山东省淄博市部分学校2021届高三阶段性诊断考试理科数学试题
山东省淄博市高三数学5月阶段性诊断考试试题理(二模)
高三阶段性诊断考试试题理科数学本试卷分第I卷和第II卷两部分，共5页．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡—并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：1.如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P (B)；如果事件A,B独立，那么错误！未找到引用源。
.2.球的体积公式错误！未找到引用源。
，其中R表示球的半径.第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足错误！未找到引用源。
（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
2.设错误！未找到引用源。
，则A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
3.设命题错误！未找到引用源。
，则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知随机变量错误！未找到引用源。
A.0.477B.0.628C.0.954D.0.9775.已知不共线向量错误！未找到引用源。
的夹角是A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
山东省淄博市高三数学复习阶段性诊断考试 理(淄博二模
高三复习阶段性诊断考试试题理科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}{},,,,,,,,,U U a b c d e M a d N a c e M C N ===⋃，则为 A.{},,,a c d eB.{},,a b dC.{},b dD.{}d2.已知i 是虚数单位，则32ii -+等于 A.1i -+B.1i --C.1i +D.1i -3.“a b c d a >>>且是“c bd?”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填 A.4k > B. k >5 C. k >6 D. k >75.设,a b r r 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是A.若a b a b a b +=-⊥r r r r r r ，则B.若a b a b a b ⊥+=-r r r r r r ,则C.若a b a b +=-r r r r，则存在实数λ，使得a b λ=r r D. 若存在实数λ，使得a b λ=r r ，则a b a b +=-r r r r6.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A.203B.6C.4D.437.下列函数是偶函数，且在[]0,1上单调递增的是 A.cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.212cos 2y x =- C.2y x =-D.()sin y x π=+8.二项式243x x ⎛+ ⎪⎝⎭展开式中，x 的幂指数是整数的项共有 A.3项 B.4项 C.5项 D.6项9.3名男生3名女生站成两排照相，要求每排3人且3名男生不在同一排，则不同的站法有A.324种B.360种C.648种D.684种10.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1212,,4F F F F =，P 是双曲线右支上的一点，2F P y 与轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1PQ =，则双曲线的离心率是A.3B.2C.3D.2第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知3sin ,tan 25παπαα⎛⎫∈==⎪⎝⎭，，则________.12.已知等比数列{}3481298n a a a a a a a =⋅⋅⋅=若，则________. 13.若log 41,a b a b =-+则的最小值为_________.14.已知x ，y 满足2211,0x y x y z x y y ⎧+≤⎪+≤=-⎨⎪≥⎩则的取值范围是________.15.在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集(){},,,D a a x y x R y R =∈∈r r上也可以定义一个称“序”的关系，记为“?”.定义如下：对于任意两个向量()()11122212,,,,a x y a x y a a ==u r u u r u r u u r?“”当且仅当“12x x >”或“1212x x y y =>且”.按上述定义的关系“?”，给出如下四个命题：①若()()()12121,0,0,1,00,0,0e e e e ===u r u u r r u r u u r r ??则；②若1223,a a a a u r u u r u u r u u r ??，则13a a u r u u r ?；③若12a a u r u u r ?，则对于任意12,a D a a a a ∈++r u r r u u r r ?；④对于任意向量()12120,00,0,a a a a a a a =⋅>⋅r r r u r u u r r u r r u u r??，若则.其中真命题的序号为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分 16.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()(),2,1,2cos ,//m b c a n A m n =-=u r r u r r且.（I ）求B ；（II ）设函数()211sin 2cos cos sin cos 222f x x B x B B π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求函数()04f x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，上的取值范围.17.（本题满分12分）某学校组织了一次安全知识竞赛，现随机抽取20名学生的测试成绩，如下表所示（不低于90分的测试成绩称为“优秀成绩”）：（I ）若从这20人中随机选取3人，求至多有1人是“优秀成绩”的概率；（II ）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校全体学生中（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望. 18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC,PB ⊥AC,,AD CD AD⊥且22,2CD PA ===，点M 在线段PD 上.（I ）求证：AB ⊥平面PAC ；（II ）若二面角M-AC-D 的大小为45o，试确定点M 的位置.19.（本题满分12分）某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施.已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放最比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量()0m m >万吨.（I ）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列{}n a ，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式； （II ）证明：数列{}10n a m -是等比数列；（III ）若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围.20.（本题满分13分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 的一个焦点在抛物线2y =的准线上，且椭圆C 过点1,2⎛ ⎝⎭. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）点A 为椭圆C 的右顶点，过点()1,0B 作直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE,AF 与直线3x =分别交于不同的两点M,N ，求EM FN ⋅u u u u r u u u r的取值范围.21.（本题满分14分） 已知函数()()1 1.xf x x e =--（I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若()()0ln 110xx g x e x λ≥=+--≤时，，求λ的取值范围.（III ）证明：111123n n n eee++++++ (12)eln 2n <+（n *N ∈）高三复习阶段性诊断考试数学试题参考答案2014.4一、选择题： BDDAC ADCCB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11． 34-12． 512 ． 13． 1 14． ⎡⎤⎣⎦15．（文科） 7 15．（理科） ①②③ .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）解法一：因为//m n u r r，所以 2cos 2b A c a =- …………………………………2分由余弦定理得222222b c a b c a bc+-⋅=-，整理得222=+ac a c b -所以222+1cos =22a cb B ac -=……………………………4分 又因为0B π<<，所以3B π=. ………………………………………6分解法二：因为//m n u r r，所以2cos 2b A c a =- ………………………………2分由正弦定理得 2sin cos 2sin sin B A C A =- 所以()2sin cos 2sin sin B A A B A =+- 整理得2sin cos sin 0A B A -=因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B = ……………………4分 又因为0B π<<，所以3B π=. …………………………………………6分（Ⅱ）211()sin 2cos cos sin cos()222f x x B x B B π=+++11cos 2sin 242x x +=+1sin 224x x =+1sin(2)23x π=+ ………………8分因为 04x π≤≤，则52+336x πππ≤≤， ………………………10分 所以1sin 2+23x π≤≤（）1， 即()f x 在[0,]4π上取值范围是11[,]42. ……………………12分 17．（文科 本题满分12分）解：(Ⅰ)设该校总人数为n 人，由题意，得5010100300n =+，所以2000n = ………………3分 故2000(100300150450600)400z =-++++=． …………5分(Ⅱ)设所抽样本中有m 个女生．因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，所以40010005m=，解得2m =． ………………………7分 也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作12123,,,,A A B B B ，则从中任取2个的所有基本事件为(12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )，(21,A B )，(22,A B )，(23,A B )，(12,B B )，(13,B B )，(23,B B )，共10个； …………………9分 其中至少有1名女生的基本事件有7个： (12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )， (21,A B )，(22,A B )，(23,A B ) …………………………11分 所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为710P =． …………………12分 17．（理科 本题满分12分）解：（Ⅰ）由表知：“优秀成绩”为4人． ………………………………1分 设随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”为事件A ，则3211616433202052()57C C C P A C C =+=． ……………………………………………5分（Ⅱ）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率15P =． ………6分 ξ可取0,1,2,3 ………………………………………………………7分00331464(0)()()55125P C ξ===；1231448(1)()()55125P C ξ===；2231412(2)()()55125P C ξ===；3303141(3)()()55125P C ξ===．