2020-2021学年安徽省合肥一中高一上学期段一考试数学试卷 PDF版
即 A = 3, +) ，
则 U A = (− ， 3），
故选：B．
11.【解答】解：根据题意， 1 + 2 5 3x − 4 − 5 0 5x2 − 27x + 26 0
x −1 x − 2 4 ( x −1)( x − 2) 4
(x −1)(x − 2)
解得 x 1 或 x 1 ， 2
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所以不等式的解集为 (− ， 1) (1 ， +) ． 2
故答案为： (− ， 1) (1 ， +) ． 2
16.【解答】解：观察发现 2 m + 1和 n + 3 的平方的和为定值，故平方。
令 y= 2 m + 1 + n + 3 ，
y2 = 4m + 4 + n + 3 + 4 (m + 1)(n + 3)=16 + 4 (m +1)(n + 3) ，
命题 p 的否定是：“ x0 R ， x0 + | x0 | 0 ”．
故答案为：真，“ x0 R ， x0 + | x0 | 0 ”．
15.【解答】解：关于 x 的不等式 ax + b x + c 0 的解集为 (1, 4) ，令 x = y ，
则关于 y 的不等式 ay2 + by + c 0 的解集为 (1, 2) ，
x
x
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当造价写为 200 60 + (x + 200) 2 400 + 100x x
= 12000 + 900x + 160000 12000 + 2 900x 160000 = 36000（元 ) ，当且仅当 900x = 160000 ，
x
x
x
即 x = 400 时取等号； 3
x −1
3−1
故答案为：1
14.【解答】解：命题 p ：“ x R ， x+ | x | 0 ”，
命题 p 是真命题，因为当 x 0 时， | x |= x ， x+ | x |= 2x 0 ；
当 x 0 时， | x |= −x ， x+ | x |= 0 ；
所以“ x R ， x+ | x | 0 ”．
所以选择方案一的总造价更低．
答：（1）游泳池的长度为 15 米或 400 时总造价最低； 3
（2）方案一的总造价最低．
19.【解答】解：（1） 不等式 x2 + ax − 3 0 的解集为 (t,3) 得 3， t 是方程 x2 + ax − 3 = 0 的两个根， 3 + t = −a ， 3t = −3 ； a = −2 ， t = −1 ． （2）假设存在实数 c ，使得关于 x 的不等式 x2 + cx − 2a 0 的解集为 R ，同时关于 x 的不等 式 4x2 + 16tx + c2 0 的解集为 ， 则方程 x2 + cx − 2a = 0 对应判别式△ 1 = c2 + 8a = c2 − 16 0 ①且方程 4x2 + 16tx + c2 = 0 对应 判别式△ 2 = (16t)2 −16c2 = (−16)2 −16c2 0 ②， 联立①，②得 c2 = 16 ， c = 4 ． 存在实数 c = 4 ，使得关于 x 的不等式 x2 + cx − 2a 0 的解集为 R ，同时关于 x 的不等式 4x2 + 16tx + c2 0 的解集为 ．
m
3
，
3a2 + 3a + 1
则m
( 3a 2
3 + 3a
+ 1)max
即可，
而 y = 3a2 + 3a + 1 = 3(a + 1)2 + 1 ，最小为 1 ，
24
4
故m
3 1
= 12
，
4
故选： A ．
13.【解答】解：根据题意， g(x) = 3x2 ，则 g （1） = 3 ，
又由 f (x) = 2 ，则 f (g （1） ) = f （3） = 2 = 1，
则关于 y 的一元二次方程 ay2 + by + c = 0 的两根为 1、2，且 a 0 ；
所以
1 + 2 = 1 2 =
−
c a
b a
，解得
b
=
−3a
，
c
=
2a
；
则关于 x 的不等式 cx2 + bx + a 0 可化为 2x2 − 3x + 1 0 ，
即 (2x −1)(x −1) 0 ，
一中段考解析
1.【解答】解：阴影部分所表示的集合为 A U B
U B = {x | x −1或x 3}
A U B = {x | 3 x 5} 故选： B ． 2.【解答】解：若 t B ，则存在 n0 Z ，使 3n0 − 2 = t ， 故 t = 3n0 − 2 = 3(n0 −1) + 1 A ， 故B A； 反之 A 中范围大（例如 A 中含 −5 而 B 中没有）， 故 A B ； 故选： D ．
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20.【解答】解：（1）当
a
=
4 3
时，集合
A
=
x
|
a
−
4 3
x
2a = {x | 0
x
8} ， 3
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B = {x | x2 − 5x + 6 0} = {x | x 2 或 x 3} ；
所以 U B = {x | 2 x 3}，
− 3 1 (a + b) 1 ， − 5 5 (a − b) 10 ，
22
22
则 −4 3a − 2b 11．
18.【解答】解：（1）设出矩形的长为 x ，则宽为 200 ， x
总造价为 200 60 + (x + 200) 2 400 + 100x ， x
或者写成 200 60 + (x + 200) 2 400 + 200 100 ，
10
10
其解集区间的长度为 (27 + 209 − 2) + (27 − 209 −1) = 27 − 3 = 12
10
10
5
5
故选： B ．
12.【解答】解： f (a + 1) − f （a） = m(a + 1)3 − (a + 1) − ma3 + a = m(3a2 + 3a + 1) −1 ，
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故选： A ． 6.【解答】解：由 a + b = 7 ， c = 5 ，可得 p = 1 (a + b + c) = 6 ，
2
则 S = p( p − a)( p − b)( p − c) = 6(6 − a)(6 − b)
6
6 − a + 6 − b 2
2
=
56 2
，
当且仅当 6 − a=6 − b ， a = b = 7 时， S 取得最大值 5 6 ，
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i = 1 ， j = 0 ， (1 + 0) 除以 3 的余数是 1, (1 + 1) 除以 3 的余数是 2； i = 1 ， j = 1 ， (1 + 1) 除以 3 的余数是 2， (2 + 1) 除以 3 的余数是 0； i = 1 ， j = 2 ， (1 + 2) 除以 3 的余数是 0， (0 + 1) 除以 3 的余数是 1； i = 2 ， j = 0 ， (2 + 0) 除以 3 的余数是 2, (2 + 2) 除以 3 的余数是 1； i = 2 ， j = 1 ， (2 + 1) 除以 3 的余数是 0， (0 + 2) 除以 3 的余数是 2； i = 2 ， j = 2 ， (2 + 2) 除以 3 的余数是 1， (1 + 2) 除以 3 的余数是 0； 所以满足条件的数对有 (0, 0) ， (1,1) ， (2, 2) 共 3 对． 故选： C ． 10.【解答】解：由函数的解析式，得 [x] − 2 0 ， 即[x] 2 ，
4b − a2 = 0 ， 4
b
=
a2 4
，
f
(x)
=
x
+
a
2
2
，对称轴为
x=
−
a 2
f (x) c 的解集为 (m, m + 4) ，
f (x) − c = 0 的根为 m ， m + 4 ，
即 x2 + ax + a2 − c = 0 的根为 m ， m + 4 ， 4
x1 + x2
= −a = 2m + 4
3.【解答】解： f ( x) 定义域为 R A 中定义域为 0 ，+ ) ，定义域不同，错误 B 中化简为 f ( x) = x ，对应关系不同，错误 C 中定义域为 R，化简为 f ( x) =x ，正确
D 中定义域为t t 0 ，定义域不同，错误
故选：C. 4.【解答】解：由 a2 b2 | a || b | ；a3 b3 a b ；ac2 bc2 a b ，反之不成立（c=0 时）； 1 1 与 a b 相互推不出．
ab 可知： a b 成立的充分不必要条件是 ac2 bc2 ． 故选： C ． 5.【解答】解：若命题“ x 2 是 x m 的必要不充分条件”是真命题， 则 x m 的范围比 x 2 小。 则 m 的取值范围是 m 2 ，
2020-2021学年安徽省合肥一中高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年安徽省合肥一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设集合( )A.B.C.D.2.下列命题中正确的是( )A. 若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B. 在△ABC 中“∠A >∠B ”是“sinA >sinB ”的充分必要条件C. 命题“若x 2−3x +2=0，则x =1或x =2”的逆否命题是“若x ≠1或x ≠2，则x 2−3x +2≠0”D. 命题p ：∃x 0≥1，使得x 02+x 0−1<0，则￢p ：∀x <1，使得x 2+x −1≥03. 命题：①“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充要条件； ②y =2x −2−x 是奇函数；③若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真； ④若集合A ∩B =A ，则A ⊆B ， 其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.定义“正对数”：ln +x ={0,0<x <1lnx,x ≥1，现有四个命题：①若a >0，b >0，则ln +(a b )=bln +a ②若a >0，b >0，则ln +(ab)=ln +a +ln +b ③若a >0，b >0，则ln +(ab )≥ln +a −ln +b ④若a >0，b >0，则ln +(a +b)≤ln +a +ln +b +ln2 其中正确的命题有( )A. ①③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④5.锐角△ABC 中，已知a =√3,A =π3，则b 2+c 2+3bc 取值范围是( )A. (5,15]B. (7,15]C. (7,11]D. (11,15]6.已知函数f(x)={log 13x,x >02−x,x ≤0，若0<f(a)<2，则实数a 的取值范围是( )A. (−1,0)∪(19,1) B. (−1,0)∪(19,+∞) C. (−1,0]∪(19，1)D. (−∞,−1)∪(19,+∞)7.函数f(x)=x e x +e −x 的大致图象是( )A.B.C.D.8. 函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到，那么此函数图象与轴交点的纵坐标为( )A.B.C.D.9.已知函数f(x)=1+2x+sinx x 2+1，若f(x)的最大值和最小值分别为M 和N ，则M +N 等于( )A. 2B. 3C. 4D. 510. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若√3sin(A +B)=sinA +sinB ，cosC =35，且S △ABC =4，则c =( )A. 4√63B. 4C. 2√63D. 511. 已知函数f(x)={x 2−x +3,x ≤1x +2x,x >1，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x3+a|在R 上恒成立，则a 的最大值是( )A. 2√3B. 3916C. 239D. 4√3312. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={2x +2,0≤x <14−2−x,−1≤x <0，且f(x −1)=f(x +1)，则函数g(x)=f(x)−3x−5x−2在区间[−1,5]上的所有零点之和为( )A. 4B. 5C. 7D. 8二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.一个扇形的中心角为2弧度，半径为1，则其面积为______ ．14.已知g(x)=1−2x，f[g(x)]=1+x2x2(x≠0)，则f(12)=______ ．15.已知函数f(x)=x2−9，g(x)=xx−3，那么f(x)⋅g(x)=______ ．16.