《点线面之间的位置关系斜线在平面内的射影》教案(苏教版)

第19课时斜线在平面内的射影
教学目标：
使学生掌握等价转化思想，培养学生的空间想象能力，使学生学会分析事物之间关系，选择解决问题途径。

教学重点：
垂线段、斜线段、射影之间关系，直线和平面所成的角。

教学难点：
直线和平面成角性质的证明。

教学过程：
1．复习回顾：
1）直线和平面垂直的性质定理；
2）线面距离、点面距离；
3）等价转化思想的渗透.
［师］请同学依自己的理解复述上节内容.
［生］……
2．讲授新课：
斜线在平面内的射影
［师］通过预习我们将本节课将要学的概念归纳小结，注意发现其概念特点规律.
请同学们叙述下列概念：
点在平面内的射影，垂线段，斜线、斜足、斜线段，斜线的射影、斜线段的射影。

［生］点在平面内的射影：过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.
垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.
［师］请将立体图作出，使之符合上述叙说.
［生］（做图）如图，PQ⊥α，θ∈α，点Q是点P在α内的
射影，PQ是点P到α的垂线段.
［师］请继续解释.
［生］斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直
时，这条直线就叫做这个平面的斜线.
斜足：斜线和平面的交点.
斜线段：从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段，依上图，PR∩α=R,PR不垂直α，直线PR是α的一条斜线，点R是斜足，线段PR是点P到α的斜线段.
［师］那么射影是线或线段又如何解释.
［生］线的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
线段的射影：垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影.
［生］AB⊥α，直线BC是斜线AC在α内的射影，线段BC是斜线段AC在α内的
射影.
［师］从教材中注意发现其中两个重要结论.
［生］（1）平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而
这点到这个平面的斜线段有无数条.
（2）斜线上任意一点在平面内的射影，一定在斜线的射影上.
［师］观察右图，看能发现什么结论.
［生］经观察讨论，可得以下结论.
定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中.
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短.
［师］AO是平面α的垂线段，AB、AC是平面α的斜线段，OB、OC分别是AB、AC在平面α内的射影，这时有：
（1）OB＝OC⇒AB＝AC OB＞OC⇒AB＞AC
（2）AB＝AC⇒OB＝OC AB＞AC⇒OB＞OC
（3）AO＜AB，AO＜AC
［师］直线和平面所成的角、应分三种情况
通过前面学习我们知道：
直线与平面的位置关系从公共点的个数上分有：无数个、一个、没有；
［生］公共点无数个，称为直线在平面内；
公共点有一个，称直线和平面相交；
没有公共点，称直线与平面平行.
［师］直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条
相交直线，也需要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条
直线.与平面相交的直线l与平面内的线a、b…所成的角是不相等的，为了定义的确定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角.
那么：直线和平面所成角的定义如何叙述，请同学思考.
［生］平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.
一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°的角.
如图，l是平面α的一条斜线，点O是斜足，A是l上任意
一点，AB是α的垂线，点B是垂足，所以直线OB（记作l′）
是l在α内的射影，∠AOB（记作θ）是l与α所成的角.
［师］直线和平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际
中有着广泛的应用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多
少度时，才能准确地命中目标，也即射程为多远？又如：
铅球运动员在投掷时，以多大的角度投掷，投出的距离最远？
［师］教材最后一段实际上是研究最小角，不妨称之为：
最小角定理.
斜线和平面所成的角，是斜线和它在平面内的射影所成的锐角，它是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成角中最小的角.
证明：因在该图中l 是平面α的斜线，A 是l 上任意的一点，
AB 是平面α的垂线，B 是垂足，直线OB 是直线l 在平面α内的射影，∠Q 是斜线l 与平面α所成的角.
设OC 是平面α内与OB 不同的任意一条直线AC ⊥OC ,垂足为C
因为垂线段AB 小于斜线段AC
所以在有公共斜边DA 的Rt △ABO ,Rt △ACO 中
sin θ＜sin AOC ∴∠θ＜∠AOC
因此，斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成的角中最小的角.
3．课堂练习：
（一）课本P 37 1，2，3，4.
（二）补充练习
1.下列命题正确的个数为（ A ）
①两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等 ②两条平行线在同一平面内的射影也是平行线 ③若a 是平面α的斜线，直线b 垂直a 在α内的射影，则b ⊥α ④若直线a ∥α，l 为平面α的斜线，a ⊥l ，则a 垂直于l 在α的射影
A.1
B.2
C.3
D.4
2.斜线与平面α所成角为θ，则平面α内与斜线不相交的直线与斜线所成角的范围是（ B ）
A.［θ，π－θ］
B.［θ，π2 ］
C.（0，π2 ）
D.（0，θ）
4．课时小结：
注意定理条件 定理的前提是“从平面外一点”，那么“从平面外不同点”是否也具有同样性质？最小角定理中也应注意过与不过斜足这一条件？两个定理运用时，细致分析条件是否具备？
5．课后作业：
课本P 38 6，13，14.。