7.2二次根式的加减法
二次根式的加减法知识讲解
二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．例4、计算下列各题．解：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222．∴x＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A．B．C．D．2、下列计算正确的是( )A．B．C．D．3、下列各式化简结果不正确的是（）A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）A．B．C．D．5、计算等于（）A．·1 B．3C．D．6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）A．A B．BC．A、B的中点D．不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．8、若成立，则xy的值为______．9、若，则______．10、已知正数a、b，有下列结论：(1)若a=1，b=1，则；(2)若，则；(3)若a=2，b=3，则；(4)若a=1，b=5，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则______．三、解答题11、计算或化简下列各题：12、计算：13、已知，求代数式的值．14、计算．[15、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．一．选择题DDCBDB二．填空题7、△ABC的周长大于6且小于10．8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．9、．10、=13．三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。
二次根式的加减法 Microsoft Word 文档
§7.2二次根式的加减法数学 学科 八 年级 下 册 诸城市辛兴初中 臧运建 学习目标：1、理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则2、会进行简单的二次根式的加减运算3、经历同类二次根式概念及加减法法则的发现过程，体验类比、猜想的思想方法。
课前延伸计算下列各式．（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2； （3）x+2x+3y ； （4）3a 2-2a 2+a 3 教学过程一、自主探究 计算下列各式．（先自主学习，然后小组合作交流） （1）3233-；（2）a a a 423+-．规律总结：与整式中同类项的意义相类似，我们把像33与32-，a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式，称为 ．归纳：是同类二次根式二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是 ．例1计算：(1)2454+(2)43932aa +二．合作探究（独立完成后小组合作交流并纠错）计算：54520290+-归纳二次根式的加减法则：三．应用提升（1）451227+-；（2）x x x916425-+．（3）)12)(12(-+； （4）)2)(2(b a b a -+四．谈一谈谈一谈本节课的收获和体会五．比一比（独立完成后组长批阅并指导纠错）当堂小测验1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）122，27；（2）50，83； ；（3）nmn m 2,2； （4）yxx y 2527,43． （5）ab 2，ab 83； （6）b a 23，227ab ．2．计算： （1）433332+-； （2）75335-．（3）245253-+-；（4）12273752+-；（5）2231872-+．3．计算：（1）)23)(23(-+；（2）)32)(32(-+a a ．六．课后拓展．已知二次根式12+a 与7是同类二次根式，试写出三个a 的可能取值．。
7.2二次根式加减
7.2二次根式的加减(1)密州街道朱解初中 王表昌 审阅 初二数学组学习目标：1、能够正确进行简单的二次根式加减法的运算.2、通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣。
重点：二次根式加减法的运算难点：探讨二次根式加减法运算的方法,快速准确进行二次根式加减法的运算。
学习过程：活动一提出问题一个运动场要修两块长方形草坪，第一块草坪的长是10米，宽是5米，第二块草坪的长是20米，宽也是5米。