已知函数y=kcos(kx)在区间(π4,π3)单调递减，则实数k的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知全集U={x∈N|0<x≤6}，集合A={x∈N|1<x<5}，集合B={x∈N|2<x<6}求(1)A∩B(2)(∁U A)∪B(3)(∁U A)∩(∁U B)18.已知△ABC的面积为4√2，A=C，cosB=−79，求：(1)a和b的值；(2)sin(A−B)的值．19.已知函数f(x)=|x+m|−2|x−1|(m>0)，不等式f(x)≤1的解集为{x|x≤13或x≥3}．(1)求实数m的值；(2)若不等式f(x)≤ax+3a对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．20.(选修4−4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xoy中，过椭圆x212+y24=1在第一象限内的一点P(x,y)分别作x轴、y轴的两条垂线，垂足分别为M，N，求矩形PMON周长最大值时点P的坐标．21.已知函数(Ⅰ)若，且在上的最大值为，求；(Ⅱ)若，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，求的最小值．22. 设0≤α≤π，不等式8x2−(8sinα)x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立，求α的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：试题分析：由题意可知，，所以．考点：本小题主要考查集合的运算．点评：由题意得出是解题的关键，还要注意到．2.答案：B解析：解：对于A：若p∨q为真命题，则①p真q真，②p假q真，③p真q假，当p真q真时则p∧q为真命题，故A错误；对于B：在△ABC中“∠A>∠B”⇔“2RsinA>2RsinB”⇔“a>b”⇔“∠A>∠B“，所以在△ABC中“∠A>∠B”是“sinA>sinB”的充分必要条件，故B正确；对于C：命题“若x2−3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题是“若x≠1且x≠2，则x2−3x+ 2≠0”故C错误；对于D：命题p：∃x0≥1，使得x02+x0−1<0，则￢p：∀x≥1，使得x2+x−1≥0，故D错误．故选：B．直接利用真值表，正弦定理，命题的否定，四种命题的关系判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：真值表，正弦定理，命题的否定，四种命题的关系，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．3.答案：B解析：解：①由“ac2>bc2”⇒“a>b”，反之不成立，例如c=0，因此“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，是假命题；②∵f(−x)=2−x−2x=−f(x)，是奇函数，是真命题；③若“p∨q”为真，则“p∧q”不一定为真，是假命题；④若集合A∩B=A，则A⊆B，是真命题．其中真命题的个数有2．故选：B．①由“ac2>bc2”⇒“a>b”，反之不成立，例如c=0，即可判断出真假；②利用函数的奇偶性即可判断出是否是奇函数，即可判断出真假；③利用复合命题真假的判定方法即可判断出真假；④利用集合运算的性质即可判断出真假．本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性、集合的性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：A解析：解：∵定义“正对数”：ln +x ={0,0<x <1lnx,x ≥1，①当0<a <1，b >0时，0=0b <a b <1b =1，左=右=0；当a >1，b >0时，a b >1，左端ln +(a b )=lna b =blna =右端，故①真；②若0<a <1，b >0时，ab ∈(0,1)，也可能ab ∈(1,+∞)，举例如下：ln +(13×2)=0≠ln2=ln +13+ln +2，故②错误；③若0<a <b <1，0<ab <1，左端=0，右端=0，左端≥右端，成立；当0<a <1≤b ，0<ab <1，ln +b =lnb ≥0，左端=0，右端=0−lnb ≤0，左端≥右端，成立； 当1≤a <b 时，ln +(a b )=0，ln +a =lna ，ln +b =lnb ，左端=0≥lna −lnb =右端，成立； 同理可知，当0<b <a <1，0<b <1≤a ，1≤b <a 时，总有左端≥右端； 当0<a =b 时，左端=右端，不等式也成立； 综上，③真；④若0<a +b <1，b >0时，左=0，右端≥0，显然成立； 若a +b >1，则ln +(a +b)≤ln +a +ln +b +ln2⇔ln +a+b 2≤ln +a +ln +b ，成立，故④真；综上所述，正确的命题有①③④． 故选：A ．根据“正对数”概念，对①②③④逐个分析判断即可．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对数函数的性质，考查新定义的理解与应用，突出考查分类讨论思想与综合运算、逻辑思维及分析能力，属于难题．5.答案：D解析：本题综合考查了正余弦定理及两角和与差的三角函数公式，属于拔高题．由正弦定理可得，asinA =bsinB=csinC=√3√32=2，可先表示b，c，然后由△ABC为锐角三角形及可求B的范围，再把bc用sinB，cosB表示，利用三角恒等变形公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求bc的范围，由余弦定理可得b2+c2+3bc=4bc+3，从而可求范围．解：由正弦定理可得，asinA =bsinB=csinC=√3√32=2，∴b=2sinB，c=2sinC，∵△ABC为锐角三角形，，且，，=4sinB(√32cosB+12sinB)=2√3sinBcosB+2sin2B，，，，，即2<bc≤3，∵a=√3,A=π3，由余弦定理可得：3=b2+c2−bc，可得：b2+c2=bc+3，∴b2+c2+3bc=4bc+3∈(11,15]．故选：D．6.答案：C解析：解：当a≤0时，0<2−a<2，解得，−a<1；即a>−1，可得−1<a≤0当a>0时，0<log13a<2，解得，19<a<1．∴a∈(−1,0]∪(19，1)，故选：C．将变量a按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．7.答案：C解析：解：∵函数f(x)=xe x+e−x ，∴f(−x)=−xe−x+e x=−xe x+e−x=−f(x)，∴f(x)是奇函数，故A错误；∵x<0时，f(x)=xe x+e−x <0，x>0时，f(x)=xe x+e−x>0，故B错误；当x>0时，f(x)=xe x+e−x，由f(0)=0，f(1)=1e+1e=ee2+1，f(2)=2e2+1e2=2e2e4+1，f(3)=3e3+1e3=3e3e6+1，得：当x>0时，f(x)=xe x+e−x，先增后减，故D错误．由排除法得C正确．故选：C．推导出f(x)是奇函数，x<0时，f(x)=xe x+e−x <0，x>0时，f(x)=xe x+e−x>0，当x>0时，f(x)=xe x+e−x先增后减，由此利用排除法能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．8.答案：A解析：试题分析：依题意，利用正弦函数的单调性可求得y=sin(ωx+φ)的解析式，从而可求得此函数图象与y轴交点的纵坐标．解：∵函数y=sin(ωx+φ)在区间上单调递减，且函数值从1减小到−1，∴∴T=π，又T=∴ω=2又sin(2×+φ)=1，∴+φ=2kπ+，k∈Z.∴φ=2kπ+，k∈Z.∵|φ|<，∴φ=∴y=sin(2x+)，令x=0，有y=sin=∴此函数图象与y轴交点的纵坐标为故选A．考点：三角函数图像点评：本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得ω与φ的值是关键，也是难点，考查分析与理解应用的能力，属于中档题．9.答案：A解析：解：∵f(x)=1+2x+sinxx2+1，设g(x)=2x+sinxx2+1，∴g(−x)=−2x−sinxx2+1=−2x+sinxx2+1=−g(x)，∴g(x)为奇函数，∴g(x)max+g(x)min=0∵M=1+g(x)max，N=1+g(x)min，∴M+N=1+1+0=2，故选：A．g(x)=2x+sinxx2+1，得到g(x)为奇函数，得到g(x)max+g(x)min=0，相加可得答案．本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，属于中档题．10.答案：B解析：解：∵√3sin(A+B)=√3sinC=sinA+sinB，cosC=35，∴由正弦定理可得：√3c=a+b，可得sinC=√1−cos2C=45，∵S△ABC=12absinC=12×45×ab=4，解得：ab=10，∴由余弦定理可得：c=√a2+b2−2abcosC=√(a+b)2−2ab−2ab⋅35=√3c2−32，解得：c=4．故选：B．由已知及正弦定理可得：√3c=a+b，利用同角三角函数基本关系式可得sinC，利用三角形面积公式可求ab=10，由余弦定理即可解得c的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．11.答案：D解析：解：函数f(x)={x 2−x +3,x ≤1x +2x ,x >1， 当x ≤1时，关于x 的不等式f(x)≥|x3+a|在R 上恒成立， 即为−x 2+x −3≤13x +a ≤x 2−x +3， 即有−x 2+23x −3≤a ≤x 2−43x +3，由y =−x 2+23x −3的对称轴为x =13<1，可得x =13处取得最大值−269；由y =x 2−43x +3的对称轴为x =23<1，可得x =23处取得最小值239， 则−269≤a ≤239①当x >1时，关于x 的不等式f(x)≥|x3+a|在R 上恒成立， 即为−(x +2x )≤13x +a ≤x +2x ， 即有−(43x +2x )≤a ≤23x +2x ，由y =−(43x +2x )≤−2√43x ⋅2x =−43√6(当且仅当x =√32>1)取得最大值−43√6；由y =23x +2x ≥2√2x3⋅2x =4√33(当且仅当x =√3>1)取得最小值4√33． 则−43√6≤a ≤4√33②； 由①②可得，−269≤a ≤4√33， ∴a 的最大值为4√33． 另解：作出f(x)的图象和折线y =|13x +a|，如图所示； 当x ≤1时，y =x 2−x +3的导数为y′=2x −1， 由2x −1=−13，可得x =13，切点为(13,259)代入y =−13x −a ，解得a =−269； 当x >1时，y =x +2x 的导数为y′=1−2x 2， 由1−2x 2=13，可得x =√3(−√3舍去)，切点为(√3,5√33)，代入y =13x +a ，解得a =4√33；由图象平移可得，−269≤a ≤4√33，∴a 的最大值是4√33． 故选：D ．讨论x ≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得关于a 的不等式，再由二次函数的最值求出a 的范围；当x >1时，同样可得关于a 的不等式，再由基本不等式求得a 的范围，取交集可得所求a 的范围． 另解：作出f(x)的图象和折线y =|13x +a|，利用导数求得函数f(x)切线的斜率与切点， 结合题意求得a 的取值范围．本题考查了分段函数的应用以及不等式恒成立问题，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想．12.答案：B解析：解：∵函数f(x)={2x +2,0≤x <14−2−x ,−1≤x <0，且f(x −1)=f(x +1)，函数的周期为2，函数g(x)=f(x)−3x−5x−2，的零点，就是y =f(x)与y =3x−5x−2图象的交点的横坐标，∴y =f(x)关于点(0,3)中心对称，将函数两次向右平移2个单位， 得到函数y =f(x)在[−1,5]上的图象，每段曲线不包含右端点(如下图)，去掉端点后关于(2,3)中心对称． 又∵y =3x−5x−2=3+1x−2关于(2,3)中心对称，故方程f(x)=g(x)在区间[−1,5]上的根就是函数y =f(x)和y =g(x)的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x 1，x 2，x 3，其中x 1和x 3关于(2,3)中心对称， ∴x 1+x 3=4，x 2=1， 故x 1+x 2+x 3=5． 故选：B ．把方程f(x)=g(x)在区间[−1,5]上的根转化为函数y =f(x)和y =g(x)的交点横坐标，画出函数图象，数形结合得答案．本题考查分段函数，函数平移，零点与方程根的关系，属于中档题．13.答案：1解析：解：∵扇形的中心角为2弧度，半径为1， ∴S =12lr =12×2×1×1=1，故答案为1．