2016经典考题整理构造函数

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高三构造函数练习题

高三构造函数练习题在高三的数学学习中，构造函数是一个重要的概念。

它不仅能够帮助我们解决问题，还能够提高我们解题的效率。

下面，将会给出一些高三构造函数的练习题，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。

1. 请找出以下函数的构造函数：a) f(x) = x^2 + 3x + 2b) g(x) = sqrt(x) + 1c) h(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 12. 如果已知 f(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1，那么请写出 f(x + 1) 的构造函数。

3. 如果已知 f(x) = 2x^2 - 3，那么请写出 f(3x) 的构造函数。

4. 如果已知 f(x) = 4 - x^2，那么请写出 f(a + x) 的构造函数。

5. 如果已知 f(x) = 3x - 2，那么请写出 f(kx) 的构造函数。

解答：1. a) 构造函数为 f(x) = x^2b) 构造函数为 g(x) = sqrt(x)c) 构造函数为 h(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x2. 将 x + 1 代入 f(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1，得到 f(x + 1) = (x + 1)^3 + 2(x + 1)^2 + (x + 1) + 1展开并化简得到 f(x + 1) = x^3 + 4x^2 + 6x + 43. 将 3x 代入 f(x) = 2x^2 - 3，得到 f(3x) = 2(3x)^2 - 3进一步化简得到 f(3x) = 18x^2 - 34. 将 a + x 代入 f(x) = 4 - x^2，得到 f(a + x) = 4 - (a + x)^2展开并化简得到 f(a + x) = -x^2 - 2ax - a^2 + 45. 将 kx 代入 f(x) = 3x - 2，得到 f(kx) = 3(kx) - 2进一步化简得到 f(kx) = 3kx - 2通过以上练习题，我们可以看到构造函数的作用。

构造函数(含答案)

构造函数常见构造函数方法：1.利用和差函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f +=⇒<>'+'或；（2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f =⇒<>''或；（3）kx x f x F k x f -=⇒<>')()()(k )(或； 2.利用积商函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f =⇒<>'+'或；（2）)0)(()(g )()()0(0)()(-)(g )(≠=⇒<>''x g x x f x F x g x f x x f 或；（3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f =⇒<>+'或；（4）)0(x)()()0(0)(-)(x ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或；（5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n=⇒<>+'或; (6))0(x)()()0(0)(n -)(x n ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或; (7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x=⇒<>+'或; (8))0(e )()()0(0)(-)(x≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或; (9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx=⇒<>+'或; (10))0(e)()()0(0)(k -)(k x≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或; (11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f =⇒<>'+或;(12))0(sin sinx )()()0(0tan )(-)(≠=⇒<>'x x f x F x x f x f 或; (13))0(cos cos )()()0(0)(tanx )(≠=⇒<>+'x xx f x F x f x f 或; (14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f =⇒<>'或;(15)()+lna ()0(0)()()xf x f x F x a f x '><⇒=或;(16)()()lna ()0(0)()x f x f x f x F x a '-><⇒=或;考点一。

