小度写范文【可逆矩阵判定典型例题】 矩阵可逆模板
可逆矩阵判定典型例题 矩阵可逆
可逆矩阵判定典型例题矩阵可逆可逆矩阵判定典型例题矩阵可逆典型示例（2）方阵可逆性的确定例1设a是n阶方阵,试证下列各式：（1）如果| a≠ 0，则AT-1=a-1t；（2）如果a和B都是n阶可逆矩阵，那么ab*=b*a*；（3）at*=a*t；（4）若|a|≠0,则a*-1=a-1*；（5）-a*=-1n-1a*；（6）若|a|≠0,则al-1=a-1l（L是一个自然数）；（7）ka*=kn-1a*.证（1）因为|a|≠0,故a是可逆矩阵,且aa-1=e两边同时取转置可得aa-1t=a-1AT=et=e故由可逆矩阵的定义可知A-1t是at的逆矩阵a-1t=at-1（2）利用平方矩阵与其对应的伴随矩阵之间的关系ab*ab=|ab|e另一方面b*a*ab=b*a*ab=b*|a|ib=|a | b*b=|a | b | e=|ab | e比较式（2-7）、（2-8）可知ab*ab=b*a*ab又因为a、b均可逆,所以ab也可逆,对上式两端右乘ab-1可获得的ab*=b*a*（3）让n阶方阵a为aa12a？十一1n?a=?a21a22a2n?aa？n1n2ann于是可得a的伴随矩阵a*通过aa1121an1？a*=？a12a22an2？aa1n2nann注意到?a的转置矩阵为2-7）2-8）（（T可推出a的伴随矩阵为a11a12at=?A.1na21a22a2na12a22an2an1an2?ann*比较a与a可知t*a11a21在*=？a?n1*tt*a1na2n？安a=a*-1 | a≠ 0aa（4）因为a是可逆的，a的逆矩阵是，它可以从a=|a | E中得知 -1-1*-1-1|a|≠0aa=|a|e可得a由于,可逆且一a-1*=a|a|另一方面,由a*=|a | a-1a*a-1*=|a|a-1*由矩阵可逆的定义知,a可逆,并且*-1-1*一a=e|a|（5）对于（3）给出的矩阵a,有 -a12？-a11-a22？-a21-a=?-a-an2n1即a1j-1-ai-1j-1-ai+1j-1-anj-1-a1n?- a2n？-ann-哎呀的代数余子式为-a11-1i+j-a1j+1-ai-1j+1-ai+1j+1-anj+1-a1n-ai-1n-ai+1n-ann-ai-11-ai+11-an1故=-1艾吉，j=1,2,n-1n-1a11-1n-1a21-1n-1an1n-1n-1n-1-1a22-1an2-1a12n-1*-a*==-1an-1n-1n-1-1a-1a-1a1n2nnn（6）因为|a|≠0,故a可逆,并且l-1-1-1-1-1-1la=aaa=aaa=al个l个（7）对于（3）给出的矩阵a,有ka11ka1nka11kakaka?21222n?ka=卡坎恩？n1kaijkn-1aij与（5）相似的代数余因子是**t例2假设a是n阶非零矩阵，a的伴随矩阵a满足a=a，根据矩阵a与其对应的伴随矩阵之间的关系，证明a是可逆矩阵，有*t相反，假设a是不可逆的，则| a |=0。
判断矩阵可逆性的练习题
判断矩阵可逆性的练习题矩阵的可逆性是线性代数中一个重要的概念，它与矩阵的行列式密切相关。
在本文中，我们将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握矩阵的可逆性判断方法。
练习一：判断矩阵可逆性的基本方法给定一个2 × 2的矩阵A = [a, b; c, d]，其中a、b、c、d为实数。
我们可以通过计算矩阵A的行列式来判断矩阵的可逆性。
首先，计算矩阵A的行列式D = ad - bc。
如果D ≠ 0，那么矩阵A是可逆的；如果D = 0，那么矩阵A不可逆。
练习二：判断2 × 2矩阵可逆性的具体应用现在，我们来解决一个具体的问题。
给定矩阵A = [2, 1; 3, 4]，我们需要判断该矩阵是否可逆。
根据练习一的方法，我们计算矩阵A的行列式D = (2 × 4) - (1 × 3) = 8 - 3 = 5。
因为D ≠ 0，所以矩阵A是可逆的。
练习三：用逆矩阵判断矩阵可逆性除了通过行列式判断矩阵的可逆性外，我们还可以使用逆矩阵的概念来判断矩阵的可逆性。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A是可逆的，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
