23.5二次函数的应用
二次函数的应用与实际问题解决
二次函数的应用与实际问题解决二次函数是高中数学中一个非常重要的概念，它在现实生活中有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念和特点，并以几个实际问题为例，阐述二次函数在实际问题解决中的应用。
一、二次函数的基本概念和特点二次函数是代数学中的一种函数类型，其数学表达式为：\[y = ax^2 + bx + c\]其中，a、b、c为常数，且a≠0。
在二次函数中，x为自变量，y为因变量，它们之间存在一种二次关系。
二次函数的图像是一个抛物线，具有一些特点：1. 对称轴二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，它将图像分为两个对称的部分。
对称轴的方程为\(x = -\frac{b}{2a}\)。
2. 零点二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，也就是满足方程\(ax^2 + bx + c = 0\)的x的值。
如果方程有实根，则函数图像与x轴有两个交点，如果方程无实根，则函数图像与x轴没有交点。
3. 极值点二次函数的极值点是函数图像上离对称轴最近（或最远）的点，其y坐标称为极值。
如果a>0，则函数的图像开口向上，极值点是最低点；如果a<0，则函数的图像开口向下，极值点是最高点。
4. 函数增减性二次函数的增减性取决于a的正负性。
当a>0时，函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当a<0时，函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。
以上是二次函数的基本概念和特点，下面我们将介绍几个实际问题，并运用二次函数解决这些问题。
二、实际问题的应用1. 弹体运动问题假设一个弹体从地面上射出，其轨迹可以用二次函数描述。
我们已知弹体离地面的高度与时间的关系为$h = -5t^2 + 20t$，其中h表示高度（米），t表示时间（秒）。
现在要求解这个问题的几个具体情况：（1）弹体达到最大高度时的时间和高度是多少？（2）弹体什么时间落地？（3）弹体射出后的高度变化过程。
对于（1），我们可以通过求解二次函数的极值点来得到。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是数学中一种重要的函数形式，其形式为：y = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
在实际生活中，二次函数的应用十分广泛，涉及到各个领域，如物理、经济、工程等。
本文将探讨二次函数在实际问题中的应用，并以几个具体的案例进行讨论。
一、抛物线的建模抛物线是二次函数的图像，其在物理学中具有广泛的应用，如抛体运动、抛射物的轨迹等。
以抛体运动为例，当一个物体在水平面上以初速度v0斜抛时，其运动轨迹可以用二次函数来描述。
在不考虑空气阻力的情况下，假设物体的初速度为v0，发射角度为θ，则物体的运动方程可以表示为y = -gx^2/(2v0^2cos^2θ) + xtanθ，其中g为重力加速度，x和y分别表示物体在水平方向和竖直方向上的位移。
二、高空抛物线在很多实际问题中，我们需要将物体从高空进行抛射，如发射火箭、炮弹等。
假设某个火箭从高度h处垂直向上发射，且发射角度为θ，发射速度为v0。
可以通过二次函数来建立火箭的抛物线轨迹模型。
根据运动学原理，火箭在竖直方向上受重力作用，而在水平方向上无外力作用。
因此，我们可以得到火箭的运动方程为y = -gx^2/(2v0^2cos^2θ)+ xtanθ + h，其中g为重力加速度，x和y分别表示火箭在水平方向和竖直方向上的位移。
三、经济学中的应用二次函数在经济学中有着广泛的应用，常用来描述成本、收益、供需关系等经济指标。
以成本函数为例，假设某个企业的成本函数可以用二次函数表示。
设该企业的生产量为x，成本为C，则成本函数可以表示为C = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，代表着不同的经济关系。
通过对成本函数的分析，可以确定企业的最优生产量、最小成本等重要指标，为企业的经营决策提供依据。
四、工程中的应用在工程领域，二次函数也有着广泛的应用。
以抛物面天窗设计为例，当设计一个天窗时，为了达到最佳采光效果，需要设计一个合适的抛物面形状。
23.5二次函数的应用教案
23.5二次函数的应用教学目标：1、让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化。
2、让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题。
3、掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。
