沈阳市2020版九年级上学期期末数学试题(I)卷
沈阳市2020版九年级上学期期末数学试题（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题
1 . 下列各点中，在反比例函数的图像上的是
C．D．
A．B．
2 . 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（）
A．B．C．D．
3 . 如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC=11，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CD E的周长为（）
A．6B．9C．11D．12
4 . 如图，BD、CE分别是△ABC的中线，BD与CE交于点O，则下列结论中正确的是（）
A．B．
C．D．
5 . 在一个不透明的盒子中装有个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在，那么可以推算出大约是（）
A．10B．14C．16D．40
6 . 如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（）
①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积不变；
③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7 . 若抛物线y＝x2＋mx的对称轴是x＝2.5，则关于x的方程x2＋mx＝6的解为（）.
A．－2，3B．2，－3C．－1，6D．1，－6
8 . 如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在
轴上，已知，则的值为（）
A．-8B．-6C．-4D．-2
9 . 二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表：
x…﹣2﹣10123…
y…50﹣3﹣4﹣30…
二次函数图象的对称轴是（）
A．直线x=1B．y轴
C．直线x=D．直线x=﹣
10 . 已知正六边形ABCDEF的边心距为 cm，则正六边形的半径为（）cm．
A．2B．2C．D．4
二、填空题
11 . 小芳同学有两根长度为4cm、10cm的木棒，她想钉一个三角形相框，桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是．
12 . 如图，，，则和的相似比为________.
13 . 如图，已知小明、小颖之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小明、
小颖的身高分别为，，则路灯的高为______
14 . 已知在同一坐标系中，抛物线y1＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：_____．
15 . 如图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.86米，点最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB及支架的相关数据如图2所示．若茶几摆放在灯罩的正下方，
则茶几到灯柱的距离AE为__米．
16 . 一个圆锥的左视图是一个等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于___
17 . 如图，在⊙O中，弦AB＝2cm，∠AOB＝120°，则⊙O的半径为_____cm．
18 . 今年宁波市体育中考已确定抽测项目为篮球，实心球，50米跑．A、B两人随机从这三项中选择一项作为测试项目，他们都选中篮球的概率为________ ．
19 . 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值为_________；
三、解答题
20 . 某超市的某种商品现在的售价为每件50元，每周可以卖出500件。
现市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件。
已知该种商品的进价为每件40元，问如何定价，才能使利润最大?最大利润是多少?（每件商品的利润=售价－进价）
21 . 用指定的方法解方程：
（1）4x（2x+1）=3（2x+1）（因式分解法）
（2）（x+3）（x﹣1）=5（公式法）
（3）2x2﹣3x+1=0（配方法）
22 . 对于平行线，我们有这样的结论：如图1，，，交于点，则.
请利用该结论解答下面的问题：
如图2所示，中，是边上的中线，是边上一点，射线交于点，且，
求.
23 . 如图，点是的边上一点，且，对角线与相交于点，，求
的面积.
24 . 已知二次函数（是常数）
（1）求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个公共点．
（2）若该函数图象经过点（0，-2），则该函数图象怎样平移经过原点？
25 . 如图，在一条笔直公路BD的正上方A处有一探测仪，AD=24m，∠D=90°，一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°．
（Ⅰ）求B，C两点间的距离（结果精确到1m）；
（Ⅱ）若规定该路段的速度不得超过15m/s，判断此轿车是否超速．
参考数据：tan31°≈0.6，tan50°≈1.2．
26 . 如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点A（m，4），过点A作AB⊥x轴于B，CD∥AB，交x轴于C，交反比例函数图象于D，BC＝2，CD＝．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P是y轴上一动点，求PA+PB的最小值．
27 . 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB＝10cm，点P由点C出发以每秒2cm的速度沿CA向点A运动（不运动至A点），⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB、AC相切，当点P运动2秒钟时，求⊙O的半
径.
28 . 在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点A(−1，a)，B(3，a)，且顶点的纵坐标为-4．
（1）求m，n 和 a 的值；
（2）记二次函数图象在点A，B 间的部分为G (含点A和点B )，若直线与图象G 有
公共点，结合函数图象，求k 的取值范围．。
2021-2022学年辽宁省沈阳市浑南区九年级上学期期末数学试题(解析版)
11.关于x 一元二次方程x2+bx﹣10＝0的一个根为2，则b的值为__．
【答案】3
【分析】把x＝2代入方程x2+bx﹣10＝0得关于b的方程，然后解方程即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣10＝0的一个根为2，
∴把x＝2代入方程x2+bx﹣10＝0得4+2b﹣10＝0，
【答案】A
【分析】在同一路灯下由于两人所在位置不同，因此影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
【详解】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
故选：A．
【点睛】本题综合考查了平行投影和中心投影的特点及规律，正确理解平行投影和中心投影的特点和规律是解题的关键．
8.关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）
【答案】6.5
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上AC的长即可求得树AB的高．
详解】∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴ ，
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，CD＝10m，
∴ ，
解得：BC＝5（m），
∵AC=1.5m，
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
5.如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为 ，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）
辽宁省沈阳市大东区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(含答案)
辽宁省沈阳市大东区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示的几何体是由一个正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列方程中，是一元二次方程的是( ) A ．32x y -=B ．230ax x -+=C ．2130x x -+= D ．250x x -=3．下列各种现象属于中心投影的是（ ） A ．晚上人走在路灯下的影子 B ．中午用来乘凉的树影 C ．上午人走在路上的影子D ．阳光下旗杆的影子4．下列四个点中，在反比例函数6y x=-的图象上的是【 】A ．（3，﹣2）B ．（3，2）C ．（2，3）D ．（﹣2，﹣3）5．关于x 的一元二次方程220x x m -+=的一个根为1-，则m 的值为（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．26．一个不透明的箱子里装有红色小球和白色小球共4个，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量的重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右，请估计箱子里红色小球的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，ABC 与DEF 位似，点O 是位似中心，若3OD OA =，4ABCS =，则DEF S =△（ ）A ．9B ．12C ．16D ．368．如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高5m PO =，树影3m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5m AP =，则树的高度AB 长是（ ）A ．2mB ．3mC ．3m 2D ．10m 39．某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ．则所列方程为( ) A ．30（1+x ）2＝50 B ．30（1﹣x ）2＝50 C ．30（1+x 2）＝50D ．30（1﹣x 2）＝5010．已知0ab <，一次函数y ax b =-与反比例函数ay x=在同一直角坐标系中的图象可能（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 11．已知3a b =，则a b b+=______．12．已知关于x 的一元二次方程20x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______．13．不透明袋子中装有2个黑球，3个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是_______．14．如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，BE ⊥EF ，AB =6，AE =9，DE =2，则EF 的长为_____．15．如图，在平面直角坐标系中，ABO 的顶点A 在反比例函数()0,0ky k x x=>>的图象上，点B 的坐标为()43，，AB 与y 轴平行，若AB BO =，则k =______．16．如图，在⊥ABC 中，⊥A =30°，⊥B =90°，D 为AB 中点，E 在线段AC 上，AD DEAB BC=，则AEAC=_____．三、解答题17．解方程：2320x x -+=．18．如图所示，在矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，点E 在线段CD 上，点F 在线段AB 的延长线上，连接EF 交线段BC 于点G ，连接BD ，若2DE BF ==．(1)求证：四边形BFED 是平行四边形； (2)直接写出线段BG 的长度为______．19．如图，D 为ABC 内的一点，E 为ABC 外的一点，且ABC DBE ∠=∠，BAD BCE ∠=∠．(1)求证：ABD CBE ∽；(2)若:5:2AB DB =，A 6C =，直接写出线段DE 的长度为______．20．为更好学习中国共产党第二十次全国代表大会精神，某中学举行党史知识竞赛，若在这次竞赛中有A ，B ，C ，D 四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求出恰好抽到A ，C 两人同时参赛的概率．21．临近元旦，某网红童装店销售童装，平均每天可售出20套，每套盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每套盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售每套童装单价每降低1元，平均每天可多售出2套．(1)若每套童装降价5元，则平均每天的销售数量为______套； (2)当每套商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？ 22．如图，正比例函数2y x =-与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，点A 的横坐标为2-．(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标； (2)根据图象直接写出不等式2kx x-≥的解集； (3)点P 是x 轴上一点，连接PA ，PB ，当PAB 是直角三角形且以AB 为直角边时，直接写出点P 的坐标．23．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，M 为BC 的中点，且3OA =，2OB =，动点P 从点D 出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC CB -向点B 运动，到达点B 停止运动．设运动时间为t 秒，APC 的面积为S ．(1)直接写出点C 的坐标(______，______)；(2)求S 关于t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；(3)在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使CMP 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图1，已知正方形CEFG 的边CG 在正方形ABCD 的边CD 上，连接,BG DE ．(1)求证：BCG DCE △△≌；(2)将正方形CEFG 绕点C 按逆时针方向旋转，使边FG 经过点D ，如图2，连接DE 和BG ，写出DE 和BG 的位置关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，连接BE ，若正方形ABCD 的边长为5，正方形CEFG 的边长为4，直接写出22+DG BE 的值．25．将一个矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()0,2A ，点()4,0C ，点P 在边OC 上(点P 不与点O ，C 重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与y 轴的正半轴相交于点H ，且30OPH ∠=︒，点O 的对应点O '落在第一象限．设OH t =．(1)如图1，当1t =时，直接写出O HA '∠=______度和点O '的坐标(______，______)； (2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O H '，O P '分别与边AB 相交于点E ，F ，求出O E '的长(用含有t 的式子表示)，并直接写出t 的取值范围；(3)t 的值可以是______(请直接写出两个不同的值即可)．参考答案：1．C【分析】根据从左边看得到的图形是左视图即可解答． 【详解】解：⊥从左边看得到的图形是左视图，⊥该几何体从左边看第一层是一个三角形，第二层是一个小正方形， 故选：C ．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，从左边看到的图形是左视图，注意圆锥的左视图是三角形． 2．D【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】A. 32x y -=，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；B. 230ax x -+=，当0a ≠时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；C.2130x x -+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； D. 250x x -=，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3．A【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．【详解】解：A 、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意； B 、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意； C 、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意； D 、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意； 故选：A ．【点睛】本题考查了中心投影，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 4．A【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将各点坐标代入验算，满足6y x=-的点即为所求【详解】点（3，﹣2）满足6y x=-，符合题意， 点（3，2）不满足6y x =-，不符合题意，点（2，3）不满足6y x =-，不符合题意，点（﹣2，﹣3）不满足6y x=-，不符合题意故选A ． 5．A【分析】将=1x -代入原方程即可求出结果．【详解】解：将=1x -代入原方程得120m ++=，解得3m =-． 故选：A ．【点睛】题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义． 6．C【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．【详解】解：估计箱子里红色小球的个数是40.753⨯=（个）， 故选：C ．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 7．D【分析】根据位似变换的性质得到//AC DF ，得到OAC ODF ∆∆∽，求出ACDF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：ABC ∆与DEF ∆位似，//AC DF ∴，OAC ODF ∴∆∆∽，∴13AC OA DF OD ==， ∴21()9ABC DEF S AC S DF ∆∆==， 4ABC S ∆=，36DEF S ∆∴=，【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 8．A【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可． 【详解】解：由题可知，CAB CPO ∽， ⊥AB ACOP CP=, ⊥353 4.5AB =+， ⊥()2AB m =， 故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等． 9．A【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到()230150x +=，从而可以判断哪个选项是符合题意的．【详解】解：由题意可得，230(1)50x +=，故选：A ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题． 10．A【分析】根据反比例函数图象确定b 的符号，结合已知条件求得a 的符号，由a,b 的符号确定一次函数图象所经过的象限．【详解】解：若反比例函数ax y ＝ 经过第一、三象限，则0a ＞ ．所以0b ＜ ．则一次函数y ax b ＝﹣ 的图象应该经过第一、二、三象限；若反比例函数axy ＝经过第二、四象限，则a<0．所以b>0．则一次函数y axb ＝﹣的图象应该经过第二、三、四象限． 故选项A 正确；【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 11．4【分析】利用比例的性质进行计算即可解答． 【详解】解：3ab=， 1314a b ab b+=+=+=， 故答案为：4．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 12．3m <##3m >【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：⊥关于x 的一元二次方程20x m -+=有两个不相等的实数根，⊥(240m ∆=-->，⊥3m <，故答案为：3m <．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根． 13．25##0.4【分析】根据概率的定义，抽到黑球的概率 =黑球个数总个数，代入数值计算即可.【详解】抽到黑球的概率：22235P ==+， 故答案为：25.【点睛】本题考查概率，注意利用概率的定义求解.14【分析】在矩形ABCD 中，BE⊥EF ，易证得⊥ABE⊥⊥DEF ，然后由相似三角形的对应边成比例，先求出DF 的长度，然后根据勾股定理求出EF 的长即可【详解】解：⊥四边形ABCD 是矩形，⊥⊥A=⊥D=90°，⊥⊥ABE+⊥AEB=90°，⊥BE⊥EF ，⊥⊥AEB+⊥DEF=90°，⊥⊥ABE=⊥DEF ，⊥⊥ABE⊥⊥DEF ， ⊥AB AE DE DF， ⊥AB =6，AE =9，DE =2⊥DF=3，⊥EF =，【点睛】此题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键. 15．32【分析】由点B 的坐标为()43，求出5BO =，又AB BO =，AB 与y 轴平行，可得()48A ，，用待定系数法即得答案．