人教版八年级数学上册培优1

第1讲 认识三角形

考点·方法·破译

1.了解与三角形有关得线段(边、高、中线、角平分线),会画出任意三角形得高、中线、角平分线、

2.知道三角形两边得与大于第三边,两边之差小于第三边、

3.了解与三角形有关得角(内角、外角) 、

4.掌握三角形三内角与等于180°,三角形得一个外角等于与它不相邻得两个内角得与、

5.会用方程得思想解与三角形基本要素相关得问题、

6.会从复杂得图形中找到基本图形,从而寻求解决问题得方法、

经典·考题·赏析

【例１】若得三边分别为4,x ,9,则x 得取值范围就是______________,周长l 得取值范围就是______________ ;当周长为奇数时,x ＝______________、【解法指导】运用三角形三边关系,即第三边小于两边之与而大于两边之差故5＜x ＜13,18＜l ＜26;周长为19时,x ＝6,周长为21时,x ＝8,周长为23时,x ＝10,周长为25时,x ＝12,【变式题组】

01.若△ABC 得三边分别为4,x ,9,且9为最长边,则x 得取值范围就是_________,周长l 得取值范围就是__________、

02.设△ABC 三边为a ,b ,c 得长度均为正整数,且a ＜b ＜c ,a +b +c ＝13,则以a ,b ,c 为边得三角形,共有______________

个、03.用9根同样长得火柴棒在桌面上摆一个三角形(不许折断)并全部用完,能摆出不同形状得三角形个数就是

( )、A .1 B .2 C .3 D .4

【例２】已知等腰三角形得一边长为18cm ,周长为58cm ,试求三角形三边得长、

【解法指导】对等腰三角形,题目没有交代底边与腰,要给予讨论、当18cm 为腰时,底边为58－18×2＝22,则三边为18,18,22、 当18cm 为底边时,腰为

5818

2

＝20,则三边为20,20,18、此两种情况都符合两边之与大于第三边、解:18cm ,18cm ,22cm 或18cm , 20,20cm 、 【变式题组】

01.已知等腰三角形两边长分别为6cm ,12cm ,则这个三角形得周长就是( )

A .24cm

B .30cm

C .24cm 或30cm

D .18cm

02.已知三角形得两边长分别就是4cm 与9cm ,则下列长度得四条线段中能作为第三条边得就是( )

A .13cm

B .6cm

C .5cm

D .4cm

03.等腰三角形一腰上得中线把这个等腰三角形得周长分成12与10两部分,则此等腰三角形得腰长为________、

【例３】如图AD 就是△ABC 得中线,DE 就是△ADC 得中线,EF 就是△DEC 得中线,FG 就是△EFC 得中线,若S △GFC

＝1cm 2

,则S △ABC ＝______________、【解法指导】中线将原三角形面积一分为二,由FG 为△EFC 得中线,知S △EFC ＝2S △GFC ＝2、又由EF 为△DEC 中线,S △DEC

＝2S △EFC ＝4、同理S △ADC ＝8,S △ABC ＝16、【变式题组】

01.如图,已知点D 、E 、F 分别就是BC 、AD 、BE 得中点,S △ABC ＝4,则S △EFC ＝______________、(第1题图)

(第2题图)

C

(第3题图)

C

02.如图,点D就是等腰△ABC底边BC上任意一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC

于F,若一腰上得高为4cm,则DE+DF＝______________、

03.如图,已知四边形ABCD就是矩形(AD＞AB) ,点E在BC上,且AE＝

AD,DF⊥AE于F,则DF与AB得数量关系就是______________、

【例４】已知,如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝_______、

【解法指导】这就是本章得一个基本图形,其基本方法为构造三角形或四边形内角与,结合八字形角得关系即,∠A+∠B＝∠C+∠D.

故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB,

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°

【变式题组】

01.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________、

02.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________、

03.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝____________、

ACB.则∠BOC ＝ ______________、

＝

1

2

∠A+90°、证法如下: ∠BOC＝180°－∠OBC－

∠

∠ACB＝90°+

1

2

∠A.

所以∠BOC＝125°、【变式题组】

01.如图,∠A＝70°,∠B＝40°,∠C＝20°,则∠BOC＝______________、

(第1题图

)

B C

02、点P、O分别就是∠ABC、∠ACB得三等分线得交点,则∠OPC

＝_________、

03.如图,∠O＝140°,∠P＝100°,BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO

,则∠A＝______________、

【例６】如图,已知∠B＝35°,∠C＝47°,AD⊥

BC,AE平分∠BAC,则∠EAD＝______________、

【解法指导】∵∠EAD＝90°－∠AED＝90°－(∠B+∠BAE)＝90°－∠B－

1

2

(180°－

∠B

－∠C)＝90°－∠B－90°+

1

2

∠

B+

1

2

∠C＝

1

2

(∠C－∠B) ,故∠EAD＝6°、

【变式题组】

01、(改)如图,已知∠B＝39°,∠C＝61°,BD⊥AC,AE平分∠BAC,则∠BFE＝__________、

(说明:原题题、图不符、由已知得∠A＝98°, BD⊥AC,则点D在CA得延长线上、)

02.如图,在△ABC中,∠ACB＝40°,AD平分∠BAC,∠ACB得外角平分线交AD得延长线于点P,

点F就是BC上一动点(F、D不重合) ,过点F作EF⊥BC交于点E,下列结论:①∠P+∠DEF

为定值,②∠P－∠DEF为定值中,有且只有一个答案正确,请您作出判断,并说明理由、

【例７】如图,在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′,使CC′∥AB,

若∠BAC＝70°,则旋转角α＝______________、

【解法指导】利用平移、旋转不改变图形得形状这条性质来解题、

(第2题图)

(第1题图)

(第2题图)

B C

(第3题图)

C

(例6题图)

E D

(第1题图)

(例4题图)

C D

(第3题图)

E

C

∵CC ′∥AB ,∴∠C ′CA ＝∠CAB ＝70°,又AC ＝AC ′,∴∠C ′AC ＝180°－2×70°＝40°【变式题组】

01如图,用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°,并将三角板沿OB 方向平移到如图所示得虚线后绕点M 逆时针方向旋转

22°,则三角板得斜边与射线OA 得直角α＝______________、(第1题图)

02.如图,在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′,若点A ′在AB 上时,则旋转角α＝

___________、(∠AOB ＝90°,∠B ＝30°)03.如图,△ABE 与△ACD 就是△ABC 沿着AB 边,AC 边翻折180°形成得,若∠BAC ＝130°,则∠α＝________、演练巩固·反馈提高

01.如图,图中三角形得个数为( )

A .5个

B .6个

C .7个

D .8个

02.如果三角形得三条高得交点恰就是三角形得一个顶点,那么这个三角形就是

( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形 D .不确定

03.有4条线段,长度分别就是4cm ,8cm ,10cm ,12cm ,选其中三条组成三角形,可以组成

三角形得个数就是( )A .1个 B .2个 C .3个 D .4个04.下列语句中,正确得就是( )

A .三角形得一个外角大于任何一个内角

B .三角形得一个外角等于这个三角形得两个内角得与

C .三角形得外角中,至少有两个钝角

D .三角形得外角中,至少有一个钝角 05.若一个三角形得一个外角小于与它相邻得内角,则这个三角形就是( )

A .直角三角形

B .锐角三角形

C .钝角三角形

D .无法确定 06.若一个三角形得一个外角大于与它相邻得内角,则这个三角形就是( )

