2020年高考理科数学预测押题密卷I卷 参考答案(1)
设平面PAB 可知 PB a
AB a 设平面 PEB
的法向量为 a (x，y，z) ，
0 0
x
y y
z 0
0
，可取
a
(1，0，1)
，-----------
的法向量为
b
(x
，y
，z ) ，BE
(1，1，1
)
，
8
分
2
可知
PB BE
b b
0 0
x x
y y
z 1 2
z
可得
y0
x0
6
，代入可得
(x
y) x0
6y
4
0
，满足
x y 0 6y 4 0
x
2 3
，故过定点为
M
(
2
，2)
.故选
A.
y
2 3
33
11.【答案】B
【解析】f (x) log2 (x2 e|x|) ，定义域为 R ，且满足 f ( x) f (| x |) ，
当 x 0 时，单调递增，而 (5)0.2 1 ， 0 (1)0.3 1 ， b a ，
8. 【答案】D
【解析】可知 BDC 120°，且 AD 3 ，BD DC 1 ，在 BDC
中，根据余弦定理可得 BC 2 1 1 2 11 cos120° 3， BC 3 ，
据正弦定理可得 BC 2r ， sin120°
3 3
2r
，r
1 ， O1 为 BDC
2
的外心，过点 O1 作 O1O 平面 BDC ， O 为三棱锥 A BCD 的外 接球的球心，过点 O 作 OK AD ， K 为 AD 的中点，连接 OD 即
【解析】可知降落的概率为
p
A22 A55 A66
1 3
.故选
D.
5. 【答案】C
【解析】函数 f (x) 2 020x sin 2x 满足 f (x) 2 020x sin 2x
f (x) ，且 f (x) 2 020 2cos 2x 0 ，可知函数 f (x) 为单调递
增的奇函数， f (x2 x) f (1 t) 0 可以变为 f (x2 x) f (1 t)
(2x 3)n (2x 3)6 (2t 1)6 a 0 a1t a 2t 2 a 6t 6 ，可得 Tr1 C64 (2t)6414 C64 22t 2 60t 2 ，可知 a2 60 .故选 C. 10.【答案】A
【解析】设点 P(x0 ，y0) ，则 x0 y0 6 0 ，则过点 P 向圆 C 作切 线，切点为 A，B ，连接 AB ，则直线 AB 的方程为 xx0 yy0 4 ，
0
0
，可取 b
(3，1，4)
，-----
10
分
可知两向量的夹角的余弦值为 cos a b 1 3 0 11 4
| a || b | 1 1 32 1 42
7 13 ，可知两平面所成的角为钝角，可知两平面所成角的余弦 26
8 (1) 1 2 y0 x0 y0 6 0
，解得
x0 y0
2 4
，
可得 M(2，4)，则 OA OB 2OM 2(2，4) (4，8) ，
可得 | OA OB | | (4，8) | 42 82 4 5 .
三、解答题
17.【解析】（1） a1 1，an1 2an 1 ，可得 an1 1 2(an 1) ，
BD DH 2 BH 2 1 1 2 ，BC 2 ，( 2)2 ( 2)2 22 ，
即 DB2 BC 2 DC 2 ，即 BC DB .--------------- 2 分 BC DB ， PD BD D ， BC 平面 PDB ， BC 平面 EBC 平面 PBC 平面 PDB .--------------- 4 分 （2）连接 PH ， BH 面 PDC ，BPH 为 PB 与面 PDC 所成
3a
a
2b
3a 2b 3 2b 3a 2 5 2 2b 3a 5 2 6 ，当且仅当
b
ab
ab
b 6 a 取等号，可知最小值为 5 2 6 .故选 C. 2
15.【答案】 4 3
【解析】 cos A cos B 2 3 sin C ，根据正弦定理 sin B cos A
半，得到函数 g(x) ，可得 g (x) 1 sin(4x π ) 3 ，最小正周期为
2
64
2π π ，故选项 A 错误； x π ， 4x π 4 π π π ，故选
42
6
6
66 2
项 B 正确；最大值为 1 3 5 ，故选项 C 错误；对称中心的方程 244
为 (kπ π ，3)(k Z) ，故选项 D 错误.故选 B. 4 24 4
为外接球的半径 R 12 ( 3 )2 7 ，可得外接球的表面积为
2
2
S 4πR2 4π ( 7 )2 7π .故选 D. 2
9. 【答案】C
【解析】二项式 (x y)n 的展开式的二项式项的系数和为 64 ，可
得 2n 64 ，n 6 ，(2x 3)n (2x 3)6 ，设 x 1 t ，2x 3 2t 1 ，
理科数学答案全解全析
一、选择题
1. 【答案】D
【解析】集合 A 满足： x2 3x 4 0 ，( x 4)( x 1) 0 ， x 4 或
x 1 ， A {x | x 4 或 x 1} ， CU A={x | 1 x 4} ， y 2x 2 2 ， B {y | y 2} ，可知 (CU A) B {x | 2 x 4} .故选 D. 2. 【答案】A
3
(sin x cos π cos x sin π )sห้องสมุดไป่ตู้n x 1 cos 2x
3
3
2
3 sin 2x 1 cos 2x 3 1 ( 3 sin 2x 1 cos 2x) 3
4
4
4 22
2
4
1 sin(2x π ) 3
2
64
把函数 f (x) 的图象向右平移 π 单位，再把横坐标缩小到原来的一 6
x2 y2 ，把点 P(2，3) 代入可得 4 3= ， 1 ，双曲线的 3
方程为 x2 y2 1，c2 1 3 4，c 2，F(2，0) ，可得 A(2，2 3) ， 3
B(2， 2
3)
，可得
SAOB
1 2
24
34
3 .故选 A.
7. 【答案】B
【解析】 f (x) sin(x π )sin x cos2 x
物线 C 的方程为：y2 8x ，设点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，AB 的中点为 M (x0 ，y0 ) ，则 y12 8x1 ，y22 8x2 两式相减可得 ( y1 y2 )( y1 y2 )
8(x1
x2 )
，y1 y2 x1 x2
8 y1 y2
，可知
f (t 1) ，可知 x2 x t 1 ，t x2 x 1 ，x2 x 1 (x 1)2 2
3 3 ，可知实数 t 3 ，故实数 t 的取值范围为 (∞，3] .故选 C.
44
4
4
6. 【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为 y 3x ，可得双曲线的方程为
而数列 {2n
1}
的前
n
项的和为
Bn
(1
2n 1) 2
n
n2
，
所以 Tn 6 (2n 1) 2n1 2n2 n2 .--------------- 12 分 18.【解析】（1）证明： PD 面 ABCD ， PD BC ，
在梯形 ABCD 中，过 B 作 BH DC 交 DC 于 H ， BH 1 ，
4
2
c
f
(log 1
2
5) 4
f
( log2
5) 4
f
(log2
5 4
)
，而
0
log2
5 4
log2
21， 2
( 1 )0.3 2
1 2
， log 2
5 4
(1)0.3 ， 2
f
(log2
5) 4
f
(( 1 )0.3 ) 2
，故 c
a
，
故 c a b .故选 B.
12.【答案】D
【解析】
x)
1 x2
0
，
可知 a
1 1 ln
x
，而函数
F ( x)
1 1 ln
x
在[e2
，e4 ]
单调递增，F (x)max
F (4)
1
1
4
1 3
，可知实数
a
1 3
.故选
D.
二、填空题
13.【答案】 9 5 5
【解析】向量
a
b
在
a
上的投影为
|
a
b
|
cos
(a
b)
a
|a|
(1，5) (1，2) 9 5 .
【解析】 z 1 i (1 i)(1 2i) 1 3i ，复数 z 的虚部为 3 ，
1 2i
5
5
5
故错误；② | z | ( 1)2 ( 3)2 10 ，故错误；③复数 z 对应的
5
55
点为 ( 1 ， 3) 为第三象限内的点，故正确；④复数不能比较大小， 55
故错误.故选 A.
f (x1) f (x2 ) x1 x2
1 x1x2
，不妨设 x1
x2 ，则
f
( x1)
f (x2 )
1 x2
1 x1
2020年泄露天机高考数学(理)押题预测卷以及答案(一)
第Ⅰ卷
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1 1．已知集合 A { x |
y 1863
v
，求材料费
23 y
（ 3）现从这 6 个月中，随机抽取 3 个月份，求关注人数不低于 1600 人的月份个数 分布列与数学
期望．
参考公式： 相关系数 r
n
（xi x)( yi y)
i1
n
n
，若 r 09.5 ，则 y 与 x 的线性相关程度相当高，
（xi x)2 ( yi y)2
i1
i1
y
3x ，
则双曲线 C 的离心率为（
）
A． 2
B． 3
C． 3
3
或
2
2
23 D． 2 或
3
9．已知正项数列
an
为等比数列，
Sn
为其前
n
项和， 且有
a
2 3
a52
32400
2a2a6 ， S4
10S2 ，
则第 2019 项的个位数为（
）
A．1
B． 2
C．8
D． 9
10．已知函数 f ( x)
x2
ax 的图象在 x
2．若复数 z 满足 (z 1)i 4 2i ，则 z （ ）
A ． 25
B ． 17
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C． 5
D ． 17
【 答案 】 C
2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷及答案
| 4 - x 22河北衡水中学 2020 年高考押题试卷理数试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A = {x ∈ Z 1≥ 0}， B = {x | ≤ 2x ≤ 4} ，则 A I B =（ ）x + 2 4A ． {x | -1 ≤ x ≤ 2}B ．{-1,0,1,2}C ． {-2, -1,0,1,2}D ．{0,1,2}2.已知 i 为虚数单位，若复数 z = 1 - ti1 + i在复平面内对应的点在第四象限，则 t 的取值范围为（ ）A ． [-1,1]B ． (-1,1)C ． (-∞, -1)3.下列函数中，既是偶函数，又在 (-∞,0) 内单调递增的为（）D ． (1,+∞)A. y = x 4 + 2 x B ． y = 2|x|C. y = 2 x - 2- x D ． y = log | x | -11 24.已知双曲线 C ： 1 x2 x2- y 2 = 1与双曲线 C：- y 2 = -1 ，给出下列说法，其中错误的是（ ） 2A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列 {a } 中，“ a ， a 是方程 x 2 + 3x + 1 = 0 的两根”是“ a = ±1 ”的（）n 4128A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.执行如图的程序框图，则输出的 S 值为（）A.1009 B ．-1009 C.-1007 D ．10087.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πA．(-52B．a2+b2≥2ab(a>0,b>0)1ππ1π1+B．+1C．+D．+6312123438.已知函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象如图所示，则函数g(x)=A c os(ϕx+ω)图象的一个对称中心可能为（）1111,0)B．(,0) C.(-,0)D．(-,0)26269.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，B C=b，则该图形可以完成的无字证明为（）A.a+b≥ab(a>0,b>0)2abC.≤ab(a>0,b>0)a+b D．a+b a2+b2≤22(a>0,b>0)10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A．720B．768 C.810D．81611.焦点为F的抛物线C：y2=8x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当|MA||MF|取得最大值时，f ( x) = ⎨ x 2 + 2g ( x) = ax + 1 ，对 ∀x ∈ [-2,0] ， ∃x ∈ [-2,1]，使得 g ( x ) = f ( x ) ，则实数 ,3 < x ≤ 4, ⎪A ． (-∞, - 1 14.已知实数 x ， y 满足不等式组 ⎨ x + 2 y - 5 ≥ 0, 且 z = 2 x - y 的最大值为 a ，则 ⎰ a cos 2 ⎪ y - 2 ≤ 0,直线 MA 的方程为（）A ． y = x + 2 或 y = - x - 2C. y = 2 x + 2 或 y = -2 x + 2B ． y = x + 2D ． y = -2 x + 212.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2) = 2 f ( x ) ，且当 x ∈ [2,4] 时，⎧- x 2 + 4 x ,2 ≤ x ≤ 3, ⎪ 1 2 2 1⎩ xa 的取值范围为（）1) U[ , +∞)8 8B ． [- 1 1,0) U (0, ]4 8C. (0,8]1 1D ． (-∞, - ] U[ , +∞)4 8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题和第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.r r r r r r r13.已知 a = (1,λ ) ， b = (2,1) ，若向量 2a + b 与 c = (8,6) 共线，则 a 和 b 方向上的投影为．⎧ x - y - 2 ≤ 0,⎪ π ⎩0 x 2dx = ．15.在 ∆ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， b tan B + b tan A = -2c tan B ，且 a = 8 ， ∆ABC的面积为 4 3 ，则 b + c 的值为．16.已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） A - BCD 的外接球， BC = 3 ，AB = 2 3 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD = 3BE ，过点 E 作圆 O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知 (1+ x) + (1+ x)2 + (1+ x)3 + L + (1+ x)n 的展开式中 x 的系数恰好是数列 {a } 的前 n 项和 S .n n（1）求数列 {a } 的通项公式；n（2）数列{b}满足b=n n(22a nan-1)(2a n+1-1)，记数列{b}的前n项和为T，求证：T<1.n n n18.如图，点C在以AB为直径的圆O上，P A垂直与圆O所在平面，G为∆AOC的垂心.（1）求证：平面OPG⊥平面PAC；（2）若P A=AB=2A C=2，求二面角A-OP-G的余弦值.19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20.已知椭圆C：x2y240+=1(a>b>0)的长轴长为6，且椭圆C与圆M：(x-2)2+y2=的公共弦长a2b29为4103.（1）求椭圆C的方程.（2）过点P(0,2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得∆ADB为以AB为底边的等腰三角形.若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.21.已知函数f(x)=2ln x-2mx+x2(m>0).（1）讨论函数f(x)的单调性；23 ⎪ x =4 + 已知直线 l 的参数方程为 ⎨（2）当 m ≥ 3 2时，若函数 f ( x ) 的导函数 f '(x) 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，其横坐标分别为 x ，1x ( x < x ) ，线段 AB 的中点的横坐标为 x ，且 x ， x 恰为函数 h( x ) = ln x - cx 2 - bx 的零点，求证：212122( x - x )h '(x ) ≥ - + ln 2 . 