高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

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高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分:椭圆1.椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P ={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)假设a>c,则集合P为椭圆;(2)假设a=c,则集合P为线段;(3)假设a<c,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2b2=1 (a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)图形性质范围-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a 对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2c离心率e=ca∈(0,1)a,b,c的关系c2=a2-b2典型例题例1.F 1,F 2是定点,且|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例2. 已知ABC ∆的周长是16,)0,3(-A ,B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例3. 假设F (c ,0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点,F 与椭圆上点的距离的最大值为M ,最小值为m ,则椭圆上与F 点的距离等于2M m+的点的坐标是( ) (A)(c ,2b a ±) 2()(,)b B c a-± (C)(0,±b ) (D)不存在例4. 设F 1(-c ,0)、F 2(c ,0)是椭圆22x a +22y b=1(a >b >0)的两个焦点,P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,假设∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )例5 P 点在椭圆1204522=+y x 上,F 1、F 2是两个焦点,假设21PF PF ⊥,则P 点的坐标是 .例6.写出满足以下条件的椭圆的标准方程:(1)长轴与短轴的和为18,焦距为6; .(2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2,1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31; ____. (4)离心率为23,经过点(2,0); . 例7 12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点,点P 在椭圆上运动,则12||||PF PF ⋅的最大值是 .第二部分:双曲线1.双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c),则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a、c为常数且a>0,c>0:(1)当a<c时,P点的轨迹是双曲线;(2)当a=c时,P点的轨迹是两条射线;(3)当a>c时,P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±ba x y=±ab x离心率e=ca,e∈(1,+∞),其中c=a2+b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)典型例题例8.命题甲:动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0);命题乙: 点P 的轨迹是双曲线。

圆锥曲线十大题型全归纳

圆锥曲线十大题型全归纳

目录圆锥曲线十大题型全归纳题型一弦的垂直平分线问题 (2)题型二动弦过定点的问题 (3)题型三过已知曲线上定点的弦的问题 (4)题型四共线向量问题 (5)题型五面积问题 (7)题型六弦或弦长为定值、最值问题 (10)题型七直线问题 (14)题型八轨迹问题 (16)题型九对称问题 (19)题型十存在性问题 (21)圆锥曲线题型全归纳题型一:弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2y x =交于A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E(0x ,0),使得ABE ∆是等边三角形,若存在,求出0x ;若不存在,请说明理由。

题型二:动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32,且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

(I )求椭圆的方程;(II )若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点,直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点,试问直线MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E :22221x y a b+= (0)a b >>上的三点,其中点A (23,0)是椭圆的右顶点,直线BC 过椭圆的中心O ,且0AC BC =,2BC AC =,如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程;(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ,使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称,求直线PQ 的斜率。

题型四:共线向量问题1:如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上,点N 在CM 上,且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I )求曲线E 的方程;II )若过定点F (0,2)的直线交曲线E 于不同的两点G 、H (点G 在点F 、H 之间),且满足FH FG λ=,求λ的取值范围.2:已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点,离心率为5.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于M 点,若1MA AF λ=,2MB BF λ= ,求证:1210λλ+=-.题型五:面积问题例题1、已知椭圆C :12222=+by a x (a >b >0)的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

高中数学-圆锥曲线中的定点、定值与最值问题

高中数学-圆锥曲线中的定点、定值与最值问题

[例 2] 如图,在平面直角
坐标系 xOy 中,椭圆xa22+by22=1(a>b>0)的左、
右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)
和e,
23都在椭圆上,其中
e
为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直
线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交于点 P,
法二:同(2)法一假设前内容. 假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M 必在x轴上. 取k=0,m= 3,此时P(0, 3),Q(4, 3), 以PQ为直径的圆为(x-2)2+(y- 3)2=4, 交x轴于点M1(1,0),M2(3,0); 取k=-12,m=2,此时P1,32,Q(4,0), 以PQ为直径的圆为x-522+y-342=4156, 交x轴于点M3(1,0),M4(4,0).
因为 MP =-4mk-x1,m3 , MQ =(4-x1,4k+m), 由 MP ·MQ =0,得-1m6k+4kmx1-4x1+x12+1m2k+3=0, 整理,得(4x1-4)mk +x12-4x1+3=0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立, 所以4x1x2-1-4x41=+03,=0, 解得x1=1. 故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.
圆锥曲线中的最值问题
[例3] 如图,在直角坐标系xOy中,点 P1,12到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距 离为54.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的 两动点,且线段AB被直线OM平分.
(1)求p,t的值; (2)求△ABP面积的最大值.
[思路点拨] (1)利用点M(t,1)在曲线上及点P 1,12 到准线的距 离为54求p与t的值;

