组合试题及答案11.11(工硕)l
11.1 排列、组合
它们的区分在于:分类计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中 任一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与分步有关,各个步骤相 互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成了. 3.排列 (1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一 列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个
高考数学（浙江专用）
11.1 排列、组合
考点清单
考点 排列、组合
考向基础 1.分类计数原理、分步计数原理 (1)完成一件事有n类办法,各类办法相互独立,每类办法中又有多种不同 的方法,则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和,这就是 分类计数原理. (2)完成一件事,需要分成n个步骤,每一步的完成有多种不同的方法,则 完成这件事的不同方法种数是各步骤的不同方法数的乘积,这就是分步 计数原理. 2.分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数.
(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略; (10)构造模型的策略. 例 (202X浙江新高考调研卷二(镇海中学),16)现安排甲、乙等5人参加 3个运动项目,要求甲、乙两人不能参加同一个项目,每个项目都必须有 人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方法种数为
.
解析
解法一:按(3,1,1)分组,有
而2≤c-b≤6,故需减去c-b=1和c-b=7的集合的个数. 若c-b=1,则有以下情形: b=2,c=3时,集合的个数为1;b=3,c=4时,集合的个数为2; b=4,c=5时,集合的个数为3;b=5,c=6时,集合的个数为4; b=6,c=7时,集合的个数为5;b=7,c=8时,集合的个数为6; b=8,c=9时,集合的个数为7.集合的总个数为1+2+3+4+5+6+7=28. 若c-b=7,则只有a=1,b=2,c=9,集合的个数为1. 所以集合A的个数为84-28-1=55. 答案 55
组合(一)课后作业详细解析
组合(一)课后作业详细解析1.以下四个命题，属于组合问题的是()A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地答案C 解析只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.2.C 26＋C 57的值为()解析C 26＋C 57＝C 26＋C 27＝6×52×1＋7×62×1＝15＋21＝36.3.A 3101C 2100＋C 97100等于()解析A 3101C 2100＋C 97100＝A 3101C 2100＋C 3100＝A 3101C 3101＝A 33＝6.4.若集合M ＝{x |C x 7≤21}，则组成集合M 的元素共有()A.1个B.3个C.6个D.7个答案B 解析∵C 07＝1，C 17＝7，C 27＝7×62！＝21，∴x ＝0,1,2.5.若C 2n －320＝C n ＋220(n ∈N *)，则n 等于()解析由题意知2n －3＝n ＋2或2n －3＋n ＋2＝20，则n ＝5或7.6.组合数C r n (n >r ≥1，n 、r ∈Z )恒等于()A.r ＋1n ＋1C r －1n －1 B.(n ＋1)(r ＋1)C r －1n －1C.nr C r －1n －1 D.n rC r －1n －1答案D 解析A 中r ＋1n ＋1C r －1n －1＝r ＋1n ＋1·(n －1)(n －2)…(n －r ＋1)(r －1)！＝r (r ＋1)n (n ＋1)C r n ；B 中(n ＋1)(r ＋1)C r －1n －1＝(n ＋1)(r ＋1)·(n －1)(n －2)…(n －r ＋1)(r －1)！＝r (n ＋1)(r ＋1)nC r n ；C 中nr C r －1n －1＝nr ·(n －1)(n －2)(n －3)…(n －r ＋1)(r －1)！＝r 2C r n ；D 中n r C r －1n －1＝n r ·(n －1)(n －2)…(n －r ＋1)(r －1)！＝C r n .7.已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，则C 12n ＝________.答案91解析∵C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，∴2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，∴2×n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝14，n ＝7(舍去)，则C 1214＝C 214＝91.。
排列组合 多面手问题(原卷版)
