2019-2020学年山东省淄博市部分学校高一上学期期末联考数学试题(解析版)

2019-2020学年山东省淄博市部分学校高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则U A =ð（ ） A ．∅ B ．{}1,3C ．{}2,4,5D ．{}1,2,3,4,5【答案】C【解析】根据补集的定义可得结果. 【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5U A =ð，故选C. 【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2．函数ln(1)y x =-的定义域为（ ）A ．(,0)-∞B 。

(,1)-∞C 。

(0,)+∞D 。

(1,)+∞ 【答案】B【解析】由01>-x ，得1<x ∴选B3．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( ) A ．π3B ．π6C ．-π3D ．-π6【答案】B【解析】由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为6π． 【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转π6弧度. 故选B. 【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题． 4．下列函数是在(0,1)为减函数的是（ ） A ．lg y x = B ．2x y =C ．cos y x =D ．121=-y x 【答案】C【解析】根据对数函数、指数函数、余弦函数、反比例函数的单调性即可找出正确选项． 【详解】对数函数，底数大于1时，在0x >上增函数，不满足题意； 指数函数，底数大于1时，在0x >上增函数，不满足题意； 余弦函数，从最高点往下走，即[0,]x π∈上为减函数；反比例型函数，在1(,)2-∞与1(,)2+∞上分别为减函数，不满足题意； 故选：C. 【点睛】考查余弦函数，指数函数，正弦函数，以及正切函数的单调性，熟悉基本函数的图象性质是关键． 5．方程3log 280x x +-=的解所在区间是（ ）．A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(5,6)【答案】C【解析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案. 【详解】∵3()log 82f x x x =-+,∴3(1)log 18260f =-+=-<,3(2)log 2840f =-+<,3(3)log 38610f =-+=-<，3(4)log 40f =>,33(5)log 520,(6)log 640f f =+>=+>∴(3)(4)0f f ⋅<, ∵函数3()log 82f x x x =-+的图象是连续的, ∴函数()f x 的零点所在的区间是(3,4). 故选：C 【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力.6．若点2cos ,2sin 66P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin α=（ ）A．12B ．12-C ．3 D ．3-【答案】B【解析】根据任意角的三角函数的定义及特殊角的三角函数值计算可得. 【详解】 解：2cos,2sin66P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭Q 22221212sin 22s 2sin2sin664co 4sin 2cos 2sin 6666παπππππ-⨯∴====-⎛⎫⎛⎫-++⎝- -⎪ ⎪⎭⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题. 7．已知3sin()35x π-=，则7cos()6x π+等于( ) A ．35B ．45 C ．35-D ．45-【答案】C【解析】由诱导公式化简后即可求值． 【详解】7πcos x 6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝-π cos x 6⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin[26x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭]＝π3sin x 35⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．8．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①【答案】A【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到． 【详解】解：①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是；②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值为正数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值为负数，故第三个图象满足； ③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足； ④2x y x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．二、多选题9．下列命题是真命题的是（ ）A ．若幂函数()a f x x =过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12α=-B ．(0,1)x ∃∈，121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．(0,)x ∀∈+∞，1123log log x x >D ．命题“x ∃∈R ，sin cos 1x x +<”的否定是“x ∀∈R ，sin cos 1x x +≥” 【答案】BD【解析】根据幂函数的定义判断A ，结合图象判断BC ，根据特称命题的否定为全称命题可判断D . 【详解】解：对于A ：若幂函数()af x x =过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则142a骣琪=琪桫解得2α=-，故A 错误；对于B ：在同一平面直角坐标系上画出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =两函数图象，如图所示由图可知(0,1)x ∃∈，121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ：在同一平面直角坐标系上画出13log y x =与12log y x =两函数图象，如图所示由图可知，当(0,1)x ∈时，1123log log x x>，当1x =时，1123log log x x=，当(1,)x ∈+∞时，1123log log x x<，故C 错误；对于D ：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“x ∃∈R ，sin cos 1x x +<”的否定是“x ∀∈R ，sin cos 1x x +≥”，故D 正确；故选：BD 【点睛】本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.10．