极限计算方法总结(简洁版)

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极限计算方法总结(简洁版)

极限计算方法总结(简洁版)

一、极限定义、运算法则和一些结果

1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证

明,例如:)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且;5)13(lim 2=-→x x ;???≥<=∞→时当不存在,

时当,1||1||0lim q q q n

n ;

等等

(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。

2.极限运算法则

定理 1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1)

B A x g x f ±=±)]()(lim[

(2)B A x g x f ?=?)()(lim

(3))0(,)()(lim

成立此时需≠=B B

A

x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim

0=→x

x

x

(2) e x x

x =+

→1

)1(lim ; e x x

x =+∞

→)11(lim

说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,

作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。

例如:

133sin lim 0=→x

x x ,e x x x =--→21

0)21(lim ,e x x

x =+∞→3)3

1(lim ;等等。 4.等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:

x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x

e 。

说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价

关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;)1ln(2

x - ~ 2x -。 定理4 如果函数

)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小,且)(x f ~)(1x f ,)(x g ~

)(1x g ,则当)()(lim

110

x g x f x x →存在时,)()

(lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 1

10x g x f x x →,即

)()

(lim

x g x f x x →=)

()(lim 110x g x f x x →。

5.洛比达法则

定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值(或无穷大)时,函数)(x f 和)(x g 满足:(1))(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大;

(2))(x f 和)(x g 都可导,且)(x g 的导数不为0; (3))

()

(lim

x g x f ''存在(或是无穷大); 则极限)()(lim x g x f 也一定存在,且等于)()(lim x g x f '',即)()(lim x g x f =)

()

(lim x g x f '' 。

说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“

00”型或“∞

”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但

每次使用之前都需要注意条件。

6.连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内的一点,则有)()(lim

00

x f x f x x =→ 。

7.极限存在准则

定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。

定理8(准则2) 已知}{,}{,}{n n n z y x 为三个数列,且满足: (1)

),3,2,1(, =≤≤n z x y n n n

(2) a y n n =∞

→lim ,a z n n =∞

→lim

则极限∞

→n n x lim

一定存在,且极限值也是a ,即a x n n =∞

→lim 。

二、求极限方法举例

1. 用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限

例1 1

2

13lim

1

--+→x x x

解:原式=4

3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2 )12(lim

--+∞

→n n n n

解:原式=2

3

11213lim

1

2)]1()2[(lim

=

-++

=

-++--+∞

→∞

→n

n n n n n n n n

n 分子分母同除以

。 例3 n

n n

n n 323)1(lim ++-∞→

解:原式

11)3

2(1)31

(lim 3

=++-=

∞→n

n n n

上下同除以 。 2. 利用函数的连续性(定理6)求极限 例4 x

x e

x 122

lim

解:因为20=x 是函数x

e

x x f 12)(=的一个连续点,

所以 原式=e e 42

2

12

= 。

3. 利用两个重要极限求极限 例5 2

03cos 1lim

x x

x -→

解:原式=61

)

2

(122sin 2lim 32sin 2lim

22

02

2

=?=→→x x

x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例6 x

x x 20

)sin 31(lim -→

解:原式=6sin 6sin 31

sin 6sin 310

]

)

sin 31[(lim )

sin 31(lim ---→-?

-→=-=-e x x x

x x

x x

x

x x 。

例7 n

n n n )1

2(

lim +-∞

→ 解:原式=31

331

1

331])1

31[(lim )1

31(lim -+--+∞→+-?

-+∞→=+-+=+-+e n n n n

n n n n

n n 。 4. 利用定理2求极限 例8 x

x x 1

sin

lim

20

→ 解:原式=0 (定理2的结果)。

5. 利用等价无穷小代换(定理4)求极限

例9 )

arctan()

31ln(lim 20x x x x +→

解:)31ln(0x x +→时, ~x 3,)arctan(2

x ~2x , ∴

原式=33lim

2

=?→x

x

x x 。 例10 x

x e e x

x x sin lim sin 0--→

解:原式=1sin )

sin (lim sin )1(lim sin 0sin sin 0=--=--→-→x

x x x e x x e e x x x x x x 。 注:下面的解法是错误的:

