人教版高中数学高二-数学学案 余弦定理 (人教A版必修5) (2)
人教A版高中数学必修五正弦定理和余弦定理教案第课时(2)
课题 正弦定理、余弦定理4【教学目的】1.正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形；2.会利用计算器解决斜三角形计算问题；3.通过解斜三角形培养学生用方程的思想理解有关问题,并培养学生解题的优化意识.【教学重点】正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形【教学难点】正弦定理、余弦定理运用求解中的技巧的应用和准确的计算【教学过程】一．复习：说出正弦定理、余弦定理的内容和它们各自的作用；二知识应用例1．在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，求B 的度数例2．在△ABC 中，已知2cos B sin C ＝sin A ，试判定△ABC 的形状例3．在△ABC 中已知a ＝2b cos C ，求证：△ABC 为等腰三角形例4．在ABC ∆中，（1）若bc c b a ++=222，求A. （2）若=-+++))((a c b c b a bc 3,求A例5．声速为a 米/秒,在相距a 10的A,B 两处,听到一爆炸声的时间差为6秒,且记录显示B处的声强是A 处的4倍.若声速340=a ,声强与距离的平方成反比,试确定爆炸点P 到AB 的中点M 的距离.三．小结（1）内角和定理及变换有:π=++C B A .)(C B A +-=π222C B A +-=π （2）边角转换的常用定理有:正弦定理、余弦定理、射影定理（+=C b a cos B c cos ）.四．作业1．课本24页 14，2．课本24页 153．ABC ∆中,已知C B A 222sin sin sin ++2=,判断ABC ∆的形状.4．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A .求A CB 2cos 2sin 2++的值；。
高中数学余弦定理 教案(新人教A版必修5)
数学：1.1《正弦定理与余弦定理》教案（新人教版必修5）（原创）余弦定理一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章第二节二、设计思想：1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。
因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。
3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。
激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。
4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问题，经过启发、引导，从不同的途径让学生自己去分析、探索，从而找到解决问题的方法。
三、教学目标：1、知识与技能：理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题2．过程与方法：通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。
3．情感、态度与价值观：探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。
通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。
四、教学重点：通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。
五、教学难点：余弦定理的灵活应用六、教学流程：(一)创设情境，课题导入：1、复习：已知A=045,b=16解三角形。
最新人教版高中数学必修5第一章“余弦定理”教案2
1.1.2余弦定理教学目标1．掌握余弦定理，熟记定理的结论，会利用向量的数量积证明余弦定理．2．理解余弦定理与勾股定理的关系．教学重点和难点重点：利用向量的数量积证明余弦定理；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用．难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路，及对余弦定理的熟练记忆．教学过程设计(一)师生共同复习正弦定理．正弦定理准确地反映了三角形中边与角之间的关系，即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦成正比．请同学们回忆一下正弦定理的证明过程．(二)教师讲述新课．前面我们学习正弦定理时同学们已知道(1)如果已知三角形的两个角和任一边，我们用正弦定理可求出其它两边和一角．(2)如果已知三角形的两边和其中一边的对角，我们用正弦定理可求出另一边的对角，再进一步求出其他的边和角．现在我们来研究，如果已知三角形的一个角和夹此角的两边，能否求出此角的对边呢？如图，在△ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b．∴b2＝a2＋c2＋2accos(180°－B)，b2＝a2＋c2－2accosB．这个式子就表达了第三边b与另两边a和c及他们夹角之间的关系．b2＝a2＋c2－2accosB，同理可证出，a2＝b2＋c2－2bccosA，c2＝a2＋b2－2abcosC．我们得到余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．教师引导学生观察余弦定理公式的特征和规律帮助记忆公式，同时要求学生用语言叙述余弦定理，促进对公式的记忆．教师引导学生注意以下问题．(1)如三角形中有一个角是直角，三角形是直角三角形．如∠C＝90°，则cosC＝0．这时余弦定理为，c2＝a2＋b2－2abcos90°＝a2＋b2．这就是勾股定理．因之，勾股定理是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推广．(2)我们用余弦定理求角时，有时为了方便，余弦定理变形为如下形状．(师生共同完成以下例题)解：这个问题是已知三角形的两边a、c，及其夹角B，直接用余弦定理，求第三边，即∠B的对边．由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB．∴b＝7．解：已知三角形的三边，可用余弦定理确定角．∴A＝45°．例3．如图，在△ABC中，应用勾股定理证明余弦定理．解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，过顶点C作AB边上的高CD．则CD＝bsinA，AD＝bcosA，DB＝C－bcosA，在Rt△CDB中，BC2＝CD2＋DB2．a2＝b2sin2A＋(c－bcosA)2＝b2sin2A＋c2－2bccosA＋b2cos2A＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccosA＋c2＝b2＋c2－2bccosA∴a2＝b2＋c2－2bccosA．(三)学生练习．1．课本练习3(1)，a＝7.2．课本练习3(2)，B＝90°．(四)教师小结．总结余弦定理的内容，余弦定理公式记忆的特征．余弦定理公式的两种形式．(1)求边形式：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．。
