2021鞍山中考数学试卷
15.若a为一元二次方程x2-3x+m=0的一个根，-a为一元二次方程x2+3x-m=0的一个根，则a的值为
（21题图）
22.（本题7分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明预备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜爱吃红枣馅的粽子．
（1）请你用树状图或列表法为小明推测一下吃两只粽子刚好差不多上红枣馅的概率；
（2）在吃粽子之前，小明预备用一格平均的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数 向上代表肉馅，点数 向上代表香肠馅，点数 ， 向上代表红枣馅，连续抛掷那个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估量吃两只粽子刚好差不多上红枣馅的概率．你认为如此模拟正确吗？试说明理由．
2021鞍山中考数学试卷
（时刻：60分钟 满分：100分）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请将正确的答案的序号填入题后括号内，每小题2分，共18分）
1.已知x=2是关于x的方程 x2-2a=0的一个解，则2a-1的值为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
2.某快餐店肉类食品有5种，蔬菜类食品有8种，饮料类有3种，花15元能够任选其一肉类、一饮料类和二蔬菜类，那么有（ ）种选择。
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出现在BE的长；若不存在，请说明理由.
③如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D动身，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C动身，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时动身，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时刻为t（秒）．
(—2，4)、（4，—2）。
（1）求两个函数的解析式；
（2）结合图象写出y1＜y2时，x的取值范畴；
（3）求△AOB的面积；
（4）是否存在一点P，使以点A﹑B﹑O﹑P为顶点的四边形为菱形？
若存在，求出顶点P的坐标；若不存在，请说明理由。
26．（本题满分12分，任选一题作答）
①如图，矩形 中， 厘米， 厘米（ ）．动点 同时从 点动身，分别沿 ， 运动，速度是 厘米／秒．过 作直线垂直于 ，分别交 ， 于 ．当点 到达终点 时，点 也随之停止运动．设运动时刻为 秒．
0.58 0.52 0.59 0.49 0.60 0.55 0.56 0.49 0.52 0.54
A.16.6B.16.4 C.16.5 D.16.3
5.如图是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是（ ）
（5题图） （6题图）
6.如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB，将△ADE沿DE翻折，M、N恰好重合，则AB:BE等于（ ）
（22题图）
23.（本题7分）
①如图，四形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点。
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论。（23题图）
②如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC，
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求t的值．
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
A.2：1 B.1：2 C.3：2 D.2：3
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，
使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）
A．4个B．5个C．6个D．7个（7题图）
8.如图，△OAP, △ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y= （x>0）的图像上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为（ ）
16.已知k= = = （a+b+c 0），且 +n2=6n-9，则自变量为x的反比例函数y= 的图像分布在第象限。
17.有一块长30cm，宽20cm的纸板，要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔，同时四周宽度相等，则那个框的应为。
18.如图，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点，PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下结论：①AE=CF②∠APE=∠CPF③△EPF是等腰直角三角形④EF=AP⑤S四边形AEPF= S△ABC。当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论始终正确的是。
（1）若 厘米， 秒，则 ______厘米；
（2）若 厘米，求时刻 ，使 ，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形 与梯形 的面积相等，求 的取值范畴；
（4）是否存在如此的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形 ，梯形 ，梯形 的面积都相等？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
A.（ +1，0）B.（ +1,0）C.( -1,0) D.(3,0)
9.某厂前年的产值为50万元，今年上升到72万元，这两年的平均增长率是多少？若设每年的增长率为x，则有方程（ ）
A.50（1+x）=72 B.50（1+x）+50(1+x)2=72 C.50（1+x）2=72 D.50x2=72
二、填空题（每小题2分，共18分）
交AC的延长线与点F。求证：AB垂直平分DF.
24.（本题8分）小华将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原先的一半，如此到期后可得本息和63元，求第一次存款的年利率（不计利息税）
25.（本题10分）已知一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2= 的图象相交于A、B两点，坐标分别为
三、解答题（本大题共8题，共64分）
19.解方程：（每小题4分，共8分）
（1）（2x+3）2-25=0（2）3x2-5x+5=7
20.(本题6分)用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角。
21.（本题6分）旗杆、树和竹杆都垂直于地面且一字排列，在路灯下树和竹杆的影子的方位和长短如图所示.请依照图上的信息标出灯泡的位置（点P表示），再作出旗杆的影子（字母表示）.（不写作法，保留作图痕迹）
A.120 B.210 C.420 D.480
3.正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD上的点。若△AEF是边长为 的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（ ）
A. B. C. D.2
4.某种品牌的水果糖的售价为15元/千克，该品牌的酥糖的售价为18元/千克。现将两种糖平均混合，为了估算这种糖的售价，称了十份糖，每份糖1千克，其中水果糖的质量如下（单位：千克）。你认为这种糖比较合理的定价为（ ）元/千克。
②如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10.点E在下底边BC上，点F在腰AB上.
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
时平分？若存在，求出现在BE的长；若不存在，请说明理由；
10.如图，E为边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC，PR⊥BE，则PQ+PR的值为。
11.若方程 = 的解为正数，则m的取值范畴是。
12.如图9，矩形ABCO的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为（ ），D是AB边上一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数解析式为。
（10题图） （14题图） （18题图）
13.甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙所猜的数字记为b，且a、b分别取数字0、1、2、3、4、5，若a、b满足|a-b|≤1，则称甲乙二人“心有灵犀”，现任意找两个人玩那个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为。
辽宁省鞍山市2021年中考真题数学试卷(含答案)
2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题3分，共24分）1.下列实数最小的是（）A.－2B.－3.5C.0D.1【答案】B【解析】【分析】根据实数大小比较的方法进行求解即可．-<-<<，【详解】解：因为 3.5201所以最小的实数是－3.5．故选：B．【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握应用实数大小的比较方法进行求解是解题的关键．2.下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.据此判断即可．【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．不是中心对称图形，故本选项符合题意；D.是中心对称图形，故本选项符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．3.下列运算正确的是（）A.235a a a +＝ B.3412a a a ⋅＝ C.32a a a÷＝ D.()236236a b a b-＝【答案】C 【解析】【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方的性质逐项计算可判断求解．【详解】解：A ．2a 与3a 不是同类项，不能合并，故A 选项不符合题意；B ．347a a a ⋅=，故B 选项不符合题意；C ．32a a a ÷=，故C 选项符合题意；D ．3262(3)9a b a b -=，故D 选项不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握以上知识是解题的关键．4.不等式32x x -的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】求出不等式的解集，将解集在数轴上表示出来．【详解】解：∵32x x -≤，∴23x x --≤-，∴33x -≤-，解得：1≥x ，∴不等式的解集为：1≥x ，表示在数轴上如图：故选B ．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5.如图，直线//a b ，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若124∠︒＝，则2∠的度数为（）A.120︒B.136︒C.144︒D.156︒【答案】C 【解析】【分析】根据平行线的性质求解，找出图中1424∠=∠=︒，进而求出∠3，再根据平行线性质求出∠2即可．【详解】解：如图，作//c a ，三角尺是含30°角的三角尺，3460∴∠+∠=︒，//a c ，1424∴∠=∠=︒，3602436∴∠=︒-︒=︒，//a c ，//a b ，//b c ∴，218036144∴∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】此题考查平行线的性质，利用平行线性质求角，涉及到直角三角形两个余角的关系．6.某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：时间/h 6789人数218146那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A.18，7.5B.18，7C.7，8D.7，7.5【答案】D 【解析】【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可得出答案．【详解】解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为7，因为该班有40名同学，所以中位数为第20和21名同学时间，第20名同学的时间为7h ，第21名同学的时间为8h ，所以中位数为787.52+=．故选：D ．【点睛】考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．7.如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若54ABD ∠︒＝，则C ∠的度数为（）A.34︒B.36︒C.46︒D.54︒【答案】B 【解析】【分析】连接AD ，如图，根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，C A ∠=∠，然后利用互余计算出A ∠，从而得到C ∠的度数．【详解】解：连接AD ，如图，AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90905436A ABD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，36C A ∴∠=∠=︒．故选B ．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8.如图，ABC 是等边三角形，6cm AB ＝，点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，同时点N 从点C 出发沿射线CA 方向以2cm/s 的速度匀速运动，当点M 停止运动时，点N 也随之停止．过点M 作//MP CA 交AB 于点P ，连接MN ，NP ，作MNP △关于直线MP 对称的MN P ' ，设运动时间为ts ，MN P ' 与BMP 重叠部分的面积为2cm S ，则能表示S 与t 之间函数关系的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先求出当点N '落在AB 上时，t 的值，分02t <≤或23t <≤两种情形，分别求出S 的解析式，可得结论．【详解】解：如图1中，当点N '落在AB 上时，取CN 的中点T ，连接MT ．CM t = ，2CN t =，CT TN =，CT TN t ∴==，ABC 是等边三角形，60C A ∴∠=∠=︒，MCT ∴ 是等边三角形，TM TC TN ∴==，90CMN ∴∠=︒，//MP AC ，60BPM A MPN ∴∠=∠=∠=︒，60BMP C ∠=∠=︒，180C CMP ∠+∠=︒，120CMP ∴∠=︒，BMP 是等边三角形，BM MP ∴=，180CMP MPN ∠+∠=︒ ，//CM PN ∴，//MP CN ，∴四边形CMPN 是平行四边形，2PM CN BM t ∴===，36t ∴=，2t ∴=，如图2中，当02t <≤时，过点M 作MK AC ⊥于K ，则3sin602MK CM t =⋅︒=，21333(6)2242S t t t t ∴=⋅-⋅=-+．如图3中，当23t <≤时，213(6)24S t =⨯-，观察图象可知，选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（每小题3分，共24分）9.第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为_______________．【答案】91.4117810⨯【解析】【分析】根据把一个大于10的数记成10n a ⨯的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，进行求解即可出得出答案．【详解】解：91411780000 1.4117810=⨯．故答案为：91.4117810⨯．【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．10.一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_________________．【答案】14【解析】【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．【详解】解：由图可知：黑色方砖有8个小三角形，每4个三角形是大正方形面积的18∴黑色方砖在整个地板中所占的比值14=，∴小球最终停留在黑色区域的概率14=，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够准确找出黑色方砖面积与整个区域面积的关系.11.如图，ABC 沿BC 所在直线向右平移得DEF ，已知2EC =，8BF =，则平移的距离为___．【答案】3【解析】【分析】利用平移的性质解决问题即可；【详解】由平移的性质可知，BE =CF ，∵BF =8，EC =2，∴BE +CF =8-2=6，∴BE =CF =3，∴平移的距离为3，故答案为：3．【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型；12.习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元，则符合题意的方程是___________________．【答案】3600240040.8x x-=【解析】【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x 元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x 元，依题意得：3600240040.8x x -=．故答案为：3600240040.8x x-=．【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程.13.如图，矩形ABCD 中，3AB =，对角线AC ，BD 交于点O ，DH AC ⊥，垂足为点H ，若2ADH CDH ∠=∠，则AD 的长为_______________．【答案】【解析】【分析】由矩形的性质得3CD AB ==，90ADC ∠=︒，求出30CDH ∠=︒，利用30°角的直角三角形的性质求出CH 的长度，再利用勾股定理求出DH 的长度，根据60ADH ∠=︒求出30DAC ∠=︒，然后由含30°角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解： 四边形ABCD 是矩形，3CD AB ∴==，90ADC ∠=︒，2ADH CDH ∠=∠ ，30CDH ∴∠=︒，60ADH ∠=︒，∴1322CH CD ==在RT DHC 中，332DH ==DH AC ⊥ ，90DHA ∴∠=︒，906030DAC ∴∠=︒-︒=︒，2AD DH ∴==故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质以及直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°的性质是解决本题的关键．14.如图，90POQ ∠=︒，定长为a 的线段端点A ，B 分别在射线OP ，OQ 上运动（点A ，B 不与点O 重合），C 为AB 的中点，作OAC 关于直线OC 对称的OA C ' ，A O '交AB 于点D ，当OBD 是等腰三角形时，OBD ∠的度数为_____________．【答案】67.5︒或72︒【解析】【分析】结合折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得COA COA BAO ∠=∠'=∠，设COA COA BAO x ∠=∠'=∠=︒，然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出2BCO x ∠=︒，902A OB x ∠'=︒-︒，90OBD x ∠=︒-︒，3BDO AOD BAO x ∠=∠+∠=︒，从而利用分类讨论思想解题．【详解】解：90POQ ∠=︒ ，C 为AB 的中点，OC AC BC ∴==，COA BAO ∴∠=∠，OBC BOC ∠=∠，又由折叠性质可得COA COA ∠=∠'，COA COA BAO ∴∠=∠'=∠，设COA COA BAO x ∠=∠'=∠=︒，则2BCO x ∠=︒，902A OB x ∠'=︒-︒，90OBD x ∠=︒-︒，3BDO AOD BAO x ∠=∠+∠=︒，①当OB OD =时，ABO BDO ∠=∠，903x x ∴︒-︒=︒，解得22.5x =︒，9022.567.5OBD ∴∠=︒-︒=︒；②当BD OD =时，OBD A OB ∠=∠'，90902x x ∴︒-︒=︒-︒，方程无解，∴此情况不存在；③当OB DB =时，BDO A OB ∠=∠'，3902x x ∴︒=︒-︒，解得：18x =︒，901872OBD ∴∠=︒-︒=︒；综上，OBD ∠的度数为67.5︒或72︒，故答案为：67.5︒或72︒．【点睛】此题考查折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，三角形外角和等腰三角形的性质，难度一般．15.如图，ABC 的顶点B 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，顶点C 在x 轴负半轴上，//AB x 轴，AB ，BC 分别交y 轴于点D ，E ．若32BE CO CE AD ==，13ABC S = ，则k =_____．【答案】18【解析】【分析】过点B 作BF x ⊥轴于点F ，通过设参数表示出△ABC 的面积，从而求出参数的值，再利用△ABC 与矩形ODBF 的关系求出矩形面积，即可求得k 的值．【详解】解：如图，过点B 作BF x ⊥轴于点F ．//AB x 轴，DBE COE ∴ ∽，DB BE DE CO CE EO ∴==，32BE CO CE AD == ，32DB DE BE CO CO EO CE AD ∴====，设3CO a =，3DE b =，则2AD a =，2OE b =，332DB a ∴=，5OD b =，92a BD ∴=，132a AB AD DB ∴=+=，1113513222ABC a S AB OD b =⋅⋅=⨯⨯= ，45ab ∴=，94551822ODBF a ab S BD OD b ⋅=⋅=== 矩形，又 反比例函数图象在第一象限，18k ∴=，故答案为18．