初三奥数知识点小结

初三奥数总结第一章 一元二次方程概述——形如20(0)ax bx c a ++=≠的方程称为一元二次方程，使等式成立的实数称为此方程的实数根。

1、含字母系数的一元二次方程：解决含字母系数的一元二次方程的问题，经常需要对该方程的根进行分析、处理。

常用方法有：（1）利用解的定义，整体代入法，从而达到将高次方程降次的目的或其他；（2）从两个方程的公共实根出发，先确定该公共实根的值，再求各系数；（3）解决整数根常用方法有：①利用韦达定理，再拆分，然后验根；②含字母系数的一元二次方程，常可利用因式分解法求根，再双重检验（验△，验整数根条件）；③利用△缩小字母系数的范围，再验根进行取舍。

（4）利用不等式的性质（如x y +≥）；（5）求出方程解，再消去未知系数，求不定方程的解，再带回求参数的方法；（6）利用韦达定理，再消参数法；（7）参数交换法（即把字母系数与未知数的地位互换时，所得方程与原方程完全一样，从而将一个较弱的条件得以加强，从而使问题的本质浮出水面）等。

2、根的判别式与韦达定理：概述——一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有实数解的条件是240b ac ∆=-≥，设12,x x 为此方程的两个根，则根与系数之间存在如下关系：1212b x x ac x x a+=-=3、可化为一元二次方程的方程（组）概述——我们总是将方程的求解问题利用代数式变形转化为一次方程或一元二次方程来处理，这是化规思想在方程理论中的基本运用。

实现这一转化的方法是多种多样的，换元法是其中最常用的方法。

具体到各个问题时，应根据方程的特点灵活处理。

常见题型的常用处理办法：（1）一般代数三次方程尽管有求根公式，但中学阶段不会出现需用到求根公式才能处理的三次方程，给出的三次方程，往往容易看出其中的一个根，再由因式定理转化为求解一个一元二次方程。

（2）利用换元法达到降次的目的；（3）拆、添项因式分解求解；（4）处理系数对称的高次方程，常用下题的解法（如解方程4322316320x x x x +-++=。

变形得到：22112()3()160x x x x+++-=，进而得到：2112()23()160x x x x ⎡⎤+-++-=⎢⎥⎣⎦，然后再换元求解即可）（5）参数交换法；（6）利用一元二次方程根的判别式，构造一元二次方程解题（如：已知x 、y 为有理数，且55222x y x y +=。

证明1－xy 时一个有理数的平方。

证明：若x 、y 中有一个为0，则1－xy ＝1时一个有理数的平方。

若xy ≠0，两边除以22x y ，得：22()()2x y x y y x +=。

令t ＝2()x y，由x 、y 为有理数，可知关于t 的一元二次方程：220xt t y -+=有有理根。

而上述方程的系数均为有理数，故△＝4－4xy ＝4（1－xy ）是一个有理数的平方。

所以，1－xy 是一个有理数的平方。

）4、整系数一元二次方程：一般地，若整系数一元二次方程有整数根，则该方程的根的判别式是一个完全平方数。

这一性质在处理一元二次方程的整数根问题时经常被用到。

常用方法有：（1）利用韦达定理拆分，再利用数论方法与技巧；（2）利用整数理论来处理整系数一元二次方程的整数根（如a ，b 模m 同余等）问题是不易考虑到的想法，解题中往往能出奇制胜；（3）利用判别式处理（即如利用△＝22(21)40k m +-=【为完全平方数】，再利用平方差展开和整系数进而求解。

）（4）利用函数图像方法。

5、勾股数与完全平方数：称满足不定方程222x y z +=的正整数数组（x,y,z ）为勾股数组（国际上，一般称为毕达哥拉斯数组）。

勾股数组有许多有趣的性质，例如，若（x ，y ，z ）为勾股数组，则x 、y 、z 中有一个数为3的倍数；有一个数为4的倍数；也有一个数为5的倍数。

完全平方数是一类重要的自然数，竞赛中许多问题要用到完全平方数的性质。

说明：（1）如果两个互质的自然数之积是一个完全平方数，则这两个自然数都是完全平方数。

（2）如果正整数x 可表示为两个正整数的平方和，则2x 也可表示为两个正整数的平方和。

（如22x u v =+，2222222()()x u v u v u v =+=++-。

于是2x 可表示为两个整数u+v 和u v -的平方和。

（3）相邻两个完全平方数之间的自然数都不是完全平方数。

（4）在勾股三角形中，周长为面积的整数倍的三角形，可以用勾股数组来试探，这一过程是发现勾股数性质的一般尝试方法。

第二章 函数1、函数及其图像：某个变化过程中有两个变量，如果对于x 在某个范围D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的值与它对应，那么y 就叫做x 的函数，记作y=f(x)，x ∈D （为方便，这里沿用集合的记号，x ∈D ，读作x 属于D ，表示x 在范围D 内变换，或x 是集合D 的元素）。