4、培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成。
教学重点：1、 在直角坐标系中，点坐标和线段之间的关系。
2、 根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中的点。
教学难点：如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。
课前准备：制作多媒体课件，并将有关内容做成讲义。
教学过程：一、创设情景，引入新课1、在寒冷的冬天，同学们一般会参加什么样的课外活动呢？2、由上给出引例：引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？3、要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？对，本题我们可以利用有关二次函数的知识来解决。
今天我们学习的内容是“二次函数的应用”。
二、新课讲解： （一）课前练习1、已知抛物线23x y =上有一点的横坐标为2，则该点的纵坐标为______。
2、已知二次函数132612++-=x x y 的函数图象上有一点的横坐标为25， 则该点到x 轴的距离是______________。
3、已知二次函数532-=xy 有一点的纵坐标是2，则该点横坐标为__________.4、已知抛物线过点A （0，1），B （2，1），C （1，0）， 则该抛物线解析式为___5、已知如图A （1，1），AB=3，AB ∥x 轴， 则点A 的坐标为__________.注：第四题在处理时，只要求学生知道解题方法，而不需要完全解答。
二次函数的应用
二次函数的应用一、介绍二次函数是一种特殊的函数形式，其表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将以实际问题为例，探讨二次函数的应用。
二、抛物线的性质二次函数的图像是一条抛物线。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其图像的性质如下：1. 凹凸性：当a>0时，图像开口向上，为凹向上的抛物线；当a<0时，图像开口向下，为凹向下的抛物线。
2. 零点：即二次函数的x轴交点。
零点的个数与抛物线与x轴的交点的个数相等。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其零点的判别式为Δ=b^2-4ac。
当Δ>0时，有两个不同实数零点；当Δ=0时，有一个实数零点；当Δ<0时，则无实数零点。
3. 对称轴：对称轴是抛物线的中轴线，过顶点且与x轴垂直。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a。
三、二次函数在实际问题中的应用二次函数的应用广泛，涵盖了许多领域。
以下将介绍二次函数在数学、物理和经济领域的应用。
1. 最值问题在数学中，二次函数常常用于解决最值问题。
最值问题是指找出一个函数在特定区间内的最大值或最小值。
以二次函数y=ax^2+bx+c为例，如何确定其最值呢？- 当a>0时，二次函数为凹向上的抛物线。
其顶点就是函数的最小值，可通过求对称轴上的点来找到。
- 当a<0时，二次函数为凹向下的抛物线。
其顶点就是函数的最大值，同样可通过求对称轴上的点来找到。
这种最值问题可以应用于优化领域，如物流中最短路径的确定、经济学中的成本最小化等。
2. 物体运动问题在物理学中，二次函数有重要的应用，特别是在描述物体运动的问题上。
抛物线图像可以表示物体的轨迹，具体应用包括：- 自由落体问题：当物体沿竖直方向自由下落时，其运动轨迹为抛物线。
通过二次函数可以计算出物体的运动轨迹、最高点和最大高度等参数。
- 抛体运动问题：当物体在水平方向斜抛时，其运动轨迹也是抛物线。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中经常应用的一种函数类型。
二次函数的应用广泛，涵盖了很多领域，包括物理学、经济学、工程学等。
本文将探讨几个二次函数的应用场景，并分析其原理和实际意义。
一、地面抛射运动地面抛射运动是我们生活中常见的一种物理现象，比如投掷物体、打击物体等。
在不考虑空气阻力的情况下，地面抛射运动的轨迹可以用二次函数描述。
其函数模型为：h(t) = -gt^2 + v0t + h0其中h(t)表示时间t时刻的高度，g为重力加速度，v0为初速度，h0为初始高度。
二次函数可以帮助我们计算抛体的高度、最高点高度、到达地面的时间等重要参数。
对于投掷物体来说，了解这些参数可以帮助我们更好地控制力度和角度，以达到我们想要的结果。
二、经济学中的收益函数在经济学中，我们常常使用收益函数来研究生产经营的效益。
很多实际问题可以用二次函数近似表示，从而分析最大化收益的策略。
假设某个公司的销售收益可以用二次函数模型表示：R(x) = -ax^2 + bx + c其中R(x)表示销售收益，x表示销售量，a、b、c为常数。