【详解】解：⊥点B 的坐标为()43，，()00O ，，⊥5BO ，又AB BO =，⊥5AB =，⊥AB 与y 轴平行，⊥()48A ，，把()48A ，代入k y x =，得：84k =， 解得32k =，故答案为：32． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握待定系数法，能根据已知求出点A 的坐标．16．12或14【分析】由题意可求出12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，满足112DE BC =，进而可求此时112AE AC =，然后在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝14AC ，即可得到214AE AC =，问题得解．【详解】解：⊥D 为AB 中点， ⊥12AD DE AB BC ==，即12DE BC =， 取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，此时DE 1⊥BC ，112DE BC =， ⊥112AE AD AC AB ==， 在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =， ⊥⊥A =30°，⊥B =90°，⊥⊥C =60°，BC ＝12AC ， ⊥DE 1⊥BC ，⊥⊥DE1E2=60°，⊥△DE1E2是等边三角形，⊥DE 1＝DE 2＝E1E2＝12BC ， ⊥E1E2＝14AC ， ⊥112AE AC =， ⊥214AE AC =，即214AE AC =， 综上，AE AC 的值为：12或14， 故答案为：12或14．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据12DE BC =进行分情况求解是解题的关键． 17．11x =，22x =【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．【详解】解：2320x x -+=(1)(2)0x x --=⊥10x -=或20x -=⊥11x =，22x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程． 18．(1)见解析 (2)85【分析】（1）由矩形的性质可得AB CD ∥，可得结论；（2）根据AB CD ∥，得出CEG BFG ∽，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：⊥四边形ABCD 是矩形，⊥AB CD ∥，⊥BF DE ∥，⊥DE BF =，⊥四边形BFED 是平行四边形；（2）解：⊥在矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，2DE BF ==．⊥AB CD ∥，5CD AB ==，⊥CEG BFG ∽， ⊥EC CG BF BG =， 即CD DE BC BG BF BG --=， ⊥524=2BG BG--， 解得：85BG =，故答案为：85． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．19．(1)见解析 (2)125【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断E ABD CB △△∽； （2）先利用E ABD CB △△∽得AB BD BC BE=，根据比例的性质得到AB BC BD BE = 得出ABC DBE ∽，进而即可求解．【详解】（1）解：⊥ABC DBE ∠=∠，⊥ABC DBC DBE DBC ∠-∠=∠-∠，⊥ABD CBE ∠=∠，又⊥BAD BCE ∠=∠，⊥E ABD CB △△∽；（2）⊥E ABD CB △△∽， ⊥AB BD BC BE =， ⊥AB BC BD BE=， 又ABC DBE ∠=∠，⊥ABC DBE ∽， ⊥AB AC DB DE=， ⊥:5:2AB DB =，A 6C =， ⊥212655DE =⨯=． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．20．16【分析】根据列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如下共有12种等可能结果，其中符合题意的有2种，则恰好抽到A ，C 两人同时参赛的概率为21126=． 【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．21．(1)30(2)10【分析】（1）根据单价每降低1元，平均每天可多售出2套，即可得出结论；（2）设每套降价x 元，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后根据每天的盈利等于每套的盈利乘以套数，在根据利润为1200即可得出结论；【详解】（1）⊥每降低1元，平均每天可多售出2套；⊥每套童装降价5元，则平均每天的销售数量为：20+2×5=30故答案为：30（2）设每套降价x 元，则(40)(202)1200x x -+=，解得110x =，220x =，⊥每套盈利不少于25元，所以，应降价10元；答：当每套商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后得到平均每天的盈利与降价之间的关系式是解题的关键．22．(1)8y x=-，()2,4B -(2)2x ≤-或02x <≤(3)()10,0P 或()10,0P -【分析】（1）根据正比例函数的表达式求出A 点的坐标，再将A 点坐标代入反比例函数表达式求出k 的值，即可得出反比例函数的表达式；根据A 与B 关于原点对称，B 点横坐标与纵坐标分别与A 点横坐标与纵坐标互为相反数；（2）根据图象分析，不等式2k x x-≥的解集即为一次函数图象位于反比例函数图象上方所对应的x 的取值范围；（3）设(),0P m ，根据勾股定理表示出22,PA PB ，2AB ，进而根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：⊥点A 的横坐标为2-，代入正比例函数2y x =-，得()224y =-⨯-=，⊥()2,4A -, ⊥42k =-，解得：8k =- ⊥反比例函数8y x=-， ⊥正比例函数2y x =-与反比例函数k y x =的图象交于A ，B 两点， ⊥A 与B 关于原点对称，则()2,4B -；（2）解：根据函数图象可知，不等式2k x x-≥的解集为：2x ≤-或02x <≤； （3）解：设(),0P m ，⊥()2,4A -,()2,4B -， ⊥()()222224480AB =+++=，()22224PA m =++，()22224PB m =-+，当PAB 是直角三角形且以AB 为直角边时，则 222PA AB PB =+或222PB PA AB =+即()()222224=8024m m +++-+或()()222224=8024m m -++++，解得：10m =或10m =-，⊥()10,0P 或()10,0P - ．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数与反比例函数的交点，利用坐标求坐标系中的线段的长度，以及运用数形结合的数学思想解决函数与不等式关系的相关问题，数形结合是解题的关键．23．(1)54，(2)()21005S t t =-+≤<或()210510S t t =-<≤(3)存在，点P 的坐标是5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,412⎛⎫ ⎪⎝⎭或()24，【分析】（1）根据3OA =，2OB =，得出菱形的边长，进而勾股定理求得OD ，即可求得C 的坐标；（2）当05t ≤<时，点P 在DC 上运动，PD t =，5PC t =-，当510t <≤时，点P 在CB 上运动，5PC t =-，如图所示，过点A 作AE CB ⊥交CB 的延长线于点E ，结合图形，分别根据三角形面积公式进行计算即可求解；（3）分,,PM PC MC MP CP CM ===三种情况讨论即可求解．【详解】（1）解：⊥菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，3OA =，2OB =， ⊥235DC AD AB ===+=，DC AB ∥，在Rt AOD 中，4OD =，⊥4OD =，⊥()5,4D ，故答案为：54，． （2）解：当05t ≤<时，点P 在DC 上运动，PD t =，5PC t =-，()115421022APC S S PC OD t t ==⨯⋅=-⨯=-+ 当510t <≤时，点P 在CB 上运动，5PC t =-，如图所示，过点A 作AE CB ⊥交CB 的延长线于点E ，⊥ABCD S AB OD BC AE =⨯=⨯菱形，⊥4AE =， ⊥()115421022APC S S PC AE t t ==⨯=-⨯=-， 综上所述，()21005S t t =-+≤<或()210510S t t =-<≤；（3）解：存在点P ，使CMP 是等腰三角形，理由如下：依题意，当点P 在DC 上运动时，CMP 可以是等腰三角形，⊥M 为BC 的中点， ⊥52CM = 当CP CM =时，55522DP DC PC =-=-=， ⊥5,42P ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 如图所示，过点M 作MN DC ⊥,⊥,90C DOA CNM AOD ∠=∠∠=∠=︒，⊥ADO CMN ∽ ⊥NM CN CM OD AO AD==， 即52435MN CN == ⊥32,2MN CN ==,当PC PM =时，设PC PM a ==，则5PD a =-，则()335522PN a a =---=- 在Rt PMN △中，222PM PN MN =+ ⊥222322a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 解得：2512a =. ⊥253551212PD =-=, 即35,412P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当MP MC =时，则32PN NC ==, ⊥2DP =，即()2,4P , 综上所述，P 的坐标为：5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,412⎛⎫ ⎪⎝⎭或()24，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．24．(1)见解析(2)DE BG ⊥，理由见解析(3)82【分析】（1）根据正方形的性质可得,BC CD CG CE ==，90BCD GCE ∠=∠=︒，即可； （2）先证明BCG DCE △△≌，可得BGC DEC ∠=∠，从而得到180DEC CGM ∠+∠=︒，再由四边形内角和定理，即可；（3）过点E 作EH BC ⊥交BC 的延长线于点H ，根据勾股定理求出DG 的长，再由DCG ECH ∽，可得1216,55EH CH ==，从而得到415BH BC CH =+=，再由勾股定理求出2BE ，即可求解． 【详解】（1）证明：⊥四边形CEFG 和四边形ABCD 都是正方形，⊥,BC CD CG CE ==，90BCD GCE ∠=∠=︒，⊥()SAS BCG DCE ≌；（2）解：DE BG ⊥，理由如下：如图，延长,BG DE 交于点M ，⊥四边形CEFG 和四边形ABCD 都是正方形，⊥,BC CD CG CE ==，90BCD GCE ∠=∠=︒，⊥BCG DCE ∠=∠，⊥()SAS BCG DCE ≌，⊥BGC DEC ∠=∠，⊥180BGC CGM ∠+∠=︒，⊥180DEC CGM ∠+∠=︒，⊥360DEC CGM M ECG ∠+∠+∠+∠=︒，⊥180M ECG ∠+∠=︒，⊥90M ∠=︒，即DE BG ⊥；（3）解：如图，过点E 作EH BC ⊥交BC 的延长线于点H ，⊥正方形ABCD 的边长为5，正方形CEFG 的边长为4， ⊥5,4BC CD CG CE ====，在Rt CDG △中，3DG =， ⊥90BCD DCH GCE ∠=∠=∠=︒，⊥ECH DCG ∠=∠，⊥DCG ECH ∽，⊥EH CE CH DG CD CG==，即4354EH CH ==， 解得：1216,55EH CH ==， ⊥1641555BH BC CH =+=+=， ⊥2222241127355BE BH EH ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ⊥2297382DG BE +=+=．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．25．(1)6032， (2)43423EO t t ⎛⎫'=-<< ⎪⎝⎭ (3)22.1，．【分析】（1）如图所示，过点O '作O Q AO '⊥于点Q ，根据折叠的性质得出60O HP '∠=︒，1HO HO '==，即可得出O HA '∠，在Rt OHO '中，30OO H '∠=︒，进而求得,O Q HQ '，即可求得O '的坐标；（2）根据题意得出2AH t =-，根据含30度角的直角三角形的性质得出242HE AH t ==-，根据EO O H EH ''=-即可求解；（3）如图所示，当423t <<时，由（2）可知，重叠面积为四边形HEFP ，根据题意得出方程，得出114t =或114t =+，不合题意，当2t ≤≤【详解】（1）解：如图所示，过点O '作O Q AO '⊥于点Q ，⊥矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()0,2A ，点()4,0C ， ⊥90HOP ∠=︒，⊥OH t =，当1t =时，1HO =，⊥30OPH ∠=︒，⊥60OHP ∠=︒⊥折叠，⊥60O HP '∠=︒，1HO HO '==⊥180606060O HA '∠=︒-︒-︒=︒，在Rt OHO '中，30OO H '∠=︒，⊥sin OO OHO O H '''=∠⨯=1122QH HO '==， ⊥13122OQ QH OH =+=+=， ⊥O '32⎫⎪⎪⎝⎭，， 故答案为：6032，． （2）⊥点()0,2A ，⊥2OA =,⊥OH t =，⊥2AH t =-，⊥60O HA '∠=︒，⊥30HEA ∠=︒，⊥242HE AH t ==-，⊥()4234EO O H EH t t t ''=-=--=-⊥折叠后重合部分为四边形，当O '在AB 上时，42HO HE t HO t '==-==，解得：43t =， 当H 与A 重合时，2t =，⊥12t <<， ⊥43423EO t t ⎛⎫'=-<< ⎪⎝⎭；（3）解：如图所示，当423t <<时，由（2）可知，重叠面积为四边形HEFP ，⊥90O HOP EAH '∠=∠=∠=︒，AEH O EF '∠=，⊥AEH O EF '∽ ⊥HE AH AE EF O F EO ==''， ⊥242HE AH t ==-，2AH t =-，34EO t '=-⊥)2AE t =-，⊥)344234t t EO HE EF t AE -⨯-'⨯===- ⊥=AHE HOP AFPO S S SS --阴影部分梯形))())111234222222t t t t t ⎤=--⨯----⎥⎦)))222342t t t ---⊥)))222342t t t =-+--解得：114t =或114t = ⊥423t <<⊥114t =或114t =不合题意， 当2t ≥时，如图所示，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，⊥30OPH ∠=︒，AB OC ∥，⊥30FEP HPO ∠=∠=︒,又⊥折叠，⊥30FPE HPO ∠=∠=︒，则30FPQ ∠=︒ ⊥cos30PQ EF PF ===︒⊥11=222S EF PQ ⨯==重合部分⊥2t ≥ 当点P 与点C 重合时，tan 30HO OC =⨯︒=⊥当2t ≤≤ ⊥t 可以是22.1，；故答案为：22.1，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，矩形的性质，坐标与图形，熟练掌握矩形的性质，解直角三角形是解题的关键．。
辽宁省沈阳市铁西区雨田中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
辽宁省沈阳市铁西区雨田中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题一、单选题1．如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（）A．B．C．D．2．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定3．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值是（）A．45B．35C．54D．434．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y=3（x+2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x﹣2）2﹣1D．y=3（x+2）2+15．如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，35BEAE，CD=16，则DE的长为（）A ．3B ．6C ．485D ．10 6．若反比例函数k y x=的图像经过点(1,3)-，则反比例函数的图像在（ ） A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限7．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．两组对边分别平行且相等B ．两组对角分别相等C ．相邻两角互补D ．对角线相等 8．一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n 为（ ）A ．20B ．24C ．28D ．309．如图，△AOB 缩小后得到△COD ，△AOB 与△COD 的相似比是3，若C （1，2），则点A 的坐标为（ ）A ．（2，4）B ．（2，6）C ．（3，6）D ．（3，4）10．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，根据图形判断①0a >；②0b <；③0c <；④24b ac =中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．二次函数2(2)3y x =-+图象的顶点坐标是．12．如图，点M 是反比例函数()0a y a x=≠的图象上一点，过M 点作x 轴、y 轴的平行线，若5S =阴影，则a =．13．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x +m 2﹣2m =0有一个根为0，则m =．14．如图，在ABCD Y 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，:4:25DEF ABF S S =V V ，则:DE EC =．15．如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB=．16．如图，在矩形ABCD 中，6AD =，点P 是直线AD 上一动点，若满足PBC V 是等腰三角形的点P 有且只有3个，则AB 的长为．三、解答题1724sin30cos 30tan45+-+o o o o18．解方程：20+． 19．随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样.某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同种沟通方式的概率．20．如图，△ABC ≌△ABD ，点E 在边AB 上，CE ∥BD ，连接DE ．求证：（1）∠CEB =∠CBE ；（2）四边形BCED 是菱形．21．数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD 的高度，如图，DC AM ⊥于点E ，在A 处测得大树底端C 的仰角为15︒，沿水平地面前进30米到达B 处，测得大树顶端D 的仰角为53︒，测得山坡坡角30CBM ∠=︒（图中各点均在同一平面内）．(1)求斜坡BC 的长；(2)求这棵大树CD 的高度（结果取整数）．（参考数据：sin53︒≈45，cos53︒≈35，tan53︒≈43）22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝k x的图象交于A(﹣1，n)，B两点．（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y2≤2的取值范围；（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若V POB的面积为1，请直接写出点P 的横坐标．23．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？24．已知正方形ABCD边长为9，E，F分别在BC，CD上，过点F作FM CB∥交AE于M．(1)如图1，当45EAF ∠=︒时，直接写出线段EF ，BE 和DF 之间的数量关系：；求证：FM BE DF +=．(2)如图2，当1tan 3EAF ∠=时， ①求证：3FM BE DF +=； ②若133FM =，求AE 的值． 25．已知，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，抛物线过()2,3D --，()3,2E ，点P 为第一象限内抛物线上一动点：(1)求抛物线的函数表达式和直线DE 的函数表达式；(2)在y 轴上取F 0,1 ，连接PF ，PB ，当OBPF S 四边形面积最大时，求点P 横坐标；(3)当7OBPF S =四边形时，点P 在抛物线对称轴右侧时，直线DE 上存在两点MN （M 在N 上方），MN =Q 从P 出发，沿P M N A →→→运动到终点A ，当Q 运动路程最短时，直接写出点N 坐标．。
辽宁省沈阳市大东区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