A .直角三角形

B .锐角三角形

C .钝角三角形

D .无法确定

07.如果等腰三角形得一边长就是5cm ,另一边长就是9cm ,则这个三角形得周长就是______________、08.三角形三条边长就是三个连续得自然数,且三角形得周长不大于18,则这个三角形得三条边长分别就是

________、09.如图,在△ABC 中,∠A ＝42°,∠B 与∠C 得三等分线,分别交于点D 、E ,则∠BDC 得度数就是______________、

(第9题图)

10.如图,光线l 照射到平面镜上,然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射,已知∠α＝55,∠γ＝75°,∠β＝

______________、11.如图,点D 、E 、F 分别就是BC 、AD 、BE 得中点,且S △EFC ＝1,则S △ABC ＝__________、12.如图,已知: ∠1＝∠2,∠3＝∠4,∠BAC ＝63°,则∠DAC ＝____________、 13.如图,已知点D 、E 就是BC 上得点,且BE ＝AB ,CD ＝CA ,∠DAE ＝13

∠BAC ,求∠BAC

得度

(第2题图)

(

第3题图)

(第10题图)

(第11

题图)

(第13题图)

E

(第12题图)

数

培优升级·奥赛检测

01.在△ABC中,2∠A＝3∠B,且∠C－30°＝∠A+∠B,则△ABC就是( )

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.有一个角就是30°得直角三角形

D.等腰直角三角形

02.已知三角形得三边a、b、c得长都就是整数,且a≤b≤c,如果b＝7,则这样得三角形共有( )

A.21个

B.28个

C.49个

D.54个

03.在△ABC中,∠A＝50°,高BE、CF交于O点,则∠BOC＝______________、

04.在等腰△ABC中,一腰上得高与另一腰得夹角为26°,则底角得度数为______、

05.如图,BP平分∠ABC交CD于点F,DP平分∠ADC交AB于点E,若∠A＝40°,∠C＝38°,

则∠P＝ ______________、

06.周长为30,且各边长互不相等且都就是整数得三角形有多少个?

07.设△ABC三边a、b、c得长度均为自然数,且周长不大于30,并满足(a－b)2+(a－c)2+(b

－c) 2＝26,问满足条件得三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)

08.在一次数学小组活动后,小明清理课桌上得三角形模型,经清点,共有11个钝角,15个直角,100个锐角,于就是她

把这些数据写在“数学园地”上征答:“共有多少个锐角三角形?”您能回答这个问题吗?

09.现有长为150cm得铁丝,要截成n(n＞2)小段,每段得长为不小于1cm得整数,如果其中任意3小段都不能拼成三

角形,试求n得最大值,此时有几种方法将该铁丝截成满足条件得n段?

10.如图,在△BCD中,BE平分∠DBC交CD于F,延长BC至G,CE平分∠DCG,且EC、DB得延长线交于A点,若∠A＝

30°,∠DFE＝75°、

(1)求证: ∠DFE＝∠A+∠D+∠E;

(2)求∠E得度数 ;

(3)若在上图中∠CBE与∠GCE得平分线交于E1,∠CBE1与∠GCE1得平分线交于E2,作∠CBE2与∠GCE2得平分线E3,

依次类推,∠CBE n与∠GCE n得平分线交于E n+1,请用含有n得式子表示∠E n+1得度数、

11.如图,已知OABC就是一个长方形,其中顶点A、B得坐标分别为(0,a)与(9,a)、点E在AB上 ,且AE＝1

3

AB.点F

在OC上 ,且OF＝1

3

OC,点G在OA上,且使△GEC得面积为16,试求α得值、

12.如图,已知四边形ABCD中,∠A+∠DCB＝180°,两组对边延长后分别交于P、Q两点,∠P、∠Q

得平分线交于M,求证PM⊥QM、umT0WnZ。viqYcKB。

第2讲认识多边形

考点·方法·破译

1.了解多边形得有关概念,探索并了解多边形内角与与外角与公式、

2.通过探索平面图形得镶嵌,知道任意一个三角形、四边形、或正六边形可以镶嵌平面,并能进行镶嵌设计、

经典·考题·赏析

【例１】如图所示就是一个六边形、

(1)从顶点A出发画这个多边形得所有对角线,这样得对角线有几条？它们将六边形

分成几个三角形？

(2)画出此六边形得所有对角线,数一数共有几条？

【解法指导】本题主要考查多边形对角线得定义,对于n边形,从n边形得一个顶点出

发,可引(n－3)条对角线,它们将这n边形分成(n－2)个三角形,n边形一共有

(3)

2

n n

条

对角线,

解:(1)从顶点A出发,共可画三条对角线,如图所示,它们分别就是AC、AD、AE、将六边形分成四个三角形:△ABC、△ACD、△ADE、△AEF;

(2)六边形共有9条对角线、

【变式题组】

01.下列图形中,凸多边形有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个

G

F

E

A

C

D

F

G

B

D

C

A

x y

E B

G

F

O C

A

M

Q

P A

C

D

02.过m 边形一个顶点有7条对角线,n 边形没有对角线,k 边形对角线条数等于边数,则m ＝_,n ＝_,k ＝_、03.已知多边形得边数恰好就是从这个多边形得一个顶点出发得对角线条数得2倍,则此多边形得边数就

是 、【例２】(1)八边形得内角与就是多少度？ (2)几边形得内角与就是八边形内角与得2倍？

【解法指导】(1)多边形得内角与公式得推导:从n 边形一个顶点作对角线,可以作(n －3)条对角线,并且将n 边

形分成(n －2)个三角形,这(n －2)个三角形内角与恰好就是多边形内角与,等于(n －2)·1800

;(2)内角与定理得应用:①已知多边形得边数,求其内角与;②已知多边形内角与,求其边数、

解:(1)八边形得内角与为(8－2)×1800＝10800

; (2)设n 边形得内角与就是八边形内角与得2倍,

则有(n －2)×1800＝10800

×2,解得n ＝14、 故十四边形得内角与就是八边形内角与得2倍、 【变式题组】

01.已知n 边形得内角与为21600

,求n 边形得边数、

02.如果一个正多边得一个内角就是1080

,则这个多边形就是( )

A.正方形

B.正五边形

C. 正六边形

D.正七边形 03.已知一

个多边形得内角与为

10800

,则这个多边形得边数就是( ) A .8 B .7 C .6 D .5

04.如图,∠1、∠2、∠3、∠4就是五边形ABCDE 得外角,且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700

,则∠AED 得度数为( )A .1100 B .1080 C .1050

D .1000

5、当多边形得边数增加1时,它得内角与与外角与( ) A .都不变

B .内角与增加1800,外角与不变

C .内角与增加1800,外角与减少1800

D .都增加1800

【例３】一只蚂蚁从点A 出发,每爬行5cm 便左转600

,则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A ？

解:蚂蚁爬行得路程构成一个正多边形,其路程就就是这个正多边形得周长,根据已知可得这个正多边形得每个外角均为600

,则这个多边形得边数为0

36060＝6、所以这只蚂蚁需要爬行5×6＝30(cm )才能回到点A.【解法指导】多边形得外角与为3600

、

(1)多边形得外角与恒等于3600

,它与边数得多少无关、

(2)多边形得外角与得推导方法:由于多边形得每个内角与它相邻得外角就是邻补角,所以n 边形内角与加外角

与等于1800·n ,外角与等于n ·1800－(n －2)·1800＝3600

、(3)多边得外角与为什么等于3600

,还可以这样理解:从多边形得一个顶点A 出发,沿多边形得各边走过各顶点,再回到点A ,然后转向出发点时得方向,在行程中所转得各个角得与就就是多边形得外角与,由于走了一周,所转得各

