柯西中值定理与洛必达法则-课件(PPT·精选)
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柯西中值定理与洛必达法则
实际应用
随着科技的进步，这些定理的应用领域也在不断扩大。例如，在数据分 析、机器学习等领域，这些定理可以帮助我们更好地理解和处理数据。
03
教育价值
作为微分学中的核心内容，柯西中值定理和洛必达法则是数学教育的重
点。随着教育方法的改进，如何更有效地教授这些内容，让学生更好地
理解和掌握它们，也是值得探讨的问题。
04
实例分析
柯西中值定理实例
总结词
通过一个连续函数在闭区间上改变符号的性质，证明柯西中值定理的正确性。
详细描述
考虑一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上，若$f(a) cdot f(b) < 0$，则存在至少一 个$c in (a, b)$，使得$f(c) = 0$。这个结论可以用来证明柯西中值定理。ຫໍສະໝຸດ 洛必达法则实例总结词
通过求极限的方法，验证洛必达法则的正确 性。
详细描述
考虑函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$的左右 极限，以及它们的导数$f'(x)$和$g'(x)$。如 果$f'(x_0) = g'(x_0)$且$g'(x) neq 0$，则
$lim_{x to x_0} frac{f(x)}{g(x)} = frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$。
02
洛必达法则
定义与性质
定义
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，用于研究函数在某点的极限。如果函 数在某点的极限存在，则该点的导数存在。
性质
洛必达法则是求极限的常用方法之一，特别是处理分式函数的极限问题。当分 母的极限为零时，如果分子和分母的导数之商的极限存在，则洛必达法则成立。
法则的应用
随着科技的进步，这些定理的应用领域也在不断扩大。例如，在数据分 析、机器学习等领域，这些定理可以帮助我们更好地理解和处理数据。
03
教育价值
作为微分学中的核心内容，柯西中值定理和洛必达法则是数学教育的重
点。随着教育方法的改进，如何更有效地教授这些内容，让学生更好地
理解和掌握它们，也是值得探讨的问题。
04
实例分析
柯西中值定理实例
总结词
通过一个连续函数在闭区间上改变符号的性质，证明柯西中值定理的正确性。
详细描述
考虑一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上，若$f(a) cdot f(b) < 0$，则存在至少一 个$c in (a, b)$，使得$f(c) = 0$。这个结论可以用来证明柯西中值定理。ຫໍສະໝຸດ 洛必达法则实例总结词
通过求极限的方法，验证洛必达法则的正确 性。
详细描述
考虑函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$的左右 极限，以及它们的导数$f'(x)$和$g'(x)$。如 果$f'(x_0) = g'(x_0)$且$g'(x) neq 0$，则
$lim_{x to x_0} frac{f(x)}{g(x)} = frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$。
02
洛必达法则
定义与性质
定义
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，用于研究函数在某点的极限。如果函 数在某点的极限存在，则该点的导数存在。
性质
洛必达法则是求极限的常用方法之一，特别是处理分式函数的极限问题。当分 母的极限为零时，如果分子和分母的导数之商的极限存在，则洛必达法则成立。
法则的应用
药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片
3
例2-29 求 lim sin x
解
x0 x
(0) 0
lim
x0
sin x
x
lim
x0
(sin x) ( x)
lim
x0
cos 1
x
cos 0
1
注意：在求极限过程中，洛必达法则可多次使用， 但每次使用必须验证是否满足洛必达法则中的条件。
1 cos x
例2-30 求 lim x0
0
例2-31 求 lim x ln x (0)
解
x0
1
lim x ln x lim ln x lim x lim(x) 0
x0
1 x0
1 x0
x0
x
x2
注意：此题若变形为
x 1
，则转化成 0 型 0
ln x
但
x ( 1 ) ln x
1 1 x(ln
解
3x2
lim1 cos x x0 3x2
lim sin x x0 6x
lim cos x x0 6
1 6
0 , , 00,1 , 0 型未定式解法
方法：把它们转化成 0 或 型后，再用洛必达法
则求极限。
0
0 型
方法 0 1 , 或 0 0 1 .
