课时作业4：专题强化3 弹簧—小球模型 滑块—斜(曲)面模型

弹簧—小球模型 滑块—斜(曲)面模型
1.如图1所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P 和Q 质量相等，Q 与水平轻质弹簧相连．设Q 静止，P 以某一初速度向Q 运动并与弹簧发生碰撞．在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于( )
图1
A ．P 的初动能
B ．P 的初动能的12
C ．P 的初动能的13
D ．P 的初动能的14
答案 B
解析 把小滑块P 和Q 以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒．在整个碰撞过程中，当小滑块P 和Q 的速度相等时，弹簧的弹性势能最大．设小滑块P 的初速度为v 0，两滑块的质
量均为m ，以v 0的方向为正方向，则m v 0＝2m v ，得v ＝v 02
，所以弹簧具有的最大弹性势能E pm ＝12m v 02－12×2m v 2＝14m v 02＝12
E k0，故B 正确． 2．如图2所示，水平弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m 的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m 的小球从槽上h 高处开始自由下滑( )
图2
A ．在以后的运动过程中，小球和槽组成的系统动量始终守恒
B ．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功
C ．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动
D ．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽上h 高处
答案 C
解析 小球从弧形槽上下滑过程中，小球和槽组成的系统在水平方向上动量守恒，但是，当小球接触弹簧的过程中，弹簧会对小球施加一个水平向左的外力，故在此运动过程中小球和槽组成的系统动量不守恒，A 错误；小球在弧形槽中下滑过程中和弧形槽之间产生了一个垂直于接触面的弹力，而且在弹力水平分力的方向上两者都发生了位移，故小球和弧形槽之间的相互作用力会做功，B 错误；小球下滑时，与光滑弧形槽在水平方向上动量守恒，所以小
球离开光滑弧形槽时，两者速度大小相等、方向相反，因此，小球被弹簧反弹后，速度与光滑弧形槽速度相等，且都做匀速直线运动，小球不能追上光滑弧形槽，C正确，D错误．3．(多选)如图3所示，与水平轻弹簧相连的物体A停放在光滑的水平面上，物体B沿水平方向向右运动，跟轻弹簧相碰．在B跟弹簧相碰后，对于A、B和轻弹簧组成的系统，下列说法中正确的是()
图3
A．弹簧压缩量最大时，A、B的速度相同
B．弹簧压缩量最大时，A、B的动能之和最小
C．弹簧被压缩的过程中系统的总动量不断减少
D．物体A的速度最大时，弹簧的弹性势能为零
答案ABD
解析物体B与弹簧接触时，弹簧发生形变，产生弹力，可知B做减速运动，A做加速运动，当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，故A正确．A、B和弹簧组成的系统能量守恒，弹簧压缩量最大时，弹性势能最大，此时A、B的动能之和最小，故B正确．弹簧在压缩的过程中，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，故C错误．当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，然后A继续加速，B继续减速，弹簧逐渐恢复原长，当弹簧恢复原长时，A的速度最大，此时弹簧的弹性势能为零，故D正确．
4．A、B两小球静止在光滑水平面上，用水平轻弹簧相连接，A、B两球的质量分别为m和M(m<M)．若使A球获得瞬时速度v(如图4甲)，弹簧压缩到最短时的长度为L1；若使B球获得瞬时速度v(如图乙)，弹簧压缩到最短时的长度为L2，则L1与L2的大小关系为()
图4
A．L1>L2B．L1<L2
C．L1＝L2D．不能确定
答案 C
解析当弹簧压缩到最短时，两球的速度相同，对题图甲取A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
m v＝(m＋M)v′
由机械能守恒定律得：E p＝1
2m v
2－
1
2(m＋M)v′
2
联立解得弹簧压缩到最短时E p＝mM v2
2(m＋M)
同理：对题图乙取B 的初速度方向为正方向，当弹簧压缩到最短时有：E p ＝mM v 22(m ＋M ) 故弹性势能相等，则有：L 1＝L 2，故A 、B 、D 错误，C 正确．
5．在光滑的水平冰面上，放置一个截面为四分之一圆的半径足够大的光滑的可自由移动的曲面，一个坐在冰车上的小孩手扶小球静止在冰面上．某时刻小孩将小球以v 0＝2 m/s 的速度向曲面推出(如图5所示)．已知小孩和冰车的总质量为m 1＝40 kg ，小球质量为m 2＝2 kg ，曲面质量为m 3＝10 kg.试求小孩将球推出后还能否再接到球，若能，则求出再接到球后人的速度大小，若不能，则求出球再滑回水平冰面上的速度大小．
