高数(上)第八单元课后习题答案8-6

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《高等数学》第八章习题答案

3、 x + 2 y − 4 = 0 ；
6、 x − y + 2 z = ± （B） 1、略。 8.6
11 。 2
1、（1）0；（2）0；（3）
3 5 3 + 2；（4） + 2。 2 2 2
2、
1 2 3 + + 3。 2 2 2
3、 x0 − y 0 + z 0 。 4、略。 5 、 gradu = 2i − 4 j + k 是方向导数取最大值的方向。此方向导数的最大值为
(x2 + y 2 ) 2 2 (dx + dy ) 。 3 12 π 3、 ∆z = arctan − ， dz = 0.05 。 11 4
2、（B） 1、 2.95 。2、 2.039 。 8.4 （A） 1、 e 2、
sin t − 2 t 2
(cos t − 4t ) 。
1 (2 − 15t 2 ) 。
（5）
∂z yze xy ∂z yxe xy = = ；。 ∂x 3 z − 1 ∂y 3z − 1 ∂f ∂f ∂f ，，。 ∂x ∂y ∂z
（B） 1、提示：求出
∂2z ∂2z 2、提示：求出 2 ； 2 。 ∂x ∂y
8.5 （A） 1、 { ,2,3} ， 1
x −1 y −1 z −1 = = 。 1 2 3 x − 1 + sin 1 y − 1 + cos 1 z − 4 sin 1 2、 = = ； 1 + cos 1 sin 1 4 cos 1
1 − (2t − 5t )
3 2
3、
∂z ∂z = 4x ； = 4y 。 ∂x ∂y

高等数学高等教育出版社第三版上册课后答案(童裕孙金路张万国於崇华著)

1 x2 2．（1） 3 ln 3 ；（2） 2 x arcsin x ； x ln 3 1 x2
x
1 e x ln x x 2 shx （3） e x arcsin x ；（4） arccos x(2 x chx) ； x 1 x2 1 x2
1 1 n(n 1) ；（4）6；（5）；（6）。 2 2 2 x
4．（1）
m n2 m2 ；（2）1；（3） sin x ；（4）；（5） x ； n 2
3 1 （7）；（8）。（6） 1 ； 5 2
5． lim f ( x) ， lim f ( x )
1 x x （2） y log a ，0 x 1； 11．（1） y arcsin ， 2 x 2 ； 3 2 1 x x （3） y log a ( x x 2 1) ， x ；（4） y cos ， 0 x 2 。 4
3．（1）3；（2）2；（3）1；（4）0；（5）
4．（1）{a n bn } 必发散；{a n bn } 不一定发散；（2）{a n bn } 和 {a n bn } 均不一定发散。
2 5．提示： a n
1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 1 1 2 。 2 2 2n 1 2n 1 2 4 ( 2 n)
§ 3 微分运算
1．（1） (sin 2 x 2 x cos 2 x)dx ；（2）
dx (1 x 2 )
3 2
ln x 2 2x
3 2
dx ；
（3）
；（4） e 2 x (3 x 2 2 x 3 )dx ；

高等数学课后习题答案--第八章

第八章多元函数积分学 §3 三重积分的计算及其应用习题
1. 计算下列三重积分（1） ∫∫∫ xy 2 z 3 dσ ，其中 Ω 是曲面 z = xy 和平面 y = x, x = 1, z = 0 所围成的区域；
Ω
（2） ∫∫∫ xzdσ ，其中 Ω 是由平面 z = 0 ， x = y, y = z 以及抛物柱面 y = x 2 所围成的
D D
的大小。【解】利用 sin 2 x ≤ x 2 .则 sin 2 ( x + 2 y + 3z ) ≤ ( x + 2 y + 3z ) 2 积分得
∫∫∫ sin
D
2
( x + 2 y + 3 z )dσ ≤ ∫∫∫ ( x + 2 y + 3 z ) 2 dσ
D
4. 利用重积分的性质，估计积分值
（1） ∫∫ sin( x 2 + y 2 )dσ ，其中 D = {( x, y ) |
D
π
4
≤ x2 + y2 ≤
3π }; 4
dxdy , 其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 8}; ln(4 + x + y ) D 2 2 1 （3） ∫∫ e x + y dσ ，其中 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ }. 4 D
习题参考资料
第八章多元函数积分学 §2 二重积分的计算习题
1. 计算二重积分
（1） ∫∫ xye xy dσ ，其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1};
2
D
（2） ∫∫

