重庆市开州区2018-2019学年九年级下学期期末数学试题

…………外………○…………………○学校:_____________________班级…………内………○…………………○绝密★启用前重庆市开州区2018-2019学年九年级下学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列方程是一元二次方程的选项是（ ）． A ．x －1=0B ．x 2－1=0C ．21x－1=0 D ．x+y=02．下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．如图是按一定规律摆放的图案，按此规律，第2019个图案中的指针指向与第（ ）个图案相同．A ．第1个B ．第2个C ．第3个D ．第4个4．如图，在⊙O 中，AB ∥OC ，若∠AOC=50°，则∠BCO 的度数是（ ）．A ．25°B ．27.5°C ．30°D ．35°……外…………○……………○……※※请要※※在※※装※※订※※……内…………○……………○……5．0，13这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（ ）． A ．15B ．25C ．35D ．456．下列命题是真命题的是（ ）．A ．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，正面都朝上的概率是13B ．一元二次方程x 2=0只有一个根C ．平面直角坐标系中，点M （－1，2）、点N （2，－1）关于原点对称D ．不在同一直线上的三个点确定一个圆7．一种商品的原价是16元，经过两次提价后的价格为20元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，则x 的值应在（ ）． A ．0 和5%之间 B ．5%和10%之间 C ．10%和15%之间D ．15%和20%之间8．如图，为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，则下列说法：①0a >；②20a b +=；③0a b c -+=；④当0y <时，则1x <-． 其中正确的个数为( ) ．A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°，得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标为（ ）A ．()0,4B ．()1,1C ．()1,2D ．()2,110．2018年10月，开州区举行初中学业水平实验操作考试．要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，甲、乙两名同学都抽到化学学科的概率是…………外………○…………线…______…………内………○…………线…（ ）． A ．13B ．14C ．16D ．1911．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点A 为圆心，以AC 为半径画弧，交AD 延长线上于点E ．则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．4-8πB ．2-8πC ．2-4πD ．2π12．从－3，－1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数记为a ，若数a 使关于x 的方程2(12)210a x x ---=有实数解，且使关于x 的分式方程1133xax x +=--有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 值之和是（ ）． A ．﹣3 B ．12-C ．32-D ．2第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．点P （a ，4）是抛物线y=x 2图像上一点，且位于对称轴右侧，则a= ___________． 14．关于x 的一元二次方程x 2＋（m ＋3）x ＋m 2－4m ＋4=0有一个根是0，则方程的另一个根是= ___________．15．如图，转盘的半径为3，阴影部分的弧长为4π，转动转盘停止转动后，指针指向白色区域的概率是___________．16．在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°到△AB′C′○…………订…………线…………○……※※订※※线※※内※※答※※题○…………订…………线…………○……17．某天早晨，亮亮、悦悦两人分别从A 、B 两地同时出发相向跑步而行，途中两人相遇，亮亮到达B 地后立即以另一速度按原路返回．如图是两人离A 地的距离y （米）与悦悦运动的时间x （分）之间的函数图象，则亮亮到达A 地时，悦悦还需要____________分到达A 地．18．毕业典礼的开幕式上需要采购花店的鲜花．花店提供甲、乙两种造型的花束数量若干，甲种花束由4枝红花、1枝黄花和1枝紫花搭配而成，乙种花束由4枝黄花和2枝紫花搭配而成．已知每枝红花、黄花和紫花的成本之比是3:2:1，甲、乙两种造型的花束数量之比是2：9．