【点睛】此题考查反比例函数知识，涉及三角形相似及利用相似求长度，矩形面积公式等，难度一般．16.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，F 是线段OD 上的动点（点F 不与点O ，D 重合），连接CF ，过点F 作FG CF ⊥分别交AC ，AB 于点H ，G ，连接CG 交BD 于点M ，作//OE CD 交CG 于点E ，EF 交AC 于点N ．有下列结论：①当BG BM =时，AG =；②OH OF OM OC=；③当GM HF =时，2CF CN BC =⋅；④222CN BM DF =+．其中正确的是_______（填序号即可）．【答案】①③④【解析】【分析】①正确．利用面积法证明AG AC BG BC==②错误．假设成立，推出OFH OCM ∠=∠，显然不符合条件．③正确．如图2中，过点M 作MP BC ⊥于P ，MQ AB ⊥于Q ，连接AF ．想办法证明CM CF =，再利用相似三角形的性质，解决问题即可．④正确．如图3中，将CBM 绕点C 顺时针旋转90︒得到CDW ，连接FW ．则CM CW =，BM DW =，90MCW ∠=︒，45CBM CDW ∠=∠=︒，证明FM FW =，利用勾股定理，即可解决问题．【详解】解：如图1中，过点G 作GT AC ⊥于T ．BG BM = ，BGM BMG ∴∠=∠，BGM GAC ACG ∠=∠+∠ ，BMG MBC BCM ∠=∠+∠，四边形ABCD 是正方形，45GAC MBC ∴∠∠︒＝＝，AC ，ACG BCG ∴∠∠＝，GB CB ⊥ ，GT AC ⊥，GB GT ∴＝，1212BCG ACG BC GB S BG BC S AG AC AC GT ⋅⋅====⋅⋅，AG ∴，故①正确，假设OH OF OM OC=成立，FOH COM ∠∠ ＝，FOH COM ∴ ∽，OFH OCM ∴∠∠＝，显然这个条件不成立，故②错误，如图2中，过点M 作MP BC ⊥于P ，MQ AB ⊥于Q ，连接AF ．90OFH FHO ∠+∠︒ ＝，90FHO FCO ∠+∠︒＝，OFH FCO ∴∠∠＝，AB CB ＝，ABF CBF ∠∠＝，BF BF ＝，ABF CBF SAS ∴ ≌（），AF CF ∴＝，BAF BCF ∠∠＝，90CFG CBG ∠∠︒ ＝＝，180BCF BGF ∴∠+∠︒＝，180BGF AGF ∠+∠︒ ＝，AGF BCF GAF ∴∠∠∠＝＝，AF FG ∴＝，FG FC ∴＝，45FCG BCA ∴∠∠︒＝＝，ACF BCG ∴∠∠＝，//MQ CB ，GMQ BCG ACF OFH ∴∠∠∠∠＝＝＝，90MQG FOH ∠∠︒ ＝＝，FH MG ＝，FOH MQG AAS ∴ ≌（），MQ OF ∴＝，BMP MBQ ∠∠ ＝，MQ AB ⊥，MP BC ⊥，MQ MP ∴＝，MP OF ∴＝，90CPM COF ∠∠︒ ＝＝，PCM OCF ∠∠＝，CPM COF AAS ∴ ≌（），CM CF ∴＝，//OE AG ，OA OC ＝，EG EC ∴＝，FCG 是等腰直角三角形，45CFN ∴∠︒＝，CFN CBM ∴∠∠＝，FCN BCM ∠∠ ＝，BCM FCN ∴ ∽，CM CB CN CF∴=，2CF CB CN ∴⋅＝，故③正确，如图3中，将CBM 绕点C 顺时针旋转90︒得到CDW ，连接FW ．则CM CW ＝，BM DW ＝，90MCW ∠︒＝，45CBM CDW ∠∠︒＝＝，∵FG =FC ，∠GFO =∠FCN ，∠FGM =∠CFN =45°，∴△FGM ≌△CFN ，∴FM =CN ，45FCG FCW ∠∠︒ ＝＝，CM CW ＝，CF CF ＝，CFN CFW SAS ∴ ≌（），FM FW ∴＝，454590FDW FDC CDW ∠∠+∠︒+︒︒ ＝＝＝，222FW DF DW ∴+＝，2222CN FM BM DF ∴=+＝，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.三、解答题（每小题8分，共16分）17.先化简，再求值：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中2a =+．【答案】2a a -，13+【解析】【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为2a a -，再代入求值．【详解】解：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭()()()2132221a a a a a a ⎡⎤+=-⨯⎢⎥-+--⎣⎦()()()21221a a a a a a +-=⨯+--2a a =-．当2a +时，原式6163+===+．【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．18.如图，在ABCD 中，G 为BC 边上一点，DG DC =，延长DG 交AB 的延长线于点E ，过点A 作//AF ED 交CD 的延长线于点F ．求证：四边形AEDF 是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】先证四边形AEDF 是平行四边形，再证BAD ADE ∠∠＝，则AE DE ＝，即可得出结论．【详解】证明： 四边形ABCD 是平行四边形，BAD C ∴∠∠＝，//AD BC ，//AB CD ，//AF ED ，∴四边形AEDF 是平行四边形，//AD BC ，DGC ADE ∴∠∠＝，DG DC ＝，DGC C ∴∠∠＝，BAD ADE ∴∠∠＝，AE DE ∴＝，∴平行四边形AEDF 是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，菱形的判定定理，熟练掌握以上几何性质是解题的关键．四、解答题（每小题10分，共20分）19.为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是．（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．【答案】（1）14；（2）12．【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1） 每套海报四张∴小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是1 4，故答案为：1 4；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，∴小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的概率为61=122．【点睛】本题考查了概率的计算，用列表法或画树状图法求概率，掌握概率的计算方法是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．20.为庆祝建党100周年，某校开展“学党史•颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？（2）补全条形统计图．（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．【答案】（1）120；（2）图形见解析；（3）360件【解析】【分析】（1）根据剪纸的人数除以所占百分比，得到抽取作品的总件数；（2）由总件数减去其他作品数，求出绘画作品的件数，补全条形统计图即可；（3）求出样本中绘画作品的百分比，乘以1200即可得到结果．【详解】解：（1）根据题意得：1210%120÷=（件），所抽取的学生作品的样本容量是120；（2）绘画作品为120(423012)36-++=（件），补全统计图，如图所示：（3）根据题意得：361200360120⨯=（件），则绘画作品约有360件．答：本次活动共征集作品1200件时，绘画作品约有360件．【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．五、解答题（每小题10分，共20分）21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数2k y x =的图象在第二象限交于C ，(6,2)D -两点，//DE OC 交x 轴于点E ，若13AD AC =．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）求四边形OCDE 的面积．【答案】（1）8y x +＝，12y x ＝-；（2）643【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C 点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A 点和E 点坐标，然后用AOC △的面积减去AED 的面积求解．【详解】解：（1）将(62)D -，代入2k y x =中，26212k ⨯＝-＝-，∴反比例函数的解析式为12y x＝-；过点D 作DM x ⊥轴，过点C 作CN x ⊥轴，//DE OC ，ADE ACO ∴ ∽，13AD AE DM AC AO CN ∴===，36CN DM ∴＝＝，将6y ＝代入12y x ＝-中，126x=-，解得：2x ＝-，∴C 点坐标为()2,6-，将()2,6C -，()6,2D -代入1y k x b +＝中，可得112662k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：118k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为8y x +＝；（2）设直线OC 的解析式为y mx ＝，将()2,6C -代入，得：26m -＝，解得：3m ＝-，∴直线OC 的解析式为3y x ＝-，由//DE OC ，设直线DE 的解析式为3y x n +＝-，将()6,2D -代入可得：()362n ⨯+--＝，解得：16n ＝-，∴直线DE 的解析式为316y x -＝-，当0y ＝时，3160x --＝，解得：163x =-，∴E 点坐标为16,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，163OE ∴＝，在8y x +＝中，当0y ＝时，80x +＝，解得：8x ＝-，∴A 点坐标为()8,0-，8OA ∴＝，168833AE ∴-＝＝，AOC AEDOCDE S S S 四边形＝﹣1122OA CN AE DM =⋅-⋅118862223=⨯⨯-⨯⨯8243=-643=．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．22.小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A 在南门B 的正北方向，小明自公园北门A 处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D 处；小华自南门B 处出发，沿正东方向行走150m 到达C 处，再沿北偏东22.6︒方向前往游乐场D 处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A 与南门B 之间的距离．（结果取整数．参考数据：5sin22.613︒≈，12cos22.613︒≈，5tan22.612︒≈ 1.732≈）【答案】1293m【解析】【分析】作DE AB ⊥于E ，CF DE ⊥于F ，易得四边形BCFE 是矩形，则BE CF ＝，15＝＝EF BC m ，设m DF x ＝，则()150＝+DE x m ，在Rt ADE △中利用含30度的直角三角形三边的关系得到()22150m AD DE x +＝＝，在Rt DCF 中，13m sin 22.65DF CD x ≈︒＝，根据题意得到()1321501505x x ++＝，求得x 的值，然后根据勾股定理求得AE 和BE ，进而求得AB ．【详解】解：如图，作DE AB ⊥于E ，CF DE ⊥于F，BC AB ⊥ ，∴四边形BCFE 是矩形，BE CF ∴＝，150m EF BC ＝＝，设m DF x ＝，则150m DE x +＝（），在Rt ADE △中，30BAD ∠︒＝，()22150m AD DE x ∴+＝＝，在Rt DCF 中，22.6FCD ∠︒＝，13m 5sin 22.6513＝∴≈=︒DF x CD x ，AD CD BC + ＝，()1321501505x x ∴++＝，解得：250m ＝x ，250m DF ∴＝，250150400m DE ∴+＝＝，2800m AD DE ∴＝＝，800150650m CD ∴＝﹣＝，由勾股定理得AE ===，600m BE CF ＝，6001293(m)AB AE BE ∴+≈＝＝，答：公园北门A 与南门B 之间的距离约为1293m ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确构建直角三角形是解题的关键．六、解答题（每小题10分，共20分）23.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为AB 上一点，BD BC =，过点A 作AE AB ⊥交CD 的延长线于点E ，CE 交O 于点G ，连接AC ，AG ，在EA 的延长线上取点F ，使2FCA E ∠=∠．（1）求证：CF 是O 的切线；（2）若6AC =，AG =，求O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】（1）根据题意判定ADG DCB ∽，然后结合相似三角形的性质求得2AGD E ∠∠＝，从而可得FCA AGD ∠∠＝，然后结合等腰三角形的性质求得90FCO ∠︒＝，从而判定CF 是O 的切线；（2）由切线长定理可得AF CF ＝，从而可得2FAC E ∠∠＝，得到AC AE ＝，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明：B AGC ∠∠ ＝，ADG CDB ∠∠＝，ADG DCB ∴ ∽，BD BC GD GA∴=，BD BC ＝，GD GA ∴＝，ADG DAG ∴∠∠＝，又AE AB ⊥ ，90EAD ∴∠︒＝，90GAE DAG E ADG ∴∠+∠∠+∠︒＝＝，GAE E ∴∠∠＝，AG DG EG ∴＝＝，2AGD E ∠∠＝，2FCA E ∠∠ ＝，FCA AGD B ∴∠∠∠＝＝，AB 是O 的直径，90CAB B ∴∠+∠︒＝，又OA OC Q ＝，ACO CAB ∴∠∠＝，90FCA ACO ∴∠+∠︒＝，90FCO ∴∠︒＝，即CF 是O 的切线；（2） CF 是O 的切线，AE AB ⊥，AF CF ∴＝，2FAC FCA E ∴∠∠∠＝＝，6AC AE ∴＝＝，又AG DG EG ＝＝，在Rt ADE △中，2AD ==，设O 的半径为x ，则2AB x ＝，22BD BC x ＝＝﹣，在Rt ABC △中，2226222x x +（﹣）＝（），解得：5x ＝，O ∴ 的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握相关定理与性质是解决本题的关键．24.2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x （元），每天的销售量为y （件）．（1）求每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？【答案】（1）2160y x -+＝；（2）当销售单价为56元时，每天所获得的利润最大，最大利润为1152元【解析】【分析】（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式；（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值．【详解】解：（1）由题意可得：202(70)y x +-＝，整理，得：2160y x -+＝，∴每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为2160y x -+＝；（2）设销售所得利润为w ，由题意可得：2(302)(32)(2160)22245120w x y x x x x =--=--+=-+-，整理，得：22(56)1152w x =--+，20-< ，∴当56x ＝时，w 取最大值为1152，∴当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．【点睛】此题考查二次函数的应用——销售问题，涉及运算能力及一次函数应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．七、解答题（本题满分12分）25.如图，在ABC 中，AB AC =，0180BAC αα∠=︒<<︒（），过点A 作射线AM 交射线BC 于点D ，将AM 绕点A 逆时针旋转α得到AN ，过点C 作//CF AM 交直线AN 于点F ，在AM 上取点E ，使AEB ACB ∠=∠．（1）当AM 与线段BC 相交时，①如图1，当60α=︒时，线段AE ，CE 和CF 之间的数量关系为．②如图2，当90α=︒时，写出线段AE ，CE 和CF 之间的数量关系，并说明理由．（2）当4tan 3α=，5AB ＝时，若CDE △是直角三角形，直接写出AF 的长．【答案】（1）①AE CF CE +＝；②)EC AE CF =-，理由见解析；（2或154【解析】【分析】（1）①结论：AE CF CE +＝．如图1中，作//CT AF 交AM 于T ．想办法证明AT CF ＝，ET CE ＝，可得结论．②结论：EC AE CF ﹣）．过点C 作CQ AE ⊥于Q ．想办法证明CF AQ ＝，CE，可得结论．（2）分两种情形：如图3－1中，当90CDE ∠︒＝时，过点B 作BJ AC ⊥于J ，过点F 作FK AE ⊥于K ．利用勾股定理以及面积法求出CD ，再证明FK CD ＝，可得结论．如图3－2中，当90ECD ∠︒＝时，90DAB ∠︒＝，解直角三角形求出AK ，可得结论．【详解】解：（1）①结论：AE CF CE +＝．理由：如图1中，作//CT AF 交AM 于T ．AB AC Q ＝，60BAC ∠︒＝，ABC ∴ 是等边三角形，CA CB ∴＝，60ACB ∠︒＝，//AF CT ，//CF AT ，∴四边形AFCT 是平行四边形，CF AT ∴＝，ADC BDE ∠∠ ＝，DEB ACD ∠∠＝，ACD BED ∴ ∽，∴=AD CD BD ED ，AD BD DC ED∴=，ADB CDE ∠∠ ＝，ADB CDE ∴ ∽，60ABD CED ∴∠∠︒＝＝，//CT AF ，60CTE FAE ∴∠∠︒＝＝，CTE ∴ 是等边三角形，EC ET ∴＝，AE AT ET CF CE ∴++＝＝．故答案为：AE CF CE +＝．②如图2中，结论：)EC AE CF =-．理由：过点C 作CQ AE ⊥于Q ．//CF AM ，180CFA MAN ∴∠+∠︒＝，90MAN ∠︒ ＝，90CFA FAQ ∴∠∠︒＝＝，90CQA ∠︒ ＝，∴四边形AFCQ 是矩形，CF AQ ∴＝，ADC BDE ∠∠ ＝，DEB ACD ∠∠＝，ACD BED ∴ ∽，∴=AD CD BD ED ，AD BD DC ED∴=，ADB CDE ∠∠ ＝，ADB CDE ∴ ∽，45ABD CED ∴∠∠︒＝＝，90CQE ∠︒ ＝，CE ∴，AE CF AE AQ EQ ∴﹣＝﹣＝，)EC AE CF ∴=-．（2）如图3－1中，当90CDE ∠︒＝时，过点B 作BJ AC ⊥于J ，过点F 作FK AE ⊥于K ．在Rt ABJ 中，4tan 3BJ BAJ AJ ∠＝＝，5AB ＝，3AJ ∴＝，4BJ ＝，5AC AB ＝＝，532CJ AC AJ ∴=-=-=，22222425BC BJ CJ ∴++＝＝＝，1122AC BJ BC AD ⋅⋅⋅⋅ ＝，54525AD ∴＝，22225(25)5CD AC AD ∴--＝＝＝，FK AD ⊥ ，90CDE FKD ∴∠∠︒＝＝，//CD FK ∴，//CF DK ，∴四边形CDKF 是平行四边形，90FKD ∠︒ ＝，∴四边形CDKF 是矩形，5FK CD ∴＝＝，4tan tan 3FAK CAB ∠∠ ＝＝，43FK AK ∴=，354AK ∴2222355(5)44AF AK FK ⎛⎫∴++ ⎪ ⎪⎝⎭＝＝＝．如图3－2中，当90ECD ∠︒＝时，同理可得：90DAB EAC CAB EBC CEB ∠∠+∠=∠+∠=︒＝，//CF AM ，90AKF DAB ∴∠∠︒＝＝，在Rt ACK 中，4tan 3CK CAK AK ∠＝＝，5AC ＝，4CK ∴＝，3AK ＝，MAN CAB ∠∠ ＝，90CAN DAB ∴∠∠︒＝＝，90CAB BAF ∴∠+∠︒＝，90BAF AFK ∠+∠︒＝，AFK CAB ∴∠∠＝，4tan 3AK AFK FK ∴∠＝＝，94FK ∴＝，154AF ∴．综上所述，满足条件的AF 154．【点睛】此题是几何变换综合题．考查了等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，此题是一道几何综合题，掌握各知识点并掌握推理能力是解题的关键．八、解答题（本题满分14分）26.如图，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于点(1,0)A -，(3,0)B ，D 是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P 的横坐标为03m m ≤≤（），//AE PD 交直线l ：122y x =+于点E ，AP 交DE 于点F ，交y 轴于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）设 PDF 的面积为1S ，AEF 的面积为2S ，当12S S =时，求点P 的坐标；（3）连接BQ ，点M 在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且45BMQ ∠︒＝，在点P 从点B 运动到点C 的过程中，点M 也随之运动，直接写出点M 的纵坐标t 的取值范围．【答案】（1）223y x x ＝﹣﹣；（2）57,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）32t +≤≤．【解析】【分析】（1）运用待定系数法将(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx +＝﹣，即可求得答案；（2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标(1,4)D -，由//AE PD 得AEF PDF ∽，再根据 PDF 与AEF 的面积相等，可得AEF PDF ≌，故点F 分别是AP 、ED 的中点，设1,22E e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2,23P m m m （﹣﹣），结合中点坐标公式建立方程求解即可；（3）根据题意，分别求出t 的最大值和最小值：①当点P 与点B 重合时，点Q 与点O 重合，此时t 的值最大，如图2，以OB 为斜边在第一象限内作等腰直角O OB ' ，以O '为圆心，OO '为半径作O ' ，交抛物线对称轴于点1M t （,），过点O '作O H y '⊥轴于点H ，运用勾股定理即可求得答案，②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 重合，此时t 的值最小，如图3，连接BC ，以O 为圆心，OB 为半径作O 交抛物线对称轴于点M ，连接OM ，设抛物线对称轴交x 轴于点E ，运用勾股定理即可求得答案．