高等数学暨南大学第六版第八章部分习题讲解

解：如图所示
12、求M(4,-3,5)到各坐标轴的距离解：到各坐标轴的距离依次为
dx(3)2523， 4dy425241 dz42(3)25
解：
17、设向量r的模是4，它与u的夹角是60°，求r在轴u上的投影.
解：Pju rrrco 6 s0 41 22
19、设 m3i5j8k，n2i4j7k和p5ij4k
（长度单位为m，重力方向为z轴负方向）.
解：重力F=(0,0,-9.8X100)=(0,0,980)
M1M2(2， 3， 6) W F M 1 M 2 ( 0 ， 0 ， 9)8 ( 2 ， 3 0 ， 6 ) 58 J 80
5、在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处，解有：一杠与杆O保P 1成持角平衡1 的须力力F矩1作的用代着数；和在为O0的，另一侧与点O的
习题8-4
（4）y2z0
z
z
3
y
x
y
它标为是面准母上线线的的平双双行曲曲于线柱面Z轴x.42且以y92 x1oy坐它坐是标x面母上线的平抛行物于线x轴y且2 以 yzoz
为准线的双曲柱面.
10499
（ 3） x2y2z21
解：(1)
求向 a4量 m3np在x轴上的投影及在y轴上的分向量. 解：a4m3np
4 ( 3 i 5 j 8 k ) 3 ( 2 i 4 j 7 k ) ( 5 i j 4 k )
1i37j1k5
则a在x轴上投影为13，在y轴上的分向量为7j
习题8-2
4、设质量为100kg的物体从点 M1(3,1,8)沿直线移动到点 M2(1,4,2),计算重力所作的功
解：曲线Fy(x,0z)
=0

高等数学课后答案第八章习题详细解答

习题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。

大学高数第八章多元函数微分学习题解课后参考答案及知识总结

第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。

解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。

解： 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。

解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z = 解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。

思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。

思路：应用有理化方法去根号。

高等数学课后习题答案第八章1

高等数学课后习题答案第八章1第八章习题解答节8.1部分习题解答 5、求极限（1）、101011l i m 2201=+-=+-→→yx xy y x （2）、xy y x y x 1sin)(lim 0+→→。

由y x xyy x +≤+≤1sin )(0，而0)(lim 00=+→→y x y x 所以01sin)(lim 00=+→→xyy x y x （3）、2ln 214)02ln()sin ln(lim2202=++=++→→y x y x y x （4）、=+-→→xy xy y x 42lim 041421)42(lim 00-=+-=++-→→xy xy xy y x （5）、110c o s 1c o s l i m000==++→→e y x y e x y x （6）、=++-→→xy y x ey x y x )()cos(1lim22220=++→→xy y x ey x y x )()(21sin 2lim 222220 )(21)(21sin lim 222200y x y x y x ++→→0101)(21sin lim 2200=?=+?→→xy y x e y x 6、证明下列极限不存在（1）、yx yx y x -+→→00l i m 证明：取路径0=x 有=-+→→y x y x y x 00lim1lim0-=-→=yyy x 取路径0=y 有=-+→→y x y x y x 00lim1lim 00=→=xx x y ，所以y x yx y x -+→→00lim 不存在（2）、xy x x y x -+→→2220l i m证明：取路径x y =有xy x x y x -+→→22200lim x x x y x -=→→2202lim 0142lim 00=-=→→x x y x 取路径x y =有x y x x y x -+→→2220 0lim 1lim 220==→→x x y x ，所以xy x x y x -+→→22200lim 不存在。