高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)

高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)

(1)当5AC =时,求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值.7.已知抛物线1C :28x y =的焦点点,1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程;(2)过F 的直线l 与1C 交于A ,(i )若AC BD =,求直线l 的斜率;(ii )设1C 在点A 处的切线与系.8.已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切.(1)求抛物线C 的方程;(2)点()0,1Q -,点P (与Q 不重合)在直线切线,切点分别为,A B .求证:9.已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点.a b (1)求椭圆的方程;(2)P 是椭圆C 上的动点,过点P 作椭圆为坐标原点)的面积为5217,求点12.过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案:)(),0a-,(),0F c,所以AF时,在双曲线方程中令x c=,即2bBFa=,又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形,即易知2BFA BAF ∠=∠;当BF 与AF 不垂直时,如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+,002tan 2y x aBAF +∠=4.(1)21±2(2)证明见解析.【分析】(1)求出椭圆左焦点F1 1x5.(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】(1)根据抛物线的焦半径公式可解;【点睛】方法技巧:圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、函数的值域问题,综合性比较强,解法灵活多样,但主要有两种方法:(1)几何转化代数法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决;(2)函数取值法:若题目的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值(或值域),常用方法:三角换元法;(5)平面向量;(7.(1)2213x y -=(2)(i )36±;(ii )点F 在以【分析】(1)根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标,结合同焦点建立方程组求解可得;(2)(i )设()11,A x y ,(2,B x 物线方程和双曲线方程,利用韦达定理,结合以及点M 坐标,利用FA FM ⋅【详解】(1)1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46,且所以公共点的横坐标为26±,代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩,得28160x kx --=,Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--,342931x x k =-,9.(1)2212x y +=,2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】(1)用b 表示12,e e ,由12e e ⋅=10.(1)2222114222x y x y +=-=,;(2)1;(3)是,=1x -【分析】(1)根据椭圆和双曲线的关系,结合椭圆和双曲线的性质,求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦,又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ,所以可设直线l 的方程为由22x y =,得212y x =,得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩,得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。

高考圆锥曲线经典大题

高考圆锥曲线经典大题

圆锥曲线经典大题1.过点A (-4,0)的动直线l 与抛物线G :*2=2py (p >0)相交于B 、C 两点.当直线l 的斜率是12时,AC→=4AB →.(1)求抛物线G 的方程;(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ,求b 的取值围.2.如图,(10)F ,,直线:1l x =-,点P 为平面上的动点,过点P 作l 的垂线,垂足为点Q ,且QP QF FP FQ ⋅=⋅.〔Ⅰ〕求动点P 的轨迹C 的方程。

〔Ⅱ〕过点F 的直线交轨迹C 于A B ,两点,交直线l 于点M . 〔1〕1MA AF λ=,2MB BF λ=,求12λλ+的值; 〔2〕求MA MB ⋅的最小值. 3.设点F 是抛物线G :*2=4y 的焦点.〔1〕过点P 〔0,-4〕作抛物线G 的切线,求切线的方程;〔2〕设A ,B 为抛物线G 上异于原点的两点,且满足0·=FB FA ,分别延长AF ,BF 交抛物线G 于C ,D 两点,求四边形ABCD 面积的最小值.4.设抛物线方程为22(0)x py p =>,M 为直线2y p =-上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A B ,.〔Ⅰ〕求证:A M B ,,三点的横坐标成等差数列;〔Ⅱ〕当M 点的坐标为(22)p -,时,AB = 5.设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ,直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ,假设112OF AF +=0〔其中O 为坐标原点〕. 〔1〕求椭圆M 的方程;〔2〕设P 是椭圆M 上的任意一点,EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径〔E 、F 为直径的两个端点〕,求PF PE ⋅的最大值.6.双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>,离心率2e =,顶点到渐近线的距离为5。

