第五章第2节微积分基本公式98929
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高等数学课件D5_2微积分基本公式 牛莱公式 18页PPT文档
二、积分上限的函数及其导数
定理2. 若 f (x) C[a, b] , 则变上限函数
x
y
(x) a f (t) d t
是 f (x) 在[a , b]上的一个原函数 .
y f (x)
( x)
证: x, x h [a, b] , 则有
O a x b x
(x
h) h
t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
1 et2 d t
例1. 求 lim cos x
0
x0
x2
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a) ( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
a
证:
根据定理 2,
x
a
f
( x) dx
是
f
( x) 的一个原函数
,
故
x
F(x) a f (x)dx C
令 x a, 得C F(a), 因此
x
a
f
(x)
dx
F ( x)
F
(a)
再令 x b, 得
x0
2x
2e
例3. 设 f (x)在[0, )内连续,且 f (x) 0, 证明
x
F
(x)
0
t
f
(t)
d
t
x
0
f
(t)
微积分基本公式
微积分基本公式
微积分中的一些基本公式包括：
1. 导数的基本运算法则：
- 可导函数的加减法：(f ± g)' = f' ± g'
- 可导函数的常数倍：(cf)' = cf'
- 可导函数的乘法法则：(fg)' = f'g + fg'
- 可导函数的除法法则：(f/g)' = (f'g - fg')/g^2 - 可导函数的链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)
2. 基本导函数：
- 常数函数的导数：(c)' = 0 （其中 c 是常数）- 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)
- 指数函数的导数：(e^x)' = e^x
- 对数函数的导数：(log_a(x))' = 1/(xlna)
3. 不定积分的基本公式：
- 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C （其中 C 是常数）
- 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C
- 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln|x| + C
这些是微积分中的一些基本公式，但并不 Exhaustive（详尽）。
还有许多其他公式和规则可以用于求导和积分。
5.2_微积分基本公式
2
3
1
0
2
2x x ( ) 3 2
3
2
1
1 2
例8. 计算
解
2
0
1 sin 2 xdx ,
2
2 sin x cos x dx 0 sin x cos x dx
原式=
0
2
0
4
sin x cos x dx 2 sin x cos x dx
Gottfried Leibniz (1646-1716) German philosopher, physicist, and mathematician
例4
3 1
3
1
1 dx 2 1 x
函数在积分区间上连续
（以后不再声明）
解
1 3 dx [arctan x]1 2 1 x
0
பைடு நூலகம்
1
解:
原式=
1
2
0
1 2
x( 2 x 1) dx 1 x(2 x 1) dx
2
1
x(1 2 x )dx 1 x(2 x 1)dx 0
2
1
( x 2 x )dx 1 (2 x 2 x )dx 0
2
1
2
1
2
x 2x ( ) 2 3
1 4
b a
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
b a
f ( x)dx [ F ( x)] F (b) F (a)
《高等数学》专升本(2015-2016)第二节 微积分的基本公式52 微积分的基本公式
( x) a f (t)dt
在区间 [a, b] 上可导，并且它的导数等于被积函数， 即
( x)
x a
f
(t
)dt
f ( x).
证 按导数定义，证 lim ( x) f ( x) 即可.
x0 x
给自变量 x 以增量 x，x + x [a, b]，由 (x) 的 定义得对应的函数 (x) 的量 (x)， 即
x
a
x
x
1
a
1 x3
t 3 dt
x x2
0
1
x2
1t
a
t 3 dt x2
3 dt
x ( x2 )x
1 x3 2x 1 x6 .
三、微积分的基本公式
定理 2 如果函数 f (x) 在区间[a, b]上连续， F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数， 那么
(x) = (x + x) - (x)
x x
x
a f (t)dt a f (t)dt
y
x
x x
x
f (t)dt f (t)dt f (t)dt A
a
x
a
x x
x f (t)dt.
