，中的每一项都是，0，1这三个数中的某一个数，若+++…+=425，且+++…+=3870，则有穷数列，，，…，中值为0的项数是 （ ） A ．B ．C ．D ．三、解答题 17． 在中，内角的对边分别为．已知．（1）求的大小；（2）若，求的面积．18． 已知，，且函数图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是．（1）求的值；（2）将函数的图像向右平移6π个单位后，得到函数的图像，求函数的解析式，并求在上的最值．19． 已知数列的首项．（1）求证：数列为等比数列；（2） 记，若，求最大正整数n ．20．在上海自贸区的利好刺激下，A 公司开拓国际市场，基本形成了市场规模；自【最新】1月以来的第n 个月（【最新】1月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量+出口量）分别为n b 、n c 和n a （单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：1n n b a a +=⋅，21n n n c a ba +=+（其中a ，b 为常数，*n N ∈），已知11a =万件，2 1.5a =万件，3 1.875a =万件. （1）求a ，b 的值，并写出1n a +与n a 满足的关系式； （2）证明：n a 逐月递增且控制在2万件内； 21． 设等比数列的前n 项的和为，公比为． （1）若成等差数列，求证：成等差数列；（2）若（为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由；数列中连续两项的和？请说明理由．参考答案1．【解析】试题分析：()11141211222lim lim lim41412412 n n nnnn n n→∞→∞→∞⎛⎫+- ⎪==-=⎪+++⎪⎝⎭考点：极限计算2．36【解析】试题分析：由等差数列求和公式()()()111035236 22nn n n nS na d n n--=+∴=+⨯-∴=考点：等差数列求和公式3．4【解析】试题分析：23593813888101024102444aa a a a a aa=∴=∴=∴==考点：等比数列性质4．-1【解析】试题分析：()111111116611333333tan1 42424a aS a a a a ππππ+=∴=∴+=∴=∴=-考点：1等差数列求和及性质；2．三角函数求值5．【解析】试题分析：1arccos cos[1,],23y x x y x yππ⎡⎤=∴=∴∈-∴∈⎢⎥⎣⎦考点：反三角函数6．1【解析】试题分析：由递推公式可得各项依次为1,2,1,1,2,1,1,2,---所以周期为6，前6项和为0，所以20151234561S a a a a a a =++++=-= 考点：1．数列周期性；2．数列求和 7．n n -⋅-132 【解析】试题分析：数列}{n a n +第二项226a +=，第三项3318a +=，等比数列公比为3216323n n n n a n a n --∴+=⋅∴=⋅-考点：等比数列通项公式 8．【解析】试题分析：程序执行中的数据变化为：17,1,0,17,2,,27,3,23p n s n s n ===<==<=⨯ 1111167,7,,772334233478s n s =+<==+++<⨯⨯⨯⨯⨯不成立，输出111113233478288s =+++=-=⨯⨯⨯考点：程序框图 9．]2,23[ππ-【解析】试题分析：sincos 2224x x x y π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()35(2,2),,22444x x x πππππππ⎛⎫∈-∴∈-∴+∈- ⎪⎝⎭令3,,242222x x πππππ⎡⎤⎡⎤+∈-∴∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，增区间为3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦考点：三角函数化简及单调性 10．【解析】试题分析：过A 作AD ⊥BC 于D ，1BD ∴=，即1a =时sin 1C =，当4a =时33CD AD =∴=，此时130sin 2C C =∴=，所以的取值范围是考点：解三角形 11．【解析】试题分析：设第一个正方形的边长为x ，则由相似三角形可得132463x x x S -=∴=∴= 再由相似三角形可得12,nS S S 构成4为首项，19为公比的等比数列， ∴()11249lim 11219n n S S S S q →∞+++===--考点：1．数列的极限；2．等比数列的前n 项和12．(2)13n --【详解】采用列举法得1234561,1,3,5,11,21a a a a a a =-==-==-=，然后从数字的变化上找规律，得()1112n n n n a a ++-=-，()()()()()1122112211121?2221nn n n n n n n n a a a a a a a a ------∴=-+-++-+=-+-+-+-()()12121213nn ⎡⎤-----⎣⎦==-- 考点：1．数列的函数特性；2．数列的求和 13．D 【解析】试题分析：由正弦定理可将222sin sin sin A B C +>转化为222a b c +>222cos 022a b c C C ab π+-∴=>∴<，由已知A ，B 角的范围不确定，因此形状不能确定考点：正余弦定理解三角形 14．C 【解析】试题分析：1n =时等号左侧a 的最高次数为2，所以所边为考点：数学归纳法 15．C 【解析】试题分析：{}n a 的前n 项和n S 有最小值，所以数列单调递增，且首项10a <1110111010,0a a a a ∴<-∴且10110a a +>()()()11912019102010111920190,10022a a a a S a S a a ++∴====+，所以使得0n S >的最小值n 为20考点：等差数列性质及求和公式 16．B 【解析】 试题分析：+++…+=3870展开得()()222122015122015220153870aa a a a a ++++++++=2221220151005a a a ∴+++=，所以，1共有1005项，所以值为0的项数是1010项考点：1．数列递推式；2．数列的概念及简单表示法 17．（1）（2）33或63【解析】试题分析：（1）由关系式．结合两角和差的正弦展开式化简可求得cos B 的值，得到B 角大小；（2）由B 角和,b c 边利用余弦定理可求得a 边长，结合三角形面积公式1sin 2S ac B =求得面积 试题解析：（1），（2），即，当时，；当时，考点：1．三角函数基本公式；2．余弦定理解三角形18．（1）1 （2）min ()0g x =，max ()g x =【解析】试题分析：（1）由对称轴的距离求得函数周期，进而得到ω值，代入可求得ϕ角，从而确定函数解析式，将自变量8x π=代入求解的值；（2）由平移规律得到函数的解析式()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由x 的范围得到23x π-的范围，进而结合单调性求得函数最值 试题解析：（1），，，（2）()2sin 2()2sin 263g x x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，，；考点：1．三角函数化简及求值；2．三角函数性质及图像平移 19．（1）详见解析 （2）99 【解析】试题分析：（1）证明数列是等比数列需证明数列相邻两项的比值为常数，并且首项不为0；本题中通过数列的递推公式入手将其变形即可；（2）借助于（1）的结论求得数列的的通项公式，进而得到数列1na 的通项公式，结合特点采用分组求和和等比数列求和公式可得到n S 的表达式，解不等式可求得n 值 试题解析：（1），且数列为等比数列．（2）由（1）可求得．若则，考点：1．等比数列证明；2．数列求和 20．（1）11,2a b ==-，21122n n n a a a +=-（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）依题意：2111n n n n n n a b c aa a ba +++=+=++，将n 取1，2，构建方程组，即可求得a ，b 的值，从而可得1n a +与n a 满足的关系式；（2）先证明()22111222222n n n n a a a a +=-=--+≤，于是2n a <，再用作差法证明1n n a a +>，从而可得结论；试题解析：（1）依题意：2111n n n n n n a b c aa a ba +++=+=++， ∴22111a aa a ba =++，∴312a b ++=……………① 又23222a aa a ba =++， ∴2333152228a b ⎛⎫++=⎪⎝⎭……………② 解①②得11,2a b ==- 从而21122n n n a a a +=-（2）由于()22111222222n n n n a a a a +=-=--+≤．但12n a +≠，否则可推得122a a ==矛盾．故12n a +<，于是2n a <．又()211122022n n n n n n n a a a a a a a +-=-+-=-->，所以1n n a a +>从而12n n a a +<<．考点：1．数列的应用；2．数列与不等式的综合 21．（1）详见解析 （2）（3） 不存在【解析】 试题分析：（1）根据成等差数列，q≠1，可得，化简可得8421q q =+，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
上海金山中学2024届数学高一第二学期期末联考试题含解析
上海金山中学2024届数学高一第二学期期末联考试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B = B ．6b =，52c =，45B = C ．10a =，15b =，120A = D ．6b =，63c =，60C =2．已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且23AB =，则PA PB +的最小值是（ ）A ．22B ．42C ．222-D ．422-3．一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，4AC BD ==，13AB CD ==则球心O 到平面ABC 的距离是（ ）A ．152B ．153C ．154D ．1564． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．2B ．3C ．10D ．155．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 0b A a B +=，则B =（ ）A ．135︒B ．60︒C ．45︒D ．90︒6．已知函数()sin()(,0)f x x x R ωϕω=+∈>相邻两个零点之间的距离为2π，将()y =f x 的图象向右平移8π个单位长度，所得的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值可能是（ ） A ．πB ．2π C ．4π D ．4π-7．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且6C π=，12a b +=，面积的最大值为（） A ．6B ．8C ．7D ．98．已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）A ．2πB ．3π C ．πD ．4π 9．若变量,x y 满足约束条件20,{0,220,x y x y x y +≥-≤-+≥则2z x y =-的最小值等于 （ ）A ．52-B ．2-C ．32-D ．210．己知向量()1,2OA =-，()3,OB m =.若OA ⊥AB ，则m 的值为( ) A ．32B ．4C ．-32D ．-4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020-2021学年上海市上海中学高一下学期数学期末考试卷(含详解)
上海市上海中学2020-2021学年第二学期高一数学期末试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1.与()4,3a =-平行的单位向量的坐标为__________．2.在空间，与边长均为3cm 的ABC ∆的三个顶点距离均为1cm 的平面共有.3.若1i z =+，则1zzz =-__________．4.关于z 的实系数一元二次方程220z bz c ++=的一根为1+，则c =__________．5.设复数()i ,z a b a b R =+∈，1+zz是实数，则a ，b 满足条件___________．6.已知向量a ，b不共线，实数x ，y 满足()()2452x y a b a x y b -+=+- ，则x y +的值为__________．7.已知(0,2))z απ=∈，则z 的取值范围是__________．8.已知z C ∈，方程3i 13i z z z ⋅-=+的解为___________．9.已知直线a ，b 垂直，直线c 与a 所成的角为6π，则c 与b 所成角的范围是___________．10.平行六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=︒，且1AA ⊥底面ABCD ，则对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为___________．11.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，125634AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小值与最大值的和______.12.空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有__________种．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列说法正确的有（）（1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面．A.0B.1C.2D.314.四面体的四个面中，直角三角形最多可有（）A.1B.2C.3D.415.动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（）A.内心B.垂心C.重心D.外心16.在四面体ABCD 中，1AB BC CA ===，DA 与直线AB ，CA 均垂直，且D A ，一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点D ，则其爬过的路程最小值为（） A.393B.15326+ C.433 D.373三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.在平面直角坐标系中，向量,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()sin ,cos n x x = ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．若m n ⊥，求tan x 的值．18.空间四边形ABCD 中，AB AC ≠，AE 是ABC 的边BC 上的高，DF 是BCD △的边BC 上的中线，求证：AE 和DF 是异面直线．19.在OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使得:1:5OM OA =，:1:4ON OB =，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA a = ，OB b = ，用a ，b表示向量OP ．20.如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 是线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A F CD ⊥，如图2．（1）证明：1A F BE ⊥；（2）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？若存在，求出11A QA B的值；若不存在，说明理由．21.设复平面中向量OP对应的复数为P z ，给定某个非零实数z ，称向量()()()()Re ,Im P P z OP z z z z =⋅⋅ 为OP的z -向量．