专题11 多面手问题【方法技巧与总结】解含有约束条件的排列组合问题，即多面手问题，可元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终．【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）种不同的选法．A．675B．575C．512D．545例2．（2023·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A．225B．185C．145D．110例3．（2023·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．26种B．30种C．37种D．42种例4．（2023·全国·高三专题练习）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．56种B．68种C．74种D．92种例5．（2023春·湖北十堰·高二统考期末）某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．26种B．30种C．37种D．42种例6．（2023春·安徽六安·高二六安一中阶段练习）在11名工人中,有5人只当钳工, 4人只当车工,另外2人既会钳工又会车工，现从11人中选出4人当钳工, 4人当车工,则共有（）种不同的选法.A．120B．125C．180D．185例7．（2023春·宁夏·高二宁夏长庆高级中学校考期中）某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为A．36种B．33种C．27种D．21种例8．（2023·全国·高三专题练习）有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为A．18B．15C．16D．25例9．（2023秋·河南南阳·高二校考阶段练习）我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有______种不同的选法例10．（2023春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有__________种.例11．（2023秋·辽宁朝阳·高三校考期中）现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法．例12．（2023·上海·高三专题练习）6名男生4名女生共10人，要从这10个人中选出3人共同去完成某项任务，要求这3人中至少要有1个女生，则不同的选法有_________种.例13．（2023秋·海南·高二海南华侨中学校考期末）6名学生，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，剩下1人既会唱歌又会跳舞，选出2人唱歌2人跳舞，共有______种不同的选法.（请用数学作答）例14．（2023春·四川广安·高二四川省武胜烈面中学校校考期中）6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，共有______种不同的选法．例15．（2023春·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）在一次演唱会上共10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有___________种选派方法（填数字）.例16．（2023春·山西·高二临汾第一中学校校考期中）某公园现有甲、乙、丙三只小船，甲船可乘3人，乙船可乘2人，丙船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只(每船必须坐人)，为安全起见，儿童必须由成人陪同方可乘船，则分乘这些船只的方法有______种（用数字作答）.例17．（2023·高二课时练习）有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，有多少种不同的选法？例18．（2023·二年级单元测试）某公园有P,Q,R三只小艇,P艇最多可乘3人,Q艇最多可乘2人,R艇只能乘1人,现在3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小艇,规定有小孩的艇必须有大人,共有多少种不同的乘艇方法?例19．（2023春·上海闵行·高二闵行中学校考期中）在一次演唱会上共10 名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞.（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？（2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？例20．（2023·全国·高三专题练习）有11名翻译人员，其中5名是英语翻译人员，4名是日语翻译人员，另2人英、日语均精通．现从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，则有多少种不同的选派方式？例21．（2023春·山东烟台·高二烟台二中校考阶段练习）有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英，日语都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？。
【高三】2021年11月高三会考理综物理试题(有答案)
【高三】2021年11月高三会考理综物理试题（有答案）高三会考理科综合试题（卷）2021.11温馨提示：1.本试卷分第i卷()和第ll卷(非)两部分。
成绩单前，学生务必将自己的姓名、准考证号核对在答题卡上。
