函数图像与自变量取值
函数类型及图像
函数类型及图像函数是一种数学概念，它是描述一种关系的方式。
比如，它可以用来表示两个变量之间的关系，也可以用来表示一个变量随另一个变量的变化而变化的程度。
函数的种类有很多，在不同的情况下使用不同的函数类型可以更好地描述变量之间的关系。
首先从直观上描述函数，函数可以用一个图象表示，一般称之为函数图像。
在函数图像中，每个点处函数值的变化可以用它的颜色和大小来表示，而不同的函数类型可以用不同的颜色和大小来表示它们之间的关系。
一元函数是一个最常见的函数类型，即只存在一个自变量的函数。
一元函数的图像只有一个轴，这个轴代表自变量的取值，而函数值对应的是另一个轴。
一元函数的函数图像可以用不同的颜色和大小来表示其函数值的变化。
二元函数可以用两个自变量表示，其函数图像是一个二维平面，两个变量分别用两个轴表示，而函数值则用不同的颜色和大小来表示。
多元函数可以用多个自变量表示，其函数图像则为多维空间，每个变量对应一个轴，而函数值可以用它的颜色和大小来表示。
函数的种类很多，可以将函数分为离散函数和连续函数两大类。
离散函数指函数值只能是一个值或一组值，而连续函数指函数值可以任意取值。
函数还可以分为线性函数、非线性函数、多项式函数等等。
线性函数就是可以用一条直线表示的函数，而非线性函数则不能用直线表示。
多项式函数是一种特殊的非线性函数，它由多个多项式构成。
此外，函数还可以分为可逆函数和不可逆函数两类。
可逆函数指的是函数值可以通过改变自变量的取值而得到反函数，而不可逆函数则不能。
总之，函数是一种数学概念，它可以用不同的函数类型来描述变量之间的关系，可以用函数图像来表示每个点处函数值的变化，如一元函数、二元函数、多元函数等。
离散函数和连续函数、线性函数和非线性函数、多项式函数等也是函数的类别。
此外，函数还分为可逆函数和不可逆函数。
可以利用这些函数类型，根据不同的情况来描述变量之间的关系，以达到更好的效果。
二次函数自变量取值范围
二次函数自变量取值范围
（实用版）
目录
1.二次函数的定义与性质
2.自变量的取值范围
3.函数图像与自变量的关系
4.实际问题中的应用
正文
二次函数是数学中的一种重要函数类型，其定义为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。
二次函数具有一些特殊的性质，如它的图像是一个抛物线，抛物线开口方向由二次项系数 a 的正负决定，当 a>0 时，开口向上，a<0 时，开口向下。
在二次函数中，自变量 x 的取值范围是所有实数，因为二次函数可以无限延伸，无论 x 取何值，函数都有定义。
然而，在实际问题中，我们往往需要考虑自变量的有效取值范围，即能够使函数有意义的 x 的取值范围。
这个有效取值范围通常由题目中的实际问题决定，比如在物理问题中，自变量可能代表时间，此时 x 的取值范围可能为 [0, +∞)，在化学问题中，自变量可能代表浓度，此时 x 的取值范围可能为 (0, 1]。
二次函数的图像与自变量的关系也非常重要。
二次函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质，如开口方向、顶点位置等。
同时，我们也可以通过图像来确定自变量的取值范围，比如当二次函数的图像在 x 轴上方时，我们可以确定 x 的取值范围为使得函数值大于 0 的 x 值。
在实际问题中，二次函数常常被用来描述各种现象，如物体的自由落体运动、化学反应的浓度与时间的关系等。
对于这些实际问题，我们需要先确定自变量的取值范围，然后通过二次函数来描述现象，最后通过函数的性质来解释现象。
总的来说，二次函数的自变量取值范围是所有实数，但在实际问题中，我们需要根据问题的实际情况来确定自变量的有效取值范围。
数学公式知识：函数图像的性质与特点
数学公式知识：函数图像的性质与特点函数图像是数学中比较重要的一个概念，它具有多种性质和特点。
在本文中，我们将重点论述函数图像的性质与特点。
一、函数图像的定义和基本形态函数是一个规定了自变量与因变量之间关系的集合。
当自变量取遍不同的值时，函数的值也会随之变化。
函数的图像就是由函数的自变量和因变量构成的点的集合，每个点的坐标是(x,y)，其中x表示自变量的值，y表示函数的值。
函数图像的基本形态包括以下几种：1.直线函数图像：直线函数的图像是一条直线，表现出自变量和因变量之间的线性关系。
2.二次函数图像：二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的抛物线，表现出自变量和因变量之间的二次关系。
3.反比例函数图像：反比例函数的图像是一个双曲线，表现出自变量和因变量之间的反比例关系。
4.正弦函数图像：正弦函数的图像是一条波浪线，表现出自变量和因变量之间的正弦函数关系。
二、函数图像的性质函数图像具有多种性质，这些性质不仅能够帮助我们更好地理解函数图像，还能够帮助我们解决一些函数相关的问题。