辽宁省沈阳市大东区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．若a ＞b ，则下列各式中一定成立的是( ) A ．a ＋2＜b ＋2B ．a －2＜b －2C ．2a ＞2bD ．－2a ＞－2b3．若2,3mn m n =--=，则22m n mn -代数式的值是( ) A ．6-B ．5-C ．1D ．64．在四边形ABCD 中，AB=CD ，要判定此四边形是平行四边形，还需要满足的条件是 ( ) A ．∠A+∠C=180° B ．∠B+∠D=180° C ．∠A+∠B=180°D ．∠A+∠D=180°5．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 边上的中点，若OE=2，AD=5，则□ABCD 的周长为( )A ．9B ．16C ．18D ．206．下列命题的逆命题是真命题的是( ) A ．等边三角形是等腰三角形 B ．若22ac bc >，则a b > C ．成中心对称的两个图形全等 D ．有两边相等的三角形是等腰三角形7．如图，直线2y x =-+与y ax b =+（0a ≠且a ，b 为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x 的不等式2x ax b -+≥+的解集为（ ）A ．x≥﹣1B ．x≥3C ．x≤﹣1D ．x≤38．如图，ABC ∆是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为( )A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°9．关于x 的分式方程 2x m x +-＋32mx-＝4的解为正实数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣4 B ．m ＜4 C ．m ＜4且m ≠1D ．m ＜4且m ≠210．2020年5月以来，各地根据疫情防控工作需要，对重点人群进行核酸检测．为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%．若设甲队每小时检测x 人，根据题意，可列方程为（ ） A ．600500(110%)15x x =⨯-- B ．600500(110%)15x x ⨯-=- C ．600500(110%)15x x=⨯-- D ．600500(110%)15x x⨯-=- 11．如图是某个几何体的三视图，该几何体是( )A ．三棱柱B ．三棱锥C ．圆锥D ．圆柱12．关于x 的一元二次方程2420x x ++=的根的情况是( ) A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．有两个相等的实数根13．小明抛一枚硬币100次，其中有60次正面朝上，则反面朝上的频率是（ ） A ．0.6B ．6C ．0.4D ．414．某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．()236148x -= B ．()236148x += C ．()23614836x -=-D ．248(1)36x -=15．如图，1l ∠2l ∠3l ，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知32AB BC =，则DEDF 的值为（ ）A ．32B ．23C ．25D ．3516．用配方法解一元二次方程29190x x -+=，配方后的方程为（ ） A ．29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．29524x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()2962x -=D ．()2962x +=17．书架上放着两本散文和一本数学书，小明从中随机抽取一本，抽到数学书的概率是（ ） A ．1B ．12C ．23D ．1318．如果反比例函数的图象经过点P （﹣3，﹣1），那么这个反比例函数的表达式为（ ） A ．y ＝3xB ．y ＝﹣3xC ．y ＝13xD ．y ＝﹣13x19．如图，下列选项中不能判定∠ACD ∠∠ABC 的是（ ）A ．∠ACD ＝∠B B ．∠ADC ＝∠ACB C ．AC 2＝AD •AB D ．BC 2＝BD •AB20．如图，在∠ABC 中，∠ABC ＝90°，AC ＝18，BC ＝14，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，BE ，点M 在CB 的延长线上，连接DM ，若∠MDB ＝∠A ，则四边形DMBE 的周长为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．40二、填空题 21．已知点()2,3A x -与()4,5B x y +-关于原点对称，则xy 的值是________________．22．已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．23．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，15B ∠=︒，3AC =，AB 的垂直平分线l 交BC 于点D，连接AD，则BC的长为__________．24．当x_________时，分式12x-有意义；当x=_________时，分式211xx--值为0．25．如图，在ABC∆中，AD是角平分线，DE AB⊥于点E，ABC∆的面积为15，6AB=，3DE=，则AC的长是__________．26．一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，则这个正多边形的边数为__________．27．已知13xy=，则x yy+的值为_____．28．若反比例函数y＝5kx-的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是_____．29．两个相似三角形对应边上的高的比是2：3，那么这两个三角形面积的比是_____．30．关于x的一元二次方程22(1)620k x x k k-+++-=有一个根是0，则k的值是________31．线段AB、CD在平面直角坐标系中的网格位置，如图所示，O为坐标原点，A、B、C、D均在格点上，线段AB、CD是位似图形，位似中心的坐标是__________．32．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AE＝13AD，将∠ABE沿BE折叠后得到∠GBE，延长BG 交CD 于F 点，若F 为CD 中点，则BC 的长为 _____．三、解答题 33．已知三角形ABC ，用尺规求作一点P 使PB =PC ，且点P 到AB ，BC 的距离相等(不写作法，保留痕迹)34．解不等式组：533183x x x x -≤+⎧⎪+⎨>-⎪⎩35．如图，DE 是ABC ∆的中位线，延长DE 到F ，使EF DE =，连接BF ． 求证：BF DC =．36．如图所示，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD AC =，DE AB ⊥交BC 于点E ，若28B ∠=︒，求AEC ∠大小．37．解方程2533322x x x x --+=--． 38．先化简，再求值：22214244a a a a a aaa +--⎛⎫+÷⎪--+⎝⎭，其中2a = 39．先阅读下列材料，再解答下列问题分解因式：()22()1a b a b +-++将：将a b +看成整体，设M a b =+，则原式2221(1)M M M =-+=- 再将M 换原，得原式()21a b =+-上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解： （1）()2232(23)a b a b +-+（2）()2232(3)1n n n n ++++40．某单位计划从商店购买同一种品牌的钢笔和笔记本，已知购买一支钢笔比购买一个笔记本多用20元，若用1500元购买钢笔和用600元购买笔记本，则购买钢笔的数量是购买笔记本数量的一半．（1）求购买一支钢笔、一个笔记本各需要多少元？（2）经商谈，商店给予优惠，优惠方式是每购买一支钢笔赠送一个笔记本；如果此单位需要笔记本的数量是钢笔数量的3倍还少6个，且购买钢笔和笔记本的总费用不超过1020元，那么最多可购买多少支钢笔？41．如图，在∠ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．（1）求证：AB=CF ；（2）连接DE ，若AD=2AB ，求证：DE∠AF ． 42．解方程： x 2﹣2x ﹣3＝0．43．如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长DA ，BC ，使得AE ＝CF ，连接BE ，DF ．（1）求证：∠ABE ∠∠CDF ；（2）连接BD ，若∠1＝32°，∠ADB ＝22°，请直接写出当∠ABE ＝ °时，四边形BFDE 是菱形．44．有四张大小、质地都相同的不透明卡片，上面分别标有数字1，2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，洗匀后从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后再从中任意抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率．45．如图，在∠ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ． （1）求证：AF ：FD ＝AD ：DB ；（2）若AB ＝30，AD ：BD ＝2：1，请直接写出DF 的长．46．列方程解下列应用题：沈阳的冬天比较冷，某店销售的充电暖宝热销，每个暖宝售价为80元，每星期可卖出300个，为了促销，该店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30个．已知该款暖宝每个成本为60元，在顾客得到实惠的前提下，该店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为多少元？ 47．一次函数y ＝k 1x +b 和反比例函数y ＝2k x的图象的相交于A （2，3），B （﹣3，m ），与x 轴交于点C ，连接OA ，OB ．（1）请直接写出m 的值为 ，反比例函数y ＝2k x的表达式为 ； （2）观察图象，请直接写出k 1x +b ﹣2k x＞0的解集； （3）求∠AOB 的面积．48．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边的延长线上一点，连接DE ，且∠EDC ＝30°，以DE 为斜边作等腰Rt∠DEF ，直角边EF 的延长线交BD 于点M ，连接AF ． （1）请直接写出∠ADF ＝ 度； （2）求证：∠DAF ∠∠DBE ；（3）请直接写出EMBE的值．49．如图，正方形ABCD的边长是6，E，F分别是直线BC，直线CD上的动点，当点E在直线BC上运动时，始终保持AE∠EF．（1）求证：Rt∠ABE∠Rt∠ECF；（2）当点E在边BC上，四边形ABCF的面积等于20时，求BE的长；（3）当点E在直线BC上时，∠AEF和∠CEF能相似吗？若不能，说明理由，若能请直接写出此时BE的长．50．如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝6，AB＝8，如图2，矩形ABCD沿OB所在射线方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从点A出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．（1）当t＝5时，请直接写出点D，P的坐标；（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出∠PBD的面积S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围；（3）当点P在线段AB或线段BC上运动时，过点P作PE∠x轴，垂足为E，当∠PEO 与∠BCD相似时，请直接写出相应的t值．参考答案：1．D【解析】【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念逐项判断即可．【详解】A 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；B 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；C 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；D 、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，掌握它们的概念是关键．2．C【解析】【详解】已知a >b ，A. a +2>b +2，故A 选项错误；B. a −2>b −2，故B 选项错误；C. 2a ＞2b ，故C 选项正确； D. −2a <−2b ，故D 选项错误．故选C.3．A【解析】【分析】将代数式进行适当的变形，然后将已知条件代入其中计算即可；【详解】由题可得()22m n nm mn m n -=-，∠2,3mn m n =--=，∠原式=()-23=-6⨯．故答案先A ．【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确根据条件化简计算是关键．4．D【解析】【分析】根据平行四边形的判定选择合适的条件即可；【详解】因为四边形ABCD 中，AB=CD ，可知是一组对边相等，当∠A+∠D=180°时，AB CD ∥，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结果；故答案为D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，准确理解是解题的关键．5．C【解析】【分析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA=OC ；又因为点E 是BC 的中点，所以OE 是△ABC 的中位线，由OE=2，即可求得AB=4，继而可得出▱ABCD 的周长【详解】解：∠四边形ABCD 是平行四边形，∠OA=OC ；又∠点E 是BC 的中点，∠BE=CE ，∠AB=2OE=2×2=4故▱ABCD 的周长=2（AB+AD ）=18故选C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．6．D【解析】【分析】先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据等腰三角形的性质、不等式的性质、中心对称的性质等进行判断．【详解】A 、逆命题为：等腰三角形是等边三角形，是假命题，故本选项错误；B 、逆命题是：如果a ＞b ，则ac 2＞bc 2，是假命题，故本选项错误；C 、逆命题为：全等的两个图形成中心对称，是假命题，故本选项错误；D 、逆命题为：等腰三角形是有两边相等的三角形，故本选项正确；故选：D【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，并熟悉课本中的性质定理．7．D【解析】【详解】试题分析：从图象得到，当x≤3时，2y x =-+的图象对应的点在函数y ax b =+的图象上面，∠不等式2x ax b -+≥+的解集为x≤3．故选D ．考点：一次函数与一元一次不等式．8．A【解析】【分析】利用等边三角形三边相等，结合已知BC=BD ，易证ABD ∆、CBD ∆都是等腰三角形，利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得BCD ∠的度数.【详解】ABC ∆是等边三角形，BC AC AB ∴==， 又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒00000018018020206080CBD BAD BDA ABC∴∠=-∠-∠-∠=---=,BC BD =,11(180)(18080)5022BCE CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒, 故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键.9．C【解析】【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．【详解】 解：2x m x +-＋32m x-＝4 方程两边同乘（x−2）得，x ＋m−3m ＝4x−8，解得，x ＝8-23m 由题意得，8-23m >0且8-23m ≠2 解得，m ＜4，且m≠1实数m 的取值范围是：m ＜4且m≠1．故选：C ．【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．【解析】【分析】由题可知：甲队检测600人需要的时间为600x ，乙队检测500人所用的时间50015x - ，再根据甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%建立等量关系即可．【详解】解：由题可知：甲队检测600人需要的时间为600x ，乙队检测500人所用的时间50015x -，根据甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%建立方程：600500(110%)15x x =⨯-- 故答案选：A【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题关键．11．A【解析】【详解】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选A ．12．C【解析】【分析】根据判别式公式，求这个一元二次方程的判别式，根据正负情况即可得到答案．【详解】根据题意得：∠＝42−4×1×2＝16−8＝8>0，∠该方程有两个不相等的实数根，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．13．C【分析】先求出反面朝上的频数，然后根据频率=频数÷总数求解即可【详解】解：∠小明抛一枚硬币100次，其中有60次正面朝上，∠小明抛一枚硬币100次，其中有40次反面朝上，∠反面朝上的频率=40÷100=0.4，故选C ．【点睛】本题主要考查了根据频数求频率，解题的关键在于能够熟练掌握频率=频数÷总数． 14．B【解析】【分析】由该超市一月份及三月份的营业额，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】依题意得：()236148x +=．故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．D【解析】【详解】试题分析：∠1l ∠2l ∠3l ，32AB BC =，∠DE DF =AB AC =332+=35，故选D ． 考点：平行线分线段成比例．16．A【解析】【分析】两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得到答案.∠29190x x -+=，∠2919x x -=-， 则2818191944x x -+=-+， 即29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】此题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的计算方法是解题的关键.17．D【解析】【分析】根据概率公式求解即可．【详解】∠书架上放着两本散文和一本数学书，小明从中随机抽取一本， ∠1()=3P 抽到数学书． 故选：D ．【点睛】本题考查随机事件的概率，某事件发生的概率等于某事件发生的结果数与总结果数之比，掌握概率公式的运用是解题的关键．18．A【解析】【分析】根据点P 的坐标，利用待定系数法即可得．【详解】 解：设这个反比例函数的表达式为(0)k y k x=≠， 由题意，将点(3,1)P --代入得：3(1)3k =-⨯-=， 则这个反比例函数的表达式为3y x=，【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．19．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A.∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；B.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；C.∵AC2＝AD•AB，∴AC AB AD AC=，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；D.∵BC2＝BD•AB，∴BC AB BD BC=，添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意．故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理的内容是解此题的关键．20．C【解析】【分析】由中点的定义可得AE=CE，AD=BD，根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE=12BC，根据平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可证明∠MBD∠∠EDA，可得MD=AE，DE=MB，即可证明四边形DMBE是平行四边形，可得MD=BE，进而可得四边形DMBE 的周长为2DE +2MD =BC +AC ，即可得答案．【详解】∠D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠AE =CE ，AD =BD ，DE 为∠ABC 的中位线，∠DE //BC ，DE =12BC ，∠∠ABC ＝90°，∠∠ADE =∠ABC =90°，在∠MBD 和∠EDA 中，90MDB A BD AD MBD ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∠∠MBD ∠∠EDA ，∠MD =AE ，DE =MB ，∠DE //MB ，∠四边形DMBE 是平行四边形，∠MD =BE ，∠AC ＝18，BC ＝14，∠四边形DMBE 的周长=2DE +2MD =BC +AC =18+14=32．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．21．-2【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质求出x ，y 的值，进而求出答案．【详解】∠点A （2x -，3）与点B （4x +，5y -）关于原点对称，∠240x x -++=，350y +-=，∠1x =-，2y =，∠122xy =-⨯=-．【点睛】本题考查了关于原点对称点的性质，根据与原点对称的点的坐标特点（纵坐标，横坐标都互为相反数）得出x ，y 的值是解题关键．22．5.【解析】【详解】设这个多边形是n 边形，由题意得，(n-2) ×180°=540°,解之得，n =5.23．6+6【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质定理得AD =BD ，从而有∠DAB =∠B =15゜，由三角形外角性质可得∠ADC =30゜，由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求得AD 与CD 的长，最后可求得BC 的长．【详解】∠直线l 是线段AB 的垂直平分线∠AD =BD∠∠DAB =∠B =15゜∠∠ADC =∠DAB +∠B =30゜∠90C ∠=︒，3AC =∠AD =2AC =6∠BD =AD =6由勾股定理得：CD =∠6BC BD CD =+=+故答案为：6+【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练运用这些知识是关键．