你能告诉运动场的负责人要准备多少面积的草皮吗？问题：105+205是什么运算？活动二探究活动下列3个小题怎样计算? ①5+5； ②5-125； ③5-50+20.问题：1）53-25还能继续往下合并吗？2）看来二次根式有的能合并，有的不能合并，通过对以上几个题的观察，你能说说什么样的二次根式能合并，什么样的不能合并吗？二次根式加减时,先将二次根式化简成最简二次根式后，再将被开方数相同的进行合并. 活动三应用练习练习1指出下列每组的二次根式中，哪些是可以合并的二次根式？（字母均为正数）（1）8,12，27；（2）72，7521，501； （3）38ab ，b a 2，5332b a例1计算:（1）a a 259+；（2）4580-解:（1）a a 259+a a a 853=+=（2）4580-55354=-=例2计算:（1）323814182+-；（2）)7581()31232(--- 解:（1）原式=212226+-=217（2）原式=+--2413322435=33132415+ 练习2 计算：（2）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+6815.024 活动四课堂小结通过今天的学习你有何收获？1.二次根式加减法的运算方法和步骤是什么?2.二次根式加减法应注意先化简成最简二次根式，以及运算的准确性.3.在学习过程中运用了类比的学习方法.作业：计算:（1）223-；（2）27122+；（3）2918-； （4）x x 2242+；（5）3222x a x -；（6）23218+-；（7）108965475-+-；（8）)272(43)32(21--+（1）()279818-+；7.2二次根式的加减(2)学习目标：1、利用二次根式加减法解决一些实际问题.2、培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力.获得把实际问题转化为数学问题的体验3、通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自我意识.重点：将实际问题抽象为数学问题是本节课的重点难点：被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简。
二次根式的加减法
概念
例子
异类二次根式是指根指数或被开方数不同 的二次根式。
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是异类二次根式 。
减法运算
加法运算
两个异类二次根式相减，先进行化简，再 进行减法运算。
两个异类二次根式相加，先将它们化成最 简二次根式，再进行加法运算。
运算结果化为最简二次根式
概念
最简二次根式是指被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式 。
乘法运算
$\sqrt{a} \times \sqrt{b}$在$ab \geq 0$ 时成立。
减法运算
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$在a=b或ab=0时成立 。
除法运算
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$在$ab \geq 0$ 且$a \neq 0$时成立。
二次根式的加减法
总结词
掌握含加减法的二次根式混合运算法则，能 够准确进行运算。
详细描述
含加减法的二次根式混合运算涉及到根式和 整式的加减法，运算顺序是先乘方，再乘除 ，最后加减。在运算中，需要注意各项均需 乘以平方数，根式外的数要移到根号内，相
加减时根式部分不变。
复杂二次根式混合运算的步骤和技巧
总结词
掌握复杂二次根式混合运算的步骤和技巧，能够准确 快速地进行运算。
02
同类二次根式的加减法
概念
同类二次根式是指根指数相同且被开 方数相同的二次根式。
例子
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是同类二 次根式。
减法运算
两个同类二次根式相减，直接进行减 法运算。
加法运算
两个同类二次根式相加，先将它们化 成最简二次根式，再进行加法运算。
7.2二次根式的加减法教学设计
7.2二次根式的加减法【学习目标】1、通过自主探究概括同类二次根式的概念及二次根式加减法法则。
2、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式。
3、会利用法则进行二次根式的加减运算。
【学习重点】同类二次根式的概念及二次根式加减运算法则。
【学习难点】熟练进行二次根式加减法的运算。
【教学过程】一、复习回顾1、同类项的特点？如何合并同类项？2、如何进行整式的加减运算？3、计算：（1）a +2b －b +2a ， （2）2223a b ba ab +-二、自主学习（一）问题：1、什么是同类二次根式？2、判断是否同类二次根式时应注意什么？3、如何进行二次根式的加减运算？根据上面三个问题，自学课本第10页至11页例1以上的内容。
三、合作探究根据自学内容，完成下面的题目，未解决的小组合作解决。