以下是函数图像的一些常见性质：1.奇偶性：如果一个函数图像在x轴上的任意一点(x,f(x))处满足f(-x)=f(x)，那么该函数就是偶函数；如果函数图像在x轴上的任意一点(x,f(x))处满足f(-x)=-f(x)，那么该函数就是奇函数。
2.周期性：如果函数图像在x=a处存在一个正数T，使得f(a+x)=f(a+x+T)，那么该函数就是具有周期性的。
3.对称性：函数图像可以具有多种对称性，其中最常见的有x轴对称和y轴对称。
4.单调性：如果函数图像随着自变量的增加而单调递增或递减，那么该函数就是具有单调性的。
5.渐近线：函数图像可能会逐渐接近某个数值或者一条直线，我们称其为渐近线。
6.极值点：函数图像可能会在某些点处取得最大值或最小值，我们称其为极值点。
三、函数图像的特点除了上述常见的函数图像性质外，函数图像还有很多独特的特点。
函数图像的基本特征与应用
函数图像的基本特征与应用函数图像是数学中的重要内容之一，函数通常是指一个变量集合与另一个变量集合之间的映射关系。
在我们日常生活中，很多经济、科学和技术问题都可以用函数来描述。
通过观察函数图像的形态，我们可以发现很多特征，了解函数的性质，对于问题的解决有极大的帮助。
本文将介绍函数图像的基本特征与应用。
一、函数的基本特征函数图像的基本特征有：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和渐近线等。
1. 定义域和值域函数的定义域和值域是该函数的两个基本元素。
其中，定义域是指函数所能取到的所有自变量的取值范围，值域是指函数在定义域内所能取到的所有因变量的取值范围。
在函数图像中，定义域通常是横轴上的一段区间，值域通常是纵轴上的一段区间。
2. 单调性函数的单调性是指当定义域内的自变量增大时，函数值是单调递增还是单调递减。
如果函数单调递增，其图像将呈现出从左向右逐渐上升的曲线形态，如果函数单调递减，则图像将呈现出从左向右逐渐下降的曲线形态。
3. 奇偶性函数的奇偶性是指，当自变量变为相反数时，函数值是否改变。
如果函数在变化后值不变，则称函数为偶函数，反之为奇函数。
偶函数的图像通常呈现出轴对称的形状，奇函数的图像通常呈现出中心对称的形状。
4. 周期性函数的周期性是指，如果存在一个正数T，使得对于所有自变量x，都有f(x+T) = f(x)，那么函数就具有周期T。
周期函数的图像通常呈现出一段重复出现的形态，可以用周期推断函数的性质。
5. 渐近线当函数的定义域趋于无穷时，函数图像可能会趋于一条直线，这个直线称为函数的渐近线。
函数的渐近线可以判断函数的增长趋势和极限值。
二、函数图像的应用函数图像的应用非常广泛，既可以用于科学和工程领域中的建模，也可以用于纯数学研究。
以下是几个常见的应用。
1. 数值计算我们可以用函数图像的形态来计算函数在某些特定点的值。
当自变量x取某一具体值时，函数图像的纵坐标即是函数的值。
同时，我们还可以用函数图像的单调性、奇偶性等特征来进行加速计算，这对于数据密集的计算任务有很大的优化效果。
函数的图像与性质分析方法
函数的图像与性质分析方法函数是数学中的重要概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
通过分析函数的图像和性质，我们可以深入理解函数的行为和特点。
本文将介绍一些常用的函数图像与性质分析方法。
一、函数的图像分析方法1. 函数的定义域和值域分析：首先确定函数的定义域，即自变量的取值范围。
然后通过对函数进行计算，确定其对应的值域，即函数的取值范围。
这样我们可以得到函数的定义域和值域的范围，从而有利于后续的图像分析。
2. 函数的奇偶性分析：对于定义在对称区间上的函数，可以通过奇偶性来判断其图像是否对称。
若函数满足$f(x)=f(-x)$，则函数为偶函数，其图像关于y轴对称；若函数满足$f(x)=-f(-x)$，则函数为奇函数，其图像关于原点对称。
3. 函数的单调性分析：通过计算函数的导数或利用函数的增减性质，可以判断函数在定义域上的单调性。
若函数的导数恒大于0，则函数在该区间上单调递增；若函数的导数恒小于0，则函数在该区间上单调递减。
4. 函数的极值点和拐点分析：通过计算函数的导数和二阶导数，可以确定函数的极值点和拐点。
函数的极值点对应函数图像上的局部最大值或最小值，而拐点则对应函数图像上的转折点。
5. 函数的渐近线分析：函数的渐近线是指函数图像在无穷远处的趋势。
常见的渐近线包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
通过计算函数在无穷大或无穷小处的极限值，可以确定函数的渐近线。
二、函数的性质分析方法1. 函数的周期性分析：对于周期函数，可以通过计算函数的周期来确定其周期性。
周期函数的图像在一个周期内重复出现，具有明显的重复性。
