初二数学上册期末考试试卷及答案解析

2013-2014学年八年级[上]数学期末考试试卷10小题）一．选择题（共1．（2013?铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（）A ．B C=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC ，∠A= ∠D D．∠B= ∠E，∠A= ∠D2．（2011?恩施州）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB ，垂足为F，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别（）为50 和39，则△EDF 的面积为A ．11 B．5.5 C．7 D．3.53．（2013?贺州）如图，在△ABC 中，∠ABC=45 °，AC=8cm ，F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是（）A ．4cm B．6cm C．8cm D．9cm4．（2010?海南）如图，a、b、c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（）A ．B．C．D．5．（2013?珠海）点（3，2）关于x 轴的对称点为（）A ．（3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）6．（2013 ?十堰）如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合．已知AC=5cm ，△ADC 的周长为17cm，则BC 的长为（）A ．7cm B．10cm C．12cm D．22cm7．（2013?新疆）等腰三角形的两边长分别为 3 和6，则这个等腰三角形的周长为（）A ．12 B．15 C．12 或15 D．188．（2013?烟台）下列各运算中，正确的是（）2 3 2 6A ．3a+2a=5aB．（﹣3a ）=9a4 2 3C．a ÷a =a D．（a+2）2 2=a +49．（2012?西宁）下列分解因式正确的是（）2 2 2A ．3x ﹣6x=x（3x﹣6）B．﹣a +b =（b+a）（b﹣a）2 2 2 2 2 C．4x ﹣y ﹣2xy+y=（4x+y）（4x﹣y）D．4x =（2x﹣y）2 2 310．（2013?恩施州）把x y﹣2y x+y分解因式正确的是（）2 2 2 2 2A ．y（x ﹣2xy+y ）B．x （2x﹣y）C．y（x﹣y）y﹣y D．y（x+y）2二．填空题（共10小题）11．（2013?资阳）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60 °，点D 是BC 边上的点，CD=1 ，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点 C 落在AB 边上的点 E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是_________ ．12．（2013 ?黔西南州）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B、C、D、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= _________ 度．13．（2013?枣庄）若，，则a+b 的值为_________ ．2 2﹣n14．（2013?内江）若m =6，且m﹣n=2，则m+n= _________ ．2 2﹣12ab+12b15．（2013?菏泽）分解因式：3a = _________ ．16．（2013?盐城）使分式的值为零的条件是x=_________．17．（2013?南京）使式子1+有意义的x的取值范围是_________．18．（2012?茂名）若分式的值为0，则a的值是_________．22222﹣4，x﹣2x，x﹣4x+4，x19．在下列几个均不为零的式子，x+2x，x+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简：_________．20．不改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是_________．三．解答题（共8小题）221．（2013?遵义）已知实数a满足a+2a﹣15=0，求﹣÷的值．22．（2013?重庆）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足．22222﹣1，a2=5﹣3，⋯，a n=（2n+1）﹣（2n﹣1）23．（2007?资阳）设a1=3（1）探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；2（n为大于0的自然数）．（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，⋯，a n，⋯这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数（不必说明理由）．24．在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：①∠AED+∠AFD=180°；②DE=DF．那么在△ABC中，仍然有条件“A D是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：（1）若∠AED+∠AFD=180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．（2）若DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？（只写出结论，不证明）25．（2012?遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB P Q交AB于D．于E，连接（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．26．（2005?江西）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．（1）求证：AB⊥ED；（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．27．（2013?沙河口区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点M在AB边上以1单位长度/秒的速度从点A向点B运动，运动到点B时停止．连接CM，将△ACM沿着CM对折，点A的对称点为点A′．（1）当CM与AB垂直时，求点M运动的时间；（2）当点A′落在△ABC的一边上时，求点M运动的时间．28．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=_________；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=_________；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=_________；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=_________（用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．