则中条件（1）、（2），且 f (x)=2e2x, g (x)=3 。
由于 lim f (x) lim 2e2x 2 x0 g(x) x0 3 3
所以，根据洛必达法则，
lim e2x 1 lim f (x) lim 2e2x 2
x0 3x
3-2洛必达法则
a bx cos ax lim 1. b x 0 ax cos bx
例6.求
解: 原式 lim
1 x n 1
型
x
nx
1 0 lim x n x n
21
xn 型 例7. 求 lim x (n 0 , 0) . x e 解: (1) n 为正整数的情形. n x n1 n(n 1) x n2 lim 原式 lim x x e x 2 e x n! lim n x 0 x e 例6、例7说明：当 x 对数函数 ln x， 时，
20
ln sin ax lim .(a＞0，b＞0) 型 例5 求x 0 ln sin bx a cosax ln sin ax si nax a lim sin bx cos ax li lim 解 x 0 ln sin bx x m b cosbx b x 0 sin ax cos bx 0 si nbx
4.应用法则时，为使极限计算简单，应尽量使用无穷 小 的等价代换、重要极限及其它求极限的方法.
5.x a，x 时的未定式
型也有相应的法则.
19
定理 2.
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 存在 (或为∞) 3) lim xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim (洛必达法则) xa F ( x ) xa F ( x ) 说明: 定理中 x a 换为 x a , x a , x , x , x 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
拉格朗日中值公式
说明：Lagrange中值定理是柯西中值定理的特殊情况.
6-02 柯西中值定理与洛必达法则
你会有何感觉？
利用微分中值定理尤其是Cauchy定理证明 定理证明 利用微分中值定理尤其是 命题，往往需要我们善于根据已知条件， 命题，往往需要我们善于根据已知条件，对 所需证明的结果进行变化。做一些这类练习， 所需证明的结果进行变化。做一些这类练习， 对逻辑推理能力和想象能力的训练是有益的。 对逻辑推理能力和想象能力的训练是有益的。
罗尔定理、 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系； 之间的关系；
Rolle 定理
f (a) = f (b) Lagrange
F( x) = x
中值定理
Cauchy 中值定理
注意定理成立的条件——均为充分条件； 均为充分条件； 注意定理成立的条件 均为充分条件
练习题
内上连续， 内可导， 1． 设 f ( x ) 在 [ a, b ]内上连续，在(a, b )内可导，若 0 < a < b ,则在 ( a, b )内存在一点 ξ ， 使 af (b ) − bf (a ) = [ f (ξ ) − ξf (ξ )](a − b ) ] . 2．设函数 y = f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内且有 n 阶 导数， 导数 ， 且 f (0) = f ′(0) = K = f ( n−1) (0) 试用柯西 f ( x ) f ( n ) (θx ) 中值定理证明： 中值定理证明： n = ， 0 < θ < 1 ）. （ n! x
Cauchy 中值定理的条件中开区间内每一点处 均不为零， F ′( x) 均不为零，就是保证了 F (b) − F (a) ≠ 0
Q F (b ) − F (a ) = (b − a )F ′(ξ ) ≠ 0,(ξ ∈ (a , b )) 又：该定理能否这样证明：对分子、 分母分别用 Lagrange 微分中值定理, f (b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a )(a < ξ < b ) F (b ) − F (a ) = F ′(ξ )(b − a )(a < ξ < b ) f (b ) − f (a ) f ′(ξ ) (a < ξ < b) ? ∴ = F (b ) − F (a ) F ′(ξ )
利用微分中值定理尤其是Cauchy定理证明 定理证明 利用微分中值定理尤其是 命题，往往需要我们善于根据已知条件， 命题，往往需要我们善于根据已知条件，对 所需证明的结果进行变化。做一些这类练习， 所需证明的结果进行变化。做一些这类练习， 对逻辑推理能力和想象能力的训练是有益的。 对逻辑推理能力和想象能力的训练是有益的。
罗尔定理、 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系； 之间的关系；
Rolle 定理
f (a) = f (b) Lagrange
F( x) = x
中值定理
Cauchy 中值定理
注意定理成立的条件——均为充分条件； 均为充分条件； 注意定理成立的条件 均为充分条件
练习题