（1）已知()11,OA x y = ，()22,OB x y =，求()()z OA z OB ⋅ ；（2）对于复平面中不共线的三点A ，B ，C ，设()'OA z OA = ，()'OB z OB =，()'OC z OC =，求''':A B C ABCS S △△；（3）设()(),,0v x y x y => ，()i 1,0= ，()0,1j = 的z 向量分别为'OV ，OE ，OF ，已知()',OV u v = ，1'OV E S S =△，2'OV F S S =△，求v的坐标（结果用1S ，2S ，z 表示）．上海市上海中学2020-2021学年第二学期高一数学期末试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1.与()4,3a =-平行的单位向量的坐标为__________．【答案】4343,,5555⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【解析】【分析】根据单位向量的求法，即可得答案.【详解】由题意得：与a 平行的单位向量为()4,343,555aa -⎛⎫±=±=±- ⎪⎝⎭.故答案为：4343,,5555⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，2.在空间，与边长均为3cm 的ABC ∆的三个顶点距离均为1cm 的平面共有.【答案】8【解析】【分析】分别从平面在三角形的同侧和异侧确定平面的位置.与个数【详解】若三角形在平面的同侧,此时到ABC 的三个顶点距离均为1cm 的平面的平面有两个.因为正三角形的边长为3,所以三角形的高为22>,所以当平面经过中位线EF 时,根据线面平行的性质可知,此时有两个平面到ABC 的三个顶点距离均为1cm .同理过两外两个边的中位线的平面也各有2个.所以满足条件的平面共有8个.故答案为8.【点睛】本题主要考查线面平行的性质以及平面之间的距离问题，考查了空间想象能力，属于中档题.3.若1i z =+，则1zzz =-__________．【答案】1i -【解析】【分析】根据复数的运算法则计算．【详解】由已知1i 1i1i (1i)(1i)1211z zz --===-+----．故答案为：1i -．4.关于z 的实系数一元二次方程220z bz c ++=的一根为1+，则c =__________．【答案】8【解析】【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对定理，得220z bz c ++=的另一根为1，再由韦达定理可得(1)(1)2=c，即可求出c 的值.【详解】由题意得实系数一元二次方程220z bz c ++=的另一根为1-，再由韦达定理可得(1)(1)2+-=c，得8c =.故答案为：85.设复数()i ,z a b a b R =+∈，1+zz是实数，则a ，b 满足条件___________．【答案】0b =且1a ≠-【解析】【分析】化简1+z z ，再由1+z z是实数，虚部为0，分母不为0化简，即可得答案.【详解】由题意，1+z z 是实数，即2222(1))(1(1)(1)(1)+-+++==++++++-+++a bi a a b bia bi a bi a bi a a i a bib b 为实数，可得0b =且22(1)0++≠a b ，即0b =且1a ≠-.故答案为：0b =且1a ≠-.6.已知向量a ，b不共线，实数x ，y 满足()()2452x y a b a x y b -+=+- ，则x y +的值为__________．【答案】1【解析】【分析】根据题意，列出方程组，求得x ，y ，即可得答案.【详解】因为()()2452x y a b a x y b -+=+- ，且向量a ，b不共线，所以2542x y x y-=⎧⎨=-⎩，解得2,1x y ==-，所以1x y +=.故答案为：17.已知(0,2))zαπ=∈，则z的取值范围是__________．【答案】2 2⎣【解析】【分析】根据复数模的性质求出模，然后结合三角函数性质得取值范围．【详解】由题意z=====，20sin1α≤≤，233321sinα≤≤+，所以22z≤≤．故答案为：2⎣．8.已知z C∈，方程3i13iz z z⋅-=+的解为___________．【答案】1z=-或13iz=-+【解析】【分析】两边取共轭复数后可得方程组，得到2z z+=-，再将2z z=--代入方程得到关于复数z的方程，因式分解从而求得复数z.【详解】两边取共轭复数后可得方程组：3i13i3i13izz zzz z-=+⎧⎨+=-⎩①②，②-①得2z z+=-，把2z z=--代入②得：2(23i)(13i)0z z+-+-=，即(1)(13i)0z z++-=，∴1z=-或13iz=-+.故答案为：1z=-或13iz=-+.9.已知直线a，b垂直，直线c与a所成的角为6π，则c与b所成角的范围是___________．【答案】,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】考虑到直线c与a所成的角为6π，把,,a b c平移到一个圆锥上，a为圆锥PO的轴所在直线，b 为一个轴截面的底边AB 所在直线，c 为圆锥的母线所在直线，由母线PC 到底面直径AB 所成角可得结论．【详解】不妨平移,,a b c 为：a 为圆锥PO 的轴所在直线，b 为一个轴截面的底边AB 所在直线，c 为圆锥的母线所在直线，如图，对于任意一条母线PC ，当C 是半圆弧 AB 中点时，PC 与AB 所成角为2π，当C 不是半圆弧 AB 中点时，作//CD AB 交底面圆于D ，PC 与AB 所成角为PCD ∠（此角为锐角），cos PCD ∠12CDPC=，而0CD AB<≤，所以0cos OA PCD PA <∠≤，即2PAO PCD π∠≤∠<，3PAO π∠=，所以32PCD ππ≤∠<，综上32PCD ππ≤∠≤，故答案为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10.平行六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=︒，且1AA ⊥底面ABCD ，则对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为___________．【答案】4【解析】【分析】在平面1111D C B A 中，过点1A 做111A E C D ⊥，交11C D 的延长线于E ，根据线面垂直的判定定理，可证1A E ⊥平面11CDD C ，所以1A CE ∠即为所求，分别求得各个边的长度，根据三角函数的定义，即可得答案.【详解】延长11C D ，在平面1111D C B A 中，过点1A 做111A E C D ⊥，交11C D 的延长线于E ，连接1A C 、CE ，如图所示因为1AA ⊥底面ABCD ，则1AA ⊥平面1111D C B A ，又1A E ⊂平面1111D C B A ，所以11AA A E ⊥，因为11AA DD ∕∕，所以11A E DD ⊥，所以1A E ⊥平面11CDD C ，所以1A CE ∠即为直线1A C 与侧面11DCC D 所成角，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，所以23AC =在1Rt A AC △中，2114AC A A AC =+=，在11Rt A D E △中，12sin 603A E =︒=，所以在1Rt A CE 中，1113sin 4A E A CE A C ∠==.所以对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为34.故答案为：3411.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，125634AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小值与最大值的和______.【答案】5【解析】【分析】由题意可得AB AD AC += ，BD AD AB =- ，0AB AD =，化简123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++，由于(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍±1，由完全平方数的最值，可得最值．【详解】解：正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC += ，BD AD AB =- ，则0AB AD =，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++- 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++=，由于(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍±1，可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，可取561λλ==，131λλ==，21λ=-，41λ=，可得所求最小值为0；由1356λλλλ-+-，2456λλλλ-++的最大值为4，可取21λ=，41λ=-，561λλ==，11λ=，31λ=-，可得所求最大值为所以最小值与最大值的和为故答案为：【点睛】本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力．12.空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有__________种．【答案】2【解析】【分析】根据空间中，直线的位置关系，分析即可得答案.【详解】空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，只有2种情况：正四面体模型，各个夹角为60︒，且满足异面，甲烷模型，各个夹角为10928'︒，且满足异面，故答案为：2二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列说法正确的有（）（1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面．A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据平面的基本性质判断（1）（3），（2）结合线面垂直的判定定理和性质定理判断．【详解】（1）空间四边形的对角线一定不相交，否则变成平面四边形，正确；（2）如图四边形ABCD 的四个角都是直角，若ABCD 不是平面四边形，则,AB CD 不共面，显然不平行，过C 作//CE AB ，任取一点E ，连接DE ，则AD CE ⊥，又AD CD ⊥，而CD CE C = ，,CD CE ⊂平面CDE ，所以AD ⊥平面CDE ，同理BC ⊥平面CDE ，所以//AD BC ，即,AD BC 共面，则ABCD 是平面四边形，矛盾．所以假设不成立，ABCD 是平面四边形，正确．（3）平行四边形的四个顶点中无三点共线，但它们共面，错误．正确的命题有2个．故选：C ．14.四面体的四个面中，直角三角形最多可有（）A.1 B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】结合正方体可得正确的选项.【详解】如图在正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1A ABC -的四个侧面都是直角三角形，故选：D .【点睛】根据题意,可将此四棱锥放到正方体中,即取正方体的一个上顶点,四个下顶点,然后结合正方体的特征,利用线面垂直的判定与性质进行分析即可得到侧面直角三角形的个数,这是立体几何中常用到的方法,即补体法,把问题转化到熟知的几何体中处理即可.属于基础题15.动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（）A.内心B.垂心C.重心D.外心【答案】C 【解析】【分析】取AB 中点D ，做出简图，由2OA OB OD +=化简得2(1)1233OP OD OC λλ-+=+ ，根据2(1)12133λλ-++=得P 、C 、D 三点共线，所以点P 一定会通过ABC 重心.【详解】取AB 中点D ，做出示意图如下图所示：由图可知2OA OB OD +=，故12(1)12(1)(1)(12)333OP OA OB OC OD OC λλλλλ-+⎡⎤=-+-++=+⎣⎦ ，因为2(1)12133λλ-++=，所以P 、C 、D 三点共线，即点P 在AB 的中线CD 所在直线上，所以点P 一定会过ABC 的重心。
2024届上海市金山区金山中学数学高一第二学期期末调研模拟试题含解析
2024届上海市金山区金山中学数学高一第二学期期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在等差数列中，，，则数列的前5项和为（ ）A ．13B ．16C ．32D ．352．已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差2d =,则5a =( ) A ．5B ．7C ．9D ．113．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） A ．7B ．10C ．13D ．44．圆22240x y x y +-+=与直线()2220tx y t t R ---=∈的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能5．若直线过点，则的最小值等于（ ） A ．3B ．4C ．D ．6．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，则点1A 到平面11AB D 的距离是（ ） A ．23B ．43C ．169D ．497．已知002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．2B ．0C ．-2D ．-48．已知0a >，且1a ≠，把底数相同的指数函数()xf x a =与对数函数()log a g x x=图象的公共点称为()f x （或()g x ）的“亮点”．当116a =时，在下列四点1(1,1)P ，211,2()2P ，311,2()4P ，411,4()2P 中，能成为()f x 的“亮点”有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．等差数列{}n a 的首项为1.公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前10项和为（ ） A ．80-B ．80C ．24-D ．2410．已知向量23,4a b ==，且12a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23πD ．56π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
上海市高一数学下学期期末考试试题(含解析)22
当 时，若后添入的数 ，则一定不适合题意，从而 必是数列 中的某一项 ，
则
.
整理得 ，等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以无解。
综上：符合题意的正整数 .
【点睛】本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，考察了函数单调性的证明，属于中档题．
的值域为A， .
(1)当 的为偶函数时，求 的值；
（3）因为 ， ， ，检验知 ，3，4不合题意， 适合题意．当 时，若后添入的数 则一定不适合题意，从而 必定是数列 中的某一项，设 则 误解，即有 都不合题意．故满足题意的正整数只有 ．
【详解】解（1）因为 ，所以 ，
解得 或 （舍），则
又 ，所以
（2）由 ，得 ，
所以 ， ， ，
则由 ，得
而当 时， ，由 （常数）知此时数列 为等差数列
【详解】当 时，左边为 ，故选C.
【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题.
的图象分别向左平移m(m>0)个单位，向右平移n(n>0>个单位，所得到的两个图象都与函数 的图象重合 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数 的图象分别向左平移 个单位，向右平移 个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数 的图象重合，可分别得最新 ， 的方程，解之即可．
（3）由条件得 ，再由 ， ，可得 ．由 的图象最新点 ， 对称求得 ，可得 ．再由 的图象最新直线 成轴对称，所以 ，可得 ， ，由此求得 满足的条件．
【详解】解：（1）因为函数 为偶函数，所以 ，
得 对 恒成立，即 ，
所以 .