甲、乙两种花束成本价分别为每种造型的三种鲜花的成本之和，甲种花束的销售利润率是20%，乙种花束的销售利润率为10%，这次买卖，花店获得的利润率是___________．19．某批发城在冬天到来之际进了一批保暖衣，男生的保暖衣每件价格60元，女生的保暖衣每件价格40元，第一批共购买100件．（1）第一批购买的保暖衣的总费用不超过5400元，求女生保暖衣最少购买多少件？ （2）第二批购买保暖衣，购买男、女生保暖衣的件数比为3:2，价格保持第一批的价格不变；第三批购买男生保暖衣的价格在第一批购买的价格上每件减少了5m元 ，女生保暖衣的价格比第一批购买的价格上每件增加了310m元，男生保暖衣的数量比第二批增加了%m ，女生保暖衣的数量比第二批减少了%m ，第二批与第三批购买保暖衣的总费用相同，求m 的值．…………外…………○订…………○…………线学__考号：___________…………内…………○订…………○…………线20．如图，直线y=x ＋3与两坐标轴交于A 、B 两点，抛物线y=－x 2＋bx ＋c 过A 、B 两点，且交x 轴的正半轴于点C ，点D 是抛物线的顶点． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标．21．中国的数字支付正在引领未来世界的支付方式变革，中国消费者的移动支付比美国的移动支付要多出11倍，所以当我们展望数字钱包的未来时，中国是一个自然的起点．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；（2）将条形统计图补充完整．观察此图，将各种支付方式调查人数组成一组数据，求这组数据的“中位数”是“ ”；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求两人选同种支付方式的概率．22．计算：……外…………○…………装………订…………○………※※请※※不※※要※※在※※内※※答※※题※※……内…………○…………装………订…………○………（1）()()()224x y x y y x --+- ； （2）解方程：x(x －1)=3x ＋7．23．如图，△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC ，点O 是边AB 上一点，以点O 为圆心，以OB 为半径作圆，⊙O 恰好经过点D ． （1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）若∠A=30°，⊙O 的半径是2，求线段CD 的长．24．等腰△ABD 中，AD=BD ，将△ABD 绕腰BD 的中点顺时针旋转180°，得到△CDB ，CE 平分∠BCD 交BD 于点E ，在BC 的延长线上取点F ，使CF=DE ，连接EF 交CD 于点G ．（1）如图1，∠A=60°，AB=4，求CF 的长； （2）如图2，求证：DE=2CG ．25．材料1：在设计人体雕塑时，存在一个分隔点，使雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）之比，等于下部与全部（全身）之比，可以增加视觉美观，数学上把这个点叫“黄金分割点”． 为了研究这个点，我们在线段AB 上取点C （如图1），点C 把AB 分成…………装…………○校:___________姓名：___________班…………装…………○AC 和CB 两段，其中BC 是较小的一段，现要使BC ACAC AB=即可．为了简便起见，设AB=1，AC=x ，则CB=1-x ，代入BC ACAC AB =，即11x x x-=，也即x 2+x-1=0，解之得，12x =．所以BC ACAC AB=这个数叫黄金分割数，点C 叫“黄金分割点”． 材料2：由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成面积为S 1和面积为S 2的两部分（设S 1＜S 2），如果122S S S S=，那么称直线l 为该图形的“黄金分割线”． （1）如图2，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC>CB ），取线段AB 的中点O ，作点C 关于点O 的对称点C '，则________AC AC'=；继续取线段AC 的中点O '，作点C '关于点O '的对称点C ''，试猜想点C ''是否线段A C '的黄金分割点，若是，请证明，若不是，请说明理由；（2）如图3，在平面直角坐标系中， A （0），B （1，0），C （2），求△ABC 中经过点C 的“黄金分割线”解析式．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x b =＋与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，OB=1，∠OBC=60°． （1）如图1，求直线BC 的解析式；（2）如图1，线段AC 上方抛物线上有一动点P ，PD ⊥x 轴于点H ，交线段AC 于点D ，直线BG ∥AC ，交抛物线于点G ，点F 是直线BC 上一动点，FE ∥BC 交AC 于点E ，点Q 是点A 关于直线BG 的对称点，连接PE 、QF ．