原式=1sin sin lim sin )1()1(lim 0sin 0=--=----→→x

x x

x x x e e x x x x 。 正如下面例题解法错误一样:

0lim sin tan lim 3030=-=-→→x

x

x x x x x x 。 例11 x

x

x x sin )

1

sin tan(lim 20→

解:等价与是无穷小,时,

当x

x x x x x x 1

sin )1sin tan(1sin 0222

∴→ , 所以, 原式=01sin lim 1

sin

lim

020

==→→x

x x x x x x 。

(最后一步用到定理2)

6. 利用洛比达法则求极限

说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。

例12 203cos 1lim

x

x

x -→(例4) 解:原式=6

16sin lim 0=→x x x 。(最后一步用到了重要极限)

例13 1

2cos

lim

1

-→x x

x π 解:原式=2

12sin

2

lim

1

πππ

-=-

→x

x 。 例14 3

sin lim

x

x x x -→ 解:原式=203cos 1lim

x

x x -→=61

6sin lim 0=→x x x 。(连续用洛比达法则,最后用重要极限) 例15 x

x x x x x sin cos sin lim

20-→ 解:

313sin lim 3)

sin (cos cos lim

cos sin lim

202

020==--=?-=→→→x

x x x x x x x x x x x x x x x 原式

例18

])

1ln(11[lim 0x x x +-→ 解:错误解法:原式=

0]1

1[lim 0=-→x

x x 。 正确解法:

。原式2

1

)1(2lim 21

11lim )1ln(lim

)1ln()1ln(lim

000

0=+=-+=?-+=+-+=→→→→x x x x x x x x

x x x x x x x x x

应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。 例19 x

x x x x cos 3sin 2lim

+-∞

解:易见:该极限是“

”型,但用洛比达法则后得到:x x x sin 3cos 21lim --∞→,此极限

不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:

原式=x

x x

x

x cos 3sin 21lim +

-

∞→ (分子、分母同时除以x )=31 (利用定理1和定理2)

7. 利用极限存在准则求极限 例20 已知),2,1(,2,211

=+==+n x x x n n ,求n n x ∞

→lim

解:易证:数列}{n x 单调递增,且有界(0

→lim 存在,设 a x n n =∞

→lim 。

对已知的递推公式 n

n x x +=+21

两边求极限,得:

a

a

+=2,解得:2=a

或1-=a (不合题意,舍去)。所以 2lim =∞

→n n x 。

例21 )121

11(

lim 2

2

2

n

n n n n ++

+++

+∞

解: 易见:

1

12

1

1

1

2

2

2

2

2

+<

+++++

+<

+n n n

n n n n

n n

因为 1lim 2

=+∞

→n

n n n ,11

lim

2

=+∞→n n n

所以由准则2得:1)12

1

1

1

(

lim 2

2

2

=++

+++

+∞

→n

n n n n 。

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结,由此可以看出,求极限方法灵活多样,而且许多题目不只用到一种方法,因此,要想熟练掌握各种方法,必须多做练习,在练习中体会。另外,求极限还有其它一些方法,如用定积分求极限等,由于不常用,这里不作介绍。

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求极限方法总结全

极限求解总结 1、极限运算法则 设lim n →∞ a a =a ,lim n →∞ a a =a ,则 (1) lim n →∞ (a a ±a a )=lim n →∞ a a ±lim n →∞ a a =a ±a ; (2) lim n →∞ a a a a =lim n →∞ a a lim n →∞ a a =aa ; (3) lim n →∞a a a a = lim n →∞a a lim n →∞ a a = a a (a ≠0). 2、函数极限与数列极限的关系 如果极限lim x →a 0 a (a )存在,{a a }为函数a (a )的定义域内任一收敛于a 0的数列,且满 足:a a ≠a 0(a ∈a +),那么相应的函数值数列{a (a )}必收敛,且lim a →∞ a (a a )= lim a →a 0 a (a ) 3、定理 (1) 有限个无穷小的和也是无穷小; (2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小; 4、推论 (1) 常数与无穷小的乘积是无穷小; (2) 有限个无穷小的乘积也是无穷小;