WORD格式2013-2014学年八年级[上]数学期末考试试卷参考答案与试题解析10小题）一．选择题（共1．（2013?铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（）A ．B C=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC ，∠A= ∠D D．∠B= ∠E，∠A= ∠D考点：全等三角形的判定．分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．解答：解：A、已知AB=DE ，再加上条件BC=EC ，∠B= ∠E 可利用SAS 证明△ABC ≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE ，再加上条件BC=EC ，AC=DC 可利用SSS 证明△ABC ≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE ，再加上条件BC=DC ，∠A=∠D 不能证明△ABC ≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB=DE ，再加上条件∠B=∠E，∠A= ∠D 可利用ASA 证明△ABC ≌△DEC，故此选项不合题意；故选：C．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2011?恩施州）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB ，垂足为F，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别（）△EDF 的面积为为50 和39，则A ．11 B．5.5 C．7 D．3.5考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．轴题．题：计算题；压专三分析：作DM=DE 交AC 于M ，作DN ⊥AC ，利用角平分线的性质得到DN=DF ，将三角形EDF 的面积转化为角形DNM 的面积来求．解答：解：作DM=DE 交AC 于M ，作DN⊥AC，∵DE=DG ，DM=DE ，∴DM=DG ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB ，∴DF=DN ，在Rt△DEF 和Rt△DMN 中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN （HL ），∵△ADG 和△AED 的面积分别为50 和39，∴S△MDG =S△ADG﹣S△ADM =50﹣39=11，S△DNM =S△DEF= S△MDG = =5.5B．故选点评：本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．3．（2013?贺州）如图，在△ABC 中，∠ABC=45 °，AC=8cm ，F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是（）A ．4cm B．6cm C．8cm D．9cm考点：全等三角形的判定与性质．△DBF≌△DAC ，推出BF=AC ，代入求出即可．分析：求出∠FBD= ∠CAD ，AD=BD ，证解答：解：∵F 是高AD 和BE 的交点，∴∠ADC= ∠ADB= ∠AEF=90 °，∴∠CAD+ ∠AFE=90 °，∠DBF+ ∠BFD=90 °，∵∠AFE= ∠BFD ，∴∠CAD= ∠FBD，∵∠ADB=90 °，∠ABC=45 °，∴∠BAD=45 °=∠ABD ，∴AD=BD ，在△DBF 和△DAC 中∴△DBF ≌△DAC （ASA ），∴BF=AC=8cm ，C．故选点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△DBF ≌△DAC ．4．（2010?海南）如图，a、b、c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（）A ．B．C．D．考点：全等三角形的判定．分析：根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．解答：解：A、与三角形ABC 有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；B、选项 B 与三角形ABC 有两边及其夹边相等，二者全等；C、与三角形ABC 有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；D、与三角形ABC 有两角相等，但边不对应相等，二者不全等．故选B．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS、SSS，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．5．（2013?珠海）点（3，2）关于x 轴的对称点为（）A ．（3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）考点：关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．分析：根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案．解答：解：点（3，2）关于x 轴的对称点为（3，﹣2），故选：A．点评：此题主要考查了关于x 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．6．（2013 ?十堰）如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合．已知AC=5cm ，△ADC 的周长为17cm，则BC 的长为（）A ．7cm B．10cm C．12cm D．22cm考点：翻折变换（折叠问题）．分析：首先根据折叠可得AD=BD ，再由△ADC 的周长为17cm 可以得到AD+DC 的长，利用等量代换可得BC 的长．解答：解：根据折叠可得：AD=BD ，∵△ADC 的周长为17cm，AC=5cm ，∴AD+DC=17 ﹣5=12（cm），∵AD=BD ，∴BD+CD=12cm ．故选：C．点评：此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．（2013?新疆）等腰三角形的两边长分别为 3 和6，则这个等腰三角形的周长为（）A ．12 B．15 C．12 或15 D．18考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为已知长度为 3 和6 两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：①当3 为底时，其它两边都为6，3、6、6 可以构成三角形，周长为15；②当3 为腰时，其它两边为 3 和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．