（2）
上海市最新高一数学下学期期末考试试题(含解析)
上海市控江中学2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.函数()arcsin 2y x =-的定义域________． 【答案】[]1,3. 【解析】 【分析】根据反正弦函数的定义得出121x -≤-≤，解出x 可得出所求函数的定义域. 【详解】由反正弦的定义可得121x -≤-≤，解得13x ≤≤， 因此，函数()arcsin 2y x =-的定义域为[]1,3，故答案为：[]1,3.【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，解题的关键就是正弦值域的应用，考查运算求解能力，属于基础题.2.函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为________． 【答案】1. 【解析】 【分析】根据正切型函数的周期公式可计算出函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期.【详解】由正切型函数的周期公式得1T ππ==， 因此，函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为1，故答案为：1. 【点睛】本题考查正切型函数周期的求解，解题的关键在于正切型函数周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题.3.已知数列{}n a 是等比数列，公比为q ，且2468a a a ⋅⋅=，754a =，则q =_________． 【答案】3. 【解析】【分析】先利用等比中项的性质计算出4a 的值，然后由374a q a =可求出q 的值. 【详解】由等比中项的性质可得632448a a a a ⋅⋅==，得42a =，所以，37454272a q a ===，3q ∴=，故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用，可简化计算，属于中等题. 4.已知tan 3α=，则226cos 3sin cos 3sin cos 2sin αααααα-=-_________． 【答案】13. 【解析】 【分析】在分式中分子分母同时除以2cos α，将代数式转化为正切来进行计算.【详解】由题意得，原式222222226cos 3sin cos 63tan 6331cos cos 3sin cos 2sin 3tan 2tan 33233cos cos ααααααααααααα---⨯===-⨯-⨯-=，故答案为：13.【点睛】本题考查弦的分式齐次式的计算，常利用弦化切的思想求解，一般而言，弦化切思想主要应用于以下两种题型：（1）弦的n 次分式齐次式：当分式是关于角α的n 次分式齐次式，在分子分母中同时除以cos n α，可以将分式化为切的分式来求解；（2）弦的二次整式：当代数式是关于角α弦的二次整式时，先除以22cos sin αα+，将代数式转化为关于角α弦的二次分式齐次式，然后在分式分子分母中同时除以2cos α，可实现弦化切.5.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若4a =，6b =，9c =，则角C =________． 【答案】29arccos 48π-. 【解析】 【分析】利用余弦定理求出cos C 的值，结合角C 的取值范围得出角C 的值.【详解】由余弦定理得22222246929cos 224648a b c C ab +-+-===-⨯⨯，0C π<<，29arccos48C π∴=-，故答案为：29arccos 48π-. 【点睛】本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.6.在ABC ∆中，角A 所对的边为a ，若2a =，且ABC ∆的外接圆半径为2，则A =________． 【答案】6π或56π. 【解析】 【分析】利用正弦定理求出sin A 的值，结合角A 的取值范围得出角A 的值. 【详解】由正弦定理可得4sin a A =，所以，1sin 42a A ==， 0A π<<，6A π∴=或56π，故答案为：6π或56π.【点睛】本题考查正弦定理的应用，在利用正弦值求角时，除了找出锐角还要注意相应的补角是否满足题意，考查计算能力，属于基础题.7.已知数列{}n a 满足15a =，123n n a a +=-，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式为n a =________．【答案】23nn a =+. 【解析】 【分析】由题意得出()1332n n a a +=--，可得出数列{}3n a -为等比数列，确定出该数列的首项和公比，可求出数列{}3n a -的通项公式，进而求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】设()12n n a x a x ++=+，整理得12n n a a x +=+，对比可得3x =-，()1323n n a a +∴-=-，即1332n n a a +--=，且132a -=， 所以，数列{}3n a -是以2为首项，以2为公比的等比数列，13222n nn a -∴-=⨯=，因此，23n n a =+，故答案为：23nn a =+.【点睛】本题考查数列通项的求解，解题时要结合递推式的结构选择合适的方法来求解，同时要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8.已知数列{}n a的通项公式为()*124,2,21n n n n k a k N n k -+=⎧⎪=∈⎨=-⎪⎩，n S 是其前n 项和，则15S =_____．（结果用数字作答）【答案】395. 【解析】 【分析】由题意知，数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数列成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公式可求出15S 的值. 【详解】由题意可得()()1717151821232212281232S =+++++=+++++++()8878321221140395122⨯+-=+=-+=-，故答案为：395.【点睛】本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题.9.在等差数列{}n a 中，若11101a a -＜，且它的前n 项和n S 有最大值，则当n S 取得最小正值时，n 的值为_______. 【答案】12. 【解析】试题分析：因为等差数列{}n a 前n 项和n S 有最大值，所以公差为负，所以由11101a a <-得1110111011100,0,0a a a a a a <-⇒+<，所以119191010()1002a a S a +==>，1202010()2a a S +=＝101110()02a a +<，所以当19n =时，n S 取到最小正值． 考点：1、等差数列性质；2、等差数列的前n 项和公式．【方法点睛】求等差数列前n 项和的最值常用的方法有：(1)先求n a ，再利用10{n n a a +≥≤或10{0n n a a +≤≥求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值；（3）利用等差数列的前n 项和2n S An Bn ＝＋(A B ，为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．10.已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且13lim 1n n q q a →∞+-⎫ ⎪⎝⎭=⎛，则首项1a 的取值范围是________． 【答案】[)()2,33,4【解析】 【分析】根据极限存在得出()(]1,00,1q ∈-，对q 分10q -<<、01q <<和1q =三种情况讨论得出1a 与q 之间的关系，可得出1a 的取值范围.【详解】由于13lim 1n n q q a →∞+-⎫ ⎪⎝⎭=⎛，则()(]1,00,1q ∈-.①当10q -<<时，则1133lim 1n n q q q a a →∞⎛⎫ =⎪+⎝⎭+-=，()132,3a q ∴=+∈； ②当01q <<时，则1133lim 1n n q qq a a →∞⎛⎫=⎪+⎝⎭+-=，()133,4a q ∴=+∈；③当1q =时，113lim 114n n q q a a →∞⎛⎫ ⎪⎝=⎭+--=，解得12a =. 综上所述：首项1a 的取值范围是[)()2,33,4，故答案为：[)()2,33,4.【点睛】本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.11.在数列{}()*n a n N∈中，12a=，n S 是其前n 项和，当2n ≥时，恒有n a 、n S 、2n S -成等比数列，则()2lim 1n n n n a →∞++⋅=________． 【答案】2-. 【解析】 【分析】由题意得出()22n n n S a S =-，当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，代入()22n n n S a S =-，化简得出1122n n n S S S --=+，利用倒数法求出{}n S 的通项公式，从而得出1n n n a S S -=-的表达式，于是可求出()2lim 1n n n n a →∞++⋅的值. 【详解】当2n ≥时，由题意可得()22n n n S a S =-，即()()212n n n n S S S S -=--，化简得1122n n n n S S S S --+=，得1122n n n S S S --=+，两边取倒数得11111211222n n n n n S S S S S ----=+=+，11112n n S S -∴-=， 所以，数列{}n S 是以111112S a ==为首项，以12为公差的等差数列， ()1111222n nn S ∴=+-⋅=，2n S n∴=，则()12222211n n n a S S n n n n n n-=-=-=-=----， 因此，()()222211121lim 1li 2m lim 211n n n n n n n n n n n nn a →∞→∞→∞+++-++=-=-⋅=--+，故答案为：2-. 【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了数列通项的求解，在含n S 的数列递推式中，若作差法不能求通项时，可利用1n n n a S S -=-转化为n S 的递推公式求通项，考查分析问题和解决问题的能力，综合性较强，属于中等题.12.设集合{}2016,nA n n N =≤≤∈，它共有136个二元子集，如{}012,2、{}122,2、等等．记这136个二元子集1B 、2B 、3B 、、136B ，设{}()*,1136,i B x y i i N=≤≤∈，定义()1S B x y =-，则()()()()123136S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=_____．（结果用数字作答） 【答案】1835028 【解析】 【分析】分别分析中二元子集中较大元素分别为12、22、、162时，对应的二元子集中较小的元素，再利用题中的定义结合数列求和思想求出结果. 【详解】当二元子集较大的数为12，则较小的数为02； 当二元子集较大的数为22，则较小的数为02、12； 当二元子集较大的数为32，则较小的数为02、12 、22；当二元子集较大的数为162，则较小的数为02、12、22、、152.由题意可得()()()()()()10201123136222222S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=-+⨯--+()()301216011532222162222⨯---++⨯----()231612316121212222232162121212⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()11223316162212221322116221=-++⨯-++⨯-+++⨯-+()2316122215216=⨯+⨯++⨯+， 令23161222152S =⨯+⨯++⨯，得31617212142152S =⨯++⨯+⨯，上式-下式得()21523161717217212222152152214212S --=+++-⨯=-⨯=--⨯-，化简得2172142S =+⨯，因此，()()()()2171231362142161835028S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=+⨯+=，故答案为：1835028.【点睛】本题考查新定义，同时也考查了数列求和，解题的关键就是找出相应的规律，列出代数式进行计算，考查运算求解能力，属于难题.二、选择题13.已知ϕ是常数，那么“tan 2ϕ=”是“()sin 2cos x x x ϕ++等式对任意x ∈R 恒成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式结合条件()sin 2cos x x x ϕ+=+得出cos ϕ、sin ϕ的值，由tan 2ϕ=结合同角三角函数得出cos ϕ、sin ϕ的值，于此可得出结论.【详解】由22sin tan 2cos sin cos 1ϕϕϕϕϕ⎧==⎪⎨⎪+=⎩可得sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由辅助角公式)sin 2cos sin sin cos cos sin 55x x x x x x ϕϕ⎫+=+=+⎪⎪⎭()x ϕ=+，其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=. 因此，“tan 2ϕ=”是“()sin 2cos x x x ϕ+=+等式对任意x ∈R 恒成立”的必要非充分条件，故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查同角三角函数的基本关系以及辅助角公式的应用，考查推理能力，属于中等题.14.已知ϕ是常数，如果函数()5cos 2y x ϕ=-+的图像关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（ ） A.3πB.4π C.6π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】 将点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式，得出()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，求出ϕ的表达式，可得出ϕ的最小值.【详解】由于函数()5cos 2y x ϕ=-+的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则45cos 203πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，()4232k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，则()136k k Z ϕππ=-∈， 因此，当2k =时，ϕ取得最小值6π，故选：C. 【点睛】本题考查余弦函数的对称性，考查初相绝对值的最小值，解题时要结合题中条件求出初相的表达式，结合表达式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A. 当8n =时，该命题不成立 B. 当8n =时，该命题成立 C. 当6n =时，该命题不成立 D. 当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N *=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.16.已知*n N ∈，实数x 、y 满足关系式()2223n x y nx n +=++，若对于任意给定的*n N ∈，当x 在[)1,-+∞上变化时，x y +的最小值为n M ，则lim n n M →∞=（ ）A. 6B. 0C. 4D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先计算出()()244lim 22222222n x x y x x x x x x →∞+=+=+-=++-+++，然后利用基本不等式可得出lim n n M →∞的值.【详解】()()2222(1)2lim lim lim 32322n n n x n x x n x y x x x nx n x x n →∞→∞→∞⎡⎤+⎡⎤⎢⎥++=+=+=+⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎢⎥++⎣⎦， 由基本不等式得22444422222222x x x x x x x x x x x x -+=++=+-+=+-+++++()4226662x x =++-≥=+， 当且仅当()4222x x +=+时，由于1x≥-，即当2x =时，等号成立， 因此，lim 6n n M →∞=，故选：A. 【点睛】本题考查极限的计算，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是利用数列的极限计算出带x 的表达式，并利用基本不等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题17.在数列{}n a 中，112a =，43a =，且满足212n n n a a a +++=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()121n n b n a =-，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*153n a n n N =-=；（2）()*11114612n T n N n n ⎛⎫=-+∈ ⎪++⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由题意知，数列{}n a 是等差数列，可设该数列的公差为d ，根据题中条件列方程解出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式；（2）先求出数列{}n b 的通项公式，并将该数列的通项裂项，然后利用裂项法求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）对任意的*n N ∈，212n n n a a a +++=，则数列{}n a 是等差数列，设该数列的公差为d ，则4131233a a d d =+=+=，解得3d =-，()()111231153n a a n d n n =+-=--=-；（2）()()()()11111112136326221153n n b n a n n n n n n n n ⎛⎫=====- ⎪-+++⋅--⎡⎤⎝⎭⎣⎦，因此，1111111111116362463562n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111162124612n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉等差数列的几种判断方法，同时也要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.18.