内上连续， 内可导， 1． 设 f ( x ) 在 [ a, b ]内上连续，在(a, b )内可导，若 0 < a < b ,则在 ( a, b )内存在一点 ξ ， 使 af (b ) − bf (a ) = [ f (ξ ) − ξf (ξ )](a − b ) ] . 2．设函数 y = f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内且有 n 阶 导数， 导数 ， 且 f (0) = f ′(0) = K = f ( n−1) (0) 试用柯西 f ( x ) f ( n ) (θx ) 中值定理证明： 中值定理证明： n = ， 0 < θ < 1 ）. （ n! x
Cauchy 中值定理的条件中开区间内每一点处 均不为零， F ′( x) 均不为零，就是保证了 F (b) − F (a) ≠ 0
Q F (b ) − F (a ) = (b − a )F ′(ξ ) ≠ 0,(ξ ∈ (a , b )) 又：该定理能否这样证明：对分子、 分母分别用 Lagrange 微分中值定理, f (b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a )(a < ξ < b ) F (b ) − F (a ) = F ′(ξ )(b − a )(a < ξ < b ) f (b ) − f (a ) f ′(ξ ) (a < ξ < b) ? ∴ = F (b ) − F (a ) F ′(ξ )
3-1中值定理与洛必达法则
练习
P.64 7(2,7,8)
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法
0 0
1. 0 型
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 0 ( ), ( ) 的类型: . 0
1 1 步骤: 0 , 或 0 0 . 0 x 2e x . ( 0 ) 例7 求 xlim x x x ( e ) e e lim lim 解: 原式 lim 2 x ( x ) x 2 x x x 2 x
0 0
例12
解 原 式 lim 1 sin x lim (1 sin x).
x
x cos x 求 lim . x x
极限不存在
x
1
洛必达法则失效。
1 实际上 原 式 lim (1 cos x ) 1. x x
小结
洛必达法则
型
1 g 1 f f g 1 g 1 f
例
证明 cos x cos y x y
设 f ( t ) cos t
当x y时 f ( x ) 在 以x与y为 端 点 的 区 间 上 满足拉格朗日中值定的 理条件
证:
f ( x ) f ( y ) f ( )( x y ), ( 在x与y之 间)
cos x cos y sin ( x y ),
第三章 导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 函数之商 应用
0 及 0
型的极限
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
§3.1 中值定理与洛必达法则
(一)中值定理
经典洛必达法则-PPT课件
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0
罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则.
第3章中值定理与导数的应用内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴(01),ξ∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
拉格朗日中值定理洛必达法则
0 0
（3）幂指形式的未定式，简记为 1 ,0 ,
所有这些类型的未定式都可通过适当变形，转化为
0 求解． 或 0
讨论分析
例12 求 lim x cot 2 x x0
解 这是 0 型未定式，将其变形为
x lim x cot 2 x lim x 0 x 0 tan 2 x
x 1 x
1 ln(ln x ) x
1 x
lim (ln x ) lim e
x
，
e
ln(ln x ) x x lim
二、讨论分析
1、拉格朗日中值定理 2、洛必达法则
案例引入
在两个高度相同的点间的一段连续曲线上，除端点外 如果各点都有不垂直于x轴的切线，那么至少有一点处 的切线水平的.
y P
A
B
x
O a
b
讨论分析
一、拉格朗日（Lagrange）中值定理 1、 定理3-6（拉格朗日（Lagrange）中值定理） 如果函数 f (x)满足下列条件： （1）在闭区间[a, b]上连续;
ห้องสมุดไป่ตู้
在( a , b ) 内至少存在一点
应用说明： （1）证明方程 f (x)=0 根的唯一性。 （2）证明方程 f ( x ) 0 有根。
讨论分析
有且仅有一个小于1 的 例5. 证明方程 正实根 . 证: 1) 根的存在性 . 设 f ( x ) x 5 5 x 1, 则 f ( x ) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 x0 (0,1),
（2）在开区间(a, b)内可导， 那么在(a, b)内至少存在一点ξ，使得:
f (b) f (a ) f ( ), 或 f (b) f (a ) f ( )(b a ) ba