回归直线方程课堂习题
经验回归方程习题(含解析)
1．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：年份编号x 12345年份20182019202020212022新能源汽车充电站数量y /个37104147186226（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测2026年该市新能源汽车充电站的数量．参考数据：．参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．2．向日葵是常见的一种经济作物，种子常炒制为零食食用，也可榨葵花籽油．但种植向日葵时会频繁地遇到空壳问题，其中开花期大气湿度是导致向日葵空壳的一大主因．为找到向日葵空壳率与开花期大气湿度的关系，研究人员做了观察试验，结果如下：大气湿度x 45%59%66%68%69%70%72%77%80%88%空壳率y18%21%25%27%26%29%31%32%33%37%（1）试求向日葵空壳率与大气湿度之间的回归直线方程；（回归直线方程的系数均保留两位有效数字）（2）某地大气湿度约为40%时，试根据（1）中的回归直线方程推测空壳率大约为多少？附：经验回归方程系数：，，，，，．3．随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人．某中学数学兴趣小组统计了本省5所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），收集数据如下表所示．A 大学B 大学C 大学D 大学E 大学2022年毕业人数x （千人）765432022年考研人数y （千人）2.52.31.81.91.5（1）利用最小二乘估计建立y 关于x 的线性回归方程；（2）该小组又利用上表数据建立了x 关于y 的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy 下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与毕业人数x 和考研人数y 一致．请比较前者与后者的斜率k 1与k 2的大小．4．为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场，得到天数与直播间人数的数据如下表所示：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代码x 1234567直播间人数y （万人）4122123252728（1）求直播间人数y 和日期代码x 的样本相关系数（精确到0.01）；（2）若使用y ＝c +dlnx 作为y 关于x 的回归方程模型，计算该回归方程（结果保留1位小数），并预测至少要到哪一天直播间人数可以超过30万人．参考公式和数据：相关系数其中，回归直线方程中，e 266614032681.2206.413.22.6510.87.39参考答案与试题解析一．解答题（共4小题）1．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：年份编号x 12345年份20182019202020212022新能源汽车充电站数量y /个37104147186226（1）已知可用线性回归模型拟合y与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y 关于x的线性回归方程，并预测2026年该市新能源汽车充电站的数量．参考数据：．参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．【解答】解：（1），＝＝≈3.16，＝2560﹣5×3×140＝460，则r ＝≈0.99，因为0.99＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）＝4＝1+0+1+4＝10，b＝＝＝46，a＝﹣b＝140﹣46×3＝2，所以，当x＝9时，，即预测2026年该市新能源汽车充电站的数量为416个．2．向日葵是常见的一种经济作物，种子常炒制为零食食用，也可榨葵花籽油．但种植向日葵时会频繁地遇到空壳问题，其中开花期大气湿度是导致向日葵空壳的一大主因．为找到向日葵空壳率与开花期大气湿度的关系，研究人员做了观察试验，结果如下：大气湿度x45%59%66%68%69%70%72%77%80%88%空壳率y18%21%25%27%26%29%31%32%33%37%（1）试求向日葵空壳率与大气湿度之间的回归直线方程；（回归直线方程的系数均保留两位有效数字）（2）某地大气湿度约为40%时，试根据（1）中的回归直线方程推测空壳率大约为多少？附：经验回归方程系数：，，，，，．【解答】解：（1）由已知得．所以．所以回归直线方程为y ＝0.35x +0.04．（2）由（1）知当大气湿度为40%时，空壳率约为0.35×0.4+0.04＝0.18＝18%．3．随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人．某中学数学兴趣小组统计了本省5所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），收集数据如下表所示．A 大学B 大学C 大学D 大学E 大学2022年毕业人数x （千人）765432022年考研人数y （千人）2.52.31.81.91.5（1）利用最小二乘估计建立y 关于x 的线性回归方程；（2）该小组又利用上表数据建立了x 关于y 的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy 下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与毕业人数x 和考研人数y 一致．请比较前者与后者的斜率k 1与k 2的大小．