2018高考数学专题复习-三角换元法
基本不等式三角换元法
基本不等式三角换元法
基本不等式是数学中重要的不等式之一，可以用于求解各种数学问题。
在解决一些特殊的不等式时，可以使用三角换元法来转化原不等式为基本不等式，从而得到更简单的解法。
三角换元法是指将不等式中的变量用三角函数进行替换。
一般地，我们可以将不等式中的正弦、余弦、正切等三角函数替换为一个新变量，然后运用三角函数的性质进行简化和变形，最终得到基本不等式形式的不等式。
常用的三角换元有以下几种：
1. 令 $x = sin t$ 或 $x = cos t$，其中 $t in
[0,frac{pi}{2}]$。
2. 令 $x = tan frac{t}{2}$，其中 $t in [0,pi)$。
3. 令 $x = cot frac{t}{2}$，其中 $t in (0,pi]$。
使用三角换元法可以将一些复杂的不等式转化为简单的形式，进而求解。
例如，对于不等式 $frac{sin x}{x} geq cos x$，我们可
以令 $x = sin t$，得到 $frac{t}{sin t} geq cos t$，再由基本
不等式得到 $frac{t}{sin t} geq 1$，进而得到 $t geq sin t$，
这是显然成立的，因此原不等式成立。
需要注意的是，在使用三角换元法时，需要注意选取合适的三角函数，并注意特殊情况的处理，比如分母为 $0$ 的情况等。
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高中三角换元法例题
高中三角换元法例题
三角换元法是微积分中的一个重要概念，通常用于解决一些复杂的三角函数积分问题。
下面我将用更多的字数从多个角度来解释高中三角换元法的例题。
假设我们有一个例题，求积分∫sin^3(x)cos(x)dx。
首先，我们可以利用三角换元法，令u = sin(x)，那么du = cos(x)dx。
然后我们可以将原积分转化为∫u^3du，这个积分就变得更容易求解了。
通过对u^3进行积分，我们得到 (1/4)u^4 + C，其中C为积分常数。
最后再将u用sin(x)代回去，得到最终的结果为 (1/4)sin^4(x) + C。
另外，三角换元法也可以用于解决一些三角函数的恒等式证明问题。
例如，我们要证明恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
我们可以利用三角换元法，令u = sin(x)，那么√(1 u^2) = cos(x)，然后将u和√(1 u^2)代入恒等式中进行变形，最终可以得到等式成立的证明。
除此之外，三角换元法还可以用于解决一些三角函数的微分方
程问题和一些三角函数的级数展开问题。
在高中数学中，三角换元
法的应用虽然不太常见，但是了解和掌握这个方法对于理解微积分
和三角函数的关系是非常有帮助的。
综上所述，高中三角换元法是微积分中的一个重要概念，通过
这个方法可以解决一些复杂的三角函数积分问题，恒等式证明问题，微分方程问题和级数展开问题。
掌握三角换元法可以帮助我们更深
入地理解三角函数和微积分的联系，从而更好地应用这些知识解决
实际问题。
三角换元法
三角换元法三角换元法，又称三角代换法，是一种在积分中常用的方法。
在数学中，三角换元法是一种通过三角函数代换，将积分式子中的根号表达式转化为更容易求解的三角函数的方法。
这种方法在解决一些较为复杂的积分问题时，特别是涉及根号式的积分问题时显得格外有效。
基本思路三角换元法的基本思路是将不易处理的根号表达式通过三角函数的代换转化为含有三角函数的形式。
具体来说，我们会根据被积函数的结构选择合适的三角函数代换，常用的代换有正弦、余弦和正切。
步骤下面以一个简单的例子来演示三角换元法的步骤：假设我们需要求解如下积分：$$\\int \\frac{1}{\\sqrt{4-x^2}} dx$$1.首先，我们观察到被积函数中含有根号表达式，于是我们尝试采用三角换元法。
对于这类问题，常用的代换是 $x = 2\\sin{\\theta}$，因为根号内的表达式可以转化为 $\\cos{\\theta}$ 形式。
2.接下来，我们需要将dx转换为关于 $\\theta$ 的微分形式。
由 $x =2\\sin{\\theta}$，对其两边求导可得 $dx = 2\\cos{\\theta}d\\theta$。
3.将代换 $x = 2\\sin{\\theta}$ 和 $dx = 2\\cos{\\theta}d\\theta$ 带入原积分式，将被积函数转换为含有 $\\theta$ 的形式：$$\\int \\frac{1}{\\sqrt{4-(2\\sin{\\theta})^2}} \\cdot2\\cos{\\theta}d\\theta $$4.进行简化和化简计算，然后求解出 $\\int \\frac{1}{\\sqrt{4-(2\\sin{\\theta})^2}}$。
5.最后，将得出的结果用 $\\theta$ 的函数形式表示，即将$\\theta$ 的结果重新转化回x的形式，得到最终的积分结果。
总结三角换元法是一种在积分中经常使用的方法，适用于处理含有根号表达式的积分问题。
三角换元求积分例题
三角换元求积分例题当我们遇到某些复杂的积分问题时，可以尝试使用三角换元法来简化计算。