1 2 0请考生在第 22、23 题中任选一题作答.并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分 .22.选修 4-4：坐标系与参数方程⎧ 2 ⎪ 2⎪ y = 2 t ⎪⎩ 2 t,（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ = 4cos θ ，直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点.（1）求圆 C 的直角坐标方程及弦 AB 的长；（2）动点 P 在圆 C 上（不与 A ， B 重合），试求 ∆ABP 的面积的最大值.23. 选修 4-5：不等式选讲.已知函数 f ( x ) =| 2 x - 1| + | x + 1| .（1）求函数 f ( x ) 的值域 M ；（2）若 a ∈ M ，试比较 | a - 1| + | a + 1| ，3 7， - 2a 的大小.2a 2即S=122参考答案及解析理科数学（Ⅰ）一、选择题1-5:BBDDA6-10:BCCDB11、12：AD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.3514.3π15.4516.[2π,4π] 5三、解答题17.解：（1）(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+L+(1+x)n的展开式中x的系数为C1+C1+C1+L+C1=C2+C1+C1+L+C1=C2= 123n223n n+11n2+n，n 11n2+n，22所以当n≥2时，a=S-Sn n n-1=n；当n=1时，a=1也适合上式，1所以数列{a}的通项公式为a=n.n n（2）证明：b=n2n11=-(2n-1)(2n+1-1)2n-12n+1-1，所以Tn111111=1-+-+L+-=1-3372n-12n+1-12n+1-1，所以T<1.n18.解：（1）如图，延长OG交AC于点M.因为G为∆AOC的重心，所以M为AC的中点.因为O为AB的中点，所以OM//B C.因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，所以OM⊥AC.因为P A⊥平面ABC，OM⊂平面ABC，所以P A⊥OM.又P A⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，P A I AC=A，所以OM⊥平面PAC.即OG⊥平面PAC，又OG⊂平面OPG，所以平面OPG⊥平面PAC.z 13 1 3 3 1 ⎧ 3⎪ n ⋅ O M = - x = 0, ⎪ 2⎪n r ⋅ O P r = - 3 x + 1 y + 2 z = 0,H = CH cos ∠HCB = 3H = CH sin ∠HCB = uuur r| CH ⋅ n | 设二面角 A - OP - G 的大小为 θ ，则 cos θ = uuu r r = =uuur uuur uuur（2）以点 C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为 x ，y ，轴正方向建立空间直角坐标系 C - xyz ，则 C (0,0,0) ，A(0,1,0) ，B( 3,0,0) ，O( uuuur uuur , ,0) ，P(0,1,2) ，M (0, ,0) ，则 OM = (- ,0,0) ，OP = (- , , 2) .2 2 2 2 2 2r uuuur r平面 OPG 即为平面 OPM ，设平面OPM 的一个法向量为 n = ( x , y , z) ，则 ⎨ uuu ⎪⎩ 2 2r令 z = 1，得 n = (0, -4,1) .过点 C 作 CH ⊥ AB 于点 H ，由 P A ⊥ 平面 ABC ，易得 CH ⊥ P A ，又 P A I AB = A ，所以 CH ⊥ 平面 P AB ，uuur即 CH 为平面 P AO 的一个法向量.1 3在 Rt ∆ABC 中，由 AB = 2 A C ，得 ∠ABC = 30︒ ，则 ∠HCB = 60︒ ， CH = CB =2 2 .所以 x3 ， y4 4.uuur 所以 CH = (3 3, ,0) . 4 43 3 | 0 ⨯ -4 ⨯ + 1⨯ 0 | 4 4| CH | ⋅ | n | 3 9+ ⨯ 42 + 12 16 162 5117.19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则P( A ) = C 3 3 = C 3 101 120，C2C17=3所以E(X)=0⨯1~B(3,3所以4得∆ADB为以AB为底边的等腰三角形，则DE⊥AB.由⎨x2y2得(8+9k2)x2+36kx-36=0，故⎪+所以两位顾客均享受到免单的概率为P=P(A)⋅P(A)=114400.（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，600，700，1000.P(X=0)=C33=C31017，P(X=600)=，120C34010P(X=700)=C1C237=C31021C3，P(X=1000)=7=40C310724，故X的分布列为，72171+600⨯+700⨯+1000⨯=764（元）.1204040246若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z=1000-200Y，由已知可得Y39)，故E(Y)=3⨯=，101010所以E(Z)=E(1000-200Y)=1000-200E(Y)=820（元）.因为E(X)<E(Z)，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20.解：（1）由题意可得2a=6，所以a=3.由椭圆C与圆M：(x-2)2+y2=可得椭圆C经过点(2,±210)，340=1，解得b2=8.+99b2x2y2所以椭圆C的方程为+=1.98409410的公共弦长为，恰为圆M的直径，3（2）直线l的解析式为y=kx+2，设A(x,y),B(x,y)，AB的中点为E(x,y).假设存在点D(m,0)，使112200⎧y=kx+2,⎪=1,⎩989k 2 + 8 9k 2 + 8- 09k 2 + 8-18k k 9k + 8 < x <x + x =- 1 2 36k 9k 2 + 8，-18k 16所以 x = ， y = kx + 2 =0 0 0. 因为 DE ⊥ AB ，所以 k DE =- 1 k，161 即 =- ，- m9k 2 + 8所以 m = -2k -2 =9k 2 + 8 k.8当 k > 0 时， 9k + ≥ 2 9 ⨯ 8 = 12 2 ，k所以 -2 ≤ m < 0 ；12当 k < 0 时， 9k + 8 k≤ -12 2 ，所以 0 < m ≤ 2 12 .综上所述，在 x 轴上存在满足题目条件的点 E ，且点 D 的横坐标的取值范围为 [- 2 2,0) U (0, ] .12 122( x 2 - mx + 1)21. 解：（1）由于 f ( x ) = 2ln x - 2mx + x 2的定义域为 (0, +∞) ，则 f '(x) = .x对于方程 x 2 - mx + 1 = 0 ，其判别式 ∆ = m 2 - 4 .当 m 2 - 4 ≤ 0 ，即 0 < m ≤ 2 时， f '(x) ≥ 0 恒成立，故 f ( x ) 在 (0, +∞) 内单调递增.m ± m 2 - 4当 m 2 - 4 > 0 ，即 m > 2 ，方程 x 2 - mx + 1 = 0 恰有两个不相等是实根 x =，2m - m 2 - 4 m + m 2 - 4令 f '(x) > 0 ，得 0 < x < 或 x > ，此时 f ( x ) 单调递增；2 2m - m 2 - 4 m + m 2 - 4 令 f '(x) < 0 ，得 ，此时 f ( x ) 单调递减.2 2综上所述，当 0 < m ≤ 2 时， f ( x ) 在 (0, +∞) 内单调递增；当 m > 2 时， f ( x ) 在 ( m - m 2 - 4 m + m 2 - 4, )2 2xxx - xx x + x x - x 2 2 1 2 xt因为 m ≥ 3 2内单调递减，在 (0, m - m 2 - 4 m + m 2 - 4) ， ( , +∞) 内单调递增.2 22( x 2 - mx + 1)（2）由（1）知， f '(x) = ，所以 f '(x) 的两根 x ， x 即为方程 x 2 - mx + 1 = 0 的两根.因为1 2m ≥ 3 22，所以 ∆ = m 2 - 4 > 0 ， x + x = m ， x x = 1 .1 2 1 2又因为 x ， x 为 h( x ) = ln x - cx 2 - bx 的零点，1 2所以 ln x - cx 2 - bx = 0 ， ln x - c 2 - bx = 0 ，两式相减得 ln 1 11 2 22x1 - c( x - x )( x + x ) - b ( x - x ) = 0 ，得1 2 1 2 1 2 2x ln 1xb == c( x + x ) . 1 2 12而 h '(x) =1- 2cx - b ，所以xxln 11 2 x( x - x )h '(x ) = ( x - x )( - 2cx - b ) = ( x - x )[ - c( x + x ) -+ c( x + x )] 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 12 12x1 - 12( x - x ) x x= - ln 1 = 2 ⋅ 2 x + x x x 1 2 2 1 + 1 x2x - ln 1 .x 2令x1= t (0 < t < 1) ，由 ( x + x )2 = m 2 得 x 2 + x 2 + 2 x x 12121 22= m 2 ，因为 x x = 1 ，两边同时除以 x x ，得 t +1+ 2 = m 2 ，1 2 1 21 5 1 1，故 t + ≥ ，解得 0 < t ≤ 或 t ≥ 2 ，所以 0 < t ≤ .2 t 2 2 2设 G(t ) = 2 ⋅ t - 1 t + 1- ln t ，所以 G '(t ) =-(t - 1)2 t (t + 1)2 < 0 ，则 y = G(t ) 在 (0, 1 2] 上是减函数，所以 G(t ) min 1 2= G( ) = - + ln 2 ， 2 33 圆 C 的参数方程为 ⎨ （ θ 为参数），y = 2sin θ ,123. 解：（1） f ( x ) = ⎨2 - x, -1 ≤ x ≤ ,2 ⎪⎩ 2 2 2 2即 y = ( x - x )h '(x ) 的最小值为 - 1 2 0 2 3 + ln 2 .2所以 ( x - x )h '(x ) ≥ - + ln2 .1 2 0 22.解：（1）由 ρ = 4cos θ 得 ρ 2 = 4ρ cos θ ，所以 x 2 + y 2 - 4 x = 0 ，所以圆 C 的直角坐标方程为 ( x - 2)2 + y 2 = 4 .将直线 l 的参数方程代入圆 C : ( x - 2)2 + y 2 = 4 ，并整理得 t 2 + 2 2t = 0 ，解得 t = 0 ， t 1 2 = -2 2 .所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 | t 1 - t |= 2 2 .2（2）直线 l 的普通方程为 x - y - 4 = 0 .⎧ x = 2 + 2cos θ ,⎩可设曲线 C 上的动点 P(2 + 2cos θ ,2sin θ ) ，则点 P 到直线 l 的距离d = | 2 + 2cos θ -2sin θ - 4 |2 2 + 2 .π π=| 2cos(θ + ) - 2 | ，当 cos(θ + ) = -1 时，d 取最大值，且 d 的最大值为4 4所以 S∆ABP 1 ≤ ⨯ 2 2 ⨯ (2 + 2) = 2 + 2 2 ，2即 ∆ABP 的面积的最大值为 2 + 2 .⎧⎪ -3x, x< -1,⎪⎪ ⎪⎪1 3x, x > .根据函数 f ( x ) 的单调性可知，当 x = 1 1 3时， f ( x ) = f ( ) = . min所以函数 f ( x ) 的值域 M 3 = [ , +∞) .23 3（2）因为 a ∈ M ，所以 a ≥ ，所以 0< 2 2a又 | a - 1| + | a + 1| = a - 1 + a + 1 = 2a ≥ 3 ， ≤ 1.所以a≥32，知a-1>0，4a-3>0，(a-1)(4a-3)37所以>0，所以>-2a，2a2a237所以|a-1|+|a+1|>>-2a.2a2。
2020年全国高考数学(理科)押题预测卷01(新课标1卷)
2020年高考押题预测卷01（新课标Ⅰ卷）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|（x+2）（x﹣1）＜0}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝∅C．∁U B⊆A D．∁U A⊆B2．已知复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝3（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（）A．直线B．双曲线C．抛物线D．椭圆3．设a＝0.50.4，b＝log0.40.3，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b＞1；②a+b＝2；③a+b＞2；④a2+b2＞2．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（）A．①②B．②③C．③④D．③5．已知定义在R上的偶函数f（x）＝e|x|sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，设x0为f（x）的极大值点，则cosωx0＝（）A．B．C．D．6．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．7．设向量，，满足，，，若，则＝（）A．3B．4C．5D．68．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．5B．6C．8D．139．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝30，则a7+a8+a9＝（）A．45B．63C．81D．9310．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝111．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．|φ|＜）的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，则下列判断正确的是（）A．要得到函数f（x）的图象，只需将y＝cos2x的图象向右平移个单位B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．x∈[]时，函数f（x）的最小值为﹣D．函数f（x）在[]上单调递增12．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝1，E为AB1上任意一点，BC1⊥CE，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积为（）A．3πB．3πC．2D．2π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线f（x）＝4x﹣e x在点（0，f（0））处的切线方程为．14．在等比数列{a n}中，a2＝1，a5＝8，则数列{a n}的前n项和S n＝．15．在一次体育课定点投篮测试中，每人最多可投篮5次，若投中两次则通过测试，并停止投篮．已知某同学投篮一次命中的概率是，该同学心理素质比较好，每次投中与否互不影响．那么该同学恰好投3次就通过测试的概率是．16．已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为A，再反向延长交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率为．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的值；（2）若b＝2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．19．