2. 函数的对称性分析：函数的对称性可以分为轴对称和中心对称两种情况。
轴对称函数的图像关于某条直线对称，而中心对称函数的图像关于某个点对称。
3. 函数的增减性分析：通过计算函数的导数或利用函数的增减性质，可以判断函数在定义域上的增减情况。
函数的增减性对应函数图像上的上升和下降趋势。
4. 函数的凹凸性分析：通过计算函数的二阶导数或利用函数的凹凸性质，可以判断函数在定义域上的凹凸情况。
函数的定义域、值域、最值
对于一些单调函数，可以通过求反函数，然后在反函数的定义域内求 最值。
常见函数的最值
一次函数
一次函数的最值出现在端点处 ，其最值为常数项。
二次函数
二次函数的最值出现在顶点处 ，其最值为顶点的纵坐标。
指数函数
指数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷 大或无穷小。
对数函数
对数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷
最值
函数在定义域内的最大值和最小值，是函数在特定条件下达到的极值。
如何在实际问题中灵活运用函数的性质
实际问题建模
将实际问题转化为数学模型，利用函数性质 进行分析和求解。
优化问题解决
利用函数最值性质，解决最优化问题，如最 大利润、最小成本等。
动态规划
利用函数性质进行动态规划，解决多阶段决 策问题。
数据分析
函数的定义域、值域、最值
• 函数的定义域 • 函数的值域 • 函数的最值 • 函数的最值在实际问题中的应用 • 总结与思考
01
函数的定义域
定义域的概念
定义域是函数中自变量x的取值范围， 它决定了函数中x可以取哪些值进行计 算。
定义域是函数存在的前提，没有定义 域的函数是不存在的。
确定定义域的方法
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最短路径问题
确定起点和终点
最短路径问题通常涉及从起点到终点的最短路径寻找。
定义路径函数
路径函数表示从起点到终点的所有可能路径，以及每 条路径的长度。
求解最短路径
通过比较所有可能的路径长度，可以找到最短路径， 即最小化路径函数值的路径。
最佳投资问题
确定投资目标和约束
01
最佳投资问题通常涉及在一定时间内实现最大的投资回报或最
函数自变量取值范围的确定方法
函数自变量取值范围的确定策略金山初级中学 庄士忠 201508函数是初中数学一个十分重要的内容，为保证函数式有意义或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。
函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。
一、 函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数：底数≠0。
典型例题：例1：函数y=x 1-的自变量x 的取值范围在数轴上可表示为【 】A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出y=x 1-的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使y=x 1-在实数范围内有意义，必须x 10-≥ x 1⇒≥。
故在数轴上表示为：。
故选D 。
例2：函数y =1x 2- 中自变量x 取值范围是【 】A ．x =2 B ．x ≠2 C ．x ＞2 D ．x ＜2 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使1x 2-在实数范围内有意义，必须x 20x 2-≠⇒≠。
故选B 。
例3：函数2y=x+2中自变量x 的取值范围是【 】A ．x ＞﹣2 B ．x ≥2 C ．x ≠﹣2 D ．x ≥﹣2【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使2x+2在实数范围内有意义，必须x+20x 2x >2x+20x 2≥≥-⎧⎧⇒⇒-⎨⎨≠≠-⎩⎩。
函数图像总结
函数图像总结函数图像是数学中的重要概念，它反映了数学函数在坐标系中的表现形式。
通过观察函数图像，我们可以了解函数的性质、特征以及与其他函数的关系。
本文将对常见的函数图像进行总结，以便读者更好地理解和掌握函数的图像特点。
一、线性函数图像线性函数是最简单也是最容易理解的函数之一。
它的图像即一条直线。
线性函数的一般形式为：y = kx + b，其中k和b为常数。
当k大于0时，直线是向上倾斜的，当k小于0时，直线是向下倾斜的。
b则表示直线与y轴的交点，称为截距。
通过改变k和b的取值，我们可以观察到直线的斜率和截距对图像的影响。
二、二次函数图像二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个抛物线。