【详解】解：（1） 抛物线23y ax bx +＝﹣交x 轴于点(10)﹣，A ，(3,0)B ，∴将A 、B 坐标分别代入抛物线解析式得：309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为：223y x x ＝﹣﹣；（2）如图，D 是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：222314y x x x ＝﹣﹣＝（﹣）﹣，1,4D ∴（﹣），//AE PD 交直线l ：122y x +＝于点E ，P 是抛物线上的动点，点P 的横坐标为03m m （） ，AEF PDF ∴ ∽，设1,22E e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2,23P m m m （﹣﹣），又PDF 的面积为1S ，AEF 的面积为2S ，12＝S S ，AEF PDF ∴ ≌，AF PF ∴＝，EF DF ＝，即点F 分别是AP 、ED 的中点，又(10)A ﹣，，2,23P m m m （﹣﹣），1,22E e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1,4D （﹣），∴由中点坐标公式得：21122124230222m e e m m -+⎧=⎪⎪⎨+-⎪--+=⎪⎩，解得：10m ＝（与“//AE PD ”不符，应舍去），252m ＝，212e ∴＝，57,24P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，19,24E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）①当点P 与点B 重合时，点Q 与点O 重合，此时t 的值最大，如图2，以OB 为斜边在第一象限内作等腰直角O OB ' ，则33,22O ⎛⎫' ⎪⎝⎭，322OO O B ''＝＝，以O '为圆心，OO '为半径作O ' ，交抛物线对称轴于点1M t （,），过点O '作O H y '⊥轴于点H ，则90O HM ∠'︒＝，12O H '＝，322O M OO ''＝＝，222232117222MH O M O H ⎛⎫⎛⎫''∴-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝＝，317317222t +∴=+=，②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 重合，此时t 的值最小，如图3，连接BC ，以O 为圆心，OB 为半径作O 交抛物线对称轴于点M ，3OB OC ＝＝，O ∴ 经过点C ，连接OM ，设抛物线对称轴交x 轴于点E ，则3OM OB ＝＝，1OE ＝，90MEO ∠︒ ＝，22223122ME OM OE ∴--＝＝＝，t ∴＝，综上所述，32t ．【点睛】此题属于二次函数综合题，考查代数计算问题，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一元二次方程的解及圆的相关知识，属于压轴题类型．。
2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷(含答案解析版)
2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题〔共8小题，每题3分，共24分〕1．〔3分〕〔2021•鞍山〕以下各数中，比﹣3小的数是〔〕A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣42．〔3分〕〔2021•鞍山〕如下图几何体的左视图是〔〕A．B．C．D．3．〔3分〕〔2021•鞍山〕函数y=中自变量x的取值范围是〔〕A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x＜﹣24．〔3分〕〔2021•鞍山〕一组数据2，4，3，x，4的平均数是3，那么x的值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．45．〔3分〕〔2021•鞍山〕在平面直角坐标系中，点P〔m+1，2﹣m〕在第二象限，那么m的取值范围为〔〕A．m＜﹣1 B．m＜2 C．m＞2 D．﹣1＜m＜26．〔3分〕〔2021•鞍山〕某班有假设干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？假设设书法小组有x人，绘画小组有y人，那么可列方程组为〔〕A． B．C． D．7．〔3分〕〔2021•鞍山〕分式方程=﹣2的解为〔〕A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．无解8．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，=4S 垂足为点F，连接DF，分析以下四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF=DC；③S△DCF；④tan∠CAD=．其中正确结论的个数是〔〕△DEFA．4 B．3 C．2 D．1二、填空题〔共8小题，每题3分，共24分〕9．〔3分〕〔2021•鞍山〕长城的总长大约为6700000m，将数6700000用科学记数法表示为．10．〔3分〕〔2021•鞍山〕分解因式2x2y﹣8y的结果是．11．〔3分〕〔2021•鞍山〕有5张大小、反面都一样的卡片，正面上的数字分别为1，﹣，0，π，﹣3，假设将这5张卡片反面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为无理数的概率是．12．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在□ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，∠B=50°，∠DAC=30°，那么∠BAF等于．13．〔3分〕〔2021•鞍山〕假设一个圆锥的底面圆半径为1cm，其侧面展开图的圆心角为120°，那么圆锥的母线长为cm．14．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC 绕点A顺时针旋转得到△ADE〔其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处〕，连接BD，那么四边形AEDB的面积为．15．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且S△ADF=4，反比例函数y=〔x ＞0〕的图象经过点E，那么k=．16．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC，BD交AC 边于点E，且AE=4，那么BE•DE=．三、解答题〔共2小题，每题8分，共16分〕17．〔8分〕〔2021•鞍山〕先化简，再求值：〔1﹣〕÷，其中x=﹣1．18．〔8分〕〔2021•鞍山〕如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．〔1〕求证：四边形AECF是平行四边形．〔2〕假设AB=5，BC=8，求AF+AG的值．四、解答题〔共2小题，每题10分，共20分〕19．〔10分〕〔2021•鞍山〕某校要理解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了局部学生，对学生每天的课外阅读时间x〔单位：min〕进展分组整理，并绘制了如下图的不完好的统计图表，根据图中提供的信息，解答以下问题：〔1〕本次调查共抽取名学生．〔2〕统计表中a=，b=．〔3〕将频数分布直方图补充完好．〔4〕假设全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有多少人．课外阅读时间x/min频数/人频率0≤x＜15615≤x＜301230≤x＜45a45≤x＜6018b60≤x＜75920．〔10分〕〔2021•鞍山〕为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生〔3名男生，2名女生〕获奖．〔1〕教师假设从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士〞，那么恰好是男生的概率为．〔2〕教师假设从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士〞，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．五、解答题〔共2小题，每题10分，共20分〕21．〔10分〕〔2021•鞍山〕如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的间隔．〔结果准确到0.1m．参考数据：≈1.73〕22．〔10分〕〔2021•鞍山〕如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE与CD相交于点P，以CD为直径的⊙O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F．〔1〕求证：∠ADF=∠EAC．〔2〕假设PC=PA，PF=1，求AF的长．六、解答题〔共2小题，每题10分，共20分〕23．〔10分〕〔2021•鞍山〕某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．将来30天，这款时装将开展“每天降价1元〞的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天〔1≤x≤30且x为整数〕的销量为y件．〔1〕直接写出y与x的函数关系式；〔2〕在这30天内，哪一天的利润是6300元？〔3〕设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．24．〔10分〕〔2021•鞍山〕如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．〔1〕求直线CE的解析式；〔2〕在线段AB上有一动点P〔不与点A，B重合〕，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？假设存在，请直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．七、解答题〔本大题共1小题，共12分〕25．〔12分〕〔2021•鞍山〕如图，∠MBN=90°，点C是∠MBN平分线上的一点，过点C分别作AC⊥BC，CE⊥BN，垂足分别为点C，E，AC=4，点P为线段BE上的一点〔点P不与点B、E重合〕，连接CP，以CP为直角边，点P为直角顶点，作等腰直角三角形CPD，点D落在BC左侧．〔1〕求证：=；〔2〕连接BD，请你判断AC与BD的位置关系，并说明理由；〔3〕设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．八、解答题〔本大题共1小题，共14分〕26．〔14分〕〔2021•鞍山〕如图，抛物线y=﹣x+2与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C．〔1〕试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；〔2〕点P是抛物线上一点〔不与点A重合〕，且S△PBC =S△ABC，求∠APB的度数；〔3〕在〔2〕的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出点F的坐标；假设不存在，请说明理由．2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔共8小题，每题3分，共24分〕1．〔3分〕〔2021•鞍山〕以下各数中，比﹣3小的数是〔〕A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣4【考点】18：有理数大小比拟．【分析】根据0大于负数，负数比拟大小绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜0，∴比﹣3小的数是﹣4，应选：D．【点评】此题考察了有理数的大小比拟，解决此题的关键是熟记0大于负数，负数比拟大小绝对值大的反而小．2．〔3分〕〔2021•鞍山〕如下图几何体的左视图是〔〕A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】从左面观察结合体，可以看到的线用实线，看不到的线用虚线．【解答】解：图中几何体的左视图如下图：应选：C．【点评】此题主要考察的是几何体的三视图，纯熟掌握三视图的画法是解题的关键．3．〔3分〕〔2021•鞍山〕函数y=中自变量x的取值范围是〔〕A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x＜﹣2【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由x+2≥0可得x≥﹣2，应选：A．【点评】此题主要考察函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．4．〔3分〕〔2021•鞍山〕一组数据2，4，3，x，4的平均数是3，那么x的值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考点】W1：算术平均数．【分析】根据平均数的定义列出方程，解方程可得答案．【解答】解：根据题意，得：=3，解得：x=2，应选：B【点评】此题主要考察算术平均数，解题的关键是纯熟掌握算术平均数的定义．5．〔3分〕〔2021•鞍山〕在平面直角坐标系中，点P〔m+1，2﹣m〕在第二象限，那么m的取值范围为〔〕A．m＜﹣1 B．m＜2 C．m＞2 D．﹣1＜m＜2【考点】CB：解一元一次不等式组；D1：点的坐标．【分析】根据第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正得出关于m的不等式组，解之可得．【解答】解：根据题意，得：，解得m＜﹣1，应选：A．【点评】此题主要考察解一元一次不等式组的才能，解题的关键是根据点的坐标特点列出关于m的不等式组．6．〔3分〕〔2021•鞍山〕某班有假设干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？假设设书法小组有x人，绘画小组有y人，那么可列方程组为〔〕A． B．C． D．【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】根据题意可得等量关系：书法小组人数×3﹣绘画小组的人数=15；绘画小组人数×2﹣书法小组的人数=5，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：假设设书法小组有x人，绘画小组有y人，由题意得：，应选：D．【点评】此题主要考察了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．7．〔3分〕〔2021•鞍山〕分式方程=﹣2的解为〔〕A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．无解【考点】B3：解分式方程．【分析】此题需先根据解分式方程的步骤，先乘以最简公分母，再去掉分母，即可求出x的值，再进展检验即可求出答案．【解答】解：两边同时乘以〔x﹣2〕得：5=〔x﹣1〕﹣2〔x﹣2〕，解得：x=﹣2，检验：当x=﹣2时，x﹣2≠0，∴x=﹣2是原方程的根．应选B．【点评】此题主要考察理解分式方程，在解题时要注意把分式方程转化为整式方程进展解答是此题的关键．8．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析以下四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF=DC；③S△DCF=4S △DEF；④tan∠CAD=．其中正确结论的个数是〔〕A．4 B．3 C．2 D．1【考点】S9：相似三角形的断定与性质；LB：矩形的性质；T7：解直角三角形．【分析】①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；②根据条件得到四边形BMDE是平行四边形，求得BM=DE=BC，根据线段垂直平分线的性质得到DM垂直平分CF，于是得到结论，③根据三角形的面积公式即可得到结论；④设AE=a，AB=b，那么AD=2a，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，S△DCF =4S△DEF∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；②∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故②正确；③∵点E是AD边的中点，∴S△DEF =S△ADF，∵△AEF∽△CBA，∴AF：CF=AE：BC=，∴S△CDF =2S△ADF=4S△DEF，故③正确；④设AE=a，AB=b，那么AD=2a，由△BAE∽△ADC，有=，即b=a，∴tan∠CAD===．故④正确；应选A．【点评】此题主要考察了相似三角形的断定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．二、填空题〔共8小题，每题3分，共24分〕9．〔3分〕〔2021•鞍山〕长城的总长大约为6700000m，将数6700000用科学记数法表示为×106．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的绝对值与小数点挪动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】×106，×106．【点评】此题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．〔3分〕〔2021•鞍山〕分解因式2x2y﹣8y的结果是2y〔x+2〕〔x﹣2〕．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】11 ：计算题；44 ：因式分解．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=2y〔x+2〕〔x﹣2〕．故答案为：2y〔x+2〕〔x﹣2〕【点评】此题考察了提公因式法与公式法的综合运用，纯熟掌握因式分解的方法是解此题的关键．11．〔3分〕〔2021•鞍山〕有5张大小、反面都一样的卡片，正面上的数字分别为1，﹣，0，π，﹣3，假设将这5张卡片反面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为无理数的概率是．【考点】X4：概率公式；26：无理数．【分析】根据所有等可能的结果数有5种，其中任取一张，这张卡片上的数字为无理数的结果有2种，根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵在1，﹣，0，π，﹣3中，无理数有﹣，π，共2个，∴这张卡片正面上的数字为无理数的概率是；故答案为：．【点评】此题考察概率的求法：假如一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性一样，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P〔A〕=．12．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在□ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，∠B=50°，∠DAC=30°，那么∠BAF等于70°．【考点】N2：作图—根本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据∠BAF=∠BAD﹣∠CAD﹣∠CAF，想方法求出∠BAD、∠CAD、∠CAF 即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD=180°﹣∠B=130°，∠ACF=∠CAD=30°，由作图痕迹可知EF是AC的垂直平分线，∴AF=CF，∴∠CAF=∠ACF=30°，∴∠BAF=∠BAD﹣∠CAD﹣∠CAF=70°．故答案为70°．【点评】此题考察根本作图、线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵敏运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．〔3分〕〔2021•鞍山〕假设一个圆锥的底面圆半径为1cm，其侧面展开图的圆心角为120°，那么圆锥的母线长为3cm．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．【解答】解：设母线长为l，那么=2π×1解得：l=3．故答案为：3．【点评】考察了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决此题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC 绕点A顺时针旋转得到△ADE〔其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处〕，连接BD，那么四边形AEDB的面积为．【考点】R2：旋转的性质．【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公式解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D 处，∴AD=AB=5，∴CD=AD﹣AC=1，∴四边形AEDB的面积为，故答案为：．【点评】题目考察勾股定理和旋转的根本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的根本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，合适随堂训练．15．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且S△ADF=4，反比例函数y=〔x ＞0〕的图象经过点E，那么k=8．【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．【分析】设正方形ABOC和正方形DOFE的边长分别是m、n，那么AB=OB=m，DE=EF=OF=n，BF=OB+OF=m+n，然后根据S△ADF =S梯形ABOD+S△DOF﹣S△ABF=4，得到关于n的方程，解方程求得n的值，最后根据系数k的几何意义求得即可．