24． ≠2 −1【解析】【分析】根据分式的定义，分母不为零则分式有意义，分式的分子为零而分母不为零，则分式的值为零．【详解】当20x -≠时，即2x ≠时，分式12x -有意义； 由题意，210x -=，即1x =±但当x =1时，分母x -1=1-1=0∠1x =-；故答案为：2≠；−1【点睛】本题考查了分式的意义及分式值为零的条件，特别要注意的是：分式的分母不能为零． 25．4【解析】【分析】过点D 作DF ∠AC 于点F ，则由角平分线的性质定理可得DF =DE =3，再由ABC ABD ACD S S S =+即可求得AC 的长．【详解】如图，过点D 作DF ∠AC 于点F∠DE ∠AB ，DF ∠AC ，AD 平分∠BAC∠DF =DE =3∠ABC ABD ACD SS S =+=15，AB =6 ∠111522AB DE AC DF ⨯+⨯= 即116331522AC ⨯⨯+⨯⨯= 解得：AC =4故答案为：4【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，面积的计算，关键是作垂线便于角平分线性质定理的运用．26．9【解析】【分析】设正多边形的外角为x 度，则可用代数式表示出内角，再由内角与外角互补的关系得到方程，解方程即可求得每一个外角，再根据多边形的外角和为360度即可求得正多边形的边数．【详解】设正多边形的外角为x 度，则内角为(5x −60)度由题意得：560180x x +-=解得：40x =则正多边形的边数为：360÷40=9即这个正多边形的边数为9故答案为：9【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，关键是运用方程求得正多边形的外角．27．43##113【解析】【分析】先用含x 的代数式表示y ，然后代入比例式进行计算即可得解．【详解】解：∠13 xy=∠y=3x，∠x yy+=344333x x xx x+==．故答案为：43．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是用含x的代数式表示y．28．k＞5【解析】【分析】根据反比例函数的图象和性质，当5−k＜0时，图象分别位于第二、四象限，即可解得答案．【详解】解：∠反比例函数y＝5kx-的图象分布在第二、四象限，∠5−k＜0，解得k＞5，故答案为：k＞5．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象与比例系数之间的关系是解题的关键．29．49：##4 9【解析】【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【详解】解：∠相似三角形对应高的比等于相似比，∠两三角形的相似比为2：3，∠两三角形的面积比为4：9．故答案为：4：9或49． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．30．-2【解析】【分析】把0x =代入方程计算，检验即可求出k 的值．【详解】把0x =代入方程得：220k k +-=，()()120k k -+=，可得10k -=或20k +=，解得：1k =或2k =-，当1k =时，10k -=，此时方程不是一元二次方程，舍去；则k 的值为2-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．31．(0，0)或(143，4) 【解析】【分析】分∠点A 和点C 为对应点，点B 和点D 为对应点；∠点A 和点D 为对应点，点B 和点C 为对应点两种情况，根据位似中心的概念解答．【详解】解：∠当点A 和点C 为对应点，点B 和点D 为对应点时，延长CA 、BD 交于点O ，则位似中心的坐标是（0，0），∠当点A和点D为对应点，点B和点C为对应点时，连接AD、BC交于点P，则点P为位似中心，∠线段AB、CD是位似图形，∠AB∠CD，∠∠PAB∠∠PDC，∠12AP ABPD CD==，即152APAP=-，∠AP53 =，∠位似中心点P的坐标是(533+，4)，即(143，4)，综上所述，位似中心点的坐标是(0，0)或(143，4)，故答案为：(0，0)或(143，4)．【点睛】本题考查了位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键．32．【解析】【分析】延长BF交AD的延长线于点H，证明△BCF∠∠HDF（AAS），由全等三角形的性质得出BC=DH，由折叠的性质得出∠A=∠BGE=90°，AE=EG，设AE=EG=x，则AD=BC=DH=3x，得出EH=5x，由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出答案．【详解】解：延长BF 交AD 的延长线于点H ，∠四边形ABCD 是矩形，∠AD =BC ，AD ∠BC ，∠A =∠BCF =90°，∠∠H =∠CBF ，在△BCF 和△HDF 中，CBF H BCF DFH CF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BCF ∠∠HDF （AAS ），∠BC =DH ，∠将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，∠∠A =∠BGE =90°，AE =EG ，∠∠EGH =90°，∠AE =13AD ， ∠设AE =EG =x ，则AD =BC =DH =3x ，∠ED =2x ，∠EH =ED +DH =5x ，在Rt △EGH 中，sin∠H =155EG x EH x ==， ∠sin∠CBF =15CF BF =， ∠AB =CD =4，F 为CD 中点，∠CF =2， ∠215BF =， ∠BF =10，经检验，符合题意，∠BC故答案为：．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．33．作图见解析．【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质即可用尺规作图求作点P ．【详解】如图，点P 即为所求．【点睛】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质．34．22x -<≤．【解析】【分析】先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【详解】解不等式5331x x -≤+得：2x ≤， 解不等式83x x +>-得：2x >-， 所以原不等式组的解集是22x -<≤．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键． 35．见解析【分析】由已知条件可得DF =AB 及DF ∠AB ，从而可得四边形ABFD 为平行四边形，则问题解决．【详解】∠DE 是ABC ∆的中位线∠DE ∠AB ，12DE AB =，AD =DC ∠DF ∠AB∠EF =DE∠DF =AB∠四边形ABFD 为平行四边形∠AD =BF∠BF =DC【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质定理，掌握它们是解答本题的关键．当然本题也可以用三角形全等的知识来解决．36．59゜【解析】【分析】由已知条件及角平分线的判定定理可得EA 平分∠CED ，再由三角形外角定理得∠CED 的度数，从而可求得∠AEC 的大小．【详解】∠90C ∠=︒∠AC ∠CB∠DE AB ⊥，AD AC =∠EA 平分∠CED 即12AEC CED ∠=∠ ∠DE ∠AB∠∠EDB =90゜∠∠CED =∠EDB +∠B =90゜+28゜=118゜∠∠AEC =59゜【点睛】本题考查了角平分线的判定定理及三角形外角的性质，关键是角平分线性质定理的运用；当然本题也可以证明∠AEC ∠∠AED 来计算．37．x =4【解析】【分析】根据解分式方程的步骤：去分母，求出整式方程的解，检验，得出结论．【详解】 解：2533322x x x x --+=--， 去分母：2x －5+3(x －2)＝3x －3，去括号：2x －5+3x －6＝3x －3，移项，合并：2x ＝8，系数化为1：x ＝4，经检验，x ＝4是原分式方程的解．【点睛】本题考查解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键，注意一定要进行检验． 38．21(2)a -，12 【解析】【分析】利用分式的混合运算法则，先将括号内的分母分解因式、通分加法运算，再进行除法运算化简原式，再代入a 值计算即可．【详解】解：原式=2214(2)(2)a a a a a a a -⎛⎫+--+÷ ⎪-⎝⎭=2(2)(2)(1)(2)4a a a a a a a a +-+-⋅-- =24(2)4a a a a a -⋅-- =21(2)a -将2a =代入，则原式12==． 【点睛】本题考查分式的化简求值、因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握分式的混合运算法则是解答的关键．39．（1）5()()a b a b +-；（2）()2231n n ++． 【解析】【分析】（1）将“32a b +”和“23a b +”看成整体，令32a b A +=，23a b B +=，则原式22A B =-，利用平方差公式分解后，再将“A”、“B”还原，化简即可；（2）将“23n n +” 看成整体，令23n n M +=，利用完全平方公式分解后，再将“M”还原，即可．【详解】（1）令32a b A +=，23a b B +=，原式22A B =-()()A B A B =+-，将“A”、“B”还原，得：原式()()32233223a b a b a b a b =++++--(55)()a b a b =+-5()()a b a b =+-；（2）令23n n M +=，则原式=2(2)1(1)M M M ++=+，将“M”还原，得：原式=()2231n n ++． 【点睛】本题考查了因式分解－公式法，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握换元和整体思想解决问题的方法．40．（1）25，5；（2）30．【解析】【分析】（1）设购买一个笔记本需要x元，则购买一支钢笔需要（x+20）元，根据数量=总价÷单价结合用1500元购买钢笔的数量是用600元购买笔记本数量的一半，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m支钢笔，则购买（3m-6）个笔记本，根据总价=单价×数量结合总费用不超过1020元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】解：（1）设购买一个笔记本需要x元，则购买一支钢笔需要（x+20）元，依题意，得：2×150060020x x=+，解得：x＝5，经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意，∠x+20＝25．答：购买一支钢笔需要25元，购买一个笔记本需要5元．（2）设购买m支钢笔，则购买（3m﹣6）个笔记本，依题意，得：25m+5（3m﹣6﹣m）≤1020，解得：m≤30．答：最多可购买30支钢笔．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．41．详见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明AB=CF可通过∠AEB∠∠FEC证得，利用平行四边形ABCD的性质不难证明；（2）由平行四边形ABCD的性质可得AB=CD，由∠AEB∠∠FEC可得AB=CF，所以DF=2CF=2AB，所以AD=DF，由等腰三角形三线合一的性质可证得ED∠AF .试题解析：（1）∠四边形ABCD是平行四边形，∠AB∠DF，∠∠BAE =∠F ，∠E 是BC 的中点，∠BE =CE ，在∠AEB 和∠FEC 中，BAE F AEB FEC BE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AEB ∠∠FEC （AAS ），∠AB =CF ；（2）∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AB =CD ，∠AB =CF ，DF =DC +CF ，∠DF =2CF ，∠DF =2AB ，∠AD =2AB ，∠AD =DF ，∠∠AEB ∠∠FEC ，∠AE =EF ，∠ED ∠AF .点睛：掌握全等三角形的性质及判定、平行四边形的性质、等腰三角形三线合一的性质. 42．x 1＝﹣1，x 2＝3【解析】【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x 2﹣2x ﹣3＝0，（x +1）（x ﹣3）＝0，x +1=0或x ﹣3＝0，x 1＝﹣1，x 2＝3．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．43．（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证△ABE ∠∠CDF ；（2）通过证明BE =DE ，可得结论．【详解】证明：（1）∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AB =CD ，∠BAD =∠BCD ，∠∠1=∠DCF ，在△ABE 和△CDF 中，1AE CF DCF AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABE ∠∠CDF （SAS ）；（2）当∠ABE =10°时，四边形BFDE 是菱形，理由如下：∠∠ABE ∠∠CDF ，∠BE =DF ，AE =CF ，∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AD =BC ，∠AD +AE =BC +CF ，∠BF =DE ，∠四边形BFDE 是平行四边形，∠∠1=32°，∠ADB =22°，∠∠ABD =∠1-∠ADB =10°，∠∠ABE =12°，∠∠DBE =22°，∠∠DBE =∠ADB =22°，∠BE =DE ，∠平行四边形BFDE 是菱形，。
辽宁省沈阳市皇姑区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)
．．．．A ．2B ．45．若x ＝﹣1是方程x 2+x +m ＝A ．﹣1B ．06．如图，反比例函数的图象经过A ．120mm B ．30mmC ．75k y x=A ．C ．9．如图，正方形ABCD 的对角线作ON ⊥OM ，交CD 于点N A ．C ．2150216x ⨯=2150150216x +=0c <<0a b c -+12．如图，E是正方形ABCD的边BCABCD AD AB,:三、解答题（本题共8小题，共过程）16．计算(1)计算：0(3)2cos30π--︒(1)请在图中画出路灯灯泡出画法）；(2)经测量米，度的长．20．数学活动小组欲测量山坡上一棵大树得大树底端C 的仰角为，测得山坡坡角2OB =BF OP 53︒CBM ∠(1)设点的坐标为，求反比例函数的解析式；(2)若，求直线的解析式．22．问题情境数学活动课上，学习小组进行探究活动，老师给出如下问题：在中，，垂足为，且，点是边上一动点（点不与点连接，过点作交线段于点．各小组在探究过程中提出了以下问题：(1)“智慧小组”提出问题：M (),m n 92AN =MN ABC V CD AB ⊥D AD BD >E AC E DE C CF DE ⊥AD F四边形是正方形，是射线上的动点，点在线段的延长线上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，四边形的面积为（可等于0）．(1)如图①，当点由点运动到点过程中，发现是关于的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，抛物线经过原点且顶点为，请根据图象信息，回答下列问题：①正方形的边长为___________（直接填空）；②求关于的函数关系式；(2)如图③，当点在线段的延长线上运动时，求关于的函数关系式；(3)若在射线上从下至上依次存在不同位置的两个点，对应的四边形的面积与四边形的面积相等，当时，求四边形的面积．参考答案与解析1．B 【分析】根据左视图是从左边得到的图形进行解答即可.【详解】从左边看，为一个长方形，中间有两条横线，如下图所示：，故选B ．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从左边看到的视图，要注意长方形被横向分成ABCD E AB F DA AF AE =ED ED E 90︒EG EF BF BG 、、AE x =EFBG y x y ，E A B y x ()24，ABCD y x E AB y x AB 12E E ，1E FBG 2E FBG 122BE BE -=1E FBG【详解】∴，DF AD =∵，，，，，，()4,2A -2AE ∴=4OE =AE CF ∥ AOE COF ∴∽△△C AE OE O CF OF OA ∴==42由折叠与对应易知：∵∴，即又∵x=时，可获得利润最大A A '90EAO AEO ∠+∠=AEO AGD ∠=∠ADG FHE ∠=∠=当∠MDE=90°时，如图2，∴，∵∠DBC=∠C=∠E ，∠BMF=∠∴∠BFM=∠MDE=90°，【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理以及155544BM =-=（2）∵∴，∴，∴,MO OE AB OE ⊥⊥AB OP ∥POF ABF V V ∽13AB BF BF OP OF BF OB ===+由（1）知；，，，DCE FBC △∽△∴BF CF CD DE=BF CF = 2CD DE ∴==此时，，，，，，EF CD ∥3BD = 4CD =CD AB ⊥225BC BD CD ∴=+=90B BCD ACD ∠=︒-∠=∠ BDC ∠，，，，，，CF DE ⊥ CD AB ⊥90CDG GDF DFG ∴∠=︒-∠=∠EFG DFG ∴∠=∠90DGF EGF ∠=︒=∠ GF GF =，，，90DEG ∠=︒ 90DEA GEH ∴∠+∠=90DEA EDA ∠+∠= EDA GEH ∴∠=∠EG ED = DAE ∠=，，，，，，设，则，，，90DEG ∠=︒ 90DEA GEH ∴∠+∠=︒90DEA EDA ∠+∠=︒ EDA GEH ∴∠=∠EG ED = DAE GHE ∠=∠=()AAS DAE GEH ∴V V ≌1AE m =14BE m =-122BE BE -= 22BE m ∴=-设，则，，，，在中，令得：在中，令得：1AE n =14BE n =-122BE BE -= 22BE n ∴=-224(2)6AE AB BE n n ∴=+=+-=-24(04)y x x x =-+≤≤x n =y 四边形24(4)y x x x =->6x n =-y 四边形。
2021学年沈阳市于洪区九年级数学上学期期末测试卷附答案解析
2021学年沈阳市于洪区九年级数学上学期期末测试卷2021-2022于洪区九年级（上）期末数学测试题答案一、选择题（每个题2分）题号12345678910答案B C B A D A B D C D二、填空题（每个题3分）题号111213141516答案352﹣21218242三、解答题(第17小题6分，第18、19小题每个8分，共22分)17.解：原式＝ (4)=2-1+2+1 (5)＝4 (6)18.解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求 (2)C1点坐标为：（3，2）； (3)（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求， (5)C2点坐标为：（﹣6，4）； (6)（3）（2a，2b）． (8)19.（1）证明：∵点O是AC的中点，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO， (2)在△OAD与△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（AAS）， (3)∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形， (4)∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形； (5)（2）DE= (8)四、（第20小题8分、第21小题8分，共16分）20.解：（1）； (3)（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：一二A B C DA(A,B)(A,C)(A,D)B(B,A)(B,C)(B,D)C(C,A)(C,B)(C,D)D(D,A)(D,B)(D,C) (5)共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一张是演讲社团C的有6种，∴P(小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C)=＝． (8)21.解：（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．∵∠FDC＝30°，DF＝24cm，∴FH＝DF＝12cm，DH＝DF＝12cm， (2)∵∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝12，∴CD＝CH+DH＝（12+12）cm，∵CE：CD＝1：3，∴DE＝CD＝（16+16）cm， (4)∵AB＝BC＝DE，∴AC＝（32+32）cm； (6)AC＝87.36cm答：拉杆AC的长为87.36cm． (8)五、（本题10分）22.解：（1）增加10千克． (2)（2）解：设每千克核桃应降价x元，根据题意列式得：． (4)整理得：x2﹣10x+24＝0．∴x1＝4，x2＝6． (7)答：每千克核桃应降价4元或6元；（3）由（1）可知每千克核桃应降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元，则售价为60﹣6＝54（元）． (8)设按原售价y折出售，则．∴y＝9． (10)答：该店应按原售介的九折出售．六、（本题10分）23.解：（1）S△OAB＝3，m＝8； (4)（2）∵点A（2，n）在反比例函y＝上，∴n＝4，∴A（2，4），∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，∴2k+3＝4，∴k＝，∴直线AB的解析式为：y＝x+3； (6)（3）连接PD，过点A作AH⊥x轴于H，由（2）知：直线AC的表达式为y＝，∴当y＝0时，x＝﹣6，∴C（﹣6，0）， (7)∵∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°，∴△CBO∽△PDE，设D（a，b），则DE＝b，PE＝a﹣6，∴，∴，∵ab＝8，∴（舍去）或，∴D（8，1）， (10)七、（本题12分）24.（1）BG＝DE,BG⊥DE． (4)（2）①如图2中，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．由（1）可知，∠CBK＝∠CDH，∵BK ＝DH ，BC ＝DC ，∴△BCK ≌△DCH （SAS ），………………………………6∴CK ＝CH ，∠BCK ＝∠DCH ，∴∠KCH ＝∠BCD ＝90°，∴△KCH 是等腰直角三角形，∴HK ＝CH ，................................................7∴BH ﹣DH ＝BH ﹣BK ＝KH ＝CH ．........................8②如图3﹣1中，DH=223-.................................10如图3﹣2中，DH=223+ (12)八、（本题12分）25.解：（1）∵c bx x y ++-=243经过A （﹣1，0），C （0，3）两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==+--3043c c b 解得，⎪⎩⎪⎨⎧==349c b (2)∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x 2+x +3；…………………………3∵抛物线y＝﹣x 2+x +3＝﹣（x﹣）2+，........................5∴抛物线的顶点P 的坐标为（，）， (6)（3）①当t＝或t ＝时，S △BDE＝；……………………8②F坐标为（，）或（3，3）．………………………………12。