(I ) 求双曲线C 的方程;(II)如图,P 是双曲线C 上一点,A ,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,假设1,[,2]3AP PB λλ=∈,求AOB ∆面积的取值围。

(完整版)圆锥曲线常见题型及答案

(完整版)圆锥曲线常见题型及答案

圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质,如求圆锥曲线的标准方程,求准线或渐近线方程,求顶点或焦点坐标,求与有关的值,求与焦半径或长(短)轴或实(虚)轴有关的角和三角形面积。

此类题在考试中最常见,解此类题应注意:(1)熟练掌握圆锥曲线的图形结构,充分利用图形来解题;注意离心率与曲线形状的关系; (2)如未指明焦点位置,应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种(或四种)情况;(3)注意2,2,a a a ,2,2,b b b ,2,2,c c c ,2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同,椭圆中222b a c -=,双曲线中222b a c +=,离心率a c e =,准线方程a x 2±=;例题:(1)已知定点)0,3(),0,3(21F F -,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 ( )A .421=+PF PFB .621=+PF PF C .1021=+PF PF D .122221=+PF PF (答:C );(2)方程8=表示的曲线是_____ (答:双曲线的左支)(3)已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P (x ,y ),则y+|PQ|的最小值是_____ (答:2)(4)已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆,则k 的取值范围为____ (答:11(3,)(,2)22---); (5)双曲线的离心率等于25,且与椭圆14922=+y x 有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:2214x y -=);(6)设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为_______(答:226x y -=)二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查,与动点到定点的距离(焦半径)和动点到定直线(准线)的距离有关,有时要用到圆的几何性质。

此类题常用平面几何的方法来解决,需要对圆锥曲线的(两个)定义有深入、细致、全面的理解和掌握。

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.27.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=110.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)【解答】解:∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,∴1>b>0或b>1.∴e==>1且e≠.故选:D.2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.【解答】解:由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02﹣1<0,所以﹣<y0<.故选:A.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1,∴PF1⊥PF2,∵|PF1|=3|PF2|,∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|,∵|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴10a2=4c2,∴e=故选C.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.【解答】解:设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x﹣c)代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A(,﹣),由=2,可得B(﹣,﹣),把B点坐标代入双曲线方程﹣=1,即=1,整理可得c=a,即离心率e==.故选:C.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆(x﹣2)2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即∴b2<a2,∴c2=a2+b2<2a2,∴e=<∵e>1∴1<e<故选C.6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.2【解答】解:设F(c,0),渐近线方程为y=x,可得F到渐近线的距离为=b,即有圆F的半径为b,令x=c,可得y=±b=±,由题意可得=b,即a=b,c==a,即离心率e==,故选C.7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x【解答】解:由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,得|PF2|=2a,|PF1|=4a;在RT△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴4c2=16a2+4a2,即c2=5a2,则b2=4a2.即b=2a,双曲线=1一条渐近线方程:y=2x;故选:C.8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆x2+(y﹣2)2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即<1∴3a2<b2,∴c2=a2+b2>4a2,∴e=>2故选:C.9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1【解答】解:由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ(λ≠0),代入点P(2,),可得λ=4﹣2=2,可得双曲线的方程为x2﹣y2=2,即为﹣=1.故选:B.10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.【解答】解:由双曲线C:x2﹣=1的右焦点F(2,0),PF与x轴垂直,设(2,y),y>0,则y=3,则P(2,3),∴AP⊥PF,则丨AP丨=1,丨PF丨=3,∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=,同理当y<0时,则△APF的面积S=,故选D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是20.【解答】解:∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2,且PF1=QF1=PQ=4∵由题意,|PF2|﹣|PF1|=2,|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20,故答案为20.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴2•=0,∴,∵OA是△PF1F2的中位线,∴PF1⊥PF2,OA=PF1.由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a,∵|PF1|=|PF2|,∴|PF2|=,|PF1|=.△PF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴()2+()2=4c2,∴e=.故答案为:.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.【解答】解:(1)设F2,M的坐标分别为,因为点M在双曲线C上,所以,即,所以,在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,,所以…(3分)由双曲线的定义可知:故双曲线C的方程为:…(6分)(2)由条件可知:两条渐近线分别为…(8分)设双曲线C上的点Q(x0,y0),设两渐近线的夹角为θ,则点Q到两条渐近线的距离分别为,…(11分)因为Q(x0,y0)在双曲线C:上,所以,又cosθ=,所以=﹣…(14分)14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.【解答】(Ⅰ)解:由题知:a2+b2=2,曲线C2的离心率为…(2分)∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍,∴=即a2=b2,…(3分)∴a=b=1,∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1;…(4分)(Ⅱ)证明:由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为:x=ny+…(5分)与双曲线方程x2﹣y2=1联立,可得(n2﹣1)y2+2ny+1=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣,y1y2=,…(7分)由题可设点C(,y2),由点斜式得直线AC的方程:y﹣y2=(x﹣)…(9分)令y=0,可得x===…(11分)∴直线AC过定点(,0).…(12分)15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得e==,当P为右顶点时,可得PF取得最小值,即有c﹣a=﹣1,解得a=1,c=,b==,可得双曲线的方程为x2﹣=1;(Ⅱ)过点P(1,1)假设存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点.设R(x1,y1),T(x2,y2),可得x12﹣=1,x22﹣=1,两式相减可得(x1﹣x2)(x1+x2)=(y1﹣y2)(y1+y2),由中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=2,可得直线l的斜率为k===2,即有直线l的方程为y﹣1=2(x﹣1),即为y=2x﹣1,代入双曲线的方程,可得2x2﹣4x+3=0,由判别式为16﹣4×2×3=﹣8<0,可得二次方程无实数解.故这样的直线l不存在.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.【解答】解:(Ⅰ)∵C:的离心率e=,且b=,∴=,且b=,∴a=1,c=∴双曲线C的方程;(Ⅱ)令|PE|=p,|PF|=q由双曲线定义:|p﹣q|=2a=2平方得:p2﹣2pq+q2=4•=0,∠EPF=90°,由勾股定理得:p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2.。

