人教A版新课标高中数学必修一 《三角函数的概念》参考课件
三角函数的概念
课程讲解
【问题1】在初中，我们学过锐角三角函数，如图，在直角三 角形OMP中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义， ∠O的正弦，余弦，正切分别是什么？
sinO MP ,cosO MO , tanO MP .
PO
PO
MO
课程讲解
【问题2】在上节课的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现 在说说的角可以是任意大小的正角，负角和零角.那么任意角的三角函数 又该怎么定义呢？
Ox
课程讲解
【问题4】大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？
sin a y
y
α的终边
cos a x
tan a y x 0
x
P(x，y)
Ox
【问题5】根据任意三角函数的定义，要求角a的三个三角函数值其实
就是求什么？
课堂练习
例1
已知角a的终边过点P
1 2
,
3 2
,求角a的正弦、余弦和正切值.
再见
变式1
求
5
3
的正弦、余弦和正切值.
变式2 已知角的终边过点P（－3，－4），求角的正弦、 余弦和正切值.
课程讲解
【问题6】你们能否给出正弦、余弦和正切函数在弧度制下的定义域？
正、余弦函数的定义域为R，
正切函数的定义域是
a R
a
2
k , k
z .
课程讲解
【问题7】上述三种函数的值在各象限的符号会怎么样？
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sin a +
+
－
－
cos a +
－
－
+
tana +
－
+
－
课堂练习
例2
求证：（1）不等式组
s in tan
0 0
成立时，角θ为第三象限角.
（2）
角θ为第三象限角时，不等式组
s in tan
0 0
成立.
课程讲解
【问题8】三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边 每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又 将怎样变化？
2
h0
Rsin
t0
180
,
其
中t0Biblioteka 0.POA
图1
课堂小结
师生小结
【问题9】从锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数的定义，你能 回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角的三角函数的定义的吗？
【问题10】今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的 一些应用，能不能归纳一下，今天我们利用定义解决了那些问题？
公式一： sina 2k sin a
cosa 2k cos a
tana 2k tan a
课堂练习
例3 先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值；
(1)sin 9 ;(2) cos3 ;(3) tan( 11 );(4) cos(6720 )
4
6
例题讲解
例4（备选） 如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，
（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角到三角函数？ （2）将锐角推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？ （3）如图2：在平面直角坐标系中如何定义任意角的三角函数？ （4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能用直角三角形的边长来定义吗？当 的终边不在第一象限该怎么办？ （5）我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，大家能不能用平 面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的一条边长呢？（渗透数形结 合的思想） （6）利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处?
课程讲解
【问题3】大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？
（1）我们在定义1弧度的角时，利用了一个什么 图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大 的圆定义起来更简单易懂？
y
α的终边
（2）对于一个三角函数，比如．它的函数值是由 什么决定的？那么当一个角的终边位置确定后， 能不能取终边任意一点来定义三角函数？取哪一 点可以使得我们的定义式变得简单易懂些？怎样 取？（加强与几何的联系））
它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你
坐在座舱中，从初始位置OA出发（如图1所示），过了30秒后，你离地
面的高度为多少？过了t0 秒呢？
解 ： （1）t
30时 ，h
h0
Rsin
30 2
360
h0
Rs in
6
h0
1 2
R.
(2)t
t0时 ，h
h0
Rsin
t0 360
课程讲解
【问题1】在初中，我们学过锐角三角函数，如图，在直角三 角形OMP中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义， ∠O的正弦，余弦，正切分别是什么？
sinO MP ,cosO MO , tanO MP .
PO
PO
MO
课程讲解
【问题2】在上节课的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现 在说说的角可以是任意大小的正角，负角和零角.那么任意角的三角函数 又该怎么定义呢？
Ox
课程讲解
【问题4】大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？
sin a y
y
α的终边
cos a x
tan a y x 0
x
P(x，y)
Ox
【问题5】根据任意三角函数的定义，要求角a的三个三角函数值其实
就是求什么？
课堂练习
例1
已知角a的终边过点P
1 2
,
3 2
,求角a的正弦、余弦和正切值.
再见
变式1
求
5
3
的正弦、余弦和正切值.
变式2 已知角的终边过点P（－3，－4），求角的正弦、 余弦和正切值.
课程讲解
【问题6】你们能否给出正弦、余弦和正切函数在弧度制下的定义域？
正、余弦函数的定义域为R，
正切函数的定义域是
a R
a
2
k , k
z .
