常见递推数列通项的九种求解方法
数列通项公式的九种求法
1数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强 的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
笔者总结出九种求解 数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法， 类型的题目.2例1 .等差数列｛an｝是递增数列，前n 项和为S1，且引，*3，a9成等比数列，S 5^*5.求 数列｛a n｝的通项公式 解：设数列｛an｝公差为d(d >0)2•/a1，a 3，a 9 成等比数列，••• a 3 =a1a9 ,2 2即 @1 +2d)=印@1 +8d)，得 d =a 1d...d H0 a1=d--S s = a](n -1)n ,1a3 -a2 = ---这种方法适应于已知数列5a 1 +5*4d =⑻ +4d)2a1=3 —5 =3 -5 由①②得：3 •••an —5点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再 写出通项。
二、累加法求形如a n -a n 」= f(n) (f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项, …n — 1得到n — 1个式子累加求得通项。
+ (n-1)3 =-n 5可用累加法，即令 n=2, 3,例2.已知数列｛a n ｝中, an _an4解：由已知得a 1=1，对任意自然数 1an = an4 中n 都有n(n+1)，求 an .—n(n+1),an ~ an-2 1a 2y,13^4 ,丄+ an_ q _ 2x3+■(n-2)(n —1) (n —1)n n(n+1)31…a=2 n +1 ,点评：累加法是反复利用递推关系得到n —=丄n(n+1) nn +1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求｛f(n)｝的前n—1项的和，要注意求和的技巧.三、迭代法求形如a n* =q a n +d(其中q,d为常数)的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。
常见递推数列通项的九种求解方法
常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。
是一类考查思维能力的好题。
要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。
类型一：1()n n a a f n +=+（()f n 可以求和）−−−−→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： ∴211n a a n -=- 2n a n ∴=评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。
【类型一专项练习题】1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。
2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。
3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。
4、已知}{n a 中，nn n a a a 2,311+==+，求n a 。
5、已知112a =,112nn n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.6、 已知数列{}n a 满足11,a =()1132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？7、若数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，则求这个数列的通项公式8、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
9、已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
9类常见递推数列求通项公式方法
数列通项九种求解方法类型一：1n n a pa q+=+（1p ≠）思路（构造等比数列法）：设()1n n a p a μμ++=+，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列。
例1、已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-。
3(a a ++-21n a n =+类型三：1()n n a f n a +=⋅ （累乘法） 思路（累乘法）：=n a 13211221n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式 例3、已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a 。
解：,2≥n 111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a =，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…21243(1)n n ⋅⋅=+,11=a 也符合。
类型四：1()n n a pa f n +=+ （0p ≠且1p ≠）思路（转化法）：1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n n a a f n p p p ---=+，我们令nn na b p =，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。
例4 、已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a 。
解：142nn n a a -=+，式子两边同时除以4n得111442nn n n n a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令4n n n a b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由累加法得nn b )21(1-= 1441422n n n n n n n a b ⎡⎤⎛⎫∴=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。
数列递推公式的九种方法
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=-逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n 1.三、换元法例3已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b 31()31(9131(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。
利用递推关系求数列通项的九种类型及解法
利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如)(1n f a a n n =-+型（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.方法如下： 由 )(1n f a a n n =-+得：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n ，K K)2(23f a a =-)1(12f a a =-所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n+++-+-=-Λ即：∑-=+=111)(n k n k f a a .为了书写方便，也可用横式来写：Θ 2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ=1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+-Λ.例 1. （2003天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n , 证明213-=n n a 例2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：12+-n n例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：n a n 12-= 评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