已知抛物线C：x2＝2py（0＜p＜2）的焦点为F，M（2，y0）是C上的一点，且．（1）求C的方程；（2）直线l交C于A、B两点，k OA•k OB＝﹣2且△OAB的面积为16，求l的方程．20．已知x＝1是函数f（x）＝ax2+﹣xlnx的极值点．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求证：函数f（x）存在唯一的极小值点x0，且0＜f（x0）＜．（参考数据：ln2≈0.69，其中e为自然对数的底数）21．设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）＝+log2图象上任意两点，M为线段AB 的中点．已知点M的横坐标为．若S n＝f（）+f（）+…+f（），n∈N*，且n≥2．（Ⅰ）求S n；（Ⅱ）已知a n＝，其中n∈N*，T n为数列{a n}的前n项和，若T n＜λ（S n+1+1）对一切n∈N*都成立，试求实数λ的取值范围．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝3sinθ．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）设点P（0，2），直线C1交曲线C2于M，N两点，求|PM|2+|PN|2的值．23. 选修4-5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1．（1）证明：ab+bc+ca≤；（2）若不等式++≥t恒成立，求t的最大值．2020年高考数学（理科）押题预测卷01（新课标Ⅰ卷）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．【解答】解：由B中的不等式解得：﹣2＜x＜1，即B＝{x|﹣2＜x＜1}，∵A＝{x|x≥1}，全集U＝R，∴A∪B＝{x|x＞﹣2}；A∩B＝∅；∁U B＝{x|x≤﹣2或x≥1}；∁U A＝{x|x＜1}，故选：B．2．【解答】解：设Z（x，y），A（0，1），B（0，﹣1），则|z﹣i|+|z+i|＝3的几何意义为|ZA|+|ZB|＝3＞|AB|，即Z的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，故选：D．3．【解答】解：∵0＜a＝0.50.4＜0.50＝1，b＝log0.40.3＞log0.40.4＝1，c＝log80.4＜log81＝0，∴a，b，c的大小关系是c＜a＜b．故选：C．4．【解答】解：若a＝，b＝，则a+b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出“a，b中至少有一个大于1”；若a＝1，b＝1，则a+b＝2，故②推不出“a，b中至少有一个大于1”；若a＝﹣2，b＝﹣3，则a2+b2＞2，故④推不出“a，b中至少有一个大于1”；对于③，若a+b＞2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a+b≤2与a+b＞2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1．综上所述：能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是③，故选：D．5．【解答】解：依题意，函数y＝sin（ωx+φ）为偶函数，又0＜φ＜π，故，由图象可知，，可得ω＝2，∴f（x）＝e|x|cos2x，由函数f（x）为偶函数，故只需考虑x≥0的情况，当x≥0时，f（x）＝e x cos2x，f′（x）＝e x（cos2x﹣2sin2x）＝，当时，f（x）有极大值，故．故选：B．6．【解答】解：由题意可得＝（88+87+85+92+93+95）＝90，设被污损的数字为x，则＝（85+86+88+90+99+x）＝89+，满足题意时，＞．即：90＞89+，解得x＜6，即x可能的取值为0，1，2，3，4，5，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为：p＝．故选：C．7．【解答】解：∵，∴设，且，∴（x+1，y+b）＝（0，0），∴x＝﹣1，y＝﹣b，∴，且，，∴，∴b2＝1，∴．故选：B．8．【解答】解：模拟程序的运行，可得：i＝0，S＝1，P＝0满足条件i＜4，执行循环体，i＝1，t＝1，S＝1，P＝1满足条件i＜4，执行循环体，i＝2，t＝1，S＝2，P＝1满足条件i＜4，执行循环体，i＝3，t＝2，S＝3，P＝2满足条件i＜4，执行循环体，i＝4，t＝3，S＝5，P＝3此时，不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为5．故选：A．9．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝9，S5＝30，∴，解得a1＝0，d＝3，∴a7+a8+a9＝a1+6d+a1+7d+a1+8d＝63．故选：B．10．【解答】解：根据题意，如图：△ABF2的周长为16，则有|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4a＝16，则a＝4，又由其离心率e＝＝，则c＝2，b2＝a2﹣c2＝16﹣8＝8；又由其焦点在x轴上，则其标准方程为+＝1；故选：D．11．【解答】解：由题意知A＝，＝，得T＝π，即＝π得ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），∵f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，∴﹣×2+φ＝kπ，得φ＝kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝﹣，即f（x）＝sin（2x+）＝cos[﹣（2x+）]＝cos（﹣2x+）＝cos（2x﹣），y＝cos2x的图象向右平移个单位，得到y＝cos[2（x﹣）]＝cos（2x﹣），故A正确，由2x+＝kπ+得x＝+，则当k＝0时，x＝，k＝1时，x＝，k＝2时，x＝，即x＝时，不是对称轴，故B错误，∵x∈[]，∴2x+∈[﹣，]，则当2x+＝﹣时，函数取得最小值为f（x）＝sin（﹣）＝﹣，故C错误，当x∈[]，∴2x+∈[，]，此时f（x）不是单调函数，故D错误，故正确的是A，故选：A．12．【解答】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥AC，∵E为AB1上任意一点，BC1⊥CE，∴AC⊥BC1，则AC⊥平面BB1C1C，可得直三棱柱的底面为等腰直角三角形，把直三棱柱补形为正方体，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径R＝．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积为．故选：B．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．【解答】解：∵f（0）＝﹣1，f'（x）＝4﹣e x，∴f'（0）＝4﹣1＝3，由点斜式可得切线方程为：3x﹣y﹣1＝0．故答案为：3x﹣y﹣1＝0．14．【解答】解：∵a2＝1，a5＝8∴a5＝a2q3，即q3＝＝8，即q＝2，首项a1＝，则数列{a n}的前n项和S n＝＝2n﹣1﹣，故答案为：2n﹣1﹣．15．【解答】解：某同学投篮一次命中的概率是，该同学心理素质比较好，每次投中与否互不影响．该同学恰好投3次就通过测试是指该同学前两次投篮投中一次，且第三次投中，则该同学恰好投3次就通过测试的概率是：P＝＝．故答案为：．16．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y＝x，则另一渐近线OB的方程为y＝﹣，设A（m，），B（n，﹣），∵，即，∴2（c﹣m，﹣）＝（n﹣c，﹣），∴2（c﹣m）＝n﹣c，﹣，∴m＝，n＝，∴A（，）．由F A⊥OA可得，斜率之积等于﹣1，即，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝．故答案为：．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．【解答】解：（1）由正弦定理及已知，化边为角得．∵A+B+C＝π，∴sin A＝sin（B+C），代入得，∴．∵0＜C＜π，∴，又∵0＜B＜π，∴．（2）∵，∴ac＝4．由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣3ac，∴（a+c）2＝b2+3ac＝16，∴a+c＝4，∴△ABC的周长为6．18．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D作平行于AC的直线Dx，∵AB⊥AC，∴Dx⊥DC，又PD⊥面ABCD，∴以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，2，0），＝（1，1，0），＝（0，﹣1，1），设平面PCB的一个法向量为，由，取y＝1，得；取平面PCD的一个法向量．则cos＜＞＝＝．由图可知，二面角D﹣PC﹣B为钝角，∴二面角D﹣PC﹣B的余弦值为．19．【解答】解：（1）将M（2，y0）代入x2＝2py得y0＝，又|MF|＝y0﹣（﹣）＝+＝，∴p＝1，∴抛物线的方程为x2＝2y，（2）直l的斜率显然存在，设直线l：y＝kx+b，A（x1，y1）、B（x2，）由得：x2﹣2kx﹣2b＝0∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2b由，k OA k OB＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b＝4∴直线方程为：y＝kx+4，所以直线恒过定点（0，4），原点O到直线l的距离d＝，∴S OAB＝×d|AB|＝ו＝＝2＝16，∴4k2+32＝64，解得k＝±2所以直线方程为：y＝±2x+4．20．【解答】解：（Ⅰ）由已知f（x）的定义域为（0，+∞）且，所以，即a＝；此，设g（x）＝f′（x），则，则0＜x＜2 时g（x）为减函数．又所以当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜2 时f（x）为减函数．所f（x）的极大值点x＝1，符合题意．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜2 时f（x）为减函数．当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，g（4）＝，g（2）＜0；所以存在x0∈（2，4），使得g（x0）＝0；当2＜x＜x0时，g（x）＜0，f（x）为减函数；当x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜x0时f（x）为减函数，x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数；所以函数f（x）存在唯一的极小值点x0．又∵e5＜2.725＜149，；∴则即；∵ln，∴g（）＜0；所以，且满足；所以＝；故函数f（x）存在唯一的极小值点x0，且0＜f（x0）＜．21．【解答】解：（Ⅰ）M为线段AB的中点，设M（x，y），由（x1+x2）＝x＝，可得x1+x2＝1，f（x1）+f（x2）＝1+log2+log2＝1+log2＝1+log21＝1，又S n＝f（）+f（）+…+f（），S n＝f（）+f（）+…+f（），可得2S n＝[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…[f（）+f（）]＝1+1+…+1＝n﹣1，则S n＝（n∈N*，且n≥2）；（Ⅱ）当n＝1时，T1＜λ（S2+1），即＜（+1）λ，解得λ＞；当n≥2时，a n＝＝＝4（﹣），T n＝a1+a2+a3+…+a n＝+4（﹣+﹣+…+﹣）＝+4（﹣）＝，由T n＜λ（S n+1+1），可得＜λ，即为λ＞＝＝，由n+≥2＝4，当且仅当n＝2时，取得等号．则≤＝，即有λ＞．则实数λ的取值范围是（，+∞）．22. 选修4-4：坐标系与参数方程【解答】解：（1）直线C1的参数方程为（其中t为参数），消去t可得．由ρcos2θ＝3sinθ，得ρ2cos2θ＝3ρsinθ，代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得曲线C2的直角坐标方程为x2＝3y；（2）将直线C1的参数方程代入x2＝3y，得，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则，t 1t2＝﹣18，∴．23. 选修4-5：不等式选讲【解答】（1）证明：由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a＝b＝c取得等号）由题设可得（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，即有3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤；（2）解：+++a+b+c＝+b++c++a≥2a+2b+2c，故++≥a+b+c＝1，当且仅当a＝b＝c＝取得等号）．不等式++≥t恒成立，所以t的最大值为1．。
2020年高考数学押题预测卷01(江苏卷)(带答案解析)
2020年高考数学原创押题预测卷01（江苏卷）数学Ⅰ（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答试题，必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．） 1．已知集合{}062<--∈=x x Z x A ，{}1->=x x B ，则A B =I ． 2．已知i R b a ,,∈是虚数单位,若i bibia =-+2,则ab 的值为 ． 3．已知一组数据9,7,4,3,x 的平均数为5，则方差为 ． 4．函数xy 15=的值域为 ．5．执行如图所示的伪代码，输出的S 为 ．6．双曲线12422=-y x 实轴的左端点为A ，虚轴的一个端点为B ，又焦点为F ，设点A 到直线BF 的距离为d ，则d 的值为 ．7．将一个单位圆周六等分,得到6个不同的等分点,从任意取2个不同的等分点得到一条线段,则线段的长为3的概率为 ．8．已知等比数列{}n a 的公比q 是正数,且352q a =,则当q a +1取得的最小时,q 值为 ．9．现在有实心的正四棱柱铁器和实心的正四棱锥铁器各一个,已知它们的底面边长和高均相等,分别为n 和1．把它们在熔炉中熔化后重新铸造成一个底面半径为2，高为h 的实心圆锥体铁器(不计铸造过程中的损耗)，则h 的值为 ．10．已知点A,B 分别在以O 为圆心的两个同心圆上运动，且,2,1==OB OA 则-++的取值范围为 ．11．若对任意正实数mab ab b Ina Inb a b a ≥+-+22)(,,恒成立，则实数m 的取值范围是 ．12．已知函数),0(sin )(>=ωωx x f 若)4()4(),4()4(x f x f x f x f +=---=+-ππππ对任意的实数x 均恒成立，则ω的取值集合为 ．13．已知x x ee xf 212)(-=的图象在点A 处的切线为)211(ln )(,1x x x xg l --=的图象在点B 处的切线为,2l 若21l l ⊥,则直线AB 的斜率为 ． 14．在锐角三角形ABC 中,设A,B,C 的对边分别为cb a ,,成等差数列,则B accos 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）在三角形ABC 中，A 为钝角，且角A 的值和函数x y tan =与)3tan(x y -=π图象的一个公共点的横坐标相同． （1）求角A 的大小；（2）若,141sin cos sin =-C B A 求B sin 的值； 16．（本小题满分14分）如图，在六面体1111D C B A ABCD -中，已知从顶点A 出发的三条棱两两垂直，且四边形BA B A 11为矩形．（1）求证：⊥1AA 平面ABCD ． （2）若11//DD BB ,求证:.//11CC AA17．（本小题满分14分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右顶点分别为21,A A ，离心率为32，其两条准线之间的距离为9． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 是曲线C 上一点，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=∠3,421ππαA PA ，过2A 作P A R A 12⊥，交P A 1的延长线于点R A R 2,与C 交于点Q ，求直线PQ 斜率的取值范围．18．（本小题满分16分）如图，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x 不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2m 的圆形草地，为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m ，绕岛行驶的路宽均不小于10 m ．（1）求x 的取值范围；(运算中2取1．4)（2）若中间草地的造价为a 元/m 2，四个花坛的造价为433ax 元/m 2，其余区域的造价为12a11元/m 2，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？19．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ax 2＋bx ＋1(a 、b ∈R )．（1）若a≠0，则a 、b 满足什么条件时，曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在x ＝0处总有相同的切线？（2）当a＝1时，求函数h(x)＝g（x）f（x）的单调减区间；（3）当a＝0时，若f(x)≥g(x)对任意的x∈R恒成立，求b的取值的集合．20．（本小题满分16分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝2，S6＝22．（1）求S n；（2）若从{a n}中抽取一个公比为q的等比数列{ak n}，其中k1＝1，且k1<k2<…<k n<…，k n∈N*．①当q取最小值时，求{k n}的通项公式；②若关于n(n∈N*)的不等式6S n>k n＋1有解，试求q的值．数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答试题，必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作．答．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b0满足：Mαi ＝λi αi ，其中λi (i ＝1，2)是互不相等的实常数，a i (i ＝1，2)是非零的平面列向量，λ1＝1，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵M ．B ．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知两个动点P ，Q 分别在两条直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]．记OM →＝OP →＋OQ →，求动点M 的轨迹的普通方程．C ．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）解不等式：|x －1|＋2|x|≤4x ．【必做题】请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C ，D ，E 五种商品有购买意向．已知该网民购买A ，B 两种商品的概率均为34，购买C ，D 两种商品的概率均为23，购买E 种商品的概率为12．假设该网民是否购买这五种商品中的任一种不受其他商品的影响．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．23．（本小题满分10分）设n 个正数a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n (n ∈N *且n≥3)． （1）当n ＝3时，证明：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3；（2）当n ＝4时，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋a 3a 4a 1＋a 4a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3＋a 4也成立，请你将其推广到n(n ∈N *且n≥3)个正数a 1，a 2，…，a n 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．2020年高考数学原创押题预测卷01（江苏卷）数学·全解全析1.【答案】{}2,1,0【解析】以题意知，{}{}{}2,1,0,132062-=<<-∈=<--∈=x Z x x x Z x A ，又{}1->=x x B ，所以B A ⋂={}2,1,0.2.【答案】4 【解析】因为i bibia =-+2，所以ib bi a 2+=+所以2==b a 所以ab 的值为4. 3.【答案】534 【解析】由题意可知,5)9743(51=++++x 解得2=x ，所以这组数据的方差为.534])59()57()54()53()52[(5122222=-+-+-+-+-⨯ 4.【答案】),1()1,0(+∞⋃ 【解析】令,1xt =则0≠t ，结合函数t y 5=的图象，可知函数x y 15=的值域是),1()1,0(+∞⋃.5. 【答案】42【解析】第一次循环,;17,17==S I 第二次循环;31,14==S I 第三次循环,42,11==S I 退出循环,输出的S 为42.6.【答案】262+ 【解析】易知)0,6(),0,2(F A -,由对称性不妨令)2,0(B ,则直线BF 的方程为063=-+y x 所以点A 到直线BF 的距离.262262=--=d7.【答案】52 【解析】由题意可得,不同的2个等分点构成的线段共有15条,其中满足线段长为3的线段有6条,根据古典概型的概率计算公式得,所求的概率为.52156= 8.【答案】2【解析】因为352q a =,所以3412q q a =因为q 为证数,所以,22222,211=⋅≥+=+=q qq q q a q a 当切仅当2=q 时取等号. 9.【答案】1【解析】由已知得, 实心的正四棱柱铁器和实心的正四棱锥铁器的体积之和为341)(311)(22πππ=⨯⨯+⨯,重新铸造成底面半径为2，高为h 的实心圆锥体铁器的体积为,342312h h ππ=⨯⨯所以h ππ3434=,所以.1=h 10.【答案】[4,【解析】设向量,的夹角为θ，则[],,0πθ∈OA OB OA OB ++-u u u r u u u r u u u r u u u r+=+=θθcos 45cos 45-++=.令θθcos 45cos 45-++=y ,则[],20,16cos 162521022∈-+=θy 据此可得OA OB OA OB ++-u u u r u u u r u u u r u u u r的取值范围为[4,.11.【答案】(]2,∞-【解析】因为对任意正实数mab ab b Ina Inb a b a ≥+-+22)(,,恒成立，∴对任意正实数（想）恒成立，a ba b b a a b a b b a m ln )ln (ln 1⋅+=-+≤-∴对任意正实数b a ,恒成立， .)ln (1min a b a b b a m ⋅+≤-∴令,x a b =则min )ln 1(1,0x x x m x +≤->.设,ln 1)(x x x x +=ϕ则.1ln 1)(2++-='x x x x ϕ令)()(x x g ϕ'=则)(,012)(3x x x x g ϕ'∴>+='在),0(+∞上单调递增，又∴=++-=',011ln 11)1(2ϕ当)1,0(∈x 时，,0)(<'x ϕ当),1(+∞∈x 时，ϕϕ∴>',0)(x )(x 在（0，1）上单调递减，在),1(+∞上单调递增，.2,11,1)1()(min ≤∴≤-∴==∴m m x ϕϕ12.【答案】{}N n n ∈+=,24ωω【解析】因为)4()4(),4()4(x f x f x f x f +=---=+-ππππ对任意的实数x 均恒成立，所以)(x f 的图像关于直线4π-=x 和直线4π=x 对称，所以).(2)4(4*∈=--N k k πππ).(*∈=N k kT π 因为,2ωπ=T 所以),(2*∈=N k k ω所以12sin )4(==ππk f 或1-，所以k 为正奇数，设,,12N n n k ∈+=所以ω的取值集合为{}N n n ∈+=,24ωω.13.【答案】23-【解析】易知21,l l 的斜率均存在,设直线21,l l 的斜率分别为1221)(21)(,,21=⋅⋅≥+='--x x x x e e e e x f k k ,当且仅当0=x 时等号成立,则.11≥k 因为21l l ⊥,所以121-=⋅k k ,所以.012<≤-k ,ln )(x x x g -='令,ln )(x x x h -=则11)(-='xx h ,令0)(='x h ,得1=x ,分析易知)(x h 在1=x 处取得最大值1-,所以12-≤k .因为012<≤-k ,所以1,112=-=k k ,所以,1,0==B A x x 可得A(0,0),)23,1(-B ,所以.23-=AB k14.【答案】)1,259(【解析】设,t ac= 若,c b a ≤≤则⎩⎨⎧>++=≥,,2,1222c b a c a b t 得;351<≤t 若,c b a ≥≥则⎪⎩⎪⎨⎧>+>++=≤,,,2,1222a c b a c b c a b t 得.153≤<t综上，.3553<<t ,41)1(83823324)(2cos 22222222-+=-+=+-+=-+=t t ac ac c a ac c a c a ac b c a B 所以,8348341)1(83cos 2+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=t t t tt B a c 因为二次函数834832+-=t t y 图象的对称轴方程为,31=t 所以二次函数834832+-=t t y 在)35,53(上单调递增，所以,1259<<y 即.1cos 259<<B ac 15.（本小题满分14分）【解析】（1）由已知得)3tan(tan A A -=π，因为A 为钝角，所以),6,32(3),,2(πππππ-∈-∈A A 所以)3(A A -+=ππ，所以.32π=A （7分） （2）因为,141sin cos sin ,32=-=C B A A π 所以,141)3sin(cos 23=--B B π 所以,141)sin 3cos cos 3(sin cos 23=--B B B ππ 所以,141sin 21=B所以.71sin 21=B （14分） 16.（本小题满分14分）【解析】（1）因为从顶点A 出发的三条棱两两垂直, 所以.,11AD AA AB AA ⊥⊥因为⊂AD AB ,平面ABCD,且,A AD AB =⋂ 所以⊥1AA 平面ABCD.（7分）（2）因为11//DD BB ,⊄1BB 平面⊂111,DD CDD C 平面11CDD C ， 所以//1BB 平面11CDD C ,因为平面⋂CB C B 11平面11CDD C ⊂=11,BB C C 平面,11CB C B 所以11//CC BB因为四边形BA B A 11为矩形，所以,//11BB AA 所以.//11CC AA （14分） 17.（本小题满分14分）【解析】（1）由椭圆C 的离心率为32，两条准线之间的距离为9得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,92,322ca a c 得⎩⎨⎧==,2,3c a 结合222c b a +=，得5=b ，所以椭圆C 的标准方程为.15922=+y x （5分）（2）设直线P A 1的斜率为k，则,k ⎡∈⎣直线P A 1的方程是),3(+=x k y由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)3(,15922x k y y x 消去y 得，0)59(954)59(2222=-+++k x k x k设P ,Q 的坐标分别是),(),,(2211y x y x ，由求根公式得22195)95(3kk x +-=，则219530k k y +=， 由P A R A 12⊥，得直线R A 2的方程为),3(1--=x k y 同理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=22222593059)59(3k k y k k x 所以)1(14559)59(395)95(3593095302222222121kk k k k k k kk k x x y y k PQ-=+--+-+-+=--=因为k k k g 1)(-=在[]3,1上单调递增，所以,2135,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈PQ k 即直线PQ 的斜率的取值范围为.2135,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡（14分）18. （本小题满分16分）【解析】（1） 由题意，得⎩⎨⎧x≥9，100－2x≥60，1002－2x －2×15x 2≥2×10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x≥9，x≤20，－20≤x≤15，即9≤x≤15.所以x 的取值范围是[9，15]．（6分） （2） 记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得 y ＝a×π×⎝⎛⎭⎫15x 22＋433ax×πx 2＋12a 11×[104－π×⎝⎛⎭⎫15x 22－πx 2] ＝a 11[π⎝⎛⎭⎫－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104]， 令f(x)＝－125x 4＋43x 3－12x 2，则f′(x)＝－425x 3＋4x 2－24x ＝－4x ⎝⎛⎭⎫125x 2－x ＋6. 由f′(x)＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝10或x ＝15， 列表如下：]^所以当x＝10，y取最小值．答：当x＝10 m时，可使“环岛”的整体造价最低．（16分）19. （本小题满分16分）【解析】（1）因为f′(x)＝e x，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.因为g′(x)＝2ax＋b，所以g′(0)＝b.又g(0)＝1，所以y＝g(x)在x＝0处的切线方程为y＝bx＋1.所以当a≠0且b＝1时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)在x＝0处总有相同的切线．（4分）（2）由a＝1，h(x)＝x2＋bx＋1e x，所以h′(x)＝－x2＋（2－b）x＋b－1e x＝－（x－1）[x－（1－b）]e x.由h′(x)＝0，得x＝1或x＝1－b.所以当b>0时，函数y＝h(x)的减区间为(－∞，1－b)，(1，＋∞)；当b＝0时，函数y＝h(x)的减区间为(－∞，＋∞)；当b<0时，函数y＝h(x)的减区间为(－∞，1)，(1－b，＋∞)．(10分)（3）由a＝0，则φ(x)＝f(x)－g(x)＝e x－bx－1，所以φ′(x)＝e x－b.①当b≤0时，φ′(x)>0，函数φ(x)在R上单调递增．又φ(0)＝0，所以x∈(－∞，0)时，φ(x)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾．②当b>0时，由φ′(x)>0，得x>lnb；由φ′(x)<0，得x<lnb，所以函数φ(x)在(－∞，lnb)上单调递减，在(lnb，＋∞)上单调递增．当0<b<1时，所以lnb<0.又φ(0)＝0，所以φ(lnb)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾；当b>1时，同理φ(lnb)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾；当b＝1时，lnb＝0，所以函数φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以φ(x)≥φ(0)＝0，故b＝1满足题意．综上所述，b 的取值的集合为{1}．（16分） 20. （本小题满分16分）【解析】（1） 设等差数列的公差为d ，则S 6＝6a 1＋15d ＝22，因为a 1＝2，解得d ＝23.