导数构造函数十三种题型归纳

导数构造函数十三种题型归纳目录【题型一】利用x nf （x ）构造型【题型二】利用f （x ）/x n构造型【题型三】利用e nx f （x ）构造型【题型四】利用f （x ）/e nx 构造型【题型五】利用sinx 与f （x ）构造型【题型六】利用cosx 与f （x ）构造型【题型七】复杂型：e n与af （x ）+bg(x)等构造型【题型八】复杂型：（kx+b ）与f （x ）型【题型九】复杂型：与ln （kx+b ）结合型【题型十】复杂型：基础型添加因式型【题型十一】复杂型：二次构造【题型十二】综合构造【题型十三】技巧计算型构造【题型一】利用x nf （x ）构造型【典例精讲】函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且满足'()2()0+>xf x f x ，则不等式(2016)(2016)5(5)52016x f x f x ++<+的解集为A ．{}2011x x -B ．{}|2011x x <-C ．{}|20110x x -<<D ．{}|20162011x x -<<-【答案】D 【解析】设2()()g x x f x =，则2'()2()'()['()2()]g x xf x x f x x xf x f x =+=+，由已知当0x >时，'()0g x >，()g x 是增函数，不等式(2016)(2016)5(5)52016x f x f x ++<+等价于22(2016)(2016)5(5)x f x f ++<，所以020165x <+<，解得20162011x -<<-．本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数2()()g x x f x =，从而可以利用已知的不等式关系判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：()()g x xf x =，()()f x g x x =，()()x g x e f x =，()()x f x g x e=，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式．【总结提升】基本规律1.x ()+()0 0g x =x f x f x f x '><对于（），构造（）（），2.k x ()k ()0 0g x =x f x f x f x '+><对于（），构造（）（）【变式练习】1.已知定义域为的奇函数的导函数为()f x '，当时，()()0f x f x x'+>，若，则的大小关系正确的是 A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】构造函数()()g x xf x =，利用已知条件确定'()g x 的正负，从而得其单调性．设()()g x xf x =，则'()()'()g x f x xf x =+， ∵()'()0f x f x x +>，即'()()'()0xf x f x g x x x+=>， ∵当0x <时，)'(0g x <，当0x >时，'()0g x >，()g x 递增．又()f x 是奇函数，∵()()g x xf x =是偶函数，∵(2)(2)g g -=，1(ln )(ln 2)(ln 2)2g g g =-=，∵10ln 222<<<，∵1()(ln 2)(2)2g g g <<，即a c b <<．故选C ．2.已知()f x 的定义域为0,，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,【答案】B 【分析】根据题意，构造函数()y xf x =，结合函数的单调性解不等式，即可求解. 【解析】根据题意，构造函数()y xf x =，()0,x ∈+∞，则()()0y f x xf x ''=+<，所以函数()y xf x =的图象在()0,∞+上单调递减.又因为()()()2111f x x f x +>--，所以()()22(1)(1)11x f x x f x ++>--，所以2011x x <+<-，解得2x >或1x <-（舍）.所以不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是()2,+∞.故选：B.3.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，且2()()0f x xf x '+>．则下列不等式在R 上恒成立的是（） A ．()0f x ≥ B ．()0f x ≤C ．(x)x f ≥D ．()f x x ≤【答案】A【分析】根据给定不等式构造函数2()()g x x f x =，利用导数探讨()g x 的性质即可判断作答. 【解析】依题意，令函数2()()g x x f x =，则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+，因2()()0f x xf x '+>，于是得0x <时()0g x '<，0x >时()0g x '>，从而有()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因此得：2,()()(0)0x R x f x g x g ∀∈=≥=，而(0)0f >，即f (x )不恒为0，所以()0f x ≥恒成立.故选：A【题型二】利用f （x ）/x n构造型【典例精讲】函数()f x 在定义域0,内恒满足：∵()0f x >，∵()()()23f x xf x f x '<<，其中fx 为()f x 的导函数，则A ．()()111422f f << B ．()()1111628f f << C ．()()111322f f << D ．()()111824f f <<【答案】D 【解析】令()()2f xg x x =，()0,x ∈+∞，()()()32xf x f x g x x '-'=，∵()0,x ∀∈+∞，()()()23f x xf x f x '<<，∵()0f x >，0g x，∵函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，∵()()12g g <，即()()412f f <，()()1124f f <，令()()3f x h x x =，()0,x ∈+∞，()()()43xf x f x h x x '-'=，∵()0,x ∀∈+∞，()()()23f x xf x f x '<<，()0h x '<，∵函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∵()()12h h >，即()()218f f >，()()1182f f <，故选D.【总结提升】基本规律1.f x x ()-()0 0g x =xf x f x '><（）对于（），构造（）， 2.k f x x ()-k ()0 0g x =xf x f x '><（）对于（），构造（）【变式练习】1.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =，利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【解析】构造函数2()()f x g x x =,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增，又()f x 为偶函数，21y x= 为偶函数，所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减.(3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）;()19f x x x <，当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ；当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃.故选：A2.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1xf x e -≥的解集为（）A ．(],1-∞B ．(],e -∞C ．[)1,+∞D ．[),e +∞【答案】C 【分析】由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()xg x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集. 【解析】解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.令()()xg x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等式()1x f x e -≥，可变形为()x e f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1xf x e -≥的解集为[)1,+∞.故选：C.【题型三】利用e nx f （x ）构造型【典例精讲】已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：当1x ≠时，()()()1x f x f x ⎡⎤-+⎣'⎦>0，()()222xf x e f x -=-，则下列判断一定正确的是 A ．()()10f f < B ．()()440e f f < C ．()()20ef f > D ．()()330e f f >【答案】D【分析】构造函数()()xg x f x e =,结合导函数,判定()g x 的单调性,()()g 2x g x 由，-=得()g x 的对称轴,对选项判断即可.【解析】构造函数()()x g x f x e =,计算导函数得到()'g x =()()x e f x f x +'⎡⎤⎣⎦，由()1x -()()f x f x +'⎡⎤⎣⎦>0,得当x 1>,()()f x f x '+>0,当x 1<时,()()f x f x '+<0.所以()g x 在()1,∞+单调递增,在(),1∞-单调递减,而()()()()()2x 2x x 22xf xg 2x f 2x e e f x e g x e----=-=⋅==,所以()g x 关于x 1=对称,故()()()()()3g 3e f 3g 1g 00f ==->=,得到()()3e f 3f 0>,故选:D.【总结提升】基本规律1.x ()+()0 0g x =e f x f x f x '><对于（），构造（）（），2.kx ()+k ()0 0g x =e f x f x f x '><对于（），构造（）（）【变式练习】1.已知()f x 是R 上可导的图象不间断的偶函数，导函数为()f x '，且当0x >时，满足()()20'+>f x xf x ，则不等式()()121xe f x f x -->-的解集为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()0,∞+【答案】B【分析】构造函数2()()x g x e f x =，根据()()20'+>f x xf x ，结合题意可知函数()g x 是偶函数，且在()0,∞+上是增函数，由此根据结论，构造出x 的不等式即可．【解析】由题意：不等式()()121xef x f x -->-可化为：21(1)()x f x f x e -->，两边同乘以2(1)x e -得：22(1)(1)()x x e f x e f x -->，令2()()x h x e f x =，易知该函数为偶函数，因为[]2()()2()x h x e f x xf x ''=+， ()()20'+>f x xf x ，所以()0,(0)h x x '>>所以()h x 在()0,∞+上是单调增函数，又因为()h x 为偶函数，故22(1)x x ->，解得：12x <．故选：B ．2.设函数()f x 的定义域为R ，()'f x 是其导函数，若()()e ()x f x f x f x '-'+>-，()01f =，则不等式()f x >21x e +的解集是（） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)【答案】A【分析】构造函数()()1()xg x e f x =+，通过求导判断函数()g x 的单调性,利用函数()g x 的单调性解不等式即可.【解析】令()()1()x g x e f x =+，则()()()1()x x g x e f x e f x ''=++，因为()()e ()x f x f x f x '-'+>-，所以()()1e ()0x f x f x -'++>，化简可得()e ()e 1()0x x f x f x '++>，即()0g x '>，所以函数()g x 在R 上单调递增，因为()f x >21xe +，化简得()1()2xe f x +>，因为()()0202g f ==，()()1()xg x e f x =+，所以()(0)g x g >，解得0x >，所以不等式2()1xf x e >+的解集是(0,)+∞.故选：A 3.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1xf x e -≥的解集为（）A ．(],1-∞B ．(],e -∞C ．[)1,+∞D ．[),e +∞【答案】C【分析】由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()xg x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集. 【解析】解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.令()()xg x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等式()1x f x e -≥，可变形为()x e f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1xf x e -≥的解集为[)1,+∞.故选：C.【题型四】用f （x ）/e nx 构造型【典例精讲】已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且对于x R ∀∈，均有()()'f x f x >，则有A ．()()()()2017201720170,20170ef f f e f -B ．()()()()2017201720170,20170e f f f e f -<<C ．()()()()2017201720170,20170e f f f e f ->>D ．()()()()2017201720170,20170e f f f e f ->< 【答案】D【分析】通过构造函数()()x f x g x e =，研究()()xf xg x e =函数的单调性进而判断出大小关系．【解析】因为()()'f x f x >。

高考压轴题解题方法归纳总结之构造函数

高考压轴题解题方法归纳总结之构造函数一、构造差函数h (x )＝f (x )－g (x )证明不等式f (x )>g (x ) 二、参变分离后构造函数例1．(2016·沈阳一模)已知函数f (x )＝a ln x (a >0)，e 为自然对数的底数． (1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值；(2)当x >0时，求证：f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x ； (3)若在区间(1，e)上存在x 使得01<-x e e aax 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a2＝2，a ＝4.(2)证明：令g (x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x －1＋1x ，g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2. 令g ′(x )>0，即a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2>0，解得x >1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )的最小值为g (1)＝0，∴f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x . (3)由题意可知01<-x e e aax ，化简得x －1a <ln x ，又x ∈(1，e)，∴a >x －1ln x .令h (x )＝x －1ln x ，则h ′(x )＝ln x －(x －1)·1x (ln x )2＝ln x －1＋1x (ln x )2，由(2)知，当x ∈(1，e)时，ln x －1＋1x>0，∴h ′(x )>0，即h (x )在(1，e)上单调递增，由洛毕达法则，可知111lim ln 1lim11==-→→xx x x x ，∴a >1.变式训练1当0≥x 时，若不等式1+≥ax e x 恒成立，则实数a 的取值范围是_________. 略解：1≤a 。