2022-2023学年辽宁省沈阳市第七中学东校区九年级上学期期末考试数学试卷含详解
2022-2023线上教学随堂调研一、选择题（每小题4分，共48分）1.下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等②圆是中心对称图形③圆是轴对称图形、任何一条直径都是它的对称轴④长度相等的两条弧是等弧．A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，AB 是圆O 的直径，BC ，CD ，DA 是圆O 的弦，且BC =CD =DA ，则∠BCD 等于（）A.100°B.110°C.120°D.135°3.将抛物线265y x x =-+向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A.2(4)6y x =-- B.2(1)3y x =-- C.2(2)2y x =-- D.2(4)2y x =--4.如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，4AC =，3BC =，CD 平分ACB ∠交O 于点D ，则劣弧AD 的长为（）A.54πB.32π C.2πD.52π5.在圆内接正六边形ABCDEF 中，正六边形的边长为）A.30︒，1B.45︒，C.60︒D.60︒，36.二次函数24y x x c =--+的最大值为0，则c 的值等于（）A.4B.4-C.16-D.167.已知点()11,A y -，()26,B y -是拋物线()22y x k =-+上的两点，则1y ，2y 的大小关系为（）A.12y y < B.12y y > C.12y y = D.无法确定8.某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本，设每件商品降价x 元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y 元，则y 与x 之间的函数关系为（）A.(30)(20040)y x x =-+B.(30)(20020)y x x =-+C.(30)(20040)y x x =-- D.(30)(20020)y x x =--9.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A.0abc >B.420a b c -+>C.当31x -≤≤时，0y ≥ D.函数的最大值为a b c++10.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EG AF ^，FH CE ⊥，垂足分别为G ，H ，设AG x =，图中阴影部分面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（）A.2y =B.2y = C.26y x = D.28y x =11.如图所示，在O 中，AB 为弦，OC AB ⊥交AB 于点D ．且OD DC =．P 为O 上任意一点，连接PA ，PB ，若O 的半径为PAB S 的最大值为（）A.B.233C.332D.33412.如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若2sin 3CAB ∠=，6DF =，则AB 的长为（）A .12B.20C.D.二、填空题（每小题4分，共32分）13.二次函数244y kx x =-+的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是______．14.⊙O 外一点P 到⊙O 上各点的最大距离为5，最小距离为1，则⊙O 的半径为_________．15.二次函数22y x =的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 在函数图象上，四边形OBAC 为菱形，且30AOB ∠= ，则点C 的坐标为______．16.设I 为ABC 的外心，若80BIC ∠=︒，则A ∠的度数为______．17.如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m ，门宽为2m ．这个矩形花圃的最大面积是______．18.如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()()13A p B q -，，，两点，则不等式2ax mx c n -+＞的解集是______．19.如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，直线MN 与O 相切于点C ，过点B 作BD MN ⊥于点D ．若BC =，2CD =，则O 的直径是______．20.如图，已知以BC 为直径的O ，A 为弧BC 中点，P 为弧AC 上任意一点，AD AP ⊥交BP 于D ，连CD ．若6BC =，则CD 的最小值为______．三、解答题（21题8分，22题12分，共20分）21.如图，AB 为O 的直径，C 为O 外一点，且90CAB ∠= ，BD 是O 的弦，BD CO ∥．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若6AB =，BC =．则阴影部分的面积为__________22.平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过原点，点(2,4),(3,9)D C -在这条抛物线上，（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若直线2y x =-+与抛物线2y ax bx c =++交于点M 和N ，连接OM 和ON ，求OMN ∠的正切值；（3）点P 为抛物线2y ax bx c =++上的一点，且点P 与点O 在直线MN 的同侧，当PMN 的面积与OMN 的面积相等时，请直接写出点P 的坐标；（4）如图2，已知点(3,0),(1,0)A B ，抛物线2y ax bx c =++向左或向右平移后，点C 、D 的对应点分别为C '、D ¢．当四边形ABC D ''的周长最小时，请直接写出平移后抛物线的顶点坐标．2022-2023线上教学随堂调研一、选择题（每小题4分，共48分）1.下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等②圆是中心对称图形③圆是轴对称图形、任何一条直径都是它的对称轴④长度相等的两条弧是等弧．A.1个 B.2个C.3个D.4个C【分析】由圆的性质以及垂径定理对每个选项一一判断即可.【详解】同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，结论①错误；圆是中心对称图形，结论②正确；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，结论③错误；长度相等的两条弧不一定是等弧，结论④错误.不正确的有①③④.故选：C ．【点睛】本题主要考查圆的性质，熟记相关概念是解题的关键.2.如图，AB 是圆O 的直径，BC ，CD ，DA 是圆O 的弦，且BC =CD =DA ，则∠BCD 等于（）A.100°B.110°C.120°D.135°C【详解】解：连接OC 、OD ，∵BC =CD =DA ，∴∠COB =∠COD =∠DOA ，∵∠COB +∠COD +∠DOA =180°，∴∠COB =∠COD =∠DOA =60°，∵OB=OC=OD ，∴△COD 、△BOC 是等边三角形，∴∠OCD =∠OCB =60°，∴∠BCD =∠OCD+∠OCB =120°，故选：C ．3.将抛物线265y x x =-+向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A.2(4)6y x =--B.2(1)3y x =--C.2(2)2y x =--D.2(4)2y x =--D【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：()226534y x x x =-+=--，即抛物线的顶点坐标为()3,4-，把点()3,4-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为()4,2-，所以平移后得到的抛物线解析式为()242y x =--．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4.如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，4AC =，3BC =，CD 平分ACB ∠交O 于点D ，则劣弧AD 的长为（）A.54π B.32π C.2π D.52πA 【分析】连接OD ，先根据勾股定理求出AB 的长，即可求出半径，然后根据圆周角定理可得出90AOD ∠=︒，最后利用弧长公式计算即可．【详解】如解图，连接OD ，AB 是O 的直径，90ACB ∠∴=︒，在Rt ABC 中，4AC =，3BC =，由勾股定理得5AB =，52AO ∴=，CD 平分ACB ∠，ACD ∠∴=1245ACB ∠=︒，由圆周角定理得290AOD ACD ∠∠==︒，∴劣弧AD 的长为590π2180⨯=54π=．故选：A ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理及弧长公式，掌握圆周角定理，勾股定理及弧长公式是解题的关键．5.在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为）A.30︒，1B.45︒， C.60︒D.60︒，3D【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心O 作OP AB ⊥于点P ，先根据等边三角形的判定可得AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA AB AP ===，再利用勾股定理即可得．【详解】解：这个正六边形的中心角为360606︒=︒，如图，过圆心O 作OP AB ⊥于点P ，,60OA OB AOB =∠=︒ ，AOB ∴是等边三角形，12OA AB AP AB ∴====，3OP ∴==，即这个正六边形的边心距为3，故选：D ．【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．6.二次函数24y x x c =--+的最大值为0，则c 的值等于（）A.4B.4- C.16- D.16B【分析】将二次函数化为顶点式，根据题意得出40c +=，即可求解．【详解】解：∵()22424y x x c x c =--+=-+++的最大值为0，∴40c +=，解得：4c =-，故选：B ．【点睛】本题考查了求二次函数的最值，化为顶点式是解题的关键．7.已知点()11,A y -，()26,B y -是拋物线()22y x k =-+上的两点，则1y ，2y 的大小关系为（）A.12y y <B.12y y > C.12y y = D.无法确定A【分析】先根据抛物线的解析式得出抛物线的开口向上，抛物线的对称轴2x =，再由二次函数的性质即可得出结论．【详解】解：∵抛物线()22y x k =-+，∴此抛物线开口向上，对称轴2x =，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，∵点()11,A y -，()26,B y -是拋物线()22y x k =-+上的两点，16->-∴12y y <，故选：A ．【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．8.某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本，设每件商品降价x 元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y 元，则y 与x 之间的函数关系为（）A.(30)(20040)y x x =-+B.(30)(20020)y x x =-+C.(30)(20040)y x x =--D.(30)(20020)y x x =--B【分析】根据降价x 元，则售价为（30−x ）元，销售量为（200＋20x ）本，由题意可得等量关系：总销售额为y ＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【详解】设每本降价x 元，则售价为（30−x ）元，销售量为（200＋20x ）本，根据题意得，y ＝（30−x ）（200＋20x ），故选B ．【点睛】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．9.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A.0abc > B.420a b c -+>C.当31x -≤≤时，0y ≥ D.函数的最大值为a b c++D【分析】根据图象得出抛物线开口向下，且对称轴直线=1x -在y 轴左侧，顶点的纵坐标为函数的最大值，当2x =-时函数值大于0，根据对称轴求得另一个交点为()30-，,结合函数图象，分别判断各选项即可．【详解】由图得，抛物线开口向下，且对称轴直线=1x -在y 轴左侧，与x 轴有两个交点，0,0,0,a b c \<<>0abc ∴>，故A 选项正确；1x = 时，0y =，且对称轴为直线=1x -，3x ∴=-时，0y =，∴当31x -≤≤时，0y ≥，故C 选项正确；根据二次函数的对称性，可知2x =与0x =对应的函数值相等，∴当2x =-时，420y a b c =-+>，故B 选项正确；1x =- 时，y a b c =-+，即函数的最大值为a b c -+，故D 选项错误；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，能够运用数形结合的思想，熟练掌握知识点是解题的关键．10.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EG AF ^，FH CE ⊥，垂足分别为G ，H ，设AG x =，图中阴影部分面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（）A.233y =B.23y x = C.26y x = D.28y x =D【分析】根据已知条件，证四边形AFCE 是平行四边形，四边形EHFG 是矩形，由锐角三角函数可知，从而可用含x 的式子表示出EG 、FG ，从而可求出y 与x 之间的关系式．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形∴AB CD =，AB CD ∥∵E 、F 分别是AB 、CD 的中点∴AE=CF ，AE CF ∥∴四边形AFCE 是平行四边形∴AE CF∥∵EG AF ^，FH CE ⊥∴四边形EHFG 是矩形∵90AEG BEC BCE BEC ∠+∠=∠+∠=︒∴AEG BCE ∠=∠∴tan tan AEG BCE ∠=∠∴12AG BE EG BC ==∵设AG x =∴2EG x =∴AE ==∴AB BC ==∴5CE x==∴5AF CE x==∴54FG AF AG x x x =-=-=∴2428y FG EG x x x =⋅=⋅=．故选：D ．【点睛】本题考查正方形、矩形的综合问题，涉及锐角三角函数，勾股定理，正方形的性质、矩形的性质与判定等知识，综合运用以上知识是解题的关键．11.如图所示，在O 中，AB 为弦，OC AB ⊥交AB 于点D ．且OD DC =．P 为O 上任意一点，连接PA ，PB ，若O 的半径为PAB S 的最大值为（）A.4B.3C.2D.4A【分析】连接OA ，根据已知条件得出60,3AOD AB ∠=︒=，当点P 为优弧AB 的中点时，APB △的面积最大，此时APB △为等边三角形，求得APB △的面积即可求解．【详解】如图，连接OA ，∵OC AB ⊥，∴AD BD =， AC BC=，∵OD DC =，∴1322OD OA ==，∴32AD ==，∴tan AD AOD OD ∠==，∴60,3AOD AB ∠=︒=，∴60APB AOC ∠=∠=︒，当点P 为优弧AB 的中点时，APB △的面积最大，此时APB △为等边三角形，∴APB △的面积的最大值为2344⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理，根据特殊角的三角函数值求角度，勾股定理，得出点P 为优弧AB 的中点时，APB △的面积最大是解题的关键．12.如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若2sin 3CAB ∠=，6DF =，则AB 的长为（）A.12B.20C.D.C【分析】连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到6FD FA ==，再根据正弦的定义计算出4EF =，则AE =10DE =，接着证明ADE DBE △∽△，利用相似比得到BE ，即可求解．【详解】解：连接BD ，如图，AB 为直径，90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD CD = ，DAC DCA ∴∠=∠，而DCA ABD ∠=∠，DAC ABD ∴∠=∠，DE AB ∵⊥，90ABD BDE ∴∠+∠=︒，而90ADE BDE ∠+∠=︒，ABD ADE ∴∠=∠，ADE DAC ∴∠=∠，6FD FA ∴==，在Rt AEF △中，sin CAB ∠= 23EF AF =,4EF ∴=，AE ∴==，6410DE DF FE =+=+=，ADE DBE ∠=∠ ，AED BED ∠=∠，ADE DBE ∴ ∽，∴DE AE BE DE =，即102510BE =，BE ∴=，∴AB AE BE =+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．二、填空题（每小题4分，共32分）13.二次函数244y kx x =-+的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是______．1k ≤且0k ≠【分析】根据二次函数的定义得出0k ≠，根据二次函数与x 轴的有公共点，得出()24440k ∆=--⨯≥，解不等式即可得出答案．【详解】解：∵244y kx x =-+是二次函数，∴0k ≠，∵二次函数244y kx x =-+的图象与x 轴有公共点，∴()24440k ∆=--⨯≥，解得：1k ≤，∴k 的取值范围是1k ≤且0k ≠，故答案为：1k ≤且0k ≠．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点问题，根据题意得出()24440k ∆=--⨯≥是解题的关键．14.⊙O 外一点P 到⊙O 上各点的最大距离为5，最小距离为1，则⊙O 的半径为_________．2【分析】根据圆外一点P 到圆上各点的最大距离减去最小距离等于圆的直径即可求解．【详解】解：∵⊙O 外一点P 到⊙O 上各点的最大距离为5，最小距离为1，∴⊙O 的直径为5－1=4，∴⊙O 的半径为2，故答案为：2．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离求出直径是解答的关键．15.二次函数22y x =的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 在函数图象上，四边形OBAC 为菱形，且30AOB ∠= ，则点C 的坐标为______．322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，【分析】连结BC 交OA 于D ，如图，根据菱形的性质得BC OA ⊥，60OBD ∠=︒，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD =BD ，设BD t =，则OD =t ，(B t )t ，利用二次函数图象上点的坐标特征得22t =t ，得出BD ，OD ，然后根据菱形的性质得出C 点坐标．【详解】解：连结BC 交OA 于D ，如图，四边形OBAC 为菱形，BC OA ∴⊥，30AOB ∠=︒ ，60OBD ∠∴=︒，OD ∴=3BD ，设BD t =，则OD =3t ，(B t ∴3)t ，把(B t 3)t 代入22y x =得22t =3t ，解得10(t =舍去)，2t =32，BD ∴=32，OD =32，故C 点坐标为：3322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，故答案为：3322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出BD 的长是解题关键．16.设I 为ABC 的外心，若80BIC ∠=︒，则A ∠的度数为______．40︒或140︒【分析】根据三角形的外心是三角形外接圆圆心，BIC ∠是圆心角，可得出A ∠的度数．【详解】解：当三角形是锐角三角形∵I 是ABC 的外心，∴圆心角BIC ∠与圆周角A ∠所对弧是同弧，∴12A BIC ∠=∠．40A ∴∠=︒．当三角形是钝角三角形，同理可得：140A ∠=︒．故答案为：40︒或140︒．【点睛】本题主要考查了三角形的外心与圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．17.如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m ，门宽为2m ．这个矩形花圃的最大面积是______．2200m 【分析】直接根据题意表示出垂直于花圃的一边长，再利用矩形面积求法列出关系式，配方可得答案．