(2分) 所以S n ＝n （n ＋5）3.（2分） （2） ① 因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{ak n }的公比q>1.要使q 最小，只需要k 2最小即可．若k 2＝2，则由a 2＝83，得q ＝a 2a 1＝43，此时ak 3＝2·⎝⎛⎭⎫432＝329.由329＝23(n ＋2)，解得n ＝103N *，所以k 2>2.同理k 2>3.若k 2＝4，则由a 4＝4，得q ＝2，此时ak n ＝2n .因为ak n ＝23(k n ＋2)，所以23(k n ＋2)＝2n ，即k n ＝3×2n －1－2. 所以对任何正整数n ，ak n 是数列{a n }的第3·2n －1－2项， 所以最小的公比q ＝2，所以k n ＝3·2n －1－2.（9分） ② 因为ak n ＝2k n ＋43＝2q n －1，所以k n ＝3q n －1－2(q>1)．所以当q>1且q ∈N 时，所有的k n ＝3q n －1－2均为正整数，适合题意；当q>2且q N 时，k n ＝3q n －1－2∈N 不全是正整数，不合题意，所以q 为正整数． 而6S n >k n ＋1有解，所以2n （n ＋5）＋23q n>1有解． 经检验，当q ＝2，q ＝3，q ＝4时，n ＝1都是2n （n ＋5）＋23q n >1的解，适合题意． 下证当q≥5时，2n （n ＋5）＋23q n >1无解，设b n ＝2n （n ＋5）＋23q n ， 则b n ＋1－b n ＝2[（1－q ）n 2＋（7－5q ）n ＋7－q]3q n ＋1. 因为5q －72－2q <0，所以f(n)＝2[(1－q)n 2＋(7－5q)n ＋7－q]在n ∈N *上单调递减．因为f （1）<0，所以f(n)<0恒成立，所以b n ＋1－b n <0，所以b n ≤b 1恒成立．因为当q≥5时，b 1<1，所以当q≥5时，6S n >k n ＋1无解．综上所述，q 的取值为2，3，4.（16分）21．A ．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）【解析】由题意，λ1，λ2是方程f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ －a －b λ＝λ2－ab ＝0的两根．因为λ1＝1，所以ab ＝1. ①因为Mα2＝λ2α2，所以⎣⎡⎦⎤0 a b 0⎣⎡⎦⎤11＝λ2⎣⎡⎦⎤11，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λ2，b ＝λ2. 所以λ22＝ab ＝1.因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1.从而a ＝b ＝－1.故矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0.21．B ．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）【解析】设M(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sinθ＋cosθ，y ＝sinθ－cosθ，两式平方相加得x 2＋y 2＝2.又x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，θ∈[0，π]，所以x ∈[]－1，2，y ∈[]－1，2.所以动点M 轨迹的普通方程为x 2＋y 2＝2(x ，y ∈[]－1，2)．21．C ．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，1－x －2x≤4x 或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x≤1，1－x ＋2x≤4x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －1＋2x≤4x. 解⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，1－x ＋2x≤4x ，得x ∈∅； 解⎩⎪⎨⎪⎧0＜x≤1，1－x ＋2x≤4x ，得13≤x≤1； 解⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －1＋2x≤4x ，得x ＞1. 所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫13，＋∞.22．（本小题满分10分）【解析】（1） 记“该网民购买i 种商品”为事件A i ，i ＝4，5， 则P(A 5)＝34×34×23×23×12＝18，P(A 4)＝34×34×23×23×⎝⎛⎭⎫1－12＋C 1234×⎝⎛⎭⎫1－34×23×23×12＋C 1223×⎝⎛⎭⎫1－23×34×34×12＝13， 所以该网民至少购买4种商品的概率为P(A 5)＋P(A 4)＝18＋13＝1124. 答：该网民至少购买4种商品的概率为1124.（2） 随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，P(η＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＝1288，P(η＝1)＝C 1234×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＋C 1223×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－12＋12×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝11288，P(η＝2)＝34×34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＋23×23×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－12＋C 12⎝⎛⎭⎫1－23×23×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－34×12＋C 1234×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23×12＋C 1234×⎝⎛⎭⎫1－34×C 1223×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＝47288，P(η＝3)＝1－P(η＝0，1，2，4，5)＝1－1288－11288－47288－13－18＝97288， P(η＝4)＝P(A 4)＝13，P(η＝5)＝P(A 5)＝18. 所以，随机变量η的概率分布为故Eη＝0×1288＋1×11288＋2×47288＋3×97288＋4×13＋5×18＝103.23．（本小题满分10分）【解析】（1）因为a n (n ∈N *且n≥3)均为正实数，左－右＝12⎝⎛⎭⎫a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3－2a 1＋12⎝⎛⎭⎫a 2a 3a 1＋a 1a 2a 3－2a 2＋12⎝⎛⎭⎫a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2－2a 3 ≥12⎝⎛⎭⎫2a 1a 3a 2×a 1a 2a 3－2a 1＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 2a 3－2a 2＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 3a 2－2a 3＝0，所以，原不等式a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3≥a 1＋a 2＋a 3成立． （2）归纳的不等式为a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n≥3)． 记F n ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a n )， 当n ＝3(n ∈N *)时，由（1）知，不等式成立； 假设当n ＝k(k ∈N *且k≥3)时，不等式成立，即F k ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a 1＋a k a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k )≥0. 则当n ＝k ＋1时，F k ＋1＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1) ＝F k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－a k －1a k a 1－a k a 1a 2－a k ＋1＝F k ＋a k －1a k ⎝⎛⎭⎫1a k ＋1－1a 1＋a k ＋1⎝⎛⎭⎫a k a 1－1＋a 1a 2(a k ＋1－a k )≥0＋a 2k⎝⎛⎭⎫1a k ＋1－1a 1＋a k ＋1⎝⎛⎭⎫a k a 1－1＋a 1a k (a k ＋1－a k )＝(a k ＋1－a k )⎝⎛⎭⎫a k a 1＋a 1a k －a k ＋1＋a k a k ＋1，因为a k ＋1≥a k ，a k a 1＋a 1a k ≥2，a k ＋1＋a k a k ＋1≤a k ＋1＋a k ＋1a k ＋1＝2， 所以F k ＋1≥0，所以当n ＝k ＋1，不等式成立．综上所述，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n≥3)成立．。
2020年泄露天机高考押题全国I卷-理科数学(一)-(含解析)
绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（一）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}|15U x x =∈≤≤Z ，{}1,2,3A =，{}1,2U B =，则A B =（ ） A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}3D ．{}1,2,3此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位2．如果复数2i12ib -+(其中i 为虚数单位，b ∈R )的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A ．23-B ．23C D ．23．如图，正方形ABCD 内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．4πC ．π8D ．124．已知π3π(,)22α∈，且tan α=，那么sin α=（ ）A ．-B ．CD 5．在数列{}n a 中，若11a =，()123n n a a n *+=+∈N ，则101a =（ ） A ．10023-B ．10123-C ．10221-D ．10223-6．在ABC △中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则（ ） A ．若m α∥，n ⊂α，则//m nB ．若m αβ=，n β⊂，n m ⊥，则n α⊥C ．若m α∥，n β∥，//m n ，则αβ∥D ．若m α⊥，n β⊥，n m ⊥，则αβ⊥9．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，垂足为E ，若6AB =，则EM 的长为（ ）A ．BC ．2D10．函数()()4ln f x kx x x =+-（1x >），若()0f x >的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1142,ln2ln33⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．1142,ln2ln33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．141,1ln332ln2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．141,1ln332ln2⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ）A ．5B ．5C ．5D ．512．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()222x y f x y f x f y +=⋅++-，且(1)1f =，则下列说法正确的有（ ）（1）若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 是奇函数； （2）(0)(2)4f f +=；（3）设函数()()2h x f x =+，则函数()h x 的图象经过点(3,9)； （4）设*n ∈N ，若数列{}()1f n +是等比数列，则()21n f n =-． A ．（2）（3）（4） B ．（1）（3）（4） C ．（1）（3）D ．（1）（2）（3）（4）第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为_______．14．若0(21)d 2(0)tx x t +=>⎰，则t =_______．15．若实数x ，y 满足不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为__________．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 与C 交于,A B （其中点A 在x 轴上方）两点，且满足22AF F B λ=．若C 的离心率为32，直线l 的倾斜角为120︒，则实数λ的值是_________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．向量()2,a b =m ，()1,cos C =-n ，且∥m n ．（1）若30A =︒，求角C 的值； （2）求角B 的最大值．18．（12分）如图，在矩形ABCD中，2CD=，1BC=，,E F是平面ABCD同一侧面点，EA FC∥，AE AB⊥，2EA=，DE1FC=．（1）证明：平面CDF⊥平面ADE；（2）求二面角E BD F--的正弦值．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0) :x ya baCb+=>>，且左焦点F1到左准线的距离为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 2与l 1平行，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线l 1的两侧）．记△MAB ，△OAB 的面积分别为S 1，S 2，若12S S λ=，求实数λ的取值范围．20．（12分）某位学生为了分析自己每天早上从家出发到教室所花的时间，随机选取了10天的数据，统计如下（单位：分钟）：23，21，22，19，22，19，17，19，21，17．（1）若每天上学所花的时间X 服从正态分布2(,)N μσ，用样本的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值． ①求μ和σ的值；②若学校7点30分上课，该学生在7点04分到7点06分之间任意时刻从家出发，求该学生上学不迟到的概率的范围；（2）在这10天中任取2天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为Y ，求Y 的分布列和数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．21．