解析几何解答题点拨

解析几何解答题点拨1．在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y ，()22,B x y ，则1212OA OB x x y y ⋅=+．2．当,,A O B 不共线的时候，AOB ∠为直角⇔0OA OB ⋅=；AOB ∠为锐角⇔0OA OB ⋅>；AOB ∠为钝角⇔0OA OB ⋅<3．向量()11,OA x y =与()22,0OB x y =≠共线⇔存在λ∈R ，使得OA OB λ=，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩．4．若直线过定点()00,P x y ，我们一般设直线方程为()00y y k x x -=-，特殊地，当直线过x 轴上的定点(),0a 时，我们一般设直线方程为x ty a =+，注意此时斜率为0的直线需单独讨论； 5．直线y kx b =+被圆锥曲线所截得的弦AB 的垂直平分线方程为1212122y y x x y x k ++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，注意垂直平分线的两种关系：垂直，过中点；6．点()00,P x y 在以AB 为直径的圆周上⇔90APB ∠=︒0PA PB ⇔⋅=，以AB 为直径的圆与直线:l y kx b =+相切⇔AB 中点到直线的距离等于AB 长的一半．<教师备案> 圆锥曲线综合：这一讲是圆锥曲线的大题综合．众所周知，圆锥曲线一直是高中数学里面的重难点和易错点．圆锥曲线的难点，在于两方面：⑴ 计算准确性；⑵ 转化的思路，尤其是关键条件的解读与核心条件的转化．经典精讲知识梳理相对来说，后者可能更加重要：思路是第一位的，如果解题时没有良好清晰的思路，单纯的认为圆锥曲线只是算，那么很容易陷入盲目计算的误区．下面我们就结合一些比较常见的问题类型来说明圆锥曲线问题中的关键条件解读与转化，这也是本讲的主旨．解析几何的实质，是几何问题的代数化：用代数方法来解决几何问题．那么，拿到一个解析几何题目时候，既要明白题干中的几何条件，怎么转化成代数条件，也要明白代数条件，怎么转化成几何条件．我们把一些常见的问题类型的通常转化方式列成了下表：第一列是实际问题中的考查形式；第二列是牵涉到的平面度量转化；第三列是需要用到的代数运算．实际问题中的考查形式是很多变的，但是牵涉到的平面度量转化实际上非常有限，充其量就是长度、角度、距离三种；例如点P 在以AB 为直径的圆上，实际上就是说PA PB ⊥．考查形式千变万化，但只要抓住其涉及的平面度量，就能抓住问题的实质，明白如何去合理的转化．接下来，我们结合具体的例题来说明这些考查形式是如何进行典型转化的．【备注】本讲难度与计算量偏大，如果班上学生程度较好，本讲可以讲一讲半的时间，下两讲《复数、算法与推理证明》、《概率与统计》相对比较简单，可以压缩一下时间，作个均衡与调整．尖子班学案1【铺1】 已知直线:l y kx =22:14x C y +=交于不同的两点A 和B ，O 为坐标原点，若90AOB ∠=︒，则k =________．【解析】考点：向量处理角度问题【例1】 设A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点1⎛ ⎝⎭在该椭圆上．⑴ 求椭圆的方程；⑵ 设P 为直线4x =上不同于点(40)，的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：MBP △为钝角三角形．【解析】 ⑴ 椭圆方程为2214x y +=．⑵ 由⑴知：(20)A -，，(20)B ，．依题意知直线PA 斜率存在且不为0，设直线PA 的方程为：2x ty =-(0)t ≠．则点P 坐标为64,P t ⎛⎫⎪⎝⎭．由22244x ty x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 得22(4)40t y ty +-=．所以点M 的纵坐标244M t y t =+， 则222824M M t x ty t -=-=+．所以点M 坐标为22228444t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，． 从而2216444t BM t t -⎛⎫= ⎪++⎝⎭，，62,BP t ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以222322480444BM BP t t t ⋅=-+=-<+++． 又,,M B P 三点不共线，所以MBP ∠为钝角． 所以△MBP 为钝角三角形．【点评】 两直线夹角公式的知识点不再作要求以后，涉及到平面几何中的角度问题（包括立体几何也是），解析几何中只有一种工具来处理，这就是利用向量内积的定义：cos a b a bθ⋅=（余弦定理与其等价）．本题中要证明△MBP 为钝角三角形，实质上就是要在平面几何中证明某两条边所夹的角为钝角，也就是在解析几何中证明这两条边构成的向量的内积为负．具体是哪两条边可以通过观察法和特殊值法先判断．考点：向量内积的坐标运算【例2】 （海淀二模文19）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为()1,0F ，且点1,⎛- ⎝⎭在椭圆C 上．⑴ 求椭圆C 的标准方程；⑵ 已知点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，动直线l 过点F ，且直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，证明：QA QB ⋅为定值．【解析】 ⑴ 椭圆C 的标准方程为2212x y +=．⑵ 当直线l 的斜率为0时，)0A，()0B ．则5572,0,04416QA QB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=- ⎪ ⎪⎭⎝⎭．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ． 由22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：22(2)210t y ty ++-=． 