【解答】解：设正方形ABOC和正方形DOFE的边长分别是m、n，那么AB=OB=m，DE=EF=OF=n，∴BF=OB+OF=m+n，∴S△ADF =S梯形ABOD+S△DOF﹣S△ABF=m〔m+n〕+n2﹣m〔m+n〕=4，∴n2=8，∵点E〔n．n〕在反比例函数y=〔x＞0〕的图象上，∴k=n2=8，故答案为8．【点评】此题考察了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，根据面积得出方程是解题的关键．16．〔3分〕〔2021•鞍山〕如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC，BD交AC 边于点E，且AE=4，那么BE•DE=20．【考点】S9：相似三角形的断定与性质；KH：等腰三角形的性质．【专题】17 ：推理填空题．【分析】根据题意可以证明△FEB∽△DEC，然后根据相似三角形对应边的比相等，即可求得BE•DE的值，此题得以解决．【解答】解：延长CA到F，使得AF=AB，连接BF，那么∠F=∠ABF=∠BAC，∵∠BAC=2∠BDC，∴∠F=∠BDC，∵∠FEB=∠DEC，∴△FEB∽△DEC，∴，∵AE=4，AB=AC=6，∴EF=10，CE=2，∴，∴BE•DE=20，故答案为：20．【点评】此题考察相似三角形的断定与性质、等腰三角形的性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．三、解答题〔共2小题，每题8分，共16分〕17．〔8分〕〔2021•鞍山〕先化简，再求值：〔1﹣〕÷，其中x=﹣1．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再将x的值代入即可解答此题．【解答】解：〔1﹣〕÷===，当x=﹣1时，原式=．【点评】此题考察分式的化简求值，解答此题的关键是明确分式化简求值的方法．18．〔8分〕〔2021•鞍山〕如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．〔1〕求证：四边形AECF是平行四边形．〔2〕假设AB=5，BC=8，求AF+AG的值．【考点】L7：平行四边形的断定与性质．【分析】〔1〕由平行四边形的性质，结合角平分线的定义可证得AE∥CF，结合AF∥CE，可证得结论；〔2〕由条件可证得△DCG∽△AFG，利用相似三角形的性质可求得DG与AG的关系，结合条件可求得AG的长，从而可求得答案．【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BCG=∠CGD=∠HAD，∴AE∥CF，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；〔2〕解：由〔1〕可知∠BCF=∠DCF=∠F，∴BF=BC=AD=8，∵AB=CD=5，∴AF=BF﹣AB=3，∵BF∥DE，∴∠DCG=∠F，∠D=∠FAG，∴△DCG∽△AFG，∴==，∴DG=AG，∴AD=AG+DG=AG=8，∴AG=3，∴AF+AG=3+3=6．【点评】此题主要考察平行四边形的性质和断定，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键，注意相似三角形的应用．四、解答题〔共2小题，每题10分，共20分〕19．〔10分〕〔2021•鞍山〕某校要理解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了局部学生，对学生每天的课外阅读时间x〔单位：min〕进展分组整理，并绘制了如下图的不完好的统计图表，根据图中提供的信息，解答以下问题：〔1〕本次调查共抽取60名学生．〔2〕统计表中a=15，b=0.3．〔3〕将频数分布直方图补充完好．〔4〕假设全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有多少人．课外阅读时间x / m i n 频数/人频率≤x＜1561 5≤x ＜3 01 23≤x＜45a4 5≤x ＜6 018b6≤9x＜75【考点】V8：频数〔率〕分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数〔率〕分布表．【分析】〔1〕根据0≤x＜15min阶段的频数和频率求出总数即可；〔2〕根据题意列出算式a=60×0.25，b=18÷60，求出即可；〔3〕根据频数是15画出即可；〔4〕根据题意列出算式，再求出即可．【解答】解：〔1〕6÷0.1=60，即本次调查共抽取60名学生，故答案为：60；〔2〕a=60×0.25=15，b=18÷60=0.3，故答案为：15，0.3；〔3〕如下图：；〔4〕1200×=540，答：假设全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有540人．【点评】此题考察了频数分布直方图，用样本估计总体，频数分布表等知识点，能根据题意和图形列出算式是解此题的关键．20．〔10分〕〔2021•鞍山〕为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生〔3名男生，2名女生〕获奖．〔1〕教师假设从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士〞，那么恰好是男生的概率为．〔2〕教师假设从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士〞，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．【分析】〔1〕根据概率公式用男生人数除以总人数即可得；〔2〕先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：〔1〕所有等可能结果共有5种，其中男生有3种，∴恰好是男生的概率为，故答案为：；〔2〕画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，所以恰好选出1名男生和1名女生的概率==．【点评】此题考察了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考察了统计图．五、解答题〔共2小题，每题10分，共20分〕21．〔10分〕〔2021•鞍山〕如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的间隔．〔结果准确到0.1m．参考数据：≈1.73〕【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】过A作AD⊥BC于D．解Rt△ADB，求出DB=AB=65m，AD=BD=65m．再解Rt△ADC，得出CD=AD=65m，根据BC=BD+CD即可求解．【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D．根据题意，得∠ABC=40°+20°=60°，AB=130m．在Rt△ADB中，∵∠DAB=30°，∴DB=AB=×130=65m，AD=BD=65m．∵∠BAC=180°﹣65°﹣40°=75°，∴∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣75°=45°．在Rt△ADC中，∵tanC==1，∴CD=AD=65m，∴BC=BD+CD=65+65≈177.5m．故观测点B与建筑物C之间的间隔约为177.5m．【点评】此题考察理解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．22．〔10分〕〔2021•鞍山〕如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE与CD相交于点P，以CD为直径的⊙O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F．〔1〕求证：∠ADF=∠EAC．〔2〕假设PC=PA，PF=1，求AF的长．【考点】S9：相似三角形的断定与性质；M5：圆周角定理．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】〔1〕根据圆周角定理，等角的余角相等可以证明结论成立；〔2〕根据〔1〕中的结论和三角形相似的知识可以求得AF的长．【解答】〔1〕证明：∵∠ADC=90°，∠ACE=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°，∠EAC+∠CEF=90°，∵∠FDC=∠CEF，∴∠ADF=∠EAC；〔2〕连接FC，∵CD是圆O的直径，∴∠DFC=90°，∴∠FDC+∠FCD=90°，∵∠ADF+∠FDC=90°，∠ADF=∠EAC，∴∠FCD=∠EAC，即∠FCP=CAP，∵∠FPC=∠CPA，∴△FPC∽△CPA，∴，∵PC=PA，PF=1，∴，解得，PA=，∴AF=PA﹣PF=，即AF=．【点评】此题考察相似三角形的断定与性质、圆周角定理，解答此题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．六、解答题〔共2小题，每题10分，共20分〕23．〔10分〕〔2021•鞍山〕某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．将来30天，这款时装将开展“每天降价1元〞的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天〔1≤x≤30且x为整数〕的销量为y件．〔1〕直接写出y与x的函数关系式；〔2〕在这30天内，哪一天的利润是6300元？〔3〕设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．【分析】〔1〕根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；〔2〕表示出网络经销商所获得的利润=6300，解方程即可求出x的值；〔3〕根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，由函数的性质即可求出其最大利润以及其哪一天所获得的．【解答】解：〔1〕由题意可知y=5x+30；〔2〕根据题意可得〔130﹣x﹣60﹣4〕〔5x+30〕=6300，即x2﹣60x+864=0，解得：x=24或36〔舍〕∴在这30天内，第24天的利润是6300元．〔3〕根据题意可得：w=〔130﹣x﹣60﹣4〕〔5x+30〕，=﹣5x2+300x+1980，=﹣5〔x﹣30〕2+6480，∵a=﹣5＜0，∴函数有最大值，∴当x=30时，w有最大值为6480元，∴第30天的利润最大，最大利润是6480元．【点评】此题主要考察了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描绘语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．24．〔10分〕〔2021•鞍山〕如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．〔1〕求直线CE的解析式；〔2〕在线段AB上有一动点P〔不与点A，B重合〕，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？假设存在，请直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】〔1〕先求出AB=10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定出点C〔﹣3，0〕，再判断出△EBD≌△ABO，求出OE=BE﹣OB=4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即可；〔2〕设P〔﹣m，﹣m+6〕，∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN2=〔m﹣〕2+，即可得出点P横坐标，即可得出结论．【解答】解：〔1〕根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，∴B〔0，6〕，A〔﹣8，0〕，∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴CD=CO，∵BC=BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO，∴BD=BO=6，∴AD=AB﹣BD=4，∵∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，∴，∴AC=5，∴OC=OA﹣AC=3，∴C〔﹣3，0〕，∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO，∠EBD=∠ABO，∴△EBD≌△ABO，∴BE=AB=10，∴OE=BE﹣OB=4，∴E〔0，﹣4〕，设直线CE的解析式为y=kx﹣4，∴﹣3k﹣4=0，∴k=﹣，∴直线CE的解析式为y=﹣x﹣4，〔2〕解：存在，〔﹣，〕，如图，∵点P在直线y=x+6上，∴设P〔﹣m，﹣m+6〕，∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN2=PN2+PM2=m2+〔﹣m+6〕2=〔m﹣〕2+，∴当m=时，MN2有最小值，那么MN有最小值，当m=时，y=﹣x+6=﹣×+6=，∴P〔﹣，〕．【点评】此题是一次函数综合题，主要考察了待定系数法，全等三角形的断定和性质，相似三角形的断定和性质，勾股定理，解〔1〕的关键是求出点C的坐标，解〔2〕的关键是得出MN2的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．七、解答题〔本大题共1小题，共12分〕25．〔12分〕〔2021•鞍山〕如图，∠MBN=90°，点C是∠MBN平分线上的一点，过点C分别作AC⊥BC，CE⊥BN，垂足分别为点C，E，AC=4，点P为线段BE上的一点〔点P不与点B、E重合〕，连接CP，以CP为直角边，点P为直角顶点，作等腰直角三角形CPD，点D落在BC左侧．〔1〕求证：=；〔2〕连接BD，请你判断AC与BD的位置关系，并说明理由；〔3〕设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．【考点】SO：相似形综合题．【分析】〔1〕由△CPD∽△CEB证得结论；〔2〕AC∥BD．欲推知AC∥BD，只需推知∠ACB+∠DBC=180°；〔3〕如下图，过点P作PF⊥BD．交DB的延长线于点F．通过解直角三角形、〔2〕中相似三角形的对应边成比例和三角形的面积公式写出函数关系式即可．【解答】〔1〕证明：∵∠MBN=90°，点C是∠MBN平分线上的一点，∴∠CBE=45°，又CE⊥BN，∴∠BCE=45°，∴BE=CE，∴△BCE是等腰直角三角形．又∵△CPD是等腰直角三角形，∴△CPD∽△CEB，∴=，∴=；〔2〕解：AC∥BD，理由如下：∵∠PCE+∠BCP=∠DCB+∠BCP=45°，∴∠PEC=∠DCB．由〔1〕知，=，∴△EPC∽△BDC，∴∠PEC=∠DBC．∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠ACB+∠DBC=180°，∴AC∥BD；〔3〕解：如下图，过点P作PF⊥BD．交DB的延长线于点F．∵AC=4，△ABC与△BEC都是等腰直角三角形，∴BC=4，BE=CE=4．由〔2〕知，△EPC∽△BDC，∴=．即=，∴DB=x．∵∠PBF=∠CBF﹣∠CBP=90°﹣45°=45°，即BP=BE﹣PE=4﹣x，∴PF=BP•sin∠PBF=〔4﹣x〕×=2﹣x，∴S=DB•PF=×x×〔2﹣x〕=﹣x2+2x，即：S=﹣x2+2x．【点评】此题考察了相似综合题．需要灵敏掌握并运用等腰三角形的断定与性质，相似三角形的断定与性质，三角形的面积公式以及解直角三角形等知识点，难度不大，但是综合性比拟强，需要多加训练，以达灵敏运用的目的．八、解答题〔本大题共1小题，共14分〕26．〔14分〕〔2021•鞍山〕如图，抛物线y=﹣x+2与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C．〔1〕试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；〔2〕点P是抛物线上一点〔不与点A重合〕，且S△PBC =S△ABC，求∠APB的度数；〔3〕在〔2〕的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出点F的坐标；假设不存在，请说明理由．。
鞍山市2021年中考数学试卷C卷
鞍山市2021年中考数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016八上·望江期中) 计算（ab）2的结果是（）A . 2abB . a2bC . a2b2D . ab22. （2分） (2019七上·毕节期中) 计算的结果是（）A .B . ―C .D . ―3. （2分） (2020七下·和平期中) 在以下说法中：①实数分为正有理数、0、负有理数．②实数和数轴上的点一一对应．③过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直．④过一点有且只有一条直线和已知直线平行．⑤假命题不是命题．⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．⑦若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0．其中说法正确的个数是（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分）(2019·凉山) 下列各式正确的是（）A .B .C .D .5. （2分）(2019·凉山) 不等式的解集是（）A .B .C .D .6. （2分）(2019·凉山) 某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：人数（人）317137时间（小时）78910那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A . 17，8.5B . 17，9C . 8，9D . 8，8.57. （2分）(2019·凉山) 下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）(2019·凉山) 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A 作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则的面积等于（）A . 8B . 6C . 4D . 29. （2分）(2019·凉山) 如图，在中，，则 sinB 的值为（）A .B .C .D .10. （2分）(2019·凉山) 如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO 并延长交BC于E，则（）A . 1：2B . 1：3C . 1：4D . 2：311. （2分）(2019·凉山) 如图，在中，，将△AOC绕点O顺时针旋转后得到，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）．A .B .C .D .12. （2分）(2019·凉山) 二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：① ；②；③ ；④ ，其中错误结论的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共7题；共7分)13. （1分） (2016八上·徐州期中) 一元二次方程2x2+4x﹣1=0的两根为x1、x2 ，则x1+x2的值是________．14. （1分）当x________时,代数式1- 的值不大于代数式的值.15. （1分） (2017九上·鸡西月考) 若一个三角形两边长是3和4，第三边是方程 x2-8x+15 =0 的解，则这个三角形的面积是________16. （1分） (2018九上·邓州期中) 已知等腰三角形的两边长恰好是方程x2﹣9x+18=0的解，则此等腰三角形的三边长是________.17. （1分） (2018九下·嘉兴竞赛) 如图，直线y=- x+4 分别与x轴，y轴相交于点A，B，点C在直线AB上，D是坐标平面内一点．若以点0，A，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标是________．18. （1分）(2019·凉山) 当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是________．19. （1分）(2019·凉山) 如图，正方形ABCD中，，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为________．三、解答题 (共9题；共73分)20. （5分）计算（1）8+（﹣15）﹣（﹣9）+（﹣10）（2）﹣24﹣6÷（﹣2）×|﹣|21. （5分） (2020八上·阳泉期末) 请阅读下列材料，并完成相应的任务。
辽宁省鞍山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类