三、利用目标不等式构造函数例2．(2018·张掖一诊)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )＞1，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )＞32－2sin 2x 2的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 B.⎝⎛⎭⎫－π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫0，π3 D.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12＞0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )，∴f (2cos x )＞32－2sin 2x2，即g (2cos x )＞0，∴2cos x ＞1.又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－π3，π3. 变式训练2函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则m ′(x )＝f ′(x )－2＞0，∴m (x )在R 上是增函数． ∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )＞0的解集为{}x |x ＞－1，即f (x )＞2x ＋4的解集为(－1，＋∞)． [答案] B四、利用导函数构造原函数例3．（1）(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，x f ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)[解析] 设y ＝g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A. [答案] A（2）已知函数f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＋f (x )＝2x e －x ，若f (0)＝1，则函数)()('x f x f 的取值范围为( )A ．[－1，0]B ．[－2，0]C ．[0，1]D ．[0，2]解析：选B 由f ′(x )＋f (x )＝2x e －x ，得e x f ′(x )＋e x f (x )＝2x ，∴[e x f (x )]′＝2x ，设e x f (x )＝x 2＋c ，由于f (0)＝1，因而c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1e x ，f ′(x )＝2x e x －（x 2＋1）e x e 2x ＝－（x －1）2e x，∴f ′（x ）f （x ）＝－（x －1）2x 2＋1＝－1＋2x x 2＋1，当x ＝0时，f ′（x ）f （x ）＝－1，当x ≠0时，2x x 2＋1＝2x ＋1x∈[－1，1]，当x ＝－1时取得最小值，当x ＝1时取得最大值，从而f ′（x ）f （x ）的取值范围为[－2，0]，故选B.（3）(2016·沈阳模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，x f ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：根据题意，设函数g (x )＝f (x )x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )·x －2·f (x )x3<0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零．答案：D变式训练3（1）已知函数f (x )，g (x )在区间[a ，b ]上均有f ′(x )<g ′(x )，则下列关系式中正确的是( )A ．f (x )＋f (b )≥g (x )＋g (b )B ．f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )C ．f (x )≥g (x )D ．f (a )－f (b )≥g (b )－g (a ) 答案：B（2）已知函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，y ＝f ′(x )是y ＝f (x )的导数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立．已知a ＝f (log 32)log 32，b ＝f (log 52)log 52，c ＝2f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 解析：选B 由函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，可知y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )为偶函数．令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，由题意知g (x )在(－∞，0)上单调递减．又y ＝f (x )为偶函数，则g (x )为奇函数，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又0＜log 52＜log 32＜1＜2，所以g (log 52)＞g (log 32)＞g (2)，即b ＞a ＞c .（3）若的导数为,且满足则与的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．不能确定答案：C ．（4）定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f (2)f (1)<16B ．4<f (2)f (1)<8C ．3<f (2)f (1)<4D ．2<f (2)f (1)<3解析：选B ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0，∴y ＝f (x )x 2在(0，＋∞)上单调递增，∴f (2)22>f (1)12，即f (2)f (1)>4.∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0，∴y ＝f (x )x 3在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2)23<f (1)13，即f (2)f (1)<8.综上，4<f (2)f (1)<8.五、构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，根据“相同结构”构造辅助函数；例4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若x 2f ’(x )＋xf (x )＝sin x (x ∈(0，6))，f (π)＝1，则下列结论正确的是( )A ．)1(31)3(f f <B ．)5(45)4(f f <C ．))6,0(()(∈>x xx f πD ．以上结论都不对解析：选D 因为x 2f ′(x )＋xf (x )＝sin x ，x ∈(0，6)，所以xf ′(x )＋f (x )＝sin xx，设g (x )＝xf (x )，x ∈(0，6)，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝sin xx，由g ′(x )>0得0<x <π，g ′(x )<0得π<x <6，所以当x ＝π时，函数g (x )＝xf (x )有最大值g (π)＝πf (π)＝π.变式训练4 f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )<0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．af (b )<f (b )D ．bf (b )<f (a ) 答案：A例5．设函数x x f ln )(=，)(2)1)(2()(x f x a x g ---=． (1)当1=a 时，求函数)(x g 的单调区间和极值；(2)设)0(1)()(>++=b x bx f x F ．对任意2121],2,0(,x x x x ≠∈，都有1)()(2121-<--x x x F x F ，求实数b 的取值范围.()f x ()f x '()(),f x f x '<(3)f 3(0)e f 3(3)(0)f e f >3(3)(0)f e f =3(3)(0)f e f <解：当1=a 时，x x x g ln 21)(--=，定义域为），（∞+0，xx x x g 221)(-=-=' 当)2,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减，当)2(∞+∈，x 时，0)(>'x g ,)(x g 单调递增，综上，)(x g 的单调递增区间为)2(∞+，，单调递减区间为)2,0(，所以2ln 21)2(-==g y 极小值（2）由题意得01)()(2121<+--x x x F x F ，即112212()[()]0F x x F x x x x +-+<-，若设x x F x G +=)((），则）x G (在]2,0(上单调递减， ①当]2,1[∈x 时，x x bx x G +++=1ln (），011-1(2≤++='）（）x b x x G ， 313)1()1(222+++=+++≥xx x x x x b 在]2,1[上恒成立，设313)(21+++=x x x x G ，则211-32)(xx x G +='，当]2,1[∈x 时，0)(1>'x G ， )(1x G 在]2,1[上单调递增，2272)(11=≤）（G x G ，∴227≥b②当]1,0（∈x 时，x x bx x G +++-=1ln (），011-1(2≤++-='）（）x b x x G ， 11)1()1(222--+=+++-≥xx x x x x b 在]1,0(上恒成立，设1-1-)(22x x x x G +=，则0112)(22>++='xx x G ，即)(2x G 在]1,0(上单调递增，01)(22=≤）（G x G ，∴0≥b . 综上，由①②可得227≥b变式训练5 (2017·洛阳模拟)已知函数f (x )＝e x ＋m ln x (m ∈R ，e 为自然对数的底数)，若对任意正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2成立，则实数m 的取值范围是________．[解析] 依题意得，对于任意的正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有f (x 1)－x 1＞f (x 2)－x 2，因此函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0，＋∞)上是增函数，于是当x ＞0时，g ′(x )＝f ′(x )－1＝e x ＋mx－1≥0，即x (e x －1)≥－m 恒成立．设h (x )＝x (e x－1)，x ＞0，则有h ′(x )＝(x ＋1)e x －1＞(0＋1)e 0－1＝0(x ＞0)，故h (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，h (x )的值域是(0，＋∞)，因此－m ≤0，m ≥0. 故所求实数m 的取值范围是[0，＋∞)． [答案] [0，＋∞)六、利用点的轨迹构造函数例6．设2222)4(ln )(4),(a a m a m m a f +-+-=，当正数m ，实数a 变化时，),(m a f 的最小值为____________．解析：设点)ln ,(m m P ，)4,(2a a Q ，则点P 在函数x y ln =的图象上，点Q 在函数42x y =的图象上。

专题01 函数与导数之构造函数(解析版)