直接利用扇形的面积计算公式，即可求解． 熟练掌握扇形的面积计算公式是解题的关键．14.答案：17解析：解：∵g(x)=1−2x ，f[g(x)]=1+x 2x 2(x ≠0)，∴f[g(x)]=f(1−2x)=1+x 2x 2(x ≠0)， ∴f(12)=f(1−2×14)=1+(14)2(14)2=17．故答案为：17．由已知得f[g(x)]=f(1−2x)=1+x 2x 2(x ≠0)，由此根据f(12)=f(1−2×14)，能求出f(12).本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15.答案：x 2+3x (x ≠3)解析：解：函数f(x)=x 2−9，g(x)=xx−3，那么f(x)⋅g(x)=x 2+3x (x ≠3)． 故答案为：x 2+3x (x ≠3)直接相乘即可，一定要注意定义域．本题考查了求函数解析式，要注意定义域，属于基础题．16.答案：[−6,−4]∪(0，3]∪[8，9]∪{−12}解析：本题考查了余弦函数的图象与性质，分类讨论思想，属于中档题．对k的符号进行讨论，利用符合函数的单调性及余弦函数的单调性列不等式组求出f(x)的减区间，令区间(π4,π3)为f(x)单调减区间的子集解出k的范围．解：当k>0时，令2mπ≤kx≤π+2mπ，解得2mπk ≤x≤πk+2mπk，m∈Z，∵函数y=kcos(kx)在区间(π4,π3)单调递减，∴{π4≥2mπkπ3≤πk+2mπk，解得{k≥8mk≤3+6m，m∈Z，∴0<k≤3或8≤k≤9．当k<0时，令−π+2mπ≤−kx≤2mπ，解得πk −2mπk≤x≤−2mπk，m∈Z，∵函数y=kcos(kx)在区间(π4,π3)单调递减，∴{π4≥πk−2mπkπ3≤−2mπk，解得{k≤4−8mk≥−6m，m∈Z，∴−6≤k≤−4，或k=−12，综上，k的取值范围是[−6,−4]∪(0，3]∪[8，9]∪{−12}．故答案为：[−6,−4]∪(0，3]∪[8，9]∪{−12}．17.答案：解：(1)∵集U={x∈N|0<x≤6}，∴U={1,2,3,4,5,6}∵A={2,3,4}.B={3,4,5}．∴A∩B={3,4}(2)C U A={1,5,6}∴(C U A)∪B={1,3,4,5,6}(3)C U B={1,2,6}，∴(C U A)∩(C U B)={1,6}．解析：(1)首先根据集合进行化简，用列举法表示集合U，A，B；然后求出A∩B；(2)由(1)得出(C U A)，再与B求并集(C U A)∪B；(3)根据(1)得到的C U A和C U B，最后求出(C U A)∩(C U B)．本题考查交并补集的混合运算，通过已知的集合的全集，按照补集的运算法则分别求解，属于基础题．18.答案：解：(1)∵B∈(0,π)，∴sinB>0，∵cosB=−79，∴sinB =√1−cos 2B =√1−(−79)2=4√29， ∵A =C ， ∴a =c ，∴S △ABC =12acsinB =12a 2×4√29=4√2，解得a =3√2，由余弦定理可得，b 2=a 2+c 2−2accosB =18+18−2×18×(−79)=64， ∴b =8． (2)∵a sinA=b sinB，∴sinA =asinB b =3√28×4√29=13，∵A ∈(0,π2)，∴cosA =√1−sin 2A =√1−(13)2=2√23， ∴∴sin(A −B)=sinAcosB −cosAsinB =13×(−79)−2√23×4√29=−2327．解析：(1)根据已知条件，运用三角函数的同角公式，可得sinB =4√29，即可得S △ABC =12acsinB =12a 2×4√29=4√2，解得a =3√2，再结合余弦定理，即可求解b 的值．(2)根据已知条件，运用正弦定理，可得sinA =13，再结合三角函数的同角公式和正弦函数的两角差公式，即可求解．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．19.答案：解：(1)f(x)=|x +m|−2|x −1|={x −m −2,x ≤−m3x +m −2,−m <x <1−x +m +2,x ≥1(m >0),作出函数f(x)的图象，结合图象，∵不等式f(x)≤1的解集为{x|x ≤13或x ≥3}． ∴{3×13+m −2=1−3+m +2=1，解得m =2．(2)直线y =ax +3a 过点(−3,0)，且在函数f(x)的图象的上方，a可以看作是直线y=ax+3a的斜率，而过(−3,0)，(1,3)的直线的斜率为4，3,1]．结合图象可得实数a的取值范围为[43解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查了转化思想、数形结合思想，体现了转化的数学思想，属于中档题．(1)把f(x)用分段函数来表示，结合图象，可得m．(2))直线y=ax+3a过点(−3,0)，且在函数f(x)的图象的上方，a可以看作是直线y=ax+3a的斜率，而过(−3,0)，(1,3)的直线的斜率为4，3结合图象可得实数a的取值范围．20.答案：解：根据题意，设{x=2√3cosα(α∈[0,2π]为参数)，y=2sinα∴矩形PMON周长为)C=2(2√3cosα+2sinα)=8sin(α+π3)的最大值为1，∵sin(α+π3∴当α=π时，矩形PMON周长取最大值8，6此时点P的坐标为(3,1)．解析：根据椭圆的参数方程设点P(2√3cosα,2sinα)，得到矩形PMON周长C关于α的表达式，化简得C=8sin(α+π)，3结合正弦函数的性质，可得矩形PMON周长最大值及相应的点P坐标．本题给出椭圆上点P，求椭圆内接矩形PMON周长的最大值，着重考查了椭圆的简单几何性质、三角恒等变换和三角函数的最值等知识，属于基础题．21.答案：解析：本题考查函数与方程的应用，函数恒成立，二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论以及计算能力．22.答案：解：由题意：不等式8x2−(8sinα)x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立，由二次函数的性质可得：△≤0，即：(8sinα)2−4×8×cos2α≤0整理得：4sin2α≤1，∴−12≤sinα≤12∵0≤α≤π，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π．所以α的取值范围是[0,π6]∪[5π6,π]．解析：将不等式看成二次函数恒成立问题，利用二次函数≥0对一切x∈R恒成立，可得△≤0，转化成三角函数问题，即可求解实数α的取值范围．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，利用了二次函数数的性质转化成三角函数的问题，属于中档题．。
2020-2021学年安徽省六安一中高一(上)第一次段考数学试卷(解析版)
2020-2021学年安徽省六安一中高一（上）第一次段考数学试卷一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．1．设集合U＝{x∈N|0≤x≤4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则（∁U A）∩（∁U B）＝（）A．{0，4}B．{4}C．{1，2，3}D．∅2．已知a∈R，则“a＜5”是“＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b，则|a|＞b4．已知f（x）的定义域为[﹣2，2]，且函数，则g（x）的定义域为（）A．（﹣1，1]B．（﹣1，5）C．（﹣1，3]D．[﹣1，3]5．若函数f（2x+1）＝x2﹣2x，则f（2）＝（）A．﹣1B．C．D．16．已知函数f（x）＝，且f（a）+f（0）＝0，则实数a的值为（）A．﹣2B．C．0D．7．若对任意x＜0，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣4，﹣1]B．（﹣∞，1]∪[4，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，+∞）D．[1，4]8．已知关于x的不等式kx2﹣6kx+8≤0的解集为空集，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知函数对任意两个不相等的实数x1，x2∈（﹣∞，﹣2]，都有不等式成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．C．D．10．若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．已知集合A＝{1，2，3}，则集合B＝{x﹣y|x∈A，y∈A}的所有子集的个数是．12．已知函数y＝的值域为[0，+∞），那么实数m的取值范围是．13．函数的最大值为．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x）．若当0≤x≤1时．f（x）＝x（1﹣x），则当﹣1≤x≤0时，f（x）＝．15．已知f（x）＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题共5小题，每小题10分，共50分．16．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+x﹣6＜0}，，C＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}．（1）求A∩（∁U B）；（2）若C⊆（A∪B），求实数a的取值范围．17．设函数f（x）＝kx2﹣6kx+k+8．（1）若f（x）＞0的解集为（﹣1，7），求实数k的值；（2）解关于x的不等式f（x）＞x+k+2．18．（1）求函数的最小值；（2）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，求证：．19．六安市为争创文明卫生城市，实行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”和“其他垃圾”四类，某企业在市科研部门的支持下进行研究，把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品．已知该企业每周的加工处理量最少为75吨，最多为100吨．周加工处理成本y（元）与周加工处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为16元．（1）该企业每周加工处理量为多少吨时，才能使每吨产品的平均加工处理成本最低？（2）该企业每周能否获利？如果获利，求出利润的最大值；如果不获利，则市政府至少需要补贴多少元才能使该企业不亏损？20．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），满足f（xy）＝f（x）+f（y），，当x ＞1时，f（x）＜0，（1）求f（1）的值；（2）判断函数的单调性；（3）解关于x的不等式f（x）+f（x﹣2）＞﹣1．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合U＝{x∈N|0≤x≤4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则（∁U A）∩（∁U B）＝（）A．{0，4}B．{4}C．{1，2，3}D．∅【分析】利用补集的定义求出∁U A和∁U B，然后由集合交集的定义求解即可．解：因为集合U＝{x∈N|0≤x≤4}＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，所以∁U A＝{0，3，4}，∁U B＝{0，1，4}则（∁U A）∩（∁U B）＝{0，4}．故选：A．2．已知a∈R，则“a＜5”是“＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由“＞”解出a的范围，可解决此题．解：由＞解得：0＜a＜5，∴“a＜5”是“＞”的必要不充分条件，故选：B．3．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b，则|a|＞b【分析】由不等式的性质逐一判断即可求得结论．解：对于A，若a＞0＞b，则＞，故A错误；对于B，若a＞b，c＞d，取a＝4，b＝3，c＝2，d＝1，则a﹣c＝b﹣d，故B错误；对于C，当c＝0时，ac2＝bc2，故C错误；对于D，若a＞b，则|a|≥a＞b，故D正确．故选：D．4．已知f（x）的定义域为[﹣2，2]，且函数，则g（x）的定义域为（）A．（﹣1，1]B．（﹣1，5）C．（﹣1，3]D．[﹣1，3]【分析】根据抽象函数的定义域以及二次根式的性质求出函数g（x）的定义域即可．解：由题意得：，解得：﹣1＜x≤3，故函数g（x）的定义域是（﹣1，3]，故选：C．5．若函数f（2x+1）＝x2﹣2x，则f（2）＝（）A．﹣1B．C．D．1【分析】根据题意，利用特殊值法，将x＝代入f（2x+1）＝x2﹣2x中，即可得答案．【解答】解；根据题意，函数f（2x+1）＝x2﹣2x，当x＝时，f（2）＝（）2﹣1＝﹣；故选：B．