[法律资料]理论力学 第10章 动静法
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理论力学第十章PPT
(i )
) =0
∑ Fi dt = 0
d(mi vi ) = Fi (e) dt + Fi (i) dt
质点系： ∑d(mi vi ) = ∑ Fi (e) dt + ∑ Fi (i) dt
得 dp = ∑ F dt = ∑dI i
(e)
(e) i
或
dp (e) = ∑ Fi dt
称为质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力 元冲量的矢量和； 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和。
在 t1 t2 内，动量由 p1~ p2 ，有 ~
p2 − p1 = ∑ Ii(e)
i=1
n
称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间 间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内 作用于质点系外力冲量的矢量和。 动量定理微分形式的投影式
dpx = ∑ Fx(e) dt
dpy dt
= ∑F
(e) y
dpz = ∑ Fz(e) dt
动量定理积分形式的投影式
( p2x − p1x = ∑ I xe)
( p2y − p1y = ∑I ye)
p2z − p1z = ∑ I z(e)
3．质点系动量守恒定律 ．
若 ∑F
(e)
≡ 0 ， 则 p = 恒矢量
若 ∑ Fx
(e)
≡ 0， 则 px = 恒量
解决动量定理习题步骤
第十章 动 量 定 理
§10-1 动量与冲量
1．动量 ． 质点的动量 质点系的动量
mv
n i=1
单位： kg⋅ m/ s
p = ∑mivi
dri d p = ∑mivi = ∑mi = ∑mi ri dt dt ∑mi ri 质心 rc = ， m = ∑mi m
) =0
∑ Fi dt = 0
d(mi vi ) = Fi (e) dt + Fi (i) dt
质点系： ∑d(mi vi ) = ∑ Fi (e) dt + ∑ Fi (i) dt
得 dp = ∑ F dt = ∑dI i
(e)
(e) i
或
dp (e) = ∑ Fi dt
称为质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力 元冲量的矢量和； 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和。
在 t1 t2 内，动量由 p1~ p2 ，有 ~
p2 − p1 = ∑ Ii(e)
i=1
n
称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间 间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内 作用于质点系外力冲量的矢量和。 动量定理微分形式的投影式
dpx = ∑ Fx(e) dt
dpy dt
= ∑F
(e) y
dpz = ∑ Fz(e) dt
动量定理积分形式的投影式
( p2x − p1x = ∑ I xe)
( p2y − p1y = ∑I ye)
p2z − p1z = ∑ I z(e)
3．质点系动量守恒定律 ．
若 ∑F
(e)
≡ 0 ， 则 p = 恒矢量
若 ∑ Fx
(e)
≡ 0， 则 px = 恒量
解决动量定理习题步骤
第十章 动 量 定 理
§10-1 动量与冲量
1．动量 ． 质点的动量 质点系的动量
mv
n i=1
单位： kg⋅ m/ s
p = ∑mivi
dri d p = ∑mivi = ∑mi = ∑mi ri dt dt ∑mi ri 质心 rc = ， m = ∑mi m
理论力学25(重要知识)
故有
MIC=∑MC(FIit) = – JC
式中JC是刚体对于通过质心C 且⊥质量对称平面S的轴的转 动惯量,负号表示主矩MIC与角
加速度的转向相反。
重点辅导
aC
C
FIit FIiC
ainC
mi
aC
aitC
S
FIin
12
12.3.3 刚体惯性力系的简化结果
■ 平动
FIR=－maC
作用于质心C
■ 定轴转动
10.1 质点的动静法
将牛顿第二定律应用于非自由质点有
F +FN = ma
重点辅导
3
F +FN = ma
若引入 FI =－ma, 称为质点的达朗贝尔惯性力 (d’Alembert inertial force),则上式可写成
F +FN +FI = 0 即作用于质点的主动力、约束力和质点的达朗 贝尔惯性力(如果也把它看成一个力的话)在形 式上构成一个平衡力系,这一结果称为质点的达 朗贝尔原理(d’Alembert principle of a particle)。
习题: P.333 15-1,6,7,9,
重点辅导
22
谢谢!