已知(0,)θπ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（ ） A ．,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=【答案】ABD【解析】根据所给条件，利用同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】解：1sin cos 5θθ+=Q ① ()221sin cos 5θθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭即221sin 2sin cos cos 25θθθθ++=242sin cos 25θθ∴=-(0,)θπ∈Qsin 0θ∴>，cos 0θ<,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()249sin cos 12sin cos 25θθθθ∴-=-= 7sin cos 5θθ∴-=②①加②得4sin 5θ=①减②得3cos 5θ=- 4sin 45tan 3cos 35θθθ∴===--综上可得，正确的有ABD 故选：ABD 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题. 11．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．11b b a a +>+ C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+ 【答案】AC【解析】根据不等式的性质进行判断. 【详解】 解：0a b >>Q ， 由反比例函数1y x=的性质可知，11a b∴<，故A 正确； b a <Q ，且11a b <，根据不等式的同向可加性知11a b b a+>+，即C 正确，对于D ，0a b >>Q ，且11a b <，无法确定1a a+与1b b +的大小关系，当2a =，12b =时，11a b a b +=+故D 错误: 0a b >>Q0ab ∴>，()10a a +>a ab b ab ∴+>+ ()()11a b b a ∴+>+11b ba a+∴>+，故B 错误； 综上可得，正确的有AC 故选：AC 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题. 12．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x≤⎧=⎨>⎩，下列四个结论正确的是（ ）A ．()f x 是以π为周期的函数B ．当且仅当()x k k ππ=+∈Z 时，()f x 取得最小值-1C ．()f x 图象的对称轴为直线()4x k k ππ=+∈ZD ．当且仅当22()2k x k k πππ<<+∈Z时，0()f x <≤【答案】CD【解析】求得()f x 的最小正周期为2π，画出()f x 在一个周期内的图象，通过图象可得对称轴、最小值和最大值，即可判断正确答案． 【详解】解：函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x f x x x x ⎧=⎨>⎩„的最小正周期为2π， 画出()f x 在一个周期内的图象， 可得当52244k x k ππππ++剟，k Z ∈时， ()cos f x x =，当592244k x k ππππ+<+„，k Z ∈时， ()sin f x x =，可得()f x 的对称轴方程为4x k ππ=+，k Z ∈，当2x k ππ=+或322x k ππ=+，k Z ∈时，()f x 取得最小值1-； 当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，()0f x >，()f x的最大值为()42f π=0()2f x <„，综上可得，正确的有CD ． 故选：CD ．【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，主要是正弦函数和余弦函数的图象和性质的运用，考查对称性、最值和周期性的判断，考查数形结合思想方法，属于中档题．三、填空题13．22(lg 2)(lg5)lg 4lg5++⋅=________. 【答案】1；【解析】根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：22(lg 2)(lg5)lg 4lg5++⋅Q222(lg 2)(lg 5)lg 2lg 5=++⋅ 22(lg 2)(lg 5)2lg 2lg 5=++⋅()2lg 2lg5=+()2lg 25=⨯⎡⎤⎣⎦21=1=故答案为：1 【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题. 14．已知某扇形的半径为3，面积为3π2，那么该扇形的弧长为________. 【答案】π【解析】根据扇形面积公式可求得答案.【详解】设该扇形的弧长为l ,由扇形的面积12S lr =,可得3π1322l =⨯,解得πl =. 故答案为π. 【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.15．已知0a >，且1a ≠，log 2a x =，则x a =________；22x x a a -+=_________. 【答案】2174【解析】(1)根据指对数的互化求解即可. (2)根据(1)中2x a =再求解22x x a a -+即可. 【详解】(1)由指对数的互化, log 22xa x a =⇒= (2) ()()2222221117224x xx xaa a a-=+=+=+故答案为：(1)2; (2)174【点睛】本题主要考查指对数的互化以及指数的基本运算等,属于基础题型.16．若两个正实数x ，y 1=26m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(2,8)-.【解析】m 的不等式，解不等式即可. 【详解】 解：1=Q44⎛⎫=+=++816≥+= 当且仅当16x y =，即4y =且64x =时取等号.26m m >-Q 恒成立，则2166m m >-解得28m -<<即()2,8m ∈-故答案为：()2,8- 【点睛】本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立的问题，属于中档题.四、解答题17．已知全集为R ，集合6|03x A x x -⎧⎫=∈>⎨⎬+⎩⎭R ，{}2|2(10)50B x x a x a =∈-++≤R .（1）若B A ⊆R ð，求实数a 的取值范围；（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是B A ⊆R ð的什么条件（充分必要性）. ①[7,12)a ∈-；②(7,12]a ∈-；③(6,12]a ∈.【答案】（1）612a -≤≤（2）选择①，则结论是不充分不必要条件；选择②，则结论是必要不充分条件；选择③，则结论是是充分不必要条件.