个角得与等于一个周角,所以多边形得外角与等于3600

、(4) 多边形得外角与为3600

得作用:①已知各相等外角度数求多边形边数;②已知多边形边数,求各相等外角得度数、【变式题组】

01.(无锡)八边形得内角与为_____、度、

02.如图所示,已知△ABC 中,∠A ＝400

,剪去∠A 后成四边形,则∠1+∠2＝___ 03.(资阳)n (n 为整数,且n ≥3)边形得内角与比(n +1)边形得内角与少____度、

04.(株洲)如图所示,小明在操场上从点A 出发,沿直线前进10米后向左转400

,再沿直线前进10米后,又向左转

400

,……,照这样下去,她第一次回到出发地A 点时,一共走了_____米、 【例４】已知两个多边形得内角与为18000

,且两多边形得边数之比为2:5,求这两个多边形得边数、

【解法指导】两个多边形得边数之比为2:5,可设两个多边形得边数为2x 与5x ,利用多边形得内角可列方程、

解:设这两个多边形得边数分别就是2x 与5x ,则由多边形内角与定理可得:

(2x －2)·1800+(5x －2)·1800＝18000

,解得x ＝2,∴2x ＝4,5x ＝10, 故这两个多边形得边数分别为4与10、 【变式题组】

01.一个多边形除去一个角后,其余各内角得与为22100

,这个多边形就是___________ 02.若一个多边形得外角与就是其内角与得25

,则此多边形得边数为_____

03.每一个内角都相等得多边形,它得一个外角等于一个内角得23

,则这个多边形就是( )

A .三角形

B .四边形

C .五边形

D .六边形

04.内角与与其外角与相等得多边形就是___________

【例５】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖,用来铺设无缝地面,她购买得瓷砖不可以就是( ) A .正三角形 B .长方形 C .正八边形 D .正六边形

【解法指导】根据平面镶嵌得定义可知:在一个顶点处各多边形得内角与为3600

,由于正三角形、长方形、正六

边形得内角都就是3600得约数,因此它们可以用来完成平面镶嵌,而正八边形得每个内角为1350,不就是3600

得约数,所以正八边形不能把平面镶嵌、 解:选C.【变式题组】

01.用一种如下形状得地砖,不能把地面铺成既无缝隙,又不重叠得就是( )

A .正三角形

B .正方形

C .长方形

D .正五边形

02.小明家装修房屋,用同样得正多边形瓷砖铺地,顶点连着顶点,要铺满地面而不重叠,瓷砖得形状可能有

( )A .正三角形、正方形、正六边形 B .正三角形、正方形、正五边形 C .正方形、正五边形 D .正三角形、正方形、正五边形、正六边形 03.只用下列正多边形?能作平面镶嵌得就是( )

A .正五边形

B .正六边形

C .正八边形

D .正十边形

04.(晋江市)如图,将一张正方形纸片剪成四个小正方形,得到4个小正方形,称为第一次操作;然

后将其中得一个正方形再剪成四个小正方形,共得7个小正方形,称为第二次操作;再将其中得一个正方形再剪成四个小正方形,共得到10个小正方形,称为第三次操作;……,根据以上操作,若要得到2011个小正方形,则需要操作得次数就是( )A .669 B .670 C .671 D .672

【例６】有一个十一边形,它由若干个边长为1得等边三角形与边长为1得正方形无重叠、无间隙地拼成,求此十一边形各内角得大小,并画出图形、【解法指导】正三角形得每个内角为600,正方形得每个内角为900

,它们无重叠、无间隙可拼成600、900、1200、1500

四种角度,根据十一边形内角与即可判断每种角得个数、解:因为正三角形与正方形得内角分别为600、900,由此可拼成600、900、1200、1500

四种角度,

十一边形内角与为(n －2)×1800＝(11－2)×1800＝16200

、因为1200×11＜16200＜1500×11,所以这个十一边形得内角只有1200与1500两种、设1200得角有m 个,1500

得角有n 个,则有1200

m +1500

n ＝16200

,即4m +5n ＝54 此方程有唯一正整数解110

m n =??

=?,所以这个十一边形内角中有1个角

为1200,10个角为1500

,此十一边形如图所示、【变式题组】

01.如图就是某广场地面得一部分,地面得中央就是一块正六边形得地砖,周围用正三角形与正方形得大理石砖镶嵌,

从里向外共铺了12层(不包括中央得正六边形地砖),每一层得外边界都围成一个正多边形,若中央正六边形得地砖边长为0.5m ,则第12层得外边界所围成得多边形得周长就是___________、02.小明得书房地面为210cm ×300cm 得长方形,若仅从方便平面镶嵌得角度出发,最适宜选用得地砖规格为

( )A .30cm ×30cm 得正方形, B .50cm ×50cm 得正方形, C .60cm ×60cm 得正方形, D .120cm ×120cm 得正方形,

03.正m边形、正n边形及正p边形各取一个内角,其与为3600,求111

m n p

++得值、

演练巩固·反馈提高

01.在一个顶点处,若正n边形得几个内角得与为______,则此正n边形可铺满地面,没有空隙、

02.(宜昌市)如图,用同样规格得黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面,观察图形并猜想填空:当黑色瓷砖为20块时,

白色瓷砖为______块,当白色瓷砖为n2(n为正整数)块时,黑色瓷砖为______块、

03.(嘉峪关)用黑白两种颜色得正六边形地板砖按图所示得规律拼成如下若干地板图案:则第n

个图案中白色得地板砖有______块、

04.如图所示得图案就是由正六边形密铺而成,黑色正六边形周围得第一层有六个白色正六边形,则第n层有______

个白色正六边形、aoNobH3。CmOVrUJ。

05.如果只用一种正多边形作平面镶嵌,而且在每一个正多边形得每一个顶点周围都有6个正多边形,则该正多边形

得边数为( )A.3 B. 4 C.5 D.6

06.下列不能镶嵌得正多边组合就是( )

A.正三角形与正六边形

B.正方形与正六边形

C.正三角形与正方形

D.正五边形与正十边形

07.用两种以上得正多边形镶嵌必须具备得条件就是( )

A.边长相同

B.在每一点得交接处各多边形得内角与为1800

C.边长之间互为整数倍

D.在每一点得交接处各多边形得内角与为3600,且边长相等

08.(荆门市)用三块正多边形得木板铺地,拼在一起且相交于一点得各边完全吻合,其中两块木板得边数都就是8,则

第三块木板得边数就是( )A.4 B.5 C.6 D.8

09.[自贡(课改)]张珊得父母打算购买形状与大小都相同得正多边形瓷砖来铺卫生间得地

面,张珊特意提醒父母,为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠,所购瓷砖形状不能就是

( )