三角换元法是一种常用的积分方法，通过引入三角函数的关系，将原本复杂的积分转化为简单的三角函数积分。
下面以一个例题来说明三角换元法的应用。
例题，计算积分∫(x^2) √(1 x^2) dx.解答：1. 首先我们观察到根号下的表达式 1 x^2，这是一个典型的单位圆上的三角函数关系。
我们可以引入三角函数来进行换元。
令x = sinθ，那么dx = cosθ dθ。
同时，根据三角恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1，可以得到1 x^2 = cos^2θ。
2. 将 x 和 dx 用θ 表示后，原积分变为∫(sin^2θ) (cosθ) (cosθ) dθ。
3. 接下来，我们对新的积分进行简化。
注意到sin^2θ = (1 cos^2θ)，我们可以将原积分拆分为两个部分：∫((1 cos^2θ) cos^2θ) dθ = ∫(cos^2θ cos^4θ) dθ。
4. 对于第一项∫(cos^2θ) dθ，这是一个常见的三角函数积分，可以直接求解。
根据三角函数积分公式，我们有∫(cos^2θ)dθ = (θ/2) + (sin2θ/4) + C1，其中 C1 是积分常数。
5. 对于第二项∫(cos^4θ) dθ，这是一个稍微复杂一些的积分。
我们可以使用化简公式来简化计算。
根据化简公式cos^4θ = (1 + cos2θ)/2 (1 + cos2θ)/2，我们可以将其拆分为两个积分：∫((1 + cos2θ)/2 (1 + cos2θ)/2) dθ = (1/4) ∫((1 + cos2θ)^2) dθ。
6. 对于新的积分∫((1 + cos2θ)^2) dθ，我们可以展开并进行计算。
展开后的积分表达式较长，这里不再赘述，但是可以使用常见的三角函数积分公式来求解。
7. 最后，将第一项和第二项的积分结果相加，即可得到原积分的最终结果。
万能三角换元公式
万能三角换元公式在我们学习数学的旅程中，有一个神奇的工具，那就是万能三角换元公式。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开很多复杂数学问题的大门。
先来说说什么是三角换元公式吧。
简单来说，就是把一个代数表达式，通过巧妙地引入三角函数，将其转化为一个更易于处理和分析的形式。
比如说，我们遇到了一个式子 x^2 + y^2 = 1，这时候就可以令 x = cosθ，y = sinθ，一下子就把这个代数方程变成了我们熟悉的三角函数形式。
我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这能有啥用啊？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一起来看看。
”然后我就给他们出了一道题：求函数y = √(1 - x^2) 的值域。
这要是直接去求解，可能会觉得有点头疼。
但是如果我们用三角换元，令 x = sinθ，那么这个函数就变成了y = √(1 - sin^2θ) = cosθ。
而cosθ的值域是[-1, 1]，答案一下子就出来啦！当时看到学生们恍然大悟的表情，我心里特别有成就感。
再比如说，在解决一些复杂的积分问题时，万能三角换元公式也能大显身手。
比如求∫(1 / √(1 - x^2))dx，这时候令x = sinθ，dx = cosθdθ，经过一系列的化简和计算，就能得出最终的结果。
而且呀，三角换元不仅仅在数学解题中有用，它在实际生活中也有它的影子呢。
想象一下，我们在设计一个圆形的花坛，要计算花坛边缘某一段的长度。
如果我们把这个圆形的方程写出来，然后通过三角换元去分析，就能更轻松地得到我们想要的结果，从而合理规划花坛的布局。
在学习万能三角换元公式的过程中，大家可千万不能死记硬背。
要多去理解它背后的原理，多做一些练习题来巩固。
总之，万能三角换元公式是我们数学学习中的一个得力助手，只要我们善于运用它，就能在数学的海洋中畅游，解决一个又一个难题，感受数学的魅力！希望同学们都能和这个神奇的公式成为好朋友，让它帮助我们在数学的道路上越走越远！。
(完整word)2018年高考数学总复习三角恒等变换
tan 22 tan 1 tan降次（幕）公式12sin cos sin 2 ;sin2 半角公式 1 cos 2 2 ------------ ;cos1 cos 2---1 cos sin ;cos一 2. 221 cos------ ;第三节三角包等变换考纲解读会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式 .能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦， 余弦，正切公式，导出二倍角的正 弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系.能利用上述公式进行简单的包等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式, 但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具 分值与题型稳定，属中下档难度.