当线段PD 取最大值时，求PE+EF+QF 的最小值及点E 的坐标；（3）如图2，将△BOC 绕点O 逆时针旋转至△B′O C′的位置，点B 、C 的对应点分别为……○…………线………※题※※……○…………线………点B′、C′，点B′恰好落在BC 上．将△B′O C′沿直线AC 平移，得到△B′′O ′ C′′，点B′、C′、O 的对应点分别为点B′′、C′′、O ′，连接B ′ B′′、B ′C′′，△B ′B′′C′′是否能为等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的C′′的坐标；若不能，请说明理由．参考答案1．B【解析】【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程是一元二次方程，根据定义即可判断.【详解】A、所含未知数的最高次数是1，故不是一元二次方程；B、符合定义，故是一元二次方程；C、未知数的次数不是2次，故不是一元二次方程；D、含有两个未知数，故不是一元二次方程，故选：B.【点睛】此题考查一元二次方程的定义，掌握方程的特点：一是只含有一个未知数，二是最高次数是2次，熟记特点并运用解题是关键.2．D【解析】【分析】将图形绕某一点旋转180°后能与自身完全重合的图形是中心对称图形，根据定义判断即可. 【详解】A、旋转180°后不能与自身完全重合故不是中心对称图形；B、旋转180°后不能与自身完全重合故不是中心对称图形；C、旋转180°后不能与自身完全重合故不是中心对称图形；D、旋转180°后能与自身完全重合故是中心对称图形；故选：D.【点睛】此题考查中心对称图形的判断，正确理解中心对称图形的定义及图形的特点是解题的关键. 3．C【解析】【分析】根据图案摆放的规律可知是4个一循环摆放，由此即可得到答案.【详解】由图案摆放可知：第1个和第5个是相同的，第2个和第6个是相同的，依此循环，即每4个一循环，∵201945043÷=L，∴第2019个图案中的指针指向与第3个图案相同，故选：C.【点睛】此题考查图形规律的探究，根据图案的摆放特点得到摆放的规律是解题的关键.4．A【解析】【分析】利用同弧所对的圆周角得到圆心角的一半得到∠ABC的度数，再根据平行线的性质得到∠BCO的度数.【详解】∵∠AOC=50°，∴∠ABC= 25°，∵AB∥OC，∴∠BCO=∠ABC= 25°，故选：A.【点睛】此题考查圆周角的定理，平行线的性质.5．B【解析】【分析】先确定哪些数是无理数，再利用概率公式计算即可.【详解】2个，∴从这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是25，故选：B. 【点睛】此题考查无理数的定义，简单事件概率的公式. 6．D 【解析】 【分析】正确的命题是真命题，根据定义即可判断. 【详解】A 、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，正面都朝上的概率是14，故不是真命题； B 、一元二次方程应有两个解，不正确故不是真命题；C 、关于原点对称的点的横纵坐标均是互为相反数，点M 、N 不是关于原点对称，故不是真命题；D 、不在同一直线上的三个点确定一个圆正确，故是真命题， 故选：D. 【点睛】此题考查命题的分类，理解真命题的定义并理解事件的正确与否是解此题的关键. 7．C 【解析】 【分析】根据增长率公式列方程解答即可. 【详解】由题意得：216(1)20x += ，解得11x =-+，21x =-（不合题意，舍去），且10%115%<-<， 故选：C. 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意列方程解答，能判定无理数的大小.8．B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象依次判断再选择即可. 【详解】∵图象开口向下，∴a<0，故①错误；∵图象与x 轴交于两点的横坐标是-1、3，故图象的对称轴是x=1，即，12ba-=得20a b +=，故②正确；由图象得：当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，故③正确； 由图象知：当y<0时，x<-1或x>3，故④错误， 故正确的有②、③， 故选：B. 【点睛】此题考查二次函数的性质，正确理解二次函数解析式中的各项系数与图象的关系是解题的关键. 9．C 【解析】 【分析】选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P ． 【详解】解：由图知，旋转中心P 的坐标为（1，2），故选C ． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质．10．D【解析】【分析】列树状图解答即可.【详解】树状图如下：共有9种等可能的情况，其中甲、乙都抽到化学学科的有1种情况，∴P（甲、乙两名同学都抽到化学学科）=19，故选：D.【点睛】此题考查列树状图求事件的概率，会画树状图，理解题意是解题的关键.11．A【解析】【分析】先求出AC的长度，再根据阴影面积=扇形ACE的面积-△ACD的面积，利用公式即可计算得出结果.