ξ的分布列：……………………………………11分6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………………12分 或 1(3,)5B ξ:, 13355E ξ=⨯=． ………………………12分18．（文科 本题满分12分）证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂平面ABCD所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PA PB P =I , 所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分 因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I , 所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）方法一取PC 的中点E ,连接QE 、ED . 因为Q 是线段PB 的中点，E 是PC 的中点，所以 QE ∥BC ,12QE BC =………8分 因为 AD ∥BC ,2BC AD =所以 QE ∥AD ,QE AD =所以 四边形AQED 是平行四边形，………………………………9分所以 AQ ∥ED , ………………………………10分 因为AQ ∥ED ,AQ ⊄平面PCD ,ED ⊂平面PCD所以 AQ ∥平面PCD . …………………………………………12分 方法二取BC 的中点E ,连接AE 、QE . 因为 2BC AD = 所以AD EC = 又 AD ∥EC ，所以 四边形ADCE 是平行四边形， 所以AE ∥CD因为AE ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,所以AE ∥平面PCD ……………8分 因为Q ，E 分别是线段PB ，BC 的中点，所以QE ∥PC ，所以QE ∥平面PCD ……………………………10分 因为QE AE E =I ，所以平面AEQ ∥平面PCD ……………………11分 因为AQ ⊂平面AEQ ，所以AQ ∥平面PCD . ………………………12分 18．（理科 本题满分12分）解证：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂ 平面ABCD 所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PA PB P =I , 所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I , 所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，又由（Ⅰ）知BA AC ⊥， 建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -.则()0,0,0A ,()0,4,0C ,()2,2,0D -，()0,0,2P ,()2,2,2PD =--u u u r ,()0,4,0AC =u u u r设(),,M x y z ，PM tPD =u u u u r u u u r,则 ()(),,22,2,2x y z t -=--，故点M 坐标为()2,2,22t t t --,()2,2,22AM t t t =--u u u u r………………8分设平面MAC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u rn n ………………9分 所以()40,22220.y tx ty t z =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩令1z =，则11(01)tt-=，，n . ………………………………10分 又平面ACD 的法向量2(0,0,1)=n 所以12122cos 452⋅==⋅on n n n , 解得1=2t故点M 为线段PD 的中点. ………………………………12分 19．(本题满分12分)解：（Ⅰ）由已知，1400.9a m =⨯+,10.9n n a a m +=+（1n ≥）.………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：()1100.990.910n n n a m a m a m +-=-=-，所以数列{}10n a m -是以110369a m m -=-为首项、0.9为公比的等比数列.………6分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得：()1103690.9n n a m m --=-⋅ ，即()13690.910n n a m m -=-⋅+ . ……………………8分 由()13690.91055n m m --⋅+≤ ，得1155360.9 5.540.9 1.541090.910.910.9n n n n nm ---⨯-⨯≤==+-⨯--恒成立（*n N ∈） …11分 解得： 5.5m ≤；又0m > ，综上，可得(]0,5.5m ∈. …………………………12分 20．（文科 本题满分13分）解：（Ⅰ）连接1AF ，因为2AF AB ⊥，211F F =，所以211F F AF =， 即c a 2=，则)0,21(2a F ，)0,23(a B -. ……………… 3分 ABC Rt ∆的外接圆圆心为)0,21(1a F -，半径a B F r ==221………4分由已知圆心到直线的距离为a ，所以a a =--2321， 解得2=a ，所以1=c ，3=b ，所求椭圆方程为13422=+y x . ………………6分 （Ⅱ）因为)0,1(2F ，设直线l 的方程为：)1(-=x k y ，),,(11y x M ),(22y x N .联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y ，消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……………… 7分则2221438k k x x +=+，22121436)2(kkx x k y y +-=-+=+， MN 的中点为)433,434(222k kk k +-+. ………………8分 当0=k 时，MN 为长轴，中点为原点，则0=m . ………………9分当0≠k 时，MN 垂直平分线方程).434(1433222kk x k k k y +--=++ 令0=y ，所以43143222+=+=kk k m 因为032>k ，所以2344k +>，可得410<<m ， …………12分 综上可得，实数m 的取值范围是).41,0[ ………………13分20．（理科 本题满分13分）解：（Ⅰ）抛物线x y 342=的准线方程为：3-=x ……………1分设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则c =依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=143132222b ab a ，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………3分 （Ⅱ）显然点)0,2(A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得(1,E F，(3,M N ，所以1EM FN ⋅=u u u u r u u u r. ………………………………5分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)E x y F x y ,显然0k = 时，不符合题意.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. …………………6分 则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.……………7分直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---， 令3x =，则1212(3,),(3,)22y yM N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--u u u u r ，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--u u u r . ………9分 所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅--u u u u r u u u r121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+-- 2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++ 22221653()(1)414k k k k +-=⋅++22216511164164k k k +==+++. …………………11分因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈u u u u r u u u r . 综上所述，EM FN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是5[1,)4. ………………………13分21．（文科 本题满分14分）解：（Ⅰ）()xf x xe '=-， ……………………………………1分 当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；………………………3分故max ()(0)0f x f ==． ………………………………………………4分 （Ⅱ）由2()(1)1xg x x e x λ=-+-，得()(2)xg x x e λ'=--．…………6分 当0λ≤时，由（Ⅰ）得2()()()0g x f x x f x λ=+≤≤成立； …………8分 当102λ<≤时，因为(0,)x ∈+∞时()0g x '<，所以0x ≥时， ()(0)0g x g ≤=成立； ……………………………………………………10分当12λ>时，因为(0,ln 2)x λ∈时()0g x '>，所以()(0)0g x g >=．…13分 综上，知λ的取值范围是1(,]2-∞． ……………………………………14分21．（理科 本题满分14分）解证：（Ⅰ）()xf x xe '=-， ……………………………………1分当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；…………………3分故max ()(0)0f x f ==． ……………………………………………………4分（Ⅱ）解法一：(1)()11x xx e g x e x xλλ--'=-=--， …………………5分 当0λ≤时，因为(0,1)x ∈时()0g x '>，所以0x >时，()(0)0g x g >=；……………………………………………………………………………6分当01λ<<时，令()(1)xh x x e λ=--，()xh x xe '=-．当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，且(0)(1)(1)()0h h λλ=--<， 故()h x 在(0,1)内存在唯一的零点0x ，使得对于0(0,)x x ∈有()0h x >， 也即()0g x '>．所以，当0(0,)x x ∈时()(0)0g x g >=； ……………8分当1λ≥时，(0,1)x ∈时(1)(1)1()()0111x x x e x e f x g x x x xλ----'=≤=<---，所以，当0x ≥时()(0)0g x g ≤=． …………………………………9分 综上，知λ的取值范围是[1,)+∞． …………………………………10分解法二： (1)()11x xx e g x e x xλλ--'=-=--， ……………………5分 令()(1)xh x x e λ=--，()xh x xe '=-．当[0,1)x ∈时，()0h x '≤，所以()h x 单调递减． …………………6分 若在[0,1)内存在使()(1)0xh x x e λ=-->的区间0(0,)x ，则()g x 在0(0,)x 上是增函数，()(0)0g x g >=，与已知不符． ………8分 故[0,1)x ∈，()0h x ≤，此时()g x 在[0,1)上是减函数，()(0)0g x g ≤=成立． 由()(1)0xh x x e λ=--≤，[0,1)x ∈恒成立，而()0h x '≤， 则需()h x 的最大值(0)0h ≤，即()0100e λ--≤，1λ≥，所以λ的取值范围是[1,)+∞． ……………………10分 （Ⅲ）在（Ⅱ）中令1λ=，得0x >时，1ln(1)xe x <--． ……………11分 将1111,,,,1232x n n n n=+++L 代入上述不等式，再将得到的n 个不等式相加，得11111232ln 2n n n nee een +++++++<+L L ． ………………………14分。
淄博市部分学校高三阶段性诊断考试数学试题答案
部分学校高三阶段性诊断考试试题
数学参考答案
一、单项选择题：DCCB
ABDC
二、多项选择题：9．BC；10．AC；11．AD；12．ACD；