圆锥曲线经典题型总结(含答案)

圆锥曲线整理1.圆锥曲线的定义:(1)椭圆:|MF 1|+|MF 2|=2a (2a >|F 1F 2|);(2)双曲线:||MF 1|-|MF 2||=2a (2a <|F 1F 2|); (3)抛物线:|MF |=d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容,在解题中有广泛的应用,在理解时要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。

若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时2222bx a y +=1(0a b >>)。

%(2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:2222b x a y -=1(0,0a b >>)。

(3)抛物线:开口向右时22(0)y px p =>,开口向左时22(0)y px p =->,开口向上时22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。

注意:1.圆锥曲线中求基本量,必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。

2.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):椭圆:由x2,y 2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线:在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系:若曲线C 的方程是f(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0;点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。

两条曲线的交点:若曲线C 1,C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1,C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。

二、圆:1、定义:点集{M ||OM |=r },其中定点O 为圆心,定长r 为半径.2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b),半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程:①当D 2+E 2-4F >0时,一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。

配方,将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时,方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F <0时,方程不表示任何图形.(3)点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0),则|MC |<r ⇔点M 在圆C 内,|MC |=r ⇔点M 在圆C 上,|MC |>r ⇔点M 在圆C 内,其中|MC |=2020b)-(y a)-(x +。