抛物线的开口方向由a的正负决定，当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
同时，b和c的取值也会对抛物线的位置产生影响。
通过调整a、b、c的值，我们可以观察到抛物线的顶点、焦点以及与x轴和y轴的交点等特征。
三、指数函数图像指数函数的一般形式为：y = aⁿ，其中a为常数且a > 0，n为自变量。
指数函数图像的特点是随着自变量的增大，函数值呈现出迅速增长或迅速衰减的趋势。
当a大于1时，指数函数图像是递增的；当a位于0和1之间时，指数函数图像是递减的。
指数函数还可以通过调整a的值来改变函数增长或衰减的速度。
四、对数函数图像对数函数的一般形式为：y = logₐx，其中a为底数，x为自变量。
对数函数图像的特点是随着自变量的增大，函数值的增长速度逐渐减缓。
当底数a大于1时，对数函数图像是递增的；当底数a位于0和1之间时，对数函数图像是递减的。
不同底数的对数函数之间在图像形状上有所差异，但都满足递增或递减的特点。
五、三角函数图像三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像都是一条曲线，周期性地在坐标轴上反复出现。
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函数图象
一、基础知识
1、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量， y 称为因变量，y 是x 的函数。
2、确定函数自变量取值范围：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
二、例题讲解
考点一、函数图象问题
1、下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是： （ ）
2、三峡工程在2003年6月1
日至2003
年6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106
米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h （米）随时间t （天）变化的是：
（ ）
A
B
D
3、如图，图像（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（）
A、第3分时汽车的速度是40千米/时
B、第12分时汽车的速度是0千米/时
C、从第3分到第6分，汽车行驶了120千米
D、从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
4、小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸然后用了15分钟返回到家．则下列图像能表示小明离家距离与时间关系的是（）
A、B、
C、D、
5、如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5爬行，那么蚂蚁爬行的高度h 随时间t变化的图像大致是（）
A、B、
C、D、
6、图1是韩老师早晨出门散步时，离家的距离（y）与时间（x）之间的函数图像。
若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）
图1
7、小明在一直道上骑自行车，经过起步、加速、匀速、减速之后停车．设小明骑车的时间为t（秒），骑车的路程为s（米），则s关于t的函数图像大致是（）
A 、
B 、
C 、
D 、
8、向高为10cm的容器中注水，注满为止，若注水量Vcm3与水深hcm之间的关系的图像大致如下图，则这个容器是下列四个图中的（）
A 、
B 、
C 、
D 、
9、将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用﹣注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图像大致为（）
A、B、
C、D、
10、有一个装有进、出水管的容器，单位时间进、出的水量都是一定的．已知容器的容积为600升，又知单开进水管10分钟可把空容器注满，若同时打开进、出水管，20分钟可把满容器的水放完，现已知水池内有水200升，先打开进水管5分钟后，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则能正确反映这一过程中容器的水量Q（升）随时间t（分）变化的图像是（）
A、B、
C、D、
11、如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小， 乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。
