数学物理方程公式总结
各类计算公式大全
各类计算公式大全计算是我们生活和工作中经常用到的重要技能。
不同领域的计算需要使用各种各样的公式和方程。
本文将为您提供各类计算公式的大全，包括数学、物理、化学、经济等方面的计算公式。
一、数学公式1. 代数公式：- 二次方程求根公式：对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)- 四则运算规则：加法、减法、乘法和除法的运算规则- 求平方根公式：√a = b，等价于a = b^22. 几何公式：- 长方形面积公式：面积A = 长L ×宽W- 圆的面积公式：面积A = πr^2，其中π≈3.14159，r为半径- 三角形面积公式：面积A = 1/2 ×底边长度 ×高3. 统计学公式：- 平均数计算：平均数 = 所有数据之和 / 数据个数- 标准差计算：标准差= √(每个数据值与平均数之差的平方和 / 数据个数)二、物理公式1. 运动学公式：- 匀速直线运动公式：位移s = 速度v ×时间t- 匀加速直线运动公式：位移s = 初速度v0 ×时间t + 1/2 ×加速度a ×时间t的平方2. 力学公式：- 牛顿第二定律：力F = 质量m ×加速度a- 功公式：功W = 力F ×位移s × cosθ，其中θ是力F和位移s之间的夹角三、化学公式1. 相对原子质量计算：相对原子质量 = 各同位素质量 ×各同位素的丰度之和2. 摩尔浓度计算：摩尔浓度 = 溶质的摩尔数 / 溶液的体积四、经济学公式1. 利息计算：利息 = 本金 ×年利率 ×时间2. 折现现金流量计算：现值 = 现金流量 / (1 + 折现率)^时间以上仅是各类计算公式的一小部分示例，实际应用中还有各种综合计算的公式。
在实际使用过程中，我们要根据具体情况选择合适的公式进行计算，并注意单位的转换和精度的保留。
三类典型的数学物理方程
数学物理方程的建立过程
确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出
一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。
杆的纵振动方程 杆上x点在t时刻 F(x,t) 的弹性应力 x 研究对象：杆上各点的纵向位移 u(x,t)
得到
uxx u 2u u
utt a2[u 2u u ]
将上面两式代入原波动方程，得到
u 0
如何处理？
考虑采用积分的方法
先对 积分 u u d 0 f ( )
再对 积分
u f ( )d f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)（2）
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 , f2
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
另一端按已知规律 f (t) 变化。写出边界条件
物体边界面各点在时刻t所流过的热量已知：
u n
s
质温度已知，物体内部通过其边界S与 周围介质进行热量交换：
在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ 表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有
弦的端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个 沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为
ux (0,t) 1(t), ux (a,t) 2(t)
自由端点的情形：
1.2 初始条件与边界条件
第三类边界条件 给出所研究的物理量及其沿边界外法向导数 在边界上应满足的条件。
端点处为弹性支撑端的情形 根据Hooke 定律
数学物理方程归纳总结
数学物理方程归纳总结数学和物理方程是科学研究中的重要工具，广泛应用于各个领域。
本文将对一些常见的数学物理方程进行归纳总结，分析其数学意义和物理应用，并探讨其背后的原理和推导过程。
1. 一维运动方程一维运动是物理学中最简单的情形之一，其运动状态只涉及一个方向的变化。
常见的一维运动方程有：- 位移公式：$S = V_0t + \frac{1}{2}at^2$- 速度公式：$V = V_0 + at$- 速度与位移的关系：$V^2 = V_0^2 + 2aS$这些方程描述了质点在匀加速度下的运动规律，其中$S$ 表示位移，$V_0$ 表示初始速度，$a$ 表示加速度，$t$ 表示时间，$V$ 表示末速度。
这些方程在解决一维运动问题时具有重要的应用价值，可以帮助我们计算物体的位移、速度和加速度等物理量。
2. 牛顿力学方程牛顿力学是经典力学的基础理论，在描述宏观物体运动和相互作用时非常重要。
牛顿三定律是牛顿力学的核心，其表述为：- 第一定律（惯性定律）：物体在不受外力作用时保持静止或匀速直线运动。
- 第二定律（运动定律）：物体受到的合力等于质量乘以加速度，即 $F = ma$。
- 第三定律（作用与反作用定律）：任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
根据牛顿第二定律，我们可以推导出一些重要的等式，用于解决各种力学问题。
例如，结合万有引力定律，我们可以得到开普勒第三定律 $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$，其中 $T$ 是行星公转周期，$G$ 是引力常数，$M$ 是太阳的质量，$r$ 是行星与太阳的平均距离。
3. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是电磁学的基础方程，描述了电磁场的产生和传播规律。