(3)如果lim a(a)存在,而c为常数,则lim[aa(a)]=a lim a(a) (4)如果lim a(a)存在,而n是正整数,则lim[a(a)]a=[lim a(a)]a 5、复合函数的极限运算法则 设函数y=a[a(a)]是由函数u=a(a)与函数y=a(a)复合而成的,y=a[a(a)] 在点a0的某去心领域内有定义,若lim a→a0a(a)=a0,lim a→a0 a(a)=a,且存在a0> 0,当x∈U(a0,a0)时,有a(a)≠a0,则lim a→a0a[a(a)]=lim a→a0 a(a)=a 6、夹逼准则 如果 (1)当x∈U(a0,a)(或|a|>M)时,g(x)≤a(a)≤h(x) (2)lim a→a0(a→∞)a(a)=a,lim a→a0(a→∞) a(a)=a 那么lim a→a0(a→∞) a(a)存在,且等于A 7、两个重要极限 (1)lim a→0sin a a =1 (2)lim x→∞(1+1 x )x=a 8、求解极限的方法(1)提取因式法

求极限的方法总结

学号:0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级 学生指导教师(职称) 完成时间年月日至年月日

摘要 极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异,变化多端,有时甚至感到变幻莫测无从下手,通过通过归纳和总结,我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结,以供参考。 关键词:极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理

Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem

高等数学极限计算方法总结

极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可 以用上面的极限严格定义证明,例如: )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且; 5 )13(lim 2 =-→x x ; ???≥<=∞→时当不存在, 时 当,1||1||0lim q q q n n ;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运 用,而不需再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条 件不满足时,不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x

(2) e x x x =+→10 ) 1(lim ; e x x x =+∞ →)11(lim 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如:133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→21 0) 21(lim ,e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的 等价 关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;)1ln(2x - ~ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小,且 )(x f ~)(1x f ,)(x g ~)(1x g ,则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时,)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →,即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5.洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值(或无穷大)时,函数)(x f 和)(x g 满 足:(1))(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大; (2))(x f 和)(x g 都可导,且)(x g 的导数不为0; (3)) () (lim x g x f ''存在(或是无穷大);

归纳函数极限的计算方法

归纳函数极限的计算方法-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

归纳函数极限的计算方法 摘 要 :本文总结出了求极限的几种方法,比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 :函数极限;计算方法;洛必达法则; 四则运算 The sum of the Method of Computing Function Limit Abstract :The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on. Key Words :Function Limit ;Computing method ;L’Hospita l rules; Four fundamental rules 前言 极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念,极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具,因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法,对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活,本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义,A 为定数,若对任给的0ε>,存在正数'()δδ<,使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<,则称函数当趋于0x 时以A 为极限,记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势,以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限;但是结构较为复杂的函数的图形不易画出,基于直观也就无法得出极

极限计算方法总结

极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的 极限严格定义证明,例如:)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且; 5)13(lim 2=-→x x ;??? ≥<=∞→时当不存在,时当,1||1||0lim q q q n n ;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需 再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时, 不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x (2) e x x x =+→1 )1(lim ; e x x x =+∞→)11(l i m 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如:133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→21 0) 21(lim ,e x x x =+∞ →3 )31(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价 关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;)1ln(2 x - ~ 2x -。

高数求极限方法总结

第一章极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义: 数列极限、函数极限, 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:0)1(1 lim 2=+-∞→n n ;5)13(lim 2=-→x x ;1,0lim <=∞ →q q n n 当等。 定义证明按着总结的四个步骤来,缺一不可!(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限 作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在, 且(1)B A x g x f ±=±)]()(lim[(2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x (2) e x x x =+→1 0)1(lim ; e x x x =+∞→)11(lim 说明:(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式。 (2)一定注意两个重要极限成立的条件。 例如: 133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→210)21(lim ,e x x x =+∞→3)31(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价 关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;)1ln(2x - ~ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小,且)(x f ~)(1x f , )(x g ~)(1x g ,则当)()(lim 110 x g x f x x →存在时,)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)()(lim 1 10x g x f x x →。 5.连续性 定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下: 定理:如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B ()() (1)[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B (2)[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B ()()( (3)若B ≠0 (4)0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A (5)[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????(n 为自然数) 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解:由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式,直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?,求lim n n x →∞ 解: 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义:函数f(x)在0x 附近有定义,χ??,则 如果 存在, 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中,首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。