专题01 构造函数一、考情分析函数与导数是高考必考的知识点，考试形式有选择题也有填空题，并且都以压轴题为主。

题目难度都偏大，对学生的思维能力考查都要求比较高。

构造函数，是我们高中数学处理和研究函数与导数的一种有效方法，通过分离变量和参数，构造新的函数去研究其新函数的单调性，极值点，从而使问题得到解决。

二、经验分享（常见函数构造类型）（1）.常见函数的变形1. 对于不等式()k x f >'()0≠k ，构造函数()()b kx x f x g +-=.2. 对于不等式()()0'>+x f x xf ，构造函数()()x xf x g =3. 对于不等式()()0'>-x f x xf ，构造函数()()xx f x g =()0≠x 4. 对于不等式()()0'>+x nf x xf ，构造函数())(x f x x g n=5. 对于不等式()()0'>-x nf x xf ，构造函数()n x x f x g )(=6. 对于不等式()()0'>-x f x f ，构造函数()x e)(x f x g =7. 对于不等式()()0'>+x f x f ，构造函数())(x f e x g x=8. 对于不等式()()0'>+x kf x f ，构造函数())(x f e x g kx = （2）.双变量函数的变形1.形如()b a f f ab ⎛⎫⎪⎝⎭或的函数，构造函数，令b a t t a b ==或者，求(t)f ； 2.对于(x)f ,形如1212(x )(x )f f x x --的函数，要结合图像构造函数的切线方程，求斜率；3.形如(x)g(x)f >或(x)g(x)f <的函数不等式，（1）.可以构造函数)(-)(x g x f x F =）（，然后求）（x F 的最大值和最小值；（2）.如果(x)0g >，我们也可以构造函数()(x)(x)f G xg =，求()G x 的最值 .三、题型分析(一) 与圆锥曲线（双参数）有关的构造函数例1.【四川省成都市2019届高三第一次诊断性考试，理科，12】设椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的左右顶点为A,B.P 是椭圆上不同于A,B 的一点，设直线AP,BP 的斜率分别为m,n ，则当()||ln ||ln 32323n m mnmn b a +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-取得最小值时，椭圆C 的离心率为（） A.51 B.22 C.54D.23【答案】D【解析】设()()(),,,0,,0,00y x P a B a A -，点P 在双曲线上，得()01220220>>=+b a bya x C ：，220222)(a x a b y -=，所以a x y m +=00，a x y m -=00，化简,22a b mn -= 原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=b a b a b a b a a b a b a b b a ln 63232ln 62323232222 所以设1>=b a t ，构造函数t t t t t f ln 63232)(23++-=，求导可以得到： 2t = 时，函数取得最小值=)2(f ，2=ba，23=e 。

构造函数和析构函数习题

构造函数和析构函数习题一、选择题1、以下有关构造函数的叙述不正确的是( )。

A、构造函数名必须和类名一致B、构造函数在定义对象时自动执行C、构造函数无任何函数类型D、在一个类构造函数有且仅有一个2、以下有关析构函数的叙述不正确的是( )。

A、一个类只能定义一个析构函数B、析构函数和构造函数一样可以有形参C、析构函数不允许有返回值D、析构函数名前必须冠有符号“~”3、系统提供的默认拷贝构造函数中形参表和函数体分别为( )。

A、形参表为空，函数体为空B、形参表为空，函数体不为空C、形参表不为空，函数体为空D、形参表不为空，函数体不为空4、设A为test类的对象且赋有初值，则语句test B=A; 表示( )。

A、语法错B、为对象A定义一个别名C、调用复制构造函数，将对象A复制给对象BD、仅说明B和A属于同一类5、若有如下类定义，则下列叙述正确的是( )。

class Time{ int H,M,S;public:void Time(int h,int m,int s) { }; //A} //BA、A行有错误B、B行有错误C、A和B行都有错误D、A和B行都没有错误6、若有如下类定义，则下列叙述正确的是( )。

class S{ int x;public:S ( ) {x=0;}S (int a) {x=++a;}void show( ) {cout<<”x=”<<x<<endl; } };int main(){ S s1=100;s1.show();return 0;}A、有语法错B、100C、101D、07、若有如下类定义，x的值是( )。

class S{ int x;S (int a=0) {x=++a;}~S ( ) { };};int main( ){ S a (10);return 0;}A、0B、10C、11D、有语法错，得不到值8、假定AB为一个类，则执行“AB a(4),b[3],*p[2];”语句时，自动调用该类构造函数的次数为( )。

微专题：运用导数运算法则构造函数(解析版)