麦克斯韦方程组包括四个方程：- 高斯定律：$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$- 安培定律：$\nabla \cdot B = 0$- 法拉第电磁感应定律：$\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$- 完整的麦克斯韦方程：$\nabla \times B =\mu_0J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$其中，$E$ 和 $B$ 分别表示电场和磁场，$\rho$ 表示电荷密度，$J$ 表示电流密度，$\varepsilon_0$ 是真空中的介电常数，$\mu_0$ 是真空中的磁导率。
《数学物理方程》第四章§1
2/16
2u 2u a2 2 t 2 x
2u 2u a2 2 0 t 2 x
2 2 ( 2 a 2 2 )u 0 t x
0 1 0 a 2
dx 令 dt
2 a 2 0
a
x at x at
t t a a 1 1 x x
0 a a a 1 1 a 1 0 a 2 1 1
0 2a 2
《百科全书》不仅在于提供知识,而更重要的在 于改变读者的思想。 向前进，你就会产生信念 ————达朗贝尔
达朗贝尔脱下了微分学的神秘外衣 ————马克思
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2u 2u a2 2 t 2 x
u( x , t ) = f1(x + at ) + f2(x – at )
u t 0 u ( x ), t
2a 2 0
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0 1 0 a 2
0 2a 2
2a 2 0
( t , x ) ( , )
2u 2u a2 2 0 2 t x
2u 0
2u 4a 2 0
x , x [0,1 / 2] ( x ) 1 x , x [1 / 2,1] 0, 其它
随着时间的推移, u2 的图形以速度 a 向x 轴正方向 移动. 所以,u2表示一个以速度a 沿 x 轴正方向传播 的行波，称为右行波。
8/16
2u 2u a2 2 t 2 x u u t 0 ( x ), t
高数中物理应用常见公式
高数中物理应用常见公式高等数学中物理应用的常见公式非常多，下面列举了一些常见的公式及其应用：1. 牛顿第二定律：F = ma这是质点运动学的基本定律，描述了一个质点受到的力与它的加速度和质量的关系。
2.圆周运动的速度和加速度：速度公式：v=ωr加速度公式：a=ω²r这些公式用于描述物体在圆周运动中的速度和加速度与角速度、半径的关系。
3.牛顿万有引力定律：F=Gm₁m₂/r²这个公式描述了两个物体之间的引力与它们的质量和距离的关系，是解释行星运动、万有重力等现象的基础。
4.动能定理：ΔK=W这个公式描述了物体动能变化与外力所做的功之间的关系。
5. 阻力公式：F = kv这个公式描述了一个物体受到的空气阻力与它的速度的关系，其中k 为阻力系数。
6.万有引力势能：U=-Gm₁m₂/r这个公式描述了两个物体之间的引力势能与它们的质量和距离的关系。
7.能量守恒定律：E=K+U这个公式描述了一个系统的总能量，其中E为系统的总能量，K为动能，U为势能。
8.简谐振动的周期和频率：周期公式：T=2π√(m/k)频率公式：f=1/T这些公式用于描述质点在简谐振动中的周期和频率与质量和弹性系数的关系。
9.热传导定律：q=kAΔt/Δx这个公式描述了传热过程中热量的传导与温度差、传导系数、传导路径的关系。
10.雷诺数：Re=ρvL/η这个公式描述了流体流动中惯性力与黏性力的关系，其中ρ为流体密度，v为流速，L为特征长度，η为动力黏度。
这只是部分高等数学中物理应用的常见公式，还有很多其他的公式和应用。
在物理学中，公式只是数学描述实际规律的工具，更重要的是理解其背后的物理原理和概念。
数学物理方程总结
试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为2222)1(])1[(t u h x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ其中h 为圆锥的高。
并求通解及它的初值问题：0:(),()ut u x x tϕψ∂===∂的解。
（1）证明：在圆锥形枢轴内取出],[x x x ∆+一小段来研究。
端面丛向位移为),(t x u [,][(,),(,)]x x x u x t u x x t +∆→+∆ 在时刻t，端面的相对延伸为),(t x u 与),(t x x u ∆+根据胡克定律为),(t x ESux-及),(t x x ESu x ∆+由牛顿第二定律有合力为：),(t x x ESu x ∆+),(t x ESu x -x Su tt ∆=ρ又因为 2222[()t a n ]()()S r h x h x t a nππαπα==-=- 2[()tan ](,)x E h x x u x x t πα--∆+∆),(]tan )[(2t x u x h E x απ--x u x h tt∆-=2]tan )[(αρπttx u x h xu x h E 22)()(-=∂-∂ρππ tt x u x h x u x h E 22)()(-=∂-∂ρ 即：2222222222[(1)](1)1[(1)](1)E ()x u x uE x h x h t x u x u x h x a h t a ρρ∂∂∂-=-∂∂∂∂∂∂-=-∂∂∂=令。