【详解】解：设花圃的长为x ,面积为y ,则y 关于x 的函数表达式为：()()22138221202120200238202240y x x x x x x x =+-=-+=--++->⎧⎨≥⎩∴≤< ，∴当20x =时，面积最大为2200m ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．18.如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()()13A p B q -，，，两点，则不等式2ax mx c n -+＞的解集是______．1x -＜或3＞x 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式2ax mx c n -+＞的解集，本题得以解决．【详解】解：∵抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()()13A p B q -，，，两点，∴2ax c mx n ++＞的解集是1x -＜或3＞x ，∴2ax mx c n -+＞的解集是1x -＜或3＞x ，故答案为：1x -＜或3＞x ．【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解．19.如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，直线MN 与O 相切于点C ，过点B 作BD MN ⊥于点D ．若BC =，2CD =，则O 的直径是______．5【分析】连接OC ，AC ，由切线的性质可得OC MN ⊥，即可证得OC BD ∥，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得CBD BCO ABC ∠∠∠==，连接AC ，由勾股定理求得BD ，然后通过证得ABC CBD ∽，求得直径AB ，从而求得半径．【详解】连接OC ，AC ，MN 为O 的切线，OC MN ∴⊥，BD MN ⊥ ，OC BD ∴∥，CBD BCO ∠∠∴=．又OC OB = ，BCO ABC ∠∠∴=，CBD ABC ∠∠∴=．；在Rt BCD 中，BC =，2CD =，，BD ∴=4=，AB 是O 的直径，90ACB ∠∴=︒，90ACB CDB ∠∠∴==︒，ABC CBD ∠∠= ，ABC CBD ∴ ∽，∴AB CB BC BD =，即4=，5AB ∴=，O ∴ 的半径是52，故答案为：5．【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．20.如图，已知以BC 为直径的O ，A 为弧BC 中点，P 为弧AC 上任意一点，AD AP ⊥交BP 于D ，连CD ．若6BC =，则CD 的最小值为______．3-##3-+【分析】如图所示，连接AB ，AC ，以AB 为斜边作等腰直角三角形AB O '，则90AO B '∠=︒，得出点D 在以点O '为圆心，A O '长为半径的 AB 上运动，因为两点之间线段最短，即为最短CD ，连接B O '，因为6BC =，所以B O '3=，由勾股定理有O C '==，CD O C O D ''=-3=．【详解】解：如图所示，连接AB ，AC ，以AB 为斜边作等腰直角三角形AB O '，则A ∠90O B '=︒，∵BC 为直径的O ，A 为弧BC 中点，∴45BPA ∠=︒，ABC 是等腰直角三角形，∵6BC =，∴AB =,∴3O B O A ''==，又∵AD AP ⊥，∴90DAP ∠=︒，∴45135PDA ADB ∠=︒∠=︒，，∴点D 在以点O '为圆心，A O '长为半径的 AB 上运动，连接O 'C 交 AB 为点D ，此时CD 为最短，45,45O BA ABC '∠=︒∠=︒，∴∠O '90BC =︒，在BCO ' 中，3,6BO BC '==，2235O C BO BC ''=+=∴CD O C O D ''=-353=．故答案为：353-【点睛】本题考查了圆的综合问题，求动点最值时，首先找到动点轨迹，再结合两点之间线段最短找出最小值是解题的关键．三、解答题（21题8分，22题12分，共20分）21.如图，AB 为O 的直径，C 为O 外一点，且90CAB ∠= ，BD 是O 的弦，BD CO ∥．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若6AB =，37BC =．则阴影部分的面积为__________（1）见解析（2）393π24-【分析】（1）连接OD ，易证()SAS CAO CDO ≌，由全等三角形的性质可得90CDO CAO ∠∠==︒，即CD OD ⊥，进而可证明CD 是O 的切线；（2）过点O 作OE BD ⊥，垂足为E ，首先利用勾股定理可求出AC ，OC 的长，证得OBD 是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【小问1详解】证明：如图，连接OD ，BD ∥OC ，DBO COA ∠∠∴=，ODB COD ∠∠=，在O 中，OB OD =，DBO ODB ∠∠∴=，COA COD ∠∠∴=，在CAO 和CDO 中，OA OD COA COD CO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CAO CDO ∴ ≌．，90CDO CAO ∠∠∴==︒，即CD OD ⊥，又OD 是O 的半径，CD ∴是O 的切线；【小问2详解】如图，过点O 作OE BD ⊥，垂足为E ．在Rt ABC 中，AC =()22223763BC AB -=-，OC ∴=()22223336AC OA +=+=，60AOC ∠∴=︒，CAO CDO ≌，60COD COA ∠∠∴==︒，60BOD ∠∴=︒，BOD ∴ 是等边三角形，3BD OD ∴==，OE =332，∴阴影部分的面积BODBOD S S =-= 扇形260π3360⋅⨯-133322⨯⨯393π24=-．故答案为393π24-．【点睛】本题考查了切线的判断和性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．22.平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过原点，点(2,4),(3,9)D C -在这条抛物线上，（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若直线2y x =-+与抛物线2y ax bx c =++交于点M 和N ，连接OM 和ON ，求OMN ∠的正切值；（3）点P 为抛物线2y ax bx c =++上的一点，且点P 与点O 在直线MN 的同侧，当PMN 的面积与OMN 的面积相等时，请直接写出点P 的坐标；（4）如图2，已知点(3,0),(1,0)A B ，抛物线2y ax bx c =++向左或向右平移后，点C 、D 的对应点分别为C '、D ¢．当四边形ABC D ''的周长最小时，请直接写出平移后抛物线的顶点坐标．（1）2y x =（2）13（3）(1,1)P -（4）(4,0)或者(1,0)【分析】（1）、用待定系数法，将点坐标代入解析式列出方程求解即可．（2）、过点M 、N 分别作x 轴的垂线，然后利用点坐标性质和勾股定理可计算出OM 、ON 、MN ，长，再用定理逆定理可判断三角形OMN 为直角三角形，再用正切的定义求解即可．（3）、先求出OMN S △，然后用面积分割法列出方程求解即可．（4）、由图可知，要使周长最小，只能向右平移，且当左右平移时，,C D ''之间距离，A 、B 之间距离不变，只需用勾股定理方法表示出BC AD ⅱ+，求最小值，即可得出答案．【小问1详解】解：∵抛物线经过原点，点(2,4),(3,9)D C -在这条抛物线上，将点D 、C 、原点坐标代入得：0424939c a b a b =⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得：100a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，2y x ∴=；【小问2详解】∵直线2y x =-+与抛物线2y ax bx c =++交于点M 和N ，22y x y x =-+⎧∴⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩或者24x y =-⎧⎨=⎩，(2,4),(1,1)M N \-过M 、N 两点分别作MA '、NB ¢垂直于x 轴于A '、B '，过N 作NC '垂直于MA '于C '，4,2,1,1MA OA OB B N ⅱⅱ==== ，3,3C N MC ⅱ\==，在Rt MA O ¢中，MO ==，在Rt NB O ¢中，ON ==在Rt C MN ¢中，MN ==22220+== ，222NM ON MO \+=，90ONM ∴∠=︒，1tan 3ON OMN MN \Ð==；【小问3详解】11322OMN S ON MN === ，设：2(,)P a a ，分别作MA 、PD 、NB 垂直x 轴于A 、D 、B ，直线2y x =-+与x 轴交于E ，则令y =0，x =2，(2,0)E ∴，24,,1,4MA PD a NB AE \====，(2)2,1,1AD a a BD a BE =--=+=-=，∴梯形MADP 的面积为：2321111()(4)(2)24222S MA PD AD a a a a a =+=++=+++ ，梯形PDBN 的面积为：2322111111()(1)(1)222222S BN PD BD a a a a a =+=+-=-+-+ ，三角形MAE 面积为：1144822S MAE MA AE ==创= ，三角形NBE 面积为：11111222BNE S BN BE ==创= ，S MNP S MAE = -S 梯形MADP -S 梯形PDBN -BNE S ，323211111138(24)(222222a a a a a a \=-+++--+-+-，整理得：20a a +=1a =-或者0a =点P 与点O 在直线MN 的同侧则P 、O 不重合，0a ∴=（舍去），1a ∴=-，(1,1)P ∴-；【小问4详解】由图可知，要使周长最小，只能向右平移，假设图像向右平移m 个单位，则(3,9)C m ¢-+，(2,4)D m ¢+，当左右平移时，,C D ''之间距离，A 、B 之间距离不变，过点,C D ''作,C M AB D N AB ⅱ^^，同（2）的方法可得：BC ⅱ\==AD ⅱ==BC AD ⅱ\+=，要使其最小，4m =或者1m =，此时平移后的顶点坐标为：(4,0),(1,0)；综上所述：周长最小时，平移后的顶点为：(4,0)或者(1,0)．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数，二次函数图像和性质，二次函数图像平移，勾股定理，面积法列方程等知识，对二次函数图像性质、图像的变形的掌握和面积的割补法是解题的关键．。
辽宁省沈阳市于洪区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
于洪区2021-2022学年度上学期期末学业水平测试九年级数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：120分注意事项：1．答题前，考生须用0.5mm 黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号；2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效；3．本试题卷包括八道大题，25道小题，共6页．如缺页、印刷不清，考生须声明．一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）1．如图，胶带的左视图是（）A ．B ．C ．D ．2．若x ＝2是关于x 的一元二次方程x 2﹣ax ＝0的一个根，则a 的值为（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣23．如图，在正方形网格中：ABC 、EDF 的顶点都在正方形网格的格点上，~ABC EDF ，则ABC ACB ∠+∠的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4．如图，AB 是河堤横断面的迎水坡，堤高AC =1BC =，则斜坡AB 的坡度为（）A B ．12C ．2D ．60︒5．对于反比例函数y ＝-6x，下列说法正确的是（）A ．图象经过点（﹣2，﹣3）B ．图象位于第一、三象限C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大6．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗框AB 在地面上的影长 1.8m DE =，窗户下檐到地面的距离1m BC =， 1.2m EC =，那么窗户的高AB 为（）A ．1.5mB ．1.6mC ．1.8mD ．2.5m7．在如图所示的电路中，随机闭合开关S 1，S 2，S 3中的两个，能让灯泡L 1发光的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．258．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是1x =，下列结论正确的是（）．A ．0abc >B ．20a b +<C ．320b c -<D ．30a c +<9．如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若5AB =，12AD =．则四边形ABOM 的周长为（）A ．16B ．18C ．20D ．2410．在ABC 中，4AB =，5AC =，ABC 的面积为A ∠的度数为（）A ．30︒B ．30︒或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒二、填空题（每小题3分，共18分）11．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7，则布袋中红球的个数大约是________．12．ABC DEF ∽△△，且23AB DE =．若2ABC S =△，则DEF S =△___________．13．已知线段4cm AB =，C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，则AC =_________．（结果保留根号）14．学校运动会上，九年级准备队列表演，一开始排成8行12列，后来又有84名同学积极参加，使得队列增加的行数比增加的列数多1．现在队列表演时的行数是___________．15．如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线26(0)y x x k k =-+>与y 轴交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边ABC 的周长为__________．16．如图，在矩形ABCD 中，B ∠的平分线BE 与AD 交于点E ，BED ∠的平分线EF 与DC 交于点F ，若6AB =，2DF FC =，则BC =_________．三、解答题（第17小题6分，18、19小题各8分，共22分）17．计算：0|2|2cos 60(2021)π---︒18．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为(2,1)A -，(1,4)B -，(3,2)C -．(1)画出ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △，并直接写出1C 点坐标；(2)以原点O 为位似中心，位似比为2：1，在轴y 的左侧，画出ABC 放大后的图形222A B C △，并直接写出2C 点坐标；(3)如果点(,)D a b 在线段AB 上，请直接写出经过（2）的变化后点D 的对应点D 2的坐标．19．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，点O 是斜边AC 的中点，过点O 作OE AC ⊥，交AB 于点E ，过点A 作AD ∥BC ，与BO 的延长线交于点D ，连接CD 、DE ．(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若3BC =，tan 3BAC ∠=，则DE =．四、（每小题8分，共16分）20．为了迎接建党100周年，学校举办了“感党恩•跟党走”主题社团活动，小颖喜欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母A ，B ，C ，D 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D 的概率是；（2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C 的概率．21．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE 、箱长BC 、拉杆AB 的长度都相等，即DE BC AB ==，点B 、F 在线段AC 上，点C 在DE 上，支杆24cm DF =，:1:3CE CD =，45DCF ∠=︒，30CDF ∠=︒．请根据以上信息，求AC 的长度． 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈．）五、（本题10分）22．土特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃平均每天获利2240元，则：(1)单价每降低1元，平均每天的销售可增加千克．(2)每千克核桃应降价多少元？(3)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？六、（本题10分）23．如图，点(2,)A n 和点D 是反比例函数1(0,0)my m x x=>>图象上的两点，一次函数23(0)y kx k =+≠的图象经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，连接OA ，OD ．已知OAB 与ODE 的面积满足:3:4OAB ODE S S =V V ．(1)OAB S =△，m =；(2)求直线AB 的解析式；(3)已知点(6,0)P 在线段OE 上，当PDE CBO ∠=∠时，求出点D 的坐标．七、（本题12分）24．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG （其中2BD CE >），BG 的延长线与直线DE 交于点H ．(1)如图1，当点G 在CD 上时，BG 和DE 的关系为：；(2)将正方形CEFG 绕点C 旋转一周．①如图2，当点E 在直线CD 右侧时，求证：BH DH -=；②当45DEC ∠=︒时，若5AB =，2CE =，请直接写出线段DH 的长．八、（本题12分）25．已知抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且点A 的坐标为(1,0)-、点C 的坐标为(0,3)；(1)求该抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)如图1，有两动点D、E在COB△的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C O B→→方向向终点B运动，点E沿线段BC 按B C→方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t=时，BDE△的面积等于33 10；②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．1．B 【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【详解】解：从左边看去，是一个矩形，矩形里面有两条横向的虚线．故选：B ．【点睛】本题考查了三视图中的左视图的识别，即从左面看所得到的图形，需要注意的是看不见的部分用虚线表示．2．C 【分析】将x=2代入原方程即可求出a 的值．【详解】将x ＝2代入x 2﹣ax ＝0，∴4﹣2a ＝0，∴a ＝2，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．3．B 【分析】利用相似三角形的性质，证明135BAC ∠=︒，可得结论．【详解】解：ABC EDF ∆∆ ∽，135BAC DEF ∴∠=∠=︒，18013545ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题关键是证明135BAC ∠=︒．4．A【分析】直接利用坡度的定义得出斜坡AB 的坡度为：ACBC，代入数据即得出答案．【详解】解：由题意可得：∠ACB ＝90°，则斜坡AB 的坡度为：ACBC故选：A ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．5．D 【分析】根据反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】∵反比例函数y ＝−6x，k ＝−6＜0，∴该函数图象为第二、四象限，故选项B 不符合题意；当x ＝−2时，y ＝3，即该函数过点（−2，3），故选项A 不符合题意；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故选项C 不符合题意；当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故选项D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的性质解答．6．A 【分析】由于光线是平行的，因此BE 和AD 平行，可得两个三角形相似，根据相似三角形的性质，对应线段成比例，列出等式求解即可得出AB ．【详解】解：∵BE ∥AD ，∴△BCE ∽△ACD ，∴CB CECA CD=，即CB CEAB BC CE DE=++，∵BC＝1，DE＝1.8，EC＝1.2，∴1 1.21 1.2 1.8 AB=++，解得：AB＝1.5．故选：A．【点睛】本题主要考查平行投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出窗户的高．7．B【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡L1发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为21 63=．故选：B．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．8．D【分析】根据抛物线的性质，对称轴，图形的信息，逐一计算判断即可．【详解】∵102b a-=>，∴0ab ＜，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴0c >，∴0abc ＜，故A 不符合题意；∵12b a-=，∴20a b +=，故B 不符合题意；∵=1x -时，y =a -b +c 0＜，∴2a -2b +2c 0＜，∵12b a-=，∴2a b =-，∴-b -2b +2c 0＜，∴3b -2c 0>，故C 不符合题意；∵=1x -时，y =a -b +c 0＜，∵12b a-=，∴2a b =-，∴3a +c 0＜，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图像，抛物线的性质，灵活运用图像及其性质是解题的关键．