【解答】解：（1）由表可知＝×（7+6+5+4+3）＝5，＝×（2.5+2.3+1.8+1.9+1.5）＝2，x i yi ＝7×2.5+6×2.3+5×1.8+4×1.9+3×1.5＝52.4，＝72+62+52+42+32＝135，所以＝＝＝0.24，＝2﹣0.24×5＝0.8，故y 关于x 的线性回归方程为＝0.24x +0.8．（2）由题意知，k1＝，k2＝，其中＝，所以＝＝r2≤1（其中r为相关系数），即k1≤k2，下面证明k1≠k2，若k1＝k2，则y i＝0.24x i+0.8（i＝1，2，3，4，5）恒成立，而2.5≠0.24×7+0.8，所以k1≠k2，故k1＜k2．4．为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场，得到天数与直播间人数的数据如下表所示：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代码x1234567直播间人数y（万人）4122123252728（1）求直播间人数y和日期代码x的样本相关系数（精确到0.01）；（2）若使用y＝c+dlnx作为y关于x的回归方程模型，计算该回归方程（结果保留1位小数），并预测至少要到哪一天直播间人数可以超过30万人．参考公式和数据：相关系数其中，回归直线方程中，e2 6661403268 1.2206.413.2 2.6510.87.39【解答】解：（1）由表可知，＝×（1+2+3+4+5+6+7）＝4，＝×（4+12+21+23+25+27+28）＝20，所以相关系数＝＝≈0.93．（2）令u＝lnx，则y＝c+du，所以＝＝＝≈12.3，＝﹣＝20﹣×1.2≈5.2，所以＝5.2+12.3u，即＝5.2+12.3lnx，当y＞30时，5.2+12.3lnx＞30，解得x＞7.5，故预测至少要到第8天直播间人数可以超过30万人．。
人教B版高中数学选择性必修第二册课后习题 第四章第1课时 相关关系、回归直线方程、回归直线方程的性质
4.3.1 一元线性回归模型第1课时 相关关系、回归直线方程、回归直线方程的性质 课后训练巩固提升1.(多选题)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论,其中一定不正确的是( )A.y 与x 负相关,且y ^=2.347x-6.423 B.y 与x 负相关,且y ^=-3.476x+5.648 C.y 与x 正相关,且y ^=5.437x+8.493 D.y 与x 正相关,且y ^=-4.326x-4.578解析:当y 与x 线性相关时,y 与x 正相关的充要条件是b ^>0,y 与x 负相关的充要条件是b ^<0,故AD 一定不正确. 答案:AD2.已知x 与y 之间的一组数据如下表.若已求得y 关于x 的回归直线方程为y ^=2.2的值为( ) A.1 B.0.85C.0.7D.0.5 解析:=m+15.54,则m+15.54=2.2×1.5+0.7,解得m=0.5.故选D.答案:D3.已知根据如下样本数据得到的回归直线方程为y ^=b ^x+a ^,则( ) A.a ^>0,b ^>0 B.a ^>0,b ^<0 C.a ^<0,b ^>0D.a ^<0,b ^<0解析:作出散点图(图略),可知a ^>0,b ^<0. 答案:B4.已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得x =3,y =3.5,则由该观测数据求得的回归直线方程可能是( ) A.y ^=0.4x+2.3 B.y ^=2x-2.4 C.y ^=-2x+9.5 D.y ^=-0.3x+4.4解析:由变量x 与y 正相关,可知C,D 均错.又回归直线经过样本点的中心(3,3.5),经验证,可知A 正确,B 错误.故选A. 答案:A5.过(3,10),(7,20),(11,24)三点的回归直线方程是( ) A.y ^=1.75+5.75xB.y ^=-1.75+5.75xC.y ^=5.75+1.75xD.y ^=5.75-1.75x解析:由题意易得,b ^=1.75,a ^=5.75,故所求的回归直线方程为y ^=5.75+1.75x.故选C. 答案:C6.为了均衡教育资源,调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年教育支出y(单位:万元).调查显示,年收入x 与年教育支出y 具有线性相关关系,并由调查数据得到y 关于x 的回归直线方程为y ^=0.15x+0.2.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年教育支出平均增加 万元. 答案:0.157.期中考试后,某校高三(9)班对全班50名学生的成绩进行分析,得到数学成绩y 关于总成绩x 的回归直线方程为y ^=6+0.4x.由此可以估计,若2名同学的总成绩相差50分,则他们的数学成绩大约相差 分. 解析:由回归系数b ^=0.4可知,x 每增大1个单位,y ^增大0.4个单位,故两名同学的总成绩相差50分,他们的数学成绩大约相差50×0.4=20(分). 答案:208.在一项关于16艘轮船的研究中,船的吨位区间为[192,3 246](单位:吨),船员的人数为5~32,船员人数y 关于吨位x 的回归直线方程为y ^=9.5+0.006 2x,(1)若两艘船的吨位相差1 000,估计这两艘船的船员人数相差多少; (2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数.解:(1)由题意可知,这两艘船的船员人数大约相差0.0062×1000≈6. (2)当x=192时,y ^=9.5+0.006 2×192≈11, 当x=3 246时,y ^=9.5+0.006 2×3 246≈30.故估计吨位最大的船和最小的船的船员人数分别为30和11.9.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入x i (单位:千元)与月储蓄y i (单位:千元)的数据资料,算得∑i=110x i =80,∑i=110y i =20,∑i=110x i y i =184,∑i=110x i 2=720.