课程讲解
【问题7】上述三种函数的值在各象限的符号会怎么样？
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sin a +
+
－
－
cos a +
－
－
+
tana +
－
+
－
课堂练习
例2
求证：（1）不等式组
s in tan
0 0
成立时，角θ为第三象限角.
（2）
角θ为第三象限角时，不等式组
s in tan
0 0
成立.
课程讲解
【问题8】三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边 每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又 将怎样变化？
2
h0
Rsin
t0
180
,
其
中t0Biblioteka 0.POA
图1
课堂小结
师生小结
【问题9】从锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数的定义，你能 回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角的三角函数的定义的吗？
【问题10】今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的 一些应用，能不能归纳一下，今天我们利用定义解决了那些问题？
公式一： sina 2k sin a
cosa 2k cos a
tana 2k tan a
课堂练习
例3 先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值；
(1)sin 9 ;(2) cos3 ;(3) tan( 11 );(4) cos(6720 )
4
6
例题讲解
例4（备选） 如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，
（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角到三角函数？ （2）将锐角推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？ （3）如图2：在平面直角坐标系中如何定义任意角的三角函数？ （4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能用直角三角形的边长来定义吗？当 的终边不在第一象限该怎么办？ （5）我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，大家能不能用平 面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的一条边长呢？（渗透数形结 合的思想） （6）利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处?
课程讲解
【问题3】大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？
（1）我们在定义1弧度的角时，利用了一个什么 图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大 的圆定义起来更简单易懂？
y
α的终边
（2）对于一个三角函数，比如．它的函数值是由 什么决定的？那么当一个角的终边位置确定后， 能不能取终边任意一点来定义三角函数？取哪一 点可以使得我们的定义式变得简单易懂些？怎样 取？（加强与几何的联系））
它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你
坐在座舱中，从初始位置OA出发（如图1所示），过了30秒后，你离地
面的高度为多少？过了t0 秒呢？
解 ： （1）t
30时 ，h
h0
Rsin
30 2
360
h0
Rs in
6
h0
1 2
R.
(2)t
t0时 ，h
h0
Rsin
t0 360
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高中数学必修一(人教版)《5.2.1 三角函数的概念》课件
答案：负
题型三 诱导公式一的应用 【学透用活】
对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. 注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏． (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°) 范围内的角的三角函数值．
[方法技巧] 利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各 三角函数值．
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)为单位圆上的点，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝xy.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝xy(r＝ x2＋y2)．
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.
答案：(1)√ (2)×
2．sin(－315°)的值是
A．－
2 2
B．－12
C.
2 2
D.12
解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin
45°＝
2 2.
答案：C
() ()
()
3．tan235π＝________. 解析：tan235π＝tan8π＋π3＝tanπ3＝ 3. 答案： 3
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝
1＝ 5
55，tan
α＝21＝2.
当角 α 的终边在第三象限时，在角 α 的终边上取点 Q(－1，－2)，由 r＝|OQ|
＝ －12＋－22＝ 5，
题型三 诱导公式一的应用 【学透用活】
对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. 注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏． (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°) 范围内的角的三角函数值．
[方法技巧] 利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各 三角函数值．
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)为单位圆上的点，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝xy.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝xy(r＝ x2＋y2)．
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.
答案：(1)√ (2)×
2．sin(－315°)的值是
A．－
2 2
B．－12
C.
2 2
D.12
解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin
45°＝
2 2.
答案：C
() ()
()
3．tan235π＝________. 解析：tan235π＝tan8π＋π3＝tanπ3＝ 3. 答案： 3
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝
1＝ 5
55，tan
α＝21＝2.
当角 α 的终边在第三象限时，在角 α 的终边上取点 Q(－1，－2)，由 r＝|OQ|
＝ －12＋－22＝ 5，
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
新教材人教版高中数学必修第一册 5.2.1 三角函数的概念(1) 教学课件
1
r
即
|
y0
|
|
y r
|
第十一页，共二十二页。
因为 y0与 y 同号，所以
y0
y r
即 sin y
r
同理可得 cos y
r
tan y
x
只要知道角 终边上任意一点P的坐标，就可以求得角 的各个三角函数
值，并且这些函数值不会随点P位置的改变而改变。
第十二页，共二十二页。
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域
横坐标等于0， tan y 无意义，此时 k (k z).