2.回答第i卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.提问第ii卷时，将答案写下在答题卡上。
写下在本试卷上违宪。
4.考试结束后，考生只须将答题卡交回。
可能将使用的相对原子质量：h-1c-12n-14o-16cl-35.5na-23ba-137ca-40第ⅰ卷（选择题，共126分后）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.右图为以32p的磷酸盐培育大麦幼苗种子一段时间后，测量的根点相同区域32p的累积和运输的量，分析恰当的就是a.细胞吸收磷酸盐的过程主要是主动运输b.细胞内累积的32p主要在atp中c.细胞内积累的32p主要在细胞的生物膜中d.根点细胞的核糖体内不能所含32p2.关于生物及细胞对能量的输入、输出和利用说法正确的是a.生物细胞无法输出无机物水解释放出来的能量b.植物细胞输入的不一定是光能，但都主要是以atp为直接能源物质c.动物、真菌输出的能量都就是平衡的化学能，输入的就是热能d.植物细胞的能量输入都不消耗能量3.右图就是某生物的细胞分裂示意图，以下描述恰当的就是a．若图中的2和6表示两个y染色体，则此图一定表示次级精母细胞b．若图中①上某位点存有基因b，则②上适当位点的基因可能将就是bc．若该细胞是正常的分裂细胞，且1与4是同源染色体，则该个体可能是雄性也可能是雌性d．若该细胞就是正常的分裂细胞，且1与8不是同源染色体，则该个体细胞染色体数目最多时就是8条4.有关实验分析错误的是a.观测dna和rna在细胞中的原产的实验，必须用甲基绿和吡罗红混合染液对细胞染色b.观察植物细胞有丝分裂的实验，必须用龙胆紫或醋酸洋红等碱性燃料给活细胞染色c.观测植物细胞的叶绿体实验的通常可有活细胞d.观察植物细胞线粒体的实验用健那绿给活细胞染5.图示分株的四种葡萄枝条,其中极易长成的就是6.下列关于染色体组的说法，不正确的是a．单倍体不一定只不含一个染色体组b．四倍体水稻的单倍体体细胞中含2个染色体组c．一个染色体组的染色体大小、形态通常相同d．有性生殖细胞中形状大小不同的染色体就是一个染色体组7．人们日益注重环境问题，以下观点不恰当的就是a．装饰装修材料中的甲醛、芳香烃及放射性物质都会造成室内污染b．人类超量碳排放及氮氧化物和二氧化硫的排放量就是构成酸雨的主要原因c．煤燃烧时加入少量的石灰石可以减少废气中的二氧化硫排放d．我国自实行“限塑令”以来，“白色污染”在一定程度上获得有效率遏止8．下列叙述正确的是a．0．1ol／l氨水中，c（oh－）＝c(nh4+)b．体积和物质的量浓度均相同的稀h2so4与naoh溶液充分混合后溶液的ph＝7c．在0.1ol／lch3coona溶液中：c（oh－）＝c（ch3cooh）＋c（h＋）d．0．1ol／l某二元弱酸强碱盐naha溶液中：c（na＋）＝2c（a2－）＋c（ha－）＋c（h2a）9.以下描述恰当的就是a.12g石墨烯(单层石墨)中含有六元环的个数为0.5nab.25℃时ph=13的naoh溶液中所含oh一的数目为0.1nac.1ol的羟基与1ol的氢氧根离子所含电子数均为9nad.1.0l1.5o1l－1的naalo2水溶液中所含的氧原子数为3na10．2021年3月15日，央视新闻频道播出了一期《“健美猪”真相》的特别节目，再次掀起瘦肉精热潮。
2024年高考数学总复习第十一章计数原理真题分类44排列与组合
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A．18 个 B．16 个 C．14 个 D．12 个
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真题分类44 排列与组合
高考·数学
答案：C 当 m＝4 时，数列{an}共有 8 项，其中 4 项为 0，4 项为 1，要满足对任意 k≤8， a1，a2，…，ak 中 0 的个数不少于 1 的个数，则必有 a1＝0，a8＝1，a2 可为 0，也可为 1.(1) 当 a2＝0 时，分以下 3 种情况：①若 a3＝0，则 a4，a5，a6，a7 中任意一个为 0 均可，则有 C14 ＝4(种)情况；②若 a3＝1，a4＝0，则 a5，a6，a7 中任意一个为 0 均可，有 C13 ＝3(种)情 况；③若 a3＝1，a4＝1，则 a5 必为 0，a6，a7 中任一个为 0 均可，有 C12 ＝2(种)情况；(2) 当 a2＝1 时，必有 a3＝0，分以下 2 种情况：①若 a4＝0，则 a5，a6，a7 中任一个为 0 均可， 有 C13 ＝3(种)情况；②若 a4＝1，则 a5 必为 0，a6，a7 中任一个为 0 均可，有 C12 ＝2(种)情 况．综上所述，不同的“规范 01 数列”共有 4＋3＋2＋3＋2＝14(个).故选 C.
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真题分类44 排列与组合
高考·数学
3．(2017·课标全国Ⅱ，6，5 分)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项， 每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( )
A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
答案：D 由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工作， 可得安排方式为 C13 ·C24 ·A22 ＝36(种)，或列式为 C13 ·C24 ·C12 ＝36(种).故选 D.