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，AD=CD=4，∠CAD=45°，∴=∴阴影面积=S扇形ACE-S△ACD14448 2π-⨯⨯=-,故选：A.【点睛】此题考查正方形的性质，扇形面积公式，不规则阴影面积的求法，勾股定理.12．B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式求出符合条件的a 的值，再根据分式方程求出符合条件的a 的值，由此确定符合条件的共同的a 值，即可计算得到答案. 【详解】∵关于x 的方程2(12)210a x x ---=有实数解， ∴∆≥0，即4+4（1-2a ）≥0， ∴a≤1，故符合一元二次方程有实数解的a 值是：-3，-1，12，1； 1133xax x +=--， 去分母得：ax-1=x-3， 解得21x a =--， ∵关于x 的分式方程1133xax x +=--有整数解， ∴a=-1或12， ∴这5个数中所有满足条件的a 值之和是-1+12=-12， 故选：B. 【点睛】此题考查一元二次方程的根的判别式的实际运用，分式方程的解法，分式方程整数解的确定，题中求出使分式方程有整数解的a 的值是解题的关键. 13．2 【解析】 【分析】将点P 代入解出a 的值，再根据图象的对称性得到答案. 【详解】将点P(a ，4)代入y=x 2中，得24a =， ∴12a =，22a =- ，∵抛物线y=x 2的对称轴是y 轴，点P 是对称轴右侧的点， ∴a=2， 故答案为：2. 【点睛】此题考查二次函数图象的性质，图象上的点的坐标. 14．-5 【解析】 【分析】将根代入方程求出m 的值，再解方程即可求出另一个根. 【详解】将根x=0代入方程，得m 2－4m ＋4=0， 解得m 1=m 2=2，∴原方程为250x x +=， 解得10x =， 25x =-， 故答案为：-5. 【点睛】此题考查一元二次方程的解，解一元二次方程的方程. 15．13【解析】 【分析】先根据弧长公式计算出阴影部分的圆心角度数，再根据白色区域的圆心角度数得到概率. 【详解】∵转盘的半径为3，阴影部分的弧长为4π， ∴34180n ππ⨯=∴n=240°，∴白色区域的圆心角度数是120°， ∴指针指向白色区域的概率是12013603=，故答案为：13. 【点睛】此题考查弧长公式，事件概率的公式，利用弧长公式求出阴影的圆心角度数是解题的关键，由此得到白色区域的圆心角度数.16【解析】 【分析】延长BC '交AB '于H ，利用旋转的性质得到ABB 'V 是等边三角形，再证明ABC '△≌B BC ''V ,即可得到BH ⊥AB ',再利用勾股定理及直角三角形的性质得到答案.【详解】∵∠C=90°，AC=BC ，AC=2，∴AB=延长BC '交AB '于H ，由旋转得：AB=AB '，∠BAB '=60°， ∴ABB 'V 是等边三角形，∠ABB '=60°， ∴BA BB '=，∵B C BC AC AC '''===,BC '=BC ', ∴ABC '△≌B BC ''V , ∴30ABH B BH '∠=∠=o , ∴BH ⊥AB ',∴,∴==∵12C H AB ''==∴BC '=【点睛】此题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质.17．10【解析】【分析】根据时间30分钟时路程是3000米求出亮亮的速度，即可求出悦悦跑步的速度及20分钟和45分钟时的纵坐标，依此求出亮亮返回时的函数解析式，由此求出答案.【详解】由图象可得：亮亮从A地到B地的跑步速度是300010030=米/分，∴时间20分钟时的点的纵坐标是100202000⨯=，∴悦悦跑步的平均速度是300020005020-=米/分，∴时间45分钟时的纵坐标是30004550750-⨯=，设亮亮返回时的函数解析式是y=kx+b，将点（30,3000），（45,750）代入，得到30300045750k bk b+=⎧⎨+=⎩，得1507500kb=-⎧⎨=⎩，∴y=-150x+7500，当y=0时，x=50，∴亮亮50分钟时返回A地，∴亮亮到达A地时，悦悦还需要300050501050-⨯=分，故答案为：10.【点睛】此题考查一次函数的图象与实际问题，理解函数图象的实际意义，根据函数图象的数据进行计算，利用待定系数法求函数解析式，根据路程=时间乘以速度关系式进行计算. 18．12.5% 【解析】 【分析】设红花、黄花、紫花成本价分别是3x 元、2x 元、x 元，分别表示出甲、乙两种花束的成本价及售价，设甲花束的数量是2a 束，乙花束是9a 束，根据利润除以进价乘以百分之百即可得到利润率. 【详解】设红花、黄花、紫花成本价分别是3x 元、2x 元、x 元，则一束甲花束的成本是43215x x x x ⨯++=元，一束乙花束的成本是42210x x x ⨯+=元， ∴一束甲花束的售价是15x （1+20%）=18x 元，一束乙花束的售价是10x （1+10%）=11x 元， 设甲花束的数量是2a 束，乙花束是9a 束， 这次买卖花店获得的利润率是2(1815)9(1110)100%12.5%215910a x x a x x a x a x⨯-+⨯-⨯=⨯+⨯，故答案为：12.5%. 【点睛】此题考查列代数式解决实际问题，题中的数量关系较多，正确理解成本价，售价，利润率之间的关系是解本题的关键.19．