我们可以通过对二次函数进行求导，找到其最大值对应的销售量，从而确定最佳的经营策略。
通过研究收益函数，我们可以优化资源配置，提高经济效益。
三、工程中的抛物线设计在工程领域，二次函数常常用于抛物线设计。
比如，在桥梁、建筑物等结构的设计过程中，我们需要考虑各种因素，如力学原理、结构稳定性等。
二次函数能够很好地描述抛物线形状，帮助我们确定结构的合理设计。
例如，在桥梁设计中，通过二次函数的应用，可以确定拱桥的合适形状和尺寸，以满足结构强度和美观性的要求。
另外，在草坪的设计中，也可以利用二次函数描述草地的曲率，使得草坪在自然光线的照射下呈现出优美的效果。
四、物体运动的轨迹分析二次函数也可以用于分析物体在空间中的运动轨迹。
比如，一个碰撞物体的轨迹可以由以下二次函数表示：x(t) = v0t + 1/2at^2y(t) = h0 + v0t + 1/2gt^2其中x(t)、y(t)分别表示物体在水平和竖直方向上的位移，v0为初速度，a为加速度，h0为初始高度，g为重力加速度。
二次函数的应用
二次函数的应用在数学中，二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。
二次函数是一种常见且重要的函数类型，在实际生活中有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的应用，并通过具体的实例来说明其在不同领域中的作用。
一、二次函数在物理学中的应用二次函数在物理学中常常用于描述运动的轨迹、抛物线的形状以及力学的相关问题。
例如，当一个物体在空中自由落体时，其下落的高度与时间之间的关系可以用二次函数来描述。
假设物体从高度为h的位置自由落下，忽略空气阻力的影响，记时间为t，则物体的高度可以表示为h = -gt^2 + vt + h0，其中g是重力加速度，v是物体的初速度，h0是物体的初始位置。
该二次函数描述了物体下落的抛物线轨迹。
二、二次函数在经济学中的应用二次函数在经济学中的应用非常广泛，可以用于描述成本、收益、利润等与产量或销量之间的关系。
例如，对于某个企业而言，其生产的产品的总成本可以由二次函数表示。
假设该企业的总成本C与产量x之间的关系可以表示为C = a'x^2 + b'x + c'，其中a'、b'、c'为常数。
该二次函数描述了生产成本随着产量的增加而递增的曲线，对企业的经营决策具有重要的参考意义。
三、二次函数在工程学中的应用在工程学中，二次函数常常用于描述曲线的形状以及材料的弯曲变形。
例如，对于一座桥梁而言，其横截面的弯曲变形可以用二次函数来表示。
假设桥梁横截面的变形高度与距离之间的关系可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中y表示高度，x表示距离。
该二次函数描述了桥梁横截面弯曲变形的形状，对于设计和构建安全的桥梁至关重要。
四、二次函数在生物学中的应用在生物学研究中，二次函数常常用于描述某些生物过程的增长或衰减。
例如，某种细菌的数量随着时间的推移而增长，其增长过程可以用二次函数来描述。
假设细菌数量与时间之间的关系可以表示为N = at^2 + bt + c，其中N表示细菌数量，t表示时间。
二次函数的应用技巧与技巧
二次函数的应用技巧与技巧二次函数是高中数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
它的图像呈现出抛物线的形态，具有许多特性和性质，掌握其应用技巧对于解决实际问题非常有帮助。
本文将介绍二次函数的应用技巧与技巧，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$是实数，$a\neq0$。
二次函数与抛物线的形状有关，方程中的$x^2$决定了开口的方向和抛物线的开口程度，而$a$决定了抛物线的开口方向。
基于这个基本形式，我们可以利用一些技巧来应用二次函数。
二、顶点与轴对称对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，它的顶点坐标可以通过公式$(-\frac{b}{2a},f(-\frac{b}{2a}))$来确定。
顶点是抛物线的最低点（当$a>0$时）或最高点（当$a<0$时），是抛物线的关键特征。
另外，抛物线还具有轴对称性，其轴对称线的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。
利用顶点和轴对称性，可以更好地分析和应用二次函数。
三、零点与因式分解二次函数的零点是指函数图像与$x$轴相交的点，也就是方程$ax^2+bx+c=0$的解。
求解二次方程可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法。
当二次方程能够因式分解成$(x-p)(x-q)=0$的形式时，零点就是$p$和$q$。
利用零点可以进一步分析二次函数的图像特点和应用方向。