排列与组合练习题及解析
排列与组合练习题及解析在数学中，排列和组合是组合数学中的基本概念。
排列是指从给定的元素集合中选取一些元素并按照一定的顺序排列，而组合是指从给定的元素集合中选取一些元素并形成一个集合，不考虑顺序。
在此，我们提供一些排列与组合的练习题，并给出详细的解析过程。
1. 排列问题：(1) 从10个不同的球中，按照一定的顺序取出5个球，问共有多少种不同的结果？解析：排列问题要考虑元素的顺序，因此可以使用排列公式进行计算。
对于这个问题，可以使用10个不同的球中取出5个球的排列数公式：P(10, 5) = 10! / (10-5)! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 = 30,240因此，共有30,240种不同的结果。
(2) 一个由字母组成的字符串，字母顺序可以重复，共有8个字母。
从中选取4个字母组成字符串，问共有多少种不同的结果？解析：同样地，对于这个问题，我们可以使用排列公式进行计算。
从8个字母中选取4个字母的排列数为：P(8, 4) = 8! / (8-4)! = 8 * 7 * 6 * 5 = 1,680因此，共有1,680种不同的结果。
2. 组合问题：(1) 从10个不同的球中，按照任意顺序取出5个球，问共有多少种不同的结果？解析：与排列问题不同的是，组合问题不考虑元素的顺序。
那么我们可以使用组合公式进行计算。
对于这个问题，可以使用10个不同的球中取出5个球的组合数公式：C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252因此，共有252种不同的结果。
(2) 一个由字母组成的字符串，字母顺序可以重复，共有8个字母。
从中选取4个字母组成字符串，问共有多少种不同的结果？解析：同样地，对于这个问题，我们可以使用组合公式进行计算。
从8个字母中选取4个字母的组合数为：C(8, 4) = 8! / (4! * (8-4)!) = 8 * 7 * 6 * 5 / (4 * 3 * 2 * 1) = 70因此，共有70种不同的结果。
(完整版)排列组合习题_[含详细答案解析]
![(完整版)排列组合习题_[含详细答案解析]](https://img.taocdn.com/s3/m/32bb7440240c844768eaee77.png)
圆梦教育中心排列组合专项训练1.题1 (方法对比，二星) 题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？ 解析：“名额无差别”——相同元素问题 (法1)每所学校各分一个名额后，还有2个名额待分配，可将名额分给2所学校、1所学校，共两类：2133C C +(种) (法2——挡板法)相邻名额间共4个空隙，插入2个挡板，共：246C =(种) 注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无差别)同类题一 题面：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 答案：69C 详解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成9个空隙。
在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。
同类题二题面：求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。
答案：36. 详解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z之值, 故解的个数为C 92=36（个）。
2.题2 (插空法，三星)题面：某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种. 答案：60，48同类题一题面：6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？答案：A 66·A 47种.详解： 任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．同类题二 题面：有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种答案：C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A 24＝72种排法，故选C.3．题3 (插空法，三星)题面：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．1]没有坐人的7个位子先摆好，[2](法1——插空)每个男生占一个位子，插入7个位子所成的8个空当中，有：58A =6720种排法.(法2)[1]5个男生先排好：55A ；[2]每个男生加上相邻的一个座位，共去掉9个位置，当作5个排好的元素，共有6个空，剩下的3个元素往里插空，每个空可以插1个、2个、3个元素，共有：3216662C C C ++种，综上：有55A (3216662C C C ++)=6720种.同类题一题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？ 答案：30。
哈工大深圳研究生院组合数学部分作业题答案
3. If the first four entries of the 0th row of its difference table are 1, -1, Answer: Example （267 页）,Theorem 8.2.2（267 页 ））, Theorem 8.2.3 （269 页 ）） The difference table is 1 -2 6 -3 -1 4 3 3 7 10 …… …… …… …… 3, 10, determine ������������������������ and a formula for ∑������������ ������������=������������ ������������������������ .
the times e2 occurs be n2 where n2 ≥ 2 the times ek occurs be nk where nk ≥ k
We have Then:
n1 + n2 + ⋯ + nk = n
x x2 x2 x3 xk x k+1 g (x ) = � + + ⋯ � � + + ⋯ � … ( + + ⋯) 1! 2! 2! 3! k! k + 1! x x x k −1 x = (e − 1) �e − 1 − � … (e − 1 − − ⋯ − ) 1! 1! (k − 1)!