6．已知函数f（x）＝，且f（a）+f（0）＝0，则实数a的值为（）A．﹣2B．C．0D．【分析】根据题意，求出f（0）的值，可得f（a）＝﹣1，据此分2种情况讨论，结合函数的解析式求出a的值，综合可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（0）＝1，若f（a）+f（0）＝0，则f（a）＝﹣1，若a＞0，则f（a）＝2a＝﹣1，则a＝﹣，不符合题意；若a≤0，则f（a）＝a+1＝﹣1，则a＝﹣2，符合题意，综合可得：a＝﹣2；故选：A．7．若对任意x＜0，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣4，﹣1]B．（﹣∞，1]∪[4，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，+∞）D．[1，4]【分析】由题意可得（x+）max≤m2+5m，由基本不等式可得最大值，再由二次不等式的解法，可得所求范围．解：对任意x＜0，不等式恒成立，即为（x+）max≤m2+5m，因为x＜0，则x+＝﹣[（﹣x）+]≤﹣2＝﹣4，当且仅当x＝﹣2时，上式取得等号，所以m2+5m≥﹣4，解得m≥﹣1或m≤﹣4．故选：C．8．已知关于x的不等式kx2﹣6kx+8≤0的解集为空集，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】讨论k＝0和k≠0时，求出不等式解集为空集时k的取值范围即可．解：当k＝0时，不等式kx2﹣6kx+8≤0为8≤0，其解集为空集；当k≠0时，应满足，解得0＜k＜；综上知，实数k的取值范围是0≤k＜．故选：C．9．已知函数对任意两个不相等的实数x1，x2∈（﹣∞，﹣2]，都有不等式成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．C．D．【分析】由单调性的定义可得f（x）在（﹣∞，﹣2]为减函数，设t＝ax2+2x﹣5a+5，t≥0，则y＝，结合二次函数的单调性，讨论a＝0，a＜0，a＞0，结合对称轴，可得所求范围．解：对任意两个不相等的实数x1，x2∈（﹣∞，﹣2]，都有不等式成立，可得f（x）在（﹣∞，﹣2]为减函数，设t＝ax2+2x﹣5a+5，t≥0，则y＝，若a＝0，t＝2x+5递增，不符题意；若a＜0，t＝ax2+2x﹣5a+5表示的抛物线的开口向下，不符题意；当a＞0时，t＝ax2+2x﹣5a+5在（﹣∞，﹣2]为减函数，可得﹣≥﹣2，且4a﹣4﹣5a+5≥0，解得a≥且a≤1，即有≤a≤1，故选：B．10．若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意知a＞0，不等式化为ax2﹣（2x﹣1）2＞0，求出不等式的解集，根据解集中的整数恰有2个，列不等式求得a的取值范围．解：由题意知a＞0，且不等式（2x﹣1）2＜ax2可化为ax2＞（2x﹣1）2，即ax2﹣（2x﹣1）2＞0，所以（x+2x﹣1）（x﹣2x+1）＞0，即[（+2）x﹣1][（﹣2）x+1]＞0；由于+2＞0，而不等式的解答中恰有两个整数解，所以﹣2＜0，即a＜4；所以不等式可变为[（+2）x﹣1][（2﹣）x﹣1]＜0，解得＜x＜，又＜1，结合解集中恰有两个整数可得＞2且≤3，所以有2﹣＜且2﹣≥，解得＜a≤，所以实数a的取值范围是＜a≤．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．已知集合A＝{1，2，3}，则集合B＝{x﹣y|x∈A，y∈A}的所有子集的个数是32．【分析】根据集合B中元素与A中元素之间的关系进行求解．解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x﹣y|x∈A，y∈A}，∴x＝1，2，3，y＝1，2，3．当x＝1时，x﹣y＝0，﹣1，﹣2；当x＝2时，x﹣y＝1，0，﹣1；当x＝3时，x﹣y＝2，1，0．即x﹣y＝﹣2，﹣1，0，1，2．即B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}共有5个元素，则集合B＝{x﹣y|x∈A，y∈A}的所有子集的个数是25＝32．故答案为：32．12．已知函数y＝的值域为[0，+∞），那么实数m的取值范围是[4，+∞）．【分析】把函数y＝的值域为[0，+∞），转化为g（x）＝mx2+mx+1能够取到大于等于0的所有实数，由此可得关于m的不等式组求解．解：∵函数y＝的值域为[0，+∞），∴g（x）＝mx2+mx+1能够取到大于等于0的所有实数，则，解得m≥4．∴实数m的取值范围是[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．13．函数的最大值为．【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．解：，＝＝＝，当且仅当2x＝即x＝时取等号，所以f（x）的最大值．故答案为：．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x）．若当0≤x≤1时．f（x）＝x（1﹣x），则当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x（x+1）．【分析】当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，由已知表达式可求得f（x+1），根据f（x+1）＝2f（x）即可求得f（x）．解：当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，由题意f（x）＝f（x+1）＝（x+1）[1﹣（x+1）]＝﹣x（x+1），故答案为：﹣x（x+1）．15．已知f（x）＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是．【分析】当函数y＝（a﹣3）x+7a﹣2在（﹣∞，1）上单调递减，且函数y＝﹣ax²+x在（1，+∞）上单调递减，且分段点处左边界不小于右边界时，f（x）单调递减．解：若函数y＝（a﹣3）x+7a﹣2在（﹣∞，1）上单调递减，则a﹣3＜0，得a＜3；若函数y＝﹣ax²+x在（1，+∞）上单调递减，则，得；故，若f（x）在R上递减，则，解得．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题共5小题，每小题10分，共50分．16．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+x﹣6＜0}，，C＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}．（1）求A∩（∁U B）；（2）若C⊆（A∪B），求实数a的取值范围．【分析】（1）先求出集合A，B，然后由补集的定义以及交集的定义求解即可；（2）先求出A∪B，然后由子集的定义分C＝ϕ和C≠ϕ两种情况列式求解即可．解：（1）因为A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|1＜x≤6}，所以∁U B＝{x|x≤1或x＞6}，故A∩∁U B＝{x|﹣3＜x≤1}；（2）因为A∪B＝{x|﹣3＜x≤6}，且C⊆（A∪B），①当C＝ϕ时，则a﹣1＞2a+1，解得a＜﹣2．②当C≠ϕ时，则，解得．综上所述，实数a的取值范围为．17．设函数f（x）＝kx2﹣6kx+k+8．（1）若f（x）＞0的解集为（﹣1，7），求实数k的值；（2）解关于x的不等式f（x）＞x+k+2．【分析】（1）根据不等式的解集与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值．（2）不等式化为（kx﹣1）（x﹣6）＞0，讨论k的取值，从而求出不等式的解集．解：（1）由题意知，kx2﹣6kx+k+8＝0的两个根为﹣1和7，则，解得k＝﹣1．（2）不等式f（x）＞x+k+2为kx2﹣6kx+k+8＞x+k+2，即kx2﹣（6k+1）x+6＞0，所以（kx﹣1）（x﹣6）＞0；①当k＝0时，不等式为x﹣6＜0，求出不等式的解集为（﹣∞，6）；②当k＜0时，不等式为（x﹣）（x﹣6）＜0，且＜6，所以不等式的解集为；③当k＞0时，不等式为（x﹣）（x﹣6）＞0；（ⅰ）若＞6，则，求得不等式的解集为；（ⅱ）若＝6，则，求得不等式的解集为{x|x≠6}；（ⅲ）若＜6，则，求得不等式的解集为．综上知，k＝0时，不等式的解集为（﹣∞，6）；k＜0时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；k＝时，不等式的解集为{x|x≠6}；k＞时，不等式的解集为．18．（1）求函数的最小值；（2）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，求证：．【分析】（1）令x+1＝t，则t＞0，化简函数的表达式，利用基本不等式求解表达式的最小值即可．（2）利用基本不等式推出，，转化证明即可．【解答】（1）解：令x+1＝t，则t＞0，∴＝＝．有基本不等式得．当且仅当，即t＝2，此时x＝1等号成立，∴f（x）min＝9．（2）证明：，，∴＝，当且仅当时，等号成立．19．六安市为争创文明卫生城市，实行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”和“其他垃圾”四类，某企业在市科研部门的支持下进行研究，把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品．已知该企业每周的加工处理量最少为75吨，最多为100吨．周加工处理成本y（元）与周加工处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为16元．（1）该企业每周加工处理量为多少吨时，才能使每吨产品的平均加工处理成本最低？（2）该企业每周能否获利？如果获利，求出利润的最大值；如果不获利，则市政府至少需要补贴多少元才能使该企业不亏损？【分析】（1）设每吨产品的平均加工处理成本为g（x），由题意得到g（x）的表达式，然后利用基本不等式求解最值即可；（2）设该企业每周获利S元，表示出S的表达式，然后由二次函数的性质求解最值即可得到答案．解：（1）设每吨产品的平均加工处理成本为g（x），则，所以＝30，当且仅当，即x＝90时，等号成立，故每周加工处理量为90吨时，平均加工处理成本最低．（2）设该企业每周获利S元，则S＝16x﹣y＝＝，故当x＝75吨时，S max＝﹣1125，所以该企业每周不获利，市政府至少需要补贴1125元才能使其不亏损．20．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），满足f（xy）＝f（x）+f（y），，当x ＞1时，f（x）＜0，（1）求f（1）的值；（2）判断函数的单调性；（3）解关于x的不等式f（x）+f（x﹣2）＞﹣1．【分析】（1）直接令x＝y＝1代入即可求得f（1）；（2）直接用单调性的定义证明函数单调递减；（3）运用函数的单调性和特殊函数值及函数的定义域列不等式求解．解：（1）因为f（x）满足f（xy）＝f（x）+f（y），所以，令x＝y＝1代入得，f（1）＝f（1）+f（1），所以，f（1）＝0；（2）f（x）在（0，+∞）上单调递减，证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，所以＞1，则f（x1）＝f（•x2）＝f（）+f（x2），即f（x1）﹣f（x2）＝f（），根据题意，当x＞1时，f（x）＜0，所以f（）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，所以，f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）∵f（1）＝f（3）+f（）且f（）＝1，∴f（3）＝﹣1，不等式f（x）+f（x﹣2）＞﹣1可化为：f[x（x﹣2）]＞f（3），根据单调性和定义域列出不等式如下：，解得x∈（2，3），即该不等式的解集为（2，3）．。
合肥一中2020-2021学年度高一上学期数学10月份练习卷