（5分）（2）设(,)()(,)v x t h x u x t =-（5分） 2()()x x v h x v u h x -+=-2222222[(1)]()1[(1)](1)()x x ux h x v h x v x x ux h h x a h t ∂∂-∂∂-+∂∂=-=-∂-∂ 2222221()()v u h x h x x a t ∂∂-=-∂∂ ∴ 2222221[()][()]h x u h x u x a t∂∂-=-∂∂ （5分） 即：222221v v x a t∂∂=∂∂， 或22222v v a t x ∂∂=∂∂则其通解为：()()()h x u v F x at G x at -==-++ （5分）2．利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψϕ ())0()0(ψϕ= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ϕ=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 所以 F(x)=)2(x ψ-G(0). G （x ）=)2(x ϕ-F(0). 且 F （0）+G(0)=).0()0(ψϕ= 所以 u(x,t)=(ϕ)2at x ++)2(atx -ψ-).0(ϕ 即为古尔沙问题的解。
数学物理方程公式总结
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩ 解()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题()2222222220001,,,,0(,,)(,,)t t u uu a x y z t t x y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩在球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩21()1()(,)44M Mat r S S M M u M t dS dS a t r a rϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(r=at)221()1()(,)44M Mat atS S M M u M t dS dS a t t a tϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰无界三维空间自由振动的泊松公式()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u uu a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩22at at ππ⎡⎤⎡⎤＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 傅立叶变换1()()2i x f x f e d λλλπ+∞-∞=⎰基本性质[]1212[][]F f f F f F f αβαβ+=+ 1212[][][]F f f F f F f *=12121[][][]2F f f F f F f π=* [][]F f i F f λ'= ()[]()[]k k F f i F f λ= [][]d F f F ixf d λ=- 1[()]d i x f F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--=00[()]()i x F e f x f λλλ=- ..1[()][()]x F f d F f x i ξξλ-∞=⎰.0.[)]1i xi xx F x x edx eλλδδ∞--=-∞===⎰（（） ()()..[]i x i F x x e dx e λλξδξδξ∞---∞-=-=⎰1[()]()F f ax f a aλ=若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=-[]12()F πδλ= 22242ax aF e e λπ--⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭1cos ()21sin ()2ia iaia ia a e e a e e i --=+=- cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-2x edx +∞--∞=⎰()()i x f f x e dx λλ+∞--∞=⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 拉普拉斯变换()()sx f s f x e dx +∞-=⎰[]Re Re ax cL ce p a p a=>-21[]L x s=21[]()x L e x s ββ-⋅=+[]22sin kL kt s k=+ []22cos sL kt s k==+ []22[]2ax ax e e aL shax L s a --==- Re Re s a > []22[]2ax ax e e sL chax L s a -+==+ Re Re s a >基本性质[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---⎡⎤+=+⎣⎦[()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=--> 1[()](),(0)sL f cx f c c c=> ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----..01[()][()]x L f d L f x sττ=⎰ [][()]nn n d L f L x f ds=- ..