2013-2014(1)《微积分(I)》期末试卷A
高等数学微积分期末试卷及答案
选择题〔6×2〕1~6 DDBDBD一、填空题1 In x + 1 ;2 y = x3 一 2x 2 ; 3 y = log 2 x1一x,(0,1), R ; 4(0,0) lim (x 一 1)(x + m) = lim x + m = 1 + m = 25 解：原式= x )1 (x 一 1)(x + 3) x )1 x + 3 4：m = 7 ：b = 一7, a = 6二、判断题1 、 无穷多个无穷小的和是无穷小〔 〕2 、 假设 f(*)在x 处取得极值，则必有 f(*)在x 处连续不可导〔 〕0 03 、 设 函 数 f (*) 在 [0,1] 上 二 阶 可 导 且f '(x) 想 0令A = f '(0)， B = f '(1),C = f (1)一 f (0), 则必有A>B>C( )1~5 FFFFT三、计算题11 用洛必达法则求极限 lim x2 e x 2x )01 1e x 2 e x 2 (一2x 一3 ) 122 假设 f (x) = (x3 +10)4 , 求f ''(0)f '(x) = 4(x 3 +10)3 . 3x 2 = 12x 2 (x 3 +10)3解： f ''(x) = 24x . (x 3 +10)3 + 12x 2 . 3 . (x 3 +10)2 . 3x 2 = 24x . (x 3 +10)3 +108x 4 (x 3 +10)2：f ''(x) = 043 求极限lim(cos x)x 2x )04 求y = (3x 一 1)35x 一 1 的导数x 一 2 j tan 3 xdxx 解：原式= lim = lim = lim e x 2 = +w x )0 1 x )0 一2x 一3 x )0 5求j x arctanxdx6四、证明题。
大一微积分期末试卷及答案
大一微积分期末试卷及答案Final revision by standardization team on December 10, 2020.微积分期末试卷选择题（6×２）1~6 DDBDBD一、 填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2log ,(0,1),1x y R x=-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m limlim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、 判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）2、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）3、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~5 FFFFT三、 计算题1用洛必达法则求极限2120lim x x x e → 解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解： 3 24lim(cos )x x x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰6arctan x xdx ⎰求四、 证明题。
1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。
证明：设3()1f x x x =+-2、arcsin arccos 1x 12x x π+=-≤≤证明（） 五、 应用题1、描绘下列函数的图形 3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222--- 50lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示：2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1。
郑州大学2013级微积分(上)试题(a卷)及其参考答案
dy dx
tan y
C1 .
④
④为可分离变量型，由④得到
tan
1 y
C1
dy
dx
即
ln siny C1 x ln C2
化简得
siny C1 C2e x
为①的通解.又注意到当 p 0 时，当 y 0 时，可得①的平凡解 y C .
10.求方程 y 2 y y xe x e x ① 的一个特解. 【解】与①对应的齐次方程的特征方程为 r 2 2r 1 0 ，解之得， r1 r2 1.
将②、③、④代入①有
e x 6ax 2b x 1e x ，即
6ax 2b x 1
⑤
第5页
郑州大学 2013—2014 学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案
比较⑤式知
6a 1, 2b 1,
，解之得
a
1 6
,
b
1 2
.
故
y*
x 2e x
1 6
x
1 2
.
二、求解下列各题（每题 10 分，共 20 分） 1．（1）设平面图形 A 由抛物线 y x2 ，直线及 x 轴所围成， 求平面图形 A 绕 x 轴旋转一周所形成的立体体积.
x
2
arctan x x
lim 2
x
arctan x
1 x
lim
x
1
1 x
2
1 x2
lim
x
x2 1 x2
1.
2．设函数 y x ，求它在 x 0 处的导数和微分. x2 1
1. x 2 1 x. x
解： y
x2 1
x2 1 2
1； x2 1 3
微积分A第一学期期末试卷A及答案
《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级 学号 姓名 成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分）1 设当0→x 时，c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数，求.dx dy 4 求证：.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1） 求图形D 的面积；（2） 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。
现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。
郑州大学2013级微积分(上)试题(A卷)及其参考答案
＝1
得分 评卷人
【解】
lim
x
2
arctan x x
lim 2
x
arctan x
1 x
lim
x
1
1 x
2
1 x2
lim
x
x2 1 x2
1.