Answer:
So we have
Suppose f1 = 2e1 , f2 = 5e2 , f3 = e3 , f4 = 7e4 f1 + f2 + f3 + f4 = n
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组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ，共 2 小时）课程名称 组合数学 教师 卢光辉、杨国武 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2011 年 11 月 日 成绩 考核方式： （学生填写）一、(共10分) 1、（4分）名词解释：广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。
2、（6分）证明：R(C 4,C 4) ≥ 6，其中C 4为4个顶点的无向回路图。
解：1、使得K n 对于(H 1，H 2，…，H r )不能r －着色的最小正整数n 称为广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。
-----------------4分2、如下图所示的5个顶点的完全图就没有一个纯的C 4，实线和虚线分别代表不同的颜色。
-----------------4分故R(C 4,C 4)>=6。
-----------------2分二、(16分)未来5届欧盟主席职位只能有法国、德国、意大利、西班牙、葡萄牙五国的人当选，一个国家只能当选一次。
假如法国只能当选第一届、第二届或者第三届，德国不能当选第二届和第三届，意大利不能当选第一届，西班牙不能当选第五届，葡萄牙只能能当选第二届、第四届或者第五届。
问未来的5届欧盟主席职位有多少种不同的当选方案？ 解：原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。
-----------------4分学 号 姓 名 学 院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………组合数学试题 共 5 页 ，第 2 页1 5432EDCBA由图,可得C 的棋盘多项式为 R(C)=3223)21()21()1(])21)(1()1([x x x x x x x x x +++++++++ ----------------4分＝543211242281x x x x x +++++-----------------4分 所以安排方案数为5! - 8·4! + 22·3! - 24·2! +11-1 -----------------4分 = 22即共有22种。
-----------------1分 三、（12分）意大利打算用36个月共偿还8000亿欧元国债，计划每个月至少偿还200亿欧元，证明：无论怎样安排偿还时间表，必然存在相继的若干月，在这些月内恰好偿还6000亿欧元国债。
假定每月偿还的国债都以整200亿欧元计。
证明：设1a 是第1个月偿还的国债，2a 是第1、2个月偿还的国债的和，j a 是第1，2，… ，第j 个月偿还的国债的和，j =1,2,…,36。
-----------------3分每月偿还的国债都以整200亿欧元计，用1代表200亿欧元，于是，序列361,...,a a 是严格递增序列(每个月至少偿还200亿欧元)，而且，≥1a 1,4036=a 。
于是序列30,...,30361++a a 也是严格递增的序列，且703036=+a 。
-----------------2分因此72个数361,...,a a ,30,...,30361++a a 都在1和70之间，由鸽笼原理知，这72个数中必有两个是相等的。
-----------------2分由于361,...,a a 中任何两个数都不相等，故30,...,30361++a a 中任何两个数也是不相等学 院答……………题……………无……………效……………………组合数学试题 共 5 页 ，第 3 页的，因此，一定存在两个数,i j 使得i a ＝30+j a ，即i a －j a ＝30。
-----------------4分因此，在第1,2,,j j i ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅这些月中，恰好偿还30×200＝6000亿欧元国债。
-----------------1分四、（14 分）求方程⎩⎨⎧≤≤≤≤=++53,418242321321x x x x x 的非负整数解的个数。
解：设所求的非负整数解的个数为M ，则M 为)1)()(()(84108612963 ++++++++=x x x x x x x x x x f 的82x 的系数。
-----------------5分=)(x f )1)(1)(1(84429639 ++++++++x x x x x x x x＝)1)(1(84131110987654329 ++++++++++++++x x x x x x x x x x x x x x -----------------4分＝)621(7354329 +++++++x x x x x x -----------------3分82x 的系数为6，故该方程的非负整数解的个数为6。