（2013?烟台）下列各运算中，正确的是（）2 3 2 6A ．3a+2a=5aB．（﹣3a ）=9a4 2 3C．a ÷a =a D．（a+2）2 2=a +4考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．分析：根据合并同类项的法则、幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则，分别进行各选项的判断即可．解答：解：A、3a+2a=5a，原式计算错误，故本选项错误；3 2 6B、（﹣3a ）=9a4 2 2，原式计算正确，故本选项正确；C、a ÷a =a，原式计算错误，故本选项错误；2 2D、（a+2）=a +4a+4，原式计算错误，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则．9．（2012?西宁）下列分解因式正确的是（）2 2 2A ．3x ﹣6x=x（3x﹣6）B．﹣a +b =（b+a）（b﹣a）2 2 2 2 2C．4x ﹣y ﹣2xy+y=（4x+y）（4x﹣y）D．4x =（2x﹣y）考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．专题：计算题．分析：根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．2解答：解：A、3x ﹣6x=3x （x﹣2），故本选项错误；2 2B、﹣a +b =（b+a）（b﹣a），故本选项正确；2 2﹣yC、4x =（2x+y）（2x﹣y），故本选项错误；2 2﹣2xy+yD、4x 不能分解因式，故本选项错误．故选B．点评：本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．2 2 3D．y（x+y） 2 10．（2013?恩施州）把x y﹣2y x+y分解因式正确的是（）2 2 2 2 2A ．y（x ﹣2xy+y ）B．x （2x﹣y）C．y（x﹣y）y﹣y考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次分解即可．223解答：解：x y﹣2y x+y22﹣2yx+y=y（x）2=y（x﹣y）．故选：C．点评：本题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．二．填空题（共10小题）11．（2013?资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是1+．考点：轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．解答：解：连接CE，交AD于M，∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠B=60°，DE=1，∴BE=，BD=，即BC=1+，∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+，故答案为：1+．点评：本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．12．（2013?黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=15度．考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．13．（2013?枣庄）若，，则a+b的值为．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a﹣b的值代入即可求出a+b的值．解答：22解：∵a﹣b=（a+b）（a﹣b）=，a﹣b=，∴a+b=．故答案为：．点评：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．22﹣n14．（2013?内江）若m=6，且m﹣n=2，则m+n=3．考点：因式分解-运用公式法．22分析：将m﹣n按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n的值．22解答：解：m﹣n=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，故m+n=3．故答案为：3．22点评：本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a﹣b．．222﹣12ab+12b15．（2013?菏泽）分解因式：3a=3（a﹣2b）考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．22222解答：解：3a﹣12ab+12b﹣4ab+4b）=3（a﹣2b）=3（a．2故答案为：3（a﹣2b）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．16．（2013?盐城）使分式的值为零的条件是x=﹣1．考点：分式的值为零的条件．分析：分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．解答：解：由题意，得x+1=0，解得，x=﹣1．经检验，x=﹣1时，=0．故答案是：﹣1．点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．17．（2013?南京）使式子1+有意义的x的取值范围是x≠1．考点：分式有意义的条件．分析：分式有意义，分母不等于零．解答：解：由题意知，分母x﹣1≠0，即x≠1时，式子1+有意义．故填：x≠1．点评：本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义?分母为零；（2）分式有意义?分母不为零；（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．18．（2012?茂名）若分式的值为0，则a的值是3．考点：分式的值为零的条件．专题：探究型．分析：根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可．解答：解：∵分式的值为0，∴，解得a=3．故答案为：3．点评：本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．2 2 2 2 2﹣4，x ﹣2x，x ﹣4x+4， x19．在下列几个均不为零的式子，x +2x，x +4x+4 中任选两个都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简：．考点：最简分式．专题：开放型．分析：在这几个式子中任意选一个作分母，任意另选一个作分子，就可以组成分式．因而可以写出的分式有很多个，把分式的分子分母分别分解因式，然后进行约分即可．解答：解：= = ，故填：．点评：本题主要考查分式的定义，分母中含有字母的有理式就是分式．并且考查了分式的化简，首先要把分子、分母分解因式，然后进行约分．20．不改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是．考点：最简分式．分析：首先将分子、分母均乘以100，若不是最简分式，则一定要约分成最简分式．