设函数()222cos 24sin 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，定义域为R ． （1）求函数()f x 的最小正周期，并求出其单调递减区间；（2）求关于x 的方程()2f x =的解集．【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）,412x x k x k k Z ππππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭或. 【解析】 分析】（1）利用两角差的余弦公式、二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期，由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解出x 的范围得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由()2f x =1sin 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解出该方程可得出结果. 【详解】（1）()222cos 24sin 3f x x xπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭221cos 22cos 2cos sin 2sin423cos 22332x x x x x ππ-⎛⎫=++⋅=-+ ⎪⎝⎭1sin 222sin 2cos cos 2sin 2233x x x x ππ⎫⎫=+=-+⎪⎪⎪⎭⎭223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==， 由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）令()2223f x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭1sin 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 52236x k πππ∴-=-+或()2236x k k Z πππ-=-+∈， 解得4x k ππ=-或()12x k k Z ππ=+∈，因此，关于x 的方程()2f x =的解集为,412x x k x k k Z ππππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭或. 【点睛】本题考查三角函数基本性质的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，然后再利用相应公式或图象进行求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.19.已知函数()()21f x x =-，{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为(),1q q R q ∈≠的等比数列．且()11a f d =-，()91a f d =+，()21b f q =-，()41b f q =+． （1）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）已知数列{}n c 满足：()*112233n n n b c b c b c b c a n N ++++=∈，求数列{}n c 的通项公式．【答案】（1）10n a n =-，23n n b -=；（2）227,11,23n n n c n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.【解析】 【分析】（1）根据题意分别列出关于d 、q 的方程，求出这两个量，然后分别求出数列{}n a 、{}n b 的首项，再利用等差数列和等比数列的通项公式可计算出数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令1n =可得出1c 的值，再令2n ≥，由112233n n n b c b c b c b c a ++++=得出112233111n n n b c b c b c b c a ---++++=，两式相减可求出n c ，于此得出数列{}n c 的通项公式.【详解】（1）由题意得()()2211244a f d d d d =-=-=-+，()291a f d d =+=，()229184444d a a d d d d =-=--+=-，解得1d =-，且()()221239a d =-=-=，()()119110n a a n d n n ∴=+-=--=-，()()2221244b f q q q q =-=-=-+，()241b f q q =+=，2242244b qq b q q ∴==-+， 0q ≠且1q ≠，整理得2430q q -+=，解得3q =，()2221b q ∴=-=，2113b b q ∴==，由等比数列的通项公式可得11211333n n n n b b q ---=⋅=⋅=； （2）由题意可知，对任意的n *∈N ，11223310n n n b c b c b c b c a n +++=+=-.当1n =时，119b c =，11927c b ∴==； 当2n ≥时，由11223310n n b c b c b c b c n ++++=-，可得1122133111n n b c b c b c b c n --++++=-，上述两式相减得1n n b c =-，即231n n c -=-，213n n c -∴=-.127c =不适合上式，因此，227,11,23n n n c n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解，以及利用作差法求数列通项，解题时要结合数列递推式的结构选择合适的方法求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知常数R λ∈且3λ>-，在数列{}()*n a n N∈中，首项1aλ=，n S 是其前n 项和，且143n n S a +=+，*n N ∈.（1）设12n n n b a a +=-，*n N ∈，证明数列{}n b 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式； （2）设2nn n a c =，*n N ∈，证明数列{}n c 是等差数列，并求出{}n c 的通项公式； （3）若当且仅当7n =时，数列{}n S 取到最小值，求λ的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，()1*(3)2n n b n N λ-=+⋅∈；（2）证明见解析，()()*334n N n c n λλ+-∈+=；（3）79,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）令1n =，求出2a 的值，再令2n ≥，由143n n S a +=+，得出143n n S a -=+，将两式相减得1144n n n a a a +-=-，再利用等比数列的定义证明1nn b b -为常数，可得出数列{}n b 为等比数列，并确定等比数列{}n b 的首项和公比，可求出n b ； （2）由题意得出()11232n n n n a a b λ-+-==+⋅，再利用等差数列的定义证明出数列{}n c 为等差数列，确定等差数列{}n c 的首项和公差，可求出数列{}n c 的通项公式；（3）求出数列{}n a 的通项公式，由数列{}n S 在7n =时取最小值，可得出当7n ≤时，0n a <，当8n ≥时，0n a >，再利用参变量分离法可得出实数λ的取值范围.【详解】（1）当1n =时，有2143S a =+，即21143a a a +=+，213333a a λ∴=+=+； 当2n ≥时，由143n n S a +=+，可得143n n S a -=+，将上述两式相减得1144n n n a a a +-=-，12n n n b a a +=-，()11111114422242222n n n n n n n n n n n n n n n a a a b a a a a b a a a a a a -+---------∴====---， 且()12123323b a a λλλ=-=+-=+，所以，数列{}n b 是以13b λ=+，以2为公比的等比数列，()()132n n b n N λ-*∴=+⋅∈； （2）由（1）知()11232n n n n a a b λ-+-==+⋅，2n n n a c =，由等差数列的定义得()1111111322322224n n n n n n n n n n n a a a a c c λλ-+++++++⋅-+-=-===， 且1122a c λ==，所以，数列{}n c 是以12c λ=为首项，以34λ+为公差的等差数列， 因此，()()3331244n n c n λλλλ++-+=+-=；（3）由（2）知，()3324nn n n a c λλ++-==，()2332n n a n λλ-∴=++-⋅⎡⎤⎣⎦， 由数列{}n S 在7n =时取最小值，可得出当7n ≤时，0n a <，当8n ≥时，0n a >， 由0n a <，得()330n λλ++-<， 得()6313363111n n n n n λ-+-<==-+++在7n ≤时恒成立， 由于数列631n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭在7n ≤时单调递减，则66933184n -≥-=-+，此时，94λ<-；由0n a >，得()330n λλ++->， 得()6313363111n n n n n λ-+->==-+++在8n ≥时恒成立， 由于数列631n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭在8n ≥时单调递减，则66733193n -≤-=-+，此时，73λ>-.综上所述：实数λ的取值范围是79,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用定义证明等比数列和等差数列，证明时需结合题中数列递推式的结构进行证明，同时也考查数列最值问题，需要结合题中条件转化为与项的符号相关的问题，利用参变量分离法可简化计算，考查化归与转化思想和运算求解能力，综合性较强，属于难题.21.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A B C <<，cos a B =，若C 角满足()1f C =-，求a b c ++的取值范围； （3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值．【答案】（1）()cos2f x x =；（2）()1；（3）1λ=-，1347n =. 【解析】 【分析】（1）由函数的周期公式可求出ω的值，求出函数()y f x =的对称轴方程，结合直线2x π=-为一条对称轴结合ϕ的范围可得出ϕ的值，于此得出函数()y f x =的解析式； （2）由()1f C =-得出2C π=，再由cos a B =结合锐角三角函数得出1c =，利用正弦定理以及内角和定理得出14a b c A π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由条件得出04A π<<，于此可计算出a b c ++的取值范围；（3）令()0F x =，得22sin sin 10x x λ--=，换元得出[]sin 1,1t x =∈-，得出方程2210t t λ--=，设该方程的两根为1t 、2t ，由韦达定理得出1212t t =-，分（ii ）101t <<、202t <<；（ii ）11t =，2102t -<<；（iii ）11t =-，2102t <<三种情况讨论，计算出关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在一个周期区间()0,2π上的实根个数，结合已知条件得出λ与n 的值.【详解】（1）由三角函数的周期公式可得22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=+，令()22x k k Z πϕπ+=+∈，得()422k x k Z πϕπ=-+∈，由于直线2x π=-为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()2422k k Z ππϕπ-=-+∈， 得()32k k Z πϕπ=+∈，由于0ϕπ<<，1k ∴=-，则2ϕπ=， 因此，()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）A B C <<，由三角形的内角和定理得3A B C C π=++<，3C ππ∴<<.()cos21f C C ==-，且2223C ππ<<，2C π∴=，2C π∴=. cos cos sin 2B A A π⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，由cos a B =，得sin a A =，由锐角三角函数的定义得sin a A c =，1sin ac A∴==， 由正弦定理得1sin sin b a B A ==，sin sin cos 2b B A A π⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，sin cos 114a b c A A A π⎛⎫∴++=++=++ ⎪⎝⎭，2C π=，且22A B A π+=>，04A π∴<<，442A πππ∴<+<，sin 124A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.21a b c ∴<++<，因此，a b c ++的取值范围是()1；（3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位， 得到函数cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t 、2t ，则1212t t =-，则1t 、2t 异号， （i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()0,n n N π*∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()0,n n N π*∈也有偶数个根，不合乎题意；（ii ）当11t =，则2102t -<<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上只有一个根，在区间()1367,1368ππ上无实解，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数解，在区间()1367,1368ππ上有两个根，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2020个根，在区间()0,1348π上有2022个根，不合乎题意； （iii ）当11t =-时，则2102t <<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数根，在区间()1367,1368ππ上只有一个实数根，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上有两个实数解，在区间()1367,1368ππ上无实数解， 因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2021个根，在区间()0,1348π上有2022个根，此时，()()2211110λλ⨯--⨯--=+=，得1λ=-.综上所述：1λ=-，1347n =.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.。
上海金山中学2024届高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析
上海金山中学2024届高一数学第二学期期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知10a -<< ，则三个数3a 、13a 、3a 由小到大的顺序是（ ） A ．1333a a a << B ．1333a a a << C ．1333aa a <<D ．1333a a a <<2．若实数a 、b 满足条件a b >，则下列不等式一定成立的是( ) A ．11a b< B ．22a b > C ．2ab b > D ．33a b >3．已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥ B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ C ．若//l m ，m α⊂，则//l α D ．若//l α，m α⊂，则//l m4．已知2()sin(),36f x x x N ππ=+∈，则()f x 的值域为 A ．11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭5．如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．11<a bB ．2ab<bC ．22ac <bcD ．22a ab b >>6．已知直线a b ，，平面α，且a α⊥，下列条件中能推出a b ∥的是（ ） A ．b αB ．b α⊂C ．b α⊥D ．b 与α相交7．若m 是2与8的等比中项，则m 等于( ) A ．12B ．4±C ．4-D ．328．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，46S =，则6S =（） A ．14B ．18C ．36D ．609．若{}n a 是等比数列，下列结论中不正确的是（ ）A ．{}3n a 一定是等比数列；B ．21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列；C ．{}1n n a a ++一定是等比数列；D ．{}3n n a a +一定是等比数列10．正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b 满足11a b =，77a b =，17a a ≠，则44ab ，的大小关系为（ ） A ．44a b =B ．44<a bC ．44a b >D ．不确定二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020-2021学年上海市金山中学高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年上海市金山中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若函数f(x)=sin(ωx +π6)的最小正周期为π，则ω=( )A. ±2B. 2C. ±1D. 12. 满足z(2+i)=2−i(i 为虚数单位)的复数z 在复平面内对应的点所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O)，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m >0,n >0)，则2m +1n 的最小值是( )A. 10B. 9C. 8D. 44. 