合肥一中2020-2021学年度高一上学期数学周练三角函数专练（2020.10月16日）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知角α终边上一点P(−8,6)，则sinα=()A. −45B. −34C. 35D. −432.函f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g(x)=sinωx的图象，则只要将f(x)的图象()A. 向右平π6个单位长度 B. 向右平π12个单位长度C. 向左平π6个单位长度 D. 向左平π12个单位长度3.把函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象上的所有点向左平移π12个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，且g(−x)=g(x)，则()A. y=g(x)在(0,π2)单调递增，其图象关于直线x=π4对称B. y=g(x)在(0,π2)单调递增，其图象关于直线x=π2对称C. y=g(x)在(0,π2)单调递减，其图象关于直线x=π4对称D. y=g(x)在(0,π2)单调递减，其图象关于直线x=π2对称4.12已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)，A(13,0)为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，则f(x)的单调递增区间是()A. (2k−23,2k+43)，k∈Z B. (2kπ−23π,2kπ+43π)，k∈ZC. (4k−23,4k+43)，k∈Z D. (4kπ−23π,4kπ+43π)，k∈Z5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x=2π3时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A. f(2)<f(−2)<f(0)B. f(0)<f(2)<f(−2)C. f(−2)<f(0)<f(2)D. f(2)<f(0)<f(−2)6. 要得到函数y =√2sin x 的图象，只需将函数 y =√2cos (2x −π4)的图象上所有的点( )A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度C. 横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度7. 函数f (x )={x 2,x ≤04sin x,0<x ≤π，则集合{x|f(f(x))=0}中元素的个数为( )．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个8. 已知f(x)=sin (ωx +π6)(ω∈Z)，x ∈(0,π3]时f(x)=12有唯一解，则满足条件的ω的个数是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 69. 四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y =sin 2x ，y =sin (x +π6)，y =sin (x −π3)的图象如下，结果发现恰有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是( )A. B.C. D.10. 定义在R 上的单调函数f(x)满足：f(x +y)=f(x)+f(y)，若函数 g(x)=f(a +sinx)+f(2cos 2x −3)在(0,π)上有零点，则a 的取值范围是( )．A. [78,2]B. [78,94]C. [1,2]D. [1,94]11. 已知定义在R 上的奇函数，满足f(2−x)+f(x)=0，当x ∈(0,1]时，，函数，在区间[−1,m]上有10个零点，则m 的取值范围是( )．A. [5,5.5)B. [4.5,5)C. [4,4.5)D. [3.5,4)12. 已知函数f(x)={2sin2πx,x ∈[1,3]1x−2,x ∈(−∞,1)∪(3,+∞)，若存在x 1,x 2,⋯,x n 满足f(x 1)x 1−2=f(x 2)x 2−2=⋯f(x n )xn −2=12则x 1+x 2+⋯+x n 的值为( )A. 4B. 6C. 8D. 10二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数y =cos (ωx −π3)(ω∈N ∗)图象的一条对称轴是x =π6，则ω的最小值为______ ．14.已知函数y=acos(2x+π3)+3，x∈[0,π2]的最大值为4，则正实数a的值为______ ．15.函数y=sin2x+√3sinx的单调递增区间为______ ．16.已知函数f(x)=2x2x+1，函数g(x)=a a+2(a>0)，若存在x 1、x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a的取值范围是______ ．二、解答题（本大题共2小题，共20.0分）17.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2).(1)若x∈[2,6]时，f(x)max=f(2)=2，f(x)min=f(6)=−2且f(x)在[2,6]上单调递减，求ω，φ的值；(2)若φ=π6且函数f(x)在[0,π3]上单调递增，求ω的取值范围；解得ω≤1；又ω>0，∴ω的取值范围是(0,1](10分)18.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)满足：①f(−2π3)=f(π6)=f(π3)；②在区间[−2π3,π6]内有最大值无最小值；③在区间[π6,π3]内有最小值无最大值；④经过M(π6,−√3). (1)求f(x)的解析式；(2)若f(x+π6)=65，求sin(π6−2x)值．(3)不等式f2(x)+f(x)≥2m+1的解集不为空集，求实数m的范围．19.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，f(-π3)=0，对任意x∈R恒有f(x)≤|f(π3)|，且在区间(π15,π5)上有且只有一个x1使f(x1)=3，则ω的最大值为______ ．20.已知函数f(x)=4sin(2x−π6),x∈[0,46π3]，若函数F(x)=f(x)−3的所有零点依次记为x1，x2,x3，…，x n，且x1<x2<x3<⋯<x n，则x1+2x2+2x3+⋯+ 2x n−1+x n=______ ．。
2023-2024学年安徽省合肥一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，5}，B ＝{2，4}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{4}B ．{2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．命题“∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3＜0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0 C ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≤0 D ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3＜03．函数y =√x 2+2x−3x−1的定义域是（ ）A ．[﹣3，1]B ．[﹣1，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）4．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．若a ＜b ，则1a＞1bB ．若a ＜b ，则ac 2＜bc 2C ．若a ＜0＜b ，则ab ＜b 2D ．若c ＞a ＞b ，则1c−a＜1c−b5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6]￥D ．[−114，−1)∪[6，8]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝3，若∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−110．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜111．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6 12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ ．14．下列命题中，真命题的编号是 ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 ．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}． （1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}． （1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数． （1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，B＝{2，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}解：由已知得∁U A＝{2，3，4}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}．故选：B．2．命题“∃x∈R，x2﹣3x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣3x+3＜0B．∀x∈R，x2﹣3x+3≥0C．∃x∈R，x2﹣3x+3≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0解：∃x∈R，x2﹣3x+3≥0的否定是：∀x∈R，x2﹣3x+3＜0．故选：A．3．函数y=√x2+2x−3x−1的定义域是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）解：要使得函数y=√x2+2x−3x−1有意义，则x2+2x﹣3≥0，且x﹣1≠0，解得x＞1或x≤﹣3，故定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．故选：D．4．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A．若a＜b，则1a ＞1bB．若a＜b，则ac2＜bc2C．若a＜0＜b，则ab＜b2D．若c＞a＞b，则1c−a ＜1c−b解：若a＜0，b＞0，则1a ＜1b，故A错误；若c＝0，则ac2＝bc2，故B错误；因为a＜0＜b，所以ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，即ab＜b2，故C正确；因为c＞a＞b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，所以1c−a ＞1c−b＞0，故D错误．故选：C．5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0） B ．（0，+∞） C ．（﹣1，0） D ．（﹣2，0）解：由题意，函数f(x)=9−3x x−2=−3+3x−2（x ＞3）， 令t ＝x ﹣2，则t ＞1，可得3t∈(0，3)，故f(x)=−3+3x−2（x ＞3）的值域为（﹣3，0）． 故选：A ．6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）解：二次函数y ＝x 2﹣（a +2）x +3的对称轴为x =a+22， 因为函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1ax，x ＞1是R 上的减函数，所以有{a+22≥1，a ＞01−a −2+3≥a，解得0＜a ≤1．故选：B ．7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6] B ．(−∞，−1]∪(−114，6) C ．(−114，+∞)D ．[−114，−1)∪[6，8]解：当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）≤2⇒2x 2﹣5x ﹣3≤0⇒−12≤x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣1； 当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）＞2⇒2x 2﹣5x ﹣3＞0⇒x ＜−12或x ＞3时，f （x ）＝5x ﹣x 2， 作出f （x ）的图象，如图所示：函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，转化为函数f（x）的图象与直线y＝m恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的f（x）的值，可得：6≤m≤8或−114≤m＜﹣1，则实数m的取值范围是[−114，﹣1）∪[6，8]，故D项正确．