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．− 3 ；14． 7 ；15． 4 3 ；16．1，[ 2π , 7π ]（本题第一空 2 分，第二空 3 分）．
所以 AMNP 是平行四边形，………2 分
所以 MN //AP ，
因为 AP 平面 ACC1A1 ，
所以直线 MN // 平面 ACC1A1 ．……4 分
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初高中数学学习资料的店
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（2）连结 CM ，由已知可得，
MB = BC = CM ，所以 MBC 为等边三角形，
3 ，得 1 ac sin B = 22
3 ，且 B = 60 ，得 ac = 2 ；………6 分 2
由③ a = 2 或 1 ，不仿取 a = 2 ，联立 ac = 2 ，得 a = 2，c =1；………8 分
c
2
c
余弦定理： b2 = a2 + c2 − ac = 4 +1− 2 = 3 ，得 b = 3 ，④成立；……10 分
…………………………………11 分
所以定圆 C 的方程是 x2 + y2 = 4 5
3
， C1 −
3,1, 22
3 ， B1 −
3,3, 22
3 ，
…………………………………6 分
所以 M
3 2
,
1 2
,
0
，
N
−
3 ,1, 2
《精编》山东省淄博市第一中学高三数学下学期3月份质量检测考试试题 理 新人教A版.doc
山东省淄博市第一中学2021届高三下学期3月份质量检测考试数学〔理〕试题第一卷〔共60分〕一、选择题：〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.设i 是虚数单位，那么复数i1i-+的虚部是〔 〕 A.i 2i 2 C.12 D.- 122.设全集U={n ∈N *| x ≤a},集合P={1，2，3}，Q={4，5，6}，那么a ∈[6，7〕是U P=Q 的〔 〕3.设两个正态分布N 〔滋１，滓12〕〔滓1＞0〕和N 〔滋2，滓22〕〔滓2＞0〕曲线如以下列图，那么有〔 〕A.滋１＜滋2，滓1＞滓2B. 滋１＜滋2，滓1＜滓2C. 滋１＞滋2，滓1＞滓2D. 滋１＞滋2，滓1＜滓24.公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，那么3253S S S S --的值为〔 〕A.2B.3C.155.设a,b 为两条直线，琢、茁为两个平面，以下四个命题中真命题是〔 〕 A.假设a,b 与琢所成角相等，那么a ∥∥琢，b ∥茁，琢∥茁，那么a ∥b 奂琢, b 奂茁，a ∥b ，那么琢∥⊥琢，b ⊥茁，琢⊥茁，那么a ⊥b6.向量a =(cos 2琢,sin 琢),b=(1,2sin 琢-1), 琢∈(π4,仔)，假设a ·b =25，那么tan(琢+π4)的值为〔 〕 A.13 B.27 C.17 D.237.在〔31x x+〕24的展开式中，x 的幂指数为整数的项共有〔 〕8.函数y=cos x-sin x 的图象可由函数y=2sin x 的图象π4个长度单位 B.向左平移3π4个长度单位 π43π4个长度单位1、F 2是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，那么|1PF |· |2PF |的值为〔 〕 A.2 B.2210.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y 〔吨标准煤〕的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy=0.7x+0.35，那么表中m 的值为〔 〕 A.4 B.3.15 C 11.程序框图如右：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入〔 〕 ≤10 B. k ≤9 C. k ＜10 D. k ＜9 12.f(x)是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x 2,如果直线y=x+a 与曲线y= f(x)恰有两个不同的交点，那么实数a 的值为〔 〕 A.2 k 〔k ∈Z k 或2 k +14〔k ∈Z 〕 k 或2 k -14〔k ∈Z 〕 第二卷〔共90分〕二、填空题〔此题共4小题，每题4分，共16分〕13.某校有200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，从女生中抽取的人数为80，那么n 等于 .14.设x 、y 满足约束条件0,,4312,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩那么2-3+1y x 的最大值是 .15.假设f(x)在R 上可导，f(x)=x 2+2 f ′(2)x+3,那么3()dx f x =⎰.22334422,33,44,33881515+=+=+=…，假设66a at t+=〔a ，t 均为正实数〕，那么类比以上等式，可推测a ，t 的值，a+t= .三、解答题〔本大题共6小题，共74分〕 17.〔本小题总分值12分〕 函数f(x)=32sin 2x-12(cos 2 x-sin 2x)-1, x ∈R ，将函数f(x)向左平移π6个单位后得函数g(x)，设△ABC 三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.(Ⅰ)假设c=7,f(C)=0,sin B=3sin A,求a 、b 的值；(Ⅱ)假设g(B)=0且m=〔cos A,cos B〕, n=(1,sin A-cos A tan B)，求m·n的取值范围.18．〔本小题总分值12分〕如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.(Ⅰ)求证：AB1⊥平面A1BD；(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的正弦值.19.〔本小题总分值12分〕数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，有S n、a n、n成等差数列.(Ⅰ)求证：数列{a n+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{21nnaa}的前n项和T n；(Ⅲ)数列{b n}满足b1=3, b n+1=姿b n + a n+1,假设{b n}为等比数列，求实数姿.20.〔本小题总分值12分〕≤1，那么销售利润为0元；假设1＜T≤3，那么销售利润为100元；假设TT≤1，1＜T≤3，T＞3这三种情况发生的概率分别为p1, p2, p3,又知p1, p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，且p2= p3.(Ⅰ)求p1, p2, p3的值；(Ⅱ)记孜表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求孜的分布列；(Ⅲ)求销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值.21.〔本小题总分值12分〕圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1:x-y-22=0相切.(Ⅰ)求圆的标准方程；(Ⅱ)设点A〔x0,y0〕为圆上任意一点，AN⊥x轴于N，假设动点Q满足OQ=m OA+n ON，〔其中m+n=1,m,n≠0,m为常数〕，试求动点Q的轨迹方程C2；(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下，当C,问是否存在与l1垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点，且∠BOD为钝角，请说明理由.22.〔本小题总分值14分〕函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x.(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的单调增区间；(Ⅱ)求函数f(x)在区间［1，e］上的最小值；(Ⅲ)设g(x)=(1-a)x,假设存在x0∈［1e，e］，使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围.淄博一中高2021级高三教学质量检测(四)数学理科一、DCAAD CCBAD AD二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在题中的横线上〕13. 192 14. 5 15. -18 16. 41三、解答题〔本大题共6小题，共74分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕17. 〔12分〕解：〔Ⅰ〕31()sin 2cos2122f x x x =--πsin(2)16x =--………………………………………〔1分〕()sin[2()]1sin(2)1666g x x x πππ=+--=+-()0f c =由 sin(2)16c π∴-=0c π<< 112666c πππ∴-<-<262c ππ∴-= 3c π∴= ………………………………………〔3分〕sin 3sin B A =由 3b a ∴=222(7)2cos3a b ab π=+-由余弦定理222793a a a ∴=+- ∴a=1 b=3………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕()0sin(2)16g B B π=+=由得0B π<< 2666B B πππ∴<+<262B ππ∴+=6B π∴=………………………………………〔8分〕11cos cos (sin cos tan )m n A B A A B --∴⋅=+-⋅cos sin cos cos sin A A B A B =+-⋅31sin cos 22A A =+=sin()6A π+………………………………………〔10分〕56A C π+=506A π∴<< 5566A πππ∴<+< 0sin()16A π∴<+≤11m n --∴⋅的取值范围为(0,1]………………………………………〔12分〕18.(12分)分析：如图建系〔Ⅰ〕1(1,2,3)AB '=- 1(1,2,3)A B '=- (2,1,0)BD '=-111430AB AB ''∴⋅=-+-= 12200AB BD ''⋅=-++= 111,AB A B AB BD ∴⊥⊥ 11AB A BD ∴⊥面…………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕11(1,2,3)ADB AB '=-面的一个法向量为 1(,,)AAD n x y z '=设面的一个法向量为100n AA n AD ⎧''⋅=⎪⎨''⋅=⎪⎩则 (,,)(0,2,0)0(,,)(1,1,3)0x y z x y z ⋅=⎧⎪∴⎨⋅--=⎪⎩2030y x y z =⎧⎪∴⎨-+-=⎪⎩ ∴令z=1 y=0 x=-3(3,0,1)n '∴=-…………………………………………………〔8分〕1336cos ,4222n AB --''∴<>==-⨯1A A D B θ--设二面角为6cos 4θ=即 610sin 1164θ∴=-= 1104A A DB --即二面角的正弦值为………………………………………〔12分〕19.(12分)解：〔Ⅰ〕依题意,2n n a S n =+1111,211n a a a ==+∴=当时 112,2(1)n n n a S n --≥=+-当时两式相减得,1122121n n n n n a a a a a ---=+∴=+1n n a d +=令 1112d a ∴=+=11112222111n n n n n n d a a n d a a ---++≥===-++时{1}2.2n a ∴+为以为首页以为公比的等比数列1222n n n d -∴=-= 21n n a =-从而……………………………〔4分〕〔Ⅱ〕122(21)12122n n n n n n a C a --===-+设 0211111(2)(2)(2)(2)2222n n T -∴=-+-+-++-02111111121()2222222n n n n --=-++++=-+〔Ⅲ〕113,12n n n n n b b b a b λλ+==++=+21232b b λλ'∴=+=+ 22322324b b λλλ=+=++{}n b 为等比 2213b b b ∴=⋅ 2291249612λλλλ∴++=++43λ∴=1423nn n b b +=+此时124,3,623b b q λ===∴=当时132n n b -∴=⋅1114432,23224223233n n n n n n n n n b b --+∴=⋅+=⋅⋅⋅+=⋅+=⋅1423n n n b b +=+满足 43λ=从而…………………………………………………………………〔12分〕20.