（1）女生保暖衣最少购30件；（2）m 的值是2503【解析】 【分析】（1）设女生保暖衣购买x 件，根据题意列不等式解答即可；（2）设购买男、女生保暖衣的件数分别为32a a 、，根据题意列方程解方程即可得到答案. 【详解】（1）设女生保暖衣购买x 件， 40x ＋60（100－x ）≤5400 解之得x≥30答：女生保暖衣最少购30件（2）设购买男、女生保暖衣的件数分别为32a a 、， 根据题意，得33(1+%)(60)2(1%)(40)360240510m ma m a m a a ⨯⨯-+⨯-⨯+=⨯+⨯ 设m%=t ，则m=100t ，3(1+)(6020)2(1)(4030)360240a t t a t t a a ⨯⨯-+⨯-⨯+=⨯+⨯ 2650t t -=10t =（舍去），256t =∴m=100t=2503， 答：m 的值是2503.【点睛】此题考查一元一次不等式的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是列不等式及方程的关键，此题中未知数的个数较多，掌握各量之间的数量关系即可正确列方程. 20．（1）点A （－3，0），点B （0，3）；（2）y=－x 2－2x ＋3 ，对称轴x=1-，顶点D （－1，4） 【解析】 【分析】（1）根据直线解析式x=0时求出点B 的坐标，当y=0时求出点A 的坐标；（2）将点A 、B 的坐标代入二次函数的解析式即可得到抛物线的解析式，利用公式求出顶点坐标即可. 【详解】(1)将x=0代入直线y=x ＋3中，y=3, 将y=0代入直线y=x ＋3中，x=－3， ∴点A （－3，0），点B （0，3）；（2）将A （－3，0），B （0，3）代入抛物线y=－x 2＋bx ＋c,得0=93b+c 3c --⎧⎨=⎩，解之得b=23c -⎧⎨=⎩， ∴抛物线y=－x 2－2x ＋3∴对称轴x=2b a-=212(1)--=-⨯-， 244ac b a -=24(1)3(2)4(1)⨯-⨯--⨯-=4，∴点D （－1,4）. 【点睛】此题考查待定系数法求函数的解析式，图象与坐标轴交点坐标的求法，二次函数的顶点坐标公式.21．（1）100、72°；（2）图详见解析，20；（3）13． 【解析】 【分析】（1）根据已知的支付宝、现金及其他的人数和除以这三部分的额百分比即可得到总人数，再利用“支付宝”支付的人数除以总人数乘以360°即可得到“支付宝”支付的圆心角的度数；（2）利用总人数及百分比求出微信及银行卡支付的人数，由此补全条形图，根据5种支付方式的人数即可得到中位数； （3）列树状图即可解答. 【详解】解：（1）本次活动调查的总人数为（20+25+10）÷（1﹣15%﹣30%）=100人， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×20100=72°， 故答案为：100、72°；（2）微信人数为100×30%=30人，银行卡人数为100×15%=15人， 补全图形如下：由条形图知，这组数据的5个数据重新排列为：10、15、20、25、30，故中位数是20，故答案为：20；（3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画树状图得：∵由树状图知，共有9种等可能的结果，其中两人选用同一种支付方式的有3种， ∴P(两人选用同种支付方式)=13． 【点睛】此题考查统计数据的计算，掌握部分百分比的计算，样本总数的计算，中位数的确定，列树状图求事件的概率.22．（1）254x xy -；（2）122x x ==【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式、平方差公式去括号，再合并同类项；（2）去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可得到方程的解.【详解】（1）原式=2222444()x xy y y x -+--=22224444x xy y y x -+-+=254x xy -（2）x 2－x=3x ＋7，x 2－4x=7，x 2－4x ＋4=11，（x －2）2=11，x=2122x x ==此题考查计算能力，掌握完全平方公式、平方差公式，根据方程的特点选择适合的解方程的方法是解题的关键.23．（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接DO，根据圆的性质及角平分线的性质得到OD∥BC，再利用平行线的性质得到∠ODA=∠C=90°，即可得到结论；（2）先根据∠A=30°求出OA得到AB及BC，再设DC=x,则DB=2x，利用勾股定理求出CD 的长.【详解】（1）证明：连接DO，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠DBA，∵OD=OB，∴∠ODB=∠DBA，∴∠ODB=∠DBC，∴OD∥BC，∴∠ODA=∠C=90°，∴直线AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ADO中，∠A=30°，∴AO=2DO=4∴AB=4+2=6在Rt△BCD中，∠ABC=90°-30°=60°∴∠DBC=∠DBA=30°设DC=x,则DB=2xx2+9=4 x2，解之得，∴【点睛】此题考查圆的性质，切线的判定定理，角平分线的性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半.24．