四、最大值与最小值对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$a>0$时，函数的最小值发生在顶点，最小值是抛物线的底部值；当$a<0$时，函数的最大值也发生在顶点，最大值是抛物线的顶部值。
五、对称轴和焦点二次函数的对称轴是指抛物线关于轴对称线对称的线段，它与抛物线的开口方向垂直。
焦点是抛物线上到顶点距离相等的点的集合，对称轴与焦点可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。
六、应用示例在实际问题中，二次函数的应用非常广泛。
二次函数实际应用
二次函数实际应用二次函数是数学中的一种基本函数形式，具有形如y=ax^2+bx+c的表达式。
在实际应用中，二次函数可以描述许多现象和问题，并被广泛应用于物理、经济、工程等领域。
首先，二次函数在物理学中有着广泛的应用。
例如，自由落体运动可以通过秒关系y=1/2gt^2的二次函数形式进行描述，其中y表示物体的下落距离、g表示重力加速度、t表示时间。
此外，抛体运动、弹道轨迹、摆动等运动现象也可以用二次函数进行建模和分析。
其次，经济学中的成本、收益等问题也可以通过二次函数进行描述。
例如，一个企业的总成本可以表示为二次函数的形式，其中在一些产量水平下，固定成本和变动成本构成了二次函数中的常数项和一次项，而对应产量的平方构成了二次项。
通过分析这个二次函数，可以找到企业产量的最优值，从而使得总成本达到最小。
此外，工程学中的一些场景也可以通过二次函数进行建模。
例如，在桥梁设计中，桥的弯曲形状可以通过二次函数进行描述，从而确定合适的材料和结构；在天线设计中，信号的收发效果也可以通过二次函数进行分析，从而优化天线的设计参数。
除了以上几个领域，二次函数还可以用于图形的绘制和文化艺术中的创作。
二次函数具有形状优美的拱形，因此可以用于音乐中的节奏变化、舞蹈中的身体动作设计等方面。
此外，在美术作品中，二次函数的图像也经常被用来表现风景、人物或者抽象的意境。
除了上述应用领域，二次函数在数学领域本身也有着重要的地位。
二次函数是一种基本的函数形式，可以通过平方完成全域的建模，而一般的函数形式可以通过一次函数和二次函数的组合得到。
此外，二次函数的图像特点例如顶点、对称轴、开口方向等，以及与其他函数形式的关系，也是数学教育中的重要内容。
总之，二次函数在实际应用中有着广泛的用途。
无论是物理、经济、工程等领域，还是数学本身，都需要用到二次函数进行建模、分析和解决问题。
同时，二次函数也在文化艺术中发挥了重要的作用。
因此，了解和掌握二次函数的性质和应用，对于数学教育和实际应用都具有重要意义。
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课题：23.5二次函数的应用
寿县迎河中学 龙如山
三维目标：
一、知识与技能
1、让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化。
2、让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题。
二、过程与方法
掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。
三、情感态度与价值观
培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成。
教学重点：
1、 在直角坐标系中，点坐标和线段之间的关系。
2、 根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中的点。
教学难点：
如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。
课前准备：
制作多媒体课件，并将有关内容做成讲义。
教学过程：
一、创设情景，引入新课
1、在寒冷的冬天，同学们一般会参加什么样的课外活动呢？
2、由上给出引例：
引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？
3、要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？
对，本题我们可以利用有关二次函数的知识来解决。
今天我们学习的内容是“二次函数的应用”。
二、新课讲解：
（一）课前练习
1、已知抛物线
23x y =上有一点的横坐标为2，则该点的纵坐标为______。
2、已知二次函数132
612++-
=x x y 的函数图象上有一点的横坐标为2
5， 则该点到x 轴的距离是______________。
3、已知二次函数532
-=x
y 有一点的纵坐标是2，
则该点横坐标为__________.
4、已知抛物线过点A （0，1），B （2，1），C （1，0），则该抛物线解析式为___
5、已知如图A （1，1），AB=3，AB ∥x 轴， 则点A 的坐标为__________.