显然0∆>．12222t y y t +=-+，12212y y t =-+ 所以112212125511,,4444QA QB x y x y ty ty y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()21212111416t y y t y y =+-++2221121(1)24216t t t t t =-+++++22222172(2)1616t t t --+=+=-+． 综上：即716QA QB ⋅=-为定值． 目标班学案1【拓2】 （崇文二模文19）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，经过点)1P 且离心率e =．过定点(10)C -，的直线与椭圆相交于A ，B 两点． ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴ 椭圆的方程为22142x y +=．⑵ 设11()A x y ，，22()B x y ，，(0)M m ，当直线AB 斜率不为0时，设直线AB 的方程为1x ty =-． 22221(2)230142x ty t y ty x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩， 于是12222t y y t +=+，12232y y t -=+，而11221212()()(1)(1)MA MB x m y x m y ty m ty m y y ⋅=-⋅-=----+，，22121212(1)()(1)t y y t m y y m y y =-+++++22222232(1)3(1)222t t m m t t t -+-=-++++++ 222(25)3(1)2t m m t ---=+++222(25)325(1)2m m m t +-=--+++ 因为MA MB ⋅是与t 无关的常数，所以2(25)30m +-=，即74m =-．即704M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．此时，1516MA MB ⋅=-． 当直线AB 斜率为0时，则点A ，B 的坐标分别为()20-，，()20， 当74m =-时，亦有1516MA MB ⋅=-．综上，在x 轴上存在定点704M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，使MA MB ⋅为常数．尖子班学案2【铺1】 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个顶点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为________．考点：向量共线问题【例3】 （丰台二模文19）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，焦距为P 是椭圆上一动点，12PF F △的面积最大值为2．⑴ 求椭圆的标准方程；⑵ 过点()1,0M 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于点N ，若1NA AM λ=，2NB BM λ=，求证：12λλ+为定值．【解析】 ⑴ 椭圆方程为22142x y +=．⑵ 依题意，直线l 斜率存在，若直线l 的斜率为0，则(20)(20)(00)A B N -，，，，，，于是有12223λλ=-=-，，于是1283λλ+=-．当l 斜率不为0时，设直线方程为l ：1x ty =+(0)t ≠．11(,)A x y ，22(,)B x y 则点(1,0)M ，点10,N t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11(1,)AM x y =--，111,NA x y t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且1NA AM λ=，则1111111y t y ty λ+==---， 同理可得2222111y t y ty λ+==---， 所以121212121122y y ty ty ty y λλ++=---=-- 联立222401x y x ty ⎧+-=⎨=+⎩ 消x 得 22(2)230t y ty ++-=．显然0∆>，且12222t y y t -+=+，12232y y t -=+，即121223y y t y y +=． 所以12128233t t λλ⎛⎫+=--⋅=- ⎪⎝⎭．综上：即12λλ+为定值83-．考点：相关直线斜率问题【例4】 （朝阳一模文19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为()10F，)20F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点(3,2)N ，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值．【解析】 ⑴ 椭圆的方程为2213x y +=．⑵ 当直线l 的斜率为0时，得(0)A，0)B ，则122k k +==当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x my =+． 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以1212121212212121212222222(1)()833222()4y y y y my y m y y k k x x my my m y y m y y -----++++=+=+=-----++ 把直线方程代入2213x y +=整理化简，得22(3)220m y my ++-=．则1212y y my y +=．（或12223m y y m +=-+，12223y y m -=+直接代入） 即21212121222212121222(1)8282244my y m m y y m y y k k m y y m y y m y y -++-++===-+-+ 综上得12k k +为常数2．