9．C【分析】由矩形的性质结合勾股定理可求出AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得OB的长．再由三角形中位线的性质求得OM的长，继而求得四边形ABOM的周长．【详解】解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∴BC＝AD＝12，CD＝AB＝5，∠ABC＝90°，OA＝OC，∴AC13，∴OB＝OA＝OC＝12AC＝6.5．∵M是AD的中点，∴OM＝12CD＝2.5，AM＝12AD＝6，∴四边形ABOM的周长为：AB＋OB＋OM＋AM＝5＋6.5＋2.5＋6＝20．故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．10．D【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A 的三角函数值可得∠A的度数，注意分当∠A是锐角时，当∠A是钝角时，两种情况讨论．【详解】解：当∠A是锐角时，如图，过点B作BD⊥AC于D，∵AC=5， ABC的面积为，∴BD=×2÷5=在Rt ABD 中，sin 42BD A AB ===，∴∠A =60︒．当∠A 是钝角时，如图，过点B 作BD ⊥AC ，交CA 的延长线于D ，∵AC =5， ABC 的面积为，∴BD =×2÷5=在Rt ABD 中，sin sin 42BD BAD A AB ∠===，∴∠BAD =60︒．∴∠BAC =180︒-60︒=120︒．故选D ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线．11．35【分析】根据摸到红球的频率，再利用红球个数=总数×摸到红球的频率，进而得出答案．【详解】解：根据题意得：50×0.7=35．答：估计这个袋中红球的个数约为35．故答案为：35．【点睛】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．12．92根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【详解】∵ABC DEF ∽△△，且23AB DE =，∴2224()()39ABC DEF S AB S DE === ．∵2ABC S =△，∴249DEF S = ，∴92DEF S = ．故答案为：92．【点睛】本题考查相似三角形的性质．掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．13．2【分析】根据黄金分割点的定义，可知AC 为较长线段；则AC=12AB ，代入数据即可得到AC 的值．【详解】∵C 为线段AB 的黄金分割点，并且AC ＞BC ，AC 为较长线段；∴AC=4×12=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割比是解题的关键．14．12【分析】设队列增加的列数为x ，则增加的行数为（x +1），根据队列表演时的总人数为（8×12+84）人，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再将其正值代入（8+x +1）中即可求出现在队列表演时的行数．解：设队列增加的列数为x ，则增加的行数为（x +1），依题意得：（8+x +1）（12+x ）=8×12+84，整理得：x 2+21x -72=0，解得：x 1=3，x 2=-24（不合题意，舍去），∴8+x+1=8+3+1=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．18【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则AB 的长度即可求解，即可求出答案．【详解】根据题意可知抛物线26(0)y x x k k =-+>的对称轴是x =3，如图，作CD ⊥AB 于点D ，∵AB ∥x 轴∴AD =3，AB =2AD∴AB =2AD =6，则AB 为边的等边△ABC 的周长为3×6=18．故答案为：18．【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB 的长是关键．16．2+【分析】先延长EF 和BC ，交于点G ，再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边BE 的长，然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形，最后根据△EFD ∽△GFC 得出比例式，由DF =2FC 计算得出CG 与DE 的倍数关系，并根据BG =BC +CG 进行计算即可．【详解】解：延长EF 和BC ，交于点G∵矩形ABCD 中，∠B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，∴∠ABE =∠AEB =45°，∴AB =AE =6，∴在Rt ABE 中，BE ==又∵∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，∴∠BEG =∠DEF ．∵AD ∥BC∴∠G =∠DEF∴∠BEG =∠G∴BG BE ==∵∠G =∠DEF ，∠EFD =∠GFC ，∴△EFD ∽△GFC ，∴122CG CF CF DE DF CF ===．设CG =x ，DE =2x ，则AD =6+2x =BC∵BG =BC +CG ，∴62x x=++解得：2x =，∴6262)2BC x =+=+-=+故答案为：2+【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是得出BG =BE ，从而进行计算．17．4【分析】先计算绝对值、特殊角的三角函数值、算术平方根和零指数幂，再进行有理数的混合运算即可．【详解】解：0|2|2cos 60(2021)π--+-︒122212=-⨯++51=-4=．【点睛】本题考查实数的混合运算．涉及绝对值，特殊角的三角函数值、算术平方根和零指数幂．掌握实数的混合运算法则是解题关键．18．(1)作图见解析部分，C 1（3，2）；(2)作图见解析部分，C 2（-6，4）；(3)D 2（2a ，2b ）．【分析】（1）利用关于y 轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案；（2）利用位似变换的性质得出对应点位置，进而得出答案；（3）利用位似图形的性质得出D 点坐标变化规律即可．（1）如图所示：111A B C △，即为所求，C 1点坐标为：（3，2）；（2）如图所示：222A B C △，即为所求，C 2点坐标为：（-6，4）；（3）如果点D （a ，b ）在线段AB 上，经过（2）的变化后D 的对应点D 2的坐标为：（2a ，2b ）．此题主要考查了轴对称变换以及位似变换以及位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点变化规律是解题关键．19．(1)证明见解析；【分析】（1）由题意易证△OAD ≌△OCB (AAS )，得AD =BC ，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即证明四边形ABCD 是平行四边形，然后由∠ABC =90°，即可得出平行四边形ABCD 是矩形；（2）根据特殊角的三角函数值即得出30BAC ∠=︒，再由矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质求出AD 、AE 的长，再由勾股定理即可求解．(1)证明：∵点O 是AC 的中点，∴OA =OC ，∵AD //BC ，∴∠DAO =∠BCO ，∠ADO =∠CBO ，∴△OAD ≅△OCB (AAS )，∴AD =BC ，∵AD //BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵∠ABC =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形；(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC =3．∵tan BAC ∠∴30BAC ∠=︒．∵∠ABC =90°，∴AC=2BC=6，∴OA=3．∵OE⊥AC，∴∠AOE=90°，∵∠BAC=30°，即∠EAO=30°∴3OE==∴AE=2OE=∴===DE．【点睛】本题考查矩形的判定和性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键．20．（1）14；（2）见解析，12【分析】（1）共有4种可能出现的结果，其中是舞蹈社团D的有一种，即可求出概率；（2）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出一张是演讲社团C的结果数，进而求出概率．【详解】解：（1）∵共有4种可能出现的结果，其中是舞蹈社团D的有1种，∴小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是1 4，故答案为：1 4；（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：A B C D A——AB AC ADB BA——BC BDC CA CB——CDD DA CB DC ——共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一张是演讲社团C 的有6种，∴小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C 的概率是612＝12．【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，正确画出树状图或表格是解决本题的关键．21．87.36cm【分析】过F 作FH ⊥DE 于H 构造直角三角形，利用30°和45°特殊边关系，求CD ＝CH +DH =(12+，再由CE ：CD ＝1：3，得DE ＝43CD ＝(16+，因为AB ＝BC ＝DE ，得AC ＝(32+cm ．【详解】如图，过F 作FH ⊥DE 于H ．∴∠FHC ＝∠FHD ＝90°．∵∠FDC ＝30°，DF ＝24cm ，∴FH ＝DF ·sin30°＝12cm ，DH ＝DF ·cos30°＝cm ，∵∠FCH ＝45°，∴CH ＝FH ＝12，∴CD ＝CH +DH =(12+，∵CE ：CD ＝1：3，∴DE ＝43CD ＝(16+，∵AB ＝BC ＝DE ，∴AC ＝(32+cm ；【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，构造直角三角形是解决问题的关键．22．(1)10(2)每千克核桃应降价4元或6元(3)该店应按原售价的九折出售【分析】（1）根据题意用20除2即可；（2）设每千克核桃应降价x 元，根据题意即可列出方程，解出x 即可．（3）由题意可知让利于顾客时每千克核桃应降价6元，即此时售价为54元，由此即得出答案．【详解】（1）解：20÷2=10千克故答案为：10；（2）解：设每千克核桃应降价x 元，则可列方程：(6040)(10010)2240x x --+=，解得：14x =，26x =．故每千克核桃应降价4元或6元；（3）解：由（2）可知每千克核桃可降价4元或6元．∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60-6=54（元），5460×100%=90%．故该店应按原售价的九折出售．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出数量关系，列出等式是解题关键．23．(1)3，8(2)y ＝12x ＋3(3)D （8，1）【分析】（1）首先可得B （0，3），根据B （0，3），根据S △OAB ：S △ODE ＝3：4．可得S △ODE ＝4，从而得出m ＝8；（2）由点A （2，n ）在反比例函y ＝8x 上，求出点A （2，4），将点A 代入一次函数解析式即可；（3）由∠PDE ＝∠CBO ，∠COB ＝∠PED ＝90°，得△CBO ∽△PDE ，设D （a ，b ），则DE ＝b ，PE ＝a −6，可得366b a =-，又ab ＝8，可求出点D 的坐标．（1）由一次函数y ＝kx ＋3，得：当x ＝0时，y ＝3，∴B （0，3），过A 作AF ⊥y 轴于点F ，∵A （2，n ），∴AF ＝2，∴S △OAB ＝12OB •AF ＝12×3×2＝3，∵S △OAB ：S △ODE ＝3：4，∴S △ODE ＝12OE •DE ＝4，∵D 是反比例函数y ＝m x上的点，∴m ＝2S △ODE ＝2×4＝8；故答案为：3，8；（2）∵点A （2，n ）在反比例函y ＝8x 上，∴n ＝4，∴A （2，4），∵一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图象经过点A，∴2k＋3＝4，∴k＝12，∴直线AB的解析式为：y＝12x＋3；（3）连接PD，过点A作AH⊥x轴于H，由（2）知：直线AC的表达式为y＝12x＋3，∴当y＝0时，x＝−6，∴C（−6，0），∵∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°，∴△CBO∽△PDE，设D（a，b），则DE＝b，PE＝a−6，∴OB OC DE PE=，∴366 b a=-，∵ab＝8，∴24ab=-⎧⎨=-⎩（舍去）或81ab=⎧⎨=⎩，∴D（8，1）．【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解方程等知识，运用△CBO∽△PDE是求点D 坐标的关键．⊥24．(1)BG＝DE且BG DE(2)①证明见解析；②【分析】（1）证明△BCG≌△DCE(SAS)可得结论；（2）①在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．证明△BCK≌△DCH(SAS)，推出CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，推出△KCH是等腰直角三角形，即可解决问题；②分两种情形：当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD；和当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD，分别根据正方形的性质结合勾股定理求解即可解决问题．【详解】（1）解：∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE．∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，⊥．∴∠BHD＝90°，即BG DE⊥．综上可知BG和DE的关系为BG＝DE且BG DE⊥；故答案为：BG＝DE且BG DE（2）①证明：如图，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．由（1）可知，∠CBK＝∠CDH，∵BK ＝DH ，BC ＝DC ，∴△BCK ≌△DCH (SAS )，∴CK ＝CH ，∠BCK ＝∠DCH ，∴∠BCK +∠KCD ＝∠DCH +∠KCD ，即∠KCH ＝∠BCD ＝90°，∴△KCH 是等腰直角三角形，∴HK =，∴BH DH BH BK KH -=-==；②如图，当D ，G ，E 三点共线时∠DEC ＝45°，连接BD ．由（1）可知，BH ＝DE ，∵四边形CEFG 为正方形∴CE ＝CH ＝2，∴EH =∵AB ＝5，∴BD ==设DH ＝x ，则==BH DE x +，在Rt △BDH 中，222=BH DH BD +，即222(=x x ++，解得：12x x ==（舍）故此时DH =如图，当H ，E 重合时，∠DEC ＝45°，连接BD ．设DH ＝x ，∵BG ＝DH ，∴==BH DH HG x --，在Rt △BDH 中，222=BH DH BD +，即222(x x -+=解得：12x x ==故此时DH综上所述，满足条件的DH 的值为【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．25．(1)239344y x x =-++，375,216⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)①2或72；②1013,36⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3,3)【分析】（1）直接将(1,0),(0,3)A C -两点坐标代入解析式中求出a 和c 的值，进而根据顶点式求得顶点坐标；（2）①先求出BC 的长和E 点坐标，再分两种情况讨论，当点D 在线段CO 上运动时的情况和当点D 在线段OB 上运动情况，利用面积已知得到关于t 的一元二次方程，解t 即可；②分别讨论当点D 在线段CO 上运动时的情况和当点D 在线段OB 上的情况，利用平行四边形的性质和平移的知识表示出F 点的坐标，再代入抛物线解析式中计算即可．（1）解：∵抛物线294y ax x c =++经过(1,0),(0,3)A C -两点，90,43.a c c ⎧-+=⎪∴⎨⎪=⎩解得3,43.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴该地物线的函数表达式为239344y x x =-++∴抛物线223933753444216y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴抛物线的顶点P 的坐标为375,216⎛⎫ ⎪⎝⎭．239344y x x =-++ ，∴令0y =，解得：121,4x x =-=，B ∴点的坐标为(4,0),4OB =．（2）①∵在OBC △中，BC OC OB <+．∴当动点E 运动到终点C 时，另一个动点D 也停止运动．3,4OC OB == ，∴在Rt OBC △中，5BC ==．05t ∴<≤当运动时间为t 秒时，BE t =，如图4-2，过点E 作EN x ⊥轴，垂足为N ，则BEN BCO ∽．5BN EN BE t BO CO BC ∴===．43,55BN t EN t ∴==．∴点E 的坐标为434,55t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭．下面分两种情形讨论：i ．当点D 在线段CO 上运动时，03t <<．此时CD t =，点D 的坐标为(0,3)t -．BDE BOC CDE BODS S S S ∴=-- 111222E BO CO CD x OB OD =⋅-⋅-⋅11414344(3)2252t t t ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯- ⎪⎝⎭225t =当3310BDE S = 时，2233510t =．解得1t =（舍去），23t =<．t ∴=ii ．如图4-3，当点D 在线段OB 上运动时，35,7t BD t ≤≤=-，12BDE S BD EN ∴=⋅ ．13(7)25t t =⨯-⨯23211010t t =-+．当3310BDE S = 时，232133101010t t -+=解得3477322t t +-==<．又35t ≤≤ ，72t +∴=．综上所述，当t =t 时，3310BDE S =②如图4-4，当点D 在线段CO 上运动时，03t <<；∵()43(1,0),0,3,4,55A D t E t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，当四边形ADFE 为平行四边形时，AE 可通过平移得到EF ，∵A 到D 横坐标加1，纵坐标加()3t -，∴425,355F t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴234942553345455t t t ⎛⎫⎛⎫--+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：2242303750t t -+=，∴1215253,212t t =>=，∴2512t =，∴1013,36F ⎛⎫ ⎪⎝⎭;如图4-5，当点D 在线段OB 上运动时，AE 可通过平移得到EF ，∵()43(1,0),3,0,4,55A D t E t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∵A 到D 横坐标加()2t -，纵坐标不变，∴132,55F t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴23191322345455t t t ⎛⎫⎛⎫-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴1230,5t t =-=，因为05t <≤，∴5t =，∴()3,3F ，综上可得，F 点的坐标为1013,36⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3,3)．【点睛】本题综合考查了抛物线的图像与性质、相似三角形的判定与性质、已知顶点坐标求三角形面积、平行四边形的判定与性质、平移的性质、勾股定理等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能够用数形结合与分类讨论的思想方法解题是关键．。
辽宁省沈阳市辽中区九年级上学期数学期末试题及答案