()[]pf x fs ds L x∞=⎰（） 1212[][][]L f f L f F f *= 0[()]()1sx L x x e dx δδ+∞-==⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三个格林公式 高斯公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P ,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：V SP Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 或()()()cos ,cos ,cos ,V SP Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ⎛⎫∂∂∂++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 第一格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 定理1：泊松方程洛平问题(,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续） 的解为： 011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：拉氏方程洛平问题0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆= 称u 为V 上的调和函数。
初中数学物理化学公式大全
初中数学物理化学公式大全1. 一元一次方程：ax + b = 0，x = -b/a2. 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3.平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)4.二次平方根公式：√(a±√b)=√[(a+√b)/2]±√[(a-√b)/2]5.合并同类项：a+b+c=a+(b+c)6. 分配律：a(b + c) = ab + ac7. 乘法公式：(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd8.一次函数的斜率公式：k=(y2-y1)/(x2-x1)9. 平方根公式：√a * √b = √(ab)10. 单位换算公式：1cm = 0.01m，1km = 1000m11.弧长公式：l=2πr(θ/360°)12.面积公式：矩形面积=长×宽，三角形面积=1/2×底×高，圆面积=πr^21.动力学公式：力F=m×a，动量p=m×v，功W=F×s，机械能E=m×g×h2.运动学公式：平均速度v=总位移/总时间，加速度a=(v-u)/t，力F=m×a3.电路公式：电流I=Q/t，电压V=W/Q，电阻R=V/I，电功率P=V×I4. 光学公式：折射率 n = sin(i) / sin(r)，焦距 f = 1 / (1/f1+ 1/f2)，光速c = λ × f5.温度转换公式：摄氏温度C°=5/9×(华氏温度-32°)，开尔文温度K=摄氏温度+273.151.反应物与生成物的物质的量关系：n(A)/n(B)=a/b=n(C)/n(D)2.电离平衡常数公式：K=[C]^c×[D]^d/[A]^a×[B]^b3. 摩尔浓度公式：C = n / V，单位：mol/L4.摩尔体积公式：V=V0×(n/n0)5. 摩尔质量公式：M = m / n，单位：g/mol6. 摩尔焓变公式：ΔH = q / n，单位：J/mol7.摩尔溶解焓公式：ΔH=ΔH溶剂+ΔH溶质8. 摩尔熵变公式：ΔS = q / T，单位：J/(mol·K)9.化学反应速率公式：速率=Δ[C]/Δt=k[A]^m×[B]^n，m和n是反应物的摩尔系数这些公式可以帮助学生更好地理解和应用数学、物理和化学的知识。
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⎪ ⎪
∂u
⎪⎩ ∂t
t=0
= ϕ1(x, y, z)
在球坐标变换
⎧x = r sinθ cosϕ
⎪ ⎨
y
=
r
sin θ
sin
ϕ
⎪⎩z = r cosθ
(0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π )
∫∫ ∫∫ u(M ,t) = 1
∂
⎡ ⎢
ϕ
(M
′)
dS
⎤ ⎥
+
1
ψ (M ′) dS
>
0)
⎪⎪⎩u t=0 = ϕ(x, y)
∂u ∂t
t=0
=ψ (x, y)
∫ ∫ ∫ ∫ u(
x,
y,t)
=
1 2π a
⎡ ⎢ ⎣
∂ ∂t
at 0
2π 0
ϕ
(
x
+
r
cosθ , y a2t2 −
+ r2
r
sin
θ
)
rdrdθ
⎤ ⎥ ⎦
+
1 2π a
⎡ ⎢ ⎣
at 0
2π 0
ψ
(
x
+
r
cosθ a2t 2
=
L[ eax
− e−ax 2
]
=
s2
a −
a2
Re s > Re a
L [ chax ]
=
L[ eax
+ e−ax 2
]
=
s2
s +
a2
Re s > Re a
基本性质
L[α f1 + β f2 ] = α L[ f1] + β L[ f2 ]
L[ f (x −τ )] = e−sτ L[ f (x)],τ ≥ 0 L[eax f (x)] = f (s − a), Re(s − a) > σ0