高等数学第八章课后习题答案

第八章习题解答（2）节8.4部分习题解答1、设22v uv u z ++= y x v y x u -=+=,，求x z ∂∂，yz ∂∂ 解：v u u z +=∂∂2 v u vz 2+=∂∂ 1=∂∂x u ，1=∂∂x v ；1=∂∂y u ，1-=∂∂yv 所以x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂xvx v u v u v u 6)(3)2()2(=+=+++y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂yv y v u v u v u 2)2()2(=-=+-+ 2、设v u z ln 2= y x v yxu 23,-==，求x z ∂∂，y z ∂∂解：v u u zln 2=∂∂ vu v z 2=∂∂ y x u 1=∂∂，3=∂∂x v ；2yx y u -=∂∂，2-=∂∂y v所以 x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂x v )23(3)23l n (23ln 21222y x y x y x y x v u v u y -+-=+y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂y v )23(2)23l n (22ln 2223222y x y x y x y x v u v u y x ----=-- 3、设v e z uln = 22222,2y x v y x u -=-=，求x z ∂∂，yz∂∂ 解：v e u z uln =∂∂ ve v z u =∂∂ x x u 4=∂∂，x x v 2=∂∂；y y u 2-=∂∂，y yv 4-=∂∂ 所以x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂xv]21)2ln(2[22ln 42222222yx y x xe v e x v xe y x u u-+-=+-y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂yv ]22)2ln(2[24ln 2222222yx y x ye v e y v ye y x u u-+--=--- 4、设y x e z 2-= 3,sin t y t x ==，求 dtdz解：y x e x z 2-=∂∂ y x e yz 22--=∂∂，t dt dx cos =，23t dt dy =，所以dt dz ⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =dtdy223c o s t te y x +-)2(2y x e --=)6(c o s 22s i n 3t t e t t -- 5、设)arcsin(y x z -= 34,3t y t x ==，求 dtdz 解：2)(11y x x z --=∂∂ 2)(11y x y z ---=∂∂，t dt dx 3=，212t dt dy =，所以 dt dz ⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =dtdy=---22)(1123y x t 232)43(1123t t t ---6、设)23tan(22y x t z -+= t y tx ==,1，求dtdz 解：2sec 4x x z =∂∂)23(22y x t -+ 2s e c 2y yz -=∂∂)23(22y x t -+， 2sec 3=dt dz )23(22y x t -+；21t dt dx -=，tdt dy 21=， 1=dt dt 所以t dz ∂⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =∂∂+t z dt dy 2s e c )23(22y x t -+]3212)1(14[2+--tt t t 2sec =)22(2t t +)42(3t -⋅ 7、设1)(2+-=a z y e u ax xz x a y cos ,sin ==，求 dx du解：=∂∂x u 1)(2+-a z y ae ax ，=∂∂y u12+a ae ax ，-=∂∂z u 12+a ae ax x dx dy cos =；x dxdzsin -=，所以 dx du ⋅∂∂=x u ⋅∂∂+y u =⋅∂∂+dx dzz u dx dy ]s i n c o s )c o s s i n ([12x x a x x a a a e ax ++-+ x e ax sin =8、设222z y xe u ++= x y z sin 2=，求x u ∂∂，yu∂∂ 解：x x u 2=∂∂222z y x e ++⋅ y yu2=∂∂222z y x e ++⋅，z z u 2=∂∂222z y x e ++⋅ x y x z cos 2=∂∂，x y yz sin 2=∂∂；所以：x u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅+∂∂=xzz u y u x u 0]cos 22[2222x zy x e z y x +++ =+=++]cos sin 22[22sin 2422x xy y x e xy y x]2sin 2[4sin 2422x y x e xy y x+=++y u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂+⋅∂∂=yz z u y u x u 0]sin 222[222x y z y e z y x ⋅+++ =⋅+=++]sin 2sin 22[2sin 2422x y x y y e xy y x]sin 21[222sin 2422x y ye xy y x+++9、设)cos(22y x y x z +++= v y v u x arcsin ,=+=，求vu zu z ∂∂∂∂∂2, 解：)sin(2y x x x z +-=∂∂，)sin(2y x y yz +-=∂∂ 1=∂∂u x ，1=∂∂v x ，0=∂∂u y211vv y -=∂∂所以)a r c s i n s i n ()(2)s i n (2v v u v u y x x uz++-+=+-=∂∂)111)(arcsin