重点辅导
23
FIR=－maC 作用线通过转轴O。
MIz=－Jz
重点辅导
质量对称平面
aC C MIz
O
FIR
13
■ 平面运动
FIR=－maC 作用线通过质心C。
MIC =－JC
质量对称平面
MIC
C FIR
aC S
重点辅导
14
1. 均质杆OA绕O轴在 铅垂平面内作定轴转动
其角速度为,角加速度 为,如图所示。在下面
MIC=∑MC(FIit) = – JC
式中JC是刚体对于通过质心C 且⊥质量对称平面S的轴的转 动惯量,负号表示主矩MIC与角
加速度的转向相反。
重点辅导
aC
C
FIit FIiC
ainC
mi
aC
aitC
S
FIin
12
12.3.3 刚体惯性力系的简化结果
■ 平动
FIR=－maC
作用于质心C
■ 定轴转动
10.1 质点的动静法
将牛顿第二定律应用于非自由质点有
F +FN = ma
重点辅导
3
F +FN = ma
若引入 FI =－ma, 称为质点的达朗贝尔惯性力 (d’Alembert inertial force),则上式可写成
F +FN +FI = 0 即作用于质点的主动力、约束力和质点的达朗 贝尔惯性力(如果也把它看成一个力的话)在形 式上构成一个平衡力系,这一结果称为质点的达 朗贝尔原理(d’Alembert principle of a particle)。
习题: P.333 15-1,6,7,9,
重点辅导
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重点辅导
23
FIR=－maC 作用线通过转轴O。
MIz=－Jz
重点辅导
质量对称平面
aC C MIz
O
FIR
13
■ 平面运动
FIR=－maC 作用线通过质心C。
MIC =－JC
质量对称平面
MIC
C FIR
aC S
重点辅导
14
1. 均质杆OA绕O轴在 铅垂平面内作定轴转动
其角速度为,角加速度 为,如图所示。在下面
理论力学 第10章 达朗贝尔原理(动静法)
RAn mgsin0
,
RA
mg 4
c
os0
22
[例2] 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道
滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力S 、T 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回
转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑
动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。
27
[例1] 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分 别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于 转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的 角加速度。
解： 方法1 用达朗贝尔原理求解 取系统为研究对象
28
虚加惯性力和惯性力偶：
RQ1 m1a1 , RQ2 m2a2 , MQO JO J
[例1] 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位
置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。
解： 选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
RQ
ml
2
RQn
man
0
,
M QA
J A
ml 2
3
根据动静法，有
20
F 0 , RA mgcos0 RQ 0 (1)
Fi Ni Qi 0 mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
注意到 Fi(i) 0 , mO (Fi(i) )0 , 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
Fi(e) Qi 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
8
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
6动静法
向转轴上某一固定点简化: 向转轴上某一固定点简化
FIR = m ( y C α + xC ω 2 ) i + m ( − xC α + y C ω 2 ) j
FIRx = m ( y C α + xC ω 2 ) FIRy = m ( − xC α + y C ω 2 ) M IO = (α ∑ m i x i z i − ω
n
n
(α ∑ m i y i z i + ω
i =1 n
2
∑m x z )j−
i =1 i i i
x
α
y
α ∑ m i ( xi 2 + y i 2 ) k
i =1
α × ri = α k × ( x i i + y i j + z i k ) = α ( − y i i + x i j )
ω × v i = ω k × ω ( − y i i + x i j ) = −ω 2 ( x i11 + y i j ) i
α
O
t F IR
MIO O
n F IR
FIR
FIR = −mac
M IOz = − d LOz d( J O ω ) =− = − J Oα dt dt
a ct
C
a cn
M IO
A 对称面内的 平面问题
16
M IOz = − J Oα
向静点O简化 向静点 简化 主矢： 主矢： F IR = − ma C 主矩： 主矩： M IO
d =− dt
n
n
F IR =
∑
i =1
FiI = −
∑
i =1
达朗贝尔原理(动静法)
§ 14-1
惯性力· 质点的达朗贝尔原理
ma F FN
F FN ma 0 惯性力 令 F ma I
有
F FN FI 0
质点的达朗贝尔原理:作用在质点的主动力、
约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系.
例14-1 已知:
这就是钢球在任一位置 时所受的法向反力, 显然当钢球脱离筒壁 时, FN＝0 , 由此可求出其脱离角a为
rw 2 a arccos( ) g
§ 14-2
质点系的达朗贝尔原理
i 1,2,, n
Fi FNi FIi 0
质点系的达朗贝尔原理:质点系中每个质点上作用的主动
x
M A (F ) 0 :
代入FI 的数值, 有
l FI d cos P sin 0 2
Pl 2l 2 sin ( w cos 1) 0 2 3g 3g 故有＝0或 arccos( ) 2 2lw
§ 14-3
刚体惯性力系的简化
用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问 题，需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些 惯性力也形成一个力系，称为惯性力系。下面用静力 学力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。 以FIR表示惯性力系的主矢。由质心运动定理及质 点系的达朗贝尔原理
m 0.1kg, l 0.3m, 60
求: 用达朗贝尔原理求解
v , FT .