键．根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】解： 直线123l l l ∥∥，∴AB DEBC EF=，∵3AB =， 4.5BC =，2DE =，∴324.5EF=，3EF ∴=，故选：B ．3. 已知反比例函数3y x=，则下列描述不正确的是（ ）A. 图象位于第一、三象限 B. 图象必经过点()1,3C. 图象不可能与坐标轴相交 D. y 随x 的增大而减小【答案】D 【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的相关性质是解题关键．【详解】解：A ．反比例函数3y x=，则图象位于第一、三象限，故此选项A 正确，不合题意；B ．当1x =时，3y =，即图象必经过点()1,3，故此选项B 正确，不合题意；C ．图象不可能与坐标轴相交，故此选项C 正确，不合题意；D ．每个象限内，y 随x 的增大而减小，故此选项D 不正确，符合题意．故选：D ．4. 一元二次方程230x mx -+=的一个根是1，则m 的值为（ ）A. 4 B. 4- C. 3D. 3-【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．将1x =代入一元二次方程230x mx -+=，得关于m 的一元一次方程，解方程即可．【详解】解：将1x =代入一元二次方程230x mx -+=，得130m -+=，解得4m =．故选A ．5. 下列说法不正确的是（ ）A. 所有的等边三角形都相似B. 所有的正方形都相似C. 有一个角100︒的等腰三角形都相似D. 所有的矩形都相似【答案】D 【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定、正多边形的判定，根据相似多边形的定义逐项分析判断，即可求解．【详解】A 、由于所有的等边三角形的各角是60︒，而每个等边三角形的边长相等，故所有的等边三角形都相似，故本选项正确，不合题意；B 、由于正方形的边长都相等，四个角都相等，故所有的正方形一定相似，故本选项错正确，不合题意；C 、等腰三角形的底角与顶角均能确定，故本选项正确，不合题意；D 、由于矩形的四条边不相等，故所有的矩形不一定相似，故本选项错误．故选：D ．6. 如图，已知AB DE ∥，:2:5AC AE =，若AB 的长度为2，则DE 的长度为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先得出:2:3AC EC =，通过证明ABC EDC ∽．得出::2:3AB DE AC EC ==，即可解答．【详解】解：∵:2:5AC AE =，∴:2:3AC EC =，∵AB DE ∥，∴ABC EDC ∽，∴::2:3AB DE AC EC ==，∵AB 的长度为2，∴DE 的长度为3，故选：A ．7. 函数6y x-=的图象上有三个点，()12,A y -，()21,B y -，()31,C y ，则下列各式中，正确的是（ ）A. 123y y y << B. 321y y y << C. 312y y y << D.213y y y <<【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象的增减性是解题的关键．求出各点坐标，进行大小比较即可．【详解】解：∵()12,A y -，()21,B y -，()31,C y 在6y x-=上，∴1233,6,6y y y ===-，∴312y y y <<，故选：C ．8. 下列四个命题，其中真命题为（ ）A. 对角线互相垂直的四边形是菱形； B. 两条对角线相等的四边形是矩形；C. 矩形是轴对称图形，且有两条对称轴； D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．【答案】C 【解析】【分析】本题考查矩形、菱形和正方形的判定，熟练掌握矩形、菱形和正方形的判定定理是解答此题的关键．【详解】解：A ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A 错误；B ．对角线相等互相平分的四边形是矩形，故B 错误；C ． 矩形是轴对称图形，且有两条对称轴，故C 正确；D ． 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故D 错误．故选：C ．9. 某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若每次降价的百分率相同．设第一次降价的百分率为x ，由题意可列得方程（ ）A. ()36150x += B. ()236150x += C. ()50136x -= D.()250136x -=【答案】D 【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．关系式为：原价(1⨯-降低的百分率）2=现价．【详解】解：第一次降低后的价格为：50(1)x -，第二次降低后的价格为250(1)x -，∴可列方程为250(1)36x -=．故选：D ．10. 如图，在平面直角坐标系中，将OAB 以原点O 为位似中心放大后得到OCD ，若()0,1B ，()0,3D ，则OAB 与OCD 的面积比是（ ）A. 31∶B. 13∶C. 91∶D. 19∶【答案】D 【解析】【分析】本题考查了位似的性质，相似三角形的性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据图形求得位似比，进而根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：∵将OAB 以原点O 为位似中心放大后得到()(),0,1,0,3OCD B D ，∴:1:3OB OD =，∴OAB 与OCD 的面积比是1:9，故选：D ．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11. 一元二次方程()2315x x x +-=的一般形式是____________．【答案】24350x x --=【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握20ax bx c ++=（其中a 、b 、c 是常数，0a ≠）是一元二次方程的一般形式是解题的关键，把原方程变形为一元二次方程的一般形式即可，．详解】解：()2315x x x +-=∴22335x x x +-=，∴24350x x --=，即一元二次方程()2315x x x +-=的一般形式是24350x x --=，故答案为：24350x x --=12. 已知0654a b c==≠，且23a b c +-=，b c +=____________．【答案】9【解析】【分析】本题主要考查了比例的性质，正确设出()6540a k b k c k k ===≠，，，构造方程求解是解题的关键．【详解】解：∵0654a b c==≠，设()6540a k b k c k k ===≠，，，【∵23a b c +-=，∴6583k k k +-=，∴1k =，∴549b c k k +=+=．故答案为：9．13. 若菱形两条对角线长分别是6cm ，8cm ，则该菱形的面积是____cm 2．【答案】24【解析】【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．【详解】解：该菱形的面积是S=12ab=12×6×8=24cm 2，故答案：24．【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．14. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验．探究盖面朝上的概率．整理的实验数据如下表：抛掷次数50500100030005000朝上次数2726452715872650朝上频率0.54000.52800.52700.52900.5300下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确是____________．（填序号）【答案】①③##③①【解析】【分析】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．根据表中数据及频率的为的估计概率依次判断即可．【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多于累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．故答案为：①③．15. 如图，矩形ABCD 中，2AB =，3AD =．在边AD 上取一点E ，使BE BC =．过点C 作CF BE ⊥，垂足为点F ，则BF 的长为____________．【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，证ABE FCB ≌△△是解题关键．【详解】解：由题意得：90,3BAE ABC BFC BC AD ∠=∠=∠=︒==，∴ABE CBF BCF CBF ∠+∠=∠+∠，∴∠=∠ABE BCF ，∵BE BC =，∴ABE FCB ≌△△，∴2CF AB ==，∴BF ==三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16. （1）如图是由6个同样大小的小正方体搭成的几何体，画出它的左视图和俯视图．（2）解方程：2780x x --=．【答案】（1）见解析；（2）128,1x x ==-【解析】【分析】本题考查了画三视图；解一元二次方程；（1）根据题意画出左视图与俯视图，即可求解．（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，（2）2780x x --=∴()()810x x -+=∴80x -=或10x +=解得：128,1x x ==-．17. 一个不透明的袋子中装有三个小球，上面分别标有数字1-，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同．（1）随机从袋子中摸出一个小球，直接写摸出的球上面标的数字为正数的概率；（2）小明先从俊子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M 的横坐标；然后放回搅匀，接着小军从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M 的纵坐标．请用画树状图或列表的方法求点M 在坐标轴上的概率．【答案】（1）13（2）59【解析】【分析】本题考查了概率的应用，熟记概率公式以及掌握列表法或树状图法求概率是解题关键．（1）确定正数的个数即可求解；（2）列表表示出点M的坐标，根据坐标轴上的点的坐标特征：横坐标或纵坐标为零，即可求解．【小问1详解】解：∵1 ，0，1中，1为正数，∴随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率：13；【小问2详解】解：列表如下：第二次第一次－101－1（－1，－1）（－1，0）（－1，1）0（0，－1）（0，0）（0，1）0（1，－1）（1，0）（1，1）总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．其中点M在坐标轴上的结果有5种，因此点M在坐标轴上的概率为：5 9．18. 小军和小文利用阳光下的影于来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为20米，0A的影长OD为24米，小军的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且OA⊥OD，EF⊥FG．（1）①图中阳光下的影子属于（填“中心投影”或“平行投影”）②线段AD、线段BC与线段EG之间的位置关系为．（2）已知小军的身高E为1.8米，求旗杆的高AB．【答案】（1）①平行投影；②AD BC EG （或答“平行”） （2）旗杆AB 的长为3米【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定．（1）根据平行投影和中心投影的定义即可做出判断．（2）证明AOD EFG ，利用相似比计算出AO 的长，再证明BOC AOD ，然后利用相似比计算OB 的长，进一步计算即可求解．【小问1详解】①根据题意可知是平行投影；②AD BC EG （或答“平行”）；故答案为：①平行投影；②AD BC EG （或答“平行”）．【小问2详解】OA OD EF FG ⊥⊥ ，，∴90AOD EFG ∠∠︒＝＝，∵AD EG ，∴D G ∠=∠，∴AOD EFG ，∴OA ODEF FG =，∴241.82.4OA =．∴18OA =4CD OD OC =-=，∵AD BC ∥，∴AB CDOA OD=，∴41824AB =，∴3AB =（米），所以，旗杆AB 的长为3米，19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数2y x =+与反比例函数()0k y k x=≠的图象相交于(),4A m 、()4,B n -两点，分别连接OA OB ，．（1）求k 、m 与n 的值；（2）直接写出AOB 的面积．【答案】（1）2m =，2n =-，8k =（2）6【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：（1）分别把点A 和点B 坐标代入一次函数解析式中即可求出m 、n 的值，进而求出A 、B 的坐标，再把点A 坐标代入反比例函数解析式中求出k 的值即可；（2）设一次函数2y x =+与y 轴交于C ，则()02C ，，再根据AOB AOC BOC S S S =+△△进行列式求解即可．【小问1详解】解：把(),4A m 代入2y x =+中得42m =+，则2m =；把()4,B n -代入2y x =+中得422n =-+=-；∴()()2442A B ，，，--，把()24A ，代入()0k y k x =≠中得：()402k k =≠，解得8k =【小问2详解】解：设一次函数2y x =+与y 轴交于C ，则()02C ，，∴2OC =，∴AOB AOC BOC S S S =+△△()1122A B OC x OC x =⋅+⋅-11222422=⨯⨯+⨯⨯6=．20. 某商场以每件50元的价格购进一批商品，当商场按每件60元出售时，每周可售出50件，经调查，该商品的每涨价1元，其销售量就会减少1件．（1）商场为为了每周能获利800元，当要求售价不高于每件80元时，售价应定为多少？（2）每周利润能否达到950元，为什么？【答案】（1）售价应定为每件70元（2）利润不能达到950元，理由见解析【解析】【分析】本题考查了一元二次方程与营销问题，注意正确理解题意，建立实际问题与方程的联系即可．（1）设每件商品涨价x 元，则销量为()50x -，据此即可列出方程求解；（2）假设每周利润能达到950元，则()()605050950x x -+-=，判断该一元二次方程的解的情况即可求解．【小问1详解】解：设每件商品涨价x 元，由题意得，()()605050800x x -+-=，解得110x =，230x =（不合题意，舍去）．∴6070x +=售价应定为每件70元．【小问2详解】解：不能，理由如下：假设每周利润能达到950元，则()()605050950x x -+-=，化简得，2404500x x -+=，()240414502000∆=--⨯⨯=-<，∴原方程无实数根，所以，利润不能达到950元．21. 如图，在ABCD Y 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，CAB ACB ∠=∠，过点B 作BE AB ⊥交AC 于点E ．（1）求证：AC BD ⊥；（2）若5AB =，6BD =，直接写出BE 的长．【答案】（1）见解析 （2）154BE =【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．（1）证AB CB =，得ABCD Y 是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；（2）由菱形的性质得132OB OD BD ===，AC BD ⊥，再由勾股定理得4OA =，然后证BOE AOB ∽，得OE OB OB OA=，再求解即可．【小问1详解】证明：CAB ACB ∠=∠ ，AB CB ∴=，ABCD ∴ 是菱形，AC BD ∴⊥；【小问2详解】解：由（1）可知，ABCD Y 是菱形，132OB OD BD ∴===，AC BD ⊥，90AOB BOE ∴∠=∠=︒，4OA ∴===，BE AB ⊥ ，90EBA ∴∠=︒，90BEO BAO ABO BAO ∴∠+∠=∠+∠=︒，BEO ABO ∴∠=∠，BOE AOB ∴ ∽，∴OE OB OB OA=，即334OE =，解得：94OE =，154BE ∴===．22. 综合与实践【问题情境】如图1，点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE BC GF CD ⊥⊥，，垂足为点F ．（1）求证：四边形CEGF 是正方形．（2）求AG BE的值．【类比探究】（3）如图2，将正方形CEGF 绕点C 按顺时针方向旋转045αα︒︒（＜＜），试探究线段AG 与BE 长度之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2；（3）AG =【解析】【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、余弦、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）由GE BC GF CD ^^、结合90BCD ∠=︒可得四边形CEGF 是矩形，再由45BCA ∠=︒，得出CEG 是等腰直角三角形，进而可得结论；（2）由正方形性质知9045CEG B ECG ∠=∠=︒∠=︒、，据此可得CG CE=，GE AB ，利用平行线分线段成比例定理即可得出结果；（3）连接CG ，证得ACG BCE △∽△，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴9045BCD BCA Ð=°Ð=°，，∵GE BC GF CD ^^、，∴90CEG CFG ECF ∠=∠=∠=︒，∴四边形CEGF 是矩形，∵45BCA ∠=︒，∴CEG 是等腰直角三角形，∴EG EC =，∴四边形CEGF 是正方形；（2）解：由（1）知四边形CEGF 是正方形，∴9045CEG B ECG ∠=∠=︒∠=︒，，∴CG CE=，GE AB ，∴AG CG BE CE ==∴AG BE=（3）解：线段AG 与BE 长度之间的数量关系为：AG =；连接CG ，如图（2）所示：由旋转性质得：BCE ACG α∠=∠=，∵cos 45CE CG =︒=，cos 45CB CA =︒=，∴CE CB CG CA=，∴BCE ACG ∽，∴AG CA BE CB ==∴线段AG 与BE 长度之间的数量关系为：AG =．23. 如图，在矩形ABCD 中，4cm AD =，24cm AB =，动点P 从点A 开始沿AB 边以2cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CD 边以1cm/s 的速度运动．点P 和点Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为s t ．（1）用含t 的代数式表示BP = ；（2）若四边形PBCQ 为矩形，求t 的值；（3）是否存在t 值，使线段PQ 的长为5cm ？若存在，直接写出t 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）()242cm t -（2）8t =（3）17t =，29t =【解析】【分析】（1）先用含t 的代数式表示出AP ，再用AB 的长减去AP 就是BP ；（2）用含t 的代数式分别表示出BP 和CQ ，当四边形PBCQ 为矩形时，BP CQ =，据此列出关于t 的方程，解方程即可求出t 值；（3）过点Q 作⊥QE AB 于E ，分两种情况分别求出当5PQ =时的t 值即可．【小问1详解】∵动点P 从点A 开始沿AB 边以2cm/s 的速度运动，∴2AP t =，又∵24cm AB =，∴()242cm BP t =-．故答案为：()242cm t -；【小问2详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴24cm CD AB ==，由题意得，242BP t =-，CQ t = ，当四边形PBCQ 为矩形时，BP CQ =，∴242t t -=，∴8t =．【小问3详解】当CQ BP <时，如图1，过点Q 作⊥QE AB 于E ，∴4QE CB ==，BE CQ t ==，当5PQ =时，3PE ==，∴2423BP t t =-=+，解得：7t =；当CQ BP >时，如图2，过点Q 作⊥QE AB 于E ，∴4QE CB BE CQ t ====，，当5PQ =时，3PE ==，∴2423BP t t =-=-，加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
辽宁省沈阳市第七中学2024-2025学年九年级上学期9月考 数学试卷
九年级上数学第一次数学周考(9.10)一.选择题(共10小题)1.下列关于x 的方程中，是一元二次方程的为( ) A.B.k²-4=2yC.-2r²+3=0D.(a-1)x²-2x=0 2.下列各组线段(单位：cm) 中，成比例线段的是( )A.1 、2 、3 、4B.2 、3 、4 、6C.1 、√3 、2 、√6D.√2 、2 、√3 、3 3.用配方法解一元二次方程2x²-2x-1=0, 下列配方正确的是( )4. ·一元二次方程x²+2x-1=0 的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根 5.'已B. C. 口6.如图，I//1₂//l ₃,若AB=6,BC=4,DF=15, 则 EF 等于( ) A.5 B.6 C.7 D.9D. 不能确定7.如图，△ABC中，∠A=76°,AB=8,AC =6. 将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A.C.8D.8.如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F, AB=3, 则AF 的长为( )A.1B.C.D.2 9.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”,如图，P 为AB 的黄金分割点(BP<AP), 如果AB 的长度为8cm, 那么AP 的长度是( ) A.(4√5-4)cn B.(4-2√5)cm c.(8-2√5)cn D.(12-4√5)cuB.10.如图，已知OABCD,AB=2,AD=6, 将口ABCD 绕点A 顺时针旋转得到口AEFG,且点G 落在对角线AC 上，延长AB 交EF 于点H, 则FH 的长为( ) A.二.填空题(共5小愿)11.一元二次方程x²+x=0 的根是_12. 已知关于x 的一元二次方程(m-1)r+4x-1=0 有实数根，则m 的取值范围是 13. 已且a+b-2c=9, 则 c 的值为14.如图，在边长为1的正方形网格中，A 、B 、C 、D 为格点，连接AB 、CD 相交于点E, 则AE 的长为15.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°, 在BC 的延长线上截取BD=AB, 连接AD, 过点 B 作BE ⊥AD 于点E, 交AC 于点F, 连接DF,点 P 为射线BE 上一个动点，若AC=9, BC=12, 当△APB 与△AFD 相似时，BP 的长为 三.解答题(共5小题) 16.解一元二次方程：(1)(2x-3)²=9(x+2)², (2)3x²+6x-4=0.17.由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次侨格的上调、口單的价格由每包10元涨到了 包16.9元.(1)求出这两次价格上调的平均增长率；(2)在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一灭 以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包.当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价 少元?C.5D. 无法确定B.18.如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相间的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米。