cos(222vv v u v u z -+++-=∂∂∂ 10、设,arctan y xz =v u y v u x -=+=,验证：22vu v u v z u z +-=∂∂+∂∂ 证明：22yx yx z +=∂∂，22y x x y z +-=∂∂，1=∂∂u x ，1=∂∂v x ，11=∂∂u y ，1-=∂∂v y所以)(122x y y x u z -+=∂∂22v u v +-=，)(122x y yx v z ++=∂∂22v u u += 故有左边=+-=∂∂+∂∂=22vu vu v z u z 右边 11、设f 具有连续的一阶偏导数，求下列函数的一阶偏导数（1）、)34,23(y x y x f z -+=解：设y x v y x u 34,23-=+=，于是有3=∂∂x u ，2=∂∂y u ，4=∂∂x v ，3-=∂∂yv2143f f x z +=∂∂ =∂∂yz2133f f - （2）、),(22xy e y x f z -= 解：设xy e v y x u =-=,22，于是有x x u 2=∂∂，y y u 2-=∂∂，xy ye x v =∂∂，xu xe yv=∂∂ =∂∂x z 212f ye xf xy + 212f xe yf yzxy +-=∂∂ （3）、)32,ln (y x x y f z +=解：设y x v x y u 32,ln +==，于是有x y x u =∂∂，x y u ln =∂∂，2=∂∂x v ，3=∂∂yv212f f x y x z +=∂∂ 213ln f xf yz+=∂∂ （4）、),(yxx y f z = 解：设y x v x y u ==,，于是有2x y x u -=∂∂，x y u 1=∂∂，y x v 1=∂∂，2yx y v -=∂∂ 2121f y f xy x z +-=∂∂2211f y x f x y z -=∂∂ （5）、),,(y x y x x f z -+=解：设y x v y x u -=+=,，于是有1=∂∂x u ，1=∂∂x v ，1=∂∂y u ，1-=∂∂yv321f f f x z ++=∂∂ 32f f yz -=∂∂ （6）、),,(x y z xy x f u =解：设xyz t xy s ==,，于是有y x s =∂∂，yz x t =∂∂，x y s =∂∂，zx yt=∂∂ 0=∂∂z x ，0=∂∂z s xy zt=∂∂ 321yzf yf f x u ++=∂∂ 32z x f xf yu+=∂∂ 3xyf z u =∂∂ 12、设)(u f 具有连续的导数，)(xyxf xy z += 验证：z xy yz y x z x+=∂∂+∂∂ 验证：)])(()([2xy x y f x x y f y x x z x-'++=∂∂)()(x y f y x y xf xy '-+= ='+=∂∂)])(([xyx y f x x y y z y)(x y f y xy '+左边==+=+=∂∂+∂∂z xy xyxf xy y z y x z x)(2右边 13、设)(22y x f z +=，)(u f 具有二阶连续的导数，求,,222y x z x z ∂∂∂∂∂,22y z∂∂ 解：设22y x u +=有1f u z=∂∂ 1122f u z =∂∂ x x u 2=∂∂ 222=∂∂x u 0=∂∂∂y x u y y u2=∂∂ 222=∂∂yu 12xf x z =∂∂ x xf f x z 22211122+=∂∂112142f x f += 11112422xyf y xf yx z ==∂∂∂ 12yf y z=∂∂ 11212242f y f yz +=∂∂ 14、设f 具有二阶连续的导数，求,,222y x z x z ∂∂∂∂∂,22yz∂∂（1）、),(xy y x f z += 解：设xy v y x u =+=,有1f u z =∂∂ 1122f u z =∂∂ 122f v u z =∂∂∂ 2f v z =∂∂ 2222f v z =∂∂ 1=∂∂x u 022=∂∂x u 02=∂∂∂y x u 1=∂∂y u 022=∂∂y u y x v =∂∂ 022=∂∂x v 12=∂∂∂y x v x y v =∂∂ 022=∂∂yv 于是有：22222)(xv v z x u u z z v y u x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22212112f y yf f ++=y x vv z y x u u z z v x u v y u y x z ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂222))((2221211)(f xyf f y x f ++++= 22222)(y vv z y u u z z v x u yz ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22212112f x xf f ++= （2）、),(yxxy f z =解：设yx v xy u ==, 有1f u z =∂∂ 1122f u z =∂∂ 122f v u z =∂∂∂ 2f v z=∂∂ 2222f v z =∂∂ y x u =∂∂ 022=∂∂x u 12=∂∂∂y x u x y u =∂∂ 022=∂∂yu y x v 1=∂∂ 022=∂∂x v221yy x v -=∂∂∂ 2y x y v -=∂∂ 3222y x y v =∂∂ 于是有：22222)1(x v v z x u u z z v y u y x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2221211212f y f f y ++=yx vv z y x u u z z v y x u x v y u y y x z ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂2222))(1(221223111f y f f y x xyf -+-+=222222)(y v v z y u u z z v y x u x y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂-∂∂=∂∂232242122211222f y x f y x f y x f x ++-=。