（12分）已知函数()e (ln )x f x a x =⋅+，其中a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（2）记()f x 的导函数为()g x ，当(0,ln 2)a ∈时，证明：()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程是22x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为π2cos 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-． （1）求m 的值； （2）若,,a b c +∈R ，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}|15U x x =∈≤≤Z ，{}1,2,3A =，{}1,2U B =，则A B =（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,3 C ．{}3 D ．{}1,2,3【答案】C【解析】全集{}{}|151,2,3,4,5U x x =∈≤≤=Z ，{}1,2,3A =， 由{}1,2U B =，可得{}3,4,5B =，所以{}3A B =，故选C ． 2．如果复数2i12ib -+(其中i 为虚数单位，b ∈R )的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A ．23- B ．23C D ．2【答案】A【解析】()()()()()()2i 12i 224i 4i2i 2212i 12i 12i 555b b b b b b ----++--===-++-，因为该复数的实部和虚部互为相反数，因此224b b -=+，因此23b =-，故选A ．3．如图，正方形ABCD 内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．4πC ．π8D ．12【答案】C【解析】设正方形ABCD 的边长为2，则正方形的面积14S =， 则圆的半径为1r =，阴影部分的面积为2211ππ22S r ==， 根据几何概型及其概率的计算公式可得211π248πS P S ===，故选C ． 4．已知π3π(,)22α∈，且tan α=，那么sin α=（ ） A．-B． CD【答案】B【解析】因为π3π(,)22α∈，sin tan 0cos ααα==>， 故3π(π,)2α∈，即sin αα=，又22sin cos 1αα+=，解得sin 3α=-，故选B ． 5．在数列{}n a 中，若11a =，()123n n a a n *+=+∈N ，则101a =（ ） A ．10023- B ．10123- C ．10221- D ．10223-【答案】D【解析】123n na a +=+，()1323n n a a +∴+=+，1323n na a ++∴=+，且134a +=， 所以，数列{}3n a +是以4为首项，以2为公比的等比数列，113422n n n a -+∴+=⨯=，123n n a +∴=-，因此，10210123a =-，故选D ．6．在ABC △中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0πA <<，0πB <<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >， 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件， 故选C ．7．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环，所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ．8．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则（ ） A ．若m α∥，n ⊂α，则//m nB ．若m αβ=，n β⊂，n m ⊥，则n α⊥C ．若m α∥，n β∥，//m n ，则αβ∥D ．若m α⊥，n β⊥，n m ⊥，则αβ⊥【答案】D【解析】对于A ，若m α∥，n ⊂α，则直线,m n 可以平行，也可以异面，所以A 错误；对于B ，因为αβ⊥不一定能成立，所以当m αβ=，n β⊂，n m ⊥时，n α⊥不一定成立，所以B 错误；对于C ，若m α∥，n β∥，m n ∥，则αβ∥，或平面α与平面β相交，所以C 错误；选项D ：若m α⊥，n β⊥，n m ⊥，则αβ⊥成立，所以D 正确．故选D ． 9．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，垂足为E ，若6AB =，则EM 的长为（ ）A ．BC ．2 D【答案】B【解析】由已知得()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，并与24y x =联立，得2440y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,E x y ，124y y m +=， 则12022y y y m +==，2021x m =+，()221,2E m m ∴+， 又()2121224446AB x x m y y m =++=++=+=，解得212m =，线段AB 的垂直平分线为()2221y m m x m -=---，令0y =，得()223,0M m +，从而ME ==，故选B ．10．函数()()4ln f x kx x x =+-（1x >），若()0f x >的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1142,ln2ln33⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．1142,ln2ln33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．141,1ln332ln2⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．141,1ln332ln2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()0f x >，得到4ln xkx x+>， 令()ln x g x x =，则()()2ln 1ln x g x x -'=， 令()0g x '>，解得x e >；令()0g x '<，解得1x e <<， 故()g x 在()1,e 递增，在(),e +∞递减， 画出函数草图，如图所示：结合图象224ln 2334ln 3k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得114 2ln 2ln 33k -<≤-，故选A ． 11．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意，点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点， 点M 为11B C 的中点，设1BB 中点为N ，1AB 中点为K ，如下图所示：在平面11BB C C 中，CN BM ⊥，由题意可知DP BM ⊥，CN 为DP 在平面11BB C C 内的射影，所以直线DP 在过点D 且与BM 垂直的平面内，又因为P 在正方体内切球的球面上，所以点P 的轨迹为正方体的内切球与过D 且与BM 垂直的平面相交得到的小圆，即P 的轨迹为过,,D C N 的平面即为平面CDKN 与内切球的交线， 因为,,D O N 位于平面11DD B B 内， 设O 到平面CDKN 的距离为h ，所以由C DON O DCN V V --=，可得1111111322232ON DD AC CD CN h ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入可得1111123232h ⨯=⨯⨯，解得5h =，正方体的内切球半径为1R =，由圆的几何性质可得所截小圆的半径为r ==，所以小圆的周长为2πC r ==即动点P ，故选C ． 12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()222x y f x y f x f y +=⋅++-，且(1)1f =，则下列说法正确的有（ ）（1）若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 是奇函数； （2）(0)(2)4f f +=；（3）设函数()()2h x f x =+，则函数()h x 的图象经过点(3,9)； （4）设*n ∈N ，若数列{}()1f n +是等比数列，则()21n f n =-． A ．（2）（3）（4） B ．（1）（3）（4） C ．（1）（3）D ．（1）（2）（3）（4）【答案】B【解析】对于（1），()()()[()()]()g x f x f x f x f x g x -=--=---=-， 所以函数()g x 是奇函数，故（1）正确；对于（2），令1x =，0y =，代入可得10(1)(1)(0)222f f f =⋅++-， 因为(1)1f =，(0)0f ∴=；令1x =，1y =，则211(2)[(1)]2223f f =++-=，(0)(2)3f f ∴+=，故（2）错误；对于（3），令1x =，2y =，则12(3)(1)(2)2227f f f =⋅++-=，(3)729h ∴=+=，即函数()h x 的图象经过点(3,9)，故（3）正确；对于（4），令1x =，1y =-，则11(0)(1)(1)222f f f -=⋅-++-，(1)1f =，(0)0f =，1(1)2f ∴-=-；当2n ≥，由()()()222x y f x y f x f y +=⋅++-， 可知()()()222x y f x f y f x y --=++⋅，所以[(1)1][(1)1]f n f n -+⋅++(1)(1)(1)(1)1f n f n f n f n =-⋅++-+++1111(2)222()(1)222()(1)2221n n n n f n f n f f n f -+-=--++⋅-++-+⋅++-+113(2)()222n f n f n -=+-+， 22[()1][()]2()1(2)2222()1n n f n f n f n f n f n +=++=--+++1(2)2()23n f n f n +=+-+，∵数列{()1}f n +是等比数列，2[(1)1][(1)1][()1]f n f n f n ∴-+⋅++=+，即1113()22()2322n n f n f n -+-+=-+，()21n f n ∴=-，故（4）正确，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为_______． 【答案】6【解析】因为男女生的比例为30:203:2=，由分层抽样的概念可知在抽取的容量为15的样本中男女生的比例也应为3:2，则抽取的女生人数为215632⨯=+， 故答案为6．14．若0(21)d 2(0)tx x t +=>⎰，则t =_______．【答案】1【解析】由()()220021d |2tt x x x x t t +=+=+=⎰，解得1t =或2-（舍），故答案为1．15．若实数x ，y 满足不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为__________．【答案】9【解析】画出不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩所表示的可行域，如图，由图知平移直线x y z +=，当直线经过点()4,5A 时，直线在y 轴上的截距z 最大，即x y +在点()4,5A 处取得最大值459+=，故答案为9．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 与C 交于,A B （其中点A 在x 轴上方）两点，且满足22AF F B λ=．若C 的离心率为32，直线l 的倾斜角为120︒，则实数λ的值是_________．【答案】17【解析】由2222222229544c a b b e a a a +===⇒=<，得直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，设2||F B k =，则2||AF k λ=．根据双曲线定义，1||2F B a k =+，1||2AF a k λ=+． 在12AF F △中，由余弦定理，得222(2)(2)()22cos 60a k c k c k λλλ+=+-⋅︒①； 在12BF F △中，由余弦定理，得()()2222222cos120a k c k ck +=+-⋅︒②，①-②并整理，得322212327222c a c a c a c a λ---====+++．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．向量()2,a b =m ，()1,cos C =-n ，且∥m n ．（1）若30A =︒，求角C 的值； （2）求角B 的最大值． 【答案】（1）120︒；（2）30︒．【解析】（1）因为()2,a b =m ，()1,cos C =-n ，且∥m n ， 所以()2cos a C b ⨯-=，即2cos 0a C b +=，由正弦定理sin sin a bA B=，得2sin cos sin 0A C B +=……① 所以()2sin cos sin 0A C A C ++=，整理，得3sin cos cos sin 0A C A C +=……②将30A =︒代入上式，得tan C = 又()0,πC ∈，所以120C =︒．（2）方法一：由①式，因为sin 0A >，sin 0B >，所以9cos 00C C ⇒><︒，cos 0A ∴>，②式两边同时除以cos cos A C ，得3tan tan 0A C +=，()22tan tan tan 3tan 2tan tan tan 1tan tan 13tan 13tan A C A A AB AC A C A A+-∴=-+=-=-=-++，又213tan A A +≥，tan B ∴≤=，1A =，即30A =︒时取等号， 又()0,πB ∈，所以B 的最大值为30︒．方法二：由（1）知，2cos 0a C b +=，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=，代入上式并化简得22220a b c +-=，所以()222222222131222cos 222a c c a a c a c bB acac ac+--++-===，又223122a c +≥=，cos B ∴≥= 当且仅当223122a c =，即c =时取等号，又()0,πB ∈，所以B 的最大值为30︒．18．（12分）如图，在矩形ABCD 中，2CD =，1BC =，,E F 是平面ABCD 同一侧面点，EA FC ∥，AE AB ⊥，2EA =，DE 1FC =．（1）证明：平面CDF ⊥平面ADE ； （2）求二面角E BD F --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴CD AD ⊥， ∵AE AB ⊥，CD AB ∥，故CD AE ⊥， 又AD AE A =，∴CD ⊥平面ADE ，∵CD ⊂平面CDF ，∴平面CDF ⊥平面ADE ．（2）∵1BC =，2EA =，DE = ∴222DE AD AE =+，∴AE AD ⊥，又AE AB ⊥，AB AD A =，∴AE ⊥平面ABCD ．以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,2,1F ，()1,0,2E ， ∴()1,2,0DB =，()0,2,1DF =，设平面BDF 的一个法向量(),,x y z =m ，由00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得2020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令2x =，得()2,1,2=-m ．同理可求得平面BDE 的一个法向量()2,1,1=--n ，∴cos ,6⋅〈〉===m n m n m n，∴sin ,〈〉=m n ，故二面角E BD F --19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0):x y a b a C b+=>>，且左焦点F 1到左准线的距离为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 2与l 1平行，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线l 1的两侧）．记△MAB ，△OAB 的面积分别为S 1，S 2，若12S S λ=，求实数λ的取值范围．【答案】（1）22154x y +=；（2）)1⎡⎣．