(12分)解：〔Ⅰ〕212323121,,2515P P P P P PP x x a++==-+是该的根 12153255P P ∴+== 325P ∴= 从而12312,55P P P === …………………………………………………………〔3分〕〔Ⅱ〕0,100,200,300,400λ=111(0)5525P l ==⨯= ………………………………………………〔4分〕11214(10)555525P l ==⨯+⨯= 2212218(20)55555525P l ==⨯+⨯+⨯=22228(30)555525P l ==⨯+⨯=224(40)5525P l ==⨯= …………………………………………………………〔9分〕λ∴的分布列为…………〔10分〕〔Ⅲ〕E l =401002003004002402525252525⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………〔12分〕解：〔Ⅰ〕2= ∴圆的标准方程为x 2+y 2=4 ……………………………………………〔2分〕 〔Ⅱ〕设Q 〔x,y 〕. 那么由A 〔x 0,y 0〕知N 〔x 0,0〕 ∴(x,y)=m 〔x 0,y 0〕+n(x 0，0)000x mx ny y my =+⎧∴⎨=⎩ 0220004x xx y y y m =⎧⎪+=⎨=⎪⎩代入得又m+n=1 ∴n=1-m∴动立Q 的轨迹和为C 2：x 2+24y m=4 ……………………………………………〔5分〕〔Ⅲ〕当m=312x y C +=22时. 曲线为:43∵L 1的斜率k=1∴L 的斜率为k 1=-1 设L 的斜率为y=-x+t 代入3x 2+4y 2=12 整理得： 7 x 2-8tx+4t 2-12=0△70 ∴77(0)t t -<<≠设B 〔x 1, y 1〕, D 〔x 2, y 2〕.那么12212874127t x x t x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩………………………………………〔7分〕∵∠BOD 为钝角∴OB OD <0 ∴x 1x 2+y 1y 2<0 ……………………………………………………〔8分〕∴x 1x 2+〔- x 1+t 〕〔- x 2+t 〕<0 ∴2x 1x 2-t(x 1+x 2)+ t 2<0∴2228248077t t t --+< ∴t 2<247 ∴-24224277t <<且t ≠0 …………………………………〔12分〕满足条件的左线l,斜率为-1，在y 轴上的截距满足上述条件. 22.〔14分〕解：〔Ⅰ〕a=1时，f(x)=x 2-3x+ln x 议域〔0，+∞〕f ′(x)=2x-3+1x令f ′(x) ＞0∴2x2-3x+1＞0 (x＞0)∴0＜x＜12或x＞1∴ f (x)的单增区间为〔0，12〕，〔1，+∞〕………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕f (x)= x2-〔2a+1〕x+aln xf ′(x)=2x-〔2a+1〕+ax=22(21)x a x ax-++令f ′(x)=0 ∴x=a或x=12………………………………………………〔5分〕①当a≤12时，f(x)在〔0，a〕，〔12，+∞〕逆增∴f(x)在［1，e］≤逆增∴f(x)min=f(1)=-29 ……………………………〔6分〕②当12＜a≤1时，f(x)在［1，e］≤单增∴f(x)min=f(1)=-2 a ……………〔7分〕③当1＜a＜e时， f(x)在［1，a)，〔a，e〕∴f(x)min= f (a)=-a2-a+alna ………………………………………〔8分〕④e≤a时 f(x) ［1，e］上逆减∴f(x)min=f(e)=e2-(2a+1)e+a ……………………………………………〔5分〕综上所述：a≤1时 f(x)min=-2 a1＜a＜e时 f(x)min=-a2-a+alnaa≥e时 f(x)min=e2-(2a+1)e+a ………………………………………〔9分〕〔Ⅲ〕由题意：f(x)≥9〔x〕在［1e，e］上有解∴x2-(2a+1)x+alnx≥(1-a)x∴x2-2x+a(lnx-x)≥0在［1e，e］上有解令h(x)=lnx-x∴h ′(x)= 111xx x--= (1e≤x≤e)∴h (x)在〔1e，1〕，〔1，e〕∴h (x)min=h(1)=ln1-1=-1＜0 ∴x2-2x≥a(x-lnx)∴22ln x x a x x-≤- 在［1e ，e ］有解 ………………………………〔1分〕 设t(x)=22ln x x x x-- ∴t ′(x)=2(1)(22ln )(ln )x x x x x -+-- ∵x ∈［1e，e ］ ∴x+2＞2≥2lnx ∴x ∈(1e ，1)时t ′(x)＜0 x ∈(1，e)时t ′(x)＞0∴t(x)在(1e，1) ，〔1，e 〕 又∵t(1e )=11(2)011e e e-<+ t(e)=(2)01e e e ->- ∴t(x) min x=t(e)= (2)1e e e -- ∴a ≤(2)1e e e -- …………………………………………………………〔14分〕。
2021届山东省淄博市高三三模数学试题(解析版)
2021届山东省淄博市高三三模数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合210A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}1B x x =≤，则如图阴影部分表示的集合是（ ）A ．[)1,0-B ．[)[)1,01,2-C ．()1,2D ．()0,1【答案】C【分析】分别解不等式210x-<和1x ≤得{}02A x x =<<，{}11B x x =-≤≤，进而得阴影部分表示的集合是(){}12AA B x x ⋂=<<.【详解】解：解不等式210x -<得02x <<，故{}21002A x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭，解不等式1x ≤得11x -≤≤，故{}{}111B x x x x =≤=-≤≤ 所以AB {}01x x =<≤所以如图阴影部分表示的集合是(){}12AA B x x ⋂=<<.故选：C【点睛】本题考查分式不等式，绝对值不等式的求解，集合的韦恩图表示，考查数学结合思想，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据韦恩图得阴影部分为()AA B .2．某个国家某种病毒传播的中期，感染人数y 和时间x （单位：天）在18天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数y 和时间x 的回归方程类型的是（ ）A ．y a bx =+B ．e x y a b =+C ．ln y a b x =+D ．y a b x =+【答案】B【分析】根据散点图据曲线形状判断． 【详解】0b >，(0,)x ∈+∞，A 中y b '=是常数，B 中x y be '=是增函数，C 中by x'=是减函数，D 中2y x '=是减函数，散点图所有点所在曲线的切线的斜率随x 的增大，而增大，而四个选项中，A 斜率不变，CD 的斜率随x 的增大而减小，只有B 满足． 故选：B ．3．在正项等比数列{}n a 中，若2021a 是2019a ，2020a 两项的等差中项，则q =（ ） A ．1 B ．12C ．12-D ．1-【答案】A【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，进而得2210q q --=，解方程即可得答案.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 由题可知2021201920202a a a =+， 所以2020201820191112a qa q a q =+，即2210q q --=，解得1q =或12q =-（舍），所以1q =. 故选：A4．已知向量a 、b 满足1a b a b ==-=，则2a b +=（ ） A ．3B 3C ．7D 7【答案】D【分析】由已知条件求出a b ⋅的值，进而可求得()222a b a b +=+的值.【详解】由已知可得2222221a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅=，则12a b ⋅=， 因此，()22222447a b a ba ab b +=+=+⋅+=.故选：D.5．已知z C ∈，且1z i -=，i 为虚数单位，则1z -的最大值是（ ）A ．2B 1C 1D【答案】B【分析】利用复数模的三角不等式可求得1z -的最大值.【详解】由三角不等式可得()()1111z z i i z i i -=---≤-+-=，即1z -的1. 故选：B.6．已知锐角α、β满足3παβ-=，则11cos cos sin sin αβαβ+的最小值为（ ）A ．4B ．C ．8D ．【答案】C【分析】本题首先可根据3παβ-=得出1cos cos sin sin 2αβαβ+=，然后令cos cos x αβ=，sin sin y αβ=，则12x y +=，最后通过基本不等式即可求出11cos cos sin sin αβαβ+的最小值.【详解】因为3παβ-=，所以()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ-=+=， 令cos cos x αβ=，sin sin y αβ=，则12x y +=，因为α、β是锐角，所以0x >，0y >，则()1111112cos cos sin sin x y x y x y αβαβ⎛⎫+=+=⨯+⨯+ ⎪⎝⎭22224428y x y xx yx y，当且仅当x y =，即512πα=、12πβ=时等号成立，故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．算盘是一种手动操作计算辅助工具．它起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类．现有一种算盘（如图一），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1（例如图二中算盘表示整数51）．如果拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）A ．16B ．15C ．12D ．10【答案】C【分析】根据题意，分别列出十位拨动0枚，个位拨动3枚、十位拨动1枚，个位拨动2枚、十位拨动2枚，个位拨动1枚、十位拨动3枚，个位拨动0枚，4种情况下结果，即可得答案.【详解】由题意，拨动三枚算珠，有四种拨法： ①十位拨动0枚，个位拨动3枚，有2种结果：7和3；②十位拨动1枚，个位拨动2枚，有4种结果：12，16，52，56； ③十位拨动2枚，个位拨动1枚，有4种结果：21，25，61，65， ④十位拨动3枚，个位拨动0枚，有2种结果：30，70，综上，拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为12.故选：C8．设双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P （异于顶点）在双曲线C的右支上，则下列说法正确的是（ ） A ．12PF F △可能是正三角形 B ．P 到两渐近线的距离之积是定值 C ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为8D ．在12PF F △中，122112sin 5sin sin 4F PF PF F PF F ∠=∠-∠ 【答案】B【分析】A 选项，利用双曲线的定义，由1222PF PF a PF =+>判断；B 选项，设点()00,P x y ，双曲线C 的渐近线为430x y ±=，直接计算P 到两渐近线的距离之积判断；C 选项，由12PF PF ⊥，利用勾股定理结合双曲线定义，求得12,PF PF 判断；D 选项，设点()00,P x y ，利用三角函数的定义和12121201211sin 22PF F SPF PF F PF y F F =⋅⋅∠=⋅，分别求得211212sin ,sin sin ,PF F PF F F PF ∠∠∠判断.【详解】在双曲线C 中，可知3,4,5a b c ===，A 选项，由双曲线的定义可知，122122,PF PF a PF PF F =+>不可能是正三角形，故A 错误；B 选项，设点()00,P x y ，则22001916x y -=，即2200169144x y -=，双曲线C 的渐近线为430x y ±=，P到两渐近线的距离之积为22001691442525x y -==是定值，故B 正确； C 选项，由12PF PF ⊥，可得2221212PF PF F F +=，即()222222(2)PF a PF c ++=，解得23PF =，则13PF =，故12121162F PF SPF PF =⋅=，故C 错误； D 选项，设点()00,P x y ，则00122112sin ,sin y y PF F PF F PF PF ∠=∠=，在12PF F △中，12121201211sin 22PF F SPF PF F PF y F F =⋅⋅∠=⋅，故0121212sin y F F F PF PF PF ⋅∠=⋅，则01212121221121221sin 25sin sin 23y F F F PF F F c PF PF y y PF F PF F PF PF a PF PF ⋅∠⋅====∠-∠--，故D 不正确．故选：B二、多选题9．已知正四棱台的上底面边长为1，侧棱长为2，高为2，则（ ） A ．棱台的侧面积为83 B ．棱台的体积为132C ．棱台的侧棱与底面所成的角4π D ．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为33【答案】AC【分析】对于A ．在等腰梯形11ABB A 中解出其面积即可得出棱台的侧面积；对于B ．