湘教版九年级数学上册课件：2.2 一元二次方程的解法 (共35张PPT)
反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两 个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0.
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法 解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方 程的特点，选择合适的方法来求解.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
x b b2 4ac ( b2 - 4ac ≥0) 2a
我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系
数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与 系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二 次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2 一元二次方程的解法 —配方法
教学重、难 点
教 学 重 点 ： 运 用 开 平 方 法 解 形 如 （ x+m ） 2=n(n≥0)
的方程；领会降次—转化的数学思想.
教学难点：通过根据平方根的意义解形如 x2=n 的方 程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2 = n(n≥0)的方程.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方:根据平方根意义，方程两边开平方； 求解:解一元一次方程； 定解:写出原方程的解.
例 市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规 划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将 达到289平方米，这块绿地的边长增加了多少米？
解：这里 a 1 b 7 c 18
因而 b2 - 4ac ＝ (- 7) 2- 4 × 1 × (- 18) ＝ 49 ＋ 72 ＝ 121 ＞ 0，
x 7 121 7 11
21
2
即 x1 9 x2 2
课堂练习
用公式法解下列方程：
1 x2 x 6 0; 2 x2 3x 1 0;
像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程 的方法叫做因式分解法.
例 用因式分解法解下列方程：
x2 - 10x + 24 = 0.
解 配方， 得x2 - 10x + 52 - 52 + 24 = 0， 因而 (x - 5 )2 - 12 = 0， 把方程左边因式分解，得 (x - 5 + 1 )( x - 5 – 1) = 0， 即 (x – 4)(x – 6) = 0， 由此得 x - 4 = 0 或 x - 6 = 0. 解得 x1 = 4， x2 = 6.
解得x1 =2， x2 = -6.
一般地， 像上面这样， 在方程 x2 + 4x = 12 的左 边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使 得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作 配方． 配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来 求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．
如何用配方法解本章2.1节“动脑筋” 中的方程② ： 25x2+ 50x - 11 = 0 呢？
解：设这块绿地的边长增加了x 米，则有(15＋x)2＝ 289，解得x1＝2，x2＝－32(舍去)．
所以这块绿地的边长增加了2米.
2.2 一元二次方程的解法 —公式法
教学目标
学会用公式法解一元二次方程，其一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出a、b、c 的值. 2、求出b2-4ac 的值.
特别注意:当b2-4ac≥0时原方程有实数解. 3、代入求根公式 x b b2 4ac
4
3 3x2 6x 2 0; 4 4x2 6x 0; 5 x2 4x 8 4x 11 ;6 x 2x 4 5 8x.
小结：
1.回顾一元二次方程的求根公式是什么？它是如何 推导的？ 2.怎样通过一元二次方程的根的判别式 Δ=b2-4ac 判断根的情况？ 3.应用公式法解一元二次方程的基本步骤有哪些？
25x2+ 50x - 11 = 0
x2
+
2x
-
11 25
＝
0
二次项系数化为1
配方， 得
x2
+
2x
+12
-
12
-
11 25
＝
0
因此
(x + 1)2 =
36 25
方程左边配成完全平方
- 由此得
x+1=
6 5
或
x+1=
6 5
，
将方程转化为两个一元 一次方程
解得 x1 =0.2， x2 = -2.2
两个一元一次方程分别 求解
2a 4、写出方程的解x1=？，x2=?
用配方法解关于x的方程：ax2+bx+c=0
解:把方程两边都除以a ，得 x2 b x c 0 aa
移项，得 x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
用公式法解方程 x2-x-2=0
解： a ＝ 1，b＝-1，c＝-2.
因而b2 - 4ac ＝ (- 1) 2- 4 × 1 × (- 2) ＝ 1 ＋ 8 ＝ 9 ＞ 0，
所以
x ＝ 1±
9 1 ±3 =
2 ×1
2
因此， 原方程的根为x1＝ 2，x2＝ -1.
用公式法解方程：x2 7 x 18 0
这个方程的二次项系数是25，如果二次项系数为1， 那就
好办了.我们可以直接将左边化为(x + n)2的形式.