论文二重极限计算方法

包头师范学院 本科毕业论文 题目:二重极限的计算方法 学生姓名:王伟 学院:数学科学学院 专业:数学与应用数学 班级:应数一班 指导教师:李国明老师 二〇一四年四月

摘要 函数极限是高等数学中非常重要的内容。关于一元函数的极限及求法,各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,二者之间既有联系又有区别。本文在二元函数定义基础上通过求对数,变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法,并给出相关例题及解题步骤,及二重极限不存在的几种证明方法。 关键词:二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性

Abstract The limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist. keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity

求极限的方法及例题总结

1.定义: 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;5 )13(lim 2 =-→x x (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2.极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有(1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3) )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解:原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解:原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

考研数学极限计算方法:利用单侧极限

https://www.360docs.net/doc/3d4595839.html, 版权所有翻印必究 考研数学极限计算方法:利用单侧极限 今天给大家带来极限计算方法中的利用单侧极限来求极限。为什么会有单侧极限这种极限的计算方法呢,我们知道极限存在的充要条件要求函数左右两侧的极限同时存在且相等才表示函数极限存在,那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢? 第一,当分段函数的分段点两侧表达式不同时,求分段点处的极限利用单侧极限。例如,讨论函数1,0arcsin(tan )()2,0ln(1arctan ),0121x e x x f x x x x x ?-+-?? 在0=x 处的极限。分析:在做这道题时我们发现0=x 处左右两侧的解析式是不同的,所以计算0=x 处的极限要分左右来求解,也即 1lim 22 1arctan lim 121)arctan 1ln(lim 000==?=-+++++→→→x x x x x x x x x ,1tan lim )arcsin(tan 1lim 00==---→→x x x e x x x ,左右两侧的极限同时存在且相等,所以1)(lim 0 =→x f x 。有一些特殊的分段函数,如,[],max{},min{},sgn x x x ,当题目中出现这几个函数时需要考虑单侧极限。 第二,如果出现(),arctan e a ∞∞∞,求极限是要分左右的,例如,???? ? ??+++→x x e e x x x sin 12lim 410分析:这道题让我们求解0=x 处的极限,我们发现它有x ,在脱绝对值时

版权所有翻印必究 https://www.360docs.net/doc/3d4595839.html, 2会出现负号,同时出现了e ∞,故分单侧计算极限, 11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ++++→→→→????+++ ? ?+=+=+= ? ? ? ?+++????,11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ----→→→→????+++ ? ?+=-=-= ? ? ? ?+++???? ,所以1sin 12lim 410=???? ? ??+++→x x e e x x x 。上述几种情况原理比较简单,但是需要同学们在做题目中多去总结,掌握其具体的解题思路,也要将知识点和不同类型的题目建立联系,提高自己的解题能力。

极限计算方法总结(简洁版)

极限计算方法总结(简洁版) 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证 明,例如:)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且;5)13(lim 2=-→x x ;???≥<=∞→时当不存在, 时当,1||1||0lim q q q n n ; 等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理 1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1) B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x (2) e x x x =+ →1 )1(lim ; e x x x =+∞ →)11(lim 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如: 133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→21 0)21(lim ,e x x x =+∞→3)3 1(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价

极限计算方法总结

极限计算方法总结 靳一东 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的 极限严格定义证明,例如:)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且;5)13(lim 2 =-→x x ;???≥<=∞→时当不存在,时当,1||1||0lim q q q n n ;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需 再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,) ()(lim 成立此时需≠= B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时, 不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim =→x x x (2) e x x x =+→1 )1(lim ; e x x x =+∞→)11(l i m 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如:133sin lim =→x x x ,e x x x =--→21 ) 21(lim ,e x x x =+∞ →3)3 1(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。