在等腰梯形11ACC A 中解出其高即为棱台的高，将其代入()13V h S S S S ''=+⋅+即可得出答案；对于C ．棱台的侧棱与底面所成角为1A AM ∠，在1Rt AA M 解出即可；对于D ．侧面与底面所成锐二面角的平面角为角1A HM ∠，在1Rt A HM 解出即可． 【详解】作正四棱台如图所示：对于A ，过1A 作1A H AB ⊥于H ，过1A 作1A M AC ⊥于M ，所以1A M ⊥平面ABCD ，AH MH ⊥AM ==AH MH =1AH ==，所以1A H ==213AB AH =+=所以棱台的侧面积为()1342+⨯=所以A 正确；对于B ， 上底面面积2=1=1S '，下底面面积239S ==，棱台的体积为()111333V h S S '=+==≠B 错误； 对于C ，因为AM 为1AA 在底面的投影，所以1A AM ∠为侧棱与底面所成角.11cos 2AM A AM A A ∠==，则14A AM π∠=，所以C 正确；对于D ，1A HM ∠为侧面与底面所成锐二面角的平面角，11cos 3HM A HM A H ∠===，所以D 错误． 故选：AC【点睛】关键点点睛：熟练掌握正四棱台的体积公式()13V h S S '=、侧面积、线面角与面面角的定义是解本题的关键点． 10．下列说法正确的是（ ）A ．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比为6:5:4，则应从高二年级中抽取20名学生B ．线性回归方程ˆˆˆybx a =+对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 C ．命题“0x ∀>，()2lg 10x +≥”的否定是“0x ∃>，()2lg 10x +<"D ．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小 【答案】ACD【分析】根据分层抽样计算公式即可判断A ；根据线性回归方程定义即可判断B ；根据全称命题的否定原理即可判断C ；根据方差定义即可判断D ． 【详解】对于A ，高二年级中抽取为56020654⨯=++，正确；对于B ，线性回归方程ˆˆˆy bx a =+对应的直线不一定经过其样本数据点中的点，故错误；对于C ，否定是“0x ∃>，()2lg 10x +<"正确；对于D ，方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小，正确． 故选：ACD11．已知圆221:230O x y x +--=和圆222:210O x y y +--=的交点为A ，B ，则（ ）A ．圆1O 和圆2O 有两条公切线B ．直线AB 的方程为10x y -+=C ．圆2O 上存在两点P 和Q 使得||||PQ AB >D ．圆1O 上的点到直线AB 的最大距离为2+ 【答案】ABD【分析】A ：判断两圆相交可得切线条数；B ：两圆相交，做差可得公共弦方程；C ：判断弦AB 经过圆心，则弦为最长弦，不再存在比AB 更长的弦；D ：求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB 的最大距离.【详解】解：对于A ，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；对于B ，将两圆方程作差可得2220x y -+-=，即得公共弦AB 的方程为10x y -+=，故B 正确；对于C ，直线AB 经过圆2O 的圆心(0,1)，所以线段AB 是圆2O 的直径，故圆2O 中不存在比AB 长的弦，故C 错误；对于D ，圆1O 的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线:10AB x y -+=的距离为=1O 上的点到直线AB 的最大距离为2+，D 正确. 故选：ABD.12．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo ．设计师的灵感来源于曲线:1nnC x y +=．则下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 关于原点成中心对称B ．当2n =-时，曲线C 上的点到原点的距离的最小值为2C ．当0n >时，曲线C 所围成图形的面积的最小值为πD ．当0n >时，曲线C 所围成图形的面积小于4 【答案】ABD【分析】根据曲线与方程的关系，利用方程研究曲线的性质，逐项分析即可求解. 【详解】因为用(,)x y --代替(,)x y 仍有1n nx y +=成立，故曲线关于原点成中心对称，A 正确；当2n =-时，曲线22:1C xy--+=，即22111x y +=，设(,)P x y 为曲线上任意一点，222222222211()()224y x x y x y x y x y ∴+=++=++≥+=，当且仅当x y =±时等号成立，min 2∴=，即曲线C 上的点到原点的距离的最小值为2，B 正确；当1n =时，:1C x y +=，曲线关于,x y 轴对称，关于原点对称， 当0,0x y ≥≥时，可得1x y +=，与坐标轴围成三角形面积为111122S =⨯⨯=，由对称性知曲线C 所围成图形的面积为42S π=<，故C 错误；当0n >时，曲线C 关于,x y 轴对称，关于原点对称，当0,0x y ≥≥时，1nnx y +=，所以01,01x y ≤≤≤≤，故在第一象限部分的面积111S <⨯=,所以曲线C 所围成图形的面积为44S <，故D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据曲线的方程可知曲线的对称性，利用对称性可研究曲线在第一象限的情形，即可得到曲线所围成图形面积问题，属于中档题.三、填空题13．请写出一个函数()f x =___________，使之同时具有如下性质：①x ∀∈R ，()(4)f x f x =-，②x ∀∈R ，(4)()f x f x +=.【答案】cos2x π【分析】根据①②可知函数是周期函数且关于2x =对称，即可求解. 【详解】性质①②分别表示()f x 关于直线2x =对称和以4为周期，答案不唯一，写出一个即可， 例如()cos2f x x π=，故答案为：()cos2f x x π=14．已知椭圆C 的左､右焦点分别为12,F F ，直线AB 过1F 与椭圆交于A ，B 两点，当2F AB 为正三角形时，该椭圆的离心率为___________.【答案】33【分析】根据椭圆的定义及2F AB 可知11AF BF =，由椭圆对称性知AB 垂直于x 轴，即可求解.【详解】不妨设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据椭圆定义，122AF a AF =-，122BF a BF =-，2F AB 为正三角形，22AF BF =，所以11AF BF =，即1F 为线段AB 的中点，根据椭圆的对称性知AB垂直于x 轴.设122F F c =，则1232tan 303c AF c =︒=，2243cos303c cAF ==︒. 因为122AF AF a +=，即232c a =， 所以33c e a ==. 15．已知函数()()4cos xx f ex ωϕ+=（0>ω，0ϕπ<<）的部分图像如图所示，则ωϕ+=______．【答案】32π；【分析】由奇偶性确定ϕ，再由函数零点得三角函数周期，从而求得ω． 【详解】由图象知函数为奇函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，所以2ϕπ=． 4cos()4sin 2()x xx x f x e eπωω+==-， 又由图象知函数sin y x ω=的零点是x k =，k Z ∈，因此周期为2T =，22πωπ==．所以32πϕω+=． 故答案为：32π． 【点睛】思路点睛：本题考查由函数图象确定函数式中参数值，解题可以从图象确定函数的性质：定义域，单调性，奇偶性，函数的零点，最值点，特殊值点等一步步判断求解． 16．如图，在33⨯的点阵中，依次随机地选出A 、B 、C 三个点，则选出的三点满足0AB AC ⋅<的概率是______．【答案】863【分析】先将9个点标号，对点A 的位置进行分类讨论，结合古典概型的概率公式可求得结果.【详解】由题意可知A 、B 、C 三个点是有序的，讨论点A 为主元， 对点A 分三种情况讨论，如下图所示： （1）第一类A 为5号点.①若180BAC ∠=，三点共线有4条直线，此时有2248A =种；②若135BAC ∠=，如点B 在1号位，则点C 在6号位或8号位，即确定第二号点有4种方法，确定第三号点有2种方法，此时有224216A ⨯=种；（2）第二类A 为1、3、7、9号点，此时，不存在这样的点；（3）第三类A 为2、4、6、8号点，以2号点为例，有三种情况如下图所示：故有()22122440A ++⨯=种.综上所述，满足0AB AC ⋅<共有8164064++=种. 因此，所求概率为3964863P A ==. 故答案为：863. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下： （1）列举法； （2）列表法； （3）数状图法； （4）排列组合数的应用.四、解答题17．ABC 的内角A 、B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，3cos sin 364B B ππ⎛⎫⎛⎫-⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2a c +=．（1）求角B 的大小；（2）求ABC 外接圆面积的最小值． 【答案】（1）6B π=或2B π=；（2）(23π或2π. 【分析】（1）利用诱导公式结合二倍角的降幂公式可求得1cos 232B π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）求得224sin b S Bπ=，利用余弦定理结合基本不等式求出b 的最小值，进而可求得结果.【详解】（1）因为362B B πππ-++=，则cos cos sin 3266B B B ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以23cos sin sin 3664B B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即131cos 2243B π⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故1cos 232B π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，则72333B πππ<+<， 所以，2233B ππ+=或4233B ππ+=，解得6B π=或2B π=； （2）设ABC 外接圆半径为R ，由正弦定理2sin bR B=可得2sin b R B =，所以ABC 外接圆面积2224sin b S R Bππ==.①当6B π=时，由余弦定理可得：()((22222cos2426b ac ac a c ac ac π=+-=+-+=-因为22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以(224222a c b +⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭ 因此ABC外接圆面积的最小值((min 2224sin6S πππ==-．②当2B π=时，由勾股定理可得()222222a cb ac +=+≥=，因此ABC 外接圆面积的最小值min 2224sin 2S πππ==．综上所述，ABC外接圆面积的最小值为(2π或2π. 【点睛】方法点睛：求三角形面积的最值是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.18．在图1所示的平面图形ABCD 中，ABD △是边长为4的等边三角形，BD 是ADC ∠的平分线，且BD BC ⊥，M 为AD 的中点，以BM 为折痕将ABM 折起得到四棱锥A BCDM -（如图2）．（1）设平面ABC 和ADM 的交线为l ，在四棱雉A BCDM -的棱AC 上求一点N ，使直线//BN l ；（2）若二面角A BM D --的大小为60︒，求平面ABD 和ACD 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）N 为棱AC 的中点；（2）35． 【分析】（1）延长CB ，DM ，其交点为E ，则直线AE 为平面ABC 与AMD 的交线l ，依题可知B 为EC 的中点，当取AC 中点N 时，利用三角形中位线即可证明//BN l ； （2）取MD 的中点O 为坐标原点，建立坐标系，分别求出平面ABD 和ACD 的一个法向量，结合向量夹角公式即可求出二面角的余弦值．【详解】解：（1）延长CB ，DM ，其交点为E ，如图所示，因为点A ，E 既在平面ABC 内，又在平面AMD 内， 所以直线AE 为平面ABC 与AMD 的交线l ，因为BD 为是ADC ∠的平分线，且BD BC ⊥，所以B 为EC 的中点， 取AC 中点N ，连接BN ，则BN 为AEC ∆的中位线， 所以直线//BN AE ，即BN l //， 故N 为棱AC 的中点．