导数大题中不等式的证明题

导数大题中不等式的证明

1.使用前面结论求证（主要）

2.使用常用的不等关系证明，有三种：()ln 1x x +<，sin ,x x

x <-。

1、设函数()e x

f x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!

n

n x x x g x x n =++

+++L （*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥；

（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；

（3）证明：()123222211e 2341n

n g n ????????+++++< ? ? ? ?

+????????

≤L （*

n ∈N ）．

2、已知函数2

901x

f x a ax =

>+()() ． （1）求f x ()在1

2

2[,]上的最大值；

（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；

（3）当2a =时，设1214122x x x ,??

∈????

…,,, ，且121414x x x =…+++ ，

若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()

恒成立，求实数λ的最小值．

3、已知,ln 2)(),0()(bx x x g a x

a

x x f +=>-

=且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切． （1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a=1时，求最大的正整数 k ，使得对Λ71828.2](3,[=e e 是自然对数的底数）内的任意 k 个实数k x x x x ,,,,321Λ都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤++-Λ成立； （3）求证：)12ln(1

4412

+>-∑

=n i i n

i )(*

∈N n

4、已知函数)1ln()(2

x ax x f +-=

（1）当5

4

=

a 时，求函数)(x f 在),0(+∞上的极值； （2）证明：当0>x 时，x x <+)1ln(2

； （3）证明：e n

<+++)11()311)(211(444Λ 为自然对数的底数）e n N n ,2,(≥∈*.

5、在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L :2

14

y x =

.实数p ,q 满足240p q -≥，x 1,x 2是方程20x px q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ?=。

（1）过点2

0001(,)(0)4

A p p p ≠(p 0≠ 0)作L 的切线交y 轴于点

B 。证明：对线段AB 上任一点Q (p ，q )有0

(,)2

p p q ?=

； （2）设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2-4b >0,a ≠0。过M (a ，b )作L 的两条切线12,l l ，切点分别为

22112211

(,

),(,)44

E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交与,'

F F ，线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：

M (a ,b ) ∈X ?12P P >?(,)a b ?1

2

p =

； （3）设D ={ (x ,y )|y ≤x -1,y ≥14(x +1)2-5

4

}，当点(p ,q )取遍D 时，求(,)p q ?的最小值 （记为min ?）和最大值（记为max ?）.

6.设a ＜1，集合

（1）求集合D （用区间表示） （2）求函数在D 内的极值点。

7、设函数2

()(1)()x

f x x e kx k R =--∈ （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；

（2）当1

(,1]2

k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M

8、设函数

()f x =

，其中2k <-，

（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论函数()f x 在D 上的单调性；

（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）。

9、已知二次函数()

21f

x x ax m =+++，关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的

解集为()1m m ,+，其中m 为非零常数.设()()1

f x

g x x =-.

（1）求a 的值；

（2）k k (∈R )如何取值时，函数()x ?()g x =-()1k x ln -存在极值点，并求出极值点；

（3）若1m =，且x 0>，求证：()()

1122n

n n g x g x n (??+-+≥-∈??

N *).

10、已知函数()()221e x f x x x =-+（其中e 为自然对数的底数）．

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域

同区间”．试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．

11、设n a 是函数()3

2

1f x x n x =+-(

)*

n ∈N

的零点．

（1）证明：01n a <<； （2）证明：1

n

n <+1232n a a a +++

12、已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()

1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值； （2）当1x >时，()0k

f x x

+

<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *

，且2n ≥时，22

11132

2ln 23ln 3ln 22n n n n n n

--+++>+L .

13、已知函数()()2

ln 12

a f x x x x =++

-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围；

（2）已知e 为自然对数的底数，证明：?n ∈N *

22212111n n n n ??????

<+

+???+ ??? ???????

e <.

14、设函数)(ln )(a x e x f x

-=，e 是自然对数的底数，Λ718.2≈e ，R a ∈为常数．

⑴若)(x f y =在1=x 处的切线 l 的斜率为e 2，求a 的值；

⑵在⑴的条件下，证明切线 l 与曲线)(x f y =在区间)2

1 , 0(至少有1个公共点； ⑶若]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间，求a 的取值范围．

15、已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈,（e ≈2.718）． （1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；