x
2
（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，
三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
第八页，共二十二页。
探究：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比
x 值为函数值的函数，设 x (0, )，把按锐角三角函数定义求得的锐角 的 2
新教材人教版高中数学必修第一册 5.2.1 三角函数的概念（1） 教学课件
科 目：数学 适用版本：新教材人教版 适用范围：【教师教学】
第五章 三角函数
5.2.1 三角函数的概念
第一页，共二十二页。
复习
1.1弧度的角： 等于半径长的圆弧所对的圆心角
2.角度制与弧度制的换算 180 弧度
1弧度 （180
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 P0 (x0, y0 )，
分别过点 P, P0
作 x 轴的垂线
PM
,
P0
M
，垂足分别
0
为
M , M 0 ，则 | P0M0 || y0 |,| PM || y |,| OM0 || x0 |,| OM || x |,
人教A版必修第一册第五章三角函数5.2三角函数的概念-课件
研究：变量 x, y 与 的关系.
M
问题 2: 如何求角 终边与单位圆的交点P的坐标呢？
追问1：如何研究一般性问题？
不妨设 ，此时点P在第一象限, 过点 P作 PM x轴于M ,
3
在RtOMP中,可得OM 1 ,PM 3 ,
2
2
即x 1,y 3,
2
2
M
所以点
P的坐标为
1 2
,
3 2
三角函数的概念
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
任务：建立一个函数模型，刻画点 P 的位置变化情况
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
正切函数的定义域为 x
x
2
k, k
Z.
追问3： 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函 数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边 为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义. 此 时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意 角的三角函数值可以是负数.
把点 P的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切函数，
x
记做tan ，即 y tan x 0.
x
问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
实数 (弧度)对应于点P的纵坐标 y——正弦函数； 实数 (弧度)对应于点P的横坐标 x——余弦函数；
当 kk Z 时，角 的终边在 y轴上，这时点P的
M
问题 2: 如何求角 终边与单位圆的交点P的坐标呢？
追问1：如何研究一般性问题？
不妨设 ，此时点P在第一象限, 过点 P作 PM x轴于M ,
3
在RtOMP中,可得OM 1 ,PM 3 ,
2
2
即x 1,y 3,
2
2
M
所以点
P的坐标为
1 2
,
3 2
三角函数的概念
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
任务：建立一个函数模型，刻画点 P 的位置变化情况
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
正切函数的定义域为 x
x
2
k, k
Z.
追问3： 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函 数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边 为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义. 此 时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意 角的三角函数值可以是负数.
把点 P的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切函数，
x
记做tan ，即 y tan x 0.
x
问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
实数 (弧度)对应于点P的纵坐标 y——正弦函数； 实数 (弧度)对应于点P的横坐标 x——余弦函数；
当 kk Z 时，角 的终边在 y轴上，这时点P的
新教材高中数学第五章三角函数的概念：同角三角函数的基本关系pptx课件新人教A版必修第一册
[典例 1] (1)若 sin α＝－45，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的值； (2)若 tan α＝－185，求 sin α 的值． [解] (1)∵sin α＝－45，α 是第三象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－35， ∴tan α＝csions αα＝－45×－53＝43.
2．已知 α∈0，π2，sin α＝35，则 cos α＝
A．45
B．－45
C．－17
D．35
解析：因为 α∈0，π2，所以 cos α>0，所以 cos α＝ 1－sin2α＝
答案：A
() 1－352＝45.
3．化简 1－sin235π的结果是
A．cos35π
B．sin35π
C．－cos35π
＝ cos
cos 2x－sin 2x－sin 2xcos
2x2 2x＋sin
2x
＝cos cos
2x－sin 2x＋sin
22xx＝11－ ＋ttaann
2x＝右边， 2x
∴原等式成立．
[方法技巧] 1．三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到 化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到 化简的目的． (3) 对 于 化 简 含 高 次 的 三 角 函 数 式 ， 往 往 借 助 于 因 式 分 解 ， 或 构 造 sin2α ＋ cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 2．证明三角恒等式常用的技巧及遵循的原则 (1)常用技巧：弦切互化、整体代换、1的代换等． (2)原则：由繁到简、变异为同．
()
α
(2)对任意角 α，csions2α2＝tan α2都成立．
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件1：5.2.1 三角函数的概念(一)
答案
(1)34或－34
(2) －1123
5 13
－152
[方法总结] 求任意角的三角函数值的两种方法 方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点 P 的坐标，然后利用定义得出 该角的正弦、余弦、正切值． 方法二：第一步，取点：在角 α 的终边上任取一点 P(x，y)，(点 P 与原点不重合)； 第二步，计算 r：r＝|OP|＝ x2＋y2； 第三步，求值：由 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝xy(x≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．
第五章 三角函数
5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念(一)
课程标准
核心素养
通过对三角函数概念的学
借助单位圆理解三角函数(正 习，提升“直观想象”、
弦、余弦、正切)的定义.