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝3，若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0， 不妨令x 1＜x 2⇒x 1f （x 1）＜x 2f （x 2）可知函数xf （x ）在（0，+∞）上单调递增， 记g （x ）＝xf （x ），则g （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣x [﹣f （x ）]＝xf （x ）＝g （x ），所以g （x ）为偶函数，因此g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且g （﹣1）＝g （1）＝1×f （1）＝3， 不等式（x +3）f （x +3）＞3等价于g （x +3）＞g （1），故|x +3|＞1，解得x ＞﹣2或x ＜﹣4，故不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−1解：由题意知函数y ＝x +1的定义域为R ，值域为R ，y =(√x +1)2的定义域为[﹣1，+∞），与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故A 错误； y =√x 33+1=x +1定义域为R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故B 正确； y =√(x +1)33=x +1定义域R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故C 正确；y =x 2+1x−1的定义域为{x ∈R |x ≠1}，与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故D 错误．故选：BC ．10．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜1解：当a ＝0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0为﹣2＜0，满足题意；a ≠0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立，则必有a ＜0且Δ＝（﹣2a ）2+4a ×2＜0， 解得﹣2＜a ＜0，故a 的取值范围为﹣2＜a ≤0，由题意知所选不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为（﹣2，0]的真子集，结合选项可知﹣1＜a ＜0，﹣2＜a ＜0所对应集合为（﹣2，0]的真子集， 故选项A ，B 满足条件．故选：AB ．11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6解：对于选项A ，当a ＝2，b ＝1，m ＝1时，a b=2，a+m b+m=32＜2，当a ＞b 时，糖水不等式不成立，故A 不正确； 对于选项B ，因为x ＞32，y =2x −1+12x−3=2x −3+12x−3+2≥2√(2x −3)×(12x−3)+2=4， 当且仅当2x ﹣3=12x−3，即x ＝2时取等号，故B 正确； 对于选项C ，因为2x +y =1≥2√2xy ，所以xy ≤18，当且仅当2x ＝y ，即x =14，y =12时等号成立， 所以(√2x +√y)2=2x +y +2√2⋅√xy ≤1+2√2⋅√18=2， 即√2x +√y ≤√2，当且仅当x =14，y =12时等号成立，故C 正确； 对于选项D ，因为a 2（b 2﹣2）＝4， 所以a 2=4b 2−2＞0，所以a 2+b 2=4b 2−2+b 2=4b 2−2+（b 2﹣2）+2≥2√4b 2−2⋅(b 2−2)+2＝6，当且仅当b 2−2=4b 2−2，即a 2＝2，b 2＝4时，等号成立，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 解：选项A ，由题意得x ∈R ，f （﹣x ）=−x 1+|−x|=−x 1+|x|=−f （x ），所以函数f （x ）是奇函数，故A 正确；选项B ，C ，由函数解析式可得f （x ）={x 1+x ，x ≥0x 1−x ，x ＜0={1−1x+1，x ≥011−x−1，x ＜0，函数图象如图所示：所以f （x ）的值域是（﹣1，1），在R 上单调递增，故B 正确，C 错误； 选项D ，由函数f （x ）在R 上单调递增， 则当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）max ＝f （1）=12，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则t 2﹣2at +12≥12恒成立， 即t 2﹣2at ≥0恒成立，令h （a ）＝﹣2at +t 2，即a ∈[﹣1，1]时，h （a ）≥0恒成立， 则{ℎ(1)=t 2−2t ≥0ℎ(−1)=t 2+2t ≥0，解得：t ≤﹣2或t ≥2或t ＝0，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ 0 ．解：f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （﹣2）＝3，所以f （f （﹣2））＝f （3）＝0．故答案为：0．14．下列命题中，真命题的编号是 ①④ ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．解：x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0恒成立，故①正确； 由2x 2﹣3＝0，解得x =±√62∉N ∗，故②错误；﹣1×2+1＝﹣1＜0，故③错误， x ＝4，y ＝1满足题意，故④正确． 故答案为：①④．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 12 ． 解：因为a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，所以（4a +4b ）（6a +3b ）＝36，所以（4a +4b ）（6a +3b ）=36≤(4a+4b+6a+3b)24=(10a+7b)24， 则10a +7b ≥12，当且仅当{4a +4b =6a +3b (a +b)(2a +b)=3，即a =12，b ＝1时，等号成立，故10a +7b 的最小值为12． 故答案为：12．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是134．解：因为函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1）， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ）， 当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，则f （x ）＝2f （x ﹣1）＝2（x ﹣1）[1﹣（x ﹣1）]＝﹣2（x ﹣1）（x ﹣2）=−2(x −32)2+12∈[0，12]， 当x ∈（2，3]时，x ﹣2∈（0，1]，则f （x ）＝4f （x ﹣2）＝4（x ﹣2）[1﹣（x ﹣2）]＝﹣4（x ﹣2）（x ﹣3）=−4(x 2−5x +6)=−4(x −52)2+1∈[0，1]，当x ∈（3，4]时，x ﹣3∈（0，1]，则f （x ）＝8f （x ﹣3）＝8（x ﹣3）[1﹣（x ﹣3）]＝﹣8（x ﹣3）（x ﹣4）=−8(x 2−7x +12)=−8(x −72)2+2∈[0，2]，因为对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32， 当x ∈（3，4]时，令f(x)=−8(x 2−7x +12)=32， 解得x =134或x =154，如下图所示：由图可知，m ≤134，故实数m 的最大值为134． 故答案为：134．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜5}；（2）因为A ∪B ＝A ，所以B 是A 的子集，①B ＝∅，即3m ﹣1≤m ﹣3，解得m ≤﹣1；②B ≠∅，则{m −3≥−23m −1≤83m −1＞m −3，所以1≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≤﹣1或1≤m ≤3}．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}．（1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）因为B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣6＜x ＜2}，所以方程x 2+2mx ﹣3m 2＝0的两根分别为﹣6和2，由韦达定理得{−6+2=−2m −6×2=−3m 2，解得m ＝2． 所以实数m 的值为2．（2）由x 2﹣x ﹣6＜0，得﹣2＜x ＜3，A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⫋B ，当m ＝0时，B ＝{x |x 2＜0}＝∅，此时A ⫋B ，不成立；当m ＞0时，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣3m ＜x ＜m }，因为A ⫋B ，则有{−3m ≤−2m ≥3，解得m ≥3； 综上所述，实数m 的取值范围是[3，+∞）．19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 解：（1）因为f （x ）为幂函数，所以m 2﹣5m +7＝1，解得m ＝2或m ＝3；当m ＝2时，f （x ）＝x 2是偶函数，不是奇函数；当m ＝3时，f （x ）＝x 3是奇函数，所以m ＝3．故f （x ）的解析式f （x ）＝x 3．（2）由（1）得，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2＝x 3﹣x 2，对于x ＜0，则﹣x ＞0，g （﹣x ）＝（﹣x ）3﹣（﹣x ）2＝﹣x 3﹣x 2，又因为函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），所以g （x ）＝﹣x 3﹣x 2（x ＜0），所以函数g （x ）的解析式g(x)={x 3−x 2，x ≥0−x 3−x 2，x ＜0． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．解：（1）由f （x ）＞0，得x 2﹣4x +a ＞0，即a ＞﹣x 2+4x ，令g （x ）＝﹣x 2+4x ，g （x ）＝﹣（x ﹣2）2+4，所以g （x ）在[1，2]上单调递增，在[2，5]上单调递减，则在[1，5]上g （x ）的最小值为g （5）＝﹣5，最大值为g （2）＝4．选择条件①，∃x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 成立，则a ＞g （x ）min ，所以a ＞﹣5，故实数a 的取值范围是（﹣5，+∞）．选择条件②，∀x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 恒成立，则a ＞g （x ）max ，所以a ＞4，故实数a 的取值范围是（4，+∞）．（2）当x ≥0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(x)]=f(x)，＝x 2﹣4x +a ＝（x ﹣2）2+a ﹣4，所以F （x ）在[0，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增；当x ＜0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(−x)]=12[x 2−4x +a +(−x)2+4x +a]=x 2+a ， 所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，综上函数F （x ）的单调递增区间为[2，+∞）．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．解：（1）设矩形运动场的长、宽分别为a ，b （如图，单位：m ），由题意，ab ＝3200，所以2a +b ≥2√2ab =160，当且仅当{a =40b =80时，取“＝”， 故栅栏总长的最小值为160m ．（2）由题意（a +2）（b +4）＝3200，整理得ab +4a +2b ﹣3192＝0，而4a +2b =3192−ab ≥2√8ab =4√2ab ，故ab +4√2ab −3192≤0，令√ab =t （t ＞0），则t 2+4√2t −3192≤0，解得0＜t ≤38√2，所以√ab ≤38√2，即ab ≤2888，当且仅当{b =2a √ab =38√2，即{a =38b =76时，取“＝”， 故运动场面积的最大值为2888m 2．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．