v 解: F ma m I n l sin
mg FT FI 0
b
2
F
0, FT cos mg 0
F
解得
n
0, FT sin FI 0
理论力学复习资料
力学复习选择：力系简化最后结果（平面，空间）牵连运动概念（运动参考系运动，牵连点运动） 平面运动刚体上的点的运动平面运动的动能计算（对瞬心，及柯里西算法） 质心运动定理（投影法x ，y ，z ，轨迹）惯性力系想一点简化计算：刚体系统平衡计算（多次取分能力体，一般为2次） 平面运动 速度的综合计算 动能定理应用动静法（其他方法不得分），已知运动求力（先用动能（动量）定理求运动，在用动静法求力）注意：1.功的单位是m WN ------∙2.注意检验fs N F f F ≤∙,判断是否是静摩擦，当为临界状态时max f s s N F F f F ==∙，纯滚动为静摩擦S F ,且只能根据平衡方程解出，与正压力无关。
动摩擦f NF f F =∙。
3. 动静法中惯性力简化()=-IC i i CIC c IC c F m a c F ma c M J α⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎪⎪⇒⎨⎬=------⎪⎪⎩⎭∑质心过点到底惯性力绕点的惯性力偶二维刚体4.e c i i F ma m a ==∑∑， 22d ,d i i cc c m r r r a m t==∑eF ∑=0，则x v =常数=0（初始静止）则c x =常数=坐标系中所在位置，且c S 为直线。
（一直运动求力）5.平面运动刚体动能*222121122c c c J T mv J ωω⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+⎪⎪⎩⎭瞬心法：柯里希法： 6.平面运动速度分析方法：a,基点法：,BA BA BA v v v v AB ω=+=，以Bv为对角线的平行四边形b,速度投影法：cos cos B B A A v v θθ=,,B A θθ是以AB 为基准。
c,速度瞬心法：***,*,0,0AB c c v v BC v a ACωω==∙=≠ 7.平面运动加速度分析：A.基点法：nB A BA BA a a a a τ=++，其中，多数情况下n A A A a a a τ=+，n B B B a a a τ=+注：当牵连运动为转动时，有科氏加速度k a ，2kr av ω=⨯大小：2kr a v ω=，方向：r v 向ω方向转90即可。
动静法
F'' FN 得出：损失力等于约束反力冠以负号
（6）达朗伯尔原理：
从上式移项可以得出达朗伯尔原理的表达式：
F'' FN 0
即：非自由质点所受的约束反力与耗损力相平衡。
（7）动静法：利用上式变形为：
F ma FN 0
令：F ma, F 称为惯性力
I I
可得到：
F FN F 0
对于动力学问题，“平衡力系”实际并不存在，此
处 仅仅是在每一个质点上假想地加上惯性力后，借用 静力学的平衡理论来求解动力学的问题，因此称为 “动静法”。
例 如图所示，机车沿水平直线轨道以匀加速度 a行驶，求水箱中水面的倾斜角θ。
解： （1）取水的自由表面
y
θ
上质量为m的某一水分
子为研究对象。 （2）受力分析： 水分子的重力mg， 其它水分子给该水分子
I
Ff FN
θ
D n cos 1800 g
2
2
mg
――此即脱离角θ应满足的 条件之一 与此相反，在离心 浇注混凝土管或钢管时， 必须满足：
1800 g n 2 D
这样才能保证混凝土浆或钢水紧贴转筒内壁 而被压紧成形。
2、惯性力系的简化
应用动静法解决质点系动力学的问题时，需要
在每个质点上附加相应的惯性力，这对于质点较多
(3)
即：如果质点系中的每一个质点都加上惯性力，则 作用于质点系的所有主动力约束反力以及惯性力在 形式上组成一平衡力系。 (3)式即为质点系的达朗伯尔原理的表达式。
(10) 动静法
在质点或质点系运动的某一瞬时，除真实作用 在质点或质点系的每一个点的主动力和约束反力外， 再假想地加上各自的惯性力，则可按静力学求解平 衡问题的方法，建立平衡方程，求解质点或质点系 的动力学问题。 具体求解时，仍然选择投影形式的平衡方程。
理论力学第10章
450
C
B
Dபைடு நூலகம்
vCD
×
输入文件检查 构件数量 = 3 构件号= 1 构件类型代码= 1 2 (主动构件,转动 ) 角速度分量(w),角加速度分量(e) .000 .000 -5.000 .000 .000 .000 约束类型数= 2 2 自由度约束个数 = 1 2 自由度约束坐标(x,y) .000 .000 .000 1.000 1.000 .000 联接点约束个数 = 1 联接点约束中2自由度约束个数= 1 联接点约束中2自由度约束坐标(x,y) .000 -1.000 .000 1.000 1.000 .000 构件号= 2 构件类型代码= 0 3 (被动构件,平面运动) 基点坐标,角速度矢量方向 .000 -1.000 .000 .000 .000 1.000 约束类型数= 1 联接点约束个数 = 2 联接点约束中1自由度直线约束个数= 1 联接点约束中1自由直线约束坐标(x,y) -1.000 -2.000 .000 -.710 .710 .000 联接点约束中2自由度约束个数= 1 联接点约束中2自由度约束坐标(x,y) .000 -1.000 .000 1.000 1.000 .000