X 的取值范围D 叫做函数的定义域，和x 的值相应的y 值叫做函数值，函数值的全体构成的集合叫做函数的值域。

要求会用函数解方程组问题，判断图像题，求方程的解的题。

2、一元二次不等式的解与一元二次方程实数根的分布：我们把形如20ax bx c ++〉，20ax bx c ++〈（a ≠0）的不等式叫做一元二次不等式。

要会二次函数的图像来解一元二次不等式。

对于2ax bx c ++＝0（a ＞0）的两根为1x 、2x （1x ＜2x ，记f(x)＝2ax bx c ++，则不等式20ax bx c ++〉（或20ax bx c ++〈）的解就是y=f(x)的图像在x 轴上方（或x 轴下方）所对应的x 的全体；若a ＞0，△＞0，则20ax bx c ++〉的解集为1x x 〈或2x x 〉；20ax bx c ++〈的解集为12x x x 〈〈。

若a ＞0，△＝0，则20ax bx c ++〉的解集为2bx a≠-的全体实数； 20ax bx c ++〈的解集为空集；若a ＞0，△＜0，则20ax bx c ++〉的解集为全体实数；20ax bx c ++〈的解集为空集；此类题要求会用二次函数图像的方法解题。

3、函数的最大值与最小值：设函数y=f(x)在0x 处的函数值是0()f x ，如果不等式0()()f x f x ≤对于定义域内任意x 都成立，那么0()f x 叫做函数y=f(x)的最大值。

类似地，如果不等式0()()f x f x ≥对于定义域内任意x 都成立，那么0()f x 叫做函数的最小值。

如果f(x)＝c 是一个常数函数，那么c 既是f(x)的最大值，又是f(x)的最小值。

如果自变量x 的取值范围为p x q ≤≤，那么一次函数f(x)=kx+m 既有最大值又有最小值。

当k ＞0时，f(x)随着x 的增大而增加，故f(q)是它的最大值，f(p)是它的最小值； 当k ＜0时，f(x)随着x 的增大而减小，故f(p)是它的最大值，f(q)是它的最小值；对于二次函数f(x)＝2ax bx c ++而言，经过配方，得：224()()24b ac b f x a x a a-=++当a ＞0时，当x=2ba-时，f(x)取最小值244ac b a -，而f(x)无最大值；当a ＜0时，当x=2ba-时，f(x)取最大值244ac b a -，而f(x)无最小值；对于二次函数f(x)＝2ax bx c ++，如果自变量得取值范围限制在p x q ≤≤，那么函数f(x)＝2ax bx c ++（a ≠0）既有最大值，又有最小值。

当a ＞0时，在满足p x q ≤≤的x 中，设使2bx a+最小的x 为0x ，则0()f x 即为最小值；设使2bx a+最大的x 为1x ，则1()f x 为最大值。

从图像上看，f(x)＝2ax bx c ++（p x q ≤≤）的图像是一段抛物线弧，f(x)的最大值或最小值只能在抛物线弧的顶点（若抛物线弧顶点横坐标2b a -满足2b p q a≤-≤）或两端点取到。

初中数学中的函数最大值与最小值问题，基本上都能转化为求前面叙述的这些函数的最大值与最小值。

对于绝对值函数可以把函数转化成分段函数。

推广到一般情况，即对n 个实数12n a a a ≤≤≤L ，求f(x)＝12n x a x a x a -+-+-L 的最小值。

由于12,,,n a a a L 中有些允许相等，因此，我们应该会求函数1122()n n f x k x a k x a k x a =-+-+-L 的最小值，这里12,,,n k k k L 都是自然数。

第三章 解三角形1、三角函数：三角函数是建立在相似三角形的基础上的。

如图，在△ABC 中，∠C=90°，则 正弦函数sin a A c =；余弦函数cos b A c =；正切函数tan a A b =；余切函数cot b A a=。

ba利用锐角三角函数定义以及比例的性质、勾股定理、不等关系可以得到以下结论：（1）同角三角函数的三个关系式：tan cot 1αα⋅=；sin tan cos ααα=；22sin cos 1αα+=；1sin cos αα〈+≤（2）互余角三角函数的关系式：sin(90)cos A A ︒-=；cos(90)sin A A ︒-=；tan(90)cot A A ︒-=；cot(90)tan A A ︒-=。

（3）若090αβ︒〈〈〈︒，则0sin sin 1αβ〈〈〈，1cos cos 0αβ〉〉〉，0tan tan αβ〈〈。

对于钝角A ，通过进一步学习可以得到：sin sin(180)A A =︒-；cos cos(180)A A =-︒-；tan tan(180)A A =-︒-；cot cot(180)A A =-︒-。

还可以证明同角三角函数的三个关系式对于钝角依然成立。

特别地，当A=0°时，sin00︒=，cos01︒=，tan00︒=，cot 0︒不存在。

当A ＝90°时，sin901︒=，cos900︒=，tan90︒不存在，cot 900︒=。

当A ＝180°时，sin1800︒=，cos1801︒=-，tan1800︒=，cot180︒不存在。

22sin cos 1αα+=列方程求解。

要注意最后检验方程有无实数根。

2、三角形中的边角关系：对于直角三角形（如图，△ABC 中，∠C ＝90°）边角关系主要有： （1）角角关系：两锐角互余（A+B=90°）; （2）边边关系：勾股定理（222a b c +=）。

（3）边角关系：sin cos tan cot a c A c B b A b B =⋅=⋅=⋅=⋅； sin cos tan cot b c B c A a B a A =⋅=⋅=⋅=⋅.ba射影定理：∠C ＝90°，∠A=∠BCD,∠B=∠ACD ，222,,BC BD AB AC AD AB CD AD BD =⋅=⋅=⋅.对于斜三角形，通过转化成直角三角形可以得到一般三角形边角关系的几个重要公式。