（1）解：因为f(−2)=−52，且f （x ）是奇函数，所以f(2)=52，所以{4+a 2+b =524+a −2+b =−52，解得{a =1b =0，所以f(x)=x +1x ． 此时，f(x)+f(−x)=x +1x +(−x)+1−x=0， 所以f （x ）是奇函数，满足要求； 函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 证明如下：任取x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2)， 因为x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，所以x 1x 2﹣1＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减；同理可证明函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增．（2）由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t(x +1x )， 令z =x +1x ，y ＝z 2﹣2tz ﹣2，由（1）可知函数z =x +1x 在[13，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增， 所以z ∈[2，103]，因为函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2的对称轴方程为z ＝t ＜0，所以函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2在[2，103]上单调递增， 当z ＝2时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最小值，y min ＝﹣4t +2；当z =103时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最大值，y max =−203t +829．所以h （x ）min ＝﹣4t +2，ℎ(x)max =−203t +829，又因为对∀x1，x2∈[13，3]都有|h（x1）﹣h（x2）|≤8恒成立，所以h（x）max﹣h（x）min≤8，即−203t+829−(−4t+2)≤8，解得t≥−13，又因为t＜0，所以t的取值范围是[−13，0)．。
2020-2021合肥中高中必修一数学上期中试卷(带答案)
2020-2021合肥中高中必修一数学上期中试卷(带答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）3．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭5．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭6．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞9．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-11．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．12．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________. 14．函数232x x --的定义域是 .15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.17．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．18．若4log 3a =，则22a a -+= ．19．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A ，过点()12,78B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中()40,50C ．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由． 22．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．23．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到A ，B 两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.24．已知()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．（1）求函数()g x 的定义域；（2）求函数()g x 的最大值及此时x 的值．25．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．26．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足326P a =,乙城市收益Q 与投入b (单位:万元)满足124Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收益为()f x (单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．B解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.4．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.5．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．7．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．8．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．9．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 10．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.11．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．12．A解析：A【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2a t t >--， 2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-， 所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值.【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.17．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（） 【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．18．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算 解析：433 【解析】 【分析】【详解】∵4log 3a =，∴4323a a =⇒=，∴214223333a -+=+=. 考点：对数的计算 19．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数 解析：③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解：路程f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x≥0）的函数关系是：，，f 3（x ）=x ，f 4（x ）=log 2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型． 当x=2时，f 1（2）=3，f 2（2）=4，∴命题①不正确；当x=4时，f 1（5）=31，f 2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面， 命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为③④⑤．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3【解析】 令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点． 画出函数的图象如图所示， 结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3 三、解答题21．（Ⅰ）()()(](]2110800,1229012,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（Ⅱ）在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析【解析】【分析】（I ）当(]0,12x ∈时，利用二次函数顶点式求得函数解析式，当(]12,40x ∈时，一次函数斜截式求得函数解析式.由此求得()f x 的函数关系式.（II ）利用分段函数解析式解不等式()62f x >，由此求得学习效果最佳的时间段.【详解】（Ⅰ）当(]0,12x ∈时，设()()21080f x a x =-+，过点()12,78代入得，则()()2110802f x x =--+， 当(]12,40x ∈时，设y kx b =+，过点()12,78、()40,50，得12784050k b k b +=⎧⎨+=⎩，即90y x =-+，则函数关系式为()()(](]211080,0,12290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （Ⅱ）由题意(]0,12x ∈，()211080622x --+>或(]12,40x ∈，9062x -+>. 得412x <≤或1228x <<，∴428x <<.则老师就在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，考查函数在实际生活中的应用，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.22．（1）3(0,1)(1,)2； （2）不存在. 【解析】【分析】（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案；（2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案．【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-，因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数，则满足()2320g a =->，解得32a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2． （2）不存在，理由如下： 假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1， 可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =，即()323log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33332022x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样的实数a 不存在．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题．23．（1）A 为()()104f x x x =≥，B 为())0g x x =≥；（2）A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，最大利润为4万元【解析】【分析】（1）根据题意给出的函数模型，设()1f x k x =；()g x k =代入图中数据求得12,k k 既得，注意自变量0x ≥；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元.，列出利润函数为()()104x y f x g x =+-=，用换元法，设t =函数可求得利润的最大值．