练习四：使用逆矩阵判断矩阵可逆性的具体应用现在，我们考虑一个3 × 3的矩阵B = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]。
我们需要判断矩阵B的可逆性，并找出它的逆矩阵。
首先，我们计算矩阵B的行列式D = 1 × (5×9 - 6×8) - 2 × (4×9 - 6×7) + 3 × (4×8 - 5×7) = -3。
因为D ≠ 0，所以矩阵B是可逆的。
接下来，我们可以使用伴随矩阵的方法来求出矩阵B的逆矩阵。
伴随矩阵的定义是：对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，其中(adj(A))ij = (-1)^(i+j) × Mij，Mij是A的(i, j)元素的代数余子式。
矩阵逆的公式范文
矩阵逆的公式范文首先，我们需要了解什么是矩阵。
矩阵是一个按特定规则排列成矩形形式的数或其他数学对象的表格。
一个m×n的矩阵有m行和n列，并用矩阵的元素表示。
矩阵逆的定义：对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A^(-1)。
在计算矩阵逆的公式时，首先需要判断矩阵是否可逆。
矩阵可逆的一个重要条件是行列式不为零。
如果一个矩阵的行列式等于零，则该矩阵不可逆。
行列式为零表示矩阵中的一些行或列是线性相关的，因此无法找到一个与之相乘得到单位矩阵的逆矩阵。
现在，我们来介绍矩阵逆的几种常见公式。
1.一阶矩阵逆的公式：对于一个只有一个元素的矩阵A，即A=[a]，其逆矩阵为A^(-1)=[1/a]。
2.二阶矩阵逆的公式：对于一个二阶矩阵A，即A=[[a,b],[c,d]]，其逆矩阵的公式为：A^(-1) = (1/，A，) * [[d, -b], [-c, a]]，其中，A，表示矩阵A的行列式，即ad-bc。
3.高阶矩阵逆的公式：对于高阶矩阵A，即A=[[a11, a12, ..., a1n], [a21, a22, ...,a2n], ..., [an1, an2, ..., ann]]，我们可以使用伴随矩阵的方法来求解逆矩阵。
首先，计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，其中第i行第j列的元素表示将矩阵A的第i行第j列的元素去掉的余子式乘以(-1)^(i+j)。
然后，计算行列式的倒数，并将伴随矩阵的每个元素除以该值，得到A的逆矩阵。
逆矩阵的公式为：A^(-1) = (1/，A，) * Adj(A)。
以上是计算矩阵逆的常见公式。
然而，对于大型矩阵，直接应用这些公式来计算逆矩阵通常是非常耗时的。
因此，实际计算中，我们更倾向于使用矩阵分解方法来求解逆矩阵，如LU分解、QR分解、Cholesky分解等。
希望这些内容对您有所帮助！。
矩阵的逆的典型例题
题目：设 、 、 都可逆，证明 可逆，且
涉及的知识点
知识点一：
矩阵的逆
知识点二：
矩阵的运算
解题方法
需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题.
内容：如能证明第一个等式成立 即 ,因而第二个等式也成立.下证第一个等式成立，只需证 .
下面给出四种证法.
1. 定义法.
2. 用定义直接验证，运算过程不同.
解题思路：利用正交阵的定义证.
解答：因为 均为正交矩阵，所以
， 成立.
从而
方法总结
需要配音或重点提示的文字：无
内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性质得到了方法1，2，3,也可用恒等变形.
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
需要配音或重点提示的文字：无
内容：
错误地推出 .
相关例题一
题目一：设 ， ， 为同阶非奇异矩阵，试证：
（1） 为非奇异矩阵；
（2） 也是非奇异矩阵，并求其逆阵.
解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证.
解答：（1）
因
故 即 为非奇异矩阵.
（2）因
由已知条件， 得
0
故 即 为非奇异矩阵，且
相关例题二
题目二：设 ， ， 均为正交矩阵，试证：
3. 定义法，运算过程不同。
4. 恒等变形.