F[ f1 ∗ f2 ] = F[ f1]F[ f2 ]
F[
f1 f2 ] =
1 2π
F[
f1]∗ F[
f2]
F[ f ′] = iλ F[ f ] F[ f (k) ] = (iλ)k F[ f ]
d F[ f ] = F[−ixf ] dλ
−ixf = F −1[ d f (λ)] dλ
F[ f (x − x0 )] = e−iλx0 F[ f (x)]
,y+ − r2
r
sin
θ
)
rdrdθ
⎤ ⎥ ⎦
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
傅立叶变换
∫ f (λ) = +∞ f (x)e−iλxdx −∞
基本性质
∫ f (x) = 1 +∞ f (λ)eiλxdλ
2π −∞
F [α f1 + β f2 ] = α F[ f1] + β F[ f2 ]
设空间区域 V 是由分片光滑的闭曲面 S 所围成，函数 P,Q,R 在 V 上具有一阶连续偏导数，则：
∫∫∫
⎛ ⎜
V⎝
∂P ∂x
+
∂Q ∂y
+
∂R ∂z
⎞ ⎟ dV ⎠
=
∫∫
S
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
或Байду номын сангаас
∫∫∫
⎛ ⎜
V⎝
∂P ∂x
+
∂Q ∂y
+
∂R ∂z
⎞ ⎟ dV ⎠
=
∫∫
S
⎡⎣P cos (n,
若 F[ f (x)] = g(λ) 则 F[g(x)] = 2π f (−λ)
F [1] = 2πδ (λ)
F
⎡ ⎣
e
−
ax
2
⎤ ⎦
=
⎛ ⎜⎝
π 2
⎞2 ⎟⎠
−λ2
e 4a
cos a = eia + e−ia 2
sin a = eia − e−ia 2i
∫ +∞ e−x2 dx = π −∞
eia = cos a + i sin a e−ia = cos a − i sin a
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
无限长弦的一般强迫振动定解问题
⎧⎪utt = a2uxx + f (x, t)(x ∈ R, t > 0) ⎨u t=0 = ϕ(x) ⎪⎩ut t=0 =ψ (x)
∫ ∫ ∫ 解
u ( x,
t)
=
1 2
⎡⎣ϕ
(
x
+
at
)
+
ϕ
(
x
−
at
)⎤⎦
+
1 2a
ψ .x+at (ξ ) dξ + 1
⎪ ⎨
y′
=
y
+
(at)
sin
θ
sin
ϕ
，(0
≤
ϕ
≤
2π
,
0
≤
θ
≤
π
)
⎪⎩z′ = z + (at) cosθ
dS = (at)2 sinθ dθ dϕ
二维空间的自由振动的波动方程定解问题
⎧ ∂ 2u ⎪⎪ ∂t2 ⎨
=
a2
⎛ ⎜ ⎝
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y 2
⎞ ⎟
,
( −∞
⎠
<
x,
y
<
+∞, t
4π a ∂t ⎢⎣ SaMt r
⎥⎦ 4π a2 SrM r
(r=at)
∫∫ ∫∫ u(M ,t) =
1 4π a2
∂ ∂t
⎡ ⎢ ⎢⎣ SaMt
ϕ
(M
′)
dS
⎤ ⎥
+
t
⎥⎦
1 4π a2
SaMt
ψ (M ′) dS 无界三维空间自由振动的泊松公式 t
⎧x′ = x + (at) sinθ cosϕ
L−1 ⎡⎣α f1 + β f2 ⎤⎦ = α L−1[ f1] + β L−1[ f2 ]
L[ f (cx)] = 1 f ( s ), (c > 0) cc
L[ f (n) ] = sn L[ f ] − sn−1 f (0) − sn−2 f ′(0) −
− f (n−1) (0)
∫L[ .x f (τ )dτ ] = 1 L[ f (x)]
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
拉普拉斯变换
∫ f (s) = +∞ f (x)e−sxdx 0
L[ceax ] = c p−a
Re p > Re a
L[x] = 1 s2
L[e−β x
⋅
x]
=
(s
1 +β
)2
L [sin
kt ]
=
s2
k +
k2
L[cos kt]
=
s2
s +
k2
L [ shax ]
.x−at
2a
t⎡ 0 ⎢⎣
x+a(t −τ ) x−a(t −τ )
f
(α,τ )dα ⎤⎥⎦dτ
三维空间的自由振动的波动方程定解问题
⎧ ∂ 2u
⎪ ⎪
∂t
2
=
a2
⎛ ⎜ ⎝
∂2u ∂x2
+
∂2 ∂y 2
+
∂2u ∂z 2
⎞ ⎟
,
(
−∞
⎠
<
x,
y,
z
<
+∞, t
>
0)
⎪⎨u t=0 = ϕ0 (x, y, z)
.0
s
d n L[ f ] = L[(−x)n f ] dsn
∫.∞ （f s）ds = L[ f (x)]
.p
x
L[ f1 ∗ f2 ] = L[ f1]F[ f2 ]
∫ L[δ (x)] = +∞δ (x)e−sxdx = 1 0
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
三个格林公式
高斯公式：
x)
+ Q cos (n,
y)
+
R cos (n,
F[eiλ0x f (x)] = f (λ − λ0 )
∫F[ .x f (ξ )dξ ] = 1 F[ f (x)]
.−∞
iλ
∫ F[δ（x)] =
.∞ δ（x）e−iλxdx = e−iλx
.−∞
x=0 = 1
F[ f (ax)] = 1 f (λ ) aa
∫ F[δ ( x − ξ )] = ( ) .∞ δ x − ξ e−iλxdx = e−iλξ .−∞