微专题：运用导数运算法则构造函数一、知识梳理导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；特别的 [cf (x )]′＝cf ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．常见函数的变形1、对)()(x g x f '>'，构造)()()(x g x f x h -=；对()k x f >'()0≠k ，构造()()b kx x f x g +-=.2、对于形如'fxkf x ，构造函数())(x f e x g kx =；特别的，对'f xf x ，构造())(x f e x g x =3、对形如'fxf x ，构造函数()xe )(x f x g =4、对形如'xf xnf x ，构造函数())(x f x x g n =，特别的'xf xf x ，构造()()x xf x g =5、对形如'xfxnf x ，构造函数()nxx f x g )(=；特别的'xf x f x ，构造()()xx f x g =()0≠x 6、对形如()()ln f x f x x x'+，构造()()ln h x f x x =. 7、对于()()tan (()()tan )f x f x x f x f x x ''><或，即()cos ()sin 0(0)f x x f x x '-><，构造()()cos h x f x x =．对于()cos ()sin 0(0)f x x f x x '+><，构造()()cos f x h x x=．二、常见题型剖析题型一、根据导数运算公式构造函数【例1】设(),()f x g x 是R 上的可导函数，(),()f x g x 分别是(),()f x g x 的导函数，且满足()()()()0f x g x f x g x ，则当a x b <<时，有（）.()()()()A f a g b f b g a > .()()()()B f a g a f a g b > .()()()()C f a g a f b g b > .()()()()D f a g a f b g a >【答案】【解析】因为''()()()g ()0f x g x f x x +<不等式左边的原函数为()()f x g x ，令()()()h x f x g x =，可知'()0h x <，则函数()h x 是单调递减函数，因此当a x b <<，有()()h a h b >即C【变式1】设(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时()()()()0f x g x f x g x ，且(3)0f ，则不等式()()0f x g x 的解集是（）A ．()()303－，，＋ B ．()()3003－，，C ．()()33－，－，＋ D ．())303(－，－，【答案】D【解析】构造函数()()()f x h xg x ，易知()h x 为奇函数且(3)0h ．2()()()()()()f xg x f x g xh x g x ．故当0x时，()0h x ，()h x 单调递增．所以()h x 在(−∞，0)上为增函数，且ℎ(−3)＝0，当R ∈(−∞，−3)时，()0h x ，此时()()0f x g x ，因为函数()h x 为奇函数，当R ∈(0，3)时，()0h x ，此时()()0f x g x ，综上，不等式()()0f x g x 的解集是())303(－，－，(－∞，－3)∪(0，3)．故选：D题型二、根据()()f x g x ''±构造函数()()f x g x c ±+【例2】函数的定义域为，对任意则的解集为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】令，则，因为对任意所以对任意恒成立；因此，函数在上单调递增；()f x R (1)7,f =,x R ∈()3,f x '>()34f x x >+(1,1)-(1,+)∞(,1)-∞-(,+)-∞∞()()3g x f x x =-()()3g x f x ''=-,x R ∈()3,f x '>()()30g x f x ''=->x R ∈()()3g x f x x =-R又所以，因此不等式可化为，所以.故选B【变式2】已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且()f x 的导函数()f x '在R 上恒有()12f x '<，则不等式()122x f x <+的解集为（） A ．()1,+∞ B ．(),1-∞ C ．()1,1- D ．()(),11,-∞+∞【答案】A【解析】因为()122x f x <+可化为()1022x f x --<，令()()122x g x f x =--，则()()12g x f x ''=-，因为()12f x '<，所以()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()11f =，所以()()1111022=--=g f ，所以()()1g x g <，所以1x >，即不等式()122x f x <+的解集为()1,+∞．故选：A ．题型三、根据()()xf x nf x '+(或()()xf x nf x '-)构造函数【例3】已知定义在(0,)上的函数f (x )满足22()()0xf x x f x ，3(2)4f ，则关于x 的不等式23()f x x的解集为（） A ．(0,4) B ．(2,) C ．(4,) D ．(0,2)【答案】D 【详解】令2()()h x x f x ，则2()2()()0h x xf x x f x ，所以ℎ(x )在(0,)单调递减，不等式23()f x x以转化为()(2)h x h ，所以02x故选：D.【变式3】定义域为R 的奇函数()f x ,当(),0x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<恒成立,若()()33,1a f b f ==,()22c f =--,则（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>(1)7,f =(1)(1)34g f =-=()34f x x >+()(1)g x g >1x >【答案】D【解析】构造函数()()g x xf x =,因为()f x 是奇函数,所以()()g x xf x =为偶函数当(),0x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<恒成立,即()'0g x <,所以()()g x xf x =在(),0x ∈-∞时为单调递减函数 ()()g x xf x =在()0,x ∈+∞时为单调递增函数根据偶函数的对称性可知()()33,1a f b f ==,()22c f =--所以a c b >>,所以选D题型四、根据()()f x nf x '+(或()()f x nf x '-)构造函数【例4】已知奇函数f (x )的定义域为R ，当0x 时，02()()f x f x ，且(2)0f 则不等式()0f x 的解集为___________．【答案】()()202－，，＋【解析】构造函数2()()=xg x e f x ，则当0x时，2()()())0=(2x g x e f x f x 所以当0x时()g x 单调递增．因为(2)0f ，所以4(2)(2)0g e f ，所以当x ＞2时()0g x ，从而()0f x ．当0＜x ＜2时，()0g x ，从而()0f x ．又奇函数f (x )的图像关于原点中心对称，所以()0f x 的解集为()()202－，，＋故答案为：()()202－，，＋．【变式4】已知定义在R 上的函数()f x 满足2()()0f x f x '-<,且(ln 2)2f =,则(ln )20f x x >的解集是（）A ．(0,2)B ．2)C ．(0,)eD ．)e【答案】A【解析】令ln ,x t t R =∈,构造函数'22''222()(2)()()22()()(2()())242t t tt tf t e e f x f tg t g t f t f t e e --=⇒==-, 由已知可知：'2()()0f t f t -<,所以'()0()g t g t <⇒是R 上的减函数, 当ln 2t <时,ln 21ln 222(ln 2)2()(ln 2)122()f g t g ee >===,22()()1()22t t f t g t f t e e=>⇒>,所以当ln ln 2x <时,ln 2(ln )22(ln )20x f x ex f x x >=⇒>成立,也就是当02x <<时,ln 2(ln )22(ln )20x f x ex f x x >=⇒->成立,故本题选A.题型五、根据()()tan f x f x x '+(或()()tan f x f x x '-)构造函数【例5】已知定义在(0,)2π上的函数f(x),f’(x)是它的导函数,且对任意的(0,)2x π∈,都有()'()tan f x f x x <恒成立,则（）A 3()2()43ππ>B 2()()64f ππ>C 3()()63f ππ>D ．(1)2()sin16f f π>【答案】D【解析】由题得()cos '()sin f x x f x x <,即()cos '()sin 0f x x f x x -<,令()()sin f x g x x=(0,)2x π∈,导函数2'()sin ()cos '()0sin f x x f x xg x x-=>,因此g(x)在定义域上为增函数.则有()()(1)()643g g g g πππ<<<,代入函数得(1)2()2()()64sin133f f f πππ<<<,由该不等式可得(1)2()sin16f f π>,故选D.【变式5】已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π24a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【解析】设()()sin f x g x x=，()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x ---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数，并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减， 4244sin 4f a g ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a b c >>.故选：D题型六、根据()()ln f x x xf x '±构造函数【例6】已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0,f ≠且满足:()()ln 0,f x f x x x⋅+<'则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为( ) A ．(1,)+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(),1-∞ D ．()(,01),-∞⋃+∞【答案】 D【解析】令()()ln g x f x x =，0x >，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+<，()g x 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0g =，因此，由()0g x >得01x <<，而ln 0x <，则()0f x <，由()0g x <得1x >，而ln 0x >，则()0f x <，又(1)0f <，于是得在(0,)+∞上，()0f x <，而()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，则在(,0)-∞上，()0f x >，由(1)()0x f x -⋅<得：10()0x f x ->⎧⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩，即10x x >⎧⎨>⎩或10x x <⎧⎨<⎩，解得0x <或1x >，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为(,0)(1,)-∞⋃+∞.故选：D【变式6】设定义在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，其导函数为()f x '，若()()()()1ln 10f x x f x x '-++<，则（）A ．()()2130f f >>B ．()()2130f f <<C ．()()2310f f >>D ．()()2310f f <<【答案】B【解析】由题意，在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，构造函数ln(1)()()x g x f x +=，则()()2()ln(1)1()f x f x x x g x f x '-++'=，∵[)0,∞+上()()()()()1ln ()ln(1)0111f x x f x x f x f x x x x -+'-+'+=<++，即()0g x '<， ∴()g x 在[)0,∞+上单调递减，而(0)0g =，故0(1)(3)g g >> ∴ln 2ln 42ln 20(1)(3)(3)f f f >>=，可得2(1)(3)0f f <<.题型七、根据()()()f x f x g x ±-=构造函数【例7】设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ,x R ∀∈,有3()()f x f x x --=,在(0,)+∞上有22'()30f x x ->,若2(2)()364f m f m m m --≥-+-,则实数m 的取值范围为（）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞【答案】B【解析】因为()()3f x f x x --=,所以33()()()22x x f x f x --=--令3()()()()2x g x f x g x g x =-∴=-即函数()g x 为偶函数,因为()0,∞+上有()22'30f x x ->,所以23()()02x g x f x ''=->即函数()g x 在(0,)+∞单调递增；又因为()()22364f m f m m m --≥-+-所以33(2)(2)()(2)()22m m g m g m f m f m ---=---+2(2)()3640f m f m m m =--+-+≥即(2)()g m g m -≥,所以2m m -≥,解得1m ≤ ,故选B.【变式7】设函数f （x ）在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上，x x f <')(，若0618)()6(≥+---m m f m f ，则实数m 的取值范围为（） A ．),2[+∞ B ．),3[+∞ C ．[-3，3] D ．),2[]2,(+∞--∞ 【答案】B【解析】令221)()(x x f x g -=，∵021)(21)()()(22=-+--=+-x x f x x f x g x g ，∴函数g （x ）为奇函数，∵),0(+∞∈x 时，0)()(<-'='x x f x g ，函数g （x ）在),0(+∞∈x 上为减函数，又由题可知，f （0）=0，g （0）=0，所以函数g （x ）在R 上为减函数，061821)()6(21)6(618)()6(22≥+----+-=+---m m m g m m g m m f m f ，即0)()6(≥--m g m g ，∴)()6(m g m g ≥-，∴m m ≤-6，∴3≥m。