解题过程
（配音或重点提示的文字：无
第二种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第三种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第四种证法
第一步：将 恒等变形，得到
判断矩阵可逆的充分必要条件
判断矩阵可逆的充分必要条件判断矩阵可逆，这事儿听起来可能有点枯燥，但其实挺有趣的。
咱们就像在侦探小说里解谜一样，探讨一下什么条件能让这个矩阵变得可逆。
你想啊，矩阵就像一位舞者，能否翩翩起舞、随意转身，全靠他自身的条件。
可逆，简单来说，就是你能从这个矩阵中“逆转”出来，不会被卡住。
如果你曾经被什么东西困住过，那种感觉你一定懂。
这个矩阵也一样，要让它畅通无阻，得有点条件。
行列式这个东西，你得好好瞧瞧。
它可不是个普通的数字，行列式为零，那这个矩阵就像个死水潭，动不了；一旦不为零，嘿，这个矩阵可就活泛了。
想象一下，零就像个黑洞，什么都吞噬，搞得人心慌慌的。
要是行列式不等于零，那就像阳光洒在水面上，波光粼粼，闪闪发亮，整个矩阵都跟着欢快起来，反向的舞步随便来。
这时候，所有的数值都能顺利找到自己的归属，不会出乱子。
行列式，不可小觑！咱们得聊聊线性无关这个概念。
你想，假如这几个行（或者列）像是一群小朋友，他们的个性得有点区别，不能都喜欢玩同样的游戏。
要是有两个小朋友特别合拍，偏偏老是一起行动，结果整个队伍就乱了。
这个矩阵要是行或者列之间有依赖关系，那就意味着它不能充分发挥作用。
大家都得各自独立，才能把矩阵的潜力发挥到极致。
线性无关，这可是个关键的法宝。
然后，咱们还得看看秩。
秩就像一个人的气场，越强大，越能吸引别人。
秩越高，说明这个矩阵的表现越亮眼，能容纳的自由度也就越多。
如果秩等于矩阵的行数或列数，那就代表这个矩阵真的很有实力，能够和任何人对话。
要是秩低，哎，那就尴尬了，像个被冷落的墙角，没人理会，整个气氛都沉闷得很。
还得提一嘴特征值，这玩意儿就像是矩阵的身份证。
要是特征值有零，那可就麻烦了，意味着这位舞者被卡住，无法继续舞动。
要是特征值都不为零，那这位舞者就能在舞池中尽情旋转，整个场面热火朝天，精彩纷呈。
特征值的存在让整个矩阵的个性更加鲜明，能否逆转，完全看它的气质。
还有一个比较容易忽略的地方，就是矩阵的伴随矩阵。
线性代数典型例题样例
内容：
错误地推出 .
相关例题一
题目一：设 ， ， 为同阶非奇异矩阵，试证：
（1） 为非奇异矩阵；
（2） 也是非奇异矩阵，并求其逆阵.
解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证.
解答：（1）
因
故 即 为非奇异矩阵.
（2）因
由已知条件， 得
0
故 即 为非奇异矩阵，且
相关例题二
题目二：设 ， ， 均为正交矩阵，试证：
ML32006
题目：设 、 、 都可逆，证明 可逆，且
涉及的知识点
知识点一：
矩阵的逆
知识点二：
矩阵的运算
解题方法
需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题.
内容：如能证明第一个等式成立 即 ,因而第二个等式也成立.下证第一个等式成立，只需证 .
下面给出四种证法.
1. 定义法.
2. 用定义直接验证，运算过程不同.
3. 定义法，运算过程不同。
4. 恒等变形.
解题过程
（详细过程）
第一种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第二种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第三种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第四种证法
第一步：将 恒等变形，得到
或
对上两式分别求逆，即
需要配音或重点提示的文字：无
学生常犯的错误ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解题思路：利用正交阵的定义证.
解答：因为 均为正交矩阵，所以
， 成立.
从而
方法总结
需要配音或重点提示的文字：无
内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性质得到了方法1，2，3,也可用恒等变形.