高数(上)第八单元课后习题答案8-3

习题8−31.求下列函数的全微分:(1)yx xy z +=;解dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy yxx dx y y )()1(2−++=.(2)x ye z =;解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+−=∂∂+∂∂=.(3)22yx y z +=;解因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +−=+−=∂∂−,2/3222222222)(y x x y x y x y y y x yz +=++⋅−+=∂∂,所以dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++−=)()(2/322xdy ydx y x x −+−=.(4)u =x yz .解因为1−⋅=∂∂yz x yz x u ,x zx y u yz ln =∂∂,x yx zu yz ln =∂∂,所以xdzyx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=−2.求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1,y =2时的全微分.解因为2212y x x x z ++=∂∂,2212y x y y z ++=∂∂,3121=∂∂==y x x z ,3221=∂∂==y x y z,所以dy dx dz y x 323121⋅+===.3.求函数xy z =当x =2,y =1,∆x =0.1,∆y =−0.2时的全增量和全微分.解因为x y x x y y z −∆+∆+=∆,y x x xy dz ∆+∆−=12,所以,当x =2,y =1,∆x =0.1,∆y =−0.2时,119.0211.02)2.0(1−=−+−+=∆z ,125.0)2.0(211.041−=−×+−=dz .4.求函数z =e xy 当x =1,y =1,∆x =0.15,∆y =0.1时的全微分.解因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy ∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=所以,当x =1,y =1,∆x =0.15,∆y =0.1时,ee e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=*5.计算33)97.1()102(+的近似值.解设33y x z +=,由于y y z x x z y x y y x x ∆∂∂+∆∂∂++≈∆++∆+3333)()(332233233y x y y x x y x +∆+∆++=,所以取x =1,y =2,∆x =0.02,∆y =−0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+−⋅⋅+⋅++≈+.*6.计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693).解设z =x y ,由于y yz x x z x x x y y y ∆∂∂+∆∂∂+≈∆+∆+)(y x x x yx x y y y ∆+∆+=−ln 1,所以取x =2,y =1,∆x =−0.03,∆y =0.05可得(1.97)1.05≈2−0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693≈2.093.*7.已知边长为x =6m 与y =8m 的矩形,如果x 边增加5cn 而y 边减少10cm ,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z ∆+∆+=∆+∆=≈∆,当x =6,y =8,∆x =0.05,∆y =−0.1时,05.0)1.0805.06(86122−=⋅−⋅+≈∆z .这个矩形的对角线大约减少5cm .*8.设有一无盖圆柱形容器,容器的壁与底的厚度均为0.1cm ,内高为20cm ,内半径为4厘米,求容器外壳体积的近似值.解圆柱体的体积公式为V =πR 2h ,∆V ≈dV =2πRh ∆R +πR 2∆h ,当R =4,h =20,∆R =∆h =0.1时,∆V ≈2×3.14×4×20×0.1+3.14×42×0.1≈55.3(cm 3)这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9.设有直角三角形,测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm ,试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差.解设两直角边的长度分别为x 和y ,则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤≈∆|)|||(122y y x x yx ∆+∆+=.令x =7,y =24,|∆x |≤0.1,|∆y |≤0.1,则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm .*10.测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60°±1°,试求三角形面积的近似值,并求其绝对误差和相对误差.解设三角形的两边长为x 和y ,它们的夹角z ,为则三角形面积为z xy s sin 21=.zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈∆.令x =63,y =78,3π=z ,|dx |=0.1,|dy |=0.1,180π=dz ,则55.2718021278631.0232631.023278=××+×+×≈πδs ,82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS ,%29.182.212755.27==S s δ,所以三角形面积的近似值为2127.82m 2,绝对误差为27.55m 2,相对误差为1.29%.*11.利用全微分证明:两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明设u =x +y ,则||||||||||||y x y x y yu x x u du u ∆+∆≤∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=≈∆.所以两数之和的绝对误差|∆u |等于它们各自的绝对误差|∆x |与|∆y |的和.*12.利用全微分证明:乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和;商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和.证明设u =xy ,yx v =,则∆u ≈du =ydx +xdy ,2y xdy ydx dv v −=≈∆,由此可得相对误差;y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈∆y y x x y dy x dx ∆+∆=+≤;y dy x dx y xy xdy ydx v dv v v −=⋅−==∆2y y x x y dy x dx ∆+∆=+≤.。

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习题8-6
1. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12
(-π处的切线及法平面方程.