（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围； （3）证明：2

1

1

sin

ln 2(1)

n

k k =<+∑．

16、设函数2

()ln ||f x x x ax =-+。

（1）求函数f （x ）的导函数'()f x ；

（2）若12,x x 为函数f （x ）的两个极值点，且121

2

x x +=-

，试求函数f （x ）的单调递增区间； （3）设函数f （x ）的点C （00,()x f x ）（0x 为非零常数）处的切线为l ，若函数f （x ）图象上的点都不在直线l 的上方，求0x 的取值范围。

17、已知函数2

1()ln ,()2

f x x

g x ax bx ==

-，设()()()h x f x g x =-。 （1）若g （2）＝2，讨论函数h （x ）的单调性；

（2）若函数g （x ）是关于x 的一次函数，且函数h （x ）有两个不同的零点12,x x 。 ①求b 的取值范围；②求证：212x x e >

18、()1当1m =时，求过点()0,1P -且与曲线()()2

1y g x x =--相切的切线方程；

()2求函数()y g x =的单调递增区间；

()3若函数()y g x =有两个极值点a ，b ，且a b <，记[]x 表示不大于x 的最大整数，试比较()()sin

g a g b ????

????

与()()()

cos g a g b ????????的大小．

19、已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ．

（1）求)(x f 的解析式和值域；

（2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数；

②若当1

1k

+是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中1,2,,k n =L ． 证明：1276

n a a a +++

N ∈n ）．

20、设函数()1x

f x x

=

+，()()ln 1g x x =+． ()1求函数()()()1x f x g x H =-的最大值；

()2记()()2x g x bx H =-，是否存在实数b ，使()20x H <在()0,+∞上恒成立？若存在，求出b

的取值范围；若不存在，说明理由；

()3证明：211

1ln 1

2n

k k n k =-<-≤+∑（1n =，2，???）．

21、已知函数()()ln x a f x x

-=

.

,.

(Ⅰ) 若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数；

(Ⅱ) 若曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值； (Ⅲ) 若0x >,证明:()ln 1e 1

x x x

x +>-(其中e 2.71828=???是自然对数的底数).

22、已知函数2

()()ln()x f x a R x a ax

=

∈+- （1）当a=0时，求函数()f x 的单调区间；

（2）当a=1时，设2

()()

x h x f x =，

（i ）若对任意的[)+∞∈,0x ，2

()h x kx ≥成立，求实数k 的取值范围；

（ii ）对任意121x x >>-,证明：不等式

121211122

()()2

x x x x h x h x x x -++<-+-恒成立.

23、设常数a ＞0，R ∈λ，函数32)()()(a x a x x x f +--=λ. （1） 若函数)(x f 恰有两个零点，求λ的值；

（2） 若)(λg 是函数)(x f 的极大值，求)(λg 的取值范围.

24、已知函数()ln f x a x =-

11

x x -+，()e x

g x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；

（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点()

,e b P b ，()

,e b Q b --，过点P ，Q 作图象C 的切

线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．

25、已知0a >，函数)(x f ＝

2x a

x a

-+．

（1）记)(x f 在区间[]40，

上的最大值为)(a g ，求)(a g 的表达式； （2）是否存在a ，使函数)(x f y =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？

若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

26、已知函数()1,()f x a R =∈

（1）当1a =时，解不等式()1f x x <-； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；

（3）若在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方，求a 的取值范围．

27、设函数()ln ,f x x = ()()()()212.g x a x f x =--- （1）当1a =时，求函数()g x 的单调区间；

（2）设()()1122,,,A x y B x y 是函数()y f x =图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为C ()00,x y ，直

线AB 的斜率为k . 证明：()0k f x '>； （3）设()()()01

b

F x f x b x =+

>+，对任意(]1212,0,2,x x x x ∈≠，都有 ()()

1212

1F x F x x x -<--，求实数b 的取值范围.

28、已知函数x b ax x x f +-=ln )(，对任意的),0(∞+∈x ，满足0)1

()(=+x

f x f ， 其中b a ,为常数．

（1）若)(x f 的图像在1=x 处切线过点)5,0(-，求a 的值；

（2）已知10<

(2

>a f ； （3）当)(x f 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．

29、已知函数b a bx ax x f ,(,1)(2

++=为实数，),0R x a ∈≠．

（1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为),0[+∞，求)(x f ； （2）设0

,0

,)()()(<>??

?-=x x x f x f x F ，0,0,0>>+

证明：0)()(>+n F m F ； （3）设)(,1

ln )(x g e

x x g x

+=

的导函数是),(x g '当1==b a 时，证明：对任意实数0>x ，21)(]1)([-+<'-e x g x f ．