图5
答案 能 1063
m/s 解析 以小球被推出的方向为正方向，
人推球过程，水平方向动量守恒：0＝m 2v 0＋m 1v 1
得v 1＝－0.1 m/s
球和曲面相互作用时，水平方向动量守恒：
m 2v 0＝m 2v 2＋m 3v 3
由机械能守恒定律得：12m 2v 02＝12m 2v 22＋12
m 3v 32 得v 2＝－43
m/s |v 2|>|v 1|，所以人能再接住球，人接球的过程，由动量守恒定律得：m 1v 1＋m 2v 2＝(m 1＋m 2)v 共，
得v 共＝－1063
m/s ，负号表示方向向右． 6.(2020·扬州十一中高二下期中)如图6所示的三个小球的质量都为m ，B 、C 两球用水平轻弹簧连接后静止放在光滑的水平面上，A 球以速度v 0沿B 、C 两球球心的连线向B 球运动，碰后A 、B 两球粘在一起．问：
图6
(1)A 、B 两球刚刚粘合在一起的速度是多大？
(2)弹簧压缩至最短时三个小球的速度是多大？
(3)弹簧的最大弹性势能是多少？
答案 (1)v 02 (2)v 03 (3)112
m v 02 解析 (1)在A 、B 碰撞的过程中弹簧的压缩量是极其微小的，产生的弹力可完全忽略，即C 球并没有参与A 、B 的碰撞，因此A 、B 两球组成的系统所受合外力为零，动量守恒，以v 0的方向为正方向，则有：
m v 0＝2m v 1，解得v 1＝v 02
. (2)粘合在一起的A 、B 两球向右运动，压缩弹簧，由于弹力的作用，C 球加速，速度由零开始增大，而A 、B 两球减速，速度逐渐减小，当三球相对静止时弹簧最短，此时三球速度相等．在这一过程中，三球和轻弹簧构成的系统动量守恒，以A 、B 两球刚刚粘合在一起的速
度方向为正方向，有：2m v 1＝3m v 2，解得v 2＝23v 1＝v 03
. (3)当弹簧被压缩至最短时，弹性势能最大
E pm ＝12×2m v 12－12×3m v 22＝112
m v 02. 7．如图7所示，静止放置在光滑水平面上的A 、B 、C 三个滑块，滑块A 、B 间通过一水平轻弹簧相连，滑块A 左侧紧靠一竖直固定挡板P ，某时刻给滑块C 施加一个水平冲量使其以初速度v 0水平向左运动，滑块C 撞上滑块B 的瞬间二者粘在一起共同向左运动，弹簧被压缩至最短的瞬间具有的弹性势能为1.35 J ，此时撤掉固定挡板P ，之后弹簧弹开释放势能，已知滑块A 、B 、C 的质量分别为m A ＝m B ＝0.2 kg ，m C ＝0.1 kg ，(取10＝3.16)求：
图7
(1)滑块C 的初速度v 0的大小；
(2)当弹簧弹开后恢复原长的瞬间，滑块B 、C 的速度大小；
(3)从滑块B 、C 压缩弹簧至弹簧恢复原长的过程中，弹簧对滑块B 、C 整体的冲量． 答案 (1)9 m/s (2)1.9 m/s (3)1.47 N·s ，方向水平向右
解析 (1)滑块C 撞上滑块B 的过程中，滑块B 、C 组成的系统动量守恒，以水平向左为正方向，根据动量守恒定律得：m C v 0＝(m B ＋m C )v 1
弹簧被压缩至最短时，滑块B 、C 速度为零，根据能量守恒定律得：
E p ＝12
(m B ＋m C )v 12 解得：v 1＝3 m/s ，v 0＝9 m/s
(2)设弹簧弹开后恢复原长的瞬间，滑块B 、C 的速度大小为v 2，滑块A 的大小为v 3，根据动量守恒定律得：
(m B ＋m C )v 2－m A v 3＝0
根据能量守恒定律得：
E p ＝12m A v 32＋12
(m B ＋m C )v 22 解得：v 2≈1.9 m/s
(3)设弹簧对滑块B 、C 整体的冲量为I ，选向右为正方向，由动量定理得：
I ＝Δp ＝(m B ＋m C )[v 2－(－v 1)]
解得：I ＝1.47 N·s ，方向水平向右．
8．如图8所示，一光滑水平面上有质量为m 的光滑曲面体A ，A 右端与水平面平滑连接，一质量为m 的小球C 放在曲面体A 的曲面上，距水平面的高度为h ，小球C 从静止开始滑下，然后与质量为2m 的小球B 发生弹性正碰(碰撞时间极短，且无机械能损失)．重力加速度为g .
图8
(1)小球C 与曲面体A 分离时，求A 、C 的速度大小；
(2)小球C 与小球B 发生碰撞后，小球C 能否追上曲面体A ?
答案 (1)均为gh (2)不能
解析 (1)设小球C 与曲面体A 分离时速度大小为v 0，此时曲面体A 的速度大小为v A ，小球C 运动到曲面体A 最低点的过程中，以向右为正方向，在水平方向上，由动量守恒定律得m v 0－m v A ＝0，
由机械能守恒定律得mgh ＝12m v 02＋12
m v A 2， 解得v A ＝v 0＝gh .
(2)设小球C 与小球B 发生碰撞后速度分别为v C 和v B ，以向右为正方向，由于小球C 与小球B 发生弹性正碰，由动量守恒定律得m v 0＝m v C ＋2m v B ，
由机械能守恒定律得12m v 02＝12m v C 2＋12
×2m v B 2， 解得v B ＝23gh ，v C ＝－13
gh ， 因|v C |<|v A |，则小球C 与小球B 发生碰撞后，小球C 不能追上曲面体A .。