Oa
B y = f (x) C
(x)
x x + x b x
根据积分中值定理知道，在 x 与 x + x 之 间
解 把被积函数化简.
sinx sin3 xdx sinx(1 sin2 x)dx
0
0
0 sinx | cos x | dx.
2 0
sinx cos xdx
sinx ( cos x)dx
2
在区间 [a, b] 上可导，并且它的导数等于被积函数， 即
( x)
x a
f
(t
)dt
f ( x).
证 按导数定义，证 lim ( x) f ( x) 即可.
x0 x
给自变量 x 以增量 x，x + x [a, b]，由 (x) 的 定义得对应的函数 (x) 的量 (x)， 即
x
a
x
x
1
a
1 x3
t 3 dt
x x2
0
1
x2
1t
a
t 3 dt x2
3 dt
x ( x2 )x
1 x3 2x 1 x6 .
三、微积分的基本公式
定理 2 如果函数 f (x) 在区间[a, b]上连续， F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数， 那么
(x) = (x + x) - (x)
x x
x
a f (t)dt a f (t)dt
y
x
x x
x
f (t)dt f (t)dt f (t)dt A
a
x
a
x x
x f (t)dt.
Oa
B y = f (x) C
(x)
x x + x b x
根据积分中值定理知道，在 x 与 x + x 之 间
解 把被积函数化简.
sinx sin3 xdx sinx(1 sin2 x)dx
0
0
0 sinx | cos x | dx.
2 0
sinx cos xdx
sinx ( cos x)dx
2
5.2微积分基本公式
2
(u)
u 0
1 t dt,
2
u x ,
2
根据复合函数求导法则，
d dx (
x 0
2
2 1 t d t ) u ( u ) u x
1 u
2
2 x
1 ( x ) 2 x
2 2
2x
1 x
4
例4：计算 解：
d dx (
x x
2
d dx
(
(a x b )
a
x
f ( t ) dt F ( a )
a
于是
即有
F (b )
b
f ( t ) dt C
a
b
f ( t ) dt F ( a )
a
b
f ( t ) dt F ( b ) F ( a )
a
公式
b
f ( x ) dx F ( b ) F ( a )
x
f ( t ) dt
a
就 是 f ( x ) 在 [ a , b ]上 的 一 个 原 函 数 。
二、牛顿 莱布尼茨公式（微积分 学基本定理）
定理 3 如果函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续， ，则 F ( x )是
f ( x )的任一原函数
证
b a
f ( x ) dx F ( b ) F ( a )
2
u f ( t ) 连续， ( x ), v ( x )可导
d dx
v(x) u( x )
[
f ( t ) d t ])
d dx
(u)
u 0
1 t dt,
2
u x ,
2
根据复合函数求导法则，
d dx (
x 0
2
2 1 t d t ) u ( u ) u x
1 u
2
2 x
1 ( x ) 2 x
2 2
2x
1 x
4
例4：计算 解：
d dx (
x x
2
d dx
(
(a x b )
a
x
f ( t ) dt F ( a )
a
于是
即有
F (b )
b
f ( t ) dt C
a
b
f ( t ) dt F ( a )
a
b
f ( t ) dt F ( b ) F ( a )
a
公式
b
f ( x ) dx F ( b ) F ( a )
x
f ( t ) dt
a
就 是 f ( x ) 在 [ a , b ]上 的 一 个 原 函 数 。
二、牛顿 莱布尼茨公式（微积分 学基本定理）
定理 3 如果函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续， ，则 F ( x )是
f ( x )的任一原函数
证
b a
f ( x ) dx F ( b ) F ( a )
2
u f ( t ) 连续， ( x ), v ( x )可导
d dx
v(x) u( x )
[
f ( t ) d t ])
d dx
微积分基础公式
微积分基础公式
微积分是数学中的一个重要分支，也是物理学、工程学、经济学等领域中必不可少的工具。
下面是微积分基础公式的介绍：
1.导数公式