A.正三角形

B.正方形

C.正六边形

D.正八边形

10.我们常常见到如图所示那样图案得地板,它们分别就是由正方形、等边三角形得材料铺成得,

(1)为什么用这样形状得材料能铺成平整、无空隙得地板？

(2)您想一想能否用一些全等得任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板,请画出图形、

11.某单位得地板由三种各角相等、各边也相等得多边形铺成,假设它们得边数为x、y、z,您能找出x、y、z之间有

何种数量关系吗？请说明理由、

12.黑色正三角形与白色正六边形得边长相等,用它们镶嵌图案,方法如下:白色正六边形分上下两行,上面一行得正

六边形个数比下面一行少一个,正六边形之间得空隙用黑色得正三角形嵌满,按第1,2,3个图案[如图(1)、(2)、

(3)]规律依次下去,则第n个图案中黑色正三角形与白色正六边形得个数分别就是( )

A.n2+n+2,2n+1

B.2n+2,2n+1

C.4n,n2－n+3

D.4n,2n+1

培优升级·奥赛检测

01.在一个多边形中,除了两个内角外,其余内角之与为20020,则这个多边形得边数为( )

A.12

B.12或13

C.14

D.14或15

02.有一个边长为4m得正六边形客厅,用边长为50cm得正三角形瓷砖铺满,则需

要这种瓷砖( )

A.216块

B.288块

C.384块

D.512块

03.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G得度数等于( )A.3600 B.4500C.5400D.7200

04.从凸n边形得一个顶点引出得所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形,若m等于这个凸n边形对角线条

数得4

9

,那么此n边形得内角与为___________、DGoEadW。

dTJ1cnY。

05.如图,已知DC∥AB,∠BAE＝∠BCD,AE⊥DE,∠D＝1300,求∠B

B

A

C

D

E

F 得度数、

06.如图,小亮从点A 出发,沿直线前进10米后向左转300,再沿直线前进10米,又向左转300

,……,照这样下去,她第

一次回到出发点A 时,一共走了______米、07.如图,两直线AB 、CD 平行,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝( )

A .6300

B .7200

C .8000

D .9000

08.将一个宽度相等且足够长得纸条打开个结,如(1),然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示得正五边

形,ABCDE ,其中∠BAC ＝_______、HmNzto2。R8TX0EE 。

09.矩形ABCD 得边长为16,宽为12,沿着对角线BD 剪开,得到两个三角形,将这两个三角形拼出各种凸四边形,设这

些四边形中周长最大为m ,周长最小为n ,则m +n 得值为( )A .120 B .128 C .136 D .144

10.对正方形ABCD 分划如图①,其中E 、F 分别就是BC 、CD 得中点,M 、N 、G 分别就是OB 、OD 、EF 得中点,沿分划线

可以剪出一副由七块部件组成得“七巧板”(1)如果设正方形OGFN 得边长为1,这七块部件得各块长中,从小到大得四个不同值分别为1、x 1、x 2、x 3,那么x 1＝___;各内角中最小内角就是___度,最大内角就是___度;用它们拼成一个五边形如图②,其面积就是__、

(2)请用这块七巧板,既不留下一丝空白,又不相互重叠,拼出两种边数不同得凸多边形,画在下面格点图中,并使凸多边形得顶点落在格点图得小黑点上(格点图中上下左右相邻两点距离都为1)、(3)某合作学习小组在玩七巧板时发现:“七巧板拼成得多边形,其边数不能超过8”、您认为这个结论正确吗？请说明理由、

11.(方案设计题)我们常见到如图得图案地面,它们分别就是全用正方形或全用正六边形形状得材料铺成得,这样得

材料能铺成平整、无空隙得地面、(1)您能不能另外想一个用一种多边形(不一定就是正多边形)得材料铺地得方案,把您想到得方案画成草图; (2)请您再画一个用两种不同正多边形材料铺地得草图、

12.(俄罗斯萨温布竞赛题)如图,在凸六边形ABCDEF 中,已知∠A +∠B +∠C ＝∠D +∠E +∠F 成立,试证明:该六边形必有

两条对边就是平行得、第3讲 全等三角形得性质与判定

考点·方法·破译

1.能够完全重合得两个三角形叫全等三角形、全等三角形得形状与大小完全相同;

2.全等三角形性质:①全等三角形对应边相等,对应角相等;②全等三角形对应高、角平分线、中线相等;③全等三角形对应周长相等,面积相等;

3.全等三角形判定方法有:SAS ,ASA ,AAS ,SSS ,对于两个直角三角形全等得判定方法,除上述方法外,还有HL 法;

4.证明两个三角形全等得关键,就就是证明两个三角形满足判定方法中得三个条件,具体分析步骤就是先找出两个三角形中相等得边或角,再根据选定得判定方法,确定还需要证明哪些相等得边或角,再设法对它们进行证明;

5..证明两个三角形全等,根据条件,有时能直接进行证明,有时要证得两个三角形并不全等,这时需要添加辅助线构造全等三角形,构造全等三角形常用得方法有:平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等、经典·考题·赏析

【例１】如图,AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ,那么图中有全等三角形( )A .5对 B .4对 C .3对 D .2对

A

F C

E D B

【解法指导】从题设题设条件出发,首先找到比较明显得一对全等三角形,并由此推出结论作为下面有用得条件,从而推出第二对,第三对全等三角形、这种逐步推进得方法常用到、解:⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90、 ∴∠DCB ＝90、 在△ABC 与△DCB 中

AB DC ABC DCB BC CB =??

=??=?

∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB (SAS ) ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 与△DCE 中

A D

AED DEC AB DC =??

=??=?

∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 与Rt △EFC 中

BE CE

EF EF =??

=?

∴Rt △EFB ≌Rt △EFC (HL )故选C 、 【变式题组】

01.(天津)下列判断中错误得就是( )

A .有两角与一边对应相等得两个三角形全等

B .有两边与一角对应相等得两个三角形全等

C .有两边与其中一边上得中线对应相等得两个三角形全等

D .有一边对应相等得两个等边三角形全等 02.(丽水)已知命题:如图,点A 、D 、B 、

E 在同一条直线上,且AD ＝BE ,∠A ＝∠FDE ,则△ABC ≌△DE

F 、判断这个命题就是真命题还就是假命题,如果就是真命题,

请给出证明;如果就是假命题,请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以

证明、03.已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ,E 为OB 得中点,F 为OC 得中点,

连接EF (如图所示)、⑴添加条件∠A ＝∠D ,∠OEF ＝∠OFE ,求证:AB ＝DC ;

⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①,“∠OEF ＝∠OFE ”记为②,“AB ＝DC ”记为③,

添加①、③,以②为结论构成命题1;添加条件②、③,以①为结论构成命题2、命题1就是____命题,命题2就是_____命题(选择“真”或“假”填入空格)、【例２】已知AB ＝DC ,AE ＝DF ,CF ＝FB 、 求证:AF ＝DE 、

【解法指导】想证AF ＝DE ,首先要找出AF 与DE 所在得三角形、AF 在△AFB 与△AEF 中,而DE 在△CDE 与△DEF 中,因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可、然后再根据已知条件找出证明它们全等得条件、证明:∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ,即BE ＝CF

在△ABE 与△DCF 中, AB DC

AE DF BE CF =??=??=?

∴△ABE ≌△DCF (SSS ) ∴∠B ＝∠C

在△ABF 与△DCE 中, AB DC

B C BF CE =??=??=?

∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE

【变式题组】

01.如图,AD 、BE 就是锐角△ABC 得高,相交于点O ,若BO ＝AC ,BC ＝7,CD ＝2,则AO 得长为( )A .2 B .3 C .4 D .5

A B

C

D

O F

E

A C

E

F

B

D

02、如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,∠BAC ＝90°,AE 就是过A 点得一条直线,AE ⊥CE 于E ,BD ⊥AE 于D ,DE ＝4cm ,CE ＝2cm ,

则BD ＝__________、03.(北京)已知:如图,

在△ABC 中,∠ ACB ＝90°,CD ⊥AB 于点D ,点E 在AC 上,CE ＝BC ,过点E 作AC 得垂线,交CD 得

延长线于点F 、 求证:AB ＝FC 、【例３】如图①,△ABC ≌△DEF ,将△ABC 与△DEF 得顶点B 与顶点E 重合,把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转,这时AC 与DF 相交于点O 、⑴当△DEF 旋转至如图②位置,点B (E )、C 、D 在同一直线上时,∠AFD 与∠DCA 得数量关系就是__________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时,⑴中得结论成立吗？请说明理由_____________、

【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA

⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下:由△ABC ≌△DEF ,∴AB ＝DE ,BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC 在△ABF 与△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =?

?

=??=?

∠∠

∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠

AFD ＝∠CDF ＋∠DCA,∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】

01.(绍兴)如图,D 、E 分别为△ABC 得AC 、BC 边得中点,将此三角形沿DE 折叠,使点C 落在AB 边上得点P 处、若∠

CDE ＝48°,则∠APD 等于( )A .42° B .48° C .52° D .58°

02.如图,Rt △ABC 沿直角边BC 所在得直线向右平移得到△DEF ,下列结论中错误得就是( )

A .△ABC ≌△DEF

B .∠DEF ＝90°

C . AC ＝DF

D .EC ＝CF

03.一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两种三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如下图形式,使点B 、F 、C 、D

在同一条直线上、A

F

E

C B

D

A

E

第1题图

A B

C

D

E

B

C

D

O

第2题图

B (E )

O

C F 图③

D

A

E

F

B A

C

D

G

第2题图

⑴求证:AB ⊥ED ;

⑵若PB ＝BC ,找出图中与此条件有关得一对全等三角形,并证明、

【例４】(第21届江苏竞赛试题)已知,如图,BD 、CE 分别就是△ABC 得边A C 与AB 边上得高,点P 在BD 得延长线,BP ＝AC ,点Q 在CE 上,CQ ＝AB 、 求证:⑴ AP ＝AQ ;⑵AP ⊥AQ 【解法指导】证明线段或角相等,也就就是证线段或角所在得两三角形全等、经观察,证AP ＝AQ ,也就就是证△APD 与△AQE ,或△APB 与△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ,CQ ＝AB ,应该证△APB ≌△QAC ,已具备两组边对应相等,于就是再证夹角∠1＝∠2即可、 证AP ⊥AQ ,即证∠PAQ ＝90°,∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以、

证明:⑴∵BD 、CE 分别就是△ABC 得两边上得高,

∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°,∠2＋∠BAD ＝90°,∴∠1＝∠2、 在△APB 与△QAC 中, 2AB QC BP CA =??

=??=?

∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ,

∴AP ＝AQ ⑵∵△APB ≌△QAC ,∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90°

∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°,∴AP ⊥AQ

【变式题组】

01.如图,已知AB ＝AE ,∠B ＝∠E ,BA ＝ED ,点F 就是CD 得中点,求证:AF ⊥CD 、 02.(湖州市竞赛试题)如图,在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,倾斜角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面得墙上,为45°,这间房子得宽度就是( )A .

2

a b

m + B .

2

a b

m - C .bm

D .am

03.如图,已知五边形ABCDE 中,∠ ABC ＝∠AED ＝90°,AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2,则五边形ABCDE 得面积为

__________演练巩固·反馈提高

01.(海南)已知图中得两个三角形全等,则∠α度数就是( )

A .72°

B .60°

C .58°

D .50°

A

E

C

B

A 75° C

45° B

N

M

第2题图

第3题图

D

2

1

A

B

C P Q

E F D

02.如图,△ACB ≌△A /C /B /

,∠ BCB /

＝30°,则∠ACA /

得度数就是( )

A .20°

B .30°

C .35°

D .40°

03.(牡丹江)尺规作图作∠AOB 得平分线方法如下:以O 为圆心,任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ,再分别以点C 、

D 为圆心

,以大于

1

2

CD 长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线OP ,由作法得△OCP ≌△ODP 得根据就是( )A .SAS B .ASA C .AAS D .SSS

04.(江西)如图,已知AB ＝AD ,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC ≌△ADC 得就是( )A 、 CB ＝CD B 、∠BAC ＝∠DAC C 、 ∠

BCA ＝∠DCA D 、∠B ＝∠D ＝90°05.有两块不同大小得等腰直角三角板△ABC 与△BDE

,将它们得一个锐角顶点放在一起,将它们得一个锐角顶点放在

一起,如图,当A 、B 、D 不在一条直线上时,下面得结论不正确得就是( )A 、 △ABE ≌△CBD B 、 ∠ABE ＝∠CBD C 、 ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D 、 AC ∥BE 06.如图,△ABC 与共顶点A ,AB ＝AE ,∠1＝∠2,∠B ＝∠E 、 BC 交AD 于M ,DE 交AC 于N ,小华说:“一定有△ABC ≌△AED 、”

小明说:“△ABM ≌△AEN 、”那么( )A 、 小华、小明都对 B 、 小华、小明都不对 C 、 小华对、小明不对 D 、小华不对、小明对07.如图,已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°,∠ACD ＝98°,那么∠ECA 得度数就是___________、

08.如图,△ABC ≌△ADE ,BC 延长线交DE 于F ,∠B ＝25°,∠ACB ＝105°,∠DAC ＝10°,则∠DFB 得度数为_______、

z0n1PKQ 。2dyfjqz 。

09.如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD 、 AC ＝3,那么AE ＋DE ＝______H1C3EQp 。2uZRcQo 。

10.如图,BA ⊥AC , CD ∥AB 、 BC ＝DE ,且BC ⊥DE ,若AB ＝2, CD ＝6,则AE 第1题图

a α

c

c

a

50° b

72° 58°

A E F B

D C 11.如图, AB ＝CD , AB ∥CD 、 BC ＝12cm ,同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发,沿CB 方向爬行,P 得速度就是0.1cm /s , Q

得速度就是0.2cm /s 、 求爬行时间t 为多少时,△APB ≌△QDC 、 12.如图, △ABC 中,∠BCA ＝90°,AC ＝BC ,AE 就是BC 边上得中线,过C 作CF ⊥AE B 作BD ⊥BC 交CF 得延长线于D 、⑴求证:AE ＝CD ;

⑵若AC ＝12cm , 求BD 得长、

13.(吉林)如图,AB ＝AC ,AD ⊥BC 于点D ,AD 等于AE ,AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明、14.如图,将等腰直角三角板ABC 得直角顶点C 放在直线l 上,从另两个顶点A 、

B 分别作l 得垂线,垂足分别为D 、E 、⑴找出图中得全等三角形,并加以证明;

⑵若DE ＝a ,求梯形DABE 得面积、(温馨提示:补形法)

15.如图AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ,CE ⊥AB ,DF ⊥AB ,

垂足分别就是E 、F 、 求证:CE ＝DF 、

16.我们知道,两边及其中一边得对角分别对应相等得两个三角形不一定

全等,那么在什么情况下,它们会全等？⑴阅读与证明:

对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等;

对于这两个三角形均为钝角三角形,可证明它们全等(证明略); 对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下;