本题特别注意分子、分母的每一项都要乘以100．w W w .解答：解：分子、分母都乘以100 得，，约分得，．点评：解题的关键是正确运用分式的基本性质．三．解答题（共8小题）221．（2013?遵义）已知实数 a 满足 a +2a﹣15=0，求﹣÷的值．考点：分式的化简求值．分析：先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，2最后把 a+2a﹣15=0 进行配方，得到一个a+1 的值，再把它整体代入即可求出答案．解答：解：﹣÷= ﹣? = ﹣= ，2∵ a+2a﹣15=0，2∴（a+1）=16，∴原式= = ．点评：此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化成乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值．22．（2013?重庆）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足．考点：分式的化简求值；解二元一次方程组．专题：探究型．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a、b的值代入进行计算即可．解答：解：原式=÷﹣=×﹣=﹣=﹣，∵，∴，∴原式=﹣=﹣．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．22222﹣1，a2=5﹣3，⋯，a n=（2n+1）﹣（2n﹣1）23．（2007?资阳）设a1=3（1）探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；2（n为大于0的自然数）．（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，⋯，a n，⋯这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数（不必说明理由）．考点：因式分解-运用公式法．专题：规律型．22分析：（1）利用平方差公式，将（2n+1）﹣（2n﹣1）化简，可得结论；（2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律．2222解答：解：（1）∵a n=（2n+1）﹣（2n﹣1）=4n+4n+1﹣4n+4n﹣1=8n，（3分）又n为非零的自然数，∴a n是8的倍数．（4分）这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（5分）说明：第一步用完全平方公式展开各（1），正确化简（1分）．（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．（7分）n为一个完全平方数的2倍时，a n为完全平方数（8分）说明：找完全平方数时，错一个扣（1），错2个及以上扣（2分）．点评：本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的探究发现的能力．24．在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：垂足为①∠AED+∠AFD=180°；②DE=DF．那么在△ABC中，仍然有条件“A D是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：例．出反（1）若∠AED+∠AFD=180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举（2）若DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？（只写出结论，不证明）考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DM=DN，再根据∠AED+∠AFD=180°，平角的定义得∠AFD+∠DFN=180°，可以推出∠DFN=∠AED，然后利用角角边定理证明△DME与△DNF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；（2）不一定成立，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段上或垂线段与点A的两侧，则成立，若是同侧则不成立．解答：解：（1）DE=DF．理由如下：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∵∠AED+∠AFD=180°，∠AFD+∠DFN=180°，∴∠DFN=∠AED，∴△DME≌△DNF（AAS），∴DE=DF；（2）不一定成立．如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立，经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立，所以不一定成立．，键点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，从题目提供信息找出求证的思路是解题的关读懂题目信息比较重要．25．（2012?遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB P Q交AB于D．于E，连接（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；E D的长是否发生变化？如果不变，求出线段E D的长；如果变化请说明理由．（2）当运动过程中线段考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．．题：压轴题；动点型专A P=x，分析：（1））由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设x=（6+x），求出x的值即可；x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣则PC=6﹣（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接Q E，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF 是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段D E的长度不会改变．解答：解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，x，QB=x，P C=6﹣设AP=x，则∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；（2）当点P、Q运动时，线段D E的长度不会改变．理由如下：Q E，PF，作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q 速度相同，∴AP=BQ ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠ABC= ∠FBQ=60 °，在△APE 和△BQF 中，∵∠AEP= ∠BFQ=90 °，∴∠APE= ∠BQF，∴在△APE 和△B QF 中，∴△APE≌△BQF（AAS ），∴AE=BF ，PE=QF 且PE∥QF，∴四边形PEQF 是平行四边形，∴DE= EF，∵EB+AE=BE+BF=AB ，∴DE= AB ，又∵等边△ABC 的边长为6，∴DE=3，∴当点P、Q 运动时，线段D E 的长度不会改变．