导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点处的变化率。
如果函数f(x)在点x处可导，那么它的导数为：
f'(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)]/Δx
2.求导法则
求导法则是求导的基本规则，包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
3.微分公式
微分是导数的另一种表达形式，表示函数在某一点处的变化量。
如果函数f(x)在点x处可微，那么它的微分为：
df = f'(x) dx
4.积分公式
积分是微积分中的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的面积。
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它的积分为：∫a^bf(x)dx
5.基本积分法
基本积分法是求解积分的基本方法，包括换元积分法、分部积分法、三角换元积分法等。
以上是微积分基础公式的介绍，对于学习微积分的同学们来说，
掌握这些公式是非常重要的。
5-2微积分基本公式
∴在时间间隔[T1 , T2 ]内物体所走过的路程为：
s(T2 ) − s(T1 )，即：s = ∫ v( t )dt = s(T2 ) − s(T1 )
T1
T2
那么这个结论是否具有普遍性？
2
即若f ( x )在[ a, b]上连续， 则:∫ f ( x )dx = F (b) − F ( a )
10
例、已知F ( x) = ∫
x2 x
dF e dt , 求 : dx
−t 2
lijuan
2 x d 4 2 dF −t 2 − x − x ( ∫ e dt ) = e 2 x − e 1 解： = dx dx x 2 2 4 2 − x − x −x −x = e (2 xe − 1) = 2 xe − e
x
2
⇒b=0
1+ t lim x →0 sin x − ax
⎧−2 =⎨ ⎩0
15
∫
x
t
2 2
b
dt
洛
x2
2 2 1 + x x = lim = lim x →0 cos x − a x → 0 cos x − a
a =1 a ≠1
∴ 解得： (a = 1, b = 0, c = −2), (a ≠ 1, b = 0, c = 0)
a x
则解决了第四章中若f ( x )连续，则可积这个问题。
定理2、若f ( x)在[ a, b]上连续，则Φ ( x) = ∫ f (t ) dt
a
x
为f ( x)在[ a, b]上的一个原函数。
（∫ f ( x )dx , ∫ f (t )dt , ∫ f ( x )dx的区别）
a a x b
s(T2 ) − s(T1 )，即：s = ∫ v( t )dt = s(T2 ) − s(T1 )
T1
T2
那么这个结论是否具有普遍性？
2
即若f ( x )在[ a, b]上连续， 则:∫ f ( x )dx = F (b) − F ( a )
10
例、已知F ( x) = ∫
x2 x
dF e dt , 求 : dx
−t 2
lijuan
2 x d 4 2 dF −t 2 − x − x ( ∫ e dt ) = e 2 x − e 1 解： = dx dx x 2 2 4 2 − x − x −x −x = e (2 xe − 1) = 2 xe − e
x
2
⇒b=0
1+ t lim x →0 sin x − ax
⎧−2 =⎨ ⎩0
15
∫
x
t
2 2
b
dt
洛
x2
2 2 1 + x x = lim = lim x →0 cos x − a x → 0 cos x − a
a =1 a ≠1
∴ 解得： (a = 1, b = 0, c = −2), (a ≠ 1, b = 0, c = 0)
a x
则解决了第四章中若f ( x )连续，则可积这个问题。
定理2、若f ( x)在[ a, b]上连续，则Φ ( x) = ∫ f (t ) dt
a
x
为f ( x)在[ a, b]上的一个原函数。
（∫ f ( x )dx , ∫ f (t )dt , ∫ f ( x )dx的区别）
a a x b
微积分基本公式和基本定理
ln a
(14) sh xdx ch x C
sh x ex ex 2
ch x ex ex 2
(15) ch xdx sh x C
23
例11. 求
dx . x3 x
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x13 C
例12 求
sin
x 2
cos
x 2
dx
.