“逻辑推理”、“数学运
算”的核心素养.
Байду номын сангаас目索引
课前自主预习 课堂互动探究 随堂本课小结
课前自主预习
知识点 三角函数的定义
3 3
课堂互动探究
探究一 已知角的终边上一点求三角函数值
例 1 (1)在平面直角坐标系中，角 α 的终边与单位圆交于点 A，点 A 的纵坐标为35，则 tan α＝________. (2)若角 α 的终边经过点 P(5，－12)，则 sin α＝________，cos α＝ ________，tan α＝________.
[跟踪训练 1] 如果 α 的终边过点 P(2sin 30°，－2cos 30°)，那么
sin α 的值等于( )
A．12
B．－12
C．－
3 2
D．－
3 3
人教A版高中数学：三角函数的概念【精品课件】
[教材解难]
正确认识三角函数线 （1）正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数 的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表 示三角函数值的正负，凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值，反向的为负 值． （2）三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给 出了角 a 的三角函数线的画法，即先找到 P，M，T 点，再画出 MP， OM，AT. （3）三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角 函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基 础．
知识点四 三角函数值在各象限的符号
状元随笔 对三角函数值符号的理解 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号 导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离 r 总是正值．根据三 角函数定义知： （1）正弦值符号取决于纵坐标 y 的符号； （2）余弦值的符号取决于横坐标 x 的符号； （3）正切值的符号是由 x，y 符号共同决定的，即 x，y 同号 为正，异号为负．
应用诱导公式一时，先将角转化到 0 ～2π 范围内的角，再求 值.对于特殊角的三角函数值一定要熟记．
最新课程标准： 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，csoins xx＝tan x.
知识点 同角三角函数的基本关系式
状元随笔 （1）利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利 用csoins αα＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． （2）关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
知识点二 正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin α
高中数学新人教A版必修一三角函数的概念课件34张
【跟踪训练 3】 若角α的终边与直线 y=3x 重合,且 sin α<0,又 P(m,n)是角α终边
上一点,且|OP|= 10 ,则 m-n=
.
解析:由题,所以n=3m, 又m2+n2=10, 所以m2=1. 又sin α＜0,所以m=-1,所以n=-3. 故m-n=2.
答案:2
考查角度2:三角函数值的符号 【例4】 (2018·石家庄质检)已知sin α＜0,tan α＞0. (1)求角α的集合;
(A) 4 5
(B)- 4 (C) 3
5
5
(D)- 3 5
解析:因为点 A 的纵坐标 yA= 4 ,且点 A 在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,所以 A 5
点的横坐标 xA=- 3 ,由三角函数的定义可得 cos α=- 3 .故选 D.
5
5
【例2】 若角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0). (1)求sin θ+cos θ的值;
(A)1 (B)-1 (C)±1 (D)±2
解析:sin α= 2 = 2 ,x=2,tan α= y = 2 =1.故选 A.
x2 22 x
x2
4.(教材改编题)若sin α＜0且tan α＜0,则α是( D ) (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角
解析:由sin α＜0,得α在第三或第四象限;由tan α＜0,得α在第二或第四象 限,故α在第四象限.故选D.
2.弧度制
(1)定义 长度等于 (2)公式
半径长
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算 弧长公式
扇形面积公式
的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.
|α|= ①1°=
高中数学人教A版必修第一册5.三角函数的概念-任意角的三角函数定义(PPT全文课件)
tan 45 1.
sin 60 3 , 2
cos 60 1 , 2
tan 60 3.
sin120 3 , 2
sin135 2 , 2
sin150 1 , 2
cos120 1 , 2
cos135 2 , 2
cos150 3 , 2
tan120 3. tan135 1.
tan150 3 . 3
② 45°
P( 2 , 2 ) 22
45
sin 45 2 , 2
cos 45 2 , 2
tan 45 1.
求三角函数值的方法（单位圆定义）： 分别计算出30°，45°，60°；
120°，135°，150°； 0°， 90°， 180°的三个三角函数值：
③ 60°
P(1 , 3) 22
60
sin 60 3 , 2
又因为②式 tan 0 成立，所以角 的终边可能位于
第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
反过来(必要性)请同学们自己证明.