专题1.1“构造函数,比较大小”之归纳大全

一、作差构造函数，求参数范围1．设函数()()2,xf x xeg x ax x ==+．（Ⅰ）若()f x 与()g x 具有完全相同的单调区间，求a 的值; （Ⅱ）若当0x ≥时，恒有()()f x g x ≥，求a 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求导，通过导函数的符号变化确定函数()f x 的单调区间，再通过二次函数的对称性和单调性求出a 值；（Ⅱ）作差构造函数，将问题转化为函数的最小值为正，再通过研究导数的符号变化研究函数的最值．试题解析：（1）()xf x xe =，()(1)xxxf x e xe x e =+=+ 当1x <-时，()0f x '<，∴()f x 在(,1)-∞-上单调递减；当1x >-时，()0f x '>，∴()f x 在(1,)-+∞上单调递增；又()21g x ax '=+，由()1210g a '-=-+=，得12a =，此时()22111(1)222g x x x x =+=+- 显然()g x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，故12a =（Ⅱ）当0x ≥时恒有()()f x g x ≥，即()()()10xf xg x x e ax -=--≥恒成立，故只需()10xF x e ax =--≥恒成立，对()F x 求导可得()xF x e a '=-．()0,x x F x e a ≥∴='-若1,a ≤则当()0,x ∈+∞时， ()()0,F x F x '>为增函数，从而当0x ≥时， ()()00F x F ≥= 即()();f x g x ≥若1,a >则当()0,x lna ∈时， ()()0,F x F x '<为减函数，从而当()0,x lna ∈时， ()()00,F x F <=即()(),f x g x <故()();f x g x ≥不恒成立．故a 的取值范围为(],1-∞．2．已知函数()()()2,xf x x ax bg x ecx d =++=+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（Ⅰ）求,,,a b c d 的值;（Ⅱ）若2x ≥-时， ()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）由已知得()()()()02,02,0=4,0=4f g f g ''==，即可求解,,,a b c d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设()()()()22142xh x kg x f x kex x x =-=+=--，求得()h x '，根据题意()00h ≥，得1k ≥，利用导数分类讨论，的奥函数的单调性与最值，即可求得实数k 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由已知得()()()()02,020=40=4f g f g ''==，，()()()2,,x f x x a g x e cx d c =+=++''4,2,2, 2.a b c d ∴====（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()()()242,21xf x x xg x ex =++=+，设()()()()22142xh x kg x f x ke x x x =-=+=--，则()()()()2224221xx h x kex x x ke =+--+'=-由题意知， ()00h ≥，即1k ≥，令()0h x '=，则122,ln x x k =-=-，当21k e ≤<即220x -<≤时，由()0h x '>得， ln x k >-，由()0h x '>得， 2ln x k -<<-，所以()h x 在()2,ln k --单调递减，在()ln ,k -+∞单调递增，所以()h x 在区间[)2,-+∞上的最小值()()()min ln ln ln 20h x h k k k =-=-+≥，所以当2x ≥-时， ()0h x ≥即()()f x kg x ≤恒成立．当2k e =即22x =-时， ()0h x '≥恒成立，即()h x 在[)2,-+∞单调递增，所以()h x 在区间[)2,-+∞上的最小值()()min 20h x h =-=，所以当2x ≥-时， ()0h x ≥即()()f x kg x ≤恒成立．当2k e >即22x <-时， ()0h x '≥恒成立即()h x 在[)2,-+∞单调递增，所以()h x 在区间[)2,-+∞上的最小值()()()22min 220h x h e k e -=-=--<，所以当2x ≥-时， ()()f x kg x ≤不可能恒成立．综上所示， k 的取值范围是21,e ⎡⎤⎣⎦．3．已知函数()()221ln f x x m x x =-++ ()m R ∈．（1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围；（2）当1x >时， ()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围．【思路引导】()1将当12m =-时代入，得()2ln g x a x x =+，求导，分类讨论当0a =时、当0a >时、当0a <时三种情况求出a 的取值范围(2)构造()()221ln h x mx m x x =-++，求导，讨论102m <<、12m ≥、0m ≤三种情况，求出m 的取值范围解析：（1）函数()g x 的定义域为(0,)+∞当12m =-时，()2ln g x a x x =+，所以，()222a x a g x x x x+'=+=①当0a =时，()2g x x =，0x >时无零点；②当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，取10ax e-=，则112()1()0aa g e e --=-+<，因为(1)1g =，所以0()(1)0g x g <，此时函数()g x 恰有一个零点.③当0a <时，令()'0g x =，解得x =．当0x << ()'0g x <，所以()g x 在⎛ ⎝上单调递减；当2a x >-时， ()'0g x >，所以()g x 在,2a⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则ln 0222a a ag a ⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭即2a e =-．综上所述，若函数()g x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >．（2）令22()()(1)(21)ln h x f x m x mx m x x =--=-++，依题意，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <恒成立.又1(1)(21)()2(21)x m h x mx m x x--'=-++= ①若102m <<，则1(,)2x m ∈+∞时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在1(,)2m +∞上是增函数，且1()((),)2h x h m ∈+∞，所以不符题意；②若12m ≥，则()1,x ∈+∞时， ()'0h x >恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，且()()()1,h x h ∈+∞，所以不符题意；③若0m ≤，则()1,x ∈+∞时，恒有()'0h x <，故()h x 在()1,+∞上是减函数，于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210m m -+≤，解得1m ≥-，故10m -≤≤．综上，m 的取值范围是[]1,0-．4．已知函数()13ln f x x b x x=-+．（1）当4b =-时，求函数()f x 的极小值；（2）若[]1,x e ∃∈上，使得()114b x f x x x+--<-成立，求b 的取值范围．【思路引导】（1）将参数值代入表达式，再进行求导，根据导函数的正负得到原函数的单调性，进而得到极值；（2）()1h x ln 0bx b x x+=-+<，有解，即h(x)的最小值小于0即可，对函数求导，研究函数的单调性，得到最小值即可．解析：（1）当时， ()()()/22311413x x fx x x x---=++= 令()/fx =0，得且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增所以在时取得极小值为()12f =．（2）由已知：，使得()()1111440b b x f x x f x x x x x++--<-⇒--+< 11143ln 0b x x b x x x x +⇒--+-+<，即： 1ln 0bx b x x+-+< 设，则只需要函数在上的最小值小于零．又，令，得（舍去）或．①当，即时，在上单调递减，故在上的最小值为，由，可得．因为，所以．②当，即时，在上单调递增，故在上的最小值为，由，可得（满足）．③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为．因为，所以，所以，即，不满足题意，舍去．综上可得或，所以实数的取值范围为．5．已知函数()22ln f x x x a x =--， ()g x ax =．（1）求函数()()()F x f x g x =+的极值；（2）若不等式()sin 2cos xg x x≤+对0x ≥恒成立，求a 的取值范围．【思路引导】（1）由题意的()F x ，求得()F x '，分类讨论得到函数的单调性，即可确定函数的极值；（2）设()sin 2cos x h x ax x =-+，得到()h x '，令cos t x =，则[]1,1t ∈-， ()()2122tt t ϕ+=+，求得()t ϕ'，得到()t ϕ的单调性和值域，进而分类讨论，得到()h x 的最小值，得到实数a 的取值范围．试题解析：（1）()22ln F x x x a x ax =--+，()22(2)(2)(1)x a x a x a x F x x x+--+-'==，()F x 的定义域为(0,)+∞①02a-≤即0a ≥时，()F x 在(0,1)上递减，()F x 在(1,)+∞上递增，()=1F x a -极小，()F x 无极大值 ②012a <-<即20a -<<时， ()F x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上递增，在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减， ()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， ()()11F x F a ==-极小．③12a-=即2a =-时，()F x 在()0,+∞上递增，()F x 没有极值． ④12a ->即2a <-时，()F x 在()0,1和,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，()F x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减， ∴()()11F x F a ==-极大，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭．综上可知： 0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；20a -<<时，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小；2a =-时，()F x 没有极值；2a <-时，()()11F x F a ==-极大， ()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭．②当0a ≤时，∵10222h a ππ⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，∴不适合条件． ③当103a <<时，对于02x π<<， ()sin 3xh x ax <-，令()sin 3x T x ax =-， ()cos 3xT x a =-'，存在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00,x x ∈时， ()0T x '<， ∴()T x 在()00,x 上单调递减，∴()()000T x T <=，即在()00,x x ∈时， ()0h x <，∴不适合条件．综上，a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．6．已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈．（1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围；（2）当1x >时， ()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围．