助出辅点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作线构造出全等三角形是解答此题的关键．26．（2005 ?江西）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点B、F、C、D 在同一条直线上．w W w .（1）求证：AB ⊥ED；给予证（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并明．问题）；直角三角形全等的判定．考点：翻折变换（折叠题：几何综合题；压轴题．专分析：做此题要理解翻折变换后相等的条件，同时利用常用的全等三角形的判定方法来判定其全等．解答：证明：（1）由题意得，∠A+∠B=90°，∠A=∠D，∴∠D+∠B=90 °，∴AB ⊥DE．（3 分）（2）∵AB ⊥DE，AC⊥BD∴∠BPD= ∠ACB=90 °，∴在△ABC 和△DBP，，∴△ABC ≌△DBP （AAS ）．（8 分）说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：△APN ≌△DCN 、△DEF≌△DBP 、△EPM≌△BFM ．点评：此题考查了翻折变换及全等三角形的判定方法等知识点，常用的判定方法有SSS、SAS、AAS 、HL 等．27．（2013 ?沙河口区一模）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3 ，BC=4．点M 在AB 边上以1单位长度/秒的速度点A′．接CM ，将△ACM 沿着CM 对折，点 A 的对称点为从点 A 向点 B 运动，运动到点 B 时停止．连；（1）当CM 与AB 垂直时，求点M 运动的时间（2）当点 A ′落在△ABC 的一边上时，求点M 运动的时间．问题）．考点：翻折变换（折叠边成分析：（1）由Rt△ABC 中，∠C=90°，CM 与AB 垂直，易证得△ACM ∽△ABC ，然后由相似三角形的对应比例，即可求得AM 的长，即可得点M 运动的时间；（2）分别从当点 A ′落在AB 上时与当点 A ′落在BC 上时去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）∵Rt△ABC 中，∠C=90°，CM⊥AB ，∴∠A=∠A，∠AMC= ∠ACB=90 °，∴△ACM ∽△ABC ，∴，∵AC=3 ，BC=4，∴AB= =5，∴AM= = ，∴点M 运动的时间为：；（2）①如图1，当点 A ′落在AB 上时，此时CM ⊥AB ，：；为则点M 运动的时间②如图2，当点A′落到BC 上时，CM 是∠ACB 平分线，过点M作ME⊥BC于点E，作MF⊥AC于点F，∴ME=MF，∵S△ABC=S△ACM+S△BCM，∴AC?BC=AC?MF+BC?ME，∴×3×4=×3×MF+×4×MF，解得：MF=，∵∠C=90°，∴MF∥BC，∴△AMF∽△ABC，∴，即，解得：AM=，综上可得：当点A′落在△ABC的一边上时，点M运动的时间为：或．握数形结意掌点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注合思想与分类讨论思想的应用．28．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，2，若∠ACD=90°，则∠AFB=90°；如图3，若∠ACD=120°，1，若∠ACD=60°，则∠AFB=120°；如图（1）如图则∠AFB=60°；α（用含α的式子表示）；4，若∠ACD=α，则∠AFB=180°﹣（2）如图5所示4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图（3）将图的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．考点：等边三角形的判定与性质．题：证明题；探究型．专1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数．分析：（1）如图如图2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°．3，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB得到如图∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°．（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°﹣α．（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°﹣α．1，CA=CD，∠ACD=60°，解答：解：（1）如图所以△ACD是等边三角形．∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，所以△ECB是等边三角形．∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，又∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACE=∠BCD．∵AC=DC，CE=BC，∴△ACE≌△DCB．∴∠EAC=∠BDC．∠AFB是△ADF的外角．∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，如图∴△ACE≌△DCB．∴∠AEC=∠DBC，又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，∴∠EFD=90°．∴∠AFB=90°．3，∵∠ACD=∠BCE，如图∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE．∴∠ACE=∠DCB．又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB．∴∠EAC=∠BDC．∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，∴∠FAB+∠FBA=120°．∴∠AFB=60°．故填120°，90°，60°．（2）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．∴∠ACE=∠DCB．∴∠CAE=∠CDB．∴∠DFA=∠ACD．∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α．（3）∠AFB=180°﹣α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．在△ACE和△D CB中，则△ACE≌△DCB（SAS）．则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α．点评：本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识．。