由于方程25x2 + 50x - 11 = 0 的二次项系数不为1， 为了便
于配方， 我们可根据等式的性质， 在方程两边同除以25，
将二次项系数化为1， 得
x2 +
2x
-
11 25
＝0
那么现在你会利用配方法解这个方程这个方程了么？
答：x2= - 50不合题意，因为圆的半径不可能为负数， 应当舍去 . 而x1=50符合题意，因此该圆的半径为 50 cm.
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
例1 解方程：4x2-25=0.
解：原方程可化为
x2=
25.
4
根据平方根的意义，得
x = 25 或 x = 25 ，
4
4
因此，原方程的根为
公式法适用于所有一元二次方程. 因式分解法 （有时需要先配方）适用于所有一元二次方程.
配方法是为了推导出求根公式，以及先配方， 然后用因式分解法.
解一元二次方程的基本思路都是： 将一元二次方程转化为一元一次方程，即降次，
其本质是把ax2 + bx + c = 0（ a≠0 ）的左端的二次多项 式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2 + bx + c = a（x-x1）（x-x2），其中x1和x2是方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根.
2.（1） ( a ± b )2＝ a 2 ± 2ab＋b2 ； （2） 把完全平方公式从右边到左边使用， 在下列各题中， 填上适当的数，使等式成立： ① x2 + 6x + 9 ＝ ( x+ 3 )2； ② x2 - 6x + 9 ＝ ( x - 3 )2； ③ x2 + 6x +5 = x2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)2- 4 .
从例中可以看出， 我们能把方程 x2 - 10x + 24 = 0 的左边因式分解后， 写成x2 - 10x + 24 = (x - 4 )(x – 6)= 0，则4和６就是原方程的两个根.
一般地，若我们能把方程x2 + bx + c = 0的左边进 行因式分解后， 写成 x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0， 则 d 和h 就是方程 x2 + bx + c = 0 的两个根.
2.2 一元二次方程的解法 —因式分解法
教学目标
1.用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、 完全平方公式等解一元二次方程及其应用. 2.三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系 与区别.
解方程：x2-3x=0
可以用公式法求解
方程的左边提取公因式x，得 x(x-3)=0，由此得x=0或x3=0,即x1=0，x2=3
解下列方程：
（1）x2-7x=0； （2）3x2= 5x .
归纳总结
1.因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，我们 是如何通过因式分解把一元二次方程降次的呢？
2. 利用因式分解法解一元二次方程的主要步骤有哪些？
如何解本章2.1节“动脑筋”中的方程：x2 -2500 = 0呢？
把方程写成 x2=2500. 这表明 x是 2500 的平方根，根据平方根的意义，
得 x= 2500 或 x= 2500 . 因此，原方程的解为
x1=50, x2=-50.
对于实际问题中的方程 x2 -2500=0 而言， x2 =-50是否符合题意？
点拨：③就是把式子写成(x + n)2 +d的形式
理解新知
解方程： x2+ 4x = 12.
解：x2 + 4x + 22 - 22 = 12，
因此， 有 x2 + 4x + 22 = 22 + 12. 即(x + 2 )2 = 16.
合集下载
2023-2024学年湘教版九年级数学上册2.2+一元二次方程的解法(选择合适的方法解方程)课件+
复习导入
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1.移项：将方程的右边化为0； 右化零
2.因式分解：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积； 左分解
3.降次：方程转化为两个一元一次方程; 两因式
4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解. 各求解
简记口诀：
右化零 左分解 两因式 各求解
探究新知
下列方程用哪种方法求解较简便?说说你的理由，
2.配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然后用因式分解法.