(1)求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的回归直线方程y ^=b ^x+a ^; (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,估计该家庭的月储蓄. 解:(1)由题意知,n=10, x =110∑i=110x i =8,y =110∑i=110y i =2,则b ^=184-10×8×2720-10×82=0.3,a ^=2-0.3×8=-0.4.故所求回归直线方程为y ^=0.3x-0.4. (2)因为b ^=0.3>0,所以x 与y 之间是正相关. (3)当x=7时,y ^=0.3×7-0.4=1.7. 故该家庭的月储蓄约为1.7千元.10.某同学家开了一家饮品店,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到卖出的热饮杯数y 与当天气温x 的对比表如下.(1)作出散点图;(2)y与x是正相关还是负相关;(3)求y关于x的回归直线方程;(4)若某天的气温为2 ℃,估计这天卖出的热饮杯数. 解:(1)作出散点图如图所示.(2)由散点图可知,y与x负相关.(3)根据数据可知,x=16911,y=122811,b^≈-2.352,a^=y−b^x≈147.767.故所求的回归直线方程为y^=-2.352x+147.767.(4)当x=2时,y^=143.063.因此,当某天的气温为2 ℃时,这天大约可以卖出143杯热饮.。
回归直线方程
课本P90习题3.1 V1
3.1回归分析的基本思想 及其初步应用(3)
建立回归模型的基本步骤 1)确定解释变量和预报变量; 2)画出散点图; 3)确定回归方程类型; 4)求出回归方程; 5)利用相关指数或残差进行分析.
问题：一只红铃虫的产卵数y与温度x有关,现收 集了7组观测数据,试建立y与x之间的回归方程
相关程度越小．
r∈[-1,-0.75]--负相关很强; r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.25]--负相关一般; r∈[0.25, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
例题1 从某大学中随机选出8名女大学生，其身 高和体重数据如下表：
编号 1
160 170 180
它的均值E(e)= 0,方差D(e)=σ2 > 0
探究:在线性回归模型中,e是一个不可观测 的量,那么应该怎样研究随机误差?如何衡量 预报的精度?
为了衡量预报的精度,需要估计的σ2值?
n
Q( , ) ( yi xi )2 i 1
随机误差ei yi bxi a(i 1, 2,....n) 其估计值为: eˆi yi yˆi yi bˆxi aˆ eˆi称为相应点(xi,yi )的残差
果这种分析工作称为残差分析
了解残差图的制作及作用。P85 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为 心的带形区域； 对于远离横轴的点，要特别注意。身高异与常体 重
点
残 差 图
• 错误数据 • 模型问题
总偏差平方和,残差平方和,回归平方和三者的 含义与它们间的关系:
yˆ = 0.849x - 85.172
回归分析练习题(有标准答案)
回归分析练习题（有答案）作者:日期:1.1回归分析的基本思想及其初步应用一、选择题1.某同学由x 与y 之间的一组数据求得两个变量间的线性回归方程为均值为2，数据y 的平均值为3，则（）A .回归直线必过点（2,3）C 点（2,3）在回归直线上方B.回归直线一定不过点（2,3）D 点（2,3）在回归直线下方y bx a ，已知：数据x 的平2.在一次试验中，测得（x, y）的四组值分别是A （1,2）,B（2,3）,C（3,4）,D（4,5），则丫与X 之间的回归直线方程为（）A.$x1B .$ x 2C$2x1D.$ x 13.在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；③求线性回归方程；④求未知参数；②收集数据（X j 、y i ），i 1,2，…，n ；⑤根据所搜集的数据绘制散点图）如果根据可行性要求能够作岀变量A.①②⑤③④Bx, y 具有线性相关结论，则在下列操作中正确的是（C.②④③①⑤D .②⑤④③①.③②④⑤①4.下列说法中正确的是（）B人的知识与其年龄具有相关关系D 根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的A.任何两个变量都具有相关关系C.散点图中的各点是分散的没有规律5.给出下列结论：2 2（1）在回归分析中，可用指数系数R 的值判断模型的拟合效果，R 越大，模型的拟合效果越好；（2）在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；（3）在回归分析中，可用相关系数r 的值判断模型的拟合效果，较合适带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.A.y 平均增加1.5个单位B.A. 1B )个..2r 越小，模型的拟合效果越好；（4）在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比y 平均增加2个单位C.y 平均减少1.5个单位C.3DD.y 平均减少2个单位.4以上结论中，正确的有（6.已知直线回归方程为y7.2 1.5x ，则变量x 增加一个单位时（)下面的各图中，散点图与相关系数r 不符合的是（）\ 1V ||一1,— 1 < r<(>■r?■* ■■■■* ■..* .**打4X（7UV1）D.'8.一位母亲记录了儿子39岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归直线方程为据此可以预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（A.