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若A =π3，a =√3，则b 2+c 2+bc 的取值范围为( )A. (1,9]B. (3,9]C. (5,9]D. (7,9]二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 已知集合U ={−2,−1,0，1，3}，A ={0,1，3}，则A −=______． 6. 已知余弦函数的图象过点(−π6,m)，则m 的值为______．7. 设向量a ⃗ =(n,1)，b ⃗ =(−4,−2)，且a ⃗ //b ⃗ ，则实数n 的值是______ ． 8. 方程2log 2x +1=3的解x =______．9. 已知一扇形的周长为20cm ，当这个扇形的面积最大时，半径R 的值为______ ． 10. 已知虚数z 满足等式：2z −z −=1+6i ，则z = ______ ． 11. 函数f(x)=4x 2+2的值域为______ ．12. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=6，则2a ⃗ −b⃗ 在a ⃗ 方向上的数量投影为______．13. “tanx =1”是“x =π4+2kπ，k ∈Z ”的______条件．14. 已知复数z 1=2+mi ，z 2=tanθ+icos2θ(θ为实数)，并且z 1=z 2，则实数m =______．15. △ABC 中，内角A ，B ，C 对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2cosBcosC(tanB +tanC)=cosBtanB +cosCtanC ，则cos A 的最小值是______ ．16. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，∠ABC =60°，AC ，BD相交于点O ，E 为线段AC 上的动点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−72，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 设复数z =a −i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ．(1)若z(1+i)是纯虚数，求实数a 的值； (2)若a =2，求复数z1+i +i 的模．18. 已知函数f(x)=sin(x +π6)+sin(x −π6)−2cos 2x2，x ∈R ．(1)求函数f(x)的值域；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若a =2且f(A)=0，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长．19. 某市需拍卖一块近似圆形的土地(如图)，内接于圆的平面四边形ABCD 作为建筑用地，周边需做绿化．因地面限制，只能测量出AB =1km ，AD =2km ，测角仪测得∠BAD =120°．(1)求BD 的长；(2)因地理条件限制，AB ，AD 不能变更，但点C 可以调整．建筑商为利益最大化，要求在弧上设计一点C 使得四边形ABCD 面积最大，求四边形ABCD 面积的最大值．20. 已知O 为坐标原点，对于函数f(x)=asinx +bcosx ，称向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的相伴函数． (1)设函数g(x)=sin(x +5π6)−sin(3π2−x)，试求g(x)的相伴特征向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)记向量ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)的相伴函数为f(x)，求当f(x)=85且x ∈(−π3,π6)时，sin x 的值；(3)已知A(−2,3)，B(2,6)，OT ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)为ℎ(x)=msin(x −π6)的相伴特征向量，φ(x)=ℎ(x2−π3)，请问在y =φ(x)的图象上是否存在一点P ，使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ .若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．21. 已知向量a⃗ =(cos 3x 2,sin3x2)，b ⃗ =(cos x 2,−sin x2)，函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −m|a ⃗ +b ⃗ |+1，x ∈[−π3,π4]，m ∈R ． (1)当m =0时，求f(π6)的值；(2)若f(x)的最小值为−1，求实数m 的值；(3)是否存在实数m ，使函数g(x)=f(x)+2449m 2，x ∈[−π3,π4]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sin(ωx +π6)的最小正周期为π， 所以π=2π|ω|，解得ω=±2． 故选：A ．利用三角函数的周期公式，求解ω即可． 本题考查实践活动的周期的求法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：z(2+i)=2−i ， ∴z =2−i2+i =(2−i)2(2+i)(2−i)=3−4i 4=34−i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为：(34,−1)，位于第四象限． 故选：D ．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由“A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O)，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”可知m +2n =1(m >0,n >0)， ∴2m +1n =(m +2n)(2m +1n )=4+4n m+m n≥4+2√4n m ⋅m n=8，当且仅当{m +2n =14n m=mn即{m =12n =14时取“=”． ∴2m +1n 的最小值是8． 故选：C ．由“A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O)，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”可知m +2n =1，然后把2m +1n 转化为(m +2n)(2m +1n )，可解决此题．本题考查平面向量基本定理、基本不等式，考查数学运算能力，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：∵A =π3，a =√3，由正弦定理 bsinB =csinC =√3√32=2，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−bc ，∴b 2+c 2+bc =b 2+c 2−bc +2bc =a 2+2bc=3+2×2sinB ×2sinC =3+8sinBsin(2π3−B) =3+8sinB(√32cosB +12sinB) =5+4sin(2B −π6)，∵锐角△ABC 中，B ∈(π6,π2)，可得2B −π6∈(π6,5π6)，∴sin(2B −π6)∈(12,1]，∴b 2+c 2+bc =5+4sin(2B −π6)的取值范围为(7,9]．故选：D ．由已知利用正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b 2+c 2+bc =5+4sin(2B −π6)，可求范围2B −π6∈(π6,5π6)，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．此题考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，属于基础题．5.【答案】{−2,−1}【解析】解：∵集合U ={−2,−1,0，1，3}，A ={0,1，3}， ∴A −={−2,−1}． 故答案为：{−2,−1}． 利用补集定义直接求解．本题考查补集的求法，补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】√32【解析】解：余弦函数的图象过点(−π6,m)，可得m=cos(−π6)=√32．故答案为：√32．直接利用余弦函数的解析式求解m即可．本题考查余弦函数值的求法，是基础题．7.【答案】2【解析】解：根据题意，向量a⃗=(n,1)，b⃗ =(−4,−2)，若a⃗//b⃗ ，则−2n=−4，解可得n=2，故答案为：2．根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得−2n=−4，解可得n的值，即可得答案．本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．8.【答案】2【解析】解：∵2log2x+1=3，∴log2x=1，即x=2．故答案为：2．根据已知条件，运用对数的运算公式，即可求解．本题考查了对数的运算公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．9.【答案】5cm【解析】解：∵扇形的周长为20cm，∴l=20−2R，∴S=12lR=12(20−2R)⋅R=−R2+10R=−(R−5)2+25，∴当半径R=5cm时，扇形的面积最大为25cm2．故答案为：5cm根据条件求出扇形的面积公式，转化成关于R的二次函数，利用一元二次函数的性质进行求解．本题考查扇形的面积的计算，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．10.【答案】1+2i【解析】解：∵虚数z满足等式：2z−z−=1+6i，∴设复数z=a+bi(a、b∈R)，由题意得(2a+2bi)−(a−bi)=1+6i，a+3bi=1+6i，∴a=1，3b=6，∴a=1，b=2，∴z=1+2i，故答案为：1+2i．设复数z=a+bi(a、b∈R)，根据两个复数相等的充要条件，待定系数法求出a、b的值，从而求出z．本题考查两个复数相等的充要条件，用代定系数法求出复数的实部和虚部，从而得到复数的值．11.【答案】(0,2]．【解析】解：因为x2+2≥2，所以f(x)=4x2+2∈(0,2]，故f(x)=4x2+2的值域(0,2]．故答案为：(0,2]．由已知结合二次函数及反比例函数的性质可求．本题主要考查了二次函数性质的简单应用，属于基础试题．12.【答案】3【解析】解：因为(2a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =2|a ⃗ |2−a ⃗ ⋅b ⃗ =2×32−3×6×cos60°=9，所以2a ⃗ −b ⃗ 在a ⃗ 方向上的数量投影为(2a ⃗ −b ⃗)⋅a ⃗ |a ⃗ |=93=3． 故答案为：3．先根据平面向量的混合运算法则求得(2a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ 的值，再由平面向量数量积的几何意义，即可得解．本题考查平面向量数量积的运算与几何意义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．13.【答案】必要不充分【解析】解：①若x =5π4，满足tanx =1，但不满足x =π4+2kπ，k ∈Z ，∴充分性不成立，②若x =π4+2kπ，k ∈Z ，则tan(π4+2kπ)=tan π4=1，∴必要性成立， ∴tanx =1是x =π4+2kπ，k ∈Z 的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分．通过举实例判断充分性不成立，利用正切函数的图象与性质判断必要性成立． 本题主要考查了必要条件、充分条件的判断，正切函数的图象与性质，属于基础题．14.【答案】−35【解析】解：∵复数z 1=2+mi ，z 2=tanθ+icos2θ(θ为实数)，并且z 1=z 2， ∴{tanθ=2cos2θ=m，∴实数m =cos2θ=cos 2θ−sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=1−41+4=−35．故答案为：−35．由复数相等的定义得到{tanθ=2cos2θ=m ，从而m =cos2θ=cos 2θ−sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ，由此能求出结果．本题考查实数值的求法，考查复数相等、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．15.【答案】12【解析】解：2cosBcosC(tanB +tanC)=2cosBcosC(sinBcosB +sinCcosC )， =2sinBcosC +2sinCcosB =2sin(B +C)=2sinA ， cosBtanB +cosCtanC =sinB +sinC ， 所以sinB +sinC =2sinA ， 由正弦定理得，b +c =2a ， 由余弦定理得，cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+c 2−(b+c 2)22bc =3(b 2+c 2)8bc−14≥3bc 4bc−14=12， 当且仅当b =c =a 时取等号，此时A =π3． 故答案为：12．由已知结合同角基本关系解和差角公式先对已知进行化简，然后结合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解．本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，正弦定理，余弦定理及基本不等式在求解三角形最值中的应用，属于中档题．16.【答案】−194【解析】解：平行四边形ABCD 中，AB =2，∠ABC =60°，AC ，BD 相交于点O ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−72， 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−72，可得−2−12×2×12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−72， 解得|BC|=3，建立如图所示的坐标系，则C(0,0)，A(−2,√3)，B(−3,0)，D(1,√3)，AC 的方程为：y =−√32x设E(m,−√32m)，m ∈[−2,0]，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +3,−√32m)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −1,−√32m −√3) BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =74m 2+72m −3=74(m +1)2−194≥−194.当且仅当m =−1时取等号． 故答案为：−194．通过向量的数量积，求出|BC|，然后建立坐标系，设出E 的坐标，利用向量的数量积求解最小值即可．本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)∵z(1+i)=(a−i)(1+i)=(a+1)+(a−1)i是纯虚数，∴{a+1=0a−1≠0，解得a=−1；(2)若a=2，则z1+i +i=2−i1+i+i=(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)+i=1−3i2+i=12−12i，∴复数z1+i +i的模为√(12)2+(−12)2=√22．【解析】(1)利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解a 值；(2)把a=2代入z1+i+i，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．18.【答案】解：(1)f(x)=√32sinx+12cosx+√32sinx−12cosx−2cos2x2=√3sinx−cosx−1=2sin(x−π6)−1，∴当2sin(x−π6)=−1时，f(x)取得最小值−3，当2sin(x−π6)=1时，f(x)取得最大值1，即函数f(x)的值域是[−3,1]．(2)由f(A)=2sin(A−π6)−1=0得sin(A−π6)=12，∵0<A<π，∴−π6<A−π6<5π6，则A−π6=π6，得A=π3，∵△ABC的面积为√3，a=2，∴12bcsinπ3=√34bc=√3，则bc=4，又a2=b2+c2−2bccosπ3=(b+c)2−2bc−bc，即4=(b+c)2−12，得(b+c)2=16，即b+c=4，则周长a +b +c =4+2=6．【解析】(1)利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的值域性质进行求解即可．(2)根据三角形的面积公式建立方程，利用余弦定理进行转化求解即可．本题主要考查解三角形的应用以及函数的值域的求解，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．19.【答案】解：(1)在△ABD 中，由余弦定理可得：BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos∠BAD =1+4−2×1×2×(−12)=7，∴BD =√7， 故BD 的长为√7km ；(2)在△BCD 中，∠BCD =60°，则由余弦定理可得：BD 2=BC 2+CD 2−2BC ⋅CD ⋅cos∠BCD ， ∴7=BC 2+CD 2−2BC ⋅CD ≥2BC ⋅CD −BC ⋅CD =BC ⋅CD ， 当且仅当BC =CD 时等号成立． ∴S △BCD =12BC ⋅CD ⋅sin60°=√34BC ⋅CD ≤7√34， 则S △ABCD =S △ABD +S △BCD ≤12×2×1×√32+7√34=9√34．故四边形ABCD 面积的最大值为9√34km 2．【解析】(1)在△ABD 中利用余弦定理直接求解BD 的长；(2)在△BCD 中利用余弦定理结合基本不等式可得BC ⋅CD ≤7，即可求出S △BCD ，进一步求出四边形ABCD 面积的最大值．本题考查三角形的解法，关键是利用余弦定理结合基本不等式求解，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)g(x)=sin(x +5π6)−sin(3π2−x)=sinxcos 5π6+cosxsin5π6+cosx ，所以g(x)=−√32sinx +32cosx ，故函数g(x)的伴随特征向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32)，(2)由于f(x)=sinx +√3cosx =2sin(x +π3)=85， 所以sin(x +π3)=45， 由于x ∈(−π3,π6)，所以x +π3∈(0,π2)，则cos(x +π3)=35，故sinx =sin[(x +π3)−π3]=12sin(x +π3)−√32cos(x +π3)=4−3√310． (3)由于OT⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)为函数ℎ(x)=msin(x −π6)=√32msinx −12mcosx 的伴随向量， 故m =−2．