3.方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出适合的方法时，
则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
知识要点
各种一元二次方程的解法及适用类型
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
3;m）2＝n（n ≥ 0）
其中x1和x2是方程ax²+bx+c=0的两个根。
当堂练习
1.用合适的方法解下列方程：
(1)
3x2-4x=2x
解：方程可化为：
3x2-6x=0
方程左边因式分解得
3x(x-2)=0
∴3x=0或x-2=0
∴x1=，x2=
(2)
(x+3)2=1
解：方程可化为： (x+3)2=3
开方，得
x+3=±
实质上，一元二次方程
转化
两个一元一次方程
（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
复习导入
用配方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程的步骤可概括为：
最新湘教版九年级数学上册精品课件-2.2一元二次方程的解法(第1课时)
• 第四级
2.运用开平方•法第五解级形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.
(重点样式
导入新课
复习引入
• 1单.如击果此x处2=编a,辑则母x叫版做文a本的样平式方根 .
2.如• 第果•二第x级三2=级a(a ≥0),则x= a .
• 第四级
3.如果 x2=6•4第,五则级 x= ±8 .
x 3 5 ，或 x 3 5 . ③
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
x1 3 5 ，或 x2 3 5
2019/8/31
12
单击此处编母版标题样式
解题归纳
• 单击此处编辑母版文本样式 •上第面二级的解法中 ，由方程②得到③，实质上是
把一个•一第元三级二次方程“降次”，转化为两个一元 • 第四级
±3,
1
x1=4
;
x2=
7 4
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
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19
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2.填空:
•((12单))方方•击第程程此二x2处级2x=2=0编.128辑5的的母根根版是是文xx本1＝1=样03.,式5x,2x＝2=--30.5.. (3)方程• (第2•三x第-级1四)级2=9的根是x1＝2,x2＝－1 .
∴x+1= 2.
即x1=-1+ 2 ，x2=-1- 2.
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例3 解下列方程：
（• 单2）击（此x处－编1）辑2母－版4 =文0本；样式 解析• 第：二第级2小题先将－4移到方程的右边，再同第1
2.运用开平方•法第五解级形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.
(重点样式
导入新课
复习引入
• 1单.如击果此x处2=编a,辑则母x叫版做文a本的样平式方根 .
2.如• 第果•二第x级三2=级a(a ≥0),则x= a .
• 第四级
3.如果 x2=6•4第,五则级 x= ±8 .
x 3 5 ，或 x 3 5 . ③
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
x1 3 5 ，或 x2 3 5
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解题归纳
• 单击此处编辑母版文本样式 •上第面二级的解法中 ，由方程②得到③，实质上是
把一个•一第元三级二次方程“降次”，转化为两个一元 • 第四级
±3,
1
x1=4
;
x2=
7 4
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
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2.填空:
•((12单))方方•击第程程此二x2处级2x=2=0编.128辑5的的母根根版是是文xx本1＝1=样03.,式5x,2x＝2=--30.5.. (3)方程• (第2•三x第-级1四)级2=9的根是x1＝2,x2＝－1 .
∴x+1= 2.
即x1=-1+ 2 ，x2=-1- 2.
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例3 解下列方程：
（• 单2）击（此x处－编1）辑2母－版4 =文0本；样式 解析• 第：二第级2小题先将－4移到方程的右边，再同第1
湘教版九上数学课件教学：2.2一元二次方程的解法(2)
例、解方程5x2=10x+1
解：移项，得5x2-10x=1 两边都除以5，得x2-2x=1/5
两边都加上，得x2-2x+1=1/5+1
∴（x-1）2=6/5
∴x-1=± 6 解得：x=1± 30
5
5
∴x1=1+，53x02=1-
30 5
完善“配方法”解方程的基本步骤：
1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项 系数a) 2、把常数项移到方程的右边; 3、把方程的左边配成一个完全平方式; 4、利用开平方法求出原方程的两个解.
2.用配方法解下列方程: （1）0.2x2+0.4x=1 (2) 3 x2 1 x 1 0
4 28 (3) n(n 1) 3n 1
2
合作探究
1、一次聚会,出席的每位代表和其他代表各握 一次手,统计结果表明,一共握手45次,问参加 聚会的代表有多少人?
解：设参加的代表有x人，则
x(x 1) 45 2
作业： 1、作业本 2、教材P.32.作业题1~5
★一除、二移、三配、四化、五解.