解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2
cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2 π=t , 故在点)22 ,1 ,12
(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T .
因此在点)22 ,1 ,12
(-π处, 切线方程为 2
2211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为
0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即42
2+=++πz y x .
2. 求曲线t t x +=1, t
t y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2)1(1
)(t t x +=', 2
1)(t t y -=', z '(t )=2t . 在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,4
1(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为
2
1124
121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为
0)1(2)2()2
1(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0. 3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程.
解设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x 的两边对x 求导, 得
m dx dy y
22=, 12-=dx
dz z , 所以y m dx dy =, z dx dz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(0
0z y m -=T , 所求的切线方程为 0
0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为
0)(21)()(00
000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩
⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dx
dz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得
z y z x dx dy 61015410----=, z
y y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)16
1 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为
16
11169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为
0)1(16
1)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4. 解已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).
因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以
T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,
解得t =-1, 3
1-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.
解令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则
n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),
点(2,1, 0)处的切平面方程为
1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,
法线方程为
02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程.
解令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则
n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).
在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为
ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,
即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++,
法线方程为
00000cz z z by y y ax x x -=-=-.
8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程.
解设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则
n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).
已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以
2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 4
1-=, 代入椭球面方程得
1)4
(2)2(222=+-+z z z , 解得1122±=z , 则11
22±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)11
22,11221,112(±± . 所求切平面方程为
0)11
22(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2
112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.
解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).
令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为
n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6).
点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为
22
364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=
n n n n θ.
10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .
证明设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(z y x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为 0)(1)(1)(100
0000=-+-+-z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++0000
00. 化为截距式, 得
1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为
a z y x a az ay ax =++=++)(000000.。