（1）CF=2；（2）详见解析【解析】【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，再根据旋转的性质得到△CBD是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一的性质即可得到CF的长；（2）过点E作EM∥BC，交CD于点M，利用平行线的性质及等腰三角形的性质得到DE=EM=CF，由此证明△EMG≌△FCG，再利用角平分线的性质即可得到结论.【详解】（1）解：∵AD=BD，∠A=60°∴△ABD是等边三角形∴∠ADB=60°，BD =4由旋转性质知，得△ABD≌△CDB∴△CBD是等边三角形且CE平分∠BCD∴BE=DE=2∵CF=DE∴CF=2(2)过点E 作EM ∥BC ，交CD 于点M ，∴∠DME=∠DCB, ∠MEG=∠F, ∠ECB=∠MEC ，∵BD=CB ，∴∠BDC=∠BCD=∠DME ，∴DE=EM=CF ，在△EMG 和△FCG 中MEG CFG MGE CGF EM CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EMG ≌△FCG ，∴MG=CG ，∵CE 平分∠BCD ，∴∠ECB=∠ECM=∠MEC ，∴EM=MC=2CG ，∴DE=2GC.【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形全等的判定及性质定理，角平分线的性质，平行线的性质.25．（1，点C ''是线段A C '的黄金分割点，理由详见解析；（2）y x =+【解析】【分析】（1）AC AC '=12，根据中点及对称点的性质得到A C '=BC ，再根据线段成比例证得点C ''是否线段A C '的黄金分割点；（2）过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，分两种情况：①当ACD S ∆＞∆BCD S 时，②当ACD S ∆＜∆BCD S 时，分别证明点D 是线段AB 的黄金分割点，由此求出解析式.【详解】（1 点C ''是线段A C '的黄金分割点，理由如下：∵OC=O C '，∴AO - O C '=BO-OC ，∴A C '=BC ，∵CB AC =12，∴AC AC '， ∴点C '是AC 的黄金分割点，∴AC CC AC AC ''=='， 同理可得AC CC '''=∴AC AC ''='∴C ''是线段A C '的黄金分割点（2）设直线CD 是△ABC 的黄金分割线，点D 的坐标为（x,0），直线CD 的解析式为：y kx b =+，过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，12ACD S AD CH ∆=g ，12BCD S BD CH ∆=g ，12ABC S AB CH ∆=g ， ①当ACD S ∆＞∆BCD S 时，∵直线CD 是△ABC 的黄金分割线， ∴BCD ACD ACD ABCS S S S ∆∆∆∆=， ∴BD AD AD AB=， ∴点D 是线段AB 的黄金分割点， ∴AD AB=， 解之得，，∵直线y kx b =+经过D （0），C （2），∴(42(20k b k b ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解之得，12k b =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴2y x =+；②当ACD S ∆＜∆BCD S 时，∵直线CD 是△ABC 的黄金分割线， ∴ACD BCD BCD ABCS S S S ∆∆∆∆=， ∴AD BD BD AB=， ∴点D 是线段AB 的黄金分割点， ∴BD AB=12=，12解之得，1x =-，∵直线y kx b =+经过C （2），D （-1,0），∴(420k b k b ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解之得，510k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y x =+【点睛】此题考查线段的中点，对称点的性质，待定系数法求函数解析式，黄金分割的性质，解题中注意分类讨论的思想，避免漏解.26．