【详解】解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元由题设知()1f x k x =；()g x k =由图1知()114f =，114k = 由图2知()542g =，254k =则()()104f x x x =≥，())0g x x =≥. （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元. ()()104x y f x g x =+-=，010x ∴≤≤t =，则0t ≤≤则(2210515650444216t t y t t -⎛⎫=+=--+≤≤ ⎪⎝⎭ 当52t =时，max 65416y =≈， 此时2510 3.754x =-= 所以当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元.【点睛】本题考查函数的应用，在已知函数模型时直接设出函数表达式，代入已知条件可得函数解析式．24．（1）[1]4，；（2）4x =时，函数有最大值13． 【解析】【分析】（1）由已知()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解不等式可求（2）由已知可求()()()22[]g x f x f x +＝，结合二次函数的性质可求函数g x （）的最值及相应的x ．【详解】解：（1）()42log [116]f x x x =+∈，，，()()()22[]g x f x f x +＝．由题意可得，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩， 解可得，14x ≤≤即函数()g x 的定义域[1]4，； （2）()42log ,[116]f x x x =+∈，，()()()()222224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++设4log t x =，则[01]t ∈，， 而()()226633g t t t t =++=+-在[0]1，单调递增， 当1t =，即4x =时，函数有最大值13．【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．25．（1）详见解析（2）详见解析（3）3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用赋值法与定义判断奇偶性；（2）利用定义证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式()()327930x x x x f k f ⋅+-+>具体化，利用换元法，转化为一个关于k 的二次不等式，求最值即可得到k 的取值范围．【详解】(1)证明：令0x y ==，得()()()000f f f =+得()00f =令y x =-，得()()()0f x x f x f x +-=+-=⎡⎤⎣⎦()()f x f x ∴-=-()f x ∴为奇函数（2）任取12,,x x R ∈且12x x <()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦()()()()121121f x f x x f x f x x =---=--12x x < 210x x ∴->()210f x x ∴->()210f x x ∴--<即()()12f x f x <∴()f x 是R 的增函数…（3）()()327930x x x x f k f ⋅+-+>()()32793x x x x f k f ∴⋅>--+()f x 是奇函数()()32793x x x x f k f ∴⋅>-+-()f x 是增函数32793x x x x k ∴⋅>-+-931x x k ∴>-+-令931x xy =-+-，下面求该函数的最大值令()30x t t => 则()210y t t t =-+-> 当12t =时，y 有最大值，最大值为34- 34k ∴>- ∴k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．26．（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.【解析】(1)当50x =时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益()50f =167024+⨯+=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资x 万元,乙城市投资()120x -万元,所以()f x =()1612024x +-+=126,4x -+ 依题意得4012040x x ≥⎧⎨-≥⎩,解得4080x ≤≤,故()f x =()12640804x x -+≤≤,令t =,则t ⎡∈⎣,所以y =21264t -++=21(444t --+.当t =,即72x =万元时,y 的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.。
2020-2021学年安徽省合肥市一中高一上学期期中数学试卷
若函数 在 上递增，则只需满足 ，
解得： .
故选：B.
【点睛】
本题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，较简单.
10．C
【解析】
试题分析：设 （ ）,则 ．因为 ，
所以 ，故 ．选C．
考点：求解析式．
【方法点睛】求解析式的常用方法：（1）待定系数法，即先设出函数的解析式，然后运用条件列出关于参数的方程组，求解即可；（2）换元法，即将已知条件中的某部分看作一个t,然后将条件中的变量x用t表示，注意新元t的范围，即求出了函数f（t）的解析式及定义域，最后用变量x替换t即可（本题即使用了该法）；（3）凑配法，实质是换元法，只是没有设新元t而已；（4）解方程组法，例如：已知 ,求函数 的解析式．由已知得， ,两式联立求解即可．
2．以下四个图形中，可以作为函数 的图像的是（）
A． B． C． D．
3． 的值是（）
A． B． C． D．
4．若 ，则实数 的取值范围是（）
A．
B．
C． 或
D． 或
5．已知函数 为偶函数，则 的值是（）
A．1B．2C．3D．4
6．函数 ，则下列坐标表示的点一定在函数 图像上的是（）
A． B．
C． D．
设 的横坐标为 ， ， 在 递增， ， ，
由函数的零点存在定理可得， ．
故选 ．
点睛：本题利用数形结合思想很好的解释了题中新函数 表示 ， ， 三个数中的最大值的意义.
函数取最小值，涉及到两函数的交点的求解，但是 和 联立不好求解，于是可以利用零点存在定理可以找到零点的所在的区间.
9．B
【分析】
只需使原函数在 和 上都递增，且端点处的函数值符合要求即可.
2021-2022学年安徽省合肥一中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝{x|}，N＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则M∩N＝（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1] 2．命题“∀n∈N*，f（n）＜n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＝n B．∀n∈N*，f（n）≥nC．，f（n0）＜n0D．，f（n0）≥n03．“a＞b”是“a＞|b|”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y＝f（x）的图象如图所示．观察图象可知函数y＝f（x）的定义域、值域分别是（）A．[﹣5，0]∪[2，6），[0，5]B．[﹣5，6），[0，+∞）C．[﹣5，0]∪[2，6），[0，+∞）D．[﹣5，+∞），[2，5]5．若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数6．已知f（x）＝g（x）﹣3x3﹣5x+3，g（x）为定义在R上的奇函数且单调递减，若f（a）+f（a﹣4）＜6，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a＜2C．a＞1D．a＞27．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的增函数，则t的取值范围是（）A．（0，4]B．[﹣2，4]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，4]8．若正实数x，y满足2x+y+8xy＝2，且存在实数x，y使不等式3m2﹣2m≥2x+y成立，则实数m的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分。
安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试+数学+PDF版含答案
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安徽省合肥市第二中学2020-2021学年高一第一学段一考试数学试卷
合肥二中2020-2021学年第一学期高一段1考试数学试卷时间：120分钟 分值：150分一、选择题（每小题5分，共40分）1. 设全集{}6|<∈=x N x U ，集合{}3,1=A ，{}4,2=B ，则()B A C U 等于（）A. {}4,3,2,1B.{}5C.{}5,0D.{}4,22. 已知集合{}2|>=x x A ，{}40|≤<=x x B ，则B A =（ ）A. {}20|≤<x xB.{}42|≤≤-x xC. {}42|≤<x xD.{}02|≤<-x x3.已知集合{}2,1=A ，B 满足{}2,1=B A ，则集合B 的个数为（ ）A.1B.2C.3D.44.命题”“b a >是命题”“bc ac >的（ ）条件 A. 充分不必要 B.必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要5. 命题03,0:2>+-≥∀ax x x p ，则p 的否定为（ ）A.03,02≤+-<∀ax x x B.03,02≤+-≥∃ax x x C.03,02<+-≥∀ax x xD.03,02≤+-<∃ax x x6.函数()331>+-=x x x y 的最小值为（ ） A.4B.3C.2D.57.设R d c b a ∈,,,，给出下列命题（1）若d b b a +>+，则b a >且d c >；（2）若b a >，则22b a >；（3）若b a >且dc >，则d b c a ->-，其中正确命题的个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个8.若集合(){}R y x x y x A ∈=-=,02|,2，(){}x y y x B 2|,2==，则B A 中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4二、不定项选择题（每小题5分，共20分，漏选得3分，多选或错选不得分）9.已知集合{}4,3,2=A ，集合{}5,4,3,2,1=B A ，则集合B 可能为（ ）A.{}5,2,1B.{}5,3,2C.{}5,1,0D.{}5,4,3,2,1 10.已知集合{}1|2==x x P ，{}1|==ax x Q ，若P Q ⊆，则a 的可能取值为（ ）A.1B.1-C.0D.211.给出如下命题，下列说法正确的是（ ）A.”“1>a 是”“11<a的必要不充分条件； B. ”且“32>>y x 是”“5>+y x 的充分不必要条件；C. ”“b a <是”“22bc ac <的充分不必要条件； D.”“2<m 是”“3<m 的充分不必要条件。
2020-2021合肥中高中必修一数学上期末试卷(带答案)
解析：C
【解析】
【分析】
利用偶函数的性质将不等式 变形为 ，再由函数 在 上的单调性得出 ，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果.
【详解】
由于函数 是偶函数，由 得 ，
又 函数 在 上是增函数，则 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
【详解】
因为函数 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，故选A.
【点睛】
该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
先求出函数 的零点的范围，进而判断 的范围，即可求出 .
二、填空题
13．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象
解析：
【解析】
【分析】
由 可得出 和 ，作出函数 的图象，由图象可得出方程 的根，将方程 的根视为直线 与函数 图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程 的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和.
15．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函
解析：
【解析】