身高一定是145.83cm C.身高低于145.00cm BD）7.19x 73.93,.身高超过146.00cm身高在145.83cm左右9.（A）预报变量在x轴上，解释变量在y轴上（B）解释变量在x轴上，预报变量在y轴上（C）（D）在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（）可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上10.两个变量y与x的回归模型中，通常用R2来刻画回归的效果，则正确的叙述是（22）A.R越小，残差平方和小2B.R越大，残差平方和大2c.R于残差平方和无关D.R越小，残差平方和大211.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A.模型1的相关指数R2为0.98 B.模型2的相关指数R2为0.802 2C.模型3的相关指数R为0.50 D.模型4的相关指数R为0.2512.回归直线上相应位置的差异的是A.总偏差平方和B.C.回归平方和13.回归直线方程为残差平方和D.相关指数R2在回归分析中，代表了数据点和它在（）工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的60 90x，下列判断正确的是（）A.劳动生产率为1000元时，工资为50元B.劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C.劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D.劳动生产率为1000元时，工资为90元14.下列结论正确的是（）①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.A.①② E.①②③ C.①②④ D.①②③④15.已知回归直线的斜率的估计值为中心为（4,5），则回归直线方程为（）1.23，样本点的A.$ 1.23x 4B.$ 1.23x 5C.$ 1.23x 0.08D.y 0.08x 1.2316.在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数果好的模型是 __________.17.在回归分析中残差的计算公式为 ____________.18.线性回归模型y bx a e（a和b为模型的未知参数）中，e称为_________________.19.若一组观测值（X1,yJ（X2,y2）…（Xn,y“）之间满足yi=bXi+a+e（i=1、2.…n）若恒为0,则氏为______________R2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效20.调查某市出租车使用年限x 和该年支出维修费用y (万元)，得到数据如下:使用年限x 维修费用y(求线性回归方程;n22.233.845.556. 567.0(2)由(1)中结论预测第10年所支出的维修费用.i 1(X i x) (y iy).n(X ii 1x)2bx21.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格闵屋面积Ey 和房屋的面积x 的数据:11524.Q1102 1. CIB-413G29.21口丘22t 肖年愉梧(1)画岀数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格(4)求第2个点的残差。
最新苏教版高中数学必修三《线性回归方程》课时同步练习及解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修三2.4 线性回归方程课时目标 1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求线性回归方程．1．与函数关系不同，相关关系是一种有关系，但不是确定性的关系．2．能用直线方程________近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫______，给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，线性回归方程中的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝ a ＝.上式还可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧b ＝ ，a ＝ .一、填空题1．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的为______．(填序号) ①匀速行驶车辆的行驶距离与时间； ②圆半径与圆的面积；③正n 边形的边数与内角度数之和； ④人的年龄与身高．2．下列有关线性回归的说法，不正确的是________．①变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x 、y 之间的关系； ④任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程．3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的线性回归方程为 ＝60＋90x ，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1千元时，工资为50元； ②劳动生产率提高1千元时，工资提高150元；③劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元；④劳动生产率为1千元时，工资90元．