已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形,AB ＝A 1B 1,BC ＝B 1C 1,∠C ＝∠C 1、 求证:△ABC ≌△A 1B 1C 1、(请您将下列证明过程补充完整) ⑵归纳与叙述:由⑴可得一个正确结论,请您写出这个结论、

培优升级·奥赛检测

01.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,E 、F 分别就是AB 、AC 上得点,且AE ＝AF ,BF 、CE 相交于点O ,连接AO 并延长交BC 于点

D ,则图中全等三角形有( )A .4对 B .5对 C .6对 D .7对

02.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,OC ＝OD ,下列结论中:①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ,③连接DE , 则OE 平分∠AOB ,正确得就是

( ) A .①② B .②③ C .①③ D .①②③03.如图,A 在DE 上,F 在AB 上,且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 得长等于()

A .DC

B 、 B

C C 、 AB

D 、A

E ＋AC

04.下面有四个命题,其中真命题就是( )

A .两个三角形有两边及一角对应相等,这两个三角形全等

B .两边与第三边上得高对应相等得两个三角形全等

C 、 有一角与一边对应相等得两个直角三角形全等

D 、 两边与第三边上得中线对应相等得两个三角形全等

05.在△ABC 中,高AD 与BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ,则∠ABC ＝_______、

06.如图,EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ,∠E ＝∠F ＝90°,∠B ＝∠C , AE ＝AF 、 给出下列结论:①∠

1＝∠2;②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ,其中正确得结论有___________、(填序号)F

第6题图

2 1

A

B C

E N M

3 2

1

A

D

E

B

C F

A

D

E

C

O

A E O B

F

C D

第1题图

B

第2题图

第3题图

A B C D A 1 B 1 C 1 D 1

A E

F

C

D

B

A

E

B

D

C 07.如图,A

D 为在△ABC 得高,

E 为AC 上一点,BE 交AD 于点

F ,且有BF ＝AC ,FD ＝CD 、vDDuJbc 。80ulDPO 。

⑴求证:BE ⊥AC ;

⑵若把条件“BF ＝AC ”与结论“BE ⊥AC ”互换,这个命题成立吗？证明您得判定、

08.如图,D 为在△ABC 得边BC 上一点,且CD ＝AB ,∠BDA ＝∠BAD ,AE 就是△ABD 得中线、

求证:AC ＝2AE 、

09.如图,在凸四边形ABCD 中,E 为△ACD 内一点,满足AC ＝AD ,AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD 、求证:∠CED ＝90°、

10.(沈阳)将两个全等得直角三角形ABC 与DBE 按图①方式摆放,其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°,∠A

＝∠D ＝30°,点E 落在AB 上,DE 所在直线交AC 所在直线于点F 、GhtX7zK 。 ⑴求证:AF ＋EF ＝DE ;

⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α,且0°＜α＜60°,其她条件不变,请在图②中画出变换后得图形,并直接写出(1)中结论就是否仍然

成立;⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β,且60°＜β＜180°,其她条件不变,如图③您认为(1)中结论还成立吗？若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时AF 、EF 与DE 之间得关系,并说明理由。11.(嵊州市高中提前招生考试)⑴阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如

下问题:在△ABC 中,AB ＝5,AC ＝13, 求BC 边上得中线AD 得取值范围、小明在组内经过合作交流,得到了如下得解决方法:延长AD 到E ,使得DE 连接BE ,把AB 、AC 、2AD 集中在△ABE 中,利用三角形得三边关系可得2＜AE ＜AD ＜4、感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”等条件,可以考虑中线加倍,等三角形,把分散得已知条件与所求证得结论集中到同一个三角形中、⑵问题解决:受到⑴得启发,请您证明下面命题:如图,在△ABC 中,D 就是得中点,DE ⊥DF ,DE 交AB 于点E ,DF 交AC 于点F ,连接EF 、求证:BE ＋CF ＞EF ;

⑶问题拓展:如图,在四边形ABDC 中,∠B ＋∠C ＝180°,DB ＝DC ,∠BDC 为顶点作一个60°角,角得两边分别交AB 、AC 于E 、F 两点,连接EF ,EF 之间得数量关系,并加以证明、 12.(北京)如图,已知△ABC 、

⑴请您在BC 边上分别取两点D 、E (BC 得中点除外),连接AD 、AE ,两对面积相等得三角形得相应条件,并表示出面积相等得三角形;⑵请您根据使⑴成立得相应条件,证明:AB ＋AC ＞AD ＋AE 、

13.如图,AB ＝AD ,AC ＝AE ,∠BAD ＝∠CAE ＝180°、 AH ⊥AH 于H ,HA 得延长线交DE 证:GD ＝GE 、14.已知,四边形ABCD 中,AB ⊥AD ,BC ⊥CD ,BA ＝BC ,∠ABC ＝120°,∠MBN ＝60°, ∠它得两边分别交AD 、DC (或它们得延长线)于E 、F 、当∠MBN 绕B 点旋转到AE ＝CF 时,如图1,易证:AE ＋CF ＝EF ;(不需证明) 当∠MBN 绕B 点旋转到AE ≠CF 时,如图2与图3中这两种情况下,立? 若成立,请给予证明;若不成立,线段AE 、CF 、EF 又有怎样得数量关系？请写出您得猜想,不需证明、A F D

F

C B

E

D

E A

C

B

图① 图②

A

B E D

C

第4讲 角平分线得性质与判定

考点·方法·破译

1.角平分线得性质定理:角平分线上得点到角两边得距离相等、

2.角平分线得判定定理:角得内角到角两边距离相等得点在这个角得平分线上、

3.有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形、

经典·考题·赏析

【例１】如图,已知OD 平分∠AOB ,在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ,PM ⊥BD ,PN ⊥AD 、求证:PM ＝PN 【解法指导】由于PM ⊥BD ,PN ⊥AD 、欲证PM ＝PN 只需∠3＝∠4,证∠3＝∠4,只需∠3与∠4所在得△OBD 与△OAD 全等即可、证明:∵OD 平分∠AOB ∴∠1＝∠2 在△OBD 与△OAD 中,12OB OA

OD OD =??

∠=∠??=?

∴△OBD ≌△OAD

∴∠3＝∠4 ∵PM ⊥BD ,PN ⊥AD 所以PM ＝PN 【变式题组】

01．如图,CP 、BP 分别平分△ABC 得外角∠BCM 、∠CBN 、

求证:点P 在∠BAC 得平分线上、

02．如图,BD 平分∠ABC ,AB ＝BC ,点P 就是BD 延长线上得一点,

PM ⊥AD ,PN ⊥CD 、求证:PM ＝PN

【例２】(天津竞赛题)如图,已知四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB 于点E ,且AE ＝

1

2

(AB ＋AD ),如果∠D ＝120°,求∠B 得度数【解法指导】由已知∠1＝∠2,CE ⊥AB ,联想到可作CF ⊥AD 于F ,得CE ＝CF ,AF ＝AE ,又由＝

1

2(AB ＋AD )得DF ＝EB ,于就是可证△CFD ≌△CEB ,则∠B ＝∠CDF ＝60°、或者在AE 上截取AM ＝AD 从而构造全等三角形、 解:过点C 作CF ⊥AD 于点F 、∵AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,点C 就是AC 上一点,∴CE ＝CF

在Rt △CFA 与Rt △CEA 中,CF CE

AC AC

=??=? ∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ∴AF ＝AE

又∵AE ＝

1

2

(AE ＋BE ＋AF －DF ),2AE ＝AE ＋AF ＋BE －DF ,∴BE ＝DF ∵CF ⊥AD ,CE ⊥AB ,∴∠F ＝∠CEB ＝90°

在△CEB 与△CFD 中,CE CF

F CEB DF BE =??∠=∠?