1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：（1）2322与 （2）32与（3）205与 （4）1218与2、判断：被开方式不同的几个二次根式，一定不是同类二次根式。
（ ）3、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？4、几个二次根式化成_______________后，如果它们的________相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式。
同类二次根式可以像________那样进行合并。
5、二次根式相加减，应先把各个二次根式化成___________,然后把_____________分别合并。
四、自主学习（二）例1、计算：例2、五、有效训练1、做课本第11页练习2.2、计算：（1）(（2）2（3六、精讲点拨1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。
2、二次根式的加减分三个步骤：①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
七、拓展提升教师节到了，为了表达对老师的敬意，八（一）班做了两张大小不同的正方形壁画送给老师，其中一张面积为800平方厘米，另一张面积为450平方厘米，该班团支书小芳想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，她现在有一条长1.2米的金彩带，请你帮忙算一算，她的金彩带够用吗？若不够用，还需要购买多长的金彩带？八、总结反思学生总结本节课主要学习了哪些内容？并说出应注意什么问题，解决问题的步骤是什么？九、达标测试：1、选择题（1中，与是同类二次根式的是（）．A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④（2与3m-）1.414,≈结果保留整数位）A．m=2,n=2 B．m=2,n=1 C．m=1,n=2 D．m=6,n=1(3)若x y==则x+y的值为（）．A．．C．a+b D．a-b(4)下列计算：=；②2+=；③=；④=）A．1 B．2 C．3 D．42、计算：（1）38550（2）112130.5327十、作业A组（必做）：课本11习题A组1、2、3题。
7.2 二次根式的加减法导学案
4、若 x= 6 + 5 ，y= 6 - 5 ，则（ x 18 0.5
1 3
4、一个长方形两边为 a+ b , a b ，求这个长方形的面积和周长。
六、课后作业： 1、课本 11 页习题 1、2、3 题。 2、若最简二次根式 x y 与 3x 2 y 的被开方式相同，则
1 2 1
x = y
3、若 x=
,则 x2-2x+1= 。
探究点二：同类二根式的加减法 法则：二次根式相加减，应先 后 例 2、计算： （1） 54 + 24 (2) 2 3
，然 。
9a +3
a 4
(3) 90 -2 20 +5
4 5
变式练习二： 1、计算： （1）2 3 -3 3 +6 3 （2）2 12 +3 48 -4 75
（3）2 6 。 。 叫做同类二次根式。
7.2《二次根式的加减法》导学案 初二数学备课组 时间：2011.02
一、学习目标: 1、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式。 2、经历二次根式的加减法运算法则的形成过程，感悟类比思想。 3、会利用二次根式的加减运算法则进行计算。 二、学习重点、难点： 重点：同类二次根式的概念、识别。 会运用二次根式的加减运算法则进行计算。 难点：会运用二次根式的加减运算法则进行计算。 三、探究新知： 知识储备： 1、 计算： （1）3a+3a= （2）4ab-ab= 2、自主预习课本 P10-P11 内容，独立完成课本练习 1、2 题后与 小组同学交流（课前完成） 。 探究点一；同类二次根式 通过预习课本 P10-P11，回答下列问题： (1)最简二次根式的定义： (2)化简 27 、 48 (3) 例 1、下列根式中，与 3 是同类二次根式的是（ ）
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是代数中常见的一种运算形式，它包含有平方根，即对一个数的平方根进行运算。
在数学中，对于一个非负实数a，它的平方根可以表示为√a。
在这篇文章中，我们将讨论二次根式的运算及其相关性质。
1. 加法和减法运算二次根式的加法和减法运算可以通过合并同类项的方法来进行。
考虑以下两个二次根式：√a + √b 和√c - √d如果a和b是非负实数，那么√a + √b可以简化为√(a + b)。
同样地，如果c和d是非负实数，那么√c - √d可以简化为√(c - d)。
例如：√5 + √3 = √(5 + 3) = √8√7 - √2 = √(7 - 2) = √52. 乘法运算二次根式的乘法运算可以通过展开式来进行。