考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主.化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，包等变换（化同角同函） . 知识点精讲常用三角包等变形公式 和角公式sin( ) sin cos cos sin差角公式cos( ) cos cos sin sin倍角公式 sin 2 2sin cos2. 222cos2 cos sin 2cos 1 1 2sincos(cos cos sin sin tan(tan tan 1 tan tansin()sin cos cos sintan(tan tan 1 tan tan1 cos . sin aJa 2 b 2 sin( ),tan b(ab 0),角 的终边过点(a,b),特殊a地,若 a sin bcos . a 2 b 2 或.a 2 b 2 , 则 tan —. a 常用的几个公式 sin cos 、. 2 sin( sin .32 cos 2sin( 3' \ 3 sin cos 2sin(—); 6题型65 两角和与差公式的证明 题型归纳及思路提示 思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式， 通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路 . 例4.33 证明⑴ C : cos( ) cos cos sin sin ;⑵用C 证明 S : sin( ) sin cos cos sin解析(1)证法一：如图4 — 32 (a)所示，设角 P(cos .sin ), P 2(cos(),sin(__ 2 __________2________ 2____ ________PP 2OP 1 OP 22OP 1 OP 2cos()r/、■12 r.■ ,、r2 八 八 ,、[cos cos( )] [sin sin( )] 2 2cos( )2 2(cos cos sin sin ) 2 2cos( ) C : cos( ) cos cos sin sin . 证法二：利用两点间的距离公式.如图 4 —32 (b)所示 A(1,0), P 1(cos ,sin ), P 2(cos(),sin( ),x sin tan- ------- 2 1 cos辅助角公式 a sin bcos⑶用(1)(2)证明T ：tan(tan tan 1 tan tan的终边交单位圆于)),,由余弦定理得P 3(cos( ),sin()),由 OAP 2OP 3用得,AP 2.故sin cos cos sincos cos cos cos T:tan( )tan tan cos cos sin sin1 tan tancos cos coscos发式1证明：⑴C :cos( )cos cos sin sin ⑵S:sin()sin coscos sin(3)T : tan( tan tan题型66化简求值 思路提示三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等 .(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先 将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件， 或将所求函数式变形为 可使用条件的形式.. ,(1 cos( ))2 (0 sin( ))2 [1 cos( )]2 sin 2() cos 2化简得 cos( ) cos cos sin.[cos()cos ]2[sin( ) 12 sin ],即2 cos2cos cos sin 2二一 2sin 2sin ) 2] cos 1( 2)]cos cos( —) sin sin( cos sin sin cos 7)S : sin((3) tan(\ sin( sin cos cos sin )cos()coscossin sinsinsin(2)sin( )cos[( )sin cos cos sin(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将 待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是 解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互 关系，并根据这些关系来选择公式.(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数D.竺25解析解法一：化简所求式所以2sin xcosx 2.故选A .25解法二：化简所求式2sin 2x 2sin x 八. .八---- 2sin xcosx sin 2x .— . _ 一 2. . 7 sin[2(一 x) —] cos2(一 x) 1 2cos (一 x)—.故选A.4 2 4 4 25评注 解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了 化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构 造法较为简单.1 、 3 … 变式 1 右 cos( ) 一 ,cos( )一,则 tan tan . 