辽宁省鞍山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．分式的化简求值（共1小题）1．（2021•鞍山）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+2．二．二次函数的应用（共1小题）2．（2023•鞍山）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数解析式．（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？三．二次函数综合题（共3小题）3．（2023•鞍山）如图1，抛物线y＝ax2+x+c经过点（3，1），与y轴交于点B（0，5），点E为第一象限内抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式．（2）直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线EF⊥x轴，交AD 于点F，连接BE，当BE＝DF时，求点E的横坐标．（3）如图2，点N为x轴正半轴上一点，OE与BN交于点M，若OE＝BN，tan∠BME＝，求点E的坐标．4．（2022•鞍山）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标．5．（2021•鞍山）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y ＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P 从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．四．平行四边形的判定（共1小题）6．（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．五．菱形的判定（共1小题）7．（2021•鞍山）如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点，DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．六．切线的判定与性质（共1小题）8．（2023•鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交BA的延长线于点E，连接BD．若∠EAD+∠BDF＝180°．（1）求证：EF为⊙O的切线．（2）若BE＝10，sin∠BDC＝，求⊙O的半径．七．几何变换综合题（共2小题）9．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在直线AC上，连接BD，将DB绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．（1）求证：BC＝AB；（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求的值；（3）过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD＝2CD，请直接写出的值．10．（2021•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF∥AM交直线AN于点F，在AM上取点E，使∠AEB＝∠ACB．（1）当AM与线段BC相交时，①如图1，当α＝60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 ．②如图2，当α＝90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．（2）当tanα＝，AB＝5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长．八．相似形综合题（共1小题）11．（2023•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD＝kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，BE．（1）如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α＝90°，k＝1时，AB 与BE的位置关系是 ，＝ ．（2）如图2，点D在线段BC上，当α＝60°，k＝时，求证：BC+CD＝2FG．（3）当α＝60°，k＝时，直线CE与直线AB交于点N，若BC＝6，CD＝5，请直接写出线段CN的长．九．解直角三角形的应用（共1小题）12．（2023•鞍山）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示，在截面图中，墙面BC垂直于地面CE，遮阳棚与墙面连接处点B距地面高3m，即BC＝3m，遮阳棚AB与窗户所在墙面BC垂直，即∠ABC＝∠BCE＝90°，假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为60°（若经过点A的光线恰好照射在地面点D处，则∠ADE＝60°），为使正午时窗前地面上能有1m宽的阴影区域，即CD＝1m，求遮阳棚的宽度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）13．（2022•鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）14．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B 的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）一十二．列表法与树状图法（共1小题）15．（2023•鞍山）二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是 ．（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．辽宁省鞍山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．分式的化简求值（共1小题）1．（2021•鞍山）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+2．【答案】1+．【解答】解：＝＝×＝．当a＝+2时，原式＝＝＝1+．二．二次函数的应用（共1小题）2．（2023•鞍山）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数解析式．（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？【答案】（1）y与x的函数解析式为y＝﹣100x+3000；（2）当销售单价定为18时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元．【解答】解：（1）设每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系为y＝kx+b，∴，解得，∴y与x的函数解析式为y＝﹣100x+3000；（2）设每千克荔枝的销售价格定为x元时，销售这种荔枝日获利为w元，根据题意得，w＝（x﹣6﹣2）（﹣100x+3000）＝﹣100x2+3800x﹣24000＝﹣100（x﹣19）2+12100，∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝19，∵销售价格不高于18元/kg，∴当x＝18时，w有最大值为12000元，∴当销售单价定为18时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元．三．二次函数综合题（共3小题）3．（2023•鞍山）如图1，抛物线y＝ax2+x+c经过点（3，1），与y轴交于点B（0，5），点E为第一象限内抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式．（2）直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线EF⊥x轴，交AD 于点F，连接BE，当BE＝DF时，求点E的横坐标．（3）如图2，点N为x轴正半轴上一点，OE与BN交于点M，若OE＝BN，tan∠BME＝，求点E的坐标．【答案】（1）；（2）或1；（3）E（）或E（）．【解答】解：（1）把（3，1）和（0，5）代入到解析式中可得：，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）直线y＝x﹣4中，令y＝0可得A（6，0），直线y＝x﹣4中，令x＝0，可得D（0，﹣4），①分别过E、F向y轴作垂线，垂足为G、H，根据题意可得EG＝FH，如图：∵EG⊥y轴，FH⊥y轴，∴△BEG和△DFH为直角三角形，在Rt△BEG和Rt△DFH中：，∴Rt△BEG≌Rt△DFH（HL），∴BG＝DH，设E（），则F（），∴G（），H（），从而BG＝，DH＝，则有，解得t＝0（舍去）或，②如图：同理可得﹣t2+t+5﹣5＝t﹣4﹣（﹣4），解得t＝0（舍去）或t＝1，故E点的横坐标为：或1；（3）将OE平移到NP，连接EP，则四边形ONPE为平行四边形，tan∠BNP＝tan∠BME＝，过P作PQ⊥BN于Q，过Q作QR⊥y轴于R，过P作PS⊥RQ交延长线于S，延长PE 交y轴于T，如图：设BN＝OE＝NP＝5m，则PQ＝3m，QN＝4m，BQ＝m，∵RQ∥x轴，∴△BRQ∽△BON，∴，∴，RO＝4，EP＝NO＝5RQ＝5n，设RQ＝n，∵PQ⊥BM，PS⊥RS，BR⊥RS，∴∠BRQ＝∠QSP＝∠BQP＝90°，∴∠BQR+∠PQS＝90°，∠BQR+∠QBR＝90°，∴∠PQS＝∠QBR，∴△BRQ∽△QSP，∴，∴PS＝3n，QS＝3，则RS＝3+n，∴x E＝TE＝TP﹣EP＝RS﹣EP＝3+n﹣5n＝3﹣4n，y E＝TO＝TR+RO＝PS+RO＝3n+4，∴E（3﹣4n，3n+4），代入抛物线解析式中有：3n+4＝，解得：或，当时，E（）；当时，E（）．4．（2022•鞍山）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）P（﹣3，﹣7）；（3）（，）或（﹣，）．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，∴B（4，0），∴OB＝4，∴S△BCD＝×4×（2+OD）＝12，∴OD＝4，∴D（0，﹣4），设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣4，联立方程组，解得或，∴P（﹣3，﹣7）；（3）如图1，当B'在第一象限时，设直线BC的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+2，设E（t，﹣t+2），∴OH＝t，EH＝﹣t+2，∵D（0，﹣4），B（4，0），∴OB＝OD，∴∠ODB＝45°，∵直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，∴EB'∥CD，由折叠可知，OB'＝BO＝4，BE＝B'E，在Rt△OHB'中，B'H＝，∴B'E＝﹣（﹣t+2）＝+t﹣2，∴BE＝+t﹣2，在Rt△BHE中，（+t﹣2）2＝（4﹣t）2+（﹣t+2）2，解得t＝，∵0≤t≤4，∴t＝，∴B'（，）；如图2，当B'在第二象限，∠BGB'＝45°时，∵∠ABP＝45°，∴B'G∥x轴，∵将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，∴BE＝B'E，OB＝OB'，∠BOE＝∠B'OE，∴∠BOE＝∠B'EO，∴B'E∥B'O，∵B'E＝BO，∴四边形B'OBE是平行四边形，∴B'E＝4，∴B'（t﹣4，﹣t+2），由折叠可知OB＝OB'＝4，∴平行四边形OBEB'是菱形，∴BE＝OB，∴＝4，解得t＝4+或t＝4﹣，∵0≤t≤4，∴t＝4﹣，∴B'（﹣，）；综上所述：B'的坐标为（，）或（﹣，）．方法2：在Rt△BCO中，BC＝2，CO：OB：BC＝1：2：，∵BP与x轴和y轴的夹角都是45°，BP与B'E的夹角为45°，∴B'E∥x轴或B'E∥y轴，当B'E∥y轴时，延长B'E交x轴于F，∴B'F⊥OB，∵∠CBA＝∠OB'E，∴△OB'F∽△CBO，∴OF：FB'：B'O＝1：2：，∵OB＝OB'＝4，∴FO＝，B'F＝，∴B'（，）；当B'E∥x轴时，过B'作B'F⊥x中交于F，∴B'F⊥OF，B'E∥OB，∵B'E和BE关于OE对称，OB和OB'关于OE对称，∴BE∥OB'，∵∠FOB'＝∠OBC，∴△OB'F∽△BCO，∴B'F：FO：OB'＝1：2：，∵OB＝OB'＝4，∴B'F＝，OF＝，∴B'（﹣，）；综上所述：B'坐标为（，）或（﹣，）．5．（2021•鞍山）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y ＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P 从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（，﹣）或（0，﹣3）；（3）2≤t≤．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，∵D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∵AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m ≤3），∴△AEF∽△PDF，设E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），又∵△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，S1＝S2，∴△AEF≌△PDF，∴AF＝PF，EF＝DF，即点F分别是AP、ED的中点，又∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），E（e，e+2），D（1，﹣4），∴由中点坐标公式得：，解得：m1＝0，m2＝，∴点P的坐标为（，﹣）或（0，﹣3）；（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，则O′（，），OO′＝O′B＝，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM＝90°，∵O′H＝﹣1＝，O′M＝OO′＝，∴MH＝＝＝，∴t＝+＝，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，∵OB＝OC＝3，∴⊙O经过点C，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，则OM＝OB＝3，OE＝1，∵∠MEO＝90°，∴ME＝＝＝2，∴t＝2，综上所述，2≤t≤．四．平行四边形的判定（共1小题）6．（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明过程见解答部分．【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD．∴∠BAE＝∠DCF．在△ABE与△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB＝CD．∴四边形ABCD是平行四边形．五．菱形的判定（共1小题）7．（2021•鞍山）如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点，DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠C，AD∥BC，AB∥CD，∵AF∥ED，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠ADE，∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠C，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF是菱形．六．切线的判定与性质（共1小题）8．（2023•鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交BA的延长线于点E，连接BD．若∠EAD+∠BDF＝180°．（1）求证：EF为⊙O的切线．（2）若BE＝10，sin∠BDC＝，求⊙O的半径．【答案】（1）见解答；（2）4．【解答】（1）证明：连接OD，如图：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DF⊥BC，∴∠F＝90°，∵∠EAD+∠BDF＝180°．∴∠BDF＝∠BAD，∴∠ABD＝∠DBF，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠DBF，∴OD∥BF，∵BF⊥EF，∴OD⊥EF，∵OD是半径，∴EF为⊙O的切线．（2）解：连接AC，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DF⊥BC，∴AC∥EF，∴∠E＝∠BAC＝∠BDC，设半径为r，则OE＝10﹣r，在Rt△EOD中，sin E＝sin∠BDC＝，即，解得r＝4，经检验，r＝4是原方程的解，∴⊙O的半径为4．七．几何变换综合题（共2小题）9．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在直线AC上，连接BD，将DB绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．（1）求证：BC＝AB；（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求的值；（3）过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD＝2CD，请直接写出的值．【答案】（1）证明过程详见解答；（2）；（3）或．【解答】（1）证明：如图1，作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝＝60°，BC＝2BH，∴sin60°＝，∴BH＝，∴BC＝2BH＝；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝30°，由（1）得，，同理可得，∠DBE＝30°，，∴∠ABC＝∠DBE，＝，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴；（3）解：如图2，当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，由（1）得，CE＝，在Rt△ABF中，∠BAF＝180°﹣∠BAC＝60°，AB＝3a，∴AF＝3a•cos60°＝，BF＝3a．sin60°＝，在Rt△BDF中，DF＝AD+AF＝2a+a＝，BD＝＝＝a，∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，∴△DAG∽△DBF，∴，∴＝，∴AG＝，∵AN∥DE，∴∠AND＝∠BDE＝120°，∴∠ANG＝60°，∴AN＝＝a＝a，∴＝，如图3，当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，由（1）得，CE＝＝4，作BR⊥CA，交CA的延长线于R，作AQ⊥BD于Q，同理可得，AR＝a，BR＝，∴BD＝＝2a，∴，∴AQ＝，∴AN＝＝a，∴＝＝，综上所述：或．10．（2021•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF∥AM交直线AN于点F，在AM上取点E，使∠AEB＝∠ACB．（1）当AM与线段BC相交时，①如图1，当α＝60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 AE＝CF+CE ．②如图2，当α＝90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．（2）当tanα＝，AB＝5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长．【答案】（1）①AE＝CF+CE．②结论：EC＝（AE﹣CF）．证明见解析部分．（2）AF的值为或．【解答】解：（1）①结论：AE＝CF+CE．理由：如图1中，作CT∥AF交AM于T．∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴CA＝CB，∠ACB＝60°，∵AF∥CT，CF∥AT，∴四边形AFCT是平行四边形，∴CF＝AT，∵∠ADC＝∠BDE，∠DEB＝∠ACD，∴△ACD∽△BED，∴＝，∵∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠ABD＝∠CED＝60°，∵CT∥AF，∴∠CTE＝∠FAE＝60°，∴△CTE是等边三角形，∴EC＝ET，∴AE＝AT+ET＝CF+CE．故答案为：AE＝CF+CE．②如图2中，结论：EC＝（AE﹣CF）．理由：过点C作CQ⊥AE于Q．∵CF∥AM，∴∠CFA+∠MAN＝180°，∵∠MAN＝90°，∴∠CFA＝∠FAQ＝90°，∵∠CQA＝90°，∴四边形AFCQ是矩形，∴CF＝AQ，∵∠ADC＝∠BDE，∠DEB＝∠ACD，∴△ACD∽△BED，∴＝，∵∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠ABD＝∠CED＝45°，∵∠CQE＝90°，∴CE＝EQ，∴AE﹣CF＝AE﹣AQ＝EQ，∴EC＝（AE﹣CF）．（2）如图3﹣1中，当∠CDE＝90°时，过点B作BJ⊥AC于J，过点F作FK⊥AE于K．在Rt△ABJ中，tan∠BAJ＝＝，AB＝5，∴AJ＝3，BJ＝4，∵AC＝AB＝5，∴CJ＝AC﹣AJ＝5﹣3＝2，∴BC＝＝＝2，∵•AC•BJ＝•BC•AD，∴AD＝＝2，∴CD＝＝＝，∵FK⊥AD，∴∠CDE＝∠FKD＝90°，∴CD∥FK，∵CF∥DK，∴四边形CDKF是平行四边形，∵∠FKD＝90°，∴四边形CDKF是矩形，∴FK＝CD＝，∵tan∠FAK＝tan∠CAB＝，∴＝，∴AK＝，∴AF＝＝＝．如图3﹣2中，当∠ECD＝90°时，∠DAB＝90°，∵CF∥AM，∴∠AKF＝∠DAB＝90°，在Rt△ACK中，tan∠CAK＝＝，AC＝5，∴CK＝4，AK＝3，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠CAN＝∠DAB＝90°，∴∠CAB+∠BAF＝90°，∠BAF+∠AFK＝90°，∴∠AFK＝∠CAB，∴tan∠AFK＝＝，∴FK＝，∴AF＝＝＝．综上所述，满足条件的AF的值为或．八．相似形综合题（共1小题）11．（2023•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD＝kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，BE．（1）如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α＝90°，k＝1时，AB 与BE的位置关系是 垂直 ，＝ ．（2）如图2，点D在线段BC上，当α＝60°，k＝时，求证：BC+CD＝2FG．（3）当α＝60°，k＝时，直线CE与直线AB交于点N，若BC＝6，CD＝5，请直接写出线段CN的长．【答案】（1）垂直，；（2）证明过程详见解答；（3）CN＝或．【解答】（1）解：如图1，连接BF并延长交AC于R，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，同理可得：∠AED＝45°，∴∠AED＝∠ABD，∴A、B、E、D共圆，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∵∠ADE＝90°，∴∠ABE＝90°，∴AB与BE垂直，∵F是AE的中点，∴BE＝DF＝AE，∵G是BD的中点，∴FG⊥BC，∵∠ABE+∠BAC＝90°+90°＝180°，∴BE∥AC，∴∠EAR＝∠FEB，∵∠AFR＝∠BFE，AF＝EF，∴△BEF≌△RAF（ASA），∴BF＝RF，∴RB∥FG，FG＝，∵FG⊥BC，∴RD⊥BC，∵∠C＝45°，∴CD＝RD，∴FG＝，故答案为：垂直，；（2）证明：如图2，作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延长线于H，连接BF，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠ADE＝90°，，∴∠AED＝60°，∴∠AED＝∠ABC，∴点A、E、B、D共圆，∴∠ABE＝∠ADE＝90°，∵F是AE的中点，∴BF＝DF＝AE，∴FG⊥BC，∴EH∥FG∥AQ，∴，∴HG＝QG，∴FG是梯形AEHQ的中位线，∴EH+AQ＝2FG，∴，∵∠H＝90°，∠EBH＝180°﹣∠ABE﹣∠ABC＝30°，∴BH＝EH，∵HG＝QG，BG＝DG，∴BH＝DQ，∴DQ＝EH，∵∠AQC＝90°，∠C＝60°，∴CQ＝AQ，∴DQ+3CQ＝2FG，∴（DQ+CQ）+2CQ＝2FG，∴BC+CD＝2FG；（3）解：如图3，当点D在BC上时，作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X，∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，BQ＝CQ＝BC＝3，∴DQ＝CD﹣CQ＝2，AQ＝AC＝3，∵∠ADE＝90°，∴∠EDH+∠ADQ＝90°，∵∠H＝∠ADQ＝90°，∴∠ADQ+∠DAQ＝90°，∴∠EDH＝∠DAQ，∴△DHE∽△AQD，∴＝，∴EH＝＝，∴BE＝2EH＝，BH＝EH＝2，∴CH＝BH+BC＝8，∴CE＝＝，在Rt△BCX中，BC＝6，∠BCX＝∠EBH＝30°，∴BX＝6•cos30°＝3，∴EX＝EB+BX＝，∵BN∥CX，∴，∴，∴CN＝，如图4，当点D在BC的延长线上时，作EH⊥CB于H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X，由上可知：AQ＝3，CQ＝3，△DHE∽△AQD，∴DQ＝CQ+CD＝8，＝，∴EH＝DQ＝，∴BH＝EH＝8，BE＝2EH＝，∴CH＝BH﹣BC＝2，∴CE＝＝＝，∵BX＝BC＝3，∴EX＝BE﹣BX＝，∵BN∥CX，∴，∴∴CN＝，综上所述：CN＝或．