（2）因为BM AM ⊥，BM MD ⊥，所以60AMD ∠=︒， 又因为AM MD =，所以AMD 为等边三角形，取MD 的中点O 为坐标原点，以OM 所在直线为x 轴，在平面BCDM 内过点O 且和MD 垂直的直线为y 轴，以OA 所在直线为z 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，所以：()1,0,0D -，(003A ,,，()5,43,0C -，()1,23,0B 所以(3DA =，()4,43,0DC =-，()2,23,0DB =，设平面ACD 的法向量为(),,m x y z =，则00m DA m DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即304430x z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令3z =3x =，3y = 所以(3,3,3m =-，设平面ABD 的法向量为(),,n a b c =，则00n DA n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30230a c ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令3c =-3a =，3b = 所以(3,3,3n =--，设平面ABD 和ACD 所成锐二面角的大小为θ，所以()()()()()()()2222223333333cos 5333333θ⨯+⨯-+-⨯-==++-⋅+-+-， 所以平面ABD 和ACD 所成锐二面角的余弦值为35． 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面,αβ 的法向量，则二面角θ 与,m n 互补或相等，求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p ，假设每道题答对与否互不影响. （1）当15p =时， （i ）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；（ii ）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ；（2）乙答对每道题的概率为23(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于1536，求甲的亲友团每道题答对的概率p 的最小值.【答案】（1）（i ）56；（ii ）分布列答案见解析，数学期望：125；（2）最小值为23.【分析】（1）（i ）记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲确实会做”，分别求得(),()P A P AB 的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解；（ii ）求得甲答对某道题的概率为3()5P A =，得到3~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，结合独立重复试验的概率计算公式和二项分布的期望公式，即可求解；（2）记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”，求得()()()012,,P A P A B P ， 根据甲答对题数比乙多的概率列出不等式，即可求解.【详解】（1）（i ）记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲确实会做”，则1111(),()2252P A P AB =+⨯=，所以1()52()111()6225P AB P BA P A ===+⋅∣. （ii ）随机变量X 可取01234、、、、，甲答对某道题的概率为1113()2255P A =+⋅=，则3~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4432()(0,1,2,3,4)55k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则随机变量X 的分布列为则312()455E X =⨯=. （2）记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”，其中甲答对某道题的概率为111(1)222p p +=+， 答错某道题的概率为111(1)(1)22p p -+=-则()()1212111(1)(1)1222P A C p p p =⋅+⋅-=-，()22211(1)(1)24P A p p ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦， ()201139P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()112214339P B C =⋅⋅=，所以甲答对题数比乙多的概率为()()()()102120102120P A B A B A B P A B P A B P A B ⋃⋃=++()()22221114111151(1)(1)31072949493636p p p p p =-⋅++⋅++⋅=⋅++≥ 解得213p ≤<，即甲的亲友团助力的概率P 的最小值为23.【点睛】方法点拨：记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”， 分别求得()1P A ，()()20,P A P B ，根据独立事件的概率计算公式，根据甲答对题数比乙多的概率，列出不等式是解答的关键. 20．已知函数()()sin 0xf x x x=>． （1）判断函数()f x 在()0,π上的单调性；（2）证明函数()f x 在(),2ππ内存在唯一的极值点0x ，且()023f x π<-． 【答案】（1）函数()f x 在()0,π上的单调递减；（2）证明见解析． 【分析】（1）求导得()()2cos sin 0x x xf x x x-'=>，再令()cos sin g x x x x =-求导得在区间()0,π上， ()g x 单调递减且()00g =，故在区间()0,π上，()0f x <′，进而得答案；（2）结合（1）易得在区间(),2ππ上()g x 单调递增，再结合函数值的分布得()0,2x ππ∈，使得()00f x '=，且0x 为函数()f x 在(),2ππ上的唯一极小值，再结合43f π⎛⎫=⎪⎝⎭3223f ππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭即可证明.【详解】解：（1）由于()()sin 0xf x x x=>， 得()()2cos sin 0x x xf x x x-'=>， 设()cos sin g x x x x =-，其导函数()sin g x x x '=-， 在区间()0,π上，()0g x '<，()g x 单调递减，且()00g =， 所以在区间()0,π上，()0g x <， 所以在区间()0,π上，()0f x <′， 所以函数()f x 在()0,π上的单调递减．（2）由第（1）问，在区间(),2ππ上，()0g x '>，()g x 单调递增， 且()0g ππ=-<，()220g ππ=>，所以存在唯一的()0,2x ππ∈，使得()00f x '=， 在区间()0,x π上，()0f x <′，()f x 单调递减， 在区间()0,2x π上，()0f x >′，()f x 单调递增， 所以0x 为函数()f x 在(),2ππ上的唯一极小值，其中2242301639f πππ-⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，2231409294f πππ⎛⎫'==> ⎪⎝⎭， 所以043,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且43f π⎛⎫=⎪⎝⎭3223f ππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由于4332f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()023f x π<-． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，函数的极值点问题，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于适当的应用特殊点的函数值，结合零点的存在性定理求解.21．若存在常数m ∈R ，使得对于任意*n ∈N ，都有1n n a ma +≥，则称数列{}n a 为()Z m 数列.（1）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，若n S 为()1Z 数列，求1a 的取值范围；（2）已知数列{}n b 的各项均为正数，记{}n b 的前n 项和为n R ，数列{}2n b 的前n 项和为n T ，且234n nn T R R =+，*n ∈N ，若数列{}n c 满足1n n nc b b =+，且{}n c 为()Z m 数列，求m 的最大值；（3）已知正项数列{}n d 满足：()*1n n d d n +≤∈N，且数列{}2121k k dd-+为()Z r 数列，数列2221k k d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为()Z s 数列，若21d rs d =，求证：数列{}n d 中必存在无穷多项可以组成等比数列.【答案】（1）[)2,-+∞；（2）max 1710m =；（3）证明见解析. 【分析】（1）由已知可得出1n n S S +≥，可推导出12a n ≥-对任意的n *∈N 恒成立，由此可求得1a 的取值范围；（2）利用n b 与n R 、n b 与n T 之间的关系求得2nn b =，利用参变量分离法得出11122122n n nnm +++≤+，求得数列11122122n n n n ++⎧⎫+⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭的最小项的值，进而可求得实数m 的最大值； （3）根据题中已知条件推导出2123k k rd d -+≤，242k k sd d +≤，结合21d rs d =可推导出56b b =，进一步推导可得出1rs =，910d d =，依次类推得出41424+1434242=k k k k k k d d d rd drd ++-+-=⎧⎪⎨⎪=⎩，由此可证得结论成立.【详解】（1）由题意可得1n n S S +≥，即1120n a a n +=+≥，12a n ∴≥-对任意的n *∈N 恒成立， 所以，12a ≥-；（2）当1n =时，由题意可得211134T R R =+，即2211134b b b =+，可得21120b b -=，10b >，解得12b =；当2n =时，222234T R R =+，可得()()()2222234242b b b +=+++，可得22240b b -=，20b >，解得24b =；当2n ≥时，由234n nn T R R =+可得211134n n n T R R ---=+， 上述两式作差得()()()22211113444n n n n n n n n n n n n n b R R b R R R R b b R R b ----=-+=-++=++，所以，134n n n b R R -=++，可得1134n n n b R R ++=++， 上述两式相减得1133n n n n b b b b ++-=+，可得12n nb b +=且212bb =，所以，数列{}n b 是首项为2，公比也为2的等比数列，所以，2nn b =， 则1122n n n n n c b b =+=+， 由1n n c mc +≥，可得11112222n n n n m ++⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，所以，11122122n n n n m +++≤+， 而()12122121212131222232133172221222222221022n n n n n n n nn+++++++++-+===-≥-=+++++，1710m ∴≤， 因此，实数m 的最大值为1710； （3）因为数列{}2121k k d d -+为()Z r 数列，则21212123k k k k rd d d d -+++≤，可得2123k k rd d -+≤，另一方面，数列2221k k d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为()Z s 数列，则22222241k k k k s d d d d +++≤，可得242k k sd d +≤， 21d rs d =，且15rd d ≤，56d d ≤，6215sd d d rs sd ≤=≤， 可得56d d =且中间每个等号都需取等，即6215sd d d rs sd ===，第 21 页 共 21 页 21d rs d =，12d d ≤，1rs ∴≥， 又59rd d ≤，106sd d ≤，1056910rsd rd rd d d ∴≤=≤≤，可得1rs ≤，1rs ∴=， 所以，1056910d rd rd d d ≤=≤≤，则910d d =且中间每个等号都需取等.以此类推，可得出41424+1434242k k k k k k d d d rd d rd ++-+-=⎧⎪=⎨⎪=⎩.因此，数列{}n d 中必存在无穷多项可以组成等比数列.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的新定义问题，出列此类问题时，通常根据题中的新定义，结合已知结论进行推导.本题中，要结合“()Z m 数列”的定义得出不等关系，结合参变量分离法转化为不等式恒成立问题，在证明数列的有关结论时，要充分利用已知的结论进行推理论证，属于难题.。