第十章 运动构件系统 分析和计算机计算
沈阳建筑大学
侯祥林
第十章 运动构件系统分析和计算机计算
§10-1 刚体一般运动概述
§10-2 构件系统运动分析
§10-3 构件系统运动计算机计算
例题
第十章 运动构件系统分析和计算机计算
§10-1 刚体一般运动概述
1. 刚体的定点运动 刚体运动时，若体内有一点在空 间的位置保持不变则这种运动为刚 体的定点运动 O xyz 为过定点O的定坐标系， 固定 在刚体上的动坐标系为O x´y´ z ´， ON是坐标O x´y´和O xy 的平面交线 称为节线 ON和x轴的夹角ψ---进动角 z ´轴和z轴θ----章动角。
C
B
Dபைடு நூலகம்
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×
输入文件检查 构件数量 = 3 构件号= 1 构件类型代码= 1 2 (主动构件,转动 ) 角速度分量(w),角加速度分量(e) .000 .000 -5.000 .000 .000 .000 约束类型数= 2 2 自由度约束个数 = 1 2 自由度约束坐标(x,y) .000 .000 .000 1.000 1.000 .000 联接点约束个数 = 1 联接点约束中2自由度约束个数= 1 联接点约束中2自由度约束坐标(x,y) .000 -1.000 .000 1.000 1.000 .000 构件号= 2 构件类型代码= 0 3 (被动构件,平面运动) 基点坐标,角速度矢量方向 .000 -1.000 .000 .000 .000 1.000 约束类型数= 1 联接点约束个数 = 2 联接点约束中1自由度直线约束个数= 1 联接点约束中1自由直线约束坐标(x,y) -1.000 -2.000 .000 -.710 .710 .000 联接点约束中2自由度约束个数= 1 联接点约束中2自由度约束坐标(x,y) .000 -1.000 .000 1.000 1.000 .000
第十章 运动构件系统 分析和计算机计算
沈阳建筑大学
侯祥林
第十章 运动构件系统分析和计算机计算
§10-1 刚体一般运动概述
§10-2 构件系统运动分析
§10-3 构件系统运动计算机计算
例题
第十章 运动构件系统分析和计算机计算
§10-1 刚体一般运动概述
1. 刚体的定点运动 刚体运动时，若体内有一点在空 间的位置保持不变则这种运动为刚 体的定点运动 O xyz 为过定点O的定坐标系， 固定 在刚体上的动坐标系为O x´y´ z ´， ON是坐标O x´y´和O xy 的平面交线 称为节线 ON和x轴的夹角ψ---进动角 z ´轴和z轴θ----章动角。
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m1 πR12l m2 π R22l
Jz
1 2
π l(R14
R24 )
1 2
π l(R12
R22 )(R12
R22 )
由 π l(R12 ，R22得) m
Jz
1 2
m(
R12
R22 )
h
21
5．实验法 思考：如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？
1.平移
ai aC
rC
miri M
F g,F 1 g, 2,F g nF R g
,
F R gF g im ia i M a C
M g o m 0 ( F g ) i r i m i a i (m i r i ) a C
M r C a C r C ( M a C ) r C F Rg
力系平衡条件
Fi(e) Fi(i) Fgi 0 mo (Fi(e) ) mo (Fi(i) ) mo (Fgi ) 0
注意内力力系自相平衡
Fi(i) 0 mo (Fi(i) ) 0
推得
Fi(e) Fgi 0 mo (Fi(e) ) mo (Fgi ) 0
h
12
解：1. 研究重物H
Fy 0
Fg1m1a12m1a
P1TFg10
2. 研究三角板BCK
Fy 0
Tsi4 n5P 2Fg20
3. 运动学补充方程
vBco2s vH 0
aB t co2sv4B 2 lsin2aH0
h
13
2.定轴转动（平面）
F g1,F g2, ,F gn 向转轴O简化
质点系统动力学方程
F x ( e ) F gx 0
F y ( ) F gy 0
F z ( e ) F gz 0
m
x
(F
(e i
)