九类常见递推数列求通项公式方法
九类常见递推数列求通项公式方法递推数列通项求解方法类型一：an1panq（p1）思路1（递推法）：anpan1qp(pan2q)qpppan3qqq……pn1a1q(1pp2…pn2qqn1。
)a1pp11p思路2（构造法）：设an1pan，即p1q得qp1，数列an是以a1为首项、p为公比的等比数列，则anqn1qana1pp11pqn1a1p，即p1p1q例1已知数列an满足an2an13且a11，求数列an的通项公式。
解：方法1（递推法）：an2an132(2an23)3222an3333……2n13(122…22n23n13n1)1223。
2112方法2（构造法）：设an12an，即3，数列an3是以a134n1n1n1为首项、2为公比的等比数列，则an3422，即an23。
类型二：an1an思路1（递推法）：f(n)anan1f(n1)an2f(n2)f(n1)an3f(n3)f(n2)f(n1)…a1f(n)。
i1n1思路2（叠加法）：anan1f(n1)，依次类推有：an1an2f(n2)、n1an2an3f(n3)、…、a2a1f(1)，将各式叠加并整理得ana1i1f(n)，即n1ana1i1f(n)。
例2已知a11，anan1n，求an。
解：方法1（递推法）：anan1nan2(n1)nan3(n2)(n1)nn……a1[23…(n2)(n1)n]i1nn(n1)2。
方法2（叠加法）：anan1n，依次类推有：an1an2n1、an2an3n2、…、nnna2a12，将各式叠加并整理得ana1i2n，ana1i2ni1nn(n1)2。
类型三：an1f(n)an思路1（递推法）：anf(n1)an1f(n1)f(n2)an2f(n1)f(n2)f(n3)an3…f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
anan1a2a1an1an2ana1思路2（叠乘法）：f(n1)，依次类推有：f(n2)、an2an3f(n3)、…、f(1)，将各式叠乘并整理得f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)，即anf(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
数列通项公式常见9种求法
解：令
，得
，则 是函数
的不动点。
因为
，所以
。
评注：本题解题的关键是通过将 形式，从而可知数列
最后再求出数列 的通项公式。
的换元为 ，使得所给递推关系式转化
为等比数列，进而求出数列
的通项公式，
，求数列 的通项公式。
解：令
，得
的两个不动点。因为
，则
是函数
。所以数列
是以
为首项，以 为公比的等比数列，故
，
则
。
评注：本题解题的关键是先求出函数
的不动点，即方程
的两
个根
，进而可推出
，从而可知数列
为等比数
列，再求出数列
的通项公式，最后求出数列 的通项公式。
例 15 已知数列 满足
，求数列 的通项公式。
并整理，得
，
，求数列 的通项公式。
，所以 ⑩
。在
式两边取
11
，则
，两边消去
，故
代入 11 式，得 由 得 则 所以数列 比数列，则
， ，
是以
12 及 12 式，
为首项，以 5 为公比的等 ，因此
则
。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
转化为 ，从而可知数列
是等比数列，进而求出数列 公式，最后再求出数列 的通项公式。
解：设
⑥
将
代入⑥式，得
整理得
。
令
，则
，代入⑥式得
⑦
由
及⑦式，
得
，则
，
故数列 因此
是以 ，则
为首项，以 3 为公比的等比数列， 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
常见递推数列通项的求法 (很齐全)
常见递推数列通项的求法类型一：1()n n a a f n +=+思路1（递推法）：123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= (1)11()n i a f n -==+∑。
思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑。
例1 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。
解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ……1[23a =+++…1(1)(2)(1)]2ni n n n n n n =++-+-+==∑。
方法2（叠/累加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、212a a -=，将各式叠加并整理得12nn i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑。
例2、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a413134-+=a a ，……，nn a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=. 例3．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，把以上各式相加，得()()()21232113231-=-+-=-+++=n n n n a n【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用2,3,4,,2,1 --n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。
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常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。
是一类考查思维能力的好题。
要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。
类型一：1()n n a a f n +=+（()f n 可以求和）−−−−→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： ∴211n a a n -=- 2n a n ∴=评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。
【类型一专项练习题】1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。
2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。
3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。
4、已知}{n a 中，nn n a a a 2,311+==+，求n a 。
5、已知112a =,112nn n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.6、 已知数列{}n a 满足11,a =()1132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？7、若数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，则求这个数列的通项公式8、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
9、已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
10、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值； （II ）求{}n a 的通项公式．11、设平面内有n 条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，则(4)f = ； 当4n >时，()f n = （用n 表示）．答案:1. (12n n n a +=） 2. (31)2n n n a += 3.21n a n =+ 4. 21n n a =+ 5. 13122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭6. 312n n a -=7. 1123n n a +=-8. 31n n a n =+-9. 312n a n =- 10.(1)2 (2) 22n a n n =-+11.(1)5 (2) 222n n -+类型二：1()n n a f n a +=⋅ （()f n 可以求积）−−−−→解决方法累积法例1、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。