诱导公式一： 作用：大角化小角，负角化正角（化为0~2π范围内的角）
求三角函数值的方法（单位圆定义）：
分别计算出30°，45°，60°；
求三角函数值的方法（单位圆定义）：
分别计算出30°，45°，60°；
120°，135°，150°；
⑤ 135°
0°， 90°， 180°的三个三角函数值：
P( 2 , 2 ) 22
135
sin135 2 , 2
cos135 2 , 2
tan135 1.
求三角函数值的方法（单位圆定义）： 分别计算出30°，45°，60°；
sin 60 3 , 2
cos 60 1 , 2
tan 60 3.
sin120 3 , 2
sin135 2 , 2
sin150 1 , 2
cos120 1 , 2
cos135 2 , 2
cos150 3 , 2
tan120 3. tan135 1.
tan150 3 . 3
② 45°
P( 2 , 2 ) 22
45
sin 45 2 , 2
cos 45 2 , 2
tan 45 1.
求三角函数值的方法（单位圆定义）： 分别计算出30°，45°，60°；
120°，135°，150°； 0°， 90°， 180°的三个三角函数值：
③ 60°
P(1 , 3) 22
60
sin 60 3 , 2
又因为②式 tan 0 成立，所以角 的终边可能位于
第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
反过来(必要性)请同学们自己证明.
诱导公式一： 作用：大角化小角，负角化正角（化为0~2π范围内的角）
求三角函数值的方法（单位圆定义）：
分别计算出30°，45°，60°；
求三角函数值的方法（单位圆定义）：
分别计算出30°，45°，60°；
120°，135°，150°；
⑤ 135°
0°， 90°， 180°的三个三角函数值：
P( 2 , 2 ) 22
135
sin135 2 , 2
cos135 2 , 2
tan135 1.
求三角函数值的方法（单位圆定义）： 分别计算出30°，45°，60°；
高中数学第五章三角函数5-2三角函数的概念5-2-1三角函数的概念课件新人教A版必修第一册
sin α cos α tan α
助学批注 批注❶ 是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与 角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 批注❷ 三角函数值在各象限的符号由α的终边所在的象限决定． 批注❸ 作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0～2 π(或 0°～360°)范围内的三角函数值．
基础自测 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( × ) (2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝yr，且y越大，sin α的值越大．( × ) (3)已知α是三角形的内角，则必有cos α＞0.( × ) (4)若sin α＞0，则α一定在第一或第二象限．( × )
136π＋tan
(－173π)＋sin
33
6π＝____2____．
解＝c析os：π6c＋osta1n36ππ3＋＋tsainn
(－173π)＋sin 2π
6π＝cos
(2π＋π6)＋tan
(－6π＋π3)＋sin
(4π＋2π)
＝
3 2
+
3＋0
＝323.
方法归纳
判断三角函数值符号的步骤
巩固训练2 已知角α为第三象限角，则点P(tan α，sin α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：D
解析：∵角α为第三象限角，tan α＞0，sin α＜0， ∴点P(tan α，sin α)在第四象限．
题型 3 诱导公式一的应用
5.2.1 三角函数的概念
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准 (1)理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值．(2)掌握任意角 三角函数在各象限的符号．(3)掌握三角函数诱导公式一并会应用．
助学批注 批注❶ 是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与 角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 批注❷ 三角函数值在各象限的符号由α的终边所在的象限决定． 批注❸ 作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0～2 π(或 0°～360°)范围内的三角函数值．
基础自测 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( × ) (2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝yr，且y越大，sin α的值越大．( × ) (3)已知α是三角形的内角，则必有cos α＞0.( × ) (4)若sin α＞0，则α一定在第一或第二象限．( × )
136π＋tan
(－173π)＋sin
33
6π＝____2____．
解＝c析os：π6c＋osta1n36ππ3＋＋tsainn
(－173π)＋sin 2π
6π＝cos
(2π＋π6)＋tan
(－6π＋π3)＋sin
(4π＋2π)
＝
3 2
+
3＋0
＝323.
方法归纳
判断三角函数值符号的步骤
巩固训练2 已知角α为第三象限角，则点P(tan α，sin α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：D
解析：∵角α为第三象限角，tan α＞0，sin α＜0， ∴点P(tan α，sin α)在第四象限．
题型 3 诱导公式一的应用
5.2.1 三角函数的概念
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准 (1)理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值．(2)掌握任意角 三角函数在各象限的符号．(3)掌握三角函数诱导公式一并会应用．