4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)在实际生活中的回归方程可能是________．①＝－10x＋200；②＝10x＋200；③＝－10x－200；④＝10x－200.5．给出两组数据x、y的对应值如下表，若已知x、y是线性相关的，且线性回归方程：y＝a＋bx，经计算知：b＝－1.4，则a＝________.x 45678y 121098 66.线性回归方程表示的直线＝a＋bx必经过点____________．7．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且线性回归方程＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．8．设有一个回归方程＝3－2.5x，当变量x增加一个单位时，变量y________个单位．9．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的线性回归方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______分．二、解答题10．下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表：平均气温(℃)－1410131826数量(百个)202434385064若已知游客数量与平均气温是线性相关的，求回归方程．11．5个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表：学生A B C D E学科数学8075706560物理7066686462画出散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出回归方程．能力提升12．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：温度x(℃)010205070溶解度y 66.776.085.0112.3128.0则由此得到回归直线的斜率约为________．13．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：x(0.01% )104181917714713415191204121y(min)10202118515513517205235125若由数据知y对x呈线性相关关系．(1)求线性回归方程．(2)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？1．线性回归方程＝bx＋a中的系数a，b的计算公式为：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑n i ＝1 (x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2a ＝y －b x其中：b 是回归方程的斜率，a 是截距． 2．回归方程的求解过程 计算x ，y ，∑ni ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i ⇓计算b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x⇓3．在回归方程 ＝bx ＋a 中，当回归系数b >0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时y 就增加b 个单位；当b <0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时，y 就减少b 个单位．2．4 线性回归方程知识梳理2. ＝bx ＋a 线性回归方程 n ∑ni ＝1x i y i －(∑ni ＝1x i )(∑ni ＝1y i )n ∑ni ＝1x 2i －(∑ni ＝1x i )2y －b x∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x2＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2y －b x作业设计 1．④解析 人的年龄与身高具有相关关系． 2．④解析 只有所有的数据点都分布在一条直线附近时，才能得到回归直线． 3．③解析 因工人月工资与劳动生产率变化的线性回归方程为 ＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时， 2－ 1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90. 4．①解析 ∵在实际生活中，当销售价格提高时，商品销售量一般要降低，∴排除②、④，又∵③中x>0时 <0不合题意，∴③错． 5．17.4 解析x ＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y ＝15(12＋10＋9＋8＋6)＝9.a ＝y －b x ＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4. 6．(x ，y )解析 由a ＝y －b x 得y ＝b x ＋a ， 即点(x ，y )适合方程 ＝a ＋bx. 7．87.5%解析 设该地区人均工资收入为y ， 则y ＝0.7x ＋2.1，当y ＝10.5时，x ＝10.5－2.10.7＝12.10.512×100%＝87.5%. 8．减少2.5解析′＝3－2.5(x＋1)＝3－2.5x－2.5＝－2.5，因此，y的值平均减少2.5个单位．9．20解析令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2，所以| 1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.10．