对可逆矩阵的定义及求法
对可逆矩阵的定义及求法
《可逆矩阵那些事儿》
嘿呀，今天咱来聊聊可逆矩阵这个神奇的东西！可逆矩阵呢，就像是一把能打开数学大门的钥匙。
咱就说有一次啊，我去参加一个数学兴趣小组的活动。
活动里老师就提到了可逆矩阵。
当时我就特别好奇，这到底是个啥玩意儿呀。
老师就解释说，可逆矩阵就像是一个可以反悔的操作。
比如说你走在路上，突然发现走错路了，那可逆矩阵就可以让你倒回去，找到正确的路。
然后呢，老师开始讲怎么求可逆矩阵啦。
这就像是找宝藏一样，得用一些方法和技巧才能找到。
老师说可以通过行列式的值呀，还有一些运算啥的来判断和求解。
我当时就想，这可真有意思，就像在玩一个解谜游戏。
在求可逆矩阵的过程中，我感觉自己就像是一个探险家，在数学的丛林里努力寻找着答案。
有时候会遇到一些难题，就像路上的荆棘一样，但我可不会轻易放弃，我要努力拨开这些荆棘，找到那个正确的可逆矩阵。
哎呀，总之呢，可逆矩阵虽然有点复杂，但其实也挺好玩的。
就像生活中的很多事情一样，只要我们用心去探索，就能发现其中的乐趣和奥秘。
我现在对可逆矩阵是越来越感兴趣啦，以后还要继续深入研究它呢！嘿嘿，这就是我对可逆矩阵的认识和体验啦，是不是很有趣呀！
希望大家也能像我一样，发现可逆矩阵的奇妙之处哦！。
分块法证明矩阵可逆例题
分块法证明矩阵可逆例题哎呀，说到矩阵可逆，大家的第一反应是不是都是一脸懵？别担心，今天咱们就用一个大家能理解的方式来聊聊这个话题，顺便捋顺了。
咱们从头说起，这个“分块法”其实就是一种很巧妙的技巧，挺像是拆解难题的方式。
像是做数学题，平时一眼看上去有点复杂，结果你发现其实可以分成几个小块来解决，每个小块都不难，合起来就能搞定大问题。
先给大家普及一下，什么叫矩阵可逆？就是有一个矩阵，它能够找出自己的“逆”矩阵，咱们把这个逆矩阵和原矩阵相乘，结果是一个单位矩阵。
简单点说，像是你和好朋友玩合力游戏，两个人互相帮忙，最后把大难题都解决了。
这时候，原矩阵和逆矩阵就是一对“搭档”。
如果矩阵有逆矩阵，那就代表它是可逆的，反之就不行。
这时候，分块法就登场了。
啥是分块法呢？简单说，就是把一个大矩阵分成几个小矩阵，逐个突破，搞定它。
就像是你去吃火锅，菜品太多，直接一次性下锅肯定吃不完，可你可以先把火锅分成一小部分，慢慢来嘛！就这意思，把矩阵分成几个块儿，逐步搞定。
说到这里，我猜你可能会想，这分块法是怎么帮助我们证明矩阵可逆的呢？别急，接着往下看。
分块法的核心思想是，把一个大矩阵拆成多个小矩阵，每个小矩阵负责一个小部分的计算。
这样一来，虽然整个问题看起来有点复杂，但通过分块之后，问题就小了，大家各自攻克。
就像你拆了大块的砖石，每块砖都能轻松搬运，累了也能休息一会儿，慢慢就能把整栋楼修好了。
假设我们有一个矩阵A，假设它可以拆分成4个小块，形式看起来就像是这样：A = begin{pmatrixA_{11 & A_{12A_{21 & A_{22end{pmatrix这个矩阵A就被分成了四个小块，A₁₁，A₁₂，A₂₁，A₂₂。
然后，我们的目标就是要证明这个矩阵A是可逆的，怎么做呢？要不然你也可以试着求它的逆矩阵，看它和A相乘能不能得到单位矩阵。
行了，别着急，咱们一步步来。
我们需要假设A₁₁和A₂₂都是可逆的，大家可以理解成它们是两块坚固的砖头，不容易被砸坏。
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【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆典型例题（二）方阵可逆的判定例1 设A是n阶方阵, 试证下列各式：（1）若|A|≠0, 则(AT)-1=(A-1)T；（2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则(AB)*=B*A*；（3）(AT)*=(A*)T；（4）若|A|≠0, 则(A*)-1=(A-1)*；（5）(-A)*=(-1)n-1A*；（6）若|A|≠0, 则(Al)-1=(A-1)l（l为自然数）；（7）(kA)*=kn-1A*. 证（1）因为|A|≠0,故A是可逆矩阵, 且AA-1=E两边同时取转置可得(AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E故由可逆矩阵的定义可知(A-1)T是AT的逆矩阵. 