-----------------2分五、（15分）解下列递归关系⎩⎨⎧==-=----5,1)3(2141021a a a a a nn n n 解 对应的齐关系的特征方程 x 2-4x -21=0 -----------------3分 有根 x 1 = 7，x 2 = -3。
-----------------1分 故齐关系的通解为*n a =c 17n +c 2(-3)n -----------------2分 设特解 n a = An (-3)n ，代入原关系：An (-3)n -4A (n -1) (-3)n -1-21A (n -2) (-3)n -2 = (-3)n-----------------3分⇒ A = 1233 ⇒ n a =12333n n ）（－ -----------------2分 ∴ a n =*n a +n a = c 17n +c 2(-3)n+12233nn ）（－ -----------------1分……无……………效……………………组合数学试题 共 5 页 ，第 4 页由初值得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+56333712121－c c c c ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==207202721c c -----------------2分 ∴ a n = 20277n -207 (-3)n+ 12233nn ）（－ -----------------1分六、（12分）求3和5都出现偶数次，1和4都出现奇数次，并且9至少出现1次的r 位十进制数的个数。
解：设a n 是由0,1,……,9组成的满足“3和5都出现偶数次”且“1和4都出现奇数次” 并且“9至少出现1次”的长为n 的序列的个数， -----------------2分 则a n 的指数母函数为： f e (x )=1622)1()2()2()!22!11)(!3!2!1()!3!1()!4!21(25691052253223242x x x x x x xx x x x x e e e e e e e e e e e e x x x x x x x x x -++-=-⋅=++++++++++－－＋＋－－=!)125262910(1610n x n nn n n n n -+⨯+⨯-∑-∞= -----------------4分 所以a n = )125262910(161-+⨯+⨯--n n n n n ，n ≥3 -----------------2分以0为首项的长为n 的序列有a n －1个，在上述序列中去掉以0为首项的长为n 的序列便可得到3和5都出现偶数次，1和4都出现奇数次，并且9至少出现2次n 位十进制数的个数： -----------------2分 a n －a n －1＝）－－－－－1111125861098109(161n n n n n +⨯+⨯-⨯-⨯ n ≥3 -----------------1分 当n <=2时，结果为0。
-----------------1分 七、（16 分）全国4个片区共36所大学申报国家重点实验室，其中，西部片区有6所大学，华北片区有14所大学，华东片区有11所大学，华南片区有5所大学。
假定同一片区的各所大学不加以区别，现在要从中选取10所大学入围。
（1）问理论上有多少种不同的选取方案？（2）现为了考虑不同片区的特殊情况，如果西部片区至少有3家入围，华北片区至少有1家入围，问理论上有多少种不同的选取方案？组合数学试题 共 5 页 ，第 5 页解 （1）等价于求集合S 0＝{6.A,14.B,11.C,5.D}的所有10-组合构成的集合。
-----------------2分 令集合S 为{,,,}A B C D ∞⋅∞⋅∞⋅∞⋅的所有10-组合构成的集合。
则有 |S|=F(4,10) = 286。
令 A 1表示S 中至少含有7个A 的元素构成的集合, A 2表示S 中至少含有6个D 的元素构成的集合， -----------------2分 于是20)3,4(||1==F A ,35)4,4(||2==F A ,0||21=⋂A A -----------------1分由容斥原理，所求的9-组合数为AA 21∑∑+-==||21A A A jii iS ----------------2分=286 – (20+35)=231 -----------------1分（2）设r a 为选取r 所大学入围的方案数，故12(,,,,)r a a a 的母函数为)...1()...1()...()()(521121454326543x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++⨯++++⨯++++++⨯+++=-----------------5分...73...104+++=x x -----------------2分 因此理论上有73种不同的选取方案。
-----------------1分八、（5分）设n a 表示一个凸n 边形被它的对角线划分成互不重叠的区域个数(没有三条对角线在该n 边形内交于一点)。
试建立n a 的递规关系（不需要求解）。
解：23 11-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n n a a n n ,n>3.其中： 13=a―――――――――――――――――过程3分，结果2分。
学 号 姓 名 学 院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………。