所以φ(x)=ℎ(x2−π3)=−2sin[(x2−π3)−π6]=2cos x2， 设P(x,2cos 12x)，由于A(−2,3)，B(2,6)，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,2cos 12x −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2cos 12x −6)， 由于AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 故(x +2)(x −2)+(2cos 12x −3)(2cos 12x −6)=0， 整理得x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0， 所以(2cos 12x −92)2=254−x 2，由于−2≤2cos 12x ≤2， 所以−132≤2cos 12x −92≤52，故254≤(2cos 12x −92)2≤1694，由于254−x 2≤254，当且仅当x =0时，(2cos 12x −92)2和254−x 2都等于254，所以在y =ℎ(x)的图象上存在点P(0,2)使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立．【解析】(1)直接利用关系式的恒等变换和伴随向量的应用求出结果； (2)利用伴随向量的应用和函数的定义域的应用求出函数的值； (3)利用向量的数量积和垂直的充要条件的应用求出点P 的坐标．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，平面向量在三角函数关系中的应用，向量的数量积的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)a ⃗ ⋅b ⃗ =(cos 3x 2,sin3x2)⋅(cos x 2,−sin x 2)=cos 3x 2cos x 2−sin3x 2sin x2=cos(3x 2+x2)=cos2x ，当m =0时，f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ +1=cos2x +1， 则f(π6)=cos(2×π6)+1=cos π3+1=12+1=32； (2)∵x ∈[−π3,π4]，∴|a ⃗ +b ⃗ |=√2+2cos2x =√4cos 2x =2cosx ，则f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −m|a ⃗ +b ⃗ |+1=cos2x −2mcosx +1=2cos 2x −2mcosx ， 令t =cosx ，则12≤t ≤1， 则y =2t 2−2mt ，对称轴t =m2， ①当m2<12，即m <1时，当t =12时，函数取得最小值此时最小值y =12−m =−1，得m =32(舍)， ②当12≤m 2≤1，即m <1时，当t =m 2时，函数取得最小值此时最小值y =−m22=−1，得m =√2，③当m2>1，即m >2时，当t =1时，函数取得最小值此时最小值y =2−2m =−1，得m =32(舍)， 综上若f(x)的最小值为−1，则实数m =√2． (3)令g(x)=2cos 2x −2mcosx +2449m 2=0，得cosx =3m 7或4m 7，∴方程cosx =3m 7或4m 7在x ∈[−π3,π4]上有四个不同的实根，则{ √22≤3m7<1√22≤4m 7<13m 7≠4m 7，得{ 7√26≤m <737√28≤m <74m ≠0，则7√26≤m <74， 即实数m 的取值范围是7√26≤m <74．【解析】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．(1)利用向量数量积的公式化简函数f(x)即可．(2)求出函数f(x)的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．(3)由g(x)=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．。
上海市最新学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分. 1.1和4的等差中项为__________． 【答案】52【解析】 【分析】设1和4的等差中项为x ，利用等差中项公式可得出x 的值. 【详解】设1和4的等差中项为x ，由等差中项公式可得14522x +==，故答案为：52. 【点睛】本题考查等差中项的求解，解题时要充分利用等差中项公式来求解，考查计算能力，属于基础题.2.已知()1,2a =，(),4b x =，若//a b ，则实数x 的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用共线向量等价条件列等式求出实数x 的值. 【详解】()1,2a =，(),4b x =，且//a b ，214x ∴=⨯，因此，2x =，故答案为：2.【点睛】本题考查利用共线向量来求参数，解题时要充分利用共线向量坐标表示列等式求解，考查计算能力，属于基础题.3.设函数()arctan f x x =，则()1f -值为__________．【答案】4π- 【解析】 【分析】根据反正切函数的值域，结合条件得出()1f -的值.【详解】arctan 22x ππ-<<，且tan tan 144ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此，()()1arctan 14f π-=-=-，故答案为：4π-. 【点睛】本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.4.已知数列{}n a 为等比数列，21a =，58a =，则数列{}n a 的公比为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由352a q a =可求出q 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则35281a q a ==，2q ∴=，因此，数列{}n a 的公比为2，故答案为：2.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知3sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为__________． 【答案】35【解析】 【分析】利用诱导公式将等式3sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭化简，可求出cos α的值.【详解】由诱导公式可得3sin cos25παα⎛⎫+==⎪⎝⎭，故答案为：35.【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，在利用诱导公式处理化简求值的问题时，要充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查运算求解能力，属于基础题.6.已知无穷等比数列{}n a的首项为1，公比为12-，则其各项的和为__________．【答案】2 3【解析】【分析】根据无穷等比数列求和公式求出等比数列{}n a的各项和.【详解】由题意可知，等比数列{}n a的各项和为121312S==⎛⎫--⎪⎝⎭，故答案为：23.【点睛】本题考查等比数列各项和的求解，解题的关键就是利用无穷等比数列求和公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.7.311lim312nn nn→∞⎛⎫++=⎪-⎝⎭__________．【答案】1【解析】【分析】在分式3131nn+-的分子和分母上同时除以3n，然后利用极限的性质来进行计算.【详解】113111103lim lim lim01131221013n nn n nn n nn→∞→∞→∞⎛⎫+⎪⎛⎫+++=+=+=⎪⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭，故答案为：1.【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见的极限，并充分利用极限的性质来进行计算，考查计算能力，属于基础题.8.已知[)0,2ϕπ∈，若方程()sin 2sin x x x ϕ=-的解集为R ，则ϕ=__________． 【答案】3π【解析】 【分析】将sin x x -利用辅助角公式化简，可得出ϕ的值. 【详解】()()1sin 32sin 2sin cos cos sin2sin 2x x x x x x x ϕϕϕ⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1cos 2sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩02ϕπ≤<，因此，3πϕ=，故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.9.在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若ABC ∆的面积为12，且1b =，2c =，则A ∠的弧度为__________．【答案】6π 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求出sin A 的值，结合角A 为锐角，可得出角A 的弧度数. 【详解】由三角形的面积公式可知，ABC ∆的面积为111sin 12sin 222ABC S bc A A ∆==⨯⨯⨯=，得1sin 2A =，A 为锐角，因此，A ∠的弧度数为6π，故答案为：6π.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.10.数列{}n a 满足()()11112231n a n N n n *=+++∈⨯⨯+，设n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和，则10S =__________． 【答案】512- 【解析】 【分析】先利用裂项求和法将数列{}n a 的通项化简，并求出1n n a a +-，由此可得出10S 的值. 【详解】()11111n n n n =-++，1111111122311n a n n n ∴=-+-++-=-++. 11111111212n n a a n n n n +-=--+=-+++++， 因此，101111111152334111212212S =-+-+--+=-=-，故答案为：512-. 【点睛】本题考查裂项法求和，要理解裂项求和法对数列通项结构的要求，并熟悉裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.11.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()8,1=4,2n nn S n N n *=⎧∈⎨≥⎩，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________．【答案】18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩，n *∈N 【解析】 【分析】令3n ≥时，求出1n n n a S S -=-，再令1n =时，求出1a 的值，再检验1a 的值是否符合()2n a n ≥，由此得出数列{}n a 的通项公式.【详解】当3n ≥时，1114434n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，当1n =时，118a S ==，18a =不合适上式，当2n =时，2211688a S a =-=-=，28a =不合适上式，因此，18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩，n *∈N . 故答案为：18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩,n *∈N . 【点睛】本题考查利用前n 项和求数列的通项，考查计算能力，属于中等题.12.已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足()10,1a ∈，()31,2a ∈，()42,4a ∈，则6a 的取值范围为__________．【答案】()【解析】 【分析】设等比数列1a 、2a 、3a 、4a 的公比为q ，由43a q a =和341a q a =计算出q 的取值范围，再由264a a q =可得出6a 的取值范围.【详解】设等比数列1a 、2a 、3a 、4a 的公比为q ，()10,1a ∈，()31,2a ∈，()42,4a ∈，所以，()431,4a q a =∈，3412a q a =>，)q ∴∈.所以，()264a a q =∈，故答案为：().【点睛】本题考查等比数列通项公式及其性质，解题的关键就是利用已知条件求出公比的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.第Ⅱ卷（共90分）二、选择题（每题3分，满分36分，将答案填在答题纸上） 13.已知基本单位向量()1,0i =，()0,1f =，则34i f -的值为（） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25【答案】B 【解析】 【分析】计算出向量34i f -的坐标，再利用向量的求模公式计算出34i f -的值.【详解】由题意可得()()()3431,040,13,4i f -=-=-，因此，(23435i f -=+=， 故选：B.【点睛】本题考查向量模的计算，解题的关键就是求出向量的坐标，并利用坐标求出向量的模，考查运算求解能力，属于基础题.14.在学习等差数列时，我们由110a a d =+，21a a d =+，312a a d =+，⋯⋯，得到等差数列{}n a 的通项公式是()11n a a n d +-=，象这样由特殊到一般的推理方法叫做（） A. 不完全归纳法 B. 数学归纳法C. 综合法D. 分析法【答案】A 【解析】 【分析】根据题干中的推理由特殊到一般的推理属于归纳推理，但又不是数学归纳法，从而可得出结果.【详解】本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于归纳法，但本题并不是数学归纳法，因此，本题中的推理方法是不完全归纳法，故选：A.【点睛】本题考查归纳法的特点，判断时要区别数学归纳法与不完全归纳法，考查对概念的理解，属于基础题.15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()4n n a S n N *+=∈，则4S的值为（ ）A. 3B.72C.154D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =求出1a 值，再令2n ≥时，由4n n a S +=得出114n n a S --+=，两式相减可推出数列{}n a 是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出4S 的值. 【详解】当1n =时，11124a S a +==，得12a =；当2n≥时，由4n na S+=得出114n na S--+=，两式相减得120n na a--=，可得112nnaa-=. 所以，数列{}n a是以2为首项，以12为公比的等比数列，因此，441211152414412S⎛⎫-⎪⎝⎭==-=-.故选：C.【点睛】本题考查利用前n项和求数列通项，同时也考查了等比数列求和，在递推公式中涉及na与nS时，可利用公式11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩求解出n a，也可以转化为n S来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16.小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少次数为（）A. 126B. 127C. 128D. 129【答案】B【解析】【分析】假设A桩上有1n+个圆环，将1n+个圆环从A木桩全部套到B木桩上，需要最少的次数为1na+，根据题意求出数列{}n a的递推公式，利用递推公式求出数列{}n a的通项公式，从而得出7a 的值，可得出结果.【详解】假设A 桩上有1n +个圆环，将1n +个圆环从A 木桩全部套到B 木桩上，需要最少的次数为1n a +，可这样操作，先将n 个圆环从A 木桩全部套到C 木桩上，至少需要的次数为n a ，然后将最大的圆环从A 木桩套在B 木桩上，需要1次，在将C 木桩上n 个圆环从C 木桩套到B 木桩上，至少需要的次数为n a ，所以，121n n a a +=+，易知11a =. 设()12n n a x a x ++=+，得12n n a a x +=+，对比121n n a a +=+得1x =，()1121n n a a +∴+=+，1121n n a a ++∴=+且112a +=，所以，数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列，67122128a ∴+=⨯=，因此，7127a =，故选：B.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，解题的关键就是利用题意得出数列的递推公式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知点G 是ABC ∆重心，2AD DC =. （1）用AB 和AC 表示AG ； （2）用AB 和AC 表示DG . 【答案】（1）()13AG AB AC =+（2）()13DG AB AC =-. 【解析】 【分析】（1）设BC 的中点为M ，可得出()12AM AB AC =+，利用重心性质得出23AG AM =，由此可得出AG 关于AB 、AC 的表达式； （2）由2AD DC =，得出23AD AC =，再由DG AG AD =-，可得出DG 关于AB 、AC 的表达式.【详解】（1）设BC 的中点为M ，则2AM AB AC =+，()12AM AB AC ∴=+，G 为ABC ∆的重心，因此，()()22113323AG AM AB AC AB AC ==⨯+=+； （2）2AD DC =，23AD AC =， 因此，()()121333DG AG AD AB AC AC AB AC =-=+-=-. 【点睛】本题考查利基底表示向量，应充分利用平面几何中一些性质，将问题中所涉及的向量利用基底表示，并结合平面向量的线性运算法则进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =++，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最小值和取得最小值时x 的取值. 【答案】（1）π；（2）当()4x k k Z ππ=-+∈时，()min 0f x =.【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式将函数()y f x =的解析式化简得()1sin 2f x x =+，再利用周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期； （2）由()222x k k Z ππ=-+∈可得出函数()y f x =的最小值和对应的x 的值.