【解析】（1）因为椭圆C ，所以c a =又椭圆C 的左焦点1F 到左准线的距离为4，所以24a c c ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，所以25a =，21c =，2224b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22154x y +=．（2）因为原点与直线1:l y kx m =+的距离为1，1=，即m =设直线2:l y kx n =+，由22154y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22245105200k x knx n +++-=，因为直线2l 与椭圆C 相切，所以()()()222104455200Δkn k n =--+-=，整理得2254n k =+，因为直线1l 与直线2l之间的距离d =所以112S AB d =⋅，2112S AB =⋅，所以121m n S n S m m λ-====-， 又2222541511n k m k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 因为20k ≥，所以[)24,5n m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又,O M 位于直线1l 的两侧，所以,m n 同号，所以n m⎡∈⎣，所以)11n m ⎡-∈⎣，故实数λ的取值范围为)1⎡⎣．20．（12分）某位学生为了分析自己每天早上从家出发到教室所花的时间，随机选取了10天的数据，统计如下（单位：分钟）：23，21，22，19，22，19，17，19，21，17．（1）若每天上学所花的时间X 服从正态分布2(,)N μσ，用样本的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值． ①求μ和σ的值；②若学校7点30分上课，该学生在7点04分到7点06分之间任意时刻从家出发，求该学生上学不迟到的概率的范围；（2）在这10天中任取2天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为Y ，求Y 的分布列和数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．【答案】（1）①20μ=，2σ=；②(0.9772,0.9987)；（2）分布列见解析，112()45E Y =． 【解析】（1）①样本的平均数为1(23212219221917192117)2010⨯+++++++++=，样本的标准差为2， 因此20μ=，2σ=．②学校7点30分上课，若该学生7点04分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为26分钟，若该学生7点06分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为24分钟，由于1(26)(3)1[(1(33)]2P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+11(10.9974)0.99872=-⨯-=，1(24)(2)1[(1(22)]2P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+ 11(10.9544)0.97722=-⨯-=．所以该学生上学不迟到的概率的范围是(0.9772,0.9987)．（2）把该学生这10天早上从家出发到教室所花的时间从小到大排列为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23．在这10天中任取2天，所花时间的差的绝对值为Y ，则Y 的可能值为0，1，2，3，4，5，6，且22222322210C C C C 62(0)C 4515P Y +++====，11112221210C C C C 62(1)C 4515P Y +====， 111111232321210C C C C C C 14(2)C 45P Y ++===，1132210C C 62(3)C 4515P Y ====， 11112231210C C C C 7(4)C 45P Y +===，1122210C C 4(5)C 45P Y ===，1121210C C 2(6)C 45P Y ===， 所以Y 的分布列是Y 的数学期望是22142742112()01234561515451545454545E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（12分）已知函数()e (ln )x f x a x =⋅+，其中a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（2）记()f x 的导函数为()g x ，当(0,ln 2)a ∈时，证明：()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <．【答案】（1）0；（2）证明见解析．【解析】（1）()()11e ln e e ln x xx f x a x a x x x ⎛⎫=⋅++⋅=⋅++ ⎝'⎪⎭， 依题意，有()()1e 1e f a =⋅+='，解得0a =．（2）令()1e ln x g x a x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，所以()2211121e ln e e ln x x x g x a x a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++⋅-=⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'． 因为e 0x >，所以()g x '与221ln a x x x+-+同号， 设()221ln h x a x x x =+-+，则()()22331122x xx h x x x-='+-+=， 所以对任意()0,x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在()0,+∞单调递增．因为()0,ln2a ∈，所以()110h a =+>，11ln 022h a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =．()g x 与()g x '在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下：所以()g x 在区间01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1x 上单调递增． 所以若()0,ln2a ∈，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0x 是()g x 的极小值点．令()00h x =，得到002012ln x a x x -+=，所以()()00000212e ln e 0x x x f x a x x -=⋅+=⋅<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程是22x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为π2cos 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．【答案】（1）22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（2） 【解析】（1）2cos ρθθ=，2ρθθ∴=-，∴圆C的直角坐标方程为220x y++=，即22122x y ⎛⎫⎛-++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，∴圆心直角坐标为22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． （2）直线l上的点向圆C引切线长是==≥∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-． （1）求m 的值； （2）若,,a b c +∈R ，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥． 【答案】（1）1m =；（2）证明见解析．【解析】（1）()01011f x m x m x m ≥⇒--≥⇒-≤≤+， 由()10f x +≥的解集为[]0,2，可知1m =． （2）111123ab c++=， 则()11123322322111232233bcacaba b c a b c a b c a a b b c c ⎛⎫++=++++=++++++++ ⎪⎝⎭233233692323b a c a c ba b a c b c=++++++≥+=． 当且仅当23a b c ==时等号成立，即3a =，32b =，1c =时等号成立．。
数学(理科) 高考预测与题·临考押题卷(全国卷) 命题人密卷 答案
观想象、数学运算核心素养 ．
【解题思路】如图所示的正三棱柱，其底面是边长为 ４的
正三角形，高为 ４，则该几何体为四棱锥 Ａ－ＢＣＤＥ，所
以其体积
Ｖ＝
１ ３
×
１ ２
×（２＋４）×４×２槡３＝８槡３，故
选 Ｄ．
ｇ（ｘ）＝ｌｎｘｘ在（０，ｅ）上单调递增，在（ｅ，＋∞）上单调递
{ 减，所以 ｇ（ｘ）的极大值 ｇ（ｅ）＝１ｅ，所以
( ) ｜ＡＢ｜＝４槡３，圆 Ｍ的半径 ｒ＝３槡２，设圆心 Ｍ ０，３槡２３
到直 线 ＡＢ的 距 离 为 ｄ，由 勾 股 定 理 得 ｒ２ ＝ｄ２ ＋
｜Ａ４Ｂ｜２，解得 ｄ＝槡６，由 ｄ＝
ｂ－３槡２３ 槡２
＝槡６，解得 ｂ＝
－槡２３（正值舍去），所以直线 ＡＢ的方程为 ｙ＝ｘ－槡２３，
代入抛物线
Ｃ的方程中得
所以 ｂ＝２ＲｓｉｎＢ＝４槡３３ ＳＡＤ，ＥＦ平面 ＳＡＤ，
所以 ＥＦ∥平面 ＳＡＤ． 在△ ＡＢＣ中，ＣＦ⊥ ＡＢ． 在△ ＡＤＣ中，ＤＡ＝ＤＣ＝１，
（２分）
ＡＣ＝槡３，故∠ ＣＡＤ＝３０°， 所以∠ ＢＡＤ＝９０°，即 ＤＡ⊥ ＡＢ，则 ＣＦ∥ ＤＡ．
又 ＤＡ平面 ＳＡＤ，ＣＦ平面 ＳＡＤ，
１ ２＋
３２ｉ·ｉ＝
－
３ ２
＋
１２ｉ，所以
复
数 ｚ·ｉ的虚部为 １２，故选 Ｃ．
３．【答案】Ｃ
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，考查运算求
解能力，考查数学运算核心素养 ．
【解题思路】由双曲线 Ｃ的方程得（ｋ－２）（３－ｋ）＜０，
解得 ｋ＜２或 ｋ＞３，当焦点在 ｘ轴上时，有 ３－ｋ＋
（－ｋ＋２）＝９，解得 ｋ＝ －２；当焦点 在 ｙ轴 上 时，有
2020年高考押题预测卷01(新课标Ⅰ卷)-理科数学(带答案解析)
2020年高考押题预测卷01【新课标Ⅰ卷】理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，1|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则()U A B =I ð（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞2．已知条件:()2cos()(0)p f x x ωθω=+≠是奇函数，条件:,2q k k Z πθπ=+∈，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知函数3211,0()32,0x x x x f x e x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩则2(3)(2)f x f x ->的解集为（ ） A ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞ B ．(3,1)- C ．(,1)(3,)-∞-+∞UD ．(1,3)-5．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．346．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 7．若()*3nx n N x x ⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22aaa x dx --=⎰（ ） A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π8．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ）A ．54πB ．34π C ．2π D ．3π 9．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出i 的值为A ．8B ．7C ．6D ．510．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对123100++++L 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数2()(0)36057xf x m m =>+，则(1)(2)(3)(2018)f f f f m +++++L 等于（ ）A ．20183m + B ．240363m + C ．40366m + D ．240376m +11．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，222AF F B =u u u u v u u u u v，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．7412．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 的中点，M 为直线1BD 上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ） A ．63B ．66C ．34 D ．36第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______.①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同； ②支出最高值与支出最低值的比是6:1； ③第三季度平均收入为50万元； ④利润最高的月份是2月份．14．已知正实数,x y 且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为15．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有________种．16．已知函数22()()()x af x x a e e =+++，若存在0x ，使得024()1f x e ≤+，则实数a 的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3sin B C b c C+=. （1）求b 的值；（2）若cos 3sin 2B B +=，求ABC ∆面积的最大值.18．（本小题满分12分）如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，1190,1,2,5BAC AB BC BB C D CD ∠======o ，平面1CC D ⊥平面11ACC A（I ）求证：1AC DC ⊥；（II ）若M 为1DC 中点，求证：//AM 平面1DBB ；（III ）在线段BC 上（含端点）是否存在点P ，使直线DP 与平面1DBB 所成的角为3π？若存在，求BP BC得值，若不存在，说明理由.19．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆经过点)6,1P-，且△PF 1F 2的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 与以原点为圆心，半径为2的圆交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且CD AB λ=（R λ∈），当λ取得最小值时，求直线l 的方程. 20．（本小题满分12分）绿色已成为当今世界主题，绿色动力已成为时代的驱动力，绿色能源是未来新能源行业的主导．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50．