例1、用配方法解下列一元二次方程
(1)2x2+4x-3=0 (2)3x2-8x-3=0
将二次三项式配2方x2成 4 x 7
a( x m)2 n 的形式.
2（x-1）2+5
1.用配方法解下列方程: （1）2x2+6x+3=0 （2）3x2-7x+5=0
x2+bx+=-bc2+
b 2
2
2
即：(x+)2=b2
b2-4c 4
当问b题2-4：c≥此0方时，程就一可定以能通开过平开平方方来法解求么出？方程的根.
湘教版九年级数学上册《一元二次方程》课件
A、5x2-4x-4=0 B、x2-5=0 C、5x2-2x+1=0
D、5x2-4x+6=0
已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
例一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容积 为750cm3.请写出关于x的方程.该方程是一元二 次方程吗？如果是，把它化为一元二次方程的一 般形式.
30
x
x
单位：cm
15
方程X2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未 知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样 的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程
①方程两边都是整式
开启智慧
你能找到使
X2+3x=4两
②只含有一个未知数 边相等的x
的值吗？
③未知数的最高次数是2次
能使一元二次方程两边相等的未知数 的值叫一元二次方程的解（或根）.
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化
为 ax2 bx c 0 ，的形式，我们把
ax2+bx+c=0
(a，b，c为常数，想a一≠0想）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b，c可以为零吗 ？
其中ax2，bx，c分别称为二次项，一次项，常数 项，a，b分别称为二次项系数，一次项系数.
我们已经学过哪些方程？ 你能各举一个例子吗？ 其中 “元 ” “次” 指的是什么意思？
交流合作
列出下列问题中关于未知数x的方程：
把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正 方形和长方形两部分，求正方形的边长.
设正方形的边长为x，可列出方程 X2+3x=4
D、5x2-4x+6=0
已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
例一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容积 为750cm3.请写出关于x的方程.该方程是一元二 次方程吗？如果是，把它化为一元二次方程的一 般形式.
30
x
x
单位：cm
15
方程X2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未 知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样 的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程
①方程两边都是整式
开启智慧
你能找到使
X2+3x=4两
②只含有一个未知数 边相等的x
的值吗？
③未知数的最高次数是2次
能使一元二次方程两边相等的未知数 的值叫一元二次方程的解（或根）.
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化
为 ax2 bx c 0 ，的形式，我们把
ax2+bx+c=0
(a，b，c为常数，想a一≠0想）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b，c可以为零吗 ？
其中ax2，bx，c分别称为二次项，一次项，常数 项，a，b分别称为二次项系数，一次项系数.
我们已经学过哪些方程？ 你能各举一个例子吗？ 其中 “元 ” “次” 指的是什么意思？
交流合作
列出下列问题中关于未知数x的方程：
把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正 方形和长方形两部分，求正方形的边长.
设正方形的边长为x，可列出方程 X2+3x=4
九年级数学上册2.2因式分解法解一元二次方程课件(新版)湘教版
解：原方程(fāngchéng)可化为x(x－2)－5(x－2)＝0，∴(x－5)(x－2)＝0， ∴x1＝5，x2＝2.∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三 边，∴第三边的长x的取值范围是1<x<5，∴x＝2，∴△ABC的周长为2＋3＋ 2＝7
第十五页，共15页。
第三页，共15页。
知识点一：用提公因式法分解因式解一元二次方程
1．方程x2－3x＝0的解是( B )
A．x＝3
B．x1＝0，x2＝3
C．x＝0
D．x1＝3，x2＝13
2．方程x(x－2)＋x－2＝0的解是( D )
A．x＝2
B．x1＝－2，x2＝1
C．x＝－1
D．x1＝2，x2＝－1
第四页，共15页。
6．(2014·自贡)解方程3x(x－2)＝2(2－x)．
解：x1＝2，x2＝－23
第五页，共15页。
7．利用因式分解法解方程： (1)5(2x－1)＝(1－2x)(x＋3)； 解：x1＝12，x2＝－8 (2)(x－2)(x＋3)＝－6. 解：x1＝0，x2＝－1
第六页，共15页。
知识点二：用公式法分解因式解一元二次方程 8．方程(x－3)2－a2＝0的根为( D ) A．x＝3 B．x＝a＋3 C．x＝3－a D．x＝a＋3或x＝3－a 9．方程y2＋4y＋4＝0的解是__y_1＝__y_2_＝__－__2__． 10．解方程：4x2－12x＋9＝0.