高中数学圆锥曲线经典考点及例题专题讲解

圆锥曲线的综合问题考纲解读 1.求圆锥曲线过定点问题;2.利用圆锥曲线求定值、常数值;3.利用圆锥曲线求变量的取值范围,最值问题;4.利用圆锥曲线求解探索性、存在性问题.考点一 圆锥曲线过定点问题|方法突破[例1] (2018·淄博模拟)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,其左焦点到点P (2,1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左、右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.[解析] (1)因为左焦点(-c,0)到点P (2,1)的距离为10,所以(2+c )2+1=10,解得c =1.又e =c a =12,解得a =2,所以b 2=a 2-c 2=3.所以所求椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 24+y 23=1,消去y 得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2-3)=0, Δ=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3)>0, 化为3+4k 2>m 2.所以x 1+x 2=-8mk 3+4k 2,x 1x 2=4(m 2-3)3+4k 2.y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2=3(m 2-4k 2)3+4k 2.因为以AB 为直径的圆过椭圆右顶点D (2,0),k AD ·k BD =-1, 所以y 1x 1-2·y 2x 2-2=-1,所以y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2)+4=0, 所以3(m 2-4k 2)3+4k 2+4(m 2-3)3+4k 2+16mk 3+4k 2+4=0.化为7m 2+16mk +4k 2=0, 解得m 1=-2k ,m 2=-2k7.且满足3+4k 2-m 2>0.当m =-2k 时,l :y =k (x -2),直线过定点(2,0)与已知矛盾; 当m =-2k7时,l :y =k ⎝⎛⎭⎫x -27,直线过定点⎝⎛⎭⎫27,0. 综上可知,直线l 过定点⎝⎛⎭⎫27,0 .[方法提升][母题变式]若本例的条件“以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点”,改为“以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点”.则直线l 是否还过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,说明理由.解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 24+y 23=1,消去y 得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2-3)=0, Δ=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3)>0,化为3+4k 2>m 2. 所以x 1+x 2=-8mk 3+4k 2,x 1x 2=4(m 2-3)3+4k 2.y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2=3(m 2-4k 2)3+4k 2.因为以AB 为直径的圆过椭圆左顶点D (-2,0),k AD ·k BD =-1,所以y 1x 1+2·y 2x 2+2=-1,所以y 1y 2+x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=0,所以3(m 2-4k 2)3+4k 2+4(m 2-3)3+4k 2-16mk 3+4k 2+4=0.化为7m 2-16mk +4k 2=0,解得m 1=2k ,m 2=2k 7.且满足3+4k 2-m 2>0.当m =2k 时,l :y =k (x +2),直线过定点(-2,0)与已知矛盾; 当m =2k7时,l :y =k ⎝⎛⎭⎫x +27,直线过定点⎝⎛⎭⎫-27,0. 综上可知,直线l 过定点⎝⎛⎭⎫-27,0.考点二 圆锥曲线的定值问题|方法突破[例2] 已知椭圆C :x 24+y 23=1.若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点,且k OA ·k OB=-34(O 为坐标原点),判断△AOB 的面积是否为定值,若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.[解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2-3)=0,则由Δ=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3)>0,得3+4k 2-m 2>0.又x 1+x 2=-8mk3+4k 2,x 1x 2=4(m 2-3)3+4k 2,∴y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2=3(m 2-4k 2)3+4k 2.又由k OA ·k OB =-34,得y 1y 2x 1x 2=-34,即y 1y 2=-34x 1x 2,∴3(m 2-4k 2)3+4k 2=-34·4(m 2-3)3+4k 2,即2m 2-4k 2=3. 又|AB |=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=24(1+k 2)3+4k 2.点O 到直线AB 的距离为d =|m |1+k2= 2-12(1+k 2)≥2-12=62. S △AOB =12|AB |d =1224(1+k 2)3+4k 2·|m |1+k 2=12 24(1+k 2)m 2(3+4k 2)(1+k 2)=12243+4k 2·3+4k 22= 3. [方法提升]已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点F 1(-1,0),长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆的方程;(2)过F 1作两直线m ,n 交椭圆于A ,B ,C ,D 四点,若m ⊥n ,求证:1|AB |+1|CD |为定值.解析:(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ∶2b =2∶3,c =1,a 2=b 2+c 2.解得a =2,b = 3.故所求椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)证明:由已知F 1(-1,0),当直线m 不垂直于坐标轴时,可设直线m 的方程为y =k (x +1)(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x +1),x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2-12=0. 由于Δ>0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则有x 1+x 2=-8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2,|AB |=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] =(1+k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫-8k 23+4k 22-4×4k 2-123+4k 2 =12(1+k 2)3+4k 2.同理|CD |=12(1+k 2)3k 2+4.所以1|AB |+1|CD |=3+4k 212(1+k 2)+3k 2+412(1+k 2)=7(1+k 2)12(1+k 2)=712.当直线m 垂直于坐标轴时,此时|AB |=3,|CD |=4;或|AB |=4,|CD |=3,1|AB |+1|CD |=13+14=712. 综上,1|AB |+1|CD |为定值712.考点三 圆锥曲线中的范围(最值)问题|模型突破[例3] (2018·聊城模拟)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆上的一点,l :x =-a 2c ,且PQ ⊥l ,垂足为Q ,若四边形PQF 1F 2为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12,1B.⎝⎛⎭⎫0,12 C.⎝⎛⎭⎫0,22 D.