中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)

中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥
选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）
一、基本图形
所有问题的老祖宗只有两个：①［定点到定点］:两点之间，线段最短；②［定
点到定线］:点线之间，垂线段最短。

由此派生：③［定点到定点］:三角形两边之和大于第三边；④［定线到定线］:
平行线之间，垂线段最短；⑤［定点到定圆］:点圆之间，点心线截距最短
（长）；⑥［定线到定圆］:线圆之间，心垂线截距最短；⑦［定圆到定圆］:
圆圆之间，连心线截距最短（长）。

余不赘述，下面仅举一例证明：［定点到定圆］:点圆之间，点心线截距最
短（长）。

已知。

O半径为r，AO=d P是。

O上一点，求AP的最大值和最小值。

证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO AO≤ AP+PO得d-r ≤AP
≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。

即过圆心和定点的直线截得的线段AB AC分别最小、最大值。

（可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，
线段最短”推得）。

上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。

二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。

类型分三种情况：（1）
直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。

（一）直接包含基本图形
例1.在。

O中，圆的半径为6,∠ B=30°, AC是。

O的切线，贝U CD的最小值是。

简析：由∠ B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CDLAC时最短为3。

（二）动点路径待确定
例2.,如图，在△ ABC中，∠ ACB=90，AB=5, BC=3, P是AB边上的动点（不与点B重合），将△ BCP沿CP所在的直线翻折，得到△ B' CP,连接B'
A,则B' A长度的最小值是_________________________
简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需
先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。

此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为
AC-B'C=1。

例3.在厶ABC中，AB=AC=5 COS ∠ ABC=3/5 ,将△ ABC绕点C顺时针旋转，得到△ A'B'C ,点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ A'B'C 绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F',求线段EF'长度的最大值与最小值的差。

简析：E是定点，F'是动点，要确定F'点的运动路径。

先确定线段A'B'的运动轨迹是圆环，外圆半径为BC,内圆半径为AB边上的高，F'是A'B'上
任意一点，因此F'的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点E到圆
环的最短和最长路径。

E到圆环的最短距离为EF z=CH-CE=4.8-3=1.8 ，E到圆环的最长距离为
EF I=EC+CF=3+6=9 ,其差为7.2。

（三）动线（定点）位置需变换
线段变换的方法：（1）等值变换：翻折、平移；（2）比例变换：三角、
相似。

【翻折变换类】典型问题：“将军饮马”
例4.如图，∠ AOB=30 ,点M N分别是射线OA OB上的动点，OP平分∠ AOB且OP=6当厶PMNI勺周长最小值为____________________________ 。

简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段PM MN PN在OA OB的内侧。

所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段PM MN PN转化为连接两点之间的路径。

如图，把点P分别沿OA OB翻折得P i、P2，△ PMN的周长转化为PιM+MN+N,这三条线段的和正是连接两个定点P i、B之间的路径，从而转化为求P i、P2两
点之间最短路径，得△ PMN的周长最小值为线段PιP2= OP^ 6。

例5.如图，在锐角厶ABC中，AB=4,∠ BAC=45，∠ BAC的平分线交BC于点DJMN 分别是AD和AB上的动点，贝U BM+M的最小值是。

简析：本题的问题也在于动线段BM MN居于动点轨迹AD的同侧，同样把
点N沿AD翻折至AC上，BM+M比BM+MN'转化为求点B到直线AC的最短路径，即BN'丄AC时，最小值为2^ 2 O
【平移变换类】典型问题：“造桥选址”
例6.如图，m n是小河两岸，河宽20米，A、B
是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、B 、____________________ Ξ'
之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）
简析：桥长为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点A向
下平移河宽，此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短，即转化为定
点A'到定点B的最短路径。

如下图：
思路是把动线AM平移至A'M ,A'N+BN即转化为求定点A'与定点B之间的最路径。

本题的关键是定长线段MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段
A'N、BN变为连续路径，也可以把点B向上平移20米与点A连接。

例7.如图，CD是直线y=x上的一条定长的动线段，且CD=2,点A（4, 0），
连接AC AD,设C点横坐标为m,求m为何值时，△ ACD的周长最小，并求出这个最小值。

解析：两条动线段AC AD居于动点所在直线的两侧，不符合基本图形中定
形（点线圆）应在动点轨迹的两侧。

首先把AC沿直线CD翻折至另一侧，
如下图：
现在把周长转化为A'C+CD+AD还需解决一个问题：动线段A'C与AD之间被定长线段CD 阻断，动线段必须转化成连续的路径。

同上题的道理，把A'C 沿CD方向平移CD的长度即可，如下图。

现在已经转化为A''D+AD的最短路径问题，属定点到定点，当A H D与AD 共线时A''D+AD最短，即为线段AA'的长。

【三角变换类】典型问题：“胡不归”
例8.如图，A地在公路BC旁的沙漠里，A到BC的距离AH= 2√3, AB= 2√
19 ,在公路BC上行进的速度是在沙漠里行驶速度的2倍。

某人在B地工作，
A地家中父亲病危，他急着沿直线
BA赶路，谁知最终没能见到父亲最后一
面，其父离世之时思念儿子，连连问：“胡不归，胡不归……！” （怎么还不回来），这真是一个悲伤的故事，也是因为不懂数学而导致的。

那么，从B至A怎样行进才能最快到达？
简析：BP段行驶速度是AP段的2倍，要求时间最短即求BP/2+AP最小，从而考虑BP/2如何转化，可以构造含30 °角利用三角函数关系把BP/2转化
为另一条线段。

如下图，作∠CBD=30 , PC⊥ BD,得PQ=1∕2BP,由“垂线
段最短”知当A、P、Q共线时AP+PQ= AQ'最小。

【相似变换类】典型问题：“阿氏圆”
“阿氏圆”：知平面上两点A B,则所有满足PA∕PB=k且不等于1的点P
的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿
氏圆，如下图所示，其中PO: BO= AO PO= PA: PB= k。

例9.已知A(-4，-4)、B(0, 4) 、C(0, -6) 、D(0, -1) ，AB 与X 轴交于点E,以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为。

E上一动点，求1/2AM+CM 的最小值。

简析：本题的主要问题在于如何转化1/2AM,注意到由条件知在M的运动过
程中，EM AE= 1 : 2保持不变，从而想到构造相似三角形，使之与厶AEM 的相似比为1: 2,这样便可实现1/2AM的转化，如下图取EN: EM= 1: 2, 即可得△ EMN^△ EAM 再得MN=1∕2AM 显然，MN+CM勺最小值就是定点N、C之间的最短路径。

之后便是常规方法先求N点坐标，再求CN的长
AEFN S AEOB
*
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EO BO BE 4
【解法大一统】万法归宗：路径成最短，折线到直线。

（所求路径在一般情况下是若干折线的组合，这些折线在同一直线上时即
为最短路径）
基本图形：动点有轨迹，动线居两边。

（动点轨迹可以是线或圆，动线指动点与定点或定线、定圆的连线，动线与折线同指）
核心方法：同侧变异侧，分散化连续。

（动线在同侧进，要变为异侧，一般用翻折、三角、相似的方法构造；动折线被定长线段分散时需化为连续折线，一般用平移的方法构造，如造桥选址问题）
下图是构造完成的目标图形：
再举一例说明上述规律的运用方法：
1.如图，菱形ABCD中，∠ A=60°, AB= 3，0 A>ΘB的半径为2和1，P、
E、F分别是CD ΘAΘB上的动点，则PE+PF的最小值为。