九．解直角三角形的应用（共1小题）12．（2023•鞍山）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示，在截面图中，墙面BC垂直于地面CE，遮阳棚与墙面连接处点B距地面高3m，即BC＝3m，遮阳棚AB与窗户所在墙面BC垂直，即∠ABC＝∠BCE＝90°，假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为60°（若经过点A的光线恰好照射在地面点D处，则∠ADE＝60°），为使正午时窗前地面上能有1m宽的阴影区域，即CD＝1m，求遮阳棚的宽度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）【答案】遮阳棚的宽度AB约为2.7m．【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，∴∠DFB＝∠DFA＝90°，∵∠ABC＝∠BCE＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BC＝DF＝3m，CD＝BF＝1m，AB∥CE，∴∠BAD＝∠ADE＝60°，在Rt△ADF中，AF＝＝＝（m），∴AB＝AF+BF＝1+≈2.7（m），∴遮阳棚的宽度AB约为2.7m．一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）13．（2022•鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．【解答】解：设AC与GE相交于点H，由题意得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，设CH＝x米，∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，∴FH＝CH•tan45°＝x（米），∵GF＝8米，∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，∴tan37°＝＝≈0.75，解得：x＝4，经检验：x＝4是原方程的根，∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）14．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B 的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）【答案】1293 m．【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，∵BC⊥AB，∴四边形BCFE是矩形，∴BE＝CF，EF＝BC＝150 m，设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，∴AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6°，∴CD＝≈＝xm，∵AD＝CD+BC，∴2（x+150）＝+150，解得x＝250（m），∴DF＝250 m，∴DE＝250+150＝400 m，∴AD＝2DE＝800 m，∴CD＝800﹣150＝650 m，由勾股定理得AE＝＝＝400m，BE＝CF＝＝＝600 m，∴AB＝AE+BE＝400+600≈1293（m），答：公园北门A与南门B之间的距离约为1293 m．一十二．列表法与树状图法（共1小题）15．（2023•鞍山）二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是 ．（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是，故答案为：；（2）用树状图表示所有等可能出现的结果如下：共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种，所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为＝．。
2021年辽宁省鞍山市台安县中考数学质量监测试卷(5月份)
2021年辽宁省鞍山市台安县中考数学质量监测试卷（5月份）一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（3分）﹣2021的相反数是（）A．2021B．﹣2021C．D．﹣2．（3分）下列图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中主视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．8a﹣3b＝5ab B．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．a8÷a4＝a2 4．（3分）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：投中次数35678人数13222则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（）A．2，6，6B．5，6，5C．5，5，6D．5，6，65．（3分）不等式4x﹣8≥0的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．6．（3分）如右图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BC＝2，则的长为（）A．πB．2πC．D．π7．（3分）某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是（）A．20元B．18元C．15元D．10元8．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．则下列给出的判断：①∠EAG＝45°；②若DE＝a，则tan∠GFC＝2；③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2；④若CF＝FG，则DE＝（﹣1）a，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）9．（3分）清代•袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084科学记数法表示为．10．（3分）在实数范围内分解因式：ab3﹣5ab＝．11．（3分）如图所示的转盘中，红、黄、蓝三色扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°，自由转动转盘，当转盘停止后，指针落在黄色区域的概率是．12．（3分）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧交射线AN于点C，交线段AB于点D；②以点C为圆心，适当长为半径画弧；然后再以点D为圆心，同样长为半径画弧．前后两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE，交PQ于点F，若AF＝2，∠F AN＝30°，则线段BF的长为．13．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．14．（3分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝5，则AB＝．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C坐标为（2，0）．当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是．三、（每小题8分，共16分）17．（8分）先化简，然后从﹣2≤x≤2中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．18．（8分）如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．四、（每小题10分，共20分）19．（10分）现如今，通过手机微信运动程序可以了解自己微信好友每天行走的步数，“健身达人”小张为了解他的微信好友的运动情况，随机抽取了部分好友进行调查，把他们5月1日这天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B（5001～10000步），C（10001～15000步），D（15000步以上），统计结果如图所示，请依据统计结果回答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了位好友．（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．①扇形统计图中“D”对应的圆心角为度；②请补全条形图．③若小张开启微信运动的好友共有300人，请根据调查数据估计有多少位微信好友5月1日这天行走的步数不超过10000步？20．（10分）小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到白球的概率是．（2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则小李获胜；若摸出的两个球都是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平．21．（10分）如图，一艘轮船原计划从A地沿正东方向直接航行到B地，AB两地间的距离为200km．后来了解到在两地之间的某一海域有暗礁，为了避开暗礁，轮船从A地出发后就沿北偏东60°角的方向航行，到达C地后再沿南偏东45°角的方向继续航行到B 地．请问轮船这样航行的路程比原计划的路程远了多少？（结果精确到1km；参考数据：≈1.41，≈1.73）22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC与菱形ADEF在第一象限，且边OA，AD在x轴上．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过边OC的中点M与边AF的中点N，已知菱形OABC的边长为4，且∠AOC＝60°．（1）求反比例函数的解析式；（2）求菱形ADEF的周长．六、（每小题10分，共20分）23．（10分）已知：BD为⊙O的直径，点A为圆上一点，直线BF交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC，且∠ABF＝∠ABC．（1）如图1，求证：BF是⊙O的切线．（2）如图2，过点C作CQ⊥AC，垂足为点C，交⊙O于点Q，过点O作OH⊥CQ，垂足为点H，若OH＝6，⊙O的半径为10．求BE的长．24．（10分）某商店购进了一种新款小电器，为了制定合适的销售价格，进行了为期4周的试营销，试营销的情况如下表所示：第1周第2周第3周第4周售价/（元/台）50456055销售/台360390300330已知该款小电器的进价每台40元，设该款小电器每台的售价为x元，每周的销售量为y 台．（1）观察表中的数据，推断y与x满足什么函数关系，并求出这个函数关系式；（2）若想每周的销售利润为6000元，则其售价应定为多少元？（3）若每台小电器的售价不低于45元，但又不能高于进价的1.5倍，则如何定价才能使每周的销售利润最大？七、（12分）25．（12分）（1）如图1所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME．则线段MD，ME之间的数量关系是．（2）如图2所示，在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，探究MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由．（3）如图3所示，在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD、ME、DE，若MD＝2，请直接写出线段DE的长．八、（14分）26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B （5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，交抛物线于点M，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式．（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时（与点M重合），①求线段EH的长；②连接DF，求tan∠FDE的值；③试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2021年辽宁省鞍山市台安县中考数学质量监测试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（3分）﹣2021的相反数是（）A．2021B．﹣2021C．D．﹣【解答】解：﹣2021的相反数是2021．故选：A．2．（3分）下列图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中主视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．【解答】解：主视图和左视图都相同的是选项B．故选：B．3．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．8a﹣3b＝5ab B．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．a8÷a4＝a2【解答】解：A、8a与﹣3b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B、a2•a＝a3，故本选项符合题意；C、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；D、a8÷a4＝a4，故本选项不合题意；故选：B．4．（3分）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：投中次数35678人数13222则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（）A．2，6，6B．5，6，5C．5，5，6D．5，6，6【解答】解：这些队员投中次数的众数为5次，中位数为＝6（次），平均数为＝6（次），故选：D．5．（3分）不等式4x﹣8≥0的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【解答】解：4x﹣8≥0，4x≥8，x≥2，故选：D．6．（3分）如右图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BC＝2，则的长为（）A．πB．2πC．D．π【解答】解：连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于D，则BD＝DC＝BC＝，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴OB＝＝2，∴的长＝＝π，故选：C．7．（3分）某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是（）A．20元B．18元C．15元D．10元【解答】解：设文学类图书平均价格为x元/本，则科普类图书平均价格为1.2x元/本，依题意得：﹣＝100，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．故选：A．8．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．则下列给出的判断：①∠EAG＝45°；②若DE＝a，则tan∠GFC＝2；③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2；④若CF＝FG，则DE＝（﹣1）a，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【解答】解：①∵将△ADE沿AE翻折至△AFE，∴∠DAE＝∠EAF，AD＝AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG＝∠GAF，∵∠BAD＝∠DAE+∠EAF+∠DAE+∠EAF＝90°，∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝∠BAD＝45°，故①正确；②令a＝3，则DE＝EF＝1，设BG＝GF＝x，在Rt△GCE中有，GE2＝CG2+CE2，即（1+x）2＝（3﹣x）2+（3﹣1）2，解得x＝1.5，∴BG＝GC＝GF，∵∠BGA+∠AGF＝∠GCF+∠GFC（外角），∴∠BGA＝∠AGF＝∠GCF＝∠GFC，∴tan∠GFC＝tan∠AGB＝3÷1.5＝2，故②正确；③令a＝2，同理可得BG＝GF＝x＝，∴GC＝，∵E为CD的中点，∴CE＝DE＝1，∴GE＝＝，过F作△GFC的高线FH，∵FH∥EC，∴△GHF∽△GCE，∴＝，即＝，解得FH＝，∴S＝＝＝，故③错误；④∵GF＝FC，∠FGC+∠GEC＝∠FCG+∠FCE，∴GF＝GC＝EF＝DE＝BG，∴F为GE的中点（斜边中线为斜边一半逆定理，用互余关系可证），∴EC＝GC，即△GCE为等腰直角三角形，∴GE＝EC，设BG＝x，则有2x＝（a﹣x），解得x＝（）a，故④正确；故选：A．二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）9．（3分）清代•袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084科学记数法表示为8.4×10﹣6．【解答】解：0.0000084＝8.4×10﹣6，故答案为：8.4×10﹣6．10．（3分）在实数范围内分解因式：ab3﹣5ab＝ab（b+）（b﹣）．【解答】解：原式＝ab（b2﹣5）＝ab（b+）（b﹣），故答案为：ab（b+）（b﹣）．11．（3分）如图所示的转盘中，红、黄、蓝三色扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°，自由转动转盘，当转盘停止后，指针落在黄色区域的概率是．【解答】解：指针落在黄色区域的概率＝＝．故答案为：．12．（3分）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧交射线AN于点C，交线段AB于点D；②以点C为圆心，适当长为半径画弧；然后再以点D为圆心，同样长为半径画弧．前后两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE，交PQ于点F，若AF＝2，∠F AN＝30°，则线段BF的长为2．【解答】解：如图，过B作BG⊥AF于G，∵MN∥PQ，∴∠F AN＝∠3＝30°，由题意得：AF平分∠NAB，∴∠1＝∠2＝30°，∴∠1＝∠3＝30°，又∵BG⊥AF，∴AG＝GF＝AF＝，∴Rt△BFG中，BF＝＝＝2，故答案为：2．13．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣1且k≠0．【解答】解：由已知得：，即，解得：k＞﹣1且k≠0．故答案为：k＞﹣1且k≠0．14．（3分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝5，则AB＝10．【解答】解：∵AD＝DC，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°，∵CD＝CB，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝AD＝5，∴AB＝AD+BD＝10，故答案为：10．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C坐标为（2，0）．当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是．【解答】解：当直线AB经过点C时，即C（2，0）在直线y＝﹣x+m上，将C点代入得：0＝﹣2+m，解得：m＝2，∴此时直线解析式为：y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝2；故直线与x轴交于点C（2，0），与y轴交于点D（0，2），如图所示，过点O作OE⊥直线CD与点E，∵OC＝OD＝2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴CD＝＝＝2，∵OE⊥CD，∴△OED也为等腰直角三角形，∴OE＝DE＝＝＝，故点O到直线AB的距离是，故答案为：．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是（，）．【解答】解：E为AB的中点，当O，E及C共线时，OC最大，过C作CF⊥x轴于F，则∠CFO＝90°，此时OE＝BE＝AB＝1，由勾股定理得：CE＝＝2，OC＝1+2＝3，即BE＝CE，∵∠CBE＝90°，∴∠ECB＝30°，∠BEC＝60°，∴∠AEO＝60°，∵在Rt△AOB中，E为斜边AB中点，∴AE＝OE，∴△AOE等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠COB＝90°﹣60°＝30°，∴CF＝OC＝＝，由勾股定理得：OF＝＝＝，所以点C的坐标是（，）．故答案为：（，）．三、（每小题8分，共16分）17．（8分）先化简，然后从﹣2≤x≤2中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．【解答】解：＝＝＝＝，∵﹣2≤x≤2，x为整数，x+1≠0，（2+x）（2﹣x）≠0，∴x＝0或1，当x＝0时，原式＝＝1．