【解析】（1）解出集合A ，根据补集的定义求出A R ð，由B A ⊆R ð，得到关于a 的不等式，解得；（2）由（1）知B A ⊆R ð的充要条件为[6,12]a ∈-，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】解：（1）集合6|0(3)(6,)3x A x x -⎧⎫=∈>=-∞-⋃+∞⎨⎬+⎩⎭R ， 所以[3,6]A =-R ð，集合{}2|2(10)50{|(2)(5)0}B x x a x a x x a x =∈-++≤=∈--≤R R ， 若B A ⊆R ð，且5[3,6]A ∈=-R ð， 只需362a-≤≤，所以612a -≤≤.（2）由（1）可知B A ⊆R ð的充要条件是[6,12]a ∈-，选择①，[7,12)[6,12]-⊄-且[6,12][7,12)-⊄-，则结论是不充分不必要条件； 选择②，[6,12]- (7,12]-，则结论是必要不充分条件； 选择③，(6,12] [6,12]-，则结论是充分不必要条件. 【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，以及充分条件必要条件的判断，属于基础题.18．已知,,a b c ∈R ，二次函数2()f x ax bx c =++的图象经过点(0,1)，且()0f x >的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求实数a ，b 的值；（2）若方程()7f x kx =+在(0,2)上有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）6a =-，1b =（2）(14,11)--【解析】（1）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系计算可得.（2）由（1）知2()61f x x x =-++，得方程()7f x kx =+等价于方程26(1)60x k x +-+=，令2()6(1)6g x x k x =+-+，即()g x 的两个零点满足12,(0,2)x x ∈分析可得.【详解】解：（1）因为()f x 的图象经过点(0,1)，所以1c =， 所以2()1f x ax bx =++，2()10f x ax bx =++>的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以11()032f x a x x ⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且0a <，且1c =，得2()61f x x x =-++， 故6a =-，1b =（2）由2()61f x x x =-++，得方程()7f x kx =+等价于方程26(1)60x k x +-+=，令2()6(1)6g x x k x =+-+，即()g x 的两个零点满足12,(0,2)x x ∈，所以必有(0)0(2)0102120g g k>⎧⎪>⎪⎪⎨-<<⎪⎪∆>⎪⎩， 即142311311k k k k >-⎧⎪-<<⎨⎪><-⎩或，解得1411k -<<-， 所以实数k 的取值范围是(14,11)-- 【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数以及一元二次不等式的关系，二次函数的零点问题，属于中档题. 19．已知函数2()()4x bf x b x +=∈+R 为奇函数. （1）求b和log 22f f ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）判断并用定义证明()f x 在(0,)+∞的单调性.【答案】（1）0b =，log 202f f ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减,证明见解析【解析】（1）根据奇函数的性质，对x ∀∈R ，都有()() f x f x -=-，得到方程求出参数b的值，即可求出函数解析式，根据对数的性质可得log 22=得解. （2）利用定义法证明函数的单调性的一般步骤为：设元，作差，变形，判断符号，下结论. 【详解】解：（1）因为函数2()4x bf x x +=+为奇函数，所以对x ∀∈R ，都有()() f x f x -=-，即22()44x b x bx x -++=--++，解得0b =，所以2()4xf x x =+log 22f f ⎛⎫⎛⎫∴-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭f f ⎛=+⎝⎭⎝⎭0=.（2）()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减. 证明如下：12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，有()()1212221244x x f x f x x x -=-++ ()()()()22122122124444x x x x xx +-+=++()()()()21122212444x x x x x x --=++因为120x x <<，所以210x x ->，()()2212440x x ++>当2x >时，1240x x ->，()()()()211222124044x x x x xx -->++，()()120f x f x ->即()()12f x f x >，此时()f x 单调递减. 当02x <<时，1240x x -<，()()()()211222124044x x x x xx --<++，()()120f x f x -<即()()12f x f x <，此时()f x 单调递增.所以，()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减. 【点睛】本题考查根据奇偶性求函数的解析式，定义法证明函数的单调性，属于基础题.20．已知函数()2sin 124f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期及其单调递减区间； （2）若1x ，2x 是函数()f x 的零点，用列举法表示()12cos2x x π+的值组成的集合.【答案】（1）最小正周期为4;单调递减区间是154,4()22k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）22⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭【解析】（1）根据正弦函数的最小正周期公式计算可得，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间.（2）首先求出函数的零点，得1x ，2x 是5|4,6A x x k k ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z 或11|4,6B x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 中的元素，再分类讨论计算可得.【详解】解：（1）()f x 的最小正周期为：242T ππ==.