人教A版数学必修5第一章第2节《余弦定理》 教学设计
“体现高中数学相关分支教育价值的教学设计”余弦定理（人教A必修5第一章第2节）一、教学设计⏹内容和内容解析余弦定理是《普通高中课程标准实验教科书•数学》(人教版)必修5第1章“解三角形”的主要内容，是反映三角形边角之间等量关系的重要定理，是三角函数和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解决可转化为三角形计算问题的其他数学问题以及生产、生活实际中的测量、设计、计算等问题的重要工具，具有广泛的应用价值.此前学生已经学习了“三角函数”、“平面向量”、“三角恒等变换”,并且学习了正弦定理的发现、证明和应用,具有初步的归纳、猜想和证明意识,因此在余弦定理教学中，应以学生的已有知识为固着点，突出问题引导，着眼多元联系，诱导学生展开有质量的联想，有效地激发学生的思维，让学生全程参与到定理的探究、发现和证明之中，体验数学发现和创造的历程.为此，本节课教学重点:余弦定理的探究、发现与证明.教学难点:余弦定理的证明思路的引导与发现.⏹目标和目标解析1经历发现、猜想、推导余弦定理的过程,享受数学发现的快乐,激发学习兴趣.2通过与三角、向量、平面几何等知识的联系，能多个角度证明余弦定理，体会向量方法的作用,比较不同证法的区别与联系,体验余弦定理的不同结构、表现形式和含义.3感悟“类比”、“函数与方程”、“特殊到一般”、“化归与转化”、“数形结合”、不变量”等思想方法. 4能用余弦定理解决一些简单的解三角形问题.⏹教学问题诊断分析在已有勾股定理和正弦定理学习的基础上，让学生独立地“再发现”余弦定理是有困难的，学生难以想到“由两边夹角求第三边“时还要先建立平方关系；让学生比较”自然地”想到向量方法来证明也是困难的，定理证明所包含的数学思想学生也不容易体会到.因此需要教师真正洞察余弦定理的知识结构，把握余弦定理的认知基础，在生成和证明余弦定理时，教师启发的着力点要放在如何发现余弦定理，怎样运用向量法去证明.⏹教学支持条件分析定理的教学绝对不应该是定理的直接灌输、简单记忆、表面应用，重要的是发现问题、提出问题、探索结论、猜想归纳、模拟实验、演绎证明。
人教A版高中数学必修五正弦定理和余弦定理教案二新
1.1.2余弦定理一、教学目标：1、能力要求：①掌握余弦定理，能初步运用余弦定理解一些斜三角形。
②明确余弦定理可解决哪种类型的三角形问题。
2、过程与方法：①探究式教学使学生明确余弦定理的用途。
②在探究学习中，认识到余弦定理可以解决某些与几何计算和测量有关的实际问题。
二、教学重点、难点：重点：余弦定理公式及其推论的应用；难点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解斜三角形三、预习问题处理：1、余弦定理：三角形中 平方等于 减去 的两倍，即=2a ；=2b ；=2c 。
2、从余弦定理，可以得到它的推论：=A cos ；=B cos ；=C cos 。
3、从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是 ；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是 ；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是 。
4、只利用余弦定理，我们可以解决何种类型的问题？四、新课讲解：通过上一节课的学习我们知道，利用正弦定理可以解决两类三角形问题：①已知三角形两角和任一边解三角形；②已知两边和其中一边的对角解三角形。
那么其它类型的解三角形问题是否就没有办法解决了呢？下面我们由正弦定理出发，进行一下探索。
正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 由正弦定理可知：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===()()[]C B C B C B R AC B C B R A bc c b +++=-+=-+∴cos sin sin 2sin sin 4cos sin sin 2sin sin 4cos 222222222[]()()[][]()()()22222222222222222222222sin 2sin 4sin 4cos sin cos sin 4cos cos sin sin 2cos sin cos sin 4cos cos sin sin 2sin 1sin sin 1sin 4cos cos sin sin 2sin sin 2sin sin 4a A R A R C B R B C C B R C B C B B C C B R C B C B B C C B R C B C B C B C B R ===+=+=++=+-+-=+-+=即A bc c b a cos 2222-+=。
人教新课标版数学高二-2015年人教A版数学必修5教案2 正弦、余弦定理的综合应用
【学习目标】
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2.通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
【学习重点】在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
【学习难点】正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用
【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
【学习方法】
．在∆ABC。
最新人教版高中数学必修5导学案 1.1.2余弦定理(2)