在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为x ，瓶中水位的高度为y ， 下列图象中最符合故事情景的是：（ ）
12、某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ）
A 、20kg
B 、25kg
C 、28kg
D 、30kg
13、如图，在凯里一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ ）
A 、乙比甲先到终点
B 、乙测试的速度随时间增加而增大
C 、比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇
D 、比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快
14、 汽车由重庆驶往相距400千米的成都。
如果汽车的平均速度是100千米/小时，那么汽车距离成都的路程S （千米）与行驶时间t (小时)的函数关系永图像表示为（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
15、一辆汽车由A 地匀速驶往相距300千米的B 地，汽车的速度是100千米/小时，那么汽车距离A 地的路程S （千米）与行驶时间t （小时）的函数关系用图像表示为（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
16、在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x (h)时，汽车与甲地的距离为y (km)，y 与x 的函数关系如图所示． 根据图像信息，解答下列问题：
（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由； （2
）求返程中y 与x 之间的函数表达式； （3）求这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离．
17、由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t （h），两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系．
（1）甲、乙两地之间的距离为km，乙、丙两地之间的距离为km；
（2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？
（3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
考点二、函数自变量取值范围
例1:指出下列各函数的自变量取值范围:
①y = x2-1 ；②y = 3x -2；③ y =-5x .
例2:确定下列函数的自变量取值范围:①y=
2
x
-；②y=
2
1
x+
；③ y =
2
1
1
x-
例3：确定下列函数的自变量取值范围:
①②；③；④ y ；⑤
例4：函数y=x的取值范围是。
例5：确定下列函数的自变量取值范围:
(1)y= ()02
x- (2)y= )31-
例6：一辆汽车的油箱中有汽油40升，该车每千米油耗为0.4升，请写出油箱剩余油量Q （升）与行驶路程s（千米）之间的函数关系式，并确定自变量取值范围。
例7：已知等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。
练习:
1.求下列函数中自变量x的取值范围：
⑴ y = 2x+3 ⑵ y = - 3x2⑶ y =
2
1 x-
⑷⑸
2.分别写出下列函数关系式，并指出函数自变量的取值范围。
⑴设一个长方体盒子高为10cm，底面是正方形，求这个长方形的体积V（cm3)与底面边长a(cm)的关系.
⑵设地面气温是200C，如果每升高1km，气温下降60C，求气温t(0C)与高度h(km)的关系
⑶一个三角形的底边长为5cm，高h可以伸缩，求面积S与高h的关系
⑷买一支笔，单价为0.5元/枝，求总价y与笔枝数x的关系
3、拖拉机的油箱最多可装油56千克，装满后耕地，平均每小时耗油6千克。
（1）写出油箱剩油量Q（千克）与耕地时间t（时）之间的函数关系式
（2）求自变量t的取值范围。
4、某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每排比前一排多一个座位，写出每排的座位数 M与这排的排数n的函数关系式，并求自变量n的取值范围。
5、如图,矩形ABCD中,AB=6cm, AC=10cm, 有一动点P,从点B开始,沿由B向A,再由A向C,再由C向D的方向运动,已知每秒钟点P的运动距离为2cm, 试求△PBC的面积S(cm2)与运动时间t (秒)的函数关系式.并写出自变量t 的取值范围.
A。