对于函数()2sin 124f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当322()2242k x k k ππππππ+≤+≤+∈Z 时，()f x 单调递减， 解得1544()22k x k k +≤≤+∈Z ， 所以函数()f x 的单调递减区间是154,4()22k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）因为2sin 1024x ππ⎛⎫++=⎪⎝⎭，即1sin 242x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点满足：2246x k ππππ+=-或2()246x k k πππππ+=++∈Z即546x k =-或114()6x k k =+∈Z所以1x ，2x 是5|4,6A x x k k ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z 或11|4,6B x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 中的元素 当12,x x A ∈时，()1252()26x x k k πππ+=-∈Z 则()1255coscos 2cos 266x x k ππππ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭当1x A ∈，2x B ∈（或1x B ∈，2x A ∈）时，()122()22x x k k πππ+=+∈Z则()12coscos 2cos 0222x x k ππππ+⎛⎫=+== ⎪⎝⎭当12,x x B ∈，()122()26x x k k πππ+=-∈Z ，则()12coscos 2cos 266x x k ππππ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ 所以()12cos2x x π+的值的集合是⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，以及函数的零点，特殊角的三角函数值，属于中档题. 21．汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km 的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F （单位：L ）与速度v （单位：km /h ）（0120v ≤≤）的下列数据：为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：32()F v av bv cv =++，1()2vF v a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()log a F v k v b =+. （1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式.（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 【答案】（1）选择函数32()F v av bv cv =++,32117()(0120)3840024024F v v v v v =-+≤≤（2）这辆车在该测试路段上以80km /h 的速度行驶时总耗油量最少【解析】（1）根据表中数据分析可知，所选模型必须满足定义域为[0,120]，且在[0,120]上为增函数，故选32()F v av bv cv =++，在代入数据计算可得.（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y ，行驶时间为t ，由题意得：y F t =⋅，根据二次函数的性质求出最值. 【详解】解：（1）由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为[0,120]，且在[0,120]上为增函数；函数1()2vF v a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[0,120]是减函数，所以不符合题意；而函数()log a F v k v b =+的v 0≠，即定义域不可能为[0,120]，也不符合题意； 所以选择函数32()F v av bv cv =++.由已知数据得：()()()22220404040365606060880808010a b c a b c a b c ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩解得：1384001240724a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩所以，32117()(0120)3840024024F v v v v v =-+≤≤（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y ，行驶时间为t ，由题意得：y F t =⋅321172403840024024v v v v ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭2170160v v =-+ 21(80)30160v =-+ 因为0120v ≤≤，所以，当80v =时，y 有最小值30.所以，这辆车在该测试路段上以80km /h 的速度行驶时总耗油量最少，最少为30L . 【点睛】本题考查给定函数模型解决问题，利用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，属于中档题.22．已知函数()2x f x =，2()log g x x =. （1）若0x 是方程3()2f x x =-的根，证明02x 是方程3()2g x x =-的根； （2）设方程5(1)2f x x -=-，5(1)2g x x -=-的根分别是1x ，2x ，求12x x +的值. 【答案】（1）证明见解析（2）72【解析】（1）因为0x 是方程3()2f x x =-的根，即00322x x =-，将02x 代入()g x 根据对数的运算性质可得. （2）由题意知，方程1522x x -=-，25log (1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ，即方程132(1)2x x -=--，23log (1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ，令1t x =-，设方程322t t =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-，结合（1）的结论及函数的单调性可求. 【详解】解：（1）证明：因为0x 是方程3()2f x x =-的根，所以00322x x =-，即00322x x =- ()0002032log 222x x x g x ===- 所以，02x 是方程3()2g x x =-的根. （2）由题意知，方程1522x x -=-，25log (1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ， 即方程132(1)2x x -=--，23log (1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ， 令1t x =- 设方程322tt =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-， 由（1）知1t 是方程322tt =-的根，则12t 是方程23log 2t t =-的根. 令23()log 2h t t t =+-，则12t 是()h t 的零点， 又因为()h t 是(0,)+∞上的增函数，所以，12t 是()h t 的唯一零点，即12t 是方程23log 2t t =-的唯一根. 所以122tt =， 所以1121322tt t t +=+=，即()()123112x x -+-=，所以1237222x x +=+= 【点睛】本题考查函数方程思想，函数的零点问题，属于难题.。