高数-极限求解方法与技巧总结

第一章 极限论 极限可以说是整个高等数学的核心,贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说,所谓高数,就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平,对极限认识深刻,有利于高等数学的学习,本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。 ??????? ?? ?? ?? 极限的定义数列极限极限的性质 函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法 1.利用单调有界原理 单调有界原理:若数列具有单调性、且有有界性,也即单调递增有上界、单调递减有下界,则该数列的极限一定存在。可以说,整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。 利用该定理一般分两步:1、证明极限存在。2、求极限。 说明:对于这类问题,题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式,首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性,再证明其有界性(或先证有界、再证单调性),由单调有界得出极限的存在性,在最终取极限。 例1 设0110,0,()0,1,2n n n a a x x x n x +>>=+=,…证{}n x 的极限存在,并求其极限。 分析:本题给出的是数列前后两项的关系,所以应该用单调有界原理求解。 解:由基本不等式,11()2n n n a x x x +=+≥,所以可知数列n x 有下界;下面证单 调性,可知当2n ≥时,有2 111 ()()22n n n n n n n x a x x x x x x +=+≤+=,则n x 单调递减。综 合可得,则n x 单调递减有下界,所以lim n n x →∞ 存在;令lim n n x A →∞ = ,带入等式解得 A = 评注:对于该题,再证明有界性的过程中用到基本不等式;特别是在证明单调性

求极限方法总结

求极限方法总结 为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限,是以函数的形式表现出来的,所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限,还有个数列极限,区别在于数列极限时发散的,是一般极限的一种 2解决极限的方法如下:我能列出来的全部列出来了你还能有补充么? 1 等价无穷小的转化,只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在 e的X次方-1 或者 1+x的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 x趋近无穷的时候还原成无穷小 2落笔他法则大题目有时候会有暗示要你使用这个方法 首先他的使用有严格的使用前提 必须是 X趋近而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷 必须是函数的.导数要存在假如告诉你gx, 没告诉你是否可导,直接用无疑于找死 必须是 0比0 无穷大比无穷大 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 30的0次方 1的无穷次方无穷的0次方

对于指数幂数方程方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,这就是为什么只有3种形式的原因, LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0 3泰勒公式含有e的x次方的时候,尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候,尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了 6夹逼定理主要对付的是数列极限 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用对付数列极限 q绝对值符号要小于1 8各项的拆分相加来消掉中间的大多数对付的还是数列极限 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式对付数列极限例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下, xn的极限与xn+1的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x 比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式 地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限 11 还有个方法,非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方快于 x 快于指数函数快于幂数函数快于对数函数画图也能看出速率的快慢当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法,当然也是夹杂其中的

求极限的方法总结__小论文

求数列极限的方法总结 数学科学学院数学与应用数学08级汉班 ** 指导教师 **** 摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题,本文通过归纳和总结,从不同的方面罗列了它的几种求法。 关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量 极限一直是数学分析中的一个重点内容,而对数列极限的求法可谓是多种多样,通过归纳和总结,我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义,也要注意运用两个重要极限,其中,可以利用等量代换,展开、约分,三角代换等方法化成比较好求的数列,也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理,在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法,在本文中都一一列举了。 1.定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ,当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞ →lim . 例1: 按定义证明0 ! 1lim =∞ →n n . 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 令1/n<ε,则让n>ε 1 即可, 存在N=[ε 1 ],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成 立, 所以0 ! 1lim =∞ →n n . 2.利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 例2: 求n n n b b b a a a ++++++++∞ → 2 211lim ,其中1,1<

(整理)几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结 摘 要 极限是数学分析中的重要概念,也是数学分析中最基础最重要的内容.通过n s 对求极限的学习和深入研究,我总结出十二种求极限的方法. 关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列 []1 根据极限的定义:数列{n x }收敛??a,ε?〉0,?N N ∈+,当n 〉N 时,有n x -a 〈ε. 例1 用定义证明11 lim =+∞→n n n 证明:0,ε?>要使不等式 11-+n n =11n ε<+成立:解得n 11ε>-,取N=?? ????-11ε,于是0,ε?>? N=?? ? ???-11ε,n N ?>,有1,1n n ε-<+即11lim =+∞→n n n 2利用两边夹定理求极限[]1 例2 求极限???? ??+++++++∞ →n n n n n n 22221 31211 1lim 解:设= n c n n n n ++++ +2 2 2 12 11 1 则有:2 n c n n > =+ 同时有: 21 n c n <=+,于是 n c << 1 n n <=+>=. 有 11 n n n c n n <<< < =+ 已知:11lim =+∞→n n n ∴???? ??+++++++∞→n n n n n n 2222131211 1lim =1 3利用函数的单调有界性求极限[]1