解: 原式=
xdx,
于是
2 e xdx
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证明2e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
2
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
3
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
定理 2.1 ( Newton Leibniz公式)
b f (x)dx F(b) F(a) F(x) b
a
a
----微积分基本公式
4
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
解(1)
6
例2
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin
x
cos
x
x2 0
(14) sh xdx ch x C
sh x ex ex 2
ch x ex ex 2
(15) ch xdx sh x C
23
例11. 求
dx . x3 x
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x13 C
例12 求
sin
x 2
cos
x 2
dx
.
解: 原式=
xdx,
于是
2 e xdx
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证明2e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
2
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
3
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
定理 2.1 ( Newton Leibniz公式)
b f (x)dx F(b) F(a) F(x) b
a
a
----微积分基本公式
4
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
解(1)
6
例2
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin
x
cos
x
x2 0
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d(ux) a
dx
f(u(x)u )(x)
6
例 1F (x) x2 1sit3 n d,求 tF (x) 5
解： F (x)sin x2 (1 )3( x2 1 )
3
sinx(2 1)2
x
x2 1
例2
s i21 n
F (x) x
2t5d,求 tF (x)
ar cxt an
F (x)2si1n 0 12si1 n c xx
o 1 x(s x 1 2)
2(arcx)t5a n1 1x2
7
例3
1 e t 2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是 0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2dt d coxset2d,t
dx cosx
dx1
eco2x s(cox)s six neco2x s,
1 et2dt
例12
2
1 xdx
1
2
1xdx 1xdx
0
0
1
1
2
(1x)dx (x 1)dx
0
1
1(1x)211(x1)221
2
02
1
19
例13
0
1sinxdx0
(sinxcosx)2dx 22
sinxcosxdx
02
2
2(coxssinx)dx(s
0 22
2
inxc 2
osx)d 2
x
2、 lim 0 x 0
5
.
x2
30
五、设 f ( x)为连续函数，证明:
x f (t )( x t )dt
xt
( f (u)du )dt
.
0
00
六、求 函 数
f
(x)
x
0
3t 1 dt
t2 t 1
在 区 间
0
,1
上的最
大值与最小值 .
七、设
f
( x)
1 2
sin
x
, 当0
x
时，
0 ，当 x 0或 x 时，
29
三 、 计 算 下 列 各 定 积 分 ：
1、12(x2x12)d; x
1
2、21 2
dx; 1x2
3、03x43x21d; x 4、2six ndx.
1 x21
0
四、求下列极限：
( x e t 2 dt ) 2
1、 lim x
0
x e 2 t 2 dt
;
0
1
x 2 (1 cos t 2 )dt
f(x)max,xx2{}
yx
x2
x
x
2
2 x0 0 x1 , 1 x2
2
o 1 2x
原 式 0x 2 d x1 xd 2 x x 2 dx 11 .
2
0
1
2
18
例11 求 1 1dx .
2 x
解 当 x0 时 ， 1的 一 个 原 函 数 是 ln |x|,
x
1
2
1dx x
ln|x| 12 l1 n l2 n l2 . n
b
(3)( f(t)d)tf(v(x)v)(x) v(x)
u (x )
(4 )( f(t) d ) tf(u (x )u ) (x ) f(v (x )v ) (x ) v (x )
证明（2）(u(x)f(t)d)td(u(x)f(t)d)t
a
dxa
d ( u(x) f(t)d)td(ux)
x
2
0 f(t)dt
9
x
F(x)f(x)0x(xt)f2(t)dt,
0 f(t)dt
x
f( x ) 0 ,( x 0 ) 0 f(t)dt0, (x t)f(t) 0 , 0x(xt)f(t)d t0,
F (x ) 0(x 0 ). 故 F ( x ) 在 ( 0 , ) 内 为 单 调 增 加 函 数 .
t
；
3 、 (sin x cos x ) cos( sin 2 x ) ； 4 、P240
2,3,4,5,6(1)(3)(5)(7)(9) (11)1( 2)9,,10,11
24
思考题
设f(x)在[a,b]上连续，则ax f(t)dt与
b
x
f
(u)du是x的函数还是t 与u
的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
25
思考题解答
a x f ( t ) d 与 x b t f ( u ) d 都 是 u x 的 函 数
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
12
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果F(x)是连续函数f (x)在区间[a,b]上
的一个原函数，则ab f(x)dxF(b)F(a).