即(A-1)T=(AT)-1（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有(AB)*(AB)=|AB|E另一方面(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B=|A|B*B=|A| |B|E=|AB|E比较式（2-7）、（2-8）可知(AB)*(AB)=(B*A*)(AB)又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘(AB)-1 可得(AB)*=B*A*（3）设 n阶方阵A为⎡aa12 a⎡111n⎡A=⎡a⎡⎡21a22 a2n⎡⎡ ⎡⎡⎡aa⎡⎡n1n2 ann⎡ 于是可得A的伴随矩阵A*为⎡AA⎡1121 An1⎡A*=⎡A⎡⎡12A22 An2⎡⎡ ⎡⎡⎡⎡AA⎡1n2n Ann注意到⎡A 的转置矩阵为2-7）2-8）（（T可推出A的伴随矩阵为⎡a11⎡⎡a12AT=⎡⎡⎡a⎡1na21a22 a2nA12A22 An2an1⎡⎡an2⎡⎡ ⎡ann⎡⎡*比较A与(A)可知T*⎡A11⎡⎡A21(AT)*=⎡⎡⎡A⎡n1*TT*A1n⎡⎡A2n⎡⎡ ⎡Ann⎡⎡(A)=(A)*-1|A|≠0AA （4）因为, 故A可逆, A的逆矩阵为, 并且由A=|A|E可知-1-1*-1-1|A|≠0A(A)=|A|E可得 A由于, 可逆且1(A-1)*=A|A|另一方面, 由A*=|A|A-1A*(A-1)*=|A|A-1*由矩阵可逆的定义知, A可逆, 并且*-1-1*1A=E|A|(A)=(A)（5）对于（3）给出的矩阵A, 有-a12⎡-a11⎡-a22⎡-a21-A=⎡⎡⎡-a-an2⎡n1即a1j-1 -ai-1j-1-ai+1j-1-anj-1-a1n⎡⎡-a2n⎡⎡⎡-ann⎡⎡-aij的代数余子式为-a11(-1)i+j-a1j+1 -ai-1j+1-ai+1j+1-anj+1-a1n -ai-1n-ai+1n -ann-ai-11-ai+11 -an1故=(-1)n-1Aij (i,j=1, 2, , n)⎡(-1)n-1A11(-1)n-1A21 (-1)n-1An1⎡⎡⎡n-1n-1n-1 (-1)A22 (-1)An2⎡⎡(-1)A12n-1*(-A)*=⎡⎡=(-1)A⎡⎡⎡⎡n-1n-1n-1(-1)A(-1)A (-1)A1n2nnn⎡⎡（6）因为|A|≠0, 故A可逆, 并且l-1-1-1-1-1-1l(A)=(AA A)=AA A=(A)l个 l个（7）对于（3）给出的矩阵A, 有ka11 ka1n⎡⎡ka11⎡⎡kaka ka⎡21222n⎡kA=⎡⎡⎡⎡⎡kakan2 kann⎡n1⎡⎡kaijkn-1Aij类似于（5）可知的代数余子式为, 故**T例2 设A是n阶非零矩阵, 并且A的伴随矩阵A满足A=A, 证明A是可逆矩阵. 证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式, 有*T反证, 假设A不可逆, 故有|A|=0, 由上式及条件A=A, 有AA*=AAT=O （2-6）设矩阵A为a12 a1n⎡⎡a11⎡⎡aa a⎡21222n⎡A=⎡⎡⎡⎡⎡aan2 ann⎡n1⎡⎡由式（2-6）可知a12 a1n⎡⎡a11a21 an1⎡⎡a11⎡⎡⎡⎡aa aaa a⎡21222n⎡⎡1222n2⎡AAT=⎡ ⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡a⎡aan2 ann⎡a2n ann⎡n11n⎡⎡⎡⎡nn⎡n2⎡aaa aa⎡1i1i2i1ini⎡i=1i=1i=1⎡⎡nnn⎡⎡2aaa aa2i1i2i2ini⎡=O=⎡i=1i=1i=1⎡⎡ ⎡n⎡nn⎡2⎡aaaa ani1ini2ini⎡⎡i=1i=1i=1⎡⎡比较上式两边矩阵对角线上的元素有AA*=A*A=|A|E∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ai=1n2ji=0 (j=1, 2, , n)故aj1=aj2= =ajn=0 (j=1, 2, , n)因此有A = O, 与A是n阶非零矩阵矛盾, 故A是可逆矩阵. 例3 设A、B都是n 阶可逆矩阵, 证明：(AB)-1=A-1B-1的充要条件是AB=BA-1证必要性：因为(AB)=A-1B-1=(BA)-1(AB)(AB)-1(BA)=(AB)(BA)-1(BA) 因此AB=BA 即充分性：因为AB=BA, 故(AB)-1=(BA)-1=A-1B-1.|A|=1,A=A 例4 设A是一个n阶方阵, n为奇数, 且, 证明(I-A)不可逆. T-1证因为A=A, 故因此有AAT=AA-1=E所以故E-A是不可逆矩阵.