解x＝706＝353，y＝2306＝1153，∑6i＝1x2i＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，∑6i＝1x i y i＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.b＝∑6i＝1x i y i－6x y∑6 i＝1x2i－6x2＝3 474－6×353×11531 286－6×(353)2≈1.68，a＝y－b x≈18.73，即所求的回归方程为＝1.68x＋18.73.11．解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关．列表，计算i 1 2 3 4 5x i80 75 70 65 60y i70 66 68 64 62x i y i 56004950476041603720x2i 64005625490042253600x＝70，y＝66，∑5i＝1x2i＝24 750，∑5i＝1x i y i＝23 190设所求回归方程为＝bx＋a，则由上表可得b＝∑5i＝1x i y i－5x y∑5 i＝1x2i－5x2＝90250＝0.36，a ＝y －b x ＝40.8.∴所求回归方程为 ＝0.36x ＋40.8. 12．0.880 9 解析x ＝30，y ＝93.6，∑5i ＝1x 2i ＝7 900，∑5i ＝1x i y i ＝17 035，所以回归直线的斜率b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x 2＝17 035－5×30×93.67 900－4 500≈0.880 9.13．解 (1)列出下表，并用科学计算器进行计算： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y i 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 x i y i10400360003990032745227851809025500391554794015 125x ＝159.8，y ＝172，∑10i ＝1x 2i ＝265 448，∑10i ＝1y 2i ＝312 350，∑10i ＝1x i y i ＝287 640 设所求线性回归方程为 ＝bx ＋a ，b ＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10x2≈1.27，a ＝y －b x ≈－30.95.即所求的线性回归方程为 ＝1.27x －30.95.(2)当x ＝160时， ＝1.27×160－30.95≈172(min )，即大约冶炼172 min .。
回归直线方程公式详解及例题
回归直线方程公式详解及例题回归直线方程，听起来是不是有点严肃？这玩意儿就像是数学里的“小白兔”，看起来很复杂，但其实乍一看也不过是个简单的小家伙。
让咱们聊聊这个直线方程的由来，还有怎么用它解决问题。
说白了，就是用一条直线把一堆数据给“牵”起来，让我们看清楚它们之间的关系。
就像在赶集一样，把各种水果摆成一排，想要了解哪个最受欢迎。
这里，最常见的回归直线方程是y = mx + b。
听起来不算复杂吧？不过咱们慢慢来，不急。
y代表咱们要预测的东西，比如说，你想知道你的成绩和学习时间的关系，那y就可以是你的成绩；x就是你花在学习上的时间。
m，这个家伙叫做斜率，表示的是y和x之间的关系，简单来说就是学习时间每增加一个小时，成绩大概能提高多少分。
b则是当你啥都不做时，你的成绩是多少，这个也很重要，没错，人生不就是这么回事吗？想象一下，拿出一根铅笔和一张纸，把这些点点画出来。
每个点就代表了一次测量，比如说你在不同时间学习的成绩。
画得可真像一幅抽象画，虽然一开始没法看出什么，但如果仔细一看，就能发现某种趋势。
这就是回归分析的魔力，它能帮你找到这些点之间的规律。
慢慢地，这些点就会聚成一条线，给你展示出学习时间和成绩之间的关系。
再来聊聊如何计算这些参数。
有很多软件和工具可以帮你做这些。
但如果你想亲自尝试，手动计算也是个不错的选择。
先得算出这些数据的平均值，接着用这些平均值来计算m和b。
想象一下，m的计算就像是在算你朋友圈里哪个小伙伴总是抢着买单。
搞定这些，y = mx + b就能顺利出炉了。
说到这里，有些小伙伴可能会想，回归直线到底有什么用呢？这玩意儿其实是个超有用的工具。
比如说，商家可以用它预测销量，学校可以分析成绩趋势，甚至天气预报也会用到。
想想看，如果你知道晴天和下雨天的概率，你是不是就能提前决定穿哪双鞋？这不就是让生活更简单吗？回归直线也有它的局限性。
毕竟，生活可不是总那么简单。
数据点就像是小孩子一样顽皮，根本不愿意听话，完全不按常理出牌。
高二数学回归直线方程的练习题
高二数学回归直线方程的练习题1. 已知直线L1过点A(2,3)，斜率为3，求直线L1的方程。
我们可以使用直线的点斜式来求解直线L1的方程，点斜式的一般形式为：y - y1 = m(x - x1)，其中m为直线的斜率，(x1, y1)为直线上的一点。
代入已知条件，可以得到直线L1的方程为：y - 3 = 3(x - 2)化简得：y - 3 = 3x - 6进一步整理得：y = 3x - 3所以，直线L1的方程为 y = 3x - 3。
2. 已知直线L2过点B(4,5)，斜率为-2，求直线L2的方程。
同样地，我们使用直线的点斜式来求解直线L2的方程。
代入已知条件，可以得到直线L2的方程为：y - 5 = -2(x - 4)化简得：y - 5 = -2x + 8进一步整理得：y = -2x + 13所以，直线L2的方程为 y = -2x + 13。
3. 直线L1和直线L2的交点坐标是多少？为了找到直线L1和直线L2的交点坐标，我们可以将两个方程联立起来，求解其解。
将直线L1和L2的方程联立得到：3x - 3 = -2x + 13整理得：5x = 16解得：x = 16/5将x的值代入其中一个方程，例如直线L1的方程，可以解出y的值：y = 3(16/5) - 3= 48/5 - 3= 48/5 - 15/5= 33/5所以，直线L1和直线L2的交点坐标为 (16/5, 33/5)。