解析：1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅ 123211143n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅+-21n =+ 又1a 也满足上式；21n a n ∴=+ *()n N ∈评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。
【类型二专项练习题】1、 已知11a =，111n n n a a n --=+(2n ≥)，求n a 。
2、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
3、已知}{n a 中，12n n na a n +=+，且12a =，求数列}{n a 的通项公式.4、已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
5、已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 6、已知数列{}n a 满足11,a =12nn n a a +=，求通项公式n a ？7、已知数列}a {n 满足3a a 5)1n (2a 1n n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
8、已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项9、设{a n }是首项为1的正项数列, 且(n + 1)a 21+n - na 2n +a n +1·a n = 0 (n = 1, 2, 3, …)，求它的通项公式.10、数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n S ＝*)(2N n a n n ∈，求数列}{n a 的通项公式.答案：1. 22n a n n =+ 2. 23n a n = 3. ()41n a n n =⋅+ 4. 631n a n =- 5. n a n = 6. 222n nn a -=7. 2123!25n nn n a n --=⨯⨯⨯ 8. 1!2n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩ 12n n =≥ 9. 1n a n =10. 22n a n n =+类型三：1(n na Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）−−−−→解决方法待定常数法 可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1B t A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。
例1 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。
解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。
1231n n a -∴=⋅-【类型三专项练习题】1、 在数列{}n a 中， 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。
2、若数列的递推公式为*111,22()n n a a a n N +==-∈，则求这个数列的通项公式3、已知数列{a n }中，a 1=1，a n =21a 1-n + 1(2)n ≥求通项a n ． 4、在数列{}n a (不是常数数列)中,1122n n a a +=+且113a =,求数列{}n a 的通项公式.5、在数列{a n }中，,13,111-⋅==+n n a a a 求n a .6、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式.7、设二次方程n a x 2- 1.＋n a x+1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3． (1)试用n a 表示a 1n +； （2）求证：数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （3）当176a =时，求数列{}n a 的通项公式8、在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若132a =，22a =，并且113210(2)n n n S S S n +--++=≥，试判断{}1()n a n *-∈N 是不是等比数列？答案：1. 32nn a =- 2. 122n n a -=- 3. 122nn a -=- 4. 111423nn a -=-⋅ 5. 1132n n a -+=6. 21nn a =- 7.(1) 11123n n a a +=+ (3) 2132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8.是类型四：()110n n n Aa Ba Ca +-++=⋅⋅≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0可将其转化为()()()112n n n n A a a a a n αβα+-+=+≥-----（*）的形式，列出方程组A BCαββα⋅-=⎧⎨-⋅=⎩,解出,;αβ还原到（*）式，则数列{}1n n a a α++是以21a a α+为首项， Aβ为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出n a 。
例1 在数列{}n a 中， 12a =，24a =，且1132n n n a a a +-=-()2n ≥求数列{}n a 的通项公式。
解析：令11(),(2)n n n n a a a a n αβα+-+=+≥得方程组32βααβ-=⎧⎨⋅=-⎩解得1,2;αβ=-=()()1122n n n n a a a a n +-∴-=-≥则数列{}1n n a a +-是以21a a -为首项，以2为公比的等比数列11222n n n n a a -+∴-=⨯=21232343112222n n n a a a a a a a a ---=⎧⎪-=⎪⎪∴-=⎨⎪⎪-=⎪⎩ 112(12)2212n n n a a --∴-==--()*2n n a n N ∴=∈ 评注：在()110n n n Aa Ba Ca +-++=⋅⋅≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0中，若A+B+C=0,则一定可以构造{}1n n a a +-为等比数列。
例2 已知12a =、23a =,116n n n a a a +-=-(2)n ≥,求n a解析：令()()112n n n n a a a a n αβα+-+=+≥，整理得()11n n n a a a βααβ+-=-+16βααβ-=-⎧∴⎨=⎩3,2αβ∴== ()1112133292n n n n a a a a --++=+⋅=⋅；两边同除以12n +得，11392224n n n n a a +++=， 令2n n na b =，13924n n b b +∴+=令()132n n b t b t ++=-+，得13522n n b b t ++=- 59,24t ∴-= ∴910t =-193910210n n b b +⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭，故910n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以119911021010a b -=-=为首项，32-为公比的等比数列。
∴ 191310102n n b -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，191310102n n b -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭即1913101022n n na -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，得()19123105n n n a -=⋅+- 【类型四专项练习题】1、已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a 。