-1(E-A)求.TT|E-A|=|AA-A|=|A(A-E)|T=|A| |(A-E)|=|A-E|=(-1)n|E-A|=-|E-A||E-A|=0k例5 设A是n阶方阵且对某个正整数k满足A=O, 证明E-A是可逆矩阵, 并证由于k2k-11-x=(1-x)(1+x+x+ +x)故对于方阵A的多项式, 仍有注意到A=O, 故有E-Ak=(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)因此(E-A)可逆, 并且(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E (E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1 (A*)*是A的伴随矩阵A*的伴随矩阵, 证明：例6 设A是n(n2)阶方阵,2**n-2(A)=|A|A；（1）**(n-1)（2）|(A)|=|A|.证（1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系, 有即从而有*AA*=|A|EA*(A*)*=|A*|EAA*(A*)*=|A|(A*)*=A[A*(A*)*]=|A*|A对AA=|A|E两边取行列式, 有*n-1若A可逆, |A|≠0, 故|A|=|A|, 于是有|AA*|=|A||A*|=||A|E|=|A|n***|A|=0(A)=0, 仍有 A若A不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故**n-2(A)=|A|A ****A(A)=|A|E两边取行列式, 有（2）对********n|A(A)|=|A||(A)|=||A|E|=|A| *n-1|A|≠0|A|=|A|≠0, 于是可知若A 可逆, 所以, 从而有***n-1n-1n-1(n-1)|(A)|=|A|=(|A|)=|A| **(n-1)2若A不可逆, 则|(A)|=0=|A|22例7 设A、B是同阶方阵, 已知B是可逆矩阵, 且满足A+AB+B=O, 证明A和A+B 都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.2|A*|(A)=A=|A|n-2AA**22A+AB=A(A+B)=-B 证因为, 由于2n2|A(A+B)|=|A||A+B|=|-B|=(-1)|B|≠0所以|A|≠0, |A+B|≠0因而有 A,A+B可逆.2-1-(B)A(A+B)=E 由2-1由 -A(A+B)(B)=E-12-1(A+B)=-(B)A 可知-12-1可知A=-(A+B)(B).例8 设A、B均是n阶方阵, 且-1E+AB可逆, 则E+BA也可逆, 并且-1(E+BA)=E-B(E+AB)A证考察两个矩阵的乘积因此(E+BA)可逆, 并且(E+BA)(E-B(E+AB)-1A)=E+BA-B(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A-1-1=E+BA-B[(E+AB)A+AB(E+AB)A]-1=E+BA-B(E+AB)(E+AB)A=E+BA-BA=E例9 设n阶矩阵A、B和A+B均可逆, 证明：-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A(A+B)B=B(A+B)A A+B （1）也可逆, 且-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A-A(A+B)A=B-B(A+B)B （2）(E+BA)-1=E-B(E+AB)-1A证（1）因为-1-1-1-1-1-1-1BA+B=AA(A+B)BB=A(A+B)两边取行列式有-1-1-1-1|A+B|=|A||A+B||B|-1因为-1-1故 A+B是可逆矩阵.-1|A|≠0 A+BA、B、可逆, 故|A-1+B-1|≠0|B-1|≠0|A+B|≠0所以有(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B -1-1-1=(E+BA)[B(A+B)]故(A+B)-1-1-1=A(A+B)-1B=(E+B-1A)(E+B-1A)-1=E同理可证（2）因为(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A.(A+B)[A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1]=(A+B)[A-1-A-1A(A+B)-1BA-1] -1(A+B)=(A+B-B)A-1=AA-1=I=A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1=(A+B)[I-(A+B)-1B]A-1故同理可证(A+B)-1=B-1-B-1(A-1+B-1)-1B-1.。