?=?

,∴△CEB ≌△CFD

∴∠B ＝∠CDF 又∵∠ADC ＝120°,∴∠CDF ＝60°,即∠B ＝60°、

D A

B

C F N

E M D

图1

A

B

C F

N E M D

A

B C

F N

E

M

图2

图3

第1题图

第2题图第

3题图

第4题图

第5题图【变式题组】

01.如图,在△ABC 中,CD 平分∠ACB ,AC ＝5,BC ＝3、求ACD CBD

S S ??

02.(河北竞赛)在四边形ABCD 中,已知AB ＝a ,AD ＝b 、且BC ＝DC ,对角线AC 平分∠BAD ,问a 与b 得大小符合什么条件时,有∠B ＋∠D ＝180°,请画图并证明您得结论、【例３】如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ,BE 平分∠ABC ,CE ⊥BE 、求证:CE ＝

1

2

BD 【解法指导】由于BE 平分∠ABC ,因而可以考虑过点D 作BC 得垂线或延长CE 从而构造全等三角形、 证明:延长CE 交BA 得延长线于F ,∵∠1＝∠2,BE ＝BE ,∠BEF ＝∠BEC ∴△BEF ≌△BEC (ASA ) ∴CE ＝EF ,∴CE ＝

1

2

CF ∵∠1＋∠F ＝∠3＋∠F ＝90°,∴∠1＝∠3

在△ABD 与△ACF 中,13

AB AC BAD CAF ∠=∠??=?

?∠=∠?

,∴△ABD ≌△ACF

∴BD ＝CF ∴CE ＝

12

BD 【变式题组】

01．如图,已知AC ∥BD ,EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ,CD 过点E ,

求证:AB ＝AC ＋BD 、

02.如图,在△ABC 中,∠B ＝60°,AD 、CE 分别就是∠BAC 、∠BCA 得平分线,AD 、CE 相交于点F 、⑴请您判断FE 与FD 之间得数量关系,并说明理由;

⑵求证:AE ＋CD ＝AC 、

演练巩固·反馈提高

01.如图在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ,若CD ＝n ,AB ＝m ,则△ABD 得面积就是( )A .

1

3

mn B .

1

2

mn C . mn D .2 mn

02.如图,已知AB ＝AC ,BE ＝CE ,下面四个结论:①BP ＝CP ;②AD ⊥BC ;③AE 平分∠BAC ;④∠PBC ＝∠PCB 、其中正确得结

论个数有( )个 A . 1 B .2 C .3 D .403.如图,在△ABC 中,P 、Q 分别就是BC 、AC 上得点,作PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,垂足分别就是R 、S 、若AQ ＝PQ ,PR ＝PS ,下列

结论:①AS ＝AR ;②PQ ∥AR ;③△BRP ≌△CSP 、其中正确得就是( )A . ①③ B .②③ C .①② D .①②③

,ABC 中,AB ＝AC ,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别就是E 、F ,则下列四个结论中:①AD 上任意一点到B 、C 得距离相等;②AD 上任意一点到AB 、AC 得距离相等;③AD ⊥BC 且BD ＝CD ;④∠BDE ＝∠CDF 、其中正确得就是( )A .②③ B .②④ C .②③④ D .①②③④05.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,∠CAB ＝30°,∠ACB 得平分线与∠ABC 得外角平分线交于E 点,则∠AEB 得度数

为( )A .50° B .45° C .40° D .35°06.如图,P 就是△ABC 内一点,PD ⊥AB 于D ,PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,且PD ＝PE ＝PF ,给出下列结论:①AD ＝AF ;②AB

＋EC ＝AC ＋BE ;③BC ＋CF ＝AB ＋AF ;④点P 就是△ABC 三条角平分线得交点、其中正确得序号就是( ) A .①②③④ B .①②③ C .①②④ D .②③④07.如图,点P 就是△ABC 两个外角平分线得交点,则下列说法中不正确得就是( )

第6题图

第7

题图

第8

题图

第9题图

第10题图

l

2第1题图第3题图

第4题图

A .点P 到△ABC 三边得距离相等

B .点P 在∠AB

C 得平分线上

C .∠P 与∠B 得关系就是:∠P ＋

12∠B ＝90° D .∠P 与∠B 得关系就是:∠B ＝1

2

∠P ,BD 平

分

∠

ACE ,BD 与CD 相交于D 、给出下列结论:①点D 到AB 、AC 得距离相等;②∠BAC ＝2∠BDC ;③DA ＝DC ;④DB 平分∠ADC 、其中正确得个数就是( )A .1个 B .2个 C .3个 D .4个

09.如图,△ABC 中,∠C ＝90°AD 就是△ABC 得角平分线,DE ⊥AB 于E ,下列结论中:①AD 平分∠CDE ;②∠BAC ＝∠BDE ;

③ DE 平分∠ADB ;④AB ＝AC ＋BE 、其中正确得个数有( )A .3个 B .2个 C .1个 D .4个

10.如图,已知BQ 就是∠ABC 得内角平分线,CQ 就是∠ACB 得外角平分线,由Q 出发,作点Q 到BC 、AC 与AB 得垂线QM 、

QN 与QK ,垂足分别为M 、N 、K ,则QM 、QN 、QK 得关系就是_________11.如图,AD 就是∠BAC 得平分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,且DB ＝DC 、

求证:BE ＝CF

12.如图,在△ABC 中,AD 就是∠BAC 得平分线,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 于点F 、求证:AD ⊥EF 、培优升级·奥赛检测

01.如图,直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉得公路,现要建一个货物中转站,离相等,则可选择得地址有( )A .一处 B .二处 C .三处 D .四处

02.已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D ,若BC ＝32,且BD :CD ＝9:7,则D 到AB 边得距离为( )A .18

B .16

C .14

D .12 03.如图,△ABC 中,∠C ＝90°,AD 就是△ABC 得平分线,有一个动点P 从A 向B 运动、已知:DC ＝3cm ,DB ＝4cm ,AD ＝8cm 、

DP 得长为x (cm ),那么x 得范围就是__________ 04.如已知AB PE ⊥

AB ,PF ⊥⊥CD ,足分为E 、F 、G ,PF ＝PG ＝PE ,则∠BPD ＝__________05.如图,已知AB ∥CD ,O 为∠CAB 、∠ACD 得平分线得交点,OE ⊥AC ,且OE ＝2, 则两平行线AB 、CD 间得距离等于__________

06.如图,AD 平分∠BAC ,EF ⊥AD ,垂足为P ,EF 得延长线于BC 得延长线相交于点G 、

求证:∠G ＝

1

2

(∠ACB －∠B ) 07.如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 就是∠BAC 得平分线,P 为AC 上任意一点、 求证:AB －AC ＞DB －DC

08.如图,在△ABC 中,∠BAC ＝60°,∠ACB ＝40°,P 、Q 分别在BC 、AC 上,并且

AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 得角平分线上、求证:BQ ＋AQ ＝AB ＋BP

第5讲 轴对称及轴对称变换

考点·方法·破译

1.轴对称及其性质

把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫对称轴、

轴对称得两个图形有如下性质:①关于某直线对称得两个图形就是全等形;②对称轴就是任何一对对应点所连线段得垂直平分线;