18．（8分）如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．【解答】证明：（1）如图，连接AC交BD于点O∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，AO＝CO，且∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF∴△AOE≌△COF（AAS）∴EO＝FO，且AO＝CO∴四边形AECF是平行四边形（2）∵四边形AECF是平行四边形∴AE＝CF＝12cm，∴BF＝＝5cmBE＝＝16cm∴EF＝BE﹣BF＝11cm，∵BO＝DO，EO＝FO∴DE＝BF＝5cm∴BD＝21cm，∵S△ABD＝S▱ABCD＝S△ABC，∴BD×AE＝×AB×CH∴21×12＝20×CH∴CH＝12.6cm四、（每小题10分，共20分）19．（10分）现如今，通过手机微信运动程序可以了解自己微信好友每天行走的步数，“健身达人”小张为了解他的微信好友的运动情况，随机抽取了部分好友进行调查，把他们5月1日这天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B（5001～10000步），C（10001～15000步），D（15000步以上），统计结果如图所示，请依据统计结果回答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了30位好友．（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．①扇形统计图中“D”对应的圆心角为24度；②请补全条形图．③若小张开启微信运动的好友共有300人，请根据调查数据估计有多少位微信好友5月1日这天行走的步数不超过10000步？【解答】解：（1）本次调查中，一共调查了6÷20%＝30位好友，故答案为：30；（2）①∵A类和D类好友一共有：30×（1﹣40%﹣20%）＝12（人），A类好友人数是D类好友人数的5倍，∴A类好友有12÷6×5＝10（人），D类好友有12﹣10＝2（人），故扇形统计图中“D”对应的圆心角为360°×＝24°，故答案为：24；②由①知，A类好友10人，D类好友2人，补全的条形统计图如右图所示；③由题意可得，300×＝160（位），答：估计有160位微信好友5月1日这天行走的步数不超过10000步．20．（10分）小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到白球的概率是．（2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则小李获胜；若摸出的两个球都是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平．【解答】解：（1）∵共有4个球，其中有1个红球、2个白球、1个黑球，∴摸到白球的概率是＝．故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：共有12种等可能的情况数，其中两个球是一红一黑有2种，两个球都是白色的有2种，则小李获胜的概率是＝，小王获胜的概率是＝，所以游戏规则是公平的．21．（10分）如图，一艘轮船原计划从A地沿正东方向直接航行到B地，AB两地间的距离为200km．后来了解到在两地之间的某一海域有暗礁，为了避开暗礁，轮船从A地出发后就沿北偏东60°角的方向航行，到达C地后再沿南偏东45°角的方向继续航行到B 地．请问轮船这样航行的路程比原计划的路程远了多少？（结果精确到1km；参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示：则∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝45°，AD＝＝CD，BD＝＝CD，∵AD+BD＝AB，∴（+1）CD＝200km，∴CD＝100（﹣1）km，在Rt△ACD中，AC＝200（﹣1）km，在Rt△BCD中，BC＝100（﹣1），AC+BC＝200（﹣1）+100（﹣1）≈249（km），249﹣200＝49（km），答：飞机的飞行路程比原来的路程远了约49km．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC与菱形ADEF在第一象限，且边OA，AD在x轴上．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过边OC的中点M与边AF的中点N，已知菱形OABC的边长为4，且∠AOC＝60°．（1）求反比例函数的解析式；（2）求菱形ADEF的周长．【解答】解：（1）分别过点M、N作x轴的垂线，垂足分别为H、G，在Rt△OMH中，OM＝2，∠AOC＝60°，则OH＝1，MH＝，故点M的坐标为（1，），∵点M在反比例函数y＝上，∴k＝1×＝，故反比例函数的表达式为y＝；（2）设菱形ADEF的边长为4a，则AN＝AF＝2a，∵四边形OABC为菱形，∴OC∥AB，则∠AOC＝∠NAG＝60°，在Rt△NAG中，AN＝2a，∠NAG＝60°，则AG＝a，NG＝a，则点N的坐标为（4+a，a），∵点N在反比例函数上，故k＝（4+a）•a＝，解得a＝﹣2（负值已舍去），则菱形ADEF的周长为16a＝16﹣32．六、（每小题10分，共20分）23．（10分）已知：BD为⊙O的直径，点A为圆上一点，直线BF交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC，且∠ABF＝∠ABC．（1）如图1，求证：BF是⊙O的切线．（2）如图2，过点C作CQ⊥AC，垂足为点C，交⊙O于点Q，过点O作OH⊥CQ，垂足为点H，若OH＝6，⊙O的半径为10．求BE的长．【解答】解：（1）∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∠ABF＝∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABF＝∠ADB，∴∠ABF+∠ABD＝90°，即∠FBD＝90°，∴BF是⊙O的切线；（2）连接OC，∵∠OHC＝∠HCA＝90°，∴AC∥OH，∴∠ACO＝∠COH，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，即∠ABD＝∠ACO，∴∠ABD＝∠COH，∵∠H＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△HOC，∴＝2，∵OH＝6，⊙O的半径为10，∴AB＝2OH＝12，BD＝20，∴AD＝＝16，在△ABF与△ABE中，，∴△ABF≌△ABE（ASA），∴BF＝BE，AF＝AE，∵∠FBD＝∠BAD＝90°，∴AB2＝AF•AD，∴AF＝＝9，∴AE＝AF＝9，∴DE＝7，BE＝＝15．24．（10分）某商店购进了一种新款小电器，为了制定合适的销售价格，进行了为期4周的试营销，试营销的情况如下表所示：第1周第2周第3周第4周售价/（元/台）50456055销售/台360390300330已知该款小电器的进价每台40元，设该款小电器每台的售价为x元，每周的销售量为y 台．（1）观察表中的数据，推断y与x满足什么函数关系，并求出这个函数关系式；（2）若想每周的销售利润为6000元，则其售价应定为多少元？（3）若每台小电器的售价不低于45元，但又不能高于进价的1.5倍，则如何定价才能使每周的销售利润最大？【解答】解：（1）y与x满足一次函数关系，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，，解得：，即这个函数关系式是y＝﹣6x+660；（2）由题意可得，（x﹣40）（﹣6x+660）＝6000，解得，x1＝60，x2＝90，答：若想每周的利润为6000元，则其售价应定为每台60元或每台90元；（3）设每周的销售利润为w元，定价为x元，由题意可得，w＝（x﹣40）（﹣6x+660）＝﹣6（x﹣75）2+7350，45≤x≤40×1.5，即45≤x≤60，∵y＝﹣6x+660，∵﹣6＜0，对称轴为直线x＝75，∴x＜75时，y随x的增大而增大，∴当x＝60时，w取得最大值，答：定价为60元/台时，才能使每周的销售利润最大．七、（12分）25．（12分）（1）如图1所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME．则线段MD，ME之间的数量关系是MD＝ME．（2）如图2所示，在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，探究MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由．（3）如图3所示，在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD、ME、DE，若MD＝2，请直接写出线段DE的长．【解答】解：（1）MD＝ME．∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，∴∠ABD＝∠DAB＝∠ACE＝∠EAC＝45°，∠ADB＝∠AEC＝90°在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（AAS），∴BD＝CE，AD＝AE，∵M是BC的中点，∴BM＝CM．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC+∠ABD＝∠ACB+∠ACE，即∠DBM＝∠ECM．在△DBM和△ECM中，，∴△DBM≌△ECM（SAS），∴MD＝ME．故答案为MD＝ME；（2）MD＝ME，MD⊥ME．理由如下：取AB，AC的中点F，G，连接DF，FM，MG，EG，设AB与DM交于点H，如图2，∵△ADB和△AEC都是等腰直角三角形，∴∠DF A＝∠EGA＝90°，DF＝AF＝AB，EG＝AG＝AC．∵点M是BC的中点，∴FM和MG都是△ABC的中位线，∴AF∥MG，AF＝DF＝MG，∴四边形AFMG是平行四边形，∴FM＝AG＝GE，∠AFM＝∠AGM，∴∠DFM＝∠MGE．在△DFM和△MGE中，∵FM＝GE，∠DFM＝∠MGE，DF＝MG，∴△DFM≌MGE（SAS），∴MD＝ME，∠FDM＝∠GME．∴∠BHM＝90°+∠FDM＝90°+∠GME，∠BHM＝∠HMG＝∠DME+∠GME，∴∠DME＝90°，即MD⊥ME；（3）线段DE的长为2，理由如下：分别取AB，AC的中点F，G，连接MF，DF，MG，EG，设DF和MG交于点H，如图3，∵△ADB和△AEC都是等腰直角三角形，∴∠DF A＝∠EGA＝90°，DF＝AF＝AB，EG＝AG＝AC．∵点M是BC的中点，∴FM和MG都是△ABC的中位线，∴AF∥MG，AF＝DF＝MG，∴四边形AFMG是平行四边形，∴FM＝AG＝GE，∠AFM＝∠AGM，∴∠DFM＝∠MGE．在△DFM和△MGE中，FM＝GE，∠DFM＝∠MGE，DF＝MG，∴△DFM≌MGE（SAS）．∴MD＝ME，∠FDM＝∠GME．∵DF⊥AB即∠FHM＝90°．又∵∠FHM＝∠HMD+∠FDM，∴∠FHM＝∠HMD+∠GME＝∠DME＝90°，∴△DME是等腰直角三角形，在Rt△DME中，MD＝ME＝2，由勾股定理，得DE＝＝＝2．八、（14分）26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B （5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，交抛物线于点M，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式．（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时（与点M重合），①求线段EH的长；②连接DF，求tan∠FDE的值；③试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）①如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），∴F的纵坐标为3，把y＝3代入y＝﹣x2+x+3得，3＝﹣x2+x+3；解得x＝0或x＝4，∴F（4，3）∴OH＝4，∵∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠EDH＝90°，∴∠OCD＝∠EDH，在△OCD和△HDE中，，∴△OCD≌△HDE（AAS），∴DH＝OC＝3，OD＝EH，∴OD＝4﹣3＝1＝EH，即EH＝1；②如图3，连接CE，DF，∵△OCD≌△HDE，∴HE＝OD＝1，∵BF＝OC＝3，∴EF＝3﹣1＝2，∵∠CDE＝∠CFE＝90°，∴C、D、E、F四点共圆，∴∠ECF＝∠EDF，在Rt△CEF中，∵CF＝OH＝4，∴tan∠ECF＝，∴tan∠FDE＝；③存在，理由：如图4，连接CE，∵CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CED＝45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1＝45°，∠EDG2＝45°∵EH＝1，OH＝4，∴E（4，1），∵C（0，3），∴直线CE的解析式为y＝﹣x+3，设直线DG1的解析式为y＝﹣x+m，∵D（1，0），∴0＝﹣×1+m，解得m＝，∴直线DG1的解析式为y＝﹣x+，当x＝4时，y＝﹣x+＝﹣，∴G1（4，﹣）；设直线DG2的解析式为y＝2x+n，∵D（1，0），∴0＝2×1+n，解得n＝﹣2，∴直线DG2的解析式为y＝2x﹣2，当x＝4时，y＝2×4﹣2＝6，∴G2（4，6）；。
辽宁省鞍山市2021年中考数学试卷B卷
辽宁省鞍山市2021年中考数学试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）. (共10题；共40分)1. （4分）下列说法正确的是（）A . 绝对值等于它本身的数是正数B . 最小的整数是0C . 实数与数轴上的点一一对应D . 4的平方根是22. （4分）在“2008北京奥运会”国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次用了我国科研人员自主研制的强度为帕的钢材，那么的原数是（）A .B .C .D .3. （4分） (2019七下·黄骅期末) 如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠2比∠1的3倍少20°，则∠1的度数为（）A . 35°B . 45°C . 50°D . 130°4. （4分）下面一组数据是10名学生测试跳绳项目的成绩（单位：个/分钟）．176 180 184 180 170 176 172 164 186 180该组数据的众数、中位数、平均数分别为（）A . 180，180，178B . 180，178，178C . 180，178，176.8D . 178，180，176.85. （4分）已知△ABC∽△A′B′C′且，则为（）A . 1：2B . 2：1C . 1：4D . 4：16. （4分）(2020·沈阳模拟) 下列实数中，最小的是（）A . 0B . ﹣7C . ﹣2D . 47. （4分） (2019九下·深圳月考) 如图，在Rt△AB C中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则∠A的正弦值为（）A .B .C .D .8. （4分） (2020九下·宝山期中) 如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（）A .B .C .D .9. （4分）(2017·林州模拟) 关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A . m＜B . m＞且m≠2C . m≤D . m≥ 且m≠210. （4分）(2020·温州模拟) 将一个边长为4的正方形分割成如图所示的9部分，其中，，，全等，，，，也全等，中间小正方形的面积与面积相等，且是以为底的等腰三角形，则的面积为（）A . 2B .C .D .二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分） (共8题；共30分)11. （4分）(2020·莘县模拟) 方程x²=2x的根为________。
2021年辽宁省鞍山市中考模拟数学试卷
2021年辽宁省鞍山市中考数学模拟一．选择题（每小题3分，满分24分）1．下面是中国四个城市的地铁图标，其中是中心对称图形的是（）A．太原地铁B．广州地铁C．上海地铁D．香港地铁2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b的值是（）A．2025 B．2015 C．2021 D．20193．抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）A．y＝（x+1）2﹣2 B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2+24．已知反比例函数y＝﹣，下列说法中正确的是（）A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点（2，3）在该函数图象上C．y随x的增大而增大D．该图象关于原点成中心对称5．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，将△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A′OB′，旋转角为α．若点A′落在AB上，则旋转角α的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC分别与直线l1，l2，l3，交于A、B、C三点，直线DF分别与直线l1，l2，l3交于D、E、F三点，AC与DF交于点O，若BC＝2AO＝2OB，OD＝1．则OF的长是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，是函数y＝ax2+bx+c的图象，则函数y＝ax+c，y＝，在同一直角坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．8．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．二．填空题（每小题3分，满分24分）9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝．10．若关于一元二次方程2mx2+（8m+1）x+8m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是．11．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则y1，y 2，y3的大小关系是．12．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2）．以原点O为位似中心，相似比为0.5，把△EFO缩小，得到△E'F'O，则点E的对应点E'的坐标是．13．如图，一山坡的坡度i＝1：，小明从A处爬到B处所走的直线距离AB＝10米，则他在垂直方向上升的高度CB为米．14．圆内接正六边形的边心距为2，则此圆内接正三角形的边长是．15．在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，若sin∠BAO＝，则k的值为．16．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tan A ＝3，CD ⊥AB 于点D ，点E 是线段CD 的一个动点，则BE +CE 的最小值是 ．三．解答题17．（8分）计算：（1）sin30°﹣cos45°+tan60°．（2）（x ﹣1）2＝3x ﹣3．18．（8分）如图，在△ABC 中，点D 、G 在边AC 上，点E 在边BC 上，DB ＝DC ，EG ∥AB ，AE 、BD 交于点F ，BF ＝AG ．（1）求证：△BFE ∼△CGE ；（2）当∠AEG ＝∠C 时，求证：AB 2＝AG •AC ．四．解答题19．（10分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +k 2﹣2＝0．（1）求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等实数根．（2）设x 1，x 2是方程的根，且x 12﹣2kx 1+2x 1x 2＝5，则k 的值．20．（10分）某水果连锁店销售热带水果，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该水果的日销售y （千克）与售价x （元/千克）的函数图象关系如图所示：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当售价为多少元/千克时，当日销售利润最大，最大利润为多少元？（3）由于某种原因，该水果进价提高了m 元/千克（m ＞0），物价局规定该水果的售价不得超过40元/千克，该连锁店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若日销售最大利润是1280元，请直接写出m 的值．五．解答题21．（10分）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度，他们先在斜坡上的D 处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°．且D 离地面的高度DE ＝5m ．坡底EA ＝30m ，然后在A 处测得建筑物顶端B 的仰角是60°，点E ，A ，C 在同一水平线上，求建筑物BC 的高．（结果用含有根号的式子表示）22．（10分）如图，一次函数y 1＝ax +b 与反比例函数y 2＝的图象相交于A （2，8），B （8，2）两点，连接AO ，BO ，延长AO 交反比例函数图象于点C ．（1）求一次函数y 1的表达式与反比例函数y 2的表达式；（2）当y 1＜y 2，时，直接写出自变量x 的取值范围为 ；（3）点P 是x 轴上一点，当S △PAC ＝S △AOB 时，请直接写出点P 的坐标为 ．六．解答题23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，过点A作直线AD，使∠CAD＝∠ABC．（1）求证：直线AD与⊙O相切．（2）若E是的中点，连接OE并延长交直线AD于点F，AB＝24，OF＝25，则⊙O的半径是．24．（10分）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？七．解答题25．（12分）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B 为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．八．解答题26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．抛物线顶点纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的解析式及C点坐标．（2）如图1，过C作x轴的平行线，与抛物线交于点M，连接AM、BM，在y轴上是否存在点N，使∠ANB＝∠AMB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）把线段OC绕O点顺时针旋转，使C点恰好落在抛物线对称轴上的点P处，如图2，再将线段OP绕P点逆时针旋转45°得线段PQ，请计算Q点坐标，并判断Q点在抛物线上吗？。