⎝⎛⎭⎫22,1[解析] 设点P (x 1,y 1),由于PQ ⊥l ,故|PQ |=x 1+a 2c ,因为四边形PQF 1F 2为平行四边形,所以|PQ |=|F 1F 2|=2c ,即x 1+a 2c =2c ,则有x 1=2c -a 2c >-a ,所以2c 2+ac -a 2>0,即2e 2+e -1>0,解得e <-1或e >12,由于0<e <1,所以12<e <1,即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫12,1. [答案] A [模型解法][高考类题]1.(2015·高考重庆卷)设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,右顶点为A ,过F作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点,过B ,C 分别作AC ,AB 的垂线,两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a +a 2+b 2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A .(-1,0)∪(0,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-2,0)∪(0,2)D .(-∞,-2)∪(2,+∞)解析:如图所示,由题意知BC 为双曲线的通径,所以|BC |=2b 2a ,则|BF |=b 2a .又|AF |=c -a ,因为BD ⊥AC ,DC ⊥AB ,所以点D 在x 轴上,由Rt △BF A ∽Rt △DFB ,得|BF |2=|AF |·|FD |,即(b 2a )2=(c -a )|FD |,所以|FD |=b 4a 2(c -a ),则由题意知b 4a 2(c -a )<a +a 2+b 2,即b 4a 2(c -a )<a +c ,所以b 4<a 2(c -a )(a +c ),即b 4<a 2(c 2-a 2),即b 4<a 2b 2,所以0<b 2a 2<1,解得0<b a <1,而双曲线的渐近线斜率为±ba ,所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是(-1,0)∪(0,1),故选A.答案:A2.(2017·高考浙江卷)如图,已知抛物线x 2=y ,点A ⎝⎛⎭⎫-12,14,B ⎝⎛⎭⎫32,94,抛物线上的点P (x ,y )⎝⎛⎭⎫-12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围; (2)求|P A |·|PQ |的最大值.解析:(1)设直线AP 的斜率为k ,k =x 2-14x +12=x -12.因为-12<x <32,所以直线AP 斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx -y +12k +14=0,x +ky -94k -32=0,解得点Q 的横坐标是x Q =-k 2+4k +32(k 2+1).因为|P A |=1+k 2⎝⎛⎭⎫x +12=1+k 2(k +1),|PQ |=1+k 2(x Q -x )=-(k -1)(k +1)2k 2+1,所以|P A |·|PQ |=-(k -1)(k +1)3, 令f (k )=-(k -1)(k +1)3. 因为f ′(k )=-(4k -2)(k +1)2,所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫-1,12上单调递增,⎝⎛⎭⎫12,1上单调递减,因此当k =12时,|P A |·|PQ |取得最大值2716.考点四 圆锥曲线的存在性问题|方法突破[例4] 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,点P (0,1)和点A (m ,n )(m ≠0)都在椭圆C 上,直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程,并求点M 的坐标(用m ,n 表示);(2)设O 为原点,点B 与点A 关于x 轴对称,直线PB 交x 轴于点N .问:y 轴上是否存在点Q ,使得∠OQM =∠ONQ ?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,说明理由.[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b =1,c a =22,a 2=b 2+c 2.解得a 2=2.故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.设M (x M,0).因为m ≠0,所以-1<n <1. 直线P A 的方程为y -1=n -1m x ,所以x M =m 1-n ,即M (m1-n,0).(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称,所以B (m ,-n ). 设N (x N,0),则x N =m1+n.“存在点Q (0,y Q )使得∠OQM =∠ONQ ”等价于“存在点Q (0,y Q )使得|OM ||OQ |=|OQ ||ON |”,即y Q 满足y 2Q =|x M ||x N |.因为x M =m 1-n ,x N =m 1+n ,m 22+n 2=1,所以y 2Q =|x M ||x N |=m 21-n 2=2. 所以 y Q =2或y Q =- 2.故在y 轴上存在点Q ,使得∠OQM =∠ONQ , 点Q 的坐标为(0,2)或(0,-2). [方法提升][跟踪训练](2018·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy 中,经过点(0,2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22+y 2=1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围.(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ,B ,是否存在常数k ,使得向量OP →+OQ →与AB →垂直?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.解析:(1)由已知条件,直线l 的方程为y =kx +2, 代入椭圆方程得x 22+(kx +2)2=1,整理得⎝⎛⎭⎫12+k 2x 2+22kx +1=0.①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于①中 Δ=8k 2-4⎝⎛⎭⎫12+k 2 =4k 2-2>0, 解得k <-22或k >22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-∞,-22∪⎝⎛⎭⎫22,+∞.(2)不存在,理由如下:设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则OP →+OQ →=(x 1+x 2,y 1+y 2), 由方程①得,x 1+x 2=-42k1+2k 2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+22=-42k 21+2k 2+2 2.因为(OP →+OQ →)⊥AB →,AB →=(-2,1),所以(x 1+x 2)·(-2)+y 1+y 2=0, 即:-42k 1+2k 2·(-2)-42k 21+2k 2+22=0.解得:k =-24, 由(1)知k 2>12,与此相矛盾,所以不存在常数k 使OP →+OQ →与AB →垂直.[考点二](2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,点(2,2)在C 上.(1)求C 的方程;(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.解析:(1)由题意有a 2-b 2a =22,4a 2+2b 2=1,解得a 2=8,b 2=4. 所以C 的方程为x 28+y 24=1.(2)证明:设直线l :y =kx +b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ).将y =kx +b 代入x 28+y 24=1得(2k 2+1)x 2+4kbx +2b 2-8=0. 故x M =x 1+x 22=-2kb2k 2+1,y M =k ·x M +b =b2k 2+1.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M =-12k ,即k OM ·k =-12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.。