)
m x ( F gi ) 0
m y ( F i( ) ) m y ( F gi ) 0
m（z
F
( i
t
)）
m z ( F gi ) 0
FRg,Mgo
ai ati ain
ait ri
F R g F g im ia i M a C
ain 2ri
M g Om O ( F g ) i m O ( F g t i F g n )i
mO(Fgti) ( miri2)JO
h
14
§10-4 刚体对轴的转动惯量
Jz miri2 r2dm
F (e) 1
,
F1(i
)
,
F2(
e)
,
,
F (i) 2
,,
F (e) n
,
F (i) n
引入第i个质点的惯性力
Fgi miai
Fi(e) Fi(i) Fgi 0
平衡力系
F1(e) , F1(i) , Fg1, F2(e) , , F2(i) , Fg2 , Fn(e) , Fn(i) , Fgn
3. 结果
SDE m23a0 g
例10-3 均质三角板BCK质量为m，由两根平行的无重杆AB、 CD支撑。重物H的质量为2m。初始系统静止，θ=90o，求该 瞬时重物H的加速度。
例10-3 均质三角板BCK质量为m，由两根平行的无重杆AB、 CD支撑。重物H的质量为2m。初始系统静止，θ=90o，求该 瞬时重物H的加速度。
OC MgC 0
例10-2 如图：框架底座CE以加速度a0 沿水平面运动。 已知：mABC=2m, mDE=0， CD=CE=BD=h, AB=2h， 不计摩擦。试求杆DE的内力
解：
1. 取直角弯杆ABCE为研究对象
Fg1Fg2 m0a 2. 平衡方程
mC 0
P Ah B F g 1 2 h F g 2 h S D h E c4 o 5 s 0
或
Jz
m
2 z
h
16
3．平行轴定理
Jz JzC md 2
式中 z轴C 为过质心且与 轴z平行的轴， 为d z
与 zC轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过 质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积.
h
17
证明：
JzC mi (x12 y12 )
缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重力的影 响，求轮缘横截面的张力。
解：1.取四分之一轮缘为研究对象
Fgi miain
2.列平衡方程
Fx 0
m 2R
F gc i oi sF A0
mi dsRd
FA022 m R2co dsm 2R 2
mR 2 FB 2
§ 10-3 刚体简单运动时惯性力系的简化
理论力学
第十章 动静法
h
1
§ 10-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
ma F FN
FI
惯性力
Fg ma
F FN Fg 0
m
FN
F
ma
－－质点的达朗贝尔原理
作用在质点的主动力、约束力和虚加的惯性力在形 式上组成平衡力系.
§ 10-2 质点系的达朗贝尔原理
质点系 m1, m2,, mn
Jz m i r2 m i (x2 y2) mi[x12 ( y1 d )2 ]
0 mi (x12 y12 ) 2d mi y1 d 2 mi
Jz JzC md 2
h
18
例
JCJO 1 4M 21 l3M 21 4 lM 2 1 l1M 22 l
h
19
4．组合法
已知：杆长为 l质量为 m，1 圆盘半径为 ，d质量为 . m2
求：JO .
解： JO JO杆 JO盘
J O杆
1 3
ml2Βιβλιοθήκη J O盘1 2m2
(
d 2
)
2
m2 (l
d )2 2
3 m2 (8
d
2
l2
ld )
JO
1 3
m1l 2
m2
(
3 8
d
2
l2
ld
)
h
20
已知：m, R1。, R2
求 ：J.z
解：
J z J1 J2
1 2
m1 R12
1 2
m2 R22
其中
M
1. 简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量
M, dmdx
l
Jz
x2dm lx2d xl31m2l
0
33
h
15
（2）均质圆板对中心轴的转动惯量
M R2 dm dS rdrd
Jzr2dm r2rdrd
2kr3d r1R41M2R
0
22
2. 回转半径（惯性半径）
z
Jz m
F
(e) x
F Rgx
0
F y ( e ) F Rgy 0
F z ( e ) F Rgz 0
m
x
(F
(e) i
)
M
gx
0
m
y
(
F
( i
)
)
M
gy
0
m
（
z
F
( i
e
)）
M
gz
0
F g,1 F g, 2,F gn FRg,Mgo
例10-1 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω转动。设轮