【思路引导】(1)函数()g x 的定义域为()0,+∞，当12m =-时，()2ln g x a x x =+，所以()222a x ag x x x x='+=+，对a 分类讨论，得到函数的单调区间，由此求得a 的取值范围．(2) 令()()()()22121ln h x f x m x mx m x x =--=-++，利用()h x 的导数，对m 分类讨论函数的单调区间，利用最大值小于零，来求得m 的取值范围．③当0a <时，令()0g x '=，解得2a x =-，当02a x <<-()0g x '<，所以()g x 在2a ⎛- ⎝上单调递减；当2a x >-时， ()0g x '>，所以()g x 在,2a⎫-+∞⎪⎪⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则0222a a ag a -=-=即2a e =-，综上所述，若函数()g x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >；（2）令()()()()22121ln h x f x m x mx m x x =--=-++，根据题意，当()1,x ∈+∞时， ()0h x <恒成立，又()()()()1211221x mx h x mx m x x--=-++='， ①若102m <<，则1,2x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()0h x '>恒成立，所以()h x 在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，且()1,2h x h m ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不符题意．②若12m ≥，则()1,x ∈+∞时， ()0h x '>恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，且()()()1,h x h ∈+∞，所以不符题意．③若0m ≤，则()1,x ∈+∞时，恒有()0h x '<，故()h x 在()1,+∞上是减函数，于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210m m -+≤，解得1m ≥-，故10m -≤≤．综上，m 的取值范围是[]1,0-．7．已知函数()22xf x e kx =--．（Ⅰ）讨论函数()f x 在()0,+∞内的单调性；（Ⅱ）若存在正数m ，对于任意的()0,x m ∈，不等式()2f x x >恒成立，求正实数k 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求导数可得()'2xf x e k =-， ()0,x ∈+∞，根据k 的取值情况进行讨论可得函数的单调性．（Ⅱ）在（Ⅰ）中结论的基础上分02k <≤和2k >两种情况讨论求解，首先探求得到区间()0,m ，通过对函数()f x 在此区间上单调性的讨论进一步得到()f x 的符号，进而将不等式()2f x x >去掉绝对值后进行讨论分析、排除，然后得到所求的范围即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得()'2xf x e k =-， ()0,x ∈+∞，因为0x >，所以22xe >．当2k ≤时， ()'0f x >，此时()f x 在()0,+∞内单调递增．当2k >时，由()'0f x >得ln 2kx >，此时()f x 单调递减；由()'0f x <得0ln2kx <<，此时()f x 单调递增．综上，当2k ≤时， ()f x 在()0,+∞内单调递增；当2k >时， ()f x 在0,ln2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在ln ,2k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增．②当2k >时，由（Ⅰ）可得()f x 在0,ln2k ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，且()00f =，所以存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈都有()0f x <．这时()2f x x >可化为()2f x x ->，即()2220xe k x -+-+>．设()()222xh x e k x =-+-+，则()()'22xh x e k =-+-．（i ）若24k <≤，则()'0h x <在()0,+∞上恒成立，这时()h x 在()0,+∞内单调递减，且()00h =，所以对于任意的()00,x x ∈都有()0h x <，不符合题意．（ii ）若4k >，令()'0h x >，得2ln 2k x -<，这时()h x 在20,ln2k -⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，且()00h =，所以对于任意的20,ln2k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0h x >，此时取02min ,ln2k m x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则对于任意的()0,x m ∈，不等式()2f x x >恒成立．综上可得k 的取值范围为()4,+∞．8．已知()()()211x f x x e a x =--+，[)1,x ∈+∞．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()2ln f x a x ≥-+，求实数a 的取值范围．【思路引导】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）令()()()211ln x g x x e a x x =----，问题转化为()0g x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得当12e a ->时不合题意，当12e a -≤时，可证明()g x 在[)1,+∞上单调递增；所以()()10g x g ≥=，满足题意，从而可得结果．试题解析：（1）()2x f x xe ax '=- ()2xx e a =-，当2ea ≤时， [)1,x ∈+∞，()0f x '≥． ∴()f x 在[)1,+∞上单调递增；当2ea >时，由()0f x '=，得()ln 2x a =．当()()1,ln 2x a ∈时，()0f x '<；当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在()()1,ln 2a 单调递减；在()()ln 2,a +∞单调递增．（2）令()()()211ln x g x x e a x x =----，问题转化为()0g x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立， ()12x g x xe ax x=--'，注意到()10g =．当12e a ->时， ()1210g e a '=--<， ()()()()1ln 21ln 21ln 21g a a a +=+-+'，因为21a e +>，所以()ln 211a +>， ()()ln 210g a +>'，所以存在()()01,ln 21x a ∈+，使()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 递减，所以()()10g x g <=，不满足题意．当12e a -≤时，()()11x g x xe e x x≥---' ()11xx e e x ⎡⎤=---⎣⎦，因为1x >，()11xx e e ⎡⎤-->⎣⎦，101x<<，所以()0g x '>， ()g x 在[)1,+∞上单调递增；所以()()10g x g ≥=，满足题意．综上所述： 12e a -≤． 9．已知函数()ln f x x =．（1）设()()1g x f x ax =-+，讨论()g x 的单调性；（2）若不等式()()f x a e x b ≤-+恒成立，其中e 为自然对数的底数，求ba的最小值．【思路引导】（1）函数定义域为()0,+∞，由题意得()ln 1g x x ax =-+，则()1g x a x'=-，分情况0a ≤和0a >，由导函数的正负求单调区间即可；（2）设函数()()ln F x x a e x b =---， ()1F x e a x+'=-，分a e ≤易知不成立， a e >，计算函数的最大值为1F a e ⎛⎫⎪-⎝⎭，由()1ln 10F a e b a e ⎛⎫=----≤ ⎪-⎝⎭，得()()1ln a e b a e a a ---≥>，令()()1ln x e G x x---=， x e >，求最值即可．试题解析：（1）函数定义域为()0,+∞，由题意得()ln 1g x x ax =-+，则()1g x a x'=-， ①当0a ≤时， ()0g x '>，则()g x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a >时，令()0g x '=，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0g x '>， ()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， ()0g x '<， ()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）设函数()()ln F x x a e x b =---，其中e 为自然对数的底数， ∴()1F x e a x+'=-， 0x >，当a e ≤时，()0F x '>，()F x 在()0,+∞上是增函数， ∴()0F x ≤不可能恒成立，当a e >时，由()10F x e a x =+-='，得1x a e=-， ∵不等式()0F x ≤恒成立，∴()max 0F x ≤，当10,x a e ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时， ()0F x '>， ()F x 单调递增，当1,x a e ⎛⎫∈+∞⎪-⎝⎭时， ()0F x '<， ()F x 单调递减， ∴当1x a e =-时， ()F x 取最大值， ()1ln 10F a e b a e ⎛⎫=----≤ ⎪-⎝⎭， ∴满足()ln 10a e b -++≥即可，∴()1ln b a e ≥---，∴()()1ln a e b a e a a---≥>，令()()1ln x e G x x---=，x e >，()()()()()221ln ln xx e x e x e e x e G x x x e x -++-----=-'=．令()()()ln H x x e x e e =---， ()()ln 1H x x e '=-+，由()0H x '=，得1x e e=+，当1,x e e⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时， ()0H x '>， ()H x 是增函数，当1,x e e e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时， ()0H x '<， ()H x 是减函数，∴当1x e e =+时， ()H x 取最小值11H e e e e ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， ∵x e →时， ()0H x →， 2x e >时， ()0H x >， ()20H e =， ∴当(),2x e e ∈时， ()0G x '<， ()G x 是减函数，当()2,x e ∈+∞时， ()0G x '>， ()G x 是增函数， ∴2x e =时， ()G x 取最小值， ()11122G e e e--==-， ∴b a 的最小值为1e-． 10．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若对恒成立，求的取值范围．【思路引导】（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意，根据a 的不同取值逐一讨论导函数符号即可（2）若对恒成立，显然需要转化为最值问题，设，则，当时，，或，，则，∴在上递增，从而．若，令，当时，；当时，．∴综合得出结论即可解析：（1），当时，，∴在上单调递增．当时，，故当或时，在上单调递增．当时，令，得或；令，得．∴在上单调递减，在，上单调递增．（2）设，则，当时，，或，，则，∴在上递增，从而．此时，在上恒成立．若，令，当时，；当时，．∴，则不合题意．故的取值范围为．【总结】导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）二、作差构造函数证明不等式1．已知函数()21ln 2f x x a x =+． (1)若1a =-，求函数()f x 的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若1a =，求证：在区间[)1+∞，上，函数()f x 的图像在函数()323g x x =的图像的下方．【思路引导】（1）定义域为(0，＋∞)，f ′(x ) ()()11x x x+-=，可求得单调区间有望极小值。