尖子班学案3【铺1】 （昌平二模文19）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，过点F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点．⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 设过点F 不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．【解析】 ⑴ 椭圆的方程为2212x y +=．⑵ 点G 横坐标的取值范围为102⎛⎤- ⎥⎝⎦，．考点：中垂线问题【例5】 （朝阳二模文19）在平面直角坐标系xOy 中，点E 到两点()110F -，，()210F ，的距离之和为点E 的轨迹为曲线C ． ⑴ 写出C 的方程；⑵ 设过点()210F ，的斜率为k （0k ≠）的直线l 与曲线C 交于不同的两点M ，N ，点P 在y 轴上，且PM PN =，求点P 纵坐标的取值范围．【解析】 ⑴ C 的方程为2212x y +=．⑵ 点P纵坐标的取值范围是44⎡⎢⎣⎦． 目标班学案2【拓2】 （西城一模文）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>()0F ．⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 设直线l ：52y kx =-交椭圆C 于A 、B 两点，若点A 、B 都在以点()0,3M 为圆心的圆上，求k 的值．【解析】 ⑴ 椭圆方程为221124x y +=；⑵k =．尖子班学案4【铺1】 直线1y kx =+与抛物线2y x =交于A 、B 两点，设以AB 为直径的圆为圆C ，则坐标原点O 在_______．（圆C 上，圆C 内还是圆C 外）【解析】 圆C 上考点：位置关系的判断【例6】 （朝阳一模文19）已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左右顶点，(1, 0)F 为其右焦点．⑴ 求椭圆C 的标准方程及离心率；⑵ 过点A 的直线l 与椭圆C 的另一个交点为P （不同于A ，B ），与椭圆在点B 处的切线交于点D ．当直线l 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．【解析】 ⑴ 椭圆C 的方程为22143x y +=，离心率为12．⑵ 以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线l 的方程为2x my =-(0)m ≠， 则点D 坐标为42m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，BD 中点E 的坐标为22,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由222143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得22(34)120m y my +-=．所以点P 的纵坐标为21234P my m =+，设直线PF 方程为1x m y '=+， 则222113(34)4124p P p p my x m m m m y y m m---+-'===-=， 所以直线PF 方程为2414m x y m-=+点E 到直线PF的距离22242244m m d m m m+===+． 又因为4BD m =所以12d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．【点评】 判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，本质即判断圆心到直线的距离与半径的大小．目标班学案3【拓2】（丰台一模文18）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，．⑴ 求椭圆E 的方程；⑵ 直线2y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，在OA 上存在一点M ，OB 上存在一点N ，使得12MN AB =，若原点O 在以MN 为直径的圆上，求直线斜率k 的值． 【解析】 ⑴ 椭圆的方程为22143x y +=．⑵=k ±【点评】 12MN AB =实际上是说MN 是OAB △的中位线；原点O 在以MN 为直径的圆上实际上是说OM ON ⊥，即OA OB ⊥．这时候如用斜率乘积为1-判断垂直必须讨论斜率不存在的情形，所以用内积为0来判断更加简洁．考点：相交直线过对称点问题【例7】 （东城一模文19）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点()0,1．⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 1A 、2A 为椭圆C 的左、右顶点，直线l：x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于1A 、2A 的动点，直线1A P 、2A P 分别交直线l 于E 、F 两点．证明：DE DF ⋅恒为定值．【解析】 ⑴ 椭圆方程为2214x y +=；⑵ 设点()00,P x y，()1,E y，()2F y ，1(2,0)A -，2(2,0)A ，则由点P 在椭圆上有2020144y x =-- 直线1A P ：()0022y y x x =++，2A P ：()0022yy x x =--，∴()01022y y x =+，()02022y y x =-于是20122044y DE DF y y x ⋅=-=--1=为定值．【点评】当椭圆的两条相交弦一个端点重合，另一个端点关于原点对称时，我们的处理办法一般是设交点的坐标，进而通过对称的形式去处理斜率的问题．