1.1.2 余弦定理(2)【学习目标】1. 利用余弦定理求三角形的边长.2. 利用余弦定理的变形公式求三角形的内角.【重点难点】灵活运用余弦定理求三角形边长和内角 【学习过程】一、自主学习：任务1:余弦定理 ：2a =____________2b = ____________2c =_____________任务2:求角公式：=A cos ____________=B cos ____________=C cos ____________二、合作探究归纳展示1. 已知在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）. . A ．135° B ．90°. C ．120° D ．150°2. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定3. 在△ABC 中，sinA:sinB:sinC ＝4:5:6，则cosB ＝ ．4. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状三、讨论交流点拨提升例1. 在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =,试判断该三角形的形状.分析：题目中有B A sin ,sin ，很容易想到________定理，之后再利用______定理建立关系.例 2. 在ABC ∆中，已知角C B A ,,所对的三边长分别为c b a ,,，且2=a ，41cos ,3==B c 。
1.求b 的值.2.求C sin 的值.分析：（1）由余弦定理2b = ____________即可得到（2）由余弦定理=C c os ____________，再利用同角三角函数的_______关系可得到 .例3.已知 c b a ,,为ABC ∆的三边，其面积312=∆ABC S ,,48=bc 2=-c b .求a .分析：由三角形的面积公式_________可求得_________，再利用______定理求得a .四、学能展示课堂闯关知识拓展若C=90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例利用它可以判断三角形状1．若222a b c +=，则角C 是直角；2．若222a b c +<，则角C 是钝角；3．若222a b c +>，则角C 是锐角课堂检测1. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.A ．60B ．75C ．120D ．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）.A ．513x <<B ．13＜x ＜5..C ． 2＜x ＜5 D ．5＜x ＜5五、学后反思余弦定理 ：2a =____________ 求角公式：=A cos ____________2b = ____________=B cos ___________ 2c =_____________=C cos ____________【课后作业】（1）在ABC ∆中，若C B C B A cos cos sin sin sin ++=,试判断ABC ∆的形状. （2）已知ABC ∆中，060=A ，最大边和最小边的长是方程0322732=+-x x 的两实根，求边BC 的长.。
新人教A版必修5高中数学第一章1.1.2余弦定理(二)导学案
1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝a b，则∠C的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案 D解析∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案 A解析在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度确定答案 A解析设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．二、填空题7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c＝________.答案19解析由题意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝19.8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．答案2<a<8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝A －Bsin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin Asin C·cos B －sin Bsin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝A －B sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且·＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 （1）∵·＝－21，∴·=21.∴· = ||·||·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB = 53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54 = 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设· = 23，求a+c 的值.解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝A ＋C sin 2 B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由· = 23得ca ·cosB = 23 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。
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1.1.2 余弦定理
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
一、课前准备
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．
复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45 ，C =30 ，解此三角形．
思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？
二、新课导学
※ 探究新知
问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .
∵AC = ， ∴AC AC •=
同理可得： 2222cos a b c bc A =+-， 2222cos c a b ab C =+-．
新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．
思考：这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：
222
cos 2b c a A bc
+-=
， ， ． [理解定理]
（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角．
试试：
（1）△ABC 中，a =2c =，150B =，求b ．
（2）△ABC 中，2a =，b ，1c ，求A ．
※ 典型例题
例1．在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A
变式1：在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )
A ．090
B ．060
C ．0135
D ．0
150
例2. 在△ABC 中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ⋅=，试确定三角形的形状。
变式2：在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？
三、总结提升
※
学习小结
1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围： ① 已知三边，求三角；
② 已知两边及它们的夹角，求第三边．
※ 知识拓展
在△ABC 中，
若222a b c +=，则角C 是直角； 若222a b c +<，则角C 是钝角； 222是锐角．
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）. A ．60 B ．75 C ．120 D ．150
2. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）.
A x <<
B x ＜5
C ． 2＜x
D ＜x ＜5
3．在△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC 的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ． 钝角三角形
D ．非钝角三角形 4. 在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB －AC |＝________． 5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．
1.. 已知在ABC ∆中，︒=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。
2.. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =， 14AB =, 60BDA ∠=,
135BCD ∠=，求BC 的长.
A
D
1.1.2 余弦定理参考答案
※ 典型例题
例1．⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B
=222+-⋅cos 045
=2121)+- =8
∴=b
求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos 2221
,22+-=
b c a A bc
∴0
60.=A
解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b
又 2.4 1.4 3.8,+=
21.8 3.6,⨯=
∴a ＜c ，即00＜A ＜090,∴0
60.=A
变式1： D 01
2sin ,sin 2sin sin ,sin ,302
b a B B A B A A ===
=或0150 例2.解：因为2cos sin sin A B C ⋅=，由正弦定理得 sin cos 2sin 2C c
A B b
==。
由余弦定理，222cos 2b c a A bc
+-=，得2222
,c b c a a b =+-∴=。
又因为()()3a b c a b c ab +++-=，所以2
2
()3,a b c ab +-=
∴2
2
2
43b c b -= 得b c = ，∴a b c ==.因此△ABC 为等边三角形。
变式2：在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=
sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+=
cos 0A =或cos 0B =，得2
A π
=
或2
B π
=
. 所以△ABC 是直角三角形。
※
当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
4．7 5. 60︒
1. 解：由余弦定理得：
445cos 62)6(22=︒⋅-+b b ∴
02322
=+-b b ∴ 13±=b 又
C b b cos 222)6(222⨯-+= ∴2
1cos ±=C ，︒=∠60C 或︒=∠120C ∴ ︒=∠75B 或︒=∠15B ∴ 13+=
b ，︒=∠60C ，︒=∠75B 或13-=b ，︒=∠120C ，︒=∠15B
2. 解：在ABD ∆中，设BD x =，
则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 22
22，
即
60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ， ∴096102
=--x x ，
∴161=x ，62-=x （舍去），
由正弦定理：BCD BD
CDB BC ∠=
∠sin sin ，
∴
2830sin 135sin 16=⋅=
BC ．
A
B
C
D。