山东省淄博市部分学校2021届高三5月阶段性检测(三模)数学(理)试题
【分析】
设等差数列 的公差为 ，由 ， ，可得 ， ，联立解得 ， ，可得 ．利用裂项求和方法即可得出．
【详解】
设等差数列 的公差为 ， ， ，
， ，
联立解得： ，
．
．
则数列 的前2019项和 ．
故选 ．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．
D．函数 图象的对称轴方程为
5．调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
16．已知函数 且 在 上单调递增，且关于 的方程 恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是___________．
三、解答题
17．在 中,角 所对的边分别为 ,满足 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的取值范围
18．已知正方形的边长为 分别为 的中点，以 为棱将正方形 折成如图所示的 的二面角，点 在线段 上．
A．(-2,-1］B．(-1,4］C．[-2,4)D．[0,4]
9．已知定义在 上的函数 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
10．数列 是各项均为正数的等比数列，数列 是等差数列，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，已知等腰梯形 中， ， ， 是 的中点， 是线段 上的动点，则 的最小值是（ ）
D．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多
2021年山东省淄博市实验中学高三数学理联考试卷含解析
2021年山东省淄博市实验中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数是R上的偶函数，且在（-∞，上是减函数，若，则实数a的取值范围是A．b≤2 B．b≤-2或b≥2 C．b≥-2 D．-2≤b≤2参考答案：B略2. 已知均为单位向量，且它们的夹角为，那么（）A.1B.C.D.参考答案：【知识点】向量的数量积F3A因为，所以选A.【思路点拨】一般遇到求向量的模时，通常利用向量模的性质：向量的平方等于其模的平方进行解答.3. 如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】简单空间图形的三视图．【分析】通过简单几何体的三视图的画法法则，直接判断四个选项的正误，即可推出结论．【解答】解：侧视图中，看到一个矩形且不能有实对角线，故A、D排除，而正视图中，应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示．故选B4. 已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是( ) A．（0，12） B．（4，16） C．（9，21） D．（15，25）参考答案：A考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范围．解答：解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范围是（0，12）．故选：A．点评：本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．5. 已知函数，若方程有两个实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B略6. 函数的大致图象是参考答案：C7. 在中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,则等于A、 B、 C、 D、参考答案：【知识点】正弦定理，解三角形.C8【答案解析】B 解析：解：根据正弦定理可得【思路点拨】根据正弦定理可求出角B的正弦值，再根据边的关系可求出角的大小.8. 函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．参考答案：A略9. 已知集合集合则( ).A. B. C. D.参考答案：D略10. 已知复数满足，那么复数的虚部为（）A．2 B．－2 C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．参考答案：【考点】循环结构．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…++的值，由裂项法即可求值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…++的值．由于S=+++…++=1﹣+++…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了裂项法求数列的和，属于基础题．12. 已知点A（1，﹣2），B（5，6），直线l经过AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是．参考答案：2x﹣3y=0，或 x+y﹣5=0【考点】直线的截距式方程．【专题】直线与圆．【分析】求出中点坐标，当直线过原点时，求出直线方程，当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把中点坐标代入直线的方程可得k值，即得所求的直线方程．【解答】解：点A（1，﹣2），B（5，6）的中点坐标公式（3，2），当直线过原点时，方程为 y=x，即 2x﹣3y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把中点（3，2）代入直线的方程可得 k=5，故直线方程是 x+y﹣5=0．综上，所求的直线方程为 2x﹣3y=0，或 x+y﹣5=0，故答案为：2x﹣3y=0，或 x+y﹣5=0．【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点．13. 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如下图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2012次互换座位后，小兔的座位对应的是（）A．编号1 B．编号2 C．编号3 D．编号4参考答案：C14. 圆柱的内切球与圆柱的上下底面和周壁都相切．若圆柱内切球的体积为，则圆柱的表面积为.参考答案：15. 已知数列对任意的有，若,则.参考答案：4036令m=1,则可知∴为等差数列，首项和公差均为2。
山东省淄博市2021-2022学年高三12月教学质量摸底检测数学试题及答案
高三数学试题参考答案 第1页（共7页）高三教学质量摸底检测数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D ；2．B ；3．A ；4．D ；5．D ；6．C ；7．B ；8．C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．AC ；10．AB ；11．BD ；12．ABD ；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．60；14．2；15．16．02a ≤<．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）解：（1）根据正弦定理，由sin sin a A b C =可得2=4a bc = …2分 因此ABC ∆的面积11=sin =4222S bc A ⋅⋅ …………………4分（2）法一：因为点D 为边BC 的中点，所以1BD CD ==根据余弦定理22415cos 2214c c ADB +−−∠==⋅⋅， …………………5分同理22415cos 2214b b ADC +−−∠==⋅⋅， …………………6分因为ADB ADC π∠=−∠，所以225544b c −−=−，可得2210b c +=， ……………………8分由2210=4b c bc ⎧+=⎨⎩可得()222218b bc c b c ++=+=解得b c += ………………………9分 所以ABC ∆的周长2L =……………………10分法二：因为点D 为边BC 的中点，所以1BD CD ==高三数学试题参考答案 第2页（共7页）在ABC ∆中，222244cos 224b c b c ACB b b +−+−∠==⋅⋅， ……………………5分 在ACD ∆中，22143cos 212b b ACD b b+−−∠==⋅⋅， ……………………6分 因为ACB ACD ∠=∠，所以2224342b c b b b +−−=，整理得2210b c +=， ……………………8分 由2210=4b c bc ⎧+=⎨⎩，可得()222218b bc c b c ++=+= 解得b c += ………………………9分 所以ABC ∆的周长2L = ……………………10分 18．（12分）解：（1）根据男生参加足球训练时间的频率分布直方图可得：(0.03020.0150.010.005)101a ，所以0.02a， ………………………………………2分设样本数据的80%分位数为x ，则由百分位数的概念可知，0.050.150.200.300.02(70)0.8x ，解得：75x. ………………………………………4分（2）由频率分布直方图可知，样本中爱好足球的男生人数为：(0.30.20.1)10060（人）所以爱好足球的女生人数为：1066046（人）……………………………6分可得22列联表如下：零假设为0:H 爱好足球与性别无关，由公式可得：高三数学试题参考答案 第3页（共7页）220.05200(60544640) 3.9343106940.84100011x χ⨯⨯−⨯=⨯⨯=≈> …………………10分根据小概率值0.05的独立性检验，我们推断0H 不成立，即爱好足球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. ………………………………………12分19．（12分）解：（1）因为211,01()(1),1x f x x x x ⎧−<<⎪=⎨⎪−⎩，所以()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数， 由0a b <<且()()f a f b =，可得01a b <<<且211(1)b a−=−， …………2分 故22211111b aaa+−=+−()()(). ……………………3分 令1u a=，则1u >，函数21y u u =+−在(1,)u ∈+∞上单调递增，所以1y >， 即2211b a+−()()的取值范围是(1,)+∞. ………………5分 （2）存在满足条件的实数,a b ，理由如下： 假设存在满足条件的实数,a b ，且0a b <<. ①当,(0,1)a b ∈时，1()1f x x=−在(0,1)上单调递减， 则由()1()1f a b f b a =−⎧⎨=−⎩，即111111b aa b⎧−=−⎪⎪⎨⎪−=−⎪⎩， ……………6分解得1ab =，因为,(0,1)a b ∈，故此时不存在符合条件的实数,a b . …………7分 ②当,[1,)a b ∈+∞时，2(1))(f x x =−在[1,)+∞上单调递增.高三数学试题参考答案 第4页（共7页）则由()1()1f a a f b b =−⎧⎨=−⎩，即22(1)1(1)1a a b b ⎧−=−⎨−=−⎩， ……………………8分 所以,a b 是方程2320x x −+=得1x =或2x =， 所以，此时存在符合条件的实数1,2a b ==.…………9分③当(0,1)∈a ，[1,)b ∈+∞时，由于10a −<，而()01f x a ≥>−，故此时不存在符合条件的实数,a b . ……………………………………11分 综上所述，存在符合条件的实数1,2a b ==． ………………12分 20．