5 51 tan —是第三象限角，则 1 2(51 tan —1B. C.2 D. 22值，再确定“所求角” 一、化同角同函 的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角 例4.34 已知cos(— 4x) 9则5 2sin 2x 2sin x 1 tan x A.— 25B.” 252sin 2x 2sin x2sin xcosx 22sin x1 tan x( sin x 1 --------cosx 2sin x(cosx、 cos xsin x) ---------------- 2sin xcosx.cosx sin x由 cos(— x)43得立cosx 匹sinx 5 2 23,即 cos x5sinx 32,两边平方得5 ___ 22cos x sin x 1852sin xcosx ——,即 1252sin xcosx 18 251 tan x变式2 若cos2、建立已知角与未知角的联系(通过凑配角建立)将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解分析 建立未知角与已知角的联系， ()故选C .评注 利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系,常利用以下技巧:( )； ( )； ( )( )等.解题时，要注意根据已 知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号3变式 2 右 (一，一),(0, —),cos( 4 44sin( ) . 、辅助角公式变换变式1 已知sinA.5-12J 5一,sin( 5B.. 3)叁0,,(0,-)则().10 2C.-D.一 46 变式31(2012江西理4)若tan — 1 B.— 4 tan1 C.- 3 4 ,贝tj sin2 (). 1 D.—2 题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系, 并根据这种关系来选择公 工】.常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角, 1.和、差角变换降幕，诱导等如可变为( );2可变为()()；2 可变为( 例4.35 若0A. 1B. 21或工25,cos C. 3一,sin(5 24253-,则cos 的值为( 5 D.马25解析解法一：cos cos[()]cos()cos sin( )sin .因为 cos(2,3所以，则cos(4) -,(0,-),sin八. 4 0, sin一 5,5) 3 (5) 524 25解法二：因为 (-,),所示 cos ( 1,0). 23 3 )一,sin (一45 4)也，则 132.5B. -----5分析将已知式化简,找到与未知式的联系. (4)一、，(9] sin( 丁 5 .故选 C .B.a b分析 利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解 .解析解法一：；因为 sin cos ■所以（sin cos ）23… 2 2得2sin cos -,即sin 2'.又因为 为弟一象限角且解析由题意，cos cos — sin sin — sin 6 64.35..3 ——cos23 — sin 2、.3sin(-)4」3-- ,4寸sin( 5 变式1设sin14o cos14o ,bsin16o cos16o ,c 亚，则a,b,c 的大小关系为2A.a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. b<a<c变式2设sin15o cos15o ,b sin17o cos17o ,则下列各式中正确的是（Cb2,2a b 2Db a2,2a b 2降幕（次）变换例 4.37 （2012大纲全国理7) 已知为第二象限角, sin coscos2 ().A. 3B.9C .- 9D- 3例4.36 已知cos(4 3 sin5 ,则 sin(）的值为（C. D.- 5所以sin （7、 - r—)sin[A. asin cos.3T °.E 3则(2k-,2k -)(k Z). (4k ,4k33")(k Z).故2为第三象限角,cos 2 (3)2 正.故选A.3解法二：由为第二象限角，得cos 0,sin 0 cos sin 0,且(cos sin )2 1 2sin cos cos ,3 32(sin cos ) 2sin cos 2sin cos ,得(cos sin )2所以cos sincos2 2cos sin2 (cos sin )(cos sin变式1(J 3,59.故选A.3若sin( 一6A. 79 B.变式2 (2012江苏变式3已知sin(2 变式4若sin1 (2)-则cos(—3 3C.3).D.7911)设为锐角，若cos(一)64 …一，则sin(2577)的值省、3 .)-,sin57 ),tan(A 24 A.