实数的连续性定理:单调有界数列必有极限. 例3 设a x =1,a a x +=2, a a a x n +++= (n=1,2, )(0a >),求n n x ∞ →lim 解:显然{}n x 是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见 12x a x +=,23x a x += , 1-+=n n x a x , 从而 12 -+=n n x a x ,显然n x 是单调增加的,所以2n n x a x <+ 两段除以n x ,得 1n n a x x < + 1+≤≤?a x a n 这就证明了{}n x 的有界性 设l x n →,对等式12 -+=n n x a x 两边去极限,则有∞ →-∞ →+=n n n n x a x 12 l i m l i m ?a l l +=2解得2 1 4++= a l l 4利用无穷小的性质求极限[]2 关于无穷小的性质有三个,但应用最多的性质是:若函数f(x)(x )a →是无穷小,函数g(x)在U (),ηa 有界,则函数f(x)*g(x)(x )a →是无穷小. 例 求极限)cos 1(cos lim x x x -++∞ → 解4 )2 21sin()221sin( 2cos 1cos x x x x x x -+++-=-+ 2)221sin( 2≤++-x x 而) 1(21 221)221sin( 0x x x x x x ++=-+≤-+≤ 而,0) 1(21 lim =++∞ →x x x 故 02 _1lim =+∞ →x x n 5 应用“两个重要极限”求极限[]2 e x x x x x x =+=∞→→)1 1(lim ,1sin lim

求极限的计算方法与技巧

淮北煤炭师范学院论文分类号:O172.2 2008届学士学位论文 求极限的计算方法与技巧 系别、专业信息学院、数学与应用数学 研究方向数学分析 学生姓名郑福梅 学号200418440094 指导教师姓名王信松 指导教师职称教授 2008年5月3日

求极限的计算方法与技巧 郑福梅 淮北煤炭师范学院信息学院 摘要 极限概念是高等数学中很重要的概念之一,其它所有的重要的数学概念如导数﹑定积分都是建立在极限概念的基础上的。因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限概念的高度抽象,致使我们很难用极限定义本身去求极限;又由于极限运算分布于整个高等数学的始终,许多重要的概念是由极限定义的,所以掌握极限的方法非常重要。反过来,我们也可以利用这些概念来求一些极限,所以极限的方法是十分繁多的.针对这种情况,本文通过例题总结﹑归纳了常见的求极限的方法及一些技巧。有关命题与结论在文中有详细地说明。 关键词:极限,计算方法,技巧

Skills and methods of computing limit Zheng Fumei School of information, Huaibei Coal Industry Teacher’s Co llege Abstract The limiting concept is one of the very important concepts in advanced mathematics. The other important mathematical concepts, such as derivative, definite integral are based on this concept. Therefore limit is the basic operation in adva nced mathematics. Because of most abstractness of limit, it is difficult to obtain limit by the concept of limit. Since the concept of limit exists in the whole advanced mathematics, and many important concepts are derived from the definition of limit, it is important to grasp the method of limit. On the other hand, we can also use these concepts to obtain some limits; therefore there are various ways to obtain limits. From above descriptions, Common methods and some skills of obtaining limit are generalized through examples in this thesis. Some relevant propositions and conclusions are also extensively illustrated in this thesis. Keywords: limit,computing method,skill

求极限的方法总结

求数列极限的方法总结 摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题,本文通过归纳和总结,从不同的方面罗列了它的几种求法。 关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量 极限一直是数学分析中的一个重点内容,而对数列极限的求法可谓是多种多样,通过归纳和总结,我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义,也要注意运用两个重要极限,其中,可以利用等量代换,展开、约分,三角代换等方法化成比较好求的数列,也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理,在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法,在本文中都一一列举了。 1.定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ,当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞ →lim . 例1: 按定义证明0! 1lim =∞ →n n . 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 令1/n<ε,则让n>ε 1 即可, 存在N=[ε 1 ],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成 立, 所以0! 1lim =∞ →n n . 2.利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 例2: 求n n n b b b a a a ++++++++∞ → 22 11lim ,其中1,1<N 时,有Xn ≤Yn ≤Zn,且a Zn Xn n n ==∞ →∞ →lim lim ,则有