2．设函数 y x ，求它在 x 0 处的导数和微分. x2 1
1. x 2 1 x. x
0
f
sin
xdx .
【证明】
（1）
设
2 2
g u du
I .令 u t
则
I
2
g tdt
2
2
2
g
t
dt
2 2
g
u du
（因为
gu
为奇）
2
2
g u du
I
，
即得到
I I .因此必有
1 1 ex
dx
ex 1 ex
dx
1 1 ex
d
1
ex
ln 1 ex C ；
【解法二】
1 1 ex
dx
1
ex 1
ex
e
x
dx
dx
1
1 e
x
d
1
e
x
x ln 1 e x
C；
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分期末试卷及答案
一、填空题（每小题5分，共30分）1、 设(,)f u v 具有连续偏导数，(,)y x z f x y =，则z x ∂=∂ 1ln y x f fyx y y u v-∂∂+∂∂ 。
2、 二次积分23211d d y x x e y --⎰⎰的值是 41(1)2e -- 。
3、 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 240x y +-= 。
解 设(,,)23z F x y z z e xy =-+-，该点的法向量{}{}(1,2,0)(1,2,0),,2,2,122,1,0.x F F F n y x e x y z ⎧⎫∂∂∂==-=⎨⎬∂∂∂⎩⎭切平面方程为2(1)(2)0x y -+-=。
4、 若3(,)[cos ()](sin )x x du x y e y yf x dx x e y dy =++-，则()f x 23x ，(,)u x y = 3c o s xx y e y C++ 。
5、 设L 为闭域D 的正向边界闭曲线，则22()(sin )x Le y dx x y dy -++⎰可以通过A表示为 2A 。
（A 为D 的面积） 解：由格林公式22()(sin )x Le y dx x y dy -++⎰()d d 2d d 2DDQ Px y x y A x y ∂∂=-==∂∂⎰⎰⎰⎰。
6、 级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑收敛性为 条件收敛 。
解： 111ln(1)n n n u n ∞∞===+∑∑， 因为1ln(1)lim11n n n→∞+=，由比较判别法的极限形式知 111ln(1)nn n u n ∞∞===+∑∑发散！ 厦门大学《高等数学B 》课程试卷主考教师：高数B 组 试卷类型：（A 卷）考试时间：2013.06.14 8:00—10:00但作为交错级数的原级数满足莱布尼兹判别条件：（1）111ln(1)ln(1),1n n u u n n ++>+>+即；（2）1lim ln(1)0n n→∞+=，故，111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑是条件收敛。
大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷选择题(6×２）cos sin 1.()2,()()22()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（ ）。
Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin21C X (1) xn e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（ ）Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ）Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1X cosn=200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X oC X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ）Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线1～6 DDBDBD一、填空题1d 12lim 2,,x d xax ba b →++=ｘｘ２２１１、（ ）＝ｘ+1、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。
这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3１ In 1x + ; 2 322y x x =-; ３ 2log ,(0,1),1xy R x=-； 4（0,0) 5解:原式=11(1)()1mlimlim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ )2、 0sin limx xx→-∞+∞在区间（，）是连续函数（）3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（）4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有ｆ(x ）在0x 处连续不可导（ )5、 设函数f(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~５ FFF ＦT三、计算题1用洛必达法则求极限212lim x x x e →解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x--→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解:33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= ３24lim(cos )xx x →求极限4I cos 224I cos lim 022000002lim 1(sin )4costan cos lim cos lim lim lim lim 22224n xx x n x xx x x x x x e e x In x x