总结：通过解题，我们找到了直线L1和直线L2的方程，并求得它们的交点坐标 (16/5, 33/5)。
这些练习题帮助我们熟悉了直线的方程和求解交点的方法，提高了我们对回归直线方程的理解和运用能力。
第十二章 简单回归分析
第十二章简单回归分析习题一、是非题1．直线回归反映两变量间的依存关系，而直线相关反映两变量间的相互线性伴随变化关系.2．对同一组资料，如相关分析算出的r越大，则回归分析算出的b值也越大. 3．对同一组资料，对r与b分别作假设检验，可得t r=t b4．利用直线回归估计X值所对应的Y值的均数置信区间时，增大残差标准差可以减小区间长度.5．如果直线相关系数r=0，则直线回归的SS残差必等于0.二、选择题1. 用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点距直线的( )．A．纵向距离之和最小 B. 纵向距离的平方和最小C. 垂直距离之和最小D．垂直距离的平方和最小E．纵向距离的平方和最大2．Y＝14十4X是1~7岁儿童以年龄(岁)估计体质量(市斤)的回归方程，若体质量换成位kg，则此方程( )A 截距改变B 回归系数改变C 两者都改变D 两者都不改变E．相关系数改变4．直线回归系数假设检验，其自由度为( )A．n B. n-1C．n-2 D. 2n-1E．2(n-1)5．当r＝0时，Y＝a+b X回归方程中( )A a必大于零B a必大于XC a必等于零D a必大于YE a必等于b6．在多元线性回归分析中，反应变量总离均差平方和可以分解为两部分，残差是指( )．A．观察值与估计值之差B．观察值与平均值之差C．估计值与平均值的平方和之差D．观察值与平均值之差的平方和E．观察值与估计值之差的平方和三、筒答题1．用什么方法考察回归直线是否正确?2．简述回归系数方差分析Y的平方和与自由度的分解.3. 举例说明如何用直线回归方程进行预测和控制？4. 直线回归分析时怎样确定自变量和因变量？5. 简述曲线回归常用的几种曲线形式.。
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回归直线方程课堂习题
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； (2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 (3)试预测加工 10 个零件需要多少小时？
13．2015 年一交警统计了某路段过往车辆的车速大小与发生的交通事故次数, 得到如下表所示的数据:
车速
60
70
80
90
100
x(km/h)
（参考公式:回归方程为
其中
，
.）
2．为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一
年的销售数据中，随机抽取了 8 组数据作为研究对象，如下图所示（ x （吨）
为买进蔬菜的质量， y （天）为销售天数）：
x
2
3
4
5
6
7
9 12
y
1
2
3
3
4
5
6
8
（Ⅰ）根据上表数据在下列网格中绘制散点图；
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=
i 1 n
xi2 nx2
i 1
线性回归直线经过定点 (x, y)
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回归直线方程课堂习题
1．某公司的广告费支出 与销售额 （单位：万元）之间有下列对应数据：
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
（1）根据表中提供的数据，用最小二乘法求出 与 的回归方程:
；
（2）预测销售额为 115 万元时，大约需要多少万元的广告费.
i 1
8
bˆ
i 1
xi yi 8x y
8
xi2
244 8 6 4 364 8 62
13 19
，aˆ
4
13 19
6
2 19
，
i 1
回归直线方程为 yˆ 13 x 2 .
19 19
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 x 25 时， y 13 25 2 17 .
19
19
即若一次性买进蔬菜 25 吨，则预计需要销售 17 天.
事故次数 y 1
3
6
9
11
(Ⅰ)请画出上表数据的散点图; (Ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ; (Ⅲ)试根据(Ⅱ)求出的线性回归方程,预测在 2016 年该路段路况与相关安全 设施等不变的情况下,车速达到 110km/h 时,可能发生的交通事故次数.
， =，
回归直线方程课堂习题
（Ⅱ）依题意，x 1 2 3 4 5 6 7 9 12 6 ，y 1 1 2 3 4 5 6 8 4 ，
8
8
8
xi2 4 9 16 25 36 49 81144 364 ，
i 1
8
xi yi 2 6 12 15 24 35 54 96 244 ，
中的 为 ，据此模型预报广告费用为 10 万
A． 万元 B． 万元 C． 万元
D． 万元
8．已知具有线性相关的两个变量 x、y 之间的一组数据如下表：
x0
1
2
3
4
y
且回归方程 y=bx+3.6，则当 时，y 的预测值为
A．
B．
C．
D．
9．某汽车的使用年数 与所支出的维修费用 的统计数据如表：
使用年数 （单位：年） 1
回归直线方程课堂习题
回归直线方程课堂习题
1．在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（ ）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）
2．在“新零售”模式的背景下,自由职业越来越流行，诸如:淘宝网店主、微
商等等.现调研某自由职业者的工资收入情况.记 表示该自由职业者平均每
天工作的小时数， 表示平均每天工作 个小时的月收入.