【详解】（1）()22sin 2sin cos cos 1sin 2f x x x x x x =++=+，因此，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=； （2）由（1）知，当()22x k k Z ππ=-+∈，即当()4x k k Z ππ=-+∈时，函数()y f x =取到最小值()min 110f x =-=.【点睛】本题考查利用二倍角公式化简，同时也考查了正弦型函数的周期和最值的求解，考查学生的化简运算能力，属于基础题.19.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.【答案】（13cos 1A C -=；（2）14. 【解析】 【分析】（1）在ABD ∆和BCD ∆中分别对BD 使用余弦定理，可推出A 与C 的关系，即可得出3cos A C -是一个定值；（2）求出2212S S +表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出2212S S +的最大值.【详解】（1）在ABD ∆中，由余弦定理得2412831683BD A A =+-=-， 在BCD ∆中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，168388cos A C -=-， 则)83cos 8A C -=，3cos 1A C -=；（2）1122S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=，则()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C AC +=+=-+， 由（11cosA C =+，代入上式得：)22222121612cos 4124cos 12S S A A A A +=---=-++，配方得：2221224cos 14S S A ⎛+=--+ ⎝⎭， ∴当arccos 6A =时，2212S S +取到最大值14.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知()()1,n n A A n n n N*+=∈.（1）求122334A A A A A A ++的坐标； （2）设()11n n b A A n N*+=∈，求数列{}nb 的通项公式；（3）设111,22n n a a B B +--⎛⎫=⎪⎝⎭，()21122n n a C C n N *+⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，其中a 为常数，1a ≥，求()112111lim 1n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++⋅++的值.【答案】（1）()1223346,6A A A A A A ++=；（2）22,22n n n n n b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭； （3）当1a =-时，()112111lim 21n n n n n n n n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++=-⋅++；当1a =或1a >时，()112111lim 01n n n n n nn n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++=⋅++.【解析】【分析】（1）利用题中定义结合平面向量加法的坐标运算可得出结果；（2）利用等差数列的求和公式和平面向量加法的坐标运算可得出数列{}n b 的通项公式；（3）先计算出()1121111n n n n n n n n A A B B a A AC C n ++++⋅++⋅++的表达式，然后分1a =、1a =-、1a >三种情况计算出()112111lim1n n n n n nn n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++⋅++的值.【详解】（1）由题意得()()122334123,1236,6A A A A A A ++=++++=； （2）()112231=123,123n n n n n b A A A A A A A A n n ++==+++++++++++22,22n n n n ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（3）()112111111n n n n n n n n n a a A A B B a A A C C n ++++-++⋅++=⋅++①当1a =时，()1121112limlim011n n n n n n nn n n A A B B a n A AC C n ++→∞→∞++⋅++==+⋅++； ②当1a =-时，()112111222limlimlim 2111011n n n n n n n nn n n A A B B a n n A AC C n n++→∞→∞→∞++⋅++---====-++⋅+++； ③当1a >时，()()211211211111limlim0111n n n n n n n n n n n a a n a a A A B B a n n A A C C n n n++→∞→∞++-++-++⋅++===⋅++++.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查等差数列求和以及数列极限的运算，计算时要充分利用数列极限的运算法则进行求解，综合性较强，属于中等题.21.无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a 、2a 、、n a 中等于n a 的项的个数.（1）若12019a =，求2a 和4a 的值； （2）已知命题:P 存在正整数m ，使得12m ma a +=，判断命题P 的真假并说明理由； （3）若对任意正整数n ，都有2n n a a +≥恒成立，求1039a 的值.【答案】（1）21a =，42a =；（2）真命题，证明见解析；（3）1039520a =. 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出2a 、3a 、4a 的值，可得出结果； （2）分11a =和11a >两种情况讨论，找出使得等式12m ma a +=成立的正整数m ，可得知命题P 为真命题；（3）先证明出“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件，由此可得出11a =，然后利用定义得出()21n a n n N *-=∈，由此可得出1039a 的值.【详解】（1）根据题意知，对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a 、2a 、、n a 中等于n a 的项的个数，因此，21a =，31a =，42a =； （2）真命题，证明如下：①当11a =时，则21a =，32a =，41a =，此时，当2m =时，1322m m a a a a +==； ②当11a >时，设()12,a k k k N *=≥∈，则21a =，31a =，42a =，此时，当3n =时，1432m m a a a a +==. 综上所述，命题P 为真命题；（3）先证明：“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件. 假设存在()11,a k k k N*=>∈，使得“存在m N*∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”.则数列{}n a 的前21k -项为k ，211,1,2,1,3,1,4,,1,2,1,1,1,k k k k---项，212,2,3,2,4,2,5,,2,2,2,1,2,k k k k---项…，213,3,4,3,5,3,6,,3,2,3,1,3,,,k k k k ---项……，2,2,1,2,k k k k k k----项，1,1,,k k k k k--项，后面的项顺次为21,1,1,2,1,3,,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k++---+--项…，22,1,2,2,2,3,,2,2,2,1,2,k k k k k k k k k k+-+--+-+项…，23,1,3,2,3,3,,3,2,3,1,3,k k k k k k k k k k+--+-+-+项…，21,1,1,2,1,3,,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k++++-+--项…，故对任意的1,2,3,,2,1,s k k k =--…，t N *∈2212(1)2112(1)2k t k t k t k ta k ta s ++-+-+--+=÷⎧⎪⎨=⎪⎩， 对任意的m ，取12m t k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则2kt m >，令212n k kt =++，则n m >，此时n a k =，21n a += 有2n n a a +>，这与2n n a a +≤矛盾，故若存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立，必有11a =；从而得证. 另外：当11a =时，数列{}n a 为1,1,2,1,3,1,4,,1,1,1,,k k -……， 故()21n a n n N*-=∈，则1039520a=.【点睛】本题考查数列知识的应用，涉及到命题真假的判断，同时也考查了数列新定义问题，解题时要充分从题中数列的定义出发，充分利用分类讨论思想，综合性强，属于难题.。
2020-2021学年上海市金山中学高一下学期期中考试数学试卷 答案和解析
【最新】上海市金山中学高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知角α的终边过点(12,5)P -,则=αtan ． 2．若α是第一象限的角，则2α是第________象限的角． 3．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ． 4．若，则_______． 5．已知，，则=__________．6．在数列中，，则 ．7．在△ABC 中，若222sin sin <sin C A B +，则△ABC 的形状是 ____.8．已知函数()sin()cos(),f x a x b x παπβ=+++其中,,,a b αβ都是非零实数,且满足(2015)1f =-,则(2016)f =___________．9．已知函数4411()11sin cos f x x x ⎛⎫⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的最小值为 ． 10．函数()cos cos f x x x =-具备的性质有 ． （将所有符合题意的序号都填上）（1）()f x 是偶函数；（2）()f x 是周期函数，且最小正周期为π； （3）()f x 在[,]2ππ上是增加的；（4）()f x 的最大值为2．11．我们在高中阶段学习了六个三角比，则函数()sin cos tan cot sec +csc f θθθθθθθ=++++的最小值是_______________．12．已知,,αβγ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据 ①； ②222sin ,sin ,sin αβγ；③222cos,cos ,cos 222αβγ； ④tan,tan,tan222αβγ．分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是 ．二、单选题13．已知α是第二象限角，且3 sin()5πα+=-，则tan2α的值为（）A．45B．237- C．247- D．3-14．函数1(20)82sin()(0,0)32kx xyx xππωϕϕ+-≤<⎧⎪=⎨+≤≤<<⎪⎩的图象如图，则（）A．11,,226kπωϕ=== B．11,,223kπωϕ===C．11,,226kπωϕ=-== D．2,2,3kπωϕ=-==15．已知函数xxxfωωcossin)(+=，如果存在实数1x，使得对任意的实数x，都有)2014()()(11+≤≤xfxfxf成立，则ω的最小正值为（）A．20141B．2014πC．40281D．4028π16．在ABC∆中，,,A B C∠∠∠的对边分别记为,,(1)a b c b≠，且CA，sinsinBA都是方程log log(44)bbx x=-的根，则ABC∆（）A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形三、解答题17．化简：()()()sin-5cos cos823sin sin42πθπθπθπθθπ⎛⎫---⎪⎝⎭⎛⎫---⎪⎝⎭18．已知函数()()2cos sin cos1,f x x x x x R=-+∈．（1）求函数()f x的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的最大值及取得最大值时的x 的集合．19．如图所示，某建筑工地准备建造一间两面靠墙的三角形露天仓库堆放材料，已知已有两面墙CA 、CB 的夹角为60（即60ACB ∠=），现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米），为了使得仓库的面积尽可能大，记ABC θ∠=，问当θ为多少时，所建造的三角形露天仓库的面积最大，并求出最大值？20．某种波的传播是由曲线()sin()(0)f x A x A ωϕ=+>来实现的，我们把函数解析式()sin()f x A x ωϕ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“ A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波11()sin()f x x ϕ=+与22()sin()f x x ϕ=+叠加后仍是“1类波”，求12ϕϕ-的值； （2）在“A 类波“中有一个波是，从A 类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相ϕ都不同），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后是0y =，并说明理由．21．已知函数π()2sin 4f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P 为函数()f x 图象的最高点，Q 为函数()f x 的图象与x 轴的正半轴的交点．（1）求证：OPQ ∆为等腰直角三角形．（2）将OPQ ∆绕原点O 按逆时针方向旋转角π04αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，得到OP Q ''∆，若点P '恰好落在曲线2y x =()0x >上（如图所示），试判断点Q '是否也落在曲线2y x=()0x >上，并说明理由参考答案1．512-【解析】试题分析：由角的定义12,5x y =-=5tan 12y x α∴==- 考点：三角函数定义 2．第一或第三 【分析】根据α所在象限写出范围,然后求出2α的范围即可判断所在象限． 【详解】因为α是第一象限的角,所以22,2k k k Z ππαπ<<+∈,即有,24k k k Z απππ<<+∈,当k 为偶数时,2α是第一象限的角；当k 为奇数时,2α是第三象限的角； 故答案为第一或第三． 【点睛】本题主要考查象限角的集合． 3．2 【解析】试题分析：由题意可得：．考点：扇形的面积公式． 4．35- 【解析】试题分析：3sin 2cos 3tan 212322sin cos 2tan 1513αααααα++-+===-----考点：同角间三角函数关系 5．34-【解析】试题分析：3343sin()sin cos tan 5554παααα+=∴=-∴=∴=-考点：1．诱导公式；2．同角间三角函数关系 6．18 【解析】 试题分析：11232,36,18n na a a a a +==∴== 考点：数列递推公式 7．钝角三角形 【分析】由222sin sin sin A B C +<，结合正弦定理可得，222a b c +<，由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=可判断C 的取值范围 【详解】 解：222sin sin sin A B C +<，由正弦定理可得，222a b c +<由余弦定理可得222cos 02a b c C ab +-=<∴2C ππ<<ABC ∆∴是钝角三角形故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础题 8．1 【解析】试题分析：()(2015)1sin cos 12016sin cos 1f a b f a b αβαβ=-∴--=-∴=+= 考点：三角函数诱导公式 9．9 【解析】 试题分析：()()()()222244441sin 1sin 1cos 1cos 11()11sin cos sin cos x x x x f x x x x x +--+⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()222222sin cos 81sin cos sin 2x x x x x +==+，最小值为9 考点：三角函数基本公式 10．（1）（3）（4） 【详解】原函数可化为()f x =0,2222{()32cos ,2222k x k k Z x k x k ππππππππ-≤≤+∈-+<≤+，其图像如图所示， ，由图可知()f x 是偶函数；()f x 是周期为2π的周期函数；()f x 在[,]2ππ上是增函数；()f x 的最大值为2，故()f x 具有性质（1）（3）（4）.考点：1.函数的奇偶性、周期性、单调性及最值；2.数形结合思想. 11．min ()1f θ=【解析】 试题分析：sin cos 1()sin cos tan cot sec +csc sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθθθ++=++++=++设()22sin cos 1111t f t t t t t θθ⎡=+∈∴=+=-++⎣--()f t ∴最小值为1考点：1．同角间的三角函数关系；2．对勾函数 12．①③ 【解析】试题分析： 因为,,αβγ是某三角形的三个内角，由正弦定理可知，可作为三角形的三条边； 因为222111111coscos ,cos cos ,cos cos 222222222αβγαβγ=+=+=+，所以()()2221cos cos cos 1cos cos cos ,1cos cos cos 1cos cos cos 2222αβγαβγαβγαβαβ+-=++-++-=++++22coscos2cos 0222αβαβαβ+-+⎛⎫=+>⎪⎝⎭，所以222coscos cos 0222αβγ+->，同理可证222cos cos cos 222αβγ-<，故222cos,cos ,cos 222αβγ可作为三角形的三边.故答案为①③.考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 13．C 【解析】 试题分析：3343sin()sin ,cos tan 5554παααα+=-∴==-∴=-22tan 24tan 21tan 7ααα∴==-- 考点：1．诱导公式；2．同角间的三角函数关系式；3．二倍角公式 14．