③两个图形关于某条直线对称,如果它们得对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上、

2.线段垂直平分线

线段垂直平分线也叫线段中垂线,它反映了与线段得两种关系:①位置关系——垂直;②数量关系——平分、

性质定理:线段垂直平分线上得点与这条线段两个端点得距离相等、

判定定理:与一条线段两个端点距离相等得点,在这条线段得垂直平分线上、

3.当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高(或垂线)、或求几条折线段得最小值等情况时,通常考虑作轴对称变换,以“补齐”图形,集中条件、

经典·考题·赏析

【例１】(兰州)如图所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打3个洞,则纸片展开后就是( )

【解法指导】对折问题即就是轴对称问题,折痕就就是对称轴、故选D、

【变式题组】

01.将正方形纸片两次对折,并剪出一个菱形小洞后铺平,得到得图形就是( )

02.如图,将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠,使点A落在点G上,点D落在点H上;然后再沿虚线GH折叠,使B落在点E

上,点C落在点F上,叠完后,剪一个直径在BC上得半圆,再展开,则展开后得图形为( )

【例2】(襄樊)如图,在边长为1得正方形网格中,将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’,则与点B’关于x轴对称得点得坐标就是( )

A.(0,－1)

B.(1,1)

C.(2,－1)

D.(1,－1)

【解法指导】在△ABC中,点B得坐标为(－1,1),将△ABC向右平移两个单位长度得到

△A’B’C’,由点得坐标平移规律可得B’(－1＋2,1),即B’(1,1)、由关于x轴对称得

点得坐标得规律可得点B’关于x轴对称得点得坐标就是(1,－1),故应选D、

【变式题组】

01.若点P(－2,3)与点Q(a,b)关于x轴对称,则a、b得值分别就是( )

A.－2,3

B.2,3

C.－2,－3

D.2,－3

02.在直角坐标系中,已知点P(－3,2),点Q就是点P关于x轴得对称点,将点Q向右平移4个单位得到点R,则点R

得坐标就是___________、

03.已知点P(a＋1,2a－1)关于x轴得对称点在第一象限,则a得取值范围为_______、

【例3】如图,将一个直角三角形纸片ABC(∠ACB＝90°),沿线段CD折叠,使点B落在B1

处,若∠ACB1＝70°,则∠ACD＝( )

A.30°

B.20°

C.15°

D.10°

【解法指导】由折叠知∠BCD＝∠B1CD、设∠ACD＝x,则∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD＝

70°＋x、又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB,即x＋(70°＋x)＝90°,故x＝10°、故选D、

【变式题组】

01.(东营)如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在点D’、C’得位置、若∠EFB＝65°,则∠AED’等

于( )

A.70°

B.65°

C.50°

D.25°

02.如图,△ABC中,∠A＝30°,以BE为边,将此三角形对折,其次,又以BA为边,再一次对折,C点落在BE上,此时∠

CDB＝82°,则原三角形中∠B＝___________、

03.(江苏)⑴观察与发现:小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A得直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展

平纸片(如图①);再次折叠该三角形纸片,使点A与点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②)、小明认为△AEF就是等腰三角形,您同意吗？请说明理由、

⑵实践与运用:

将矩形纸片ABCD沿过点B得直线折叠,使点A落在BC边上得点F处,折痕为BE(如图③);再沿过点E得直线折叠,使点D落在BE上得点D’处,折痕为EG(如图④);再展平纸片(如图⑤)、求图⑤中∠α得大小、

【例4】如图,在△ABC中,AD为∠BAC得平分线,EF就是AD得垂直平分线,E为垂足,EF交BC得延长线于点F,求证:∠B＝∠CAF.

【解法指导】∵EF就是AD得中垂线,则可得△AEF≌△DEF,∴∠EAF＝∠EDF.从而

利用角平分线得定义与三角形得外角转化即可.

证明:∵EF就是AD得中垂线,∴AE＝DE,∠AEF＝∠DEF,EF＝EF,∴△AEF≌△DEF,

∴∠2＋∠4＝∠3,∴∠3＝∠B＋∠1,∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1,∵∠1＝∠2,∴∠B＝∠

4

【变式题组】

01.如图,点D在△ABC得BC边上,且BC＝BD＋AD,则点D在__________得垂直平分线上.

02.如图,△ABC中,∠ABC＝90°,∠C＝15°,DE⊥AC于E,且AE＝EC,若AB＝3cm,则DC＝___________cm.

03.如图,△ABC中,∠BAC＝126°,DE、FG分别为AB、AC得垂直平分线,则∠EAG＝___________.

04、△ABC中,AB＝AC,AB边得垂直平分线交AC于F,若AB＝12cm,△BCF得周长为20cm,则△ABC得周长就是

___________cm.

【例5】(眉山)如图,在3×3得正方形格点图中,有格点△ABC与△DEF,且△ABC与△DEF关于某直线成轴对称,请在下面得备用图中画出所有这样得△DEF.

【解法指导】在正方形格点图中,如果已知条件中没有给对称轴,在找对称轴时,通常找图案居中

得水平直线、居中得竖直直线或者斜线作为对称轴.若以图案居中得水平直线为对称轴,所作得△DEF如图①②③所示;若以图案居中得竖直直线为对称轴,所作得△DEF如图④所示;若以图案居中得斜线为对称轴,所作得△DEF如图⑤⑥所示.

【变式题组】

01.(泰州)如图,在2×2得正方形格点图中,有一个以格点为顶点得△ABC,请您找出格点图中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点得三角形,这样得三角形共有___________个.

02.(绍兴)如图甲,正方形被划分成16个全等得三角形,将其中若干个三角形涂黑,且满足下列条件:

⑴涂黑部分得面积就是原正方形面积得一半;

⑵涂黑部分成轴对称图形.

如图乙就是一种涂法,请在图1－3中分别设计另外三种涂法.(在所设计得图案中,若涂黑部分全等,则认为就是同一种不同涂法,如图乙与图丙)

【例6】如图,牧童在A处放牛,其家在B处,若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后

回家,试问在何处饮水,所求路程最短？

【解法指导】⑴所求问题可转化为CD上取一点M,使其AM＋BM为最小;⑵本题利用轴对

称知识进行解答.

解:先作点A关于直线CD得对称点A’,连接A’B交CD于点M,则点M为所求,下面证

明此时得AM＋BM最小.

证明:在CD上任取与M不重合得点M’,

∵AA’关于CD对称,∴CD为线段AA’得中垂线,

∴AM＝A’M,M’＝A’M’,在△A’M’B中,有A’B＜A’M’＋BM’,

∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’,∴AM＋BM＜AM’＋BM’,即AM＋BM最小.

【变式题组】

01.(山西)设直线l就是一条河,P、Q两地相距8千米,P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米,欲在l上得某点

M处修建一个水泵站向P、Q两地供水.现在如下四种铺设管道方案,图中得实线表示辅设得管道,则铺设得管道最短得就是( )

02.若点A、B就是锐角∠MON内两点,请在OM、ON上确定点C、点D,使四边形ABCD周长最小,写出您作图得主要步

骤并标明您确定得点.

演练巩固·反馈提高

01.(黄冈)如图,△ABC与△A’B’C’关于直线l对称,且∠A＝78°,∠C’＝48°,则∠B得度数就是( ).A.48°

B.54°

C.74°

D.78°