用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值；（ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率；（ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为Y ，求()E Y ；（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n 格的概率为(1,2,,50)n P n =L ，其中01P =，试说明{}1n n P P --是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车. 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈„，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈„，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈„.21．（本小题满分12分） 已知函数()()22xf x esinx axa e =-+-,其中2.71828...a R e ∈=，为自然对数的底数.(1)当0a =时，讨论函数()f x 的单调性; (2)当112a ≤≤时，求证:对任意的[)()0,,0x f x ∈+∞<. 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为()222cos 4sin 4ρθθ+=，过点()2,1P 的直线l 的参数方程为222212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的值，并求定点P 到A ，B 两点的距离之积. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()20f x x x t t =-+->的最小值为2 （1）求不等式()8f x x t +-≥的解集; （2）若22252352a b c t ++=,求23ac bc +的最大值.2020年高考押题预测卷01【新课标Ⅰ卷】理科数学·参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DCA BCB CCAACB13． ①②③ 14． 815．2016． 2211e e -+17．（本小题满分12分）【解析】 (1)由题意及正、余弦定理得222222322a c b a b c aabc abc +-+-+=， 整理得22323a aabc c=，∴3b =.（5分） （2）由题意得cos 3sin 2sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴sin(+=16B π）， ∵()0,B π∈， ∴62B ππ+=，3B π=.由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2232a c ac ac ac ac =+-≥-=， 3ac ∴≤，当且仅当3a c ==时等号成立． ∴11333sin 32224S ac B =≤⨯⨯=． ∴ABC ∆面积的最大值为334．（12分）18．（本小题满分12分）【解析】证明：（I ）在直三棱柱111ABC A B C -中，∵1CC ⊥平面ABC ∴1CC AC ⊥∵平面1CC D ⊥平面11ACC A ，且平面1CC D ⋂平面111ACC A CC = ∴AC ⊥平面1CC D ∴AC ⊥ 1DC （3分）（II ）在直三棱柱111ABC A B C -中，∵1AA ⊥平面111A B C ，∴111111,AA A B AA AC ⊥⊥又11190B A C BAC ∠=∠=o，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得()2,0,0A ，()3,0C ，()13,0C ，()2,0,1B ，()10,0,1B ，()3,2D ()()12,0,0,1,3,1BB BD =-=--u u u v u u u v设平面1DBB 的法向量(),,n x y z =v∵100n BB n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ∴2030x x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 令1y = 则(0,1,3n =-v∵M 为1DC 的中点，∴133,1,3,122M AM u u u u v ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵0AM n ⋅=u u u u v v∴AM n ⊥u u u u vv又AM ⊄平面1DBB ，∴//AM 平面1DBB （8分）（III ）由（II ）可知平面1DBB 的法向量(0,1,3n =-v设[],0,1BP BC λλ=∈u u u v u u u v,则()()3,1,33,1P DP u u u u v λλλλ-=--.若直线DP 与平面1DBB 所成的角为3π， 则2233|cos ,|2445n DP n DP n DP λλλ⋅===⋅-+v v v v v v ,解得[]50,14λ=∉. 故不存在这样的点P ，使得直线DP 与平面1DBB 所成的角为3π.（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）由12PF F △的面积可得12122c ⋅⋅=，即2c =，∴224a b -=．① 又椭圆C 过点)6,1P-，∴22611a b+=．②由①②解得a =2b =，故椭圆C 的标准方程为22184x y +=. （4分）（2）设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l的距离d =，由弦长公式可得AB == 将y x m =+代入椭圆方程22184x y+=，得2234280x mx m ++-=，由判别式()221612280m m ∆=-->，解得m -<< 由直线和圆相交的条件可得d r <<22m -<<，设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式，得CD ===由CD AB λ=，得CD AB λ=== ∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =时，λ， 此时直线l 的方程为y x =．（12分） 20．（本小题满分12分） 【解析】（1）0.002502050.004502550.009503050.00450x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯3550.00150405300+⨯⨯=（千米）. （2分） （2）（i ）由()2~300,50X N .[]1(200350)(200400)(250350)2P X P X P X ∴<=<+<剟? 0.95450.68270.477250.341350.818622=+=+=. （4分）（ⅱ）依题意有~(10,0.8186)Y B ，所以()8.186E Y =. （6分） （3）第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =. 遥控车移到第(249)n n 剟格的情况是下面两种，而且只有两种； ①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -. ②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -.211122n n n P P P --∴=+，()11212n n n n P P P P ---∴-=--.149n ∴剟时，数列{}1n n P P --是等比数列，首项为1012P P -=-，公比为12-的等比数列． 1112P ∴-=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， (112)n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. ()()()11121001122n n n n n n n P P P P P P P P ----⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 112⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭1111212113212n n ++⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭(0,1,,49)n =L . ∴获胜的概率504921132P ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 失败的概率4949504811************P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 50494849502111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-----=-->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.∴获胜的概率大. ∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．（12分）21．（本小题满分12分）【解析】(1) ()()0,xa f x esinx e ==-,()()'04x x f x e sinx cosx e e x e π⎤⎛⎫=+-=+-< ⎪⎥⎝⎭⎦;∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减。
2020年高考理科数学考前押题卷附参考答案 (1)
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知实数a ，b 满足1a >，1b >且10log log 3a b b a +=，b a a b =，则执行如图所示的程序框图，输出是S =（）A ．2B ．2C ．3D ．32．如图所示的数阵称为杨辉三角.斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：12336410⋯，，，，，，，记这个数列的前n 项和为n S ，则16S 等于（）.A ．128B ．144C ．155D ．1643．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-4．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D 为BE 中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．17B ．14C ．13D ．4135．若12i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（） A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=6．已知正三棱锥A BCD -的外接球是球O ，正三棱锥底边3BC =，侧棱23AB =E 在线段BD 上，且BE DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A ．9,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,3ππC ．11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．不等式601x x+≥-的解集为（） A ．{|61}x x -≤≤B ．{|1x x ≥或6}x ≤-C ．{|61}x x -≤<D ．{|1x x >或6}x ≤-8．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2n n n a a n N a +=∈+.设*11(2)(1)()n n b n n N a λ+=-⋅+∈，215b λλ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．3(1,)2-C ．(1,1)-D ．(1,2)-9．现有3个命题1:p 函数()lg 2f x x x =--有2个零点. 2:,,sin 3 2.62p x x x ππ⎛⎫∃∈= ⎪⎝⎭3:p 若2,4,a b c d ac bd +=+=+>则a b c d ,,,中至少有1个为负数.那么,这3个命题中,真命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．310．已知实数a >0，b >0，a ≠1，且满足lnb a，则下列判断正确的是（） A ．a >bB ．a <bC ．a log b >1D ．a log b <111．已知圆O 的方程为221x y +=，过第一象限内的点(),P a b 作圆O 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，若·8PO PA =u u u v u u u v，则+a b 的最大值为（） A ．3B ．32C ．42D ．612．设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A ．{S}=1且{T}=0B ．{S}=1且{T}=1C ．{S}=2且{T}=2D ．{S}=2且{T}=3 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
临考押题卷01-2020年高考数学(理)临考押题卷(解析版)
2020年高考临考押题卷（一）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．已知集合{}1M x x =<，{}20N x x x =-<，则（ ） A ．{}1M N x x =<I B ．{}0M N x x =>U C ．M N ⊆ D ．N M ⊆【答案】D【解析】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<， 则：{}|01M N x x =<<I ，选项A 错误；{}|1M N x x ⋃=<，选项B 错误； N M ⊆，选项C 错误，选项D 正确；故选：D .2．设复数z 满足：(1)2i z i +=-，则z 的虚部为（ ） A ．12i B ．12C ．32i -D ．32-【答案】D【解析】因为(1)2i z i +=-，故可得()()()()211311122i i i z i i i i --2-===-++-. 则z 的虚部为：32-. 故选：D.3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。
2020年高考(理科)数学预测押题密卷 试题-含答案
1. 已知集合 A {x | y
x2
2x 3} ，全集U
R
，集合 B
{x |
1 2x 2
0} ，则 (CU
A) B
A. [2，3)
B. [1，3)
C. (2，3)
D. (1，3)
（）
2. 已知 i 为虚数单位，且复数 z 满足 z(1 2i) i i2020 ，则 | z | 的值为
13.已知向量 a (2，3) ， b (3，k) ， a b ，则 | a b |
.
14.某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨标准煤）有如下几组样本数据，
x
3
4
y
2.5
3
a
6
4
4.5
理科数学试题第 2 页（共 4 页）
学校：
班级：
_______________________________装____________________________________订_______________________________线____________________________________
分别为椭圆 C
的左顶点、上顶点、左焦点，若 MFN
NMF
90°，
则椭圆 C 的离心率是
（）
A. 5 1 2
B. 3 1 2
C. 2 1 2
D. 3 2
11. 已知正数 a ，b ，c 满足 a2 4ab 16b2 c 0 ，当 ab 取得最大值时，则 c 4a 32 的最小值为
c
4b 4
（）
A. 1 5
B. 10
C. 5
D. 2