高中数学__函数及其表示知识点

函数及其表示

（一）知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义：

设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的x ，在集合B 中都有的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为__________

(2)函数的定义域、值域

在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，{}

A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(3)函数的三要素：、和

2．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 （1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 3．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 4．映射的概念

设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:，f 表示对应法则

注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

（二）考点分析

考点1：判断两函数是否为同一个函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。 例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）2)(x x f =，33)(x x g =； （2）x

x x f =

)(，??

?<-≥=;

01

,

01)(x x x g （3）x x f =)(1+x ，x x x g +=2)(；

（4）12)(2--=x x x f ，12)(2

--=t t t g

（5）1

212)(++=

n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）

； 考点2：映射的概念

例1．下述两个个对应是A 到B 的映射吗？

（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；

（2）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=

例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个 例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ ）

()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个

考点3：求函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

例1.函数()1

3

f x x =-的定义域为（） A ．[)(]22+∞-∞-，，

B ．[)

()2,33+∞，

C ．(]

[)()22,33-∞-+∞，，

D ．(]2-∞-，

例2、函数x

x x x f -+=

0)1()(的定义域是（ ）

A.{}0|

B. {}0|>x x

C. {}10|-≠

D.{}10|-≠≠x x x 且 题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

例1．已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域

例2．已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域

例3、已知函数)1(+=x f y 的定义域为[-2，3]，则()12-=x f y 的定义域是_________ 考点4：求函数解析式 方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f

题型1：用待定系数法求函数的解析式

例1.已知函数()f x 是一次函数,且49)]([+=x x f f ,求()f x 表达式.

例2.已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则（） A ．32x +

B ．32x -

C ．23x +

D ．23x -

例3.二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f (x)＞2x ＋5.

例4.已知g (x )＝－x 2

－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f (x )＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式．

题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2

+-=+x x x f ，求)(x f

例2.已知)

()11,f x f x =-=则_____________。

例3．已知)11(x x f -+=2

2

11x x +-，则)(x f 的解析式可取为

题型3：求抽象函数解析式

例1．已知函数)(x f 满足x x

f x f 3)1(2)(=+，求)(x f

例2、已知：1)(3)(2+=-+x x f x f ，求()f x 表达式.

例 3.设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1

()()1f x g x x +=

-,求()f x 和()g x 的解析式.

1.2

函数及其表示

一、

选择题

1、函数()y f x =的图象与直线x m =的交点个数为（ ）

A ．可能无数个

B ．只有一个

C ．至多一个

D ．至少一个

2、设{}{}

M=22,02x x N y y -≤≤=≤≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则()f x 的图

3、函数()x

f x x

=+

的图象是如图中的（

）

A ．

B ．

C ．

D ．

4、已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则（ ）

A ．32x +

B ．32x -

C ．23x +

D ．23x -

5、设函数()()221,1

1,22,1x x f x f f x x x ???-≤=???+->???

则的值为（

）

A ．

15

16

B ．2716

-

C ．

89

D ．18

6、一个面积为2

100cm 的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示

成x 的函数为（ ） A ．()500y x x => B ．()1000y x x => C ．()50

0y x x =

>

D ．()100

0y x x

=

> 7、函数(

)1

3

f x x =-的定义域为（

）

A ．[)(]22+∞-∞-，，

B ．[)

()2,33+∞，

C ．[)

()(]2,332+∞-∞-，， D ．(]2-∞-，

8、设()()()()1,0,00,0x x f x x x π+>??

==??

，则(){}

1f f f -????的值是（

）

A ．1π+

B ．0

C ．π

D ．1-

二、填空题

9、已知函数()()f x g x 、分别由下表给出：

则()1f g ????的值为____________，当()2g f x =????时，x =_______________。 10、已知)

()11,f

x f x =-=则_____________。 11、函数()f x =________________。

三、解答题

12、若函数()()[]2

23,,y f x x a x x a b ==+++∈的图象关于直线1x =对称，求b 的值。

13、已知()f x 是一次函数，且(){}87f

f f x x =+????，求()f x 的解析式。

考点5：求函数的值域 1． 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

例1、322

+--=x x y

例2、2

285y x x =-+- （1）]1,1[-∈x （2）]4,1[∈x （3）]8,4[∈x

（3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数 例5、x x y 21-+

= 例6、13432)(-+-=x x x f

（4）分段函数分别求函数值域， 例7、53-++=x x y

例8、函数2

22(03)

()6(20)

x x x f x x x x ?-≤≤?=?+-≤≤??的值域是（ ）

A ．R

B ．[)9,-+∞

C ．[]8,1-

D ．[]9,1-

（5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数32

43

x y x +=

-的值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（9）对勾函数法像y=x+m

x

，（m>0）的函数

三种模型：（1）如

4

y x

x

=+，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x∈[-1,0)?(0,4],求值域

（2）如

4

4

y x

x

=+

+，

求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x≤0或x≥4）