（12分）解：（1）由题设知X 的可能取值为0,1,2,3 所以()4311011154240P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==−−−=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；………………………………1分 ()431431431111111115425425425P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯−⨯−+−⨯⨯−+−⨯−⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………2分()43143143119211154254254240P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯−+⨯−⨯+−⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ………………………………3分()4313354210P X ==⨯⨯=， ………………………………4分 所以随机变量X 的分布列为：数学期望11193410123 2.05405401020EX =⨯+⨯+⨯+⨯== ……………5分高三数学试题参考答案 第5页（共7页）而4~33,Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以393 2.2544EY =⨯==， ……………………6分 所以EX EY <，小李的得分能力更强一些． ……………………………7分 （2）设“4X Y +=”为事件A ，“X Y >”为事件B ， 因为()213339114464P Y C ⎛⎫==−= ⎪⎝⎭； ………………………………8分()2233327214464P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ………………………………9分 ()30333327314464P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………………………………10分 ()()()()()()()132231P A P X P Y P X P Y P X P Y ==⋅=+=⋅=+=⋅= 1271927399938375644064106464402560=⨯+⨯+⨯=⨯=， ()()()3927311064640P AB P X P Y ==⋅==⨯=，…………………………11分 所以()()()4|31P AB P B A P A ==，所以在4X Y +=的条件下，X Y >的概率是431．…………………………12分 21．（12分）解证：（1）由+1132(2,)n n n a a a n n *−=+≥∈N可得+1133(2,)n n n n a a a a n n *−−=−≥∈N 即()111(2,)3n n n n a a a a n n *+−−=−−≥∈N ， …………………2分 因此{}1n n a a +−是以213a a λ−=−为首项，13−为公比的等比数列……………4分（2）（i ）因为1111333n nn n a a λλ−+⎛⎫⎛⎫−=−⋅−=⋅− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…………………5分高三数学试题参考答案 第6页（共7页）所以由()11n n n n b b a a λ++−=−可得2113nn n b b λ+⎛⎫−=⋅− ⎪⎝⎭…………………6分 因此111221()()+n n n n n b b b b b b b b −−−−=−+−+−……（）12222111333n n λλλ−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅−+⋅−++⋅− ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222111331143413n n λλλλ⎡⎤⎛⎫⋅−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅−=−−− ⎪⎛⎫⎝⎭−− ⎪⎝⎭即2231434nn b λλλ⎛⎫=−−+− ⎪⎝⎭． …………………8分（ii ）当n 为奇数时，2231434nn b λλλ⎛⎫=+−⎪⎝⎭单调递减，得24n b λλλ−<≤； ……………………………………9分当n 为偶数时，2231434nn b λλλ⎛⎫=−+−⎪⎝⎭单调递增，得2234n b λλλλ−≤<−； …………………………………………10分因为0λ≠，所以2234λλλλλ−<−<，因此{}n b 的最大值为1b λ=，最小值为223b λλ=−， …………………11分因为对任意正整数(),i j i j ≠，1i j b b −<都成立，所以121b b −<，即213λ<解得()()0,3λ∈． …………………12分22．（12分）解：（1）()2(1ln )af x x x'=−． ……………………2分 ①若0a >．当(0,)x e ∈时，有()0f x '>，()f x 在(0,)e单调递增；当(,)x e ∈+∞高三数学试题参考答案 第7页（共7页）时，有()0f x '<，()f x 在(,)e +∞单调递减． ……………………3分 ②若0a <．当(0,)x e ∈时，有()0f x '<，()f x 在(0,)e 单调递减；当(,)x e ∈+∞时，有()0f x '>，()f x 在(,)e +∞单调递增． ……………4分 （2）()221212112()ln 1(ln )a g x f x x a x x x ex x x ex x x e =−+=−−+=−−+ 令()12ln h x a x x x e=−−+，于是()0g x ≤在(0,)+∞上恒成立等价于()0h x ≤在(0,)+∞上恒成立． …………………………………………5分()221x ax h x x−−'=−，记2()1q x x ax =−−，由240a ∆=+>，知()q x 必有两个零点，且两个零点之积是1−，则两个零点一正一负，设其正零点为0(0,)x ∈+∞，则20010x ax −−=，即001a x x =−． …………………………………6分 由(0)1q =−，知0(0,)x x ∈时，()0q x <即()0h x '>， ()h x 在0(0,)x 上单调递增；0(,)x x ∈+∞时，()0q x >即()0h x '<，()h x 在0(,)x +∞上单调递减，故原问题等价于()max 0()0h x h x =≤， 即00000112()ln 0x x x x x e−−−+≤． ……………………8分 记000000112()()ln p x x x x x x e =−−−+，则00201()(1)ln p x x x '=+．当0(0,1)x ∈时0()0p x '<，0()p x 单调递减；当0(1,)x ∈+∞时0()0p x '>，0()p x 单调递增，且1()()0p e p e −==，故当10[,]x e e −∈时0()0p x ≤． ………………………10分又001a x x =−是关于0x 递增的函数，所以亦即当11[,]a e e e e −−∈−−时，00()()0h x p x =≤． ……………………………11分结合已知0a ≠，可得实数a 的取值范围为11[,0)(0,]e e e e −−−−． ………12分。
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5．C
【分析】
先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.
ห้องสมุดไป่ตู้【详解】
由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积 .故选C
【点睛】
本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.
6．B
【分析】
化简 ，再利用余弦定理即可求出 的值，代入三角形面积公式即可．
【详解】
， ，
又 ，由余弦定理可得：
，解得： ，
由三角形面积公式可得
故答案选B．
【点睛】
本题考查余弦定理、三角形的面积公式，考查学生化简、变形的能力，属于中档题．
7．B
【分析】
由题意可得每天所走的步数构成公比为 的等比数列，利用等比数列前 项和公式列方程求出首项，进而可得第三天的步数.
某校 级学生共 人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级 的学生原始成绩统计如下
成绩
93
91
90
88
87
86
85
84
83
82
人数
1
1
4
2
4
3
3
3
2
7
（1）从物理成绩获得等级 的学生中任取 名，求恰好有 名同学的等级分数不小于 的概率;
（2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到 名同学的物理高考成绩等级为 或 结束(最多抽取 人)，设抽取的学生个数为 ，求随机变量 的数学期望(注: ).
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18．已知六面体 如图所示， 平面 ， ， ， ， ， ， ， ， 分别是棱 ， 上的点，且满足 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若平面 与平面 所成的二面角的大小为 ，求 .
19．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，离心率为 ， 是椭圆 上的一个动点，且 面积的最大值为 .
21．已知函数
（1）若存在正数 ，使 恒成立，求实数 的最大值；
（2）设 ，若 没有零点，求实数 的取值范围.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （其中 为参数）.在以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 .
A． B． C． D．
12．已知 ，若点 是抛物线 上任意一点，点 是圆 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．某高中学校三个年级共有团干部 名，采用分层抽样的方法从中抽取 人进行睡眠时间调查.其中从高一年级抽取了 人，则高一年级团干部的人数为________．
14．已知 ，且 ，则 的最小值为_______．
3．已知非零向量 ， ，若 ， ，则向量 和 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4． 展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．在 中，角 对边分别是 ，满足 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为：有一个人要走 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了（）
（1）求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 分别相交于异于原点的点 ，求 的取值范围.
23．
已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若任意 ，使得 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．A
【分析】
化简复数 ，根据纯虚数的定义即可求出实数 的值．
【详解】
要使复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则 ，解得： ，
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查复数的化简以及纯虚数的定义，属于基础题．
2．C
【分析】
利用一元二次不等式解出集合 ，利用补集的运算即可求出 ．
【详解】
由集合 ，解得：
，
故答案选C．
【点睛】
本题考查一元二次不等式的求解以及集合补集的运算，属于基础题．
3．B
【分析】
直接利用平面向量的数量积的运算律即可求解．
【详解】
设向量 与向量 的夹角为 ，
，
由 可得： ，
化简即可得到： ，
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查向量数量积的运算，向量夹角余弦值的求法，属于基础题．
4．D
【分析】
写出展开式的通项，整理可知当 时为常数项，代入通项求解结果．
【详解】
展开式的通项公式为 ，
当 ，即 时，常数项为： ，
故答案选D．
【点睛】
A．192里B．48里C．24里D．96里
8．函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．椭圆 与双曲线 的离心率之积为 ，则双曲线 的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A． B． C． D．
10．执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）
A． B． C． D．
11．若 在 上是减函数，则 的最大值是（ ）
15．已知函数 定义域为 ，满足 ，当 时 ，则 ______．
16．如图，直角三角形 所在平面与平面 交于 ，平面 平面 ， 为直角， ， 为的中点，且 ，平面 内一动点满足 ，则 的取值范围是________．
三、解答题
17．已知等比数列 的前 项和为 成等差数列，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 斜率为 ，且 与椭圆 的另一个交点为 ，是否存在点 ，使得 若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由.
20．《山东省高考改革试点方案》规定：从 年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为 八个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为 .选考科目成绩计入考生总成绩时，将 至 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到 八个分数区间，得到考生的等级成绩.
【校级联考】山东省淄博市部分学校2019届高三阶段性诊断考试理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．