2)．依题意，得x(x＋2)＝168，即x2＋2x－168＝0.分解因式，得(x＋ 14)(x－12)＝0.∴x＋14＝0或x－12＝0，∴x1＝－14(不合题意，舍去)， x2＝12.∴x＝12.即这两个数为12和14
第十四页，共15页。
第十五页，共15页。
第三页，共15页。
知识点一：用提公因式法分解因式解一元二次方程
1．方程x2－3x＝0的解是( B )
A．x＝3
B．x1＝0，x2＝3
C．x＝0
D．x1＝3，x2＝13
2．方程x(x－2)＋x－2＝0的解是( D )
A．x＝2
B．x1＝－2，x2＝1
C．x＝－1
D．x1＝2，x2＝－1
第四页，共15页。
6．(2014·自贡)解方程3x(x－2)＝2(2－x)．
解：x1＝2，x2＝－23
第五页，共15页。
7．利用因式分解法解方程： (1)5(2x－1)＝(1－2x)(x＋3)； 解：x1＝12，x2＝－8 (2)(x－2)(x＋3)＝－6. 解：x1＝0，x2＝－1
第六页，共15页。
知识点二：用公式法分解因式解一元二次方程 8．方程(x－3)2－a2＝0的根为( D ) A．x＝3 B．x＝a＋3 C．x＝3－a D．x＝a＋3或x＝3－a 9．方程y2＋4y＋4＝0的解是__y_1＝__y_2_＝__－__2__． 10．解方程：4x2－12x＋9＝0.
2)．依题意，得x(x＋2)＝168，即x2＋2x－168＝0.分解因式，得(x＋ 14)(x－12)＝0.∴x＋14＝0或x－12＝0，∴x1＝－14(不合题意，舍去)， x2＝12.∴x＝12.即这两个数为12和14
第十四页，共15页。
2014新版湘教版九年级数学上教学2.2一元二次方程的解法(2)课件PPT
合作探究
1、一次聚会,出席的每位代表和其他代表各握
一次手,统计结果表明,一共握手45次,问参加
聚会的代表有多少人?
解：设参加的代表有x人，则
x( x 1) 45 2
作业： 1、作业本 2、教材P.32.作业题1~5
1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项
系数a)
2、把常数项移到方程的右边; 3、把方程的左边配成一个完全平方式; 4、利用开平方法求出原方程的两个解.
★一除、二移、三配、四化、五解.
例1、用配方法解下列一元二பைடு நூலகம்方程
(1) 2 (2) 3x -8x-3=0
2 2x +4x-3=0
将二次三项式 2 x 2
2
4x 7
配方成
a( x m) n 的形式.
2（x-1）2+5
1.用配方法解下列方程: （1）2x2+6x+3=0 （2）3x2-7x+5=0
2.用配方法解下列方程:
（1）0.2x2+0.4x=1
3 2 1 1 ( 2) x x 0 4 2 8 n( n 1) (3) 3n 1 2
配方法解一元二次方程的基本步骤:
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程;
合作探究
把 x bx c 0 方程进行配方
2
解：移项，得
2
x2+bx=-c.
2
方程两边同时加一次项系数一半的平方，得
3、-x2+5x-9=0
4、x2=10x-30
例、解方程5x2=10x+1
初中数学湘教版九年级上册一元二次方程的解法 课件PPT
把方程左边因式分解，得 (5x 1)(2x 3) 0，
由此得 解得
5x 1 0 或 2x 3 0，
x1
1， 5
x2
3. 2
例8 用因式分解法解方程： x2 10x 24 0.
x2 10x 24 0
解
配方，得 x2 10x 52 52 24 0.