考虑以下两个二次根式：√a * √b如果a和b是非负实数，那么√a * √b可以简化为√(a * b)。
√3 * √2 = √(3 * 2) = √63. 除法运算二次根式的除法运算可以通过有理化分母的方法来进行。
考虑以下两个二次根式：√a / √b如果a和b是非负实数且b不等于0，那么√a / √b可以简化为√(a / b)。
例如：√8 /√2 = √(8 / 2) = √4 = 24. 乘方运算二次根式的乘方运算可以通过提取根号的方法来进行。
考虑以下二次根式：(√a)^n如果a是非负实数且n是正整数，那么(√a)^n可以简化为√(a^n)。
例如：(√2)^3 = √(2^3) = √8 = 2√25. 分式运算二次根式可以通过分式的形式来进行运算。
考虑以下二次根式：如果a是非负实数且a不等于0，那么1 / √a可以简化为√a / a。
例如：1 / √3 = √3 / 3综上所述，二次根式的运算涉及加法、减法、乘法、除法、乘方以及分式运算等多种形式。
正确运用这些运算规则可以简化二次根式，使其更易于计算。
理解并掌握二次根式的运算方法对于解决数学问题和理解更高级的代数内容是非常重要的。
二次根式的加减法
二次根式的加减法二次根式是数学中的一种特殊类型，由一个根号和一个数构成。
在这篇文章中，我们将讨论二次根式的加减法运算。
通过理解二次根式的性质和运算规则，我们能够有效地计算和简化这类数学表达式。
一、二次根式的定义二次根式是指具有形如√a的数学表达式，其中a为一个非负实数。
根号下的数称为被开方数，√a读作a的二次根。
例如，√4和√9分别等于2和3，因为2²等于4，3²等于9。
这些数都是被开方数的平方根。
二、二次根式的加法与减法原则1. 加法原则：当两个二次根式具有相同的根号下数时，我们可以将它们合并为一个根号下，然后在对应的系数上进行加法运算。
例如，√5 + 2√5 = 3√5解释：这里的√5和2√5具有相同的根号下数5，所以可以将它们合并为3√5。
2. 减法原则：与加法类似，在两个二次根式具有相同的根号下数时，我们可以将它们合并为一个根号下，然后在对应的系数上进行减法运算。
例如，3√7 - √7 = 2√7解释：这里的3√7和√7具有相同的根号下数7，所以可以将它们合并为2√7。
三、示例与应用让我们通过几个示例来进一步了解二次根式的加减法运算。
示例1：计算：√8 + 3√2解答：√8 = √4 × 2 = 2√2所以，√8 + 3√2 = 2√2 + 3√2 = 5√2示例2：计算：5√10 - 2√10解答：5√10 - 2√10 = 3√10示例3：计算：√18 + 4√3 - 2√12解答：√18 = √9 × 2 = 3√2√12 = √4 × 3 = 2√3所以，√18 + 4√3 - 2√12 = 3√2 + 4√3 - 2√3 = 3√2 + 2√3四、简化与合并在进行二次根式的加减法运算后，我们可以进一步将结果进行简化与合并。
具体而言，可以将相同根号下数的二次根式合并为一个根号下，并且对应的系数进行加减运算。
例如，2√5 + 3√5 = (2+3)√5 = 5√5在这个步骤中，我们将2√5和3√5合并为5√5，并对应的系数2和3进行加法运算。
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诸城市初中数学导学稿（八下）
7.2二次根式的加减法
学习目标：1.了解最简二次根式的概念，会识别同类二次根式。
2、会用二次根式加减运算法则进行计算。
重点：二次根式的加减运算。
难点：二次根式的化简及同类二次根式的判断方法.
教学过程：
【温故知新】
（1）最简二次根式的概念
（2）化简：3818（3）整式加减法的运算法则是什么？
【探索新知】（一）自主学习
1.同类二次根式的概念：
2.判断下列二次根式是不是同类二次根式
3818总结：判断同类二次根式的方法：
（１）
（２）
3.尝试计算
－２3+3+ 3
5.0x+x2
总结（二次根式的加减运算法则）：
（二）合作交流
1.最简二次根式2
a与8是同类二次根式，则a的值是（）Ａ.４Ｂ.６Ｃ.８Ｄ.１０
2. 计算：（１）2132
2181238-+-+-； （２）)0,0(23
3>>-+-b a ab a b b a a b b a
【巩固提升】
(1)下列二次根式中，与32是同类二次根式的有（ ）
271
,50,54,48,3.0．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(2)已知二次根式是同类二次根式，则的α值可以是（
）. A.5 B.6 C.7 D.8
（3）计算：31
8-+
【课堂小结】
【达标检测】
1、下列计算正确的是（ ） A.752=+ B. 34372=+ C. 5225=- D. 24812==-
2、 ）
A ．
B ．3-
C
D ．-3、计算：(1)x x x x 132
4296-+； （2）（23-2)2.
4.先化简，再求值：)6()3)(3(--+-a a a a ，其中21
5+=a
【我的反思】。