中的 为 9.4，则：
①回归方程
中 __________；
②据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为___________万元。
解答题:
12．某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此作了四
次试验，得到的数据如下：
零件的个数 x(个) 2 3 4 5
加工的时间 y(小 2.5 3 4 4.5
用电量 （度）
由表中数据得到回归直线方程
（
）
24 34 38 64 ，预测当气温为 ℃时，用电量为
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回归直线方程课堂习题
A．68.2 度
B．68 度
C．69 度
D．67 度
7．某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表
广告费用 万
4
2
3
5
元
销售额 万元
49
26
39
54
根据上表可得回归方程 元时销售额为
2
3
4
5
维修总费用 （单位：万 元）
0.5 1.2
2.2 3.3 4.5
根据上表可得 关于 的线性回归方程 =
，若该汽车维修总费用超过 10
万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用（ ）
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回归直线方程课堂习题
A．11 年
B．10 年
C．9 年
D．8 年
10．为了解某社区居民的家庭收入与年支出的关系，随机调查该社区 5 户家
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回归直线方程课堂习题
（Ⅱ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 yˆ bˆx aˆ ；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的计算结果，若该蔬菜商店准备一次性买进 25 吨，则预
计需要销售多少天.
n
n
xi x yi y
xi yi nx y
参考公式： bˆ i1 n
所以在 2016 年该路段路况与相关安全设施等不变的情况下,车速达到
110km/h 时,可能发生的交通事故次数为 14 次.
求回归直线方程 1．解： （1）
=
，
=，
=
=
=,
=
=
∴线性回归方程为
.
（2）由题得： ，
，解得
答：大约需要 15 万元的广告费。
2．解：（Ⅰ）散点图如图所示：
. .
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8．C； 得：
，
，解得：
，
，将 代入回归方程
，当 时， ，
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回归直线方程课堂习题
9．A；
，
代入回归直线的方程
，即
，解得
，所以回归直
线的方程为
，令
，解得
，据此模型预测
该汽车最多可使用 11 年
10．15.6；
，
，故
，
所以回归直线方程为
，当社区一户收入为 20 万元家庭支出为
.
11．
； ，解得 ，即回归方程为
（小
2
3
4
5
6
时）
（千
2.5
3
元）
4
4.5
6
假设 与 具有线性相关关系，则 关于 的线性回归方程
必经过点
(
)
A．
B．
C．
D．
3．已知具有线性相关的两个变量 之间的一组数据如下表所示：
若 满足回归方程
，则以下为真命题的是（
A． 每增加 1 个单位长度，则 一定增加 1.5 个单位长度
B． 每增加 1 个单位长度， 就减少 1.5 个单位长度
2
xi x
i 1 n
xi2
2
nx
， aˆ y bˆx .
i 1
i 1
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回归直线方程课堂习题
参考答案
1．B；
2．C；
，
3．D；由
，得 每增一个单位长度， 不一定增加 ，而是大约增加
个单位长度，故选项 错误；由已知表格中的数据，可知
，
， 回归直线必过样本的中心点 ，故 错误；又
， 回归方程为
=33000,
=2660, =80, =6.
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回归直线方程课堂习题
所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为 = = - =6-0.26×80=-14.8,
=0.26,
因此,所求的线性回归方程为 =0.26x-14.8.
(Ⅲ)由线性回归方程,知当 x=110 时, =0.26×110-14.8≈14,
，则 据此模型预报广告费用为 6
万元时，销售额
12．解：（1）散点图如图.
（2）由表中数据得:
=52.5, =3.5,
∴ =0.7,∴ =1.05,∴ =0.7x+1.05,
=3.5,
=54,
回归直线如图所示.
（3）将 x＝10 代入回归直线方程，得 ＝0.7×10＋1.05＝8.05，∴预测加工 10 个零件需要 8.05 小时． 13．解：(I)散点图如图所示 (Ⅱ)由已知可得
庭，得到如下统计数据表：
收入 （万
8.1
8.7
元）
10.1
11.2
11.9
支出 （万
6.1
7.6
8.0
8.4
9.9
元）
根据上表可得回归直线方程
，其中
，据此估计，该社区一户
收入为 20 万元家庭年支出为__________．
11．某产品的广告费用 x（万元）与销售额 y（万元）的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程
）
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回归直线方程课堂习题
C．所有样本点的中心为
D．当
测值为 13.5
4．下表是某厂 月份用水量（单位：百吨）的一组数据：