（1）y =+（2）PE+EF+QF 最小值为4+2， E点坐标42,2525⎛- ⎝⎭；（3）能，32,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,26⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用三角函数求出OC 的长得到抛物线的解析式，求出图象与x 轴的交点，设直线BC 解析式为：y kx b =+，即可将点B 、C 的坐标代入求出答案；（2）先求出直线AC 的解析式，设点P 、D 的坐标，根据PD 最大求得点P 的坐标，利用勾股定理的逆定理及对称性得到△ABQ 是等边三角形，过点Q 作QM ⊥x 轴于点M ，求出点Q 的坐标，根据平移规律得到Q ′的坐标，连接P Q ′交AC 于点E ，再利用勾股定理求出PQ ', 得到PE+EF+QF 最小值= P Q ′+EF ，由此求出答案；（3）根据点的位置分四种情况进行求解：①当C B ''''=B B '''时，②当C B ''''=B B '''时，③当B C B C '''''''=时，④当B C B B ''''''=时，分别求出点C′′的坐标.【详解】（1）在△BOC 中，OB=1，∠OBC=60°∴BC=2，∴抛物线解析式为：2y x = 令y=0，得2x x 0=， 解之得13x = ，21x = ，∴A(－3，0)，B （1,0），C （0），设直线BC 解析式为：y kx b =+，经过B （1,0），C （0，∴0k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩,得k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴y =+；（2）设直线AC 解析式为：11y k x b =+，经过A(－3，0)，B （1,0），得y x =，设P 点坐标为2(,m ，则D 点坐标为(m +，∴PD=223333m m m m =－23()324m =++ 当32m =- 时，PD 有最大值，∴P 点坐标为3,24⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，在R △AOC 中，可以求出AB=4 ，∴AC 2+BC 2=12+4=16=AB 2由勾股定理逆定理得，可得∠ACB=90°, 可得∠CAB=30°=∠ABG ， 由对称可得，AB=BQ=4, ∠ABQ=30°+30°=60°, ∴△ABQ 是等边三角形，过点Q 作QM ⊥x 轴于点M ，∴MB=4,且OB=1∴∴Q 点坐标为（－1，－由题意得，四边形BCEF 是矩形，可得EF=BC=2，将Q 点沿射线EF 方向平移2个单位(向左平移1个单位)，可得Q ′的坐标为（－2连接P Q ′交AC 于点E ，点E 即为所求，4= PE+EF+QF 最小值= P Q ′+EF= 4+2， 直线P Q的解析式为：2y x =+联立y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得E点坐标4225⎛- ⎝⎭ （3）存在，∵A(－3，0)，B （1,0），C （0），∴OA=3，OB=1，，∴2OC OA OB =⋅,2C B BC ''==,∴∠ACB=90°，∴∠CAB=30°，，∴,12C C AC '==由旋转得到1(2B '，3(2C '-, ∵C B ''∥C B '''',C B ''=C B ''''，∴四边形C C B B ''''''是平行四边形，①将三角形向上平移，当C B ''''=B B '''时，如图1，延长B C ''''交y 轴于D ， ∴四边形C C B B ''''''是菱形，∴2C C C B '''''==,∵C C '=∴2C C ''=∵30DC C A ''∠=∠=o ,∴12DC CC ''==DC ''''== ，∴,∴C ''32,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；②将三角形向下平移，当C B ''''=B B '''时，如图2，则四边形C C B B ''''''是菱形， ∴2C C C B '''''==过点C '作C H '⊥C B '''',∵30C C B A '''''∠=∠=o ,∴C H '=1，C H ''=∴点C ''的横坐标是3322-=-，纵坐标是2122-=，∴点C ''的坐标是32,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；③当B C B C '''''''=时，如图3，则B C C B '''''=，∵∠ACB=90°，∴CC CC '''==延长B C ''''交y 轴于D ，∵30DC C A ''∠=∠=o ,∴12CD CC ''==32C D ''''==,∴∴点C ''的坐标是3,22⎛ ⎝⎭；④当B C B B ''''''=时，如图4，过点B '作B E '⊥B C '''',∴112EC B C ''''''==,∴3B E '=,∴点C ''的横坐标是11(1)22--=-=，∴点C ''的坐标是12⎛- ⎝⎭，综上，点C ''的坐标是32,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22⎛ ⎝⎭，1,26⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】此题是二次函数的综合题，考查二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，图象中线段的最大值的求法，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，动点问题，是一道较难的综合题.。