5. 2
（4）( x 1)2 4 0
解 把方程左边因式分解，得
(x+1+2) (x+1-2)= 0, 即 (x+3） (x-1)= 0. 由此得出 x+3 =0 或 x-1=0,
初中数学湘教版九年级上册 《一元二次方程的解法》
类型：获奖课件PPT
一元二次方程的解法
• 1、因式分解有哪些方法？ • 2、分别举例。 • 3、什么叫因式分解？
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
反过来，如果 d 和 h 是方程 x2 bx c 0 的
两个根，则方程的左边就可以分解成
x2 bx c ( x d )(x h).
十字相乘法分解因式－解方程1
解方程1x2 6x 8 0; 2x2 5x 6 0; 3x2 x 20 0; 4x2 2x 8 0 5y 2 3x 2 0; 6x2 11x 30 0
解 原方程可化为 x2 -8x 0.
把方程左边因式分解， 得 x(x 8) 0，
一元二次方程的解法(直接开平方法)课件湘教版九年级数学上册
实质上，一元二次方程
转化
两个一元一次方程
（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
典例精析
例2 解方程：4x²-25=0.
2
解：原方程可化为：x = .
根据平方根的意义，得x=
或 x=−
，
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
根据平方根的意义，
得
x+1= 或x+1=-
−
+
∴x= 或x=－
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
当堂练习
2.解方程
（1）( x+3)2-36=0;
解:(1)原方程可化为
(x+3)2=36
根据平方根的意义，得
+= 或+= −
因此，原方程的根为
x1=，x2=−.
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（直接开平方法）
复习导入
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的平方根.
2 =
即
（a≥0），则x叫做a的平方根，表示为：
=±
（a≥0）
下列各数有平方根吗？若有,你能求出它的平方根吗？
25 ， 0
25
， 16
， 2 ， -33，4 Nhomakorabea.
探究新知
1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部
解得 = . ， = .
转化
两个一元一次方程
（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
典例精析
例2 解方程：4x²-25=0.
2
解：原方程可化为：x = .
根据平方根的意义，得x=
或 x=−
，
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
根据平方根的意义，
得
x+1= 或x+1=-
−
+
∴x= 或x=－
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
当堂练习
2.解方程
（1）( x+3)2-36=0;
解:(1)原方程可化为
(x+3)2=36
根据平方根的意义，得
+= 或+= −
因此，原方程的根为
x1=，x2=−.
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（直接开平方法）
复习导入
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的平方根.
2 =
即
（a≥0），则x叫做a的平方根，表示为：
=±
（a≥0）
下列各数有平方根吗？若有,你能求出它的平方根吗？
25 ， 0
25
， 16
， 2 ， -33，4 Nhomakorabea.
探究新知
1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部
解得 = . ， = .
一元二次方程的解法+用因式分解法解一元二次方程+课件+++2024-2025学年湘教版九年级数学上册
（1） ；
（2） ；
（3） .
（1） ；
思路点拨 将方程右边的 移到左边，使方程右边等于0，将左边提公因式 .
解 原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 ，即 .由此得或 .解得， .
（2） ；
思路点拨 原方程可化为，提公因式 .
原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 .由此得或 .解得， .
（3） .
思路点拨 原方程可化为 ，将方程的左边利用平方差公式因式分解后求解.
原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 ，即 .由此得或 .解得， .
易错提醒 注意解方程（1）时，不能将方程两边同时除以 有等于0的可能 ，否则方程会漏掉一个解．
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
当堂检测
1.一元二次方程 的根是( ) .
拓展延伸
8.根据多项式乘法公式可知， ，因此我们可以用公式 来分解因式，从而解一元二次方程．
（1）一元二次方程可以分解为______________ .一元二次方程可以分解为_______________
（2）爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法求解．
例如，一元二次方程可以分解为 ，从而快速求出方程的根．
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2.3 因式分解法（2课时）
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
起航加油
知识梳理
1.因式分解法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于___的形式，再使这两个一次式分别等于0，转化为两个一元一次方程，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法.