事实上，如右图，点11(,)A x y ，11(,)B x y --在椭圆22221x y a b+=上，点00(,)P x y 为椭圆上一点（保证直线PA ，PB 斜率存在），即有2211221x ya b +=，① 2200221x y a b+=，② 2201010122010101AP BPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-， 而由②-①得22220101220x x y y a b --+=，即22AP BP b k k a⋅=-．（西城一模文18）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过(2,0)点．⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 设直线:l y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB △为直角三角形，求m 的值．【解析】 ⑴ 椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵ m的值为【点评】 直角三角形意味着有两条边垂直，具体是哪两条边垂直，一定要分情形讨论，不然会造成漏解．（北京文19） 已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥． ⑴ 当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积；⑵ 当90ABC ∠=︒，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．【解析】 ⑴AB =122ABC S AB h ∆=⋅=． ⑵ AB 所在直线的方程为1y x =-．【演练1】已知两点(10)A ，，(0)B b ，，若抛物线24y x =上存在点C 使ABC △为等边三角形，则b =_________．【解析】 5或13- 【演练2】已知F 是焦点在x 轴上的双曲线C 的右焦点，B 是虚轴的一个端点，线段BF 交C 于点D ，且3BD DF =，则C 的离心率为 ．【解析】【演练3】已知抛物线2:C y ax =，直线2y x =+交抛物线C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，⑴ 证明：抛物线C 在N 点处的切线l 与AB 平行；⑵ 是否存在实数a ，使得0NA NB ⋅=．若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴ 依题意知0a >，由22y x y ax=+⎧⎨=⎩得220ax x --=，设()11A x y ，，()22B x y ， 则121x x a +=，122x x a =-，∴12122N M x x x x a+===实战演练 真题再现对2y ax =求导得2y ax '=，由此知，抛物线C 在点N 处的切线l 的斜率11212k a a=⋅= 因此，抛物线C 在点N 处的切线与直线AB 平行．⑵ 假设存在实数a ，使得0NA NB ⋅=，则NA NB ⊥由M 是线段AB 的中点，∴12MN AB =； 由MN x ⊥轴，1222M M y x a =+=+，214N N y ax a==，知11122244MN a a a =+-=+；又∵12AB x x =-= ∴2211182244a aa ⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得78a =或18a =-（舍去） ∴存在实数78a =，使得0NA NB ⋅=． 【演练4】设1F 、2F 分别是椭圆2219x y +=的左、右焦点． ⑴ M 是该椭圆上的一个动点，求12MF MF ⋅的最大值和最小值；⑵ 过定点(02)，的直线l 与椭圆交于不同两点A 、B ，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【解析】 ⑴ 12MF MF ⋅有最小值为7-，有最大值为1．⑵ 直线l 的斜率k 的取值范围k >k <．【演练5】（北京房山一模文19）已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的长轴长为()2,1P 在椭圆上，平行于OP （O 为坐标原点）的直线l 交椭圆于,A B 两点，l 在y 轴上的截距为m ． ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 求m 的取值范围；⑶ 设直线,PA PB 的斜率分别为1k ，2k ，那么1k +2k 是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由．【解析】 ⑴椭圆方程为22182x y +=． ⑵ m 的取值范围是()()2,00,2-．⑶ 是定值，120k k +=．（清华自主招生考试） 已知椭圆22221x y a b+=，过椭圆左顶点(0)A a -，的直线l 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于P ．求证：AQ、AR 成等比数列．【解析】 由题可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的解析式为()y k x a =+，则R 点为(0)ka ，． 联立22221()x y a b y k x a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 可得：2222232422()20b k a x k a x k a a b +++-=， ∵A x a =-，∴232222Q ab a k x b a k-=+；∴Q A AQ x =-=联立22221x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 可得：222222P a b x b a k =+．而AR =，p OP ， ∴2222222222(1)22(1)Pa b k OP k x AQ AR b a k +=+==⋅+．大千世界。