—7 B.72412 上且13)2Ca7 贝(Jtan(变式5已知sin cos (0.9, 4.诱导变换例4.38 若 f (sin x) 3 f (cosx)A.3 cos2xB.3 sin 2x(—,0),求sin 值. 22)().D.— 24cos2则^sin(-)( ).C.3 cos2xD.3 sin2x分析 化同函f (cosX) f(sin(L ))以便利用已知条件. 解析解法一：f (cos x) f[sin(x —)] 3 cos2(x —) 3 cos(2x ) 3 cos2x. 故选C .解法二：f(sinx) 3 cos2x 3 (1 2sin 2 x) 2sin 2 x 2 贝^ f (x) 2x 2 2, x [ 1,1]故 f(cosx) 2cos 2x 2 2cos 2x 1 3 cos2x 3.故选C .4变式1 是第二象限角,tan( 2 ),，则tan .cos25 一 ---------变式 2 右 sin (一 ) 一, (0,1)，则 / 、4 13 2 cos( )4最有效训练题19 (限时45分钟)A, B 是图像与x 轴的交点，则tan APB ().、一- -84 A.10 B .8 C.-D.-7 76 .函数y sin x 3的最大值是().cosx 4 八 1 「12 2.6 八4 「12 2.6 A. -B. ---------------C.- D. -------------- 2153 151 .已知函数 f (x) sin x 3cos x,设 a f (—),b f (—),cf (-)，则a,b,c 的大小 3关系为(A. a<b<c 2 .若sin( 一 3A 」 4 B. c<a<b1一,则 cos (一 4 3 B. 14 C.C. b<a<cD. b<c<a3 .若 tan 则 cos(2 ). ). D.7 84 A.- 54 .已知tan(A.—44 B.一5 、1 )-,tan 2 B.24 1 C.- 2(0, ),D.).5.函数 y sin(x )(C.UD.0)的部分图像如图 4- 33所示，设P 是图像的最高点,7 .已知 tan(— ) 3 .贝［J sin 2 2cos 3 4 54… … 1 sin x sin y 一8 .已知x, y 满足 6,贝ij cos(x1cosx cosy 一51 tan tan9 J3tan10o 1 .(4cos 210o 2)sin10o4 13 .10.已知 cos 一,cos( ) 一，且 0 7 1411.已知函数 f(x) 2cos2 - V3sin x.5(1)求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)若 是第二象限角，且f(-)］，求—— ---------------- 的值. 631 cos2 sin 23 12.已知二点 A(3,0), B(0,3), C(cos ,sin ),(-,一).2 2 uuir uuir(1)若AC BC ,求角 ；c • 2. c2sin sin 21 ,求 --------------- 的值.y)贝(J tan 2.lur uuir(2)若 AC BC1 tan。
三角函数万能换元公式
三角函数万能代换公式：(sinα)²+(cosα)²=11+(tanα)²=(secα)²1+(cotα)²=(cscα)²万能公式包括三角函数、反三角函数等。
万能公式可以把所有三角函数都化成只有tan(a/2)的多项式。
将sinα、cosα、tanα代换成含有tan(α/2)的式子，这种代换称为万能置换的代换公式。
万能公式架起了三角与代数间的桥梁。
(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式，只需将一式，左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC三角形面积公式三角形面积公式是指使用算式计算出三角形的面积，同一平面内，且不在同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，符号为△。
常见的三角形按边分有等腰三角形（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）、不等腰三角形；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
正弦公式正弦公式是描述正弦定理的相关公式，而正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出：在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
几何意义上，正弦公式即为正弦定理。
海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。
它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。
表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，便于记忆。
相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。