注：第四题在处理时，只要求学生知道解题方法，而不需要完全解答。
（二）例题讲解
下面我们来解决本堂课的引例。
1、要解决这个实际问题，关键是什么？（建立直角坐标系）
2、那么有几种建立直角坐标系的方法呢？请同学们讨论一下。
（学生分析、讨论完毕后教师进行归纳小结） 3、利用其中一种方法，解决①、②两个 。
①、求点A 、B 、C 的坐标. ②、求过点A 、B 、C 的抛物线的函数解析式.
4、同学们能否根据老师所用的方法，分别求出在上述四个图中第1、2两小题呢？ 6、在完成第①、②小题的基础上，请同学们根据老师的方法完成第③、④小题。
③、你能算出丁的身高吗？
④、若现有一身高为1.625m 的同学也想参加这个活动，请问他能参加这个活动吗？ 若能，则他应离甲多远的地方进入？若不能，请说明理由？若身高为1.7m 呢？ 注：在解决第④小题的过程中，可以让学生思考以下问题：
①、 在解决第一问时，能否利用二次函数的对称性来解决？
②、
在解决第二问时，能否利用二次函数的有关性质来解决？（利用最值来解决）
小结：建立合适的直角坐标系，是解决实际问题的关键。
（教师利用多媒体出示解答过程，强调解题步骤。
）
例：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B 的宽为20m ，如果水位上升3米时，水面CD 的宽为10m ．
（1）建立直角坐标系，求点B 、D 的坐标。
（2）求此抛物线的解析式；
（3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km
（桥长忽略不计）货车以 40km ／h 的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位到达最高点E 时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，
能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
分析：1、建立直角坐标系是本题的关键，让学生分组讨论。
2、教师选择一种直角坐标系，解决本题。
其他方法请学生课后练习。
3、第③小题是本解课的一个难点可以做以下处理
①、考虑货车能否安全通过的基本条件是什么？（水位还没有到达E 点） ②、考虑水位到达E 点所需时间和货车到达桥的时间的关系是什么？ ③、要使货车安全通过此桥，先决条件是什么？
A
B
C D
E
F
A
B
C D x y A B
C
D x
y
变式：（4）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km ，货船以 40km ／h 的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m 的速度持续上涨（货船接到通知时水位在AB 处，当水位到达CD 时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货船安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
（本题请学生阅读后，作为课后思考题） 三、课后练习：
1、如图是我县某公园一圆形喷水池的效果图，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。
建立如图坐标系，如果喷头所在处A （0，1.25），水流路线最高处B （1，2.25），则该抛物线的解析式为 ___。
如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要_____________米，才能使喷出的水流不致落到池外。
2、如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米。
(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
*(3)若墙的最大可用长度为8米，则最大面积是 ？
C
D
A B C D O
x
y A B C
D
O
x
y
四、课堂小结
通过这节课的学习，你学会了什么？你有什么体会？（学生小结）
教师小结：
1、本节课主要复习了已知横坐标（或纵坐标），求纵坐标（或横坐标）的方法。
2、主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法。
3、利用二次函数解决实际问题时，建立适当的直角坐标系，是解决问题的关键。
五、作业
完成讲义例题的变式和第三大题
六、教学反思
本节课是有关二次函数的复习课，重点是如何利用二次函数建立数学模型，并利用二次函数的有关性质来解决实际问题。
在本堂课的教学过程中有两个难点：1、如何将情景中的已知条件转化为直角坐标系中有关点和线的问题。
2、如何根据实际情景建立最有利于问题解决的直角坐标系。
为了解决上述两个问题，我做了这样的处理：1、设置课前练习，分散难点。
2、设置分组讨论，让学生在集体讨论中体会直角坐标系的建立。
3、将题目问题细化，降低题目难度。
上完本节课后我有以下几点体会：1、本节课作为初三复习课容量显得单薄了些。
2、在讲课过程中学生配合较为默契，思维比较活跃。
但有部分学生对于二次函数的应用题仍无从入手，如何做好这部分同学的教学工作是今后教学中值得探讨的。
3、在选题时，为了力求和实际相结合，使得题目的阅读量加大，造成部分学生对题目的理解有一定的困难。
4、学生的书写格式有待进一步提高。