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高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分:椭圆1.椭圆的概念在平面与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若a>c,则集合P为椭圆;(2)若a=c,则集合P为线段;(3)若a<c,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2b2=1 (a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)图形性质围-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a 对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2c离心率e=ca∈(0,1)a,b,c的关系c2=a2-b2典型例题例1.F 1,F 2是定点,且|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例2. 已知ABC ∆的周长是16,)0,3(-A ,B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例3. 若F (c ,0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点,F 与椭圆上点的距离的最大值为M ,最小值为m ,则椭圆上与F点的距离等于2M m+的点的坐标是( ) (A)(c ,2b a ±) 2()(,)b B c a-± (C)(0,±b ) (D)不存在例4. 设F 1(-c ,0)、F 2(c ,0)是椭圆22x a+22y b =1(a >b >0)的两个焦点,P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )例5 P 点在椭圆1204522=+y x 上,F 1、F 2是两个焦点,若21PF PF ⊥,则P 点的坐标是 .例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴与短轴的和为18,焦距为6; .(2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2,1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31; ____. (4)离心率为23,经过点(2,0); . 例7 12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点,点P 在椭圆上运动,则12||||PF PF ⋅的最大值是 .第二部分:双曲线1.双曲线的概念平面动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c),则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a、c为常数且a>0,c>0:(1)当a<c时,P点的轨迹是双曲线;(2)当a=c时,P点的轨迹是两条射线;(3)当a>c时,P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)图形性质围x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±bax y=±abx 离心率e=ca,e∈(1,+∞),其中c=a2+b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)典型例题例8.命题甲:动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0);命题乙: 点P 的轨迹是双曲线。