辽宁省鞍山市2021年中考数学试卷A卷(模拟)
辽宁省鞍山市2021年中考数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是（）A . 等边三角形B . 平行四边形C . 梯形D . 矩形2. （2分） -27的立方根与的平方根的和是（）A . 0B . -6C . 6D . 0或–63. （2分）(2018·崇仁模拟) 据2018年3月1日中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报显示：全年研究生教育招生80.5万人，在学研究生263.9万人，毕业生57.8万人。
普通本专科招生761.5万人，在校生2753.6万人，毕业生735.8万人.数据“80.5万”用科学计数法表示为（）A . 8.05×104B . 80.5×104C . 0.805×106D . 8.05×1054. （2分） (2019七下·湖州期中) 如图所示，，，平分，则图中与相等的角有（）个.A .B .C .D .5. （2分） (2016八上·余杭期中) 下列命题中：（1）形状相同的两个三角形全等；（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等；（3）等腰三角形两腰上的高线相等；（4）三角形的三条高线交于三角形内一点．其中真命题的个数有（）．A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分） (2019八上·朝阳期中) 已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有（）⑴AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分）(2017·黔南) 下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（）A . 了解我国民众对乐天集团“萨德事件”的看法B . 了解湖南卫视《人们的名义》反腐剧的收视率C . 调查我校某班学生喜欢上数学课的情况D . 调查某类烟花爆竹燃放的安全情况8. （2分）郑萌用已知线段a，b（a＞b，且b≠a），根据下列步骤作△ABC，则郑萌所作的三角形是（）步骤：①作线段AB=a；②作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点O；③以点B为圆心，线段b的长为半径画弧，交⊙O于点C，连接BC，AC．A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 钝角三角形9. （2分）如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）A . 5B . 4C . 3D . 210. （2分） (2016九上·仙游期中) 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc ＜0；②2a+b=0；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0；④4a+2b+c＞0，其中正确结论的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共8题；共9分)11. （2分） (2017七下·个旧期中) 计算 3 + ﹣2 =________，中x的取值范围是________．12. （1分） (2018九下·湛江月考) 数据3、3、4、5、5的方差是________．13. （1分） (2017七下·泰兴期末) 已知关于的不等式组只有两个整数解，则的取值范围________.14. （1分） (2019七下·南县期中) 已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值是________．15. （1分）(2017·十堰) 如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN= NF；③ = ；④S四边形CGNF= S四边形ANGD ．其中正确的结论的序号是________．16. （1分）(2017·梁子湖模拟) 如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=2 ，将扇形OAB沿过点B 的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则阴影部分的面积是________．17. （1分）(2017·龙华模拟) 如图，已知函数y=kx 与函数y= 的图象交于A、B 两点，过点B作BC⊥y 轴，垂足为C，连接AC．若△ABC 的面积为2，则k 的值为________．18. （1分）(2017·荆州) 观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个点．三、解答题 (共8题；共67分)19. （5分）(2018·广安) 计算：（）﹣2+| ﹣2|﹣+6cos30°+（π﹣3.14）0 ．20. （5分）（1）计算：（）﹣2+﹣|﹣5|+（﹣2）0（2）先化简(1-)÷，再从有意义的范围内选取一个整数作为a的值代入求值．21. （5分）如图，某人在一栋高层建筑顶部C处测得山坡坡脚A处的俯角为60°，又测得山坡上一棵小树树干与坡面交界P处的俯角为45°，已知OA=50米，山坡坡度为（即tan∠PAB=，其中PB⊥AB ），且O、A、B在同一条直线上.（1）求此高层建筑的高度OC.(结果保留根号形式.)；（2）求坡脚A处到小树树干与坡面交界P处的坡面距离AP的长度. (人的高度及测量仪器高度忽略不计，结果保留3个有效数字.)22. （10分）(2016·巴彦) 如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点P（m，4），与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．23. （10分） (2020八上·覃塘期末) 重百江津商场销售AB两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A商品和5件B种商品所得利润为1100元．（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？（2）由于需求量大A、B两种商品很快售完，重百商场决定再次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么重百商场至少购进多少件A种商品？24. （6分） (2019九上·通州期末) 第一盒中有2个白球、1个红球，第二盒中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球.（1）在第一盒中取出1个球是白球的概率是________；（2）求取出的2个球中1个白球、1个红球的概率.25. （15分）(2018·吉林模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．26. （11分） (2019九上·温州月考) 在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(-1，2)，抛物线y=ax2+bx(a≠0)恰好经过A，B两点。
鞍山市2021年中考数学试卷(I)卷
鞍山市2021年中考数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）下列说法中，正确的是（）A . 在数轴上表示-a的点一定在原点的左边B . 有理数a的倒数是C . 一个数的相反数一定小于或等于这个数D . 如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是负数或零2. （2分）上海世博会于2010年5月1日至10月31日举行，这是继北京奥运会之后我国举办的又一世界盛事，这届世博会吸引了世界各地约72 000 000人次参观，将72 000 000用科学记数法表示正确的是（）A . 0.72×108B . 7.2×107C . 7.2×106D . 72×1063. （2分） (2019九上·荔湾期末) 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·连云港) 右图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A .B .C .D .5. （2分） (2020九上·三门期末) 商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”.下列说法正确的是（）A . 抽101次也可能没有抽到一等奖B . 抽100次奖必有一次抽到一等奖C . 抽一次不可能抽到一等奖D . 抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖6. （2分） (2016八上·东营期中) 把根号外的因式化到根号内：﹣a =（）A .B .C . ﹣D .7. （2分）(2018·峨眉山模拟) 下列计算正确的是（）A .B .C .D .8. （2分）甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天．则可列方程为A .B . 10+8+x=30C .D .9. （2分） (2016九上·盐城开学考) 矩形具有而菱形不具有的性质是（）A . 两组对边分别平行B . 对角线相等C . 对角线互相平分D . 两组对角分别相等10. （2分）(2017·蒸湘模拟) 不等式组的解集在数轴上表示为（）A .B .C .D .11. （2分）已知两点P1（x1 ， y1）、P2（x2 ， y2）在反比例函数的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（）A . 0＜y1＜y2B . 0＜y2＜y1C . y1＜y2＜0D . y2＜y1＜012. （2分）下列函数：①y=-x；②y=2x；③；④y=x2 ．当x<0时，y随x的增大而减小的函数有（）A . 1 个B . 2 个C . 3 个D . 4 个二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）下图右侧有一盒拼板玩具，左侧有五块板a、b、c、d、e，如果游戏时可以平移或旋转，但不能翻动盒中任何一块，那么a、b、c、d、e中，________是盒中找不到的？（填字母代号）14. （1分）(2018·温州) 一组数据1，3，2，7，，2，3的平均数是3，则该组数据的众数为________．15. （1分） (2019七上·松江期末) 计算：＝________．16. （1分）图中刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的，转动刀片（如图）时形成∠1、∠2，则∠1+∠2=________度．17. （1分） (2017八下·马山期末) 如图，在▱ABCD中，已知AD=6cm，AB=4cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC=________cm．18. （1分）(2018·青岛) 问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．问题探究：我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．探究一用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木棒的条数．如图①，当m=1，n=1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1条，共需4条；如图②，当m=2，n=1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+1）×1条，共需7条；如图③，当m=2，n=2时，横放木棒为2×（2+1））条，纵放木棒为（2+1）×2条，共需12条；如图④，当m=3，n=1时，横放木棒为3×（1+1）条，纵放木棒为（3+1）×1条，共需10条；如图⑤，当m=3，n=2时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2条，共需17条．问题（一）：当m=4，n=2时，共需木棒________条．问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为________条，纵放的木棒为________条．探究二用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整数），需要木棒的条数．如图⑥，当m=3，n=2，s=1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）=34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1=12条，共需46条；如图⑦，当m=3，n=2，s=2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）=51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2=24条，共需75条；如图⑧，当m=3，n=2，s=3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）=68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3=36条，共需104条．问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为________条，竖放木棒条数为________条．实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是________．拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒________条．三、解答题 (共8题；共85分)19. （5分） (2018七上·翁牛特旗期末) 先化简再求值：，其中 .20. （10分）(2018·桂林) 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.（1）求证：ΔABC≌DEF；（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.21. （15分）(2017·高港模拟) 为增强学生体质，各学校普遍开展了阳光体育活动，某校为了解全校1000名学生每周课外体育活动时间的情况，随机调查了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育活动时间x（单位：小时）进行了统计．根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%．根据以上信息及统计图解答下列问题：（1）本次调查属于________调查，样本容量是________；（2）请补全频数分布直方图中空缺的部分；（3）求这50名学生每周课外体育活动时间的平均数；（4）估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数．22. （10分）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标为O（0，0）、B（12，0）、C（12，16），由三个观测点确定的圆形区域是“利剑﹣2016”中国多军种军事演习区，如图所示．（1）求圆形区域的面积．（2）某时刻海面上出现一艘可疑船A，在观测点O测得A位于北偏东45°方向上，同时在观测点B测得A位于北偏东30°方向上，求观测点B到可疑船A的距离（结果保留根号）；（3）当可疑船A由（2）中的位置向正西方向航行时，是否会进入演习区？请通过计算解释．23. （10分）(2018·甘孜) 如图，是的外接圆的直径，点P在BC延长线上，且满足.（1）求证：PA是的切线；（2）弦交于点F，若 ,求AC的长.24. （10分）已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）作出函数的图象；（2）当1＜x＜5时，求y的取值范围．25. （10分）(2016·北区模拟) 如图，已知二次函数y=ax2+ 的图象与y轴交于点A（0，4），与x 轴交于点B，C，点C坐标为（8，0），连AB，AC，点N在线段BC上运动（不与点B，C重合）过点N作NM∥AC，交AB于点M．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与以点A，B，O为顶点的三角形相似时，求点N的坐标；（3）当△AMN面积等于3时，直接写出此时点N的坐标．26. （15分）(2017·宁津模拟) 如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共8题；共85分) 19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、21-4、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、25-3、26-1、26-2、26-3、。
辽宁省鞍山市2021版中考数学试卷C卷
辽宁省鞍山市2021版中考数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2019·河池模拟) -2019的绝对值是（）A .B .C . 2019D . -20192. （2分）(2018·官渡模拟) 如图是用五个相同的立方块搭成的几何体，其主视图是（）A .B .C .D .3. （2分）下列运算正确的是（）A . a2+a2=a4B . （a3）4=a12C . （﹣2×3）2=﹣36D .4. （2分） (2017九下·睢宁期中) 2016年我省克服连续降雨等自然灾害影响，全年粮食总产达693.2亿斤，将693.2亿用科学记数法表示为（）A . 6.932×1010B . 693.2×108C . 69.32×109D . 69.32×1075. （2分） (2019九上·通州期末) 若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的中心角为A .B .C .D .6. （2分）下列二次根式中，不能与合并的是（）A .B .C .D .7. （2分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y ＝的图象上．若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为（）A . 1B . －3C . 4D . 1或－38. （2分）如果α是锐角，且cosα=，那么sinα的值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共7分)9. （1分） (2019七上·瑞安月考) 如果收入1000元表示为+1000元，则-700元表示________。
10. （1分） (2018九上·东台期中) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=100°，则∠DCE的大小是________．11. （1分） (2017八下·东莞期中) 若三角形三边分别为5，12，13，则它最长边上的中线长是________．12. （1分） (2016九上·博白期中) 如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是________．13. （1分）(2017·长春模拟) 一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，那么这件衣服的成本是________元．14. （2分） (2018七上·慈溪期中) 观察下列图形的构成规律，根据此规律，第7个图形中有________个圆，第个图形中有________个圆.三、解答题 (共9题；共81分)15. （10分）(2017·鹰潭模拟) 计算下列各题（1）﹣3tan30°+（4﹣π）0﹣（）﹣1（2）先化简，再求值：（﹣x+1）÷ ，其中x= ﹣2．16. （5分）(2016·盐城) 先化简，再求（ + ）× 的值，其中x=3．17. （10分）(2019·瑞安模拟) 如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线.（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB＝90°，AB＝6，求四边形BEDF的周长.18. （5分） (2017八下·德惠期末) 由于强降雨，某地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品送往该地区，已知每件甲种物品的价格必每件乙种物品的价格高10元，用350元购买甲种物品的件数与用300元购买乙种物品的件数相同，求甲、乙两种救灾物品每件的价格．19. （10分）(2017·抚州模拟) 某校组织学生排球垫球训练，训练前后，对每个学生进行考核．现随机抽取部分学生，统计了训练前后两次考核成绩，并按“A，B，C”三个等次绘制了如图不完整的统计图．试根据统计图信息，解答下列问题：（1）抽取的学生中，训练后“A”等次的人数是多少？并补全统计图．（2）若学校有600名学生，请估计该校训练后成绩为“A”等次的人数．20. （6分）(2017·高邮模拟) 问题：探究一次函数y=kx+k+2（k是不为0常数）图象的共性特点，探究过程：小明尝试把x=﹣1代入时，发现可以消去k，竟然求出了y=2．老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？小组讨论得出：无论k取何值，一次函数y=kx+k+2的图象一定经过定点（﹣1，2），老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数y=（k+3）x+（k﹣1）的图象是“点选直线”（1）一次函数y=（k+3）x+（k﹣1）的图象经过的顶点P的坐标是________．（2）已知一次函数y=（k+3）x+（k﹣1）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B①若△OBP的面积为3，求k值；②若△AOB的面积为1，求k值．21. （10分） (2016九上·萧山期中) 已知一个口袋中装有4个只有颜色不同的球，其中3个白球，1个黑球．（1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少；（2）若从口袋中摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球。