中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。
二倍角公式二倍角公式是数学三角函数中常用的一组公式，通过角α的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。
平面向量中的三角换元法
平面向量中的三角换元法
平面向量中的三角换元法是一种常用的计算方法，主要用于简化向量的运算和求解。
其基本思想是将一个向量用另外两个已知向量的线性组合表示出来，通过对其进行代数变换，最终得到所需的结果。
具体来说，假设有两个已知向量a和b，以及一个待求向量c，我们可以用a和b来表示c，即c=xa+yb（其中x和y为待求系数）。
接下来，我们可以将c表示成另外一组向量的线性组合，例如c=pa+qb （其中p和q为待求系数）。
将这两个表达式相等并联立求解，就可以得到x、y、p和q的值，从而得到c向量的具体表达式。
需要注意的是，在使用三角换元法时，我们要选择合适的已知向量a和b，并且保证它们不共线，否则可能会出现无解的情况。
同时，我们还需要注意计算的精度，特别是在使用浮点数时，避免因精度误差而导致计算结果错误。
总之，平面向量中的三角换元法是一种十分实用的计算方法，可以帮助我们简化向量的运算和求解，提高计算效率和准确性。
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三角换元法
摘要：本文归纳总结了三角换元法的基本用法，以常见例题的形式讲述了三角换元法在解题过程中的具体应用。
大家知道，换元法的实质是通过换元将原来比较复杂的、非标准的形式转化为简单的、标准的形式，以利于揭示问题的本质、题目的分析和解决。
三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用。
一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索。
具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式c bx ax ++2总是可以转化为22t k -、t k +2或22k t -的形式，其中t 为变量，k 为非负常量。
现对于此类问题归纳如下：
1．形如),(22x a x f y -=的形式，其中f 是x 和22x a -的代数函数。
令)22,0(,sin ππ≤≤-
>=t a t a x 此时，[]a a x ,-∈或令),0,0(,cos π≤≤>=t a t a x
同理[]a a x ,-∈， 2．形如),(22a x x f y +=的形式，其中f 是x 和22x a +的代数函数。
令),22,0(,tan ππ<<-
>=t a t a x 此时，),(+∞-∞∈x 或令),0,0(cot π<<>=t a t a x
),(+∞-∞∈x 。
3．形如),(22a x x f y -=的形式，其中f 是x 和22a x -的代数函数。
令),23,20,0(,sec πππ<≤<
≤>=t t a t a x 此时，),,[],(+∞⋃--∞∈a a x 或令t a x csc = ),20,02,0(π
π
≤<<≤->t t a 其中),[],(+∞⋃--∞∈a a x 。
注：上面替换中应注意，t 的范围应满足：
1°根式中变量的取值要求。
2°二次根式的化简唯一。
以上是常见的用法，其具体应用现分类介绍如下：
一、三角换元法在解方程及解不等式中的应用。
例1． 解方程：12
3512=-+x x
x 解：该方程的根必然为正（否则左负右正），所以设)20(,sec π
≤≤=t t x ，则方程变为
1235tan sec sec =+
t t t 变形整理得：05762sin 5762sin 12252=--t t
∴ 25242sin =
t 或49242sin -=t ∵ 20π
<≤t
∴ π<≤t 20
故 49242sin -
=t 应舍去，由25242sin =t 得25
72cos ±=t 当2572cos +=t 时，得54cos =t ，∴ 4
5=x 当2572cos -=t 时，得53cos =t ，∴ 3
5=x 故原方程的根为 45=x 或 35=x 说明：此题关键是去掉根式，易联想到αα2
2tan 1sec =-的形式，换元也就水到渠成了。
例2． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+23922y x y x 。
解：由题意知,0,0>>y x 则设,sin 3α=x 其中,2,
0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πα那么αsin 3=y 此时 ααcos 3sin 3+=+y x
)4sin(23πα+
= 23=
即 1)4sin(=+π
α
∴4πα= 从而 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==22
3223y x 所以方程组的解为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==22
3223y x。