则命题甲是命题乙的( )(A ) 充要条件 (B ) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件例9. 过点(2,-2)且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线的方程是( ) (A)12422=-y x (B)12422=-x y (C)14222=-y x (D)14222=-x y例10. 双曲线221(1)x y n n-=>的两焦点为12,,F F P 在双曲线上,且满足12PF PF +=则12F PF 的面积为( )()1A 1()2B ()2C ()4D例11. 设ABC ∆的顶点)0,4(-A ,)0,4(B ,且C B A sin 21sin sin =-,则第三个顶点C 的轨迹方程是________.例12. 连结双曲线12222=-b y a x 与12222=-ax b y (a >0,b >0)的四个顶点的四边形面积为1S ,连结四个焦点的四边形的面积为2S ,则21S S 的最大值是________. 例13.根据下列条件,求双曲线方程:⑴与双曲线221916x y -=有共同渐近线,且过点(-3,32);⑵与双曲线221164x y -=有公共焦点,且过点(2).例14 设双曲线2212y x -=上两点A 、B ,AB 中点M (1,2) ⑴求直线AB 方程;⑵如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点,那么A 、B 、C 、D 是否共圆,为什么?第三部分:抛物线1. 抛物线的概念平面与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线.2. 抛物线的标准方程与几何性质标准 方程y 2=2px (p >0) y 2=-2px (p >0) x 2=2py (p >0) x 2=-2py (p >0)p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y =0x =0焦点 F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2,0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p 2,0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0,p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-p 2离心率 e =1准线方程 x =-p 2x =p 2y =-p 2y =p 2围 x ≥0,y ∈Rx ≤0,y ∈Ry ≥0,x ∈Ry ≤0,x ∈R开口方向向右向左向上向下典型例题例15. 顶点在原点,焦点是(0,2)-的抛物线方程是( )(A )x 2=8y (B)x 2= 8y (C)y 2=8x (D)y 2=8x例16. 抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ) (A )1716 (B)1516 (C)78(D)0 例17.过点P (0,1)与抛物线y 2=x 有且只有一个交点的直线有( ) (A )4条 (B)3条 (C)2条 (D)1条例18. 过抛物线2y ax =(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段P F 与FQ 的长分别为p 、q ,则11p q+等于( )(A )2a (B)12a (C)4a (D)4a例19. 若点A 的坐标为(3,2),F 为抛物线y 2=2x 的焦点,点P 在抛物线上移动,为使|PA |+|PF |取最小值,P 点的坐标为( )(A )(3,3) (B)(2,2) (C)(21,1) (D)(0,0) 例20. 动圆M 过点F(0,2)且与直线y =-2相切,则圆心M 的轨迹方程是 .例21. 过抛物线y 2=2px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点,设这两点的纵坐标为y 1、y 2,则y 1y 2=_________.例22. 以抛物线x y 23=-的焦点为圆心,通径长为半径的圆的方程是_____________.例23. 过点(-1,0)的直线l 与抛物线y 2=6x 有公共点,则直线l 的倾斜角的围是 .例题答案例1. D 例2. B 例3. C.例5. B.例7. (3,±4) 或(-3, ±4)例8. (1)1162522=+y x 或1251622=+y x ; (2) 13622=+y x ;(3)1922=+y x 或181922=+y x ; (4) 1422=+y x 或116422=+y x .例9. 12||||PF PF ⋅≤2212||||()42PF PF a +== 例11. B 例13. D 例16. A 例17.)2(112422-<=-x y x 例18. 12 例19.⑴221944x y -=;⑵221128x y -= 例20.⑴直线AB :y =x +1⑵设A 、B 、C 、D 共圆于⊙OM ,因AB 为弦,故M 在AB 垂直平分线即CD 上;又CD 为弦,故圆心M 为CD 中点。

因此只需证CD 中点M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得:A (-1,0),B (3,4)又CD 方程:y =-x +3 由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得:x 2+6x -11=0设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),CD 中点M (x 0,y 0) 则340003,362x x x y x +==-=-+=∴ M (-3,6) ∴ |MC|=|MD|=21|CD|=102又|MA|=|MB|=102∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| ∴ A 、B 、C 、D 在以CD 中点,M (-3,6)为圆心,102为半径的圆上例21. B(22,4282pp x py y =-=-==-即) 例22. B 例23. B(过P 可作抛物线的切线两条,还有一条与x 轴平行的直线也满足要求。

) 例24. C 作为选择题可采用特殊值法,取过焦点,且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p ,q ,则p =q =|F K |1||2FK a=而, 112241()2a p q p a∴+===例25. 解析:运用抛物线的准线性质.答案:B 例26. x 2=8y 例27. -p 2例28.223()94x y ++= 例29.66[0,arctan [)ππ-。

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