D
A. B.， C. D.，
2.当_________时，代数式与 的值相等.
（2） ；
（3） .
（1） ；
思路点拨 将方程右边的 移到左边，使方程右边等于0，将左边提公因式 .
解 原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 ，即 .由此得或 .解得， .
（2） ；
思路点拨 原方程可化为，提公因式 .
原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 .由此得或 .解得， .
（3） .
思路点拨 原方程可化为 ，将方程的左边利用平方差公式因式分解后求解.
原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 ，即 .由此得或 .解得， .
易错提醒 注意解方程（1）时，不能将方程两边同时除以 有等于0的可能 ，否则方程会漏掉一个解．
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
当堂检测
1.一元二次方程 的根是( ) .
拓展延伸
8.根据多项式乘法公式可知， ，因此我们可以用公式 来分解因式，从而解一元二次方程．
（1）一元二次方程可以分解为______________ .一元二次方程可以分解为_______________
（2）爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法求解．
例如，一元二次方程可以分解为 ，从而快速求出方程的根．
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2.3 因式分解法（2课时）
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
起航加油
知识梳理
1.因式分解法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于___的形式，再使这两个一次式分别等于0，转化为两个一元一次方程，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法.
D
A. B.， C. D.，
2.当_________时，代数式与 的值相等.
湘教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共19张PPT)
答：（3）式是一元二次方程，二次项系数是0.01，一次项
系数是-2，常数项是0; （4）式不是一元二次方程.
中考 试题
例1
一元二次方程3x2+x-2=0的二次项系数，1
B. -1，-2
C. 3，-2
D. -1，2
解 由一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)， 得a=3，c=-2. 故选择C.
4 （其中 π 取3）；
解 由于圆的半径为x cm，则它的面积为3x2 cm2 ．
根据等量关系，可以列出方程
200×150-3x2 = 200150 3. 4
化简，整理得 x225000
①
问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆．求该市两年来汽 车拥有量的年平均增长率x应满足的方程．
2.下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中
的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）4x2 = 49；
（2）5x2-2 = 3x；
答：（1）式是一元二次方程，二次项系数是4，一次项
系数是0，常数项是-49;
（2）式是一元二次方程，二次项系数是5，一次项 系数是-3，常数项是-2;
（3）0.01t2= 2t； （4）（ 9y -1 ）（ 2y + 3 ）= 18y2 + 1.
（2） 5x（ x + 1 ）+ 7 = 5x2-4.
（1） 3x（1-x ）+ 10 = 2（x + 2）
解 去括号，得 3x -3x2+10=2x+4， 移项，合并同类项，得 -3x2+x+6=0， 这是一元二次方程，其中二次项系数是-3， 一次项系数是1，常数项是6.
系数是-2，常数项是0; （4）式不是一元二次方程.
中考 试题
例1
一元二次方程3x2+x-2=0的二次项系数，1
B. -1，-2
C. 3，-2
D. -1，2
解 由一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)， 得a=3，c=-2. 故选择C.
4 （其中 π 取3）；
解 由于圆的半径为x cm，则它的面积为3x2 cm2 ．
根据等量关系，可以列出方程
200×150-3x2 = 200150 3. 4
化简，整理得 x225000
①
问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆．求该市两年来汽 车拥有量的年平均增长率x应满足的方程．
2.下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中
的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）4x2 = 49；
（2）5x2-2 = 3x；
答：（1）式是一元二次方程，二次项系数是4，一次项
系数是0，常数项是-49;
（2）式是一元二次方程，二次项系数是5，一次项 系数是-3，常数项是-2;
（3）0.01t2= 2t； （4）（ 9y -1 ）（ 2y + 3 ）= 18y2 + 1.
（2） 5x（ x + 1 ）+ 7 = 5x2-4.
（1） 3x（1-x ）+ 10 = 2（x + 2）
解 去括号，得 3x -3x2+10=2x+4， 移项，合并同类项，得 -3x2+x+6=0， 这是一元二次方程，其中二次项系数是-3， 一次项系数是1，常数项是6.