x x In x x x x xxe →→→→→→→-=---=====-∴=解：原式=原式４ (3y x =-求 511I 31123221531111'3312122511'(3312(1)2(2)n y In x In x In x y y x x x y x x x x =-+---=⋅+⋅-⋅---⎤=-+-⎢⎥---⎦解：53tan xdx ⎰2222tan tan sec 1)tan sec tan tan sin tan tan cos 1tan tan cos cos 1tan cos 2x xdx x xdx x xdx xdx xxd x dxx xd x d xxx In x c=----++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：原式=（ = = = =６arctan x xdx ⎰求22222222211arctan ()(arctan arctan )22111(arctan )2111arctan (1)211arctan 22xd x x x x d x x x x dx x x x dx x x xx c=-+--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦+-+⎰⎰⎰⎰解：原式= = = =四、证明题。
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北京联合大学 第 1 页 共 6 页 《微积分》（Ⅰ）课程期末考试 （2013—2014学年 第一学期） 本科 专科□ 课程考试代码 1105 A 卷 B 卷□ C 卷□ （考试时间90分钟） 一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1．0lim x x x →=（ ）。
（A ）1- （B ）1 （C ）不存在 （D ）0 2．直线l 与x 轴平行且与曲线e x y x =-相切，则切点坐标为（ ）。
（A ）(0,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,1) （D ）(1,1)- 3．设1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值，则 ( ) 。
（A ）1π,23a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为极大值 （B ）1π,23a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为极小值 （C ）π2,3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为极小值 （D ）π2,3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为极大值 4．设()f x '存在，则d ()f x '⎡⎤=⎣⎦⎰（ ）。
（A ）()f x ' （B ）()f x （C ）()f x C + （D ）()f x C '+ 5．“0()0f x ''=” 是()f x 的图形在0x x =处有拐点的（ ）。
（A ）必要非充分条件 （B ）既非必要条件也非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）充分非必要条件 6．一曲线通过原点，且该曲线在任一点处切线的斜率等于该点横坐标的4倍，则该曲线方程为（ ）。
（A ）22y x x =-
（B ）2y x = （C ）22y x =
（D ）ln(1)y x =+ （密封线内勿答题） 姓名 学号 学院（系） 年级 班（密封线内勿答题）
北京联合大学
第 2 页 共 6 页
二、计算下列极限（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
7． 0111lim sin x x x x →⎛⎫- ⎪⎝
⎭。
8． 2
221lim 1x x x x →∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭。
三、求下列函数的导数或微分（本大题共4个小题，每小题7分，共28分）
9．设函数2
cos(1)+ln3y x =+，求x y d d ，22d d x y 。
北京联合大学 第 3 页 共 6 页 10．设(tan )y f x =+)(e x f ，其中f 可导，求x y d d ，d y 。
11．已知cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩（t 为参数，,a b 为常数），求π4d d t y x =。
12．求由方程2e 1x y xy -=所确定的隐函数的导数d d y x 。
（密封线内勿答题）
姓名 学号 学院（系） 年级 班（密封线内勿答题）
北京联合大学
第 4 页 共 6 页
四、计算下列不定积分（本大题共3个小题，每小题7分，共21分） 13．2111sin d x x x x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭⎰
14．31
d 11x x ++⎰
15. 2e d x x x ⎰
北京联合大学 第 5 页 共 6 页
五、解答下列各题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 16．列表求曲线32631y x x x =-++的凹凸区间与拐点。
17. 出版销售一种新科技书x 本，其成本费共为250005C x =+元，由经验公式。
出售x 本时，每本售价为3016000x P ⎛⎫=- ⎪⎝⎭元，问应销售多少本时，盈利最大？这时书的的售价每本为多少元？
（密封线内勿答题）
姓名 学号 学院（系） 年级 班（密封线内勿答题）
北京联合大学
第 6 页 共 6 页 六、解答题（本大题共1个小题，共5分）
18．设()f x 的一个原函数为2ln(1)x x ++，求()d xf x x '⎰。
附加题（本大题共1个小题，共10分）
19．设在],[b a 上0)(≥''x f ，证明：函数a
x a f x f x --=)()()(ϕ在],[b a 上是单调增加的。