A 【解析】试题分析：由()()2,0,0,1-可知12k =，由图像可知18514,4332T T ππππω=-=∴==，代入点5,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭可知6πϕ=考点：1．函数图像；2．三角函数图像及性质 15．B 【解析】试题分析：)2014()()(11+≤≤x f x f x f 可知11,2014x x +处取得最小值和最大值，所以120142k T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1212014221007k k ππωω⎛⎫⎛⎫∴+=∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最小为2014π考点：三角函数最值与周期 16．B 【详解】loglog (44)bx =-变形为2sin 44222,sin C Bx x x C A A A=-∴=∴==∴= sin 2sin 2B A b a =∴=，222222sin sin 22sin cos 22b c a C A A A c a c a c b bc+-==∴=⨯∴=∴+=三角形为直角三角形 17．sin θ- 【解析】试题分析：本题主要考察正余弦函数的诱导公式，在正确记忆公式的前期下化简即可 试题解析：原式sin(4)(sin )cos()(sin )(sin )cos sin cos (sin )cos (sin )θππθθθθθθθθθθ------===---考点：诱导公式 18．（1）388k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，（）；（2） |24x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（），()g x 的最大值为.【详解】（1）先化简()2cos (sin cos )1sin 2cos 224π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭f x x x x x x x ，再由()222242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈即得()f x 递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由已知()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解：（1）()2cos (sin cos )1sin 2cos 224π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭f x x x x x x x ，当222,()242πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，即3,()88ππππ-≤≤+∈k x k k Z ， 因此，函数()f x 的单调递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）由已知，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴当4sin 14π⎛⎫+= ⎪⎝⎭x 时，即242πππ+=+x k 则2()4ππ=+∈x k k Z，max ()g x =∴ 当2(),()4∣ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭xx k k Z g x. 19．当60θ=时，所建造的三角形露天仓库的面积最大且值为 【解析】试题分析：先利用正弦定理将边AC 、BC 表示成θ的代数式，然后利用三角形的面积公式将ABC ∆的表示成θ的三角函数，并借助和差角公式二倍角公式以及辅助角公式对三角函数解析式进行化简，并注意角θ的取值范围，于是将问题转化为三角函数在定区间上的最值问题，利用整体法求解即可.在ABC ∆中，由正弦定理：2sin sin sin 33AC AB BCππθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得：AC θ=，3BC πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以1sin 23ABC S AC BC π∆=⋅⋅1sin sin 32πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)21cos 2sin cos 222θθθθθ⎫-=+=+⎪⎪⎭1sin226πθ⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎦，即22063ABCSππθθ∆⎛⎫⎫=-+<<⎪⎪⎝⎭⎭，所以当262ππθ-=，即3πθ=时，()maxABCS∆=答：当60θ=时，所建造的三角形露天仓库的面积最大且值为.考点：1.正弦定理；2.三角形的面积；3.三角函数的最值20．（1）1222,3k k Zπϕϕπ-=±∈（2）2324()sin(),()sin(),33f x A x f x A xππ=+=+【解析】试题分析：（1）将两函数式相加化简找到最大值为1，建立关于12,ϕϕ的关系式，进而求得角12ϕϕ-的大小；（2）中首先设出所找的波，采用待定系数法，将三个不同的波叠加化简后与0y=对比，找到满足的条件，求出对应的ϕ值，从而确定所求的波试题解析：（1）1212()()sin()sin()f x f x x xϕϕ+=+++1212(cos cos)sin(sin sin)cosx xϕϕϕϕ=+++=1=，即121cos(),2ϕϕ-=-所以1222,3k k Zπϕϕπ-=±∈（2）设2132()sin(),()sin(),f x A x f x A xϕϕ=+=+则12312()()()sin sin()sin()f x f x f x A x A x A xϕϕ++=++++=1212sin(1cos cos)cos(sin sin)0A x A xϕϕϕϕ++++=恒成立则12121cos cos0{sin sin0ϕϕϕϕ++=+=，消去2ϕ可得11cos2ϕ=-若取12,3πϕ=可取243πϕ=（或223πϕ=-等）此时12312()()()sin sin()sin()0f x f x f x A x A x A xϕϕ++=++++=是平波考点：1．三角函数式的化简；2．三角函数求最值21．（1）详见解析（2）点Q '不落在曲线上【详解】（1）因为函数()2sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期2π8π4T ==， 所以函数()f x 的半周期为4， 故4OQ =． 又因为P 为函数()f x 图象的最高点，所以点P 坐标为()2,2，故OP =，又因为Q 坐标为(4,0)，所以， 所以222OP PQ OQ +=且OP PQ =，所以OPQ ∆为等腰直角三角形. （2）点Q '不落在曲线2y x =()0x >上. 理由如下：由（Ⅰ）知，OP =4OQ =所以点P ',Q '的坐标分别为44ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,(4cos ,4sin )αα， 因为点P '在曲线2y x=()0x >上， 所以π28cos sin 4sin 24cos 2442ππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即1cos22α=，又02πα<<，所以sin 22α=.又4cos 4sin 8sin 282ααα⋅===≠. 所以点Q '不落在曲线2y x=()0x >上．。
上海市2020-2021年高一下学期数学期末考试卷
高一下期末考试卷一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分） 1．方程组{2x +y −1=03x −2y =0对应的增广矩阵为 ．2．若在行列式|3a 50−41−213|中，元素a 的代数余子式的值是 ．3．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝ ． 4．函数f （x ）＝2cos （x +π3）﹣1的对称轴为 ，最小值为 ． 5．方程3sin x ＝1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为 ． 6．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为 ．7．用数学归纳法证明（n +1）（n +2）…（n +n ）＝2n •1•3…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从“n ＝k ”到“n ＝k +1”的证明，左边需增添的代数式是 ． 8．若无穷等比数列{a n }的各项和等于a 12，则a 1的取值范围是 ．9．已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝2a n +1+3•2n +1，数列{an2n }的前n 项和为 ．10．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n ＝2011，则n ＝ ．11．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n +1，记数列{a n ﹣kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n （n ∈N *）恒成立，则实数k 的取值范围为 ．12．数列{a n }满足a n +1+（﹣1）n a n ＝2n ﹣1，则{a n }的前60项和为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．将函数y ＝sin （x −π3）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．y=sin12x B．y=sin(12x−π2)C．y=sin(12x−π6)D．y=sin(2x−π6)14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏15．若S n＝sinπ7+sin2π7+⋯+sin nπ7（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．10016．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，a99−1a100−1＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．已知：f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期（2）若f（x）在[−π6，π4]上最大值与最小值之和为3，求a的值．18．如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？19．已知集合C＝{（x，y）|xy﹣3x+y+1＝0}，数列{a n}的首项a1＝3，且当n≥2时，点（a n﹣1，a n）∈C，数列{b n}满足b n=11−a n．（1）试判断数列{b n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若limn→∞(sa n+tb n)=1（s，t∈R），求s t的值．20．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列{√b n}是等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅰ）设S n=1a1+1a2+⋯+1a n，如果对任意正整数n，不等式2aS n＜2−b na n恒成立，求实数a的取值范围．21．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为三角形”数列对于“三角形”数列{a n}，如果函数y＝f（x）使得b n＝f（a n）仍为一个三角形”数列，则称y＝f（x）是数列{a n}的“保三角形函数，”（n∈N*）（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（k）＝k2，（k＞1）是数列{a n}的保三角形函数”，求k的取值范围；（2）已知数列{c n}的首项为2019，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n﹣3S n ﹣1＝8076，证明{c n}是“三角形”数列（3）求证：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55．一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分）1．[2113−20]．2．2．3．15√344．x=kπ−π3(k∈Z)；﹣3．5．π6或5π6．6．[−π3，π4]．7．2（2k+1）．8．(12，1)∪(1，+∞)．9．3n2﹣2n．10．102811．73≤k≤125．12．∵a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+15×142×16）＝1830二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．C14．B15．C16．B三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）=√3sin2x+cos2x+1+a＝2sin（2x+π6）+1+a，（1）∴f（x）的最小正周期T=2πω=2π2=π；（2）∵x∈[−π6，π4]，∴2x+π6∈[−π6，2π3]；当2x+π6=−π6时，即x=−π6，f（x）取得最小值为2sin（−π6）+1+a＝a当2x+π6=π2时，即x=π6，f（x）取得最大值为2sin（π2）+1+a＝a+3∵最大值与最小值之和为3，∴a+3＝3，∴a＝0故a的值为0．18．在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，∴A＝15°，由正弦定理知：BCsinA =ACsinB，∴30sin15°=ACsin30°，∴AC=30sin30°sin15°=60cos15°=15√6+15√2，…（6分）∴A到B B C所在直线的距离为AC⋅sin45°=(15√6+15√2)⋅√22=15(√3+ 1)≈40.98＞38（海里），∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…19．（1）∵当n≥2时，点（a n﹣1，a n）恒在曲线C上，∴a n﹣1a n﹣3a n﹣1+a n+1＝0 （1分）由b n=11−a n得当n≥2时，b n﹣b n﹣1=11−a n −11−a n−1=a n−a n−11−a n−a n−1+a n a n−1=a n−a n−1−2a n+2a n−1=−12∴数列{b n }是公差为−12的等差数列． （2）∵a 1＝3，∴b 1=11−a 1=−12，∴b n =−12+（n ﹣1）•（−12）=−12n ，（6分） ∴−12n =11−a n，则a n ＝1+2n∴s a n+tb n=−s 2n+t−(1+2n)−12n(1+2n)=−sn 22+tn+2t −12n 2−n ，由lim n→∞(sa n+t b n)=1（s ，t ∈R ），可得s ＝1，s t ＝1．20．（Ⅰ）由已知，得2b n ＝a n +a n +1①，a n +12＝b n •b n +1②．由②得a n+1=√b n b n+1③．将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2b n =√b n−1b n +√b n b n+1． 即2√n =√b n−1+√b n+1． ∴{√b n }是等差数列．（Ⅰ）设数列{√b n }的公差为d ， 由a 1＝10，a 2＝15．经计算，得b 1=252，b 2=18．∴√b 1=52√2，d =√b 2−√b 1=3√2−52√2=√22． ∴√b n =52√2+(n −1)⋅√22=√22(n +4)．∴b n =(n+4)22，a n =(n+3)(n+4)2．（9分） （Ⅰ）由（1）得1a n =2(n+3)(n+4)=2(1n+3−1n+4)．∴S n =2[(14−15)+(15−16)++(1n+3−1n+4)]=2(14−1n+4)．不等式2aS n ＜2−b n a n化为4a(14−1n+4)＜2−n+4n+3．即（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8＜0．设f （n ）＝（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8，则f （n ）＜0对任意正整数n 恒成立． 当a ﹣1＞0，即a ＞1时，不满足条件；当a ﹣1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a ﹣1＜0，即a ＜1时，f （n ）的对称轴为x =−3(a−2)2(a−1)＜0，f （n ）关于n 递减，因此，只需f （1）＝4a ﹣15＜0．解得a ＜154，∴a ＜1． 综上，a ≤1．21．（1）显然a n ＝n +1，a n +a n +1＞a n +2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列．（2分）因为k ＞1，显然有f （a n ）＜f （a n +1）＜f （a n +2）， 由f （a n ）+f （a n +1）＞f （a n +2）得k n +k n +1＞k n +2，解得k ＜1+√52．所以当k ∈（1，1+√52）时，f （x ）＝k x 是数列{a n }的“保三角形函数”．（2）由4S n +1﹣3S n ＝8076，①当n ≥2时，4S n ﹣3S n ﹣1＝8076，②，①﹣②得4c n +1﹣3c n ＝0，则 所以c n+1c n=34当n ＝1时，即4（a 1+a 2）﹣3a 1＝8076，解得：a 2=60574，所以a 2a 1=34所以数列{c n }是以2019为首项，以34为公比的等比数列， 所以，c n ＝2019（34）n ﹣1，（7分）显然c n ＞c n +1＞c n +2，因为c n +1+c n +2＝2019 （34）n +2019（34）n +1=2116•2019（ 34）n ﹣1＞c n ，所以{c n }是“三角形”数列．（3）证明：函数h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是数列1，1+d ，1+2d （d ＞0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d （d ＞0）是三角形数列，所以1+1+d ＞1+2d ，即0＜d ＜1． ②数列中的各项必须在定义域内，即1+2d ≤A ． ③h （1），h （1+d ），h （1+2d ）是三角形数列．由于h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是单调递减函数，所以h （1+d ）+h （1+2d ）＞h （1），解得0＜d ＜√55．所以函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三．角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55。