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经典考题整理
构造函数
2015全国卷2的12题
设函数)('x f 是奇函数))((R x x f ∈的导函数，,0)()(,0,0)1('<->=-x f x xf x f 时当则使得0)(>x f 的成立的x 的取值范围（）
A 、)1,0()1,( --∞
B 、),1()0,1(+∞-
C 、)0,1()1,(---∞
D 、),1()1,0(+∞ 提示：x
x f x F )()(= 恒成立，则（）若其导函数为上的函数、设定义在x x f x f x f x f tan )()(),(),()2
,0(1''<π
A 、
)3(2)4(3ππf f > B 、1sin )6(2)1(πf f < C 、)4()6(2ππf f > D 、
)3()6(3ππf f < 提示：x x f x F sin )()(=
2、若定义域为R 的函数f(x),满足f(0)=1, ,1)()('+<x f x f 则不等式 x e x f 21)(<+的解集为（）
A 、}{1/>x x
B 、}{10/<<x x
C 、}{0/<x x
D 、{}0/>x x 提示：x e x f x F 1)()(+=
3、已知f(x)为定义域在),0(+∞上的可导函数，且)()('
x xf x f >，则不等式
0)()1(2<-x f x f x 的解集为。

提示：构造0)()1(,)()(<-=x H x H x x f x H 。

4、设函数)('x f 是奇函数))((R x x f ∈的导函数，f(-1)=0,当x>0时，0)()('<+x f x xf ，则使得xf(x)>0成立的x 的取值范围。

（提示：)()(),()(x h x h x xf x h -==）
5、函数f(x)是定义在区间),0(+∞上的可导函数，其导函数为)('
x f ，且满足,0)(2)('>+x f x xf 则不等式
)4(16)2015()2015(2
f x f x <++的解集为 A 、{}2015
|->x x B 、{}2015|-<x x C 、
{}20112015|-<<-x x D 、{}02011|<<-x x （提示：)()(2x f x x g =）
6、设)('
x f 为函数f(x)的导函数，已知
x x xf x f x ln )()('2=+，21)1(=f ，则下列结论正确的是（）
A 、xf(x)在区间),0(+∞上是单调递增
B 、xf(x)在区间),0(+∞上是单调递减
C 、xf(x)在区间),1(+∞上有极大值21
D 、xf(x)在区间),1(+∞上有极小值21 （提示：x x x f x xf x h ln )()()('
=+=） 7、定义在区间（0，+∞）上的函数0)(>x f 且)(2)()('
x f x xf x f <<恒成立，其中)()('
x f x f 为的导函数，则（）
A 、41)2()1(81<<f f
B 、21)2()1(41<<f f
C 、1)2()1(21<<f f
D 、41)2()1(0<<f f （提示：2)(,)(x x f x x f ）
8、已知)(x f 为R 上的可导函数，且,R x ∈∀ 均有)()('x f x f >，则有（）
A 、)2016()0(),0()2016(20162016->>f e f f e f。