证 已 知 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
练习题答案
一 、 1 、 0 ； 2 、 f ( x ) f ( a ) ； 3 、 3 x ln( x 2 1 ) ；
4、 5 ； 6
5、 (1) , ； (2)0,0；
7 、 45 1 ; 6
8、 ； 6
9、 1.
二 、 1 、 cos x ； sin x 1
2、
1 2 t 2 ln
6、设 cosmx sinnxdx,
（1）、当m n时，I3 =____ ,
（2）、当m n时，I3 =_____ .
7、 9 x(1 x)dx _____ . 4
8、
3 dx
1 3
1
x2
_____
.
x cos
t 2dt
9、lim 0
________ .
x0
x
28
二 、求 导数：
0 1 xn dx 1xndx
01x 0
1xn 111 0(n )
n1 0 n1
1 xn
lim dx0 n 01x
22
四、小结
1.积分上限函数
x
(x)a f(t)dt
2.积分上限函数的导数 (x)f(x)
3.微积分基本公式 a bf(x)d x F (b )F (a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
xx
y
f(t)dt, x
由积分中值定理得
(x)
oa
f() x [x ,x x ],
x xxb x
f (), lim lim f()
x
x 0x x 0
x 0, x (x )f(x ).
5
2、变限积分求导公式
x
(1)(a f(t)d)tf(x)
u (x)
(2)(a f(t)d)tf(u (x)u )(x)
10
例 5 设 f(x )在 [0 ,1 ]上 连 续 ， 且 f(x ) 1.证 明
2 x0 xf(t)d t1 在 [0 ,1 ]上 只 有 一 个 解 .
证
令
x
F (x)2x0f(t)d t1 ,
f(x)1, F ( x ) 2 f( x ) 0 ,
F ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 为 单 调 增 加 函 数 .F (0 ) 10 ,
15
例 6
1 x 2dx
0
1 3
1
x3
0
1 3
例 7
3 1 dx 1 1 x2
arctaxn 3 1
arcta3narcta1n)(
( ) 7
3 4 12
16
例8 求 02(2cox ssix n 1)d.x
解
原式
2 six n cx o x s 0 2
3
2
.
例9
设
f(x)52x
如 果 上 限 x在 区 间 [a,b]上 任 意 变 动 ， 则 对 于
每 一 个 取 定 的 x值 ， 定 积 分 有 一 个 对 应 值 ， 所 以
它 在 [a,b]上 定 义 了 一 个 函 数 ，
记
x
(x)a f(t)d.t
积分上限函数
3
1、积分上限函数的性质
定理１如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
4( 21)
20
例14 sinxsin3xdx 0
1
sin x(1si2nx)dx sin2 x
co2sxdx
0
0
1
sin2 xcosxdx 0
1
02si2n xcoxsdx six n (cox)sdx
2
2(2) 4 3 33
21
例15
1
lim
xn
dx
n 0 1 x
解ln i： m 011x nxdxln i m 1n0 0 1
dx x
4 、
2
f ( x )dx
____，其中
f (x)
x2
,0
x
1
.
0
2 x , 1 x 2
5 、 设 I1 co m scxo nsx , dx
sim n sx in n dx ， x
27
（1）、当m n时， I1 =__ ,I